Ce document traite de la programmation linéaire, définie comme un problème d'optimisation visant à maximiser ou minimiser une fonction objectif linéaire soumise à des contraintes. Il aborde la formulation mathématique, les hypothèses sous-jacentes, ainsi que des exemples pratiques tels que le problème de transport et la modélisation de la production. Le document décrit également des méthodes algorithmiques, notamment l'algorithme du simplexe et d'autres approches pour la résolution de problèmes linéaires.

1. Chapitre 2
Programmation Linéaire
Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion
Hend Bouziri
Maître Assistant, ESSEC de Tunis
LARODEC ISG
Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de
Contrôle de processus
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2. Définition d’un PL
• Un programme linéaire (PL) est:
– un problème d’optimisation
– consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif
linéaire de n variables de décision
– soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous
forme d’équations ou d’inéquations linéaires.
• À l’origine, le terme programme a le sens de
planification opérationnelle
• mais il est aujourd’hui employé comme synonyme de
problème (d’optimisation).
• La terminologie est due à Dantzig, inventeur de
l’algorithme du simplexe. 2

3. Formulation mathématique
3

4. Terminologie (1)
• Les variables x1, . . . , xn sont appelées variables
de décision du problème.
• La fonction linéaire à optimiser est appelée
fonction objectif (ou fonction économique ou
fonction de coût).
• Les contraintes prennent la forme d’équations et
d’inéquations linéaires.
• Les contraintes de la forme:
sont appelées des contraintes de bornes.
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5. Terminologie (2)
• Une solution est une affectation de valeurs aux
variables du problème.
• Une solution est admissible si elle satisfait toutes
les contraintes du problème (y compris les
contraintes de bornes).
• La valeur d’une solution est la valeur de la
fonction objectif en cette solution.
• Le domaine admissible D d’un PL est l’ensemble
des solutions admissibles du problème.
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6. L’ensemble des
solutions d’une
équation (linéaire)
correspond à:
6

7. Représentation Géométrique
• L’ensemble des solutions d’une inéquation
(linéaire) correspond à un demi-espace
dans IRn (un demi-plan dans IR2).
7

8. 8

9. Représentation graphique des
contraintes d’inégalité
• L’intersection d’un nombre fini de demi-plans est
un ensemble convexe.
• L’ensemble des solutions d’un système
d’équations et d’inéquations (linéaires)
correspond à l’intersection des demi-espaces et
des hyperplans associés à chaque élément du
système.
• Cette intersection, appelée domaine admissible,
est convexe et définit un polyhèdre dans IRn (une
région polygonale dans IR2).
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10. Hypothèses de la programmation
Linéaire
• La linéarité des contraintes et de la fonction
objectif.
– L’additivité des effets.
– La proportionnalité des gains/coûts et des
consommations de ressources.
• La divisibilité des variables.
• Lors de la modélisation d’un problème réel,
l’impact de ces hypothèses sur la validité du
modèle mathématique doit être étudié.
• Cette analyse peut mener à choisir un modèle
différent (non linéaire, stochastique, ...) et est
essentielle pour la phase d’interprétation des
résultats fournis par le modèle.
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11. Intérêts de la PL
• Malgré les hypothèses sous-jacentes assez restrictives,
de nombreux problèmes peuvent être modélisés par des
programmes linéaires.
• Exemples
– la gestion de production,
– l’économie,
– la distributique,
– les télécommunications,…
• Il existe des algorithmes généraux (et des codes les
mettant en oeuvre) permettant de résoudre efficacement
des programmes linéaires (même lorsque le nombre de
variables et de contraintes est important).
• Exemple Cplex
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12. Exemple de programme linéaire
(en fichier .lp) de CPLEX
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13. Le problème de transport
• On désire acheminer des marchandises de n
dépôts à m points de vente
• On connaît :
– cij , i = 1..n et j = 1..m, coût de transport (i, j),
– Xi, i = 1..n, stocks des dépôts,
– Dj , j = 1..m, niveaux de demande aux points de vente.
• On recherche, pour chaque couple (i, j), la
quantité (positive) xij à transporter du dépôt Xi au
point de vente Dj .
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14. Formulation en PL
• Programme linéaire
Critère: coût total de transport
Demande de
chaque dépôt
Offre de chaque
point de vente
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15. Modélisation d’un problème en PL
• Une usine est machine Main d'oeuvre Profit
spécialisée dans la
production de deux P1 2h/unité 3h/unité 25DT/unité
produits P1 et P2.
• Chaque produit P2 2h/unité 1h/unité 15DT/unité
nécessite
– un certain nombre total 240 140
d’heures de machine
– et un certain nombre Stratégie de production
d’heures de main pour maximiser le profit ?
d’œuvre.
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16. Formulation du programme linéaire
• Variables de décision
– x1: nombre d’unités de produits P1
– x2: nombre d’unités de produits P2
• Fonction objectif:
– z=25x1+15x2
• Contraintes:
– 2x1+2x2≤240
– 3x1+x2≤140
• Contraintes de borne (non négativité des
variables)
– x1≥0 et x2≥ 0
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17. Programme linéaire: forme
canonique
Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2 Formulation matricielle
sc
x1
2x1+2x2≤240
3x1+x2≤140
Max f ( x 1 ,x 2 )=( 25 15 )
()
x2
x1≥0 et x2≥ 0 2 2 x 1 ≤ 240
sous ( )( ) ( )
3 1 x 2 140
avec x 1 ≥0 et x 2 ≥0
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18. Résolution graphique d’un PL dans
le plan
• Les lignes de niveau de la fonction objectif sont des
droites parallèles dans IR2.
• Il existe des solutions admissibles de valeur z si la ligne
de niveau associée à cette valeur intersecte le domaine
admissible D du problème.
• Pour déterminer la valeur maximale atteignable par une
solution admissible,
– il suffit de faire glisser le plus loin possible une ligne de niveau
de la fonction objectif, dans le sens du gradient, jusqu’à ce
qu’elle touche encore tout juste D.
– Les points de contact ainsi obtenus correspondent aux solutions
optimales du PL.
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19. Exemple de résolution graphique
• Max z = x1 + 4x2
• s.c.
x1 − x2 ≤ 2
2x1 + x2 ≤ 5
x2 ≤ 3
x1 ≥0, x2 ≥0
• de solution optimale :
x1 = 1, x2 = 3 et z = 13.
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20. Algorithme de simplexe
●
Transformer le modèle sous forme standard :
Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2+0 S1+0 S2
sc
2x1+2x2+S1=240
3x1+x2+S2=140
x1≥0 et x2≥ 0
●
S1 : valeur d'heures machines non utilisées
●
S2 : valeur d'heures mains d'oeuves non utilisées
20

21. Définitions
●
La variable d'écart est la quantité qui ajoutée au
membre gauche d'une contrainte, permet de
transformer la contrainte en égalité.
●
Dans le modèle, on dispose de n+m variables.
●
On appelle variables hors base les variables fixées à
0. Les variables restantes sont dites de base.
●
Une solution de base réalisable est une solution de
base qui en plus vérifie les contraintes de positivité.
●
Graphiquement un sommet du polygne correspond à
une solution de base réalisable
21

22. Algorithme de simplexe
● Idée : se déplacer d'une solution de base réalisable
vers une autre qui lui est adjacente.
● Comment choisir le point de départ ?
● Le point d'origine : (x1=0, x2=0, S1=240, S2= 140) : la
base
● Se déplacer vers une autre extrémité du polygone :
● Choisir la variable avec le coef objectif le plus élevé.
● D'où le sens de déplacement.
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23. Avantage de passer de la forme canonique
à la forme standard
• On obtient immédiatement une solution de
base réalisable qui sert de solution de
départ pour l’algorithme du simplexe.
• Tableau initial :Les variables de base sont
les variables d’écart.
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24. Algorithme de simplexe tabulaire
• Si un problème est solvable par la méthode de simplexe alors
• Transformer le programme en forme standard.
• (*)Représenter le tableau simplexe initial à l’origine.
– Variables de bases
– Quantité
– Matrice des coefficients
 Si (∀j, cj-zj≤0) alors
 Retourner la solution optimale (donnée par le dernier tableau)
 Choisir colonne pivot (variable entrante à la base)
 Choisir ligne pivot (variable sortante de la base)
 Développer un nouveau tableau simplexe (VB, Qté, Matrice des
coefs)
 Revenir à l'étape (*)
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25. Algorithme de simplexe tabulaire
• Itérations sur les tableaux
– NP: nombre pivot
– LP ligne pivot
– L: ligne de la matrice de coefficients (!=ligne
pivot)
– TLP=LP/NP: transformée de la ligne pivot
– aL: coef de la matrice se trouvant à l’intersection
de la ligne transformée (!= ligne pivot) avec la
colonne pivot
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26. Simplexe pour pb de minimisation
avec contraintes ≥
• Min C=24x1+20x2
• Sc
Sc
x1+x2 ≥30
x1+x2-S1+A1=30
x1+2x2≥40
x1≥0 et x2≥0 x1+2x2-S2+A2=40
• Première étape: x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0
– Transformer le problème sous une forme standard
– A l’origine (0,0), x1+x2-S1=30 donne S1=-30
– Non conforme à l’hypothèse de non négativité des variables
d’écart.
– Utiliser une variable artificielle: x1+x2 ≥30  x1+x2-S1+A1=30
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27. – Transformer les inégalités sup en égalité
• Variables d’écart (Si) et des variables artificielles (Ai)
• Les variables d’écart ont un effet nul sur la
fonction objective.
• Les variables artificielles ont un coefficient =M
– M : un nombre entier positif très élevé pour s’assurer
de son élimination de la base.
• Min C=24x1+20x2+0S1+0S2+MA1+MA2
• Sc
x1+x2-S1+A1=30
x1+2x2-S2+A2=40
x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0
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28. Application de la méthode simplexe
• Initialement ( à l’origine) A1 et A2 sont les
variables de base
• Sélectionner la variable entrante par
rapport à zj-cj maximal (⇔ cj-zj minimal)
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29. Maximisation avec contraintes
mixtes
• Max Z=4x1+3X2
Sc x1+x2=10
x1 + 3x2≤20
2x1-x2≥15
x 1 ≥0 x 2 ≥0
• Forme standard
• Max Z=4x1+3X2+0S1+0S2-MA1-MA2
Sc x1+ x2 + A1 =10
x1 +3x2 + S1 = 20
2x1 -x2 -S2 +A2 =15
x1≥0, x2≥0 , S1≥0, S2≥0, A1≥0, A2≥0
• On utilise les cj-zj pour critère d’entrée des variables
•
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30. Cas de quantités négatives
• Simplexe ne s’applique plus
• Se ramener à des quantités positives
• Exemple
• x1+x2≥-8 devient -x1-x2≤8
30

31. Cas d’un problème impossible
• Ensemble des solutions réalisables est vide
• Exemple:
Min x1+x2
Sc x1-x2 ≥1
-x1+x2≥1
x1≥0, x2≥0
• Simplexe:
– Solution optimale avec des variables artificielles non
nulles
• graphiquement
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32. Cas d’une solution infinie
• Pas de solution
• Dans le cas d’un problème de maximisation
– la fonction objectif peut être augmentée indéfiniment
• Exemple
• Max Z=x1+x2
Sc 5x1-x2 ≥10
3x1-x2 ≤9
x1≥ 0, x2 ≥0
• Graphiquement
• Simplexe:
– tous les ratio-tests sont négatifs ou nuls
– la variable entrante n’a pas de limite sur sa valeur d’entrée
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33. Cas de solutions multiples
• Plusieurs solutions mais toutes optimales de même
valeur
– Convexité
• Exemple
– Max z=45x1+15x2 (de pente -3)
Sc 2x1+2x2 ≤240 (de pente -1)
3x1+ X2≤140 (de pente -3)
x1≥0, x2≥0
• Graphiquement
• Simplexe:
– Dans le tableau optimal, l’une des variables hors base admet un
cj-zj nul
– Existence d’autres solutions en entrant cette variable dans la
base.
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34. 34

35. Étude de sensibilité
• L’étude du comportement de la solution
optimale d’un PL si on varie ses données.
• Analyse de sensibilité sur les coefficients de
variables dans la fonction objective (les cj).
• Analyse de sensibilité sur le second membre
des contraintes.
• Analyse de sensibilité sur les coefficients de
la matrice des contraintes.
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36. Analyse de sensiblité sur les cj
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37. Analyse de sensibilité sur les bi
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38. Autres méthodes
• Simplexe : se déplace de point extrême en point
extrême le long de la frontière du polyèdre. Il y a un
nombre fini de points extrêmes
– L’algorithme du simplexe n’est pas un algorithme
polynomial pour la programmation linéaire.
• En 1979, Khachiyan a développé le premier
algorithme polynomial pour la programmation linéaire
: la méthode de l’ellipsoïde.
– Impact théorique important, mais performances pratiques
mauvaises.
• En 1984, Karmarkar propose les méthodes de points
intérieurs : polynomiales et efficaces en pratique sur
des problèmes creux de grande taille.
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