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CORRIGE
Exercice n°1
 Contenu : Nombres complexes, équation du second degré, interprétation géométrique.
 Aptitudes visées : connaitre le conjugué d’un nombre complexe, interpréter géométriqument
le module d’un nombre complexe, résoudre une équation complexe du second degré.
 Corrigé :
1)
2)
3)
4)
a
b
c
c

Exercice n°2

 Contenu :Systémes linéaires de n équations à p inconnues n  3etp  3 , opérations sur les
matrices, déterminant d’une matrice , inverse d’une matrice.
 Aptitudes visées: Résoudre un systéme linéaire, utiliser les opérations sur les matrices
( multiplication et multiplication par un réel ), calculer le déterminant d’une matrice,
reconnaitre la matrice inverse .
 Corrigé :
1) a) det A =

=

= -3 + 1 + 8 = 6

Donc A est inversible.
b) On a .

B.A =

On a A est inversible et

= I3
B.A = I3 donc A-1 =

B =

2) a- F ( x ) = x3 + ax² + bx + c .





ainsi a , b et c , s’ils existent, sont solutions du système ( S ) :

b) ( S ) :
Une écriture matricielle du système ( S ) est :

A  X  M où A=

, X=

et M=

c) ( S )  A  X  M  X  A1  M



= A-1 M =
Conclusion : F ( x ) = x3 + x² - x -

d’où

.
Exercice n°3

 Contenu :Arithmétique : Congruence dans Z, équations du type ax  by  c
où a, b et c sont des entiers relatifs.
 Aptitudes visées:Connaitre et utiliser les proprietés de la divisibilité dans Z, reconnaitre deux
nombres premiers entre eux, résoudre une équation du type ax  by  c où a, b et c sont des
entiers relatifs.
 Corrigé :
1) 4a + 7b = 400.
2) ( E ) : 4x + 7y = 400.
On a 4100 + 70 = 400 alors le couple 100; 0  est une solution particulière de ( E ).
Par suite 4x + 7y =4100 + 70 signifie 4(x -100) = -7y ainsi 7 divise 4(x -100)
or 7  4 = 1 alors 7 divise (x -100) et par suite x = 7k + 100 où k  et comme
4(x -100) = -7y on a 4(7k ) = -7y d’où y = - 4k où k  .
Réciproquement : pour tout k  , le couple (7k + 100 , - 4k ) vérifie l’équation ( E )
en effet 4(7k + 100 ) + 7( - 4k ) = 28k + 400 - 28k = 400
Conclusion : S  =  (7k + 100, - 4k) ; k   .
3) D’après 1) on a : 4a + 7b = 400 donc a = 7k + 100 et b = -4k avec k 
.
D’autre part : 68  a + b  72
signifie

signifie

d’où k = - 10.

Conclusion : a = 30 et b = 40 .

Exercice n°4
 Contenu : Interprétation d’une courbe , étude de fonctions , dérivabilité , fonction réciproque,
primitives, calcul intégral, calcul d’aire.
 Aptitudes visées : lire graphiquement une courbe, dérivabilité , fonction bijective, courbe de
la fonction réciproque, calculer une aire.
Corrigé :
1) a) On a : f(1) = 1et f(e) = 0
b) lim
xe



f(x)
f(x)  f(e)
 lim
 
x  e xe x  e

(C admet une

demi-tangente verticale au point d’abscisse e )
'
c) fd (1) est la pente de la droite qui porte la demitangente à C au point d’abscisse 1
'
fd (1) 

0,5  1
3
 1,5  
2 1
2

d)f est strictement décroissante sur I= 1 , e
2) a) f est définie et strictement décroissante sur 1 , e
donc elle réalise une bijection de I= 1 , e sur
f 1 , e  , de plus f est continue sur l’intervalle I donc
f 1 , e    f(e) , f(1)  0 , 1 =J

b) C et C’ sont symétriques par rapport à la droite
d’équation y = x.
3) a) La fonction x  1 lnx est dérivable et strictement
positive sur 1 , e donc x  1  ln x est dérivable sur 1 , e et par suite la fonction
2
(1  ln x) 1  ln x dérivable sur 1 , e et pour tout x de 1 , e on a :
3
2
F'(x)  
3
1 


 1
x    2   1 1  ln x  1 1  ln x    2  3 1  ln x   f(x)
1  ln x  (1  ln x)





3 x
2x
3 2
x
2 1  ln x 



 x


x  F(x)  

Dérivabilité de F à gauche en e :
F(x)  F(e)
2
ln x  1
1
 lim
1  ln x.
 0.  0  f(e)
xe
xe
e
xe
xe 3
lim

D’où F est dérivable sur 1 , e et on a F'(x)  f(x) et par suite F est une primitive de f sur
1 , e .
b) A

e

1



1





2
3

e
=   f(x) dx   9 cm2  F(x)1  9 cm2  F(e)  F(1)  9 cm2   9 cm2  6 cm2

c) A  2 A1 + a où a est l’aire du carré de coté 1 et par suite A  2 A1 + 9 = 21 cm2

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  • 1. CORRIGE Exercice n°1  Contenu : Nombres complexes, équation du second degré, interprétation géométrique.  Aptitudes visées : connaitre le conjugué d’un nombre complexe, interpréter géométriqument le module d’un nombre complexe, résoudre une équation complexe du second degré.  Corrigé : 1) 2) 3) 4) a b c c Exercice n°2  Contenu :Systémes linéaires de n équations à p inconnues n  3etp  3 , opérations sur les matrices, déterminant d’une matrice , inverse d’une matrice.  Aptitudes visées: Résoudre un systéme linéaire, utiliser les opérations sur les matrices ( multiplication et multiplication par un réel ), calculer le déterminant d’une matrice, reconnaitre la matrice inverse .  Corrigé : 1) a) det A = = = -3 + 1 + 8 = 6 Donc A est inversible. b) On a . B.A = On a A est inversible et = I3 B.A = I3 donc A-1 = B = 2) a- F ( x ) = x3 + ax² + bx + c .   ainsi a , b et c , s’ils existent, sont solutions du système ( S ) : b) ( S ) : Une écriture matricielle du système ( S ) est : A  X  M où A= , X= et M= c) ( S )  A  X  M  X  A1  M  = A-1 M = Conclusion : F ( x ) = x3 + x² - x - d’où .
  • 2. Exercice n°3  Contenu :Arithmétique : Congruence dans Z, équations du type ax  by  c où a, b et c sont des entiers relatifs.  Aptitudes visées:Connaitre et utiliser les proprietés de la divisibilité dans Z, reconnaitre deux nombres premiers entre eux, résoudre une équation du type ax  by  c où a, b et c sont des entiers relatifs.  Corrigé : 1) 4a + 7b = 400. 2) ( E ) : 4x + 7y = 400. On a 4100 + 70 = 400 alors le couple 100; 0  est une solution particulière de ( E ). Par suite 4x + 7y =4100 + 70 signifie 4(x -100) = -7y ainsi 7 divise 4(x -100) or 7  4 = 1 alors 7 divise (x -100) et par suite x = 7k + 100 où k  et comme 4(x -100) = -7y on a 4(7k ) = -7y d’où y = - 4k où k  . Réciproquement : pour tout k  , le couple (7k + 100 , - 4k ) vérifie l’équation ( E ) en effet 4(7k + 100 ) + 7( - 4k ) = 28k + 400 - 28k = 400 Conclusion : S  =  (7k + 100, - 4k) ; k   . 3) D’après 1) on a : 4a + 7b = 400 donc a = 7k + 100 et b = -4k avec k  . D’autre part : 68  a + b  72 signifie signifie d’où k = - 10. Conclusion : a = 30 et b = 40 . Exercice n°4  Contenu : Interprétation d’une courbe , étude de fonctions , dérivabilité , fonction réciproque, primitives, calcul intégral, calcul d’aire.  Aptitudes visées : lire graphiquement une courbe, dérivabilité , fonction bijective, courbe de la fonction réciproque, calculer une aire. Corrigé : 1) a) On a : f(1) = 1et f(e) = 0 b) lim xe  f(x) f(x)  f(e)  lim   x  e xe x  e (C admet une demi-tangente verticale au point d’abscisse e ) ' c) fd (1) est la pente de la droite qui porte la demitangente à C au point d’abscisse 1 ' fd (1)  0,5  1 3  1,5   2 1 2 d)f est strictement décroissante sur I= 1 , e 2) a) f est définie et strictement décroissante sur 1 , e donc elle réalise une bijection de I= 1 , e sur f 1 , e  , de plus f est continue sur l’intervalle I donc f 1 , e    f(e) , f(1)  0 , 1 =J b) C et C’ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. 3) a) La fonction x  1 lnx est dérivable et strictement
  • 3. positive sur 1 , e donc x  1  ln x est dérivable sur 1 , e et par suite la fonction 2 (1  ln x) 1  ln x dérivable sur 1 , e et pour tout x de 1 , e on a : 3 2 F'(x)   3 1     1 x    2   1 1  ln x  1 1  ln x    2  3 1  ln x   f(x) 1  ln x  (1  ln x)      3 x 2x 3 2 x 2 1  ln x      x   x  F(x)   Dérivabilité de F à gauche en e : F(x)  F(e) 2 ln x  1 1  lim 1  ln x.  0.  0  f(e) xe xe e xe xe 3 lim D’où F est dérivable sur 1 , e et on a F'(x)  f(x) et par suite F est une primitive de f sur 1 , e . b) A e 1  1    2 3 e =   f(x) dx   9 cm2  F(x)1  9 cm2  F(e)  F(1)  9 cm2   9 cm2  6 cm2 c) A  2 A1 + a où a est l’aire du carré de coté 1 et par suite A  2 A1 + 9 = 21 cm2