Un outil puissant et très utile dans beaucoup de domaines, autant se l'approprier en prenant un bon départ

1. TS Complexes B. Kacimi
Nombres Complexes
Définitions et vocabulaire :
Un nombre complexe z s’écrit, de façon unique, z = a + ib ; où a et b sont deux nombre réels et i est le
nombre imaginaire tel que i2
= -1
a est la partie réelle de z et se note Re(z)
b est la partie imaginaire de z et se note Im(z)
z = a + ib se dit écriture algébrique de z
L’ensemble des nombre complexes est noté IC
Intérêt algébrique
1. Le trinôme az2
+ bz + c = 0 (E); où les coefficients a, b et c sont réels admet dans IC deux racines
éventuellement confondues ; en effet : ∆ = b2
– 4ac
Si ∆ ≥ 0 l’équation (E) admet deux solutions réelles z1,2=
-b ± ∆
2a
Si ∆ < 0 alors ∆ = (i δ)2
et (E) admet deux solutions complexes z1 = -
b
2a
– i
δ
2a
et z2 = -
b
2a
+ i
δ
2a
2. Tout polynôme de degrés n admet n racines, éventuellement certaines confondues
Complexes et géométrie
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;
⎯→
u,
⎯→
v)
L’axe des abscisse est dit axe des réels
L’axe des ordonnées est dit axe des imaginaires
A chaque nombre complexe z = a + ib est associé le point M(a ; b) dans (O;
⎯→
u,
⎯→
v) ou le vecteur
⎯⎯→
V (a ; b) dans (
⎯→
u,
⎯→
v)
On dit alors que z est l’affixe du point M ou que z est l’affixe du vecteur
⎯⎯→
V
On dit aussi M a pour affixe le complexe z ou le vecteur
⎯⎯→
V a pour affixe le complexe z
Le nombre OM = ||
⎯⎯→
V || = a2
+ b2
est dit module de z et est noté |z|
L’angle orienté (
⎯⎯→
u ;
⎯⎯→
OM) = (
⎯⎯→
u ;
⎯⎯→
V ) = θ est dit un argument de z et est
noté arg(z), un nombre complexe possède une infinité d’arguments tous égaux à
2π près
⎯⎯→
V Remarque : cos(θ) =
a
|z|
sin(θ) =
b
|z|
Donc z = |z|( cos(θ) + i sin(θ)) Se dit l’écriture trigonométrique de z
Notation : on note ei θ
= cos(θ) + i sin(θ)
D’où vient l’écriture z = |z| ei θ
→v
→u

2. TS Complexes B. Kacimi
Propriétés
Soient M d’affixe z et M’ d’affixe z’ alors l’affixe de
⎯⎯→
MM’ est : z’ – z
L’affixe de I milieu de [MM’] est zI =
z + z’
2
L’affixe de G bar{(M,α) ; (M’,β)} est zG =
αz + βz’
α + β
Soit M le point d’affixe z = a + ib alors l’affixe du symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses
s’appelle conjugué de z et est noté −z, −z = a – ib
Propriété
z × −z = a2
+ b2
= |z|2
|z| = |−z| 'zz'zz ×=× pour z’ ≠ 0 ( ) 'z
z
'z
z = zz=
Re(z) =
z + −z
2
Im(z) =
z – −z
2i
Remarque :
z est un réel pur équivaut à z = −z z est un imaginaire pur équivaut à z = - −z
L’écriture exponentielle permet de retrouver aisément les propriétés faisant intervenir l’argument
En effet :
z = r eiθ
z’= r’ ei θ’
où r = |z| et r’ = |z’|
On a :
z×z’ = r×r’ ei(θ + θ’)
donc arg(z×z’) = arg(z) + arg(z’)
1
z
=
1
rei θ =
1
r
ei(-θ)
donc arg
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞1
z
= - arg(z)de même arg
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞z
z’
= arg(z) – arg(z’)
Réflexes :
Vu que l’écriture algébrique d’un complexe est unique on déduit que :
• z = 0 équivaut à
⎩
⎨
⎧ Re(z) = 0
Im(z) = 0
• z = z’ équivaut à
⎩
⎨
⎧ Re(z) = Re(z’)
Im(z) = Im(z’) équivaut à
⎩⎪
⎨
⎪⎧ |z| = |z’|
Arg(z) = Arg(z’) + 2kπ
• z est réel équivaut à Im(z) = 0 équivaut à Arg(z) = kπ avec k∈IR
• z est imaginaire pur équivaut à Re(z) = 0 équivaut à Arg(z) =
π
2
+ kπ
•
⎯⎯→
U1 d’affixe z1 et
⎯⎯→
U2 d’affixe z2 (
⎯⎯→
U1 ;
⎯⎯→
U2) = Arg(z2) – Arg(z1) = Arg(
z2
z1
)
• Soient les points A,B et C (
⎯⎯→
AB ;
⎯⎯→
AC) = Arg(
zC – zA
zB – zA
)
En effet :
⎯⎯→
U1 =
⎯⎯→
AB et
⎯⎯→
U2 =
⎯⎯→
AC
(
⎯⎯→
U1 ;
⎯⎯→
U2) = (
⎯⎯→
u ;
⎯⎯→
U2) – (
⎯⎯→
u ;
⎯⎯→
U1)

3. TS Complexes B. Kacimi
• Pour montrer que trois points A, B , C sont alignés il suffit de montrer que : (
⎯⎯→
AB ;
⎯⎯→
AC) = kπ,
ce qui revient à montrer que :
zC– zA
zB–zA
est un réel non nul
• Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ils suffit de montrer que : (
⎯⎯→
AB ;
⎯⎯→
AC) =
π
2
+ kπ,
ce qui revient à montrer que :
zC-zA
zB–zA
est un imaginaire pur non nul
Transformations et nombres complexes
Translation : soit t une translation de vecteur
⎯⎯→
U d'affixe a.
Le point M’ d'affixe z’ est l’image par t du point M d'affixe z c’est à dire M’ = t(M) ⇔
⎯→⎯
'MM =
⎯⎯→
U ⇔ z' - z = a
d'où l'expression complexe d'une translation est : z' = z + a ; où a est l'affixe du vecteur de translation.
Homothétie : soit h une homothétie de rapport k et de centre Ω d'affixe ω.
Le point M’ d'affixe z’ est l’image du point M d'affixe z :
⎯→⎯
Ω 'M = k
⎯→⎯
ΩM ⇔ z' - ω = k(z - ω)
d'où l'expression complexe d'une homothétie est : z' - ω = k(z - ω) ;où ω est l'affixe du centre et k le rapport
de cette homothétie.
Rotation : soit r une rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω.
Le point M d'affixe z est transformé en un point M' affixe z' par r
c’est à dire l'angle (
⎯→⎯
ΩM ,
⎯→⎯
Ω 'M ) = θ et ||
⎯⎯→
ΩM|| = ||
⎯⎯→
ΩM’|| ⇔ z' - ω = eiθ
(z - ω)
d'où l'expression complexe d'une rotation est : z' - ω = eiθ
(z - ω) ;
où ω est l'affixe du centre et θ l'angle de cette rotation.
Cas particulier
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z.eiθ
où θ est un nombre réel fixé, est la rotation de centre O et d'angle θ.
A savoir que
• Le cercle de centre A d'affixe zA
et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : ⏐z - zA⏐ = r
• La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : |z – zA| = |z – zB|
Formule de MOIVRE
(rei θ
)n
= rn
ein θ
Conséquences : |zn
| = |z|n
arg(zn
) = n × arg(z)
Formules d’EULER
cos(θ) =
eiθ
+ e-iθ
2
sin(θ) =
eiθ
– e-iθ
2i