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Année 2012/2013

TS

Dérivées & primitives

Formulaire

Dérivées
1) Dérivées des fonctions usuelles
′

ℝ

′

Dérivée f : f x = Ensemble de dérivabilité

Fonction f : fx =

Ensemble de définition

k k réel

0

ℝ

ℝ

ax + b

a

ℝ

ℝ

x (avec n ∈ ℕ 0 ; 1 )

ℝ∗

1
x

ℝ∗

1 (avec n ∈ ℕ ∗ )
xn

0; +∞

x

ℝ

ex

0; +∞

ln x

ℝ
ℝ

n−1

ℝ

− 12
x
n
− n+1
x
1
2 x

n

ℝ∗

nx

ℝ∗
0; +∞
ℝ
0; +∞

sin x

ex
1
x
cos x

cos x

− sin x

ℝ

ℝ

2) Dérivées et opérations
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Fonction f

Dérivée f

ku (k réel)

u′ + v′

uv
1
v

Conditions

ku ′

u+v

′

u ′ v + uv ′
′
− v2
v
u ′ v − uv ′
v2

u
v

v ne s’annule pas sur I
v ne s’annule pas sur I

3) Dérivées et composées
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I
Fonction f
u

n

Dérivée f

′

Conditions

′ n−1

n ∈ ℕ 0 ; 1

nu u

1 n ∈ ℕ ∗ 
un

′
− nu
u n+1
u′
2 u

u

sin u

u strictement positive sur I

u′eu
u′
u
′
u cos u

cos u

u ne s’annule pas sur I

−u ′ sin u

eu
ln u

u strictement positive sur I

1
Primitives
1) Primitives des fonctions usuelles
Fonction f : fx =

Primitive F : Fx

sur l’intervalle I =

k (constante)

kx
x n+1
n+1
1
−
n − 1x n−1

ℝ

x n n ∈ ℕ ∗ 
1 n ∈ ℕ 0 ; 1
xn

ℝ
−∞; 0 ou 0; +∞

1
x

2 x

0; +∞

ex
1
x
cos x

ex

−∞; 0 ou 0; +∞

ln|x|

ℝ

sin x

ℝ

sin x

− cos x

ℝ

2) Primitives et opérations
 Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervalle I alors F + G est une primitive de f + g sur I.
 Si F est une primitive de f sur un intervalle I et λ est un réel alors λF est une primitive de λf sur I.
ATTENTION !

Il n’existe pas de formule générale pour le produit et le quotient

3) Primitives et composées
Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Fonction f
u ′ u n n ∈ ℕ ∗ 
u′
un

n ∈ ℕ 0 ; 1
u′
u
u′eu
u′
u
′
u cos u
′

u sin u

Primitive F
u n+1
n+1
1
−
n − 1u n−1

Conditions

u ne s’annule pas sur I
u strictement positive sur I

2 u
eu

u ne s’annule pas sur I

ln|u|
sin u
− cos u

2

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  • 1. Année 2012/2013 TS Dérivées & primitives Formulaire Dérivées 1) Dérivées des fonctions usuelles ′ ℝ ′ Dérivée f : f x = Ensemble de dérivabilité Fonction f : fx = Ensemble de définition k k réel 0 ℝ ℝ ax + b a ℝ ℝ x (avec n ∈ ℕ 0 ; 1 ) ℝ∗ 1 x ℝ∗ 1 (avec n ∈ ℕ ∗ ) xn 0; +∞ x ℝ ex 0; +∞ ln x ℝ ℝ n−1 ℝ − 12 x n − n+1 x 1 2 x n ℝ∗ nx ℝ∗ 0; +∞ ℝ 0; +∞ sin x ex 1 x cos x cos x − sin x ℝ ℝ 2) Dérivées et opérations Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Fonction f Dérivée f ku (k réel) u′ + v′ uv 1 v Conditions ku ′ u+v ′ u ′ v + uv ′ ′ − v2 v u ′ v − uv ′ v2 u v v ne s’annule pas sur I v ne s’annule pas sur I 3) Dérivées et composées Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I Fonction f u n Dérivée f ′ Conditions ′ n−1 n ∈ ℕ 0 ; 1 nu u 1 n ∈ ℕ ∗  un ′ − nu u n+1 u′ 2 u u sin u u strictement positive sur I u′eu u′ u ′ u cos u cos u u ne s’annule pas sur I −u ′ sin u eu ln u u strictement positive sur I 1
  • 2. Primitives 1) Primitives des fonctions usuelles Fonction f : fx = Primitive F : Fx sur l’intervalle I = k (constante) kx x n+1 n+1 1 − n − 1x n−1 ℝ x n n ∈ ℕ ∗  1 n ∈ ℕ 0 ; 1 xn ℝ −∞; 0 ou 0; +∞ 1 x 2 x 0; +∞ ex 1 x cos x ex −∞; 0 ou 0; +∞ ln|x| ℝ sin x ℝ sin x − cos x ℝ 2) Primitives et opérations  Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervalle I alors F + G est une primitive de f + g sur I.  Si F est une primitive de f sur un intervalle I et λ est un réel alors λF est une primitive de λf sur I. ATTENTION ! Il n’existe pas de formule générale pour le produit et le quotient 3) Primitives et composées Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I. Fonction f u ′ u n n ∈ ℕ ∗  u′ un n ∈ ℕ 0 ; 1 u′ u u′eu u′ u ′ u cos u ′ u sin u Primitive F u n+1 n+1 1 − n − 1u n−1 Conditions u ne s’annule pas sur I u strictement positive sur I 2 u eu u ne s’annule pas sur I ln|u| sin u − cos u 2