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Chapitre 2
            Programmation Linéaire
Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion


                              Hend Bouziri
                      Maître Assistant, ESSEC de Tunis

                               LARODEC ISG
          Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de
                            Contrôle de processus

                                                           1
Définition d’un PL
• Un programme linéaire (PL) est:
  – un problème d’optimisation
  – consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif
    linéaire de n variables de décision
  – soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous
    forme d’équations ou d’inéquations linéaires.
• À l’origine, le terme programme a le sens de
  planification opérationnelle
• mais il est aujourd’hui employé comme synonyme de
  problème (d’optimisation).
• La terminologie est due à Dantzig, inventeur de
  l’algorithme du simplexe.              2
Formulation mathématique




                   3
Terminologie (1)
• Les variables x1, . . . , xn sont appelées variables
  de décision du problème.
• La fonction linéaire à optimiser est appelée
  fonction objectif (ou fonction économique ou
  fonction de coût).
• Les contraintes prennent la forme d’équations et
  d’inéquations linéaires.
• Les contraintes de la forme:


  sont appelées des contraintes de bornes.
                                         4
Terminologie (2)
• Une solution est une affectation de valeurs aux
  variables du problème.
• Une solution est admissible si elle satisfait toutes
  les contraintes du problème (y compris les
  contraintes de bornes).
• La valeur d’une solution est la valeur de la
  fonction objectif en cette solution.
• Le domaine admissible D d’un PL est l’ensemble
  des solutions admissibles du problème.

                                        5
L’ensemble des
solutions d’une
équation (linéaire)
correspond à:




                      6
Représentation Géométrique
• L’ensemble des solutions d’une inéquation
  (linéaire) correspond à un demi-espace
  dans IRn (un demi-plan dans IR2).




                                7
8
Représentation graphique des
      contraintes d’inégalité
• L’intersection d’un nombre fini de demi-plans est
  un ensemble convexe.
• L’ensemble des solutions d’un système
  d’équations et d’inéquations (linéaires)
  correspond à l’intersection des demi-espaces et
  des hyperplans associés à chaque élément du
  système.
• Cette intersection, appelée domaine admissible,
  est convexe et définit un polyhèdre dans IRn (une
  région polygonale dans IR2).

                                      9
Hypothèses de la programmation
            Linéaire
• La linéarité des contraintes et de la fonction
  objectif.
   – L’additivité des effets.
   – La proportionnalité des gains/coûts et des
     consommations de ressources.
• La divisibilité des variables.
• Lors de la modélisation d’un problème réel,
  l’impact de ces hypothèses sur la validité du
  modèle mathématique doit être étudié.
• Cette analyse peut mener à choisir un modèle
  différent (non linéaire, stochastique, ...) et est
  essentielle pour la phase d’interprétation des
  résultats fournis par le modèle.
                                             10
Intérêts de la PL
• Malgré les hypothèses sous-jacentes assez restrictives,
  de nombreux problèmes peuvent être modélisés par des
  programmes linéaires.
• Exemples
   –   la gestion de production,
   –   l’économie,
   –   la distributique,
   –   les télécommunications,…
• Il existe des algorithmes généraux (et des codes les
  mettant en oeuvre) permettant de résoudre efficacement
  des programmes linéaires (même lorsque le nombre de
  variables et de contraintes est important).
• Exemple Cplex
                                           11
Exemple de programme linéaire
   (en fichier .lp) de CPLEX




                      12
Le problème de transport
• On désire acheminer des marchandises de n
  dépôts à m points de vente
• On connaît :
   – cij , i = 1..n et j = 1..m, coût de transport (i, j),
   – Xi, i = 1..n, stocks des dépôts,
   – Dj , j = 1..m, niveaux de demande aux points de vente.
• On recherche, pour chaque couple (i, j), la
  quantité (positive) xij à transporter du dépôt Xi au
  point de vente Dj .
                                                     13
Formulation en PL
• Programme linéaire

                       Critère: coût total de transport


                                            Demande de
                                            chaque dépôt


                                            Offre de chaque
                                            point de vente




                                       14
Modélisation d’un problème en PL
• Une usine est                    machine    Main d'oeuvre   Profit
  spécialisée dans la
  production de deux       P1      2h/unité   3h/unité        25DT/unité
  produits P1 et P2.
• Chaque produit           P2      2h/unité   1h/unité        15DT/unité
  nécessite
  – un certain nombre      total   240        140
    d’heures de machine
  – et un certain nombre     Stratégie de production
    d’heures de main         pour maximiser le profit ?
    d’œuvre.

                                                 15
Formulation du programme linéaire
• Variables de décision
   – x1: nombre d’unités de produits P1
   – x2: nombre d’unités de produits P2
• Fonction objectif:
   – z=25x1+15x2
• Contraintes:
   – 2x1+2x2≤240
   – 3x1+x2≤140
• Contraintes de borne (non négativité des
  variables)
   – x1≥0 et x2≥ 0
                                          16
Programme linéaire: forme
            canonique
Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2    Formulation matricielle
sc
                                                          x1
   2x1+2x2≤240
   3x1+x2≤140
                           Max f ( x 1 ,x 2 )=( 25 15 )
                                                          ()
                                                          x2
   x1≥0 et x2≥ 0                2 2 x 1 ≤ 240
                           sous ( )( ) ( )
                                3 1 x 2 140
                           avec x 1 ≥0 et x 2 ≥0




                                         17
Résolution graphique d’un PL dans
              le plan
• Les lignes de niveau de la fonction objectif sont des
  droites parallèles dans IR2.
• Il existe des solutions admissibles de valeur z si la ligne
  de niveau associée à cette valeur intersecte le domaine
  admissible D du problème.
• Pour déterminer la valeur maximale atteignable par une
  solution admissible,
   – il suffit de faire glisser le plus loin possible une ligne de niveau
     de la fonction objectif, dans le sens du gradient, jusqu’à ce
     qu’elle touche encore tout juste D.
   – Les points de contact ainsi obtenus correspondent aux solutions
     optimales du PL.


                                                       18
Exemple de résolution graphique
• Max z = x1 + 4x2
• s.c.
   x1 − x2 ≤ 2
   2x1 + x2 ≤ 5
   x2 ≤ 3
   x1 ≥0, x2 ≥0
• de solution optimale :
   x1 = 1, x2 = 3 et z = 13.

                               19
Algorithme de simplexe
●
    Transformer le modèle sous forme standard :
             Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2+0 S1+0 S2
              sc
                2x1+2x2+S1=240
                3x1+x2+S2=140
                x1≥0 et x2≥ 0


●
  S1 : valeur d'heures machines non utilisées
●
  S2 : valeur d'heures mains d'oeuves non utilisées
                                          20
Définitions
●
    La variable d'écart est la quantité qui ajoutée au
    membre gauche d'une contrainte, permet de
    transformer la contrainte en égalité.
●
    Dans le modèle, on dispose de n+m variables.
●
    On appelle variables hors base les variables fixées à
    0. Les variables restantes sont dites de base.
●
    Une solution de base réalisable est une solution de
    base qui en plus vérifie les contraintes de positivité.
●
    Graphiquement un sommet du polygne correspond à
     une solution de base réalisable
                                              21
Algorithme de simplexe
●   Idée : se déplacer d'une solution de base réalisable
    vers une autre qui lui est adjacente.
●   Comment choisir le point de départ ?
       ●   Le point d'origine : (x1=0, x2=0, S1=240, S2= 140) : la
            base
●   Se déplacer vers une autre extrémité du polygone :
       ●   Choisir la variable avec le coef objectif le plus élevé.
       ●   D'où le sens de déplacement.




                                                      22
Avantage de passer de la forme canonique
          à la forme standard
• On obtient immédiatement une solution de
  base réalisable qui sert de solution de
  départ pour l’algorithme du simplexe.
• Tableau initial :Les variables de base sont
  les variables d’écart.




                                  23
Algorithme de simplexe tabulaire
•   Si un problème est solvable par la méthode de simplexe alors
•   Transformer le programme en forme standard.
•   (*)Représenter le tableau simplexe initial à l’origine.
       – Variables de bases
       – Quantité
       – Matrice des coefficients
       Si (∀j, cj-zj≤0) alors
            Retourner la solution optimale (donnée par le dernier tableau)
      Choisir colonne pivot (variable entrante à la base)
      Choisir ligne pivot (variable sortante de la base)
       Développer un nouveau tableau simplexe (VB, Qté, Matrice des
    coefs)
       Revenir à l'étape (*)


                                                         24
Algorithme de simplexe tabulaire


• Itérations sur les tableaux
      –   NP: nombre pivot
      –   LP ligne pivot
      –   L: ligne de la matrice de coefficients (!=ligne
          pivot)
      –   TLP=LP/NP: transformée de la ligne pivot
      –   aL: coef de la matrice se trouvant à l’intersection
          de la ligne transformée (!= ligne pivot) avec la
          colonne pivot

                                              25
Simplexe pour pb de minimisation
         avec contraintes ≥
• Min C=24x1+20x2
• Sc
                          Sc
   x1+x2 ≥30
                                 x1+x2-S1+A1=30
   x1+2x2≥40
   x1≥0 et x2≥0                  x1+2x2-S2+A2=40
• Première étape:                x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0
   – Transformer le problème sous une forme standard
   – A l’origine (0,0), x1+x2-S1=30 donne S1=-30
   – Non conforme à l’hypothèse de non négativité des variables
     d’écart.
   – Utiliser une variable artificielle: x1+x2 ≥30  x1+x2-S1+A1=30



                                                      26
– Transformer les inégalités sup en égalité
      • Variables d’écart (Si) et des variables artificielles (Ai)


• Les variables d’écart ont un effet nul sur la
  fonction objective.
• Les variables artificielles ont un coefficient =M
   – M : un nombre entier positif très élevé pour s’assurer
     de son élimination de la base.
• Min C=24x1+20x2+0S1+0S2+MA1+MA2
• Sc
   x1+x2-S1+A1=30
    x1+2x2-S2+A2=40
   x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0

                                                        27
Application de la méthode simplexe

• Initialement ( à l’origine) A1 et A2 sont les
  variables de base
• Sélectionner la variable entrante par
  rapport à zj-cj maximal (⇔ cj-zj minimal)




                                      28
Maximisation avec contraintes
                mixtes
• Max Z=4x1+3X2
   Sc x1+x2=10
      x1 + 3x2≤20
      2x1-x2≥15
      x 1 ≥0 x 2 ≥0
• Forme standard
• Max Z=4x1+3X2+0S1+0S2-MA1-MA2
     Sc           x1+ x2 +             A1        =10
                  x1 +3x2 + S1                  = 20
                2x1 -x2 -S2             +A2     =15
      x1≥0, x2≥0 , S1≥0, S2≥0, A1≥0, A2≥0
• On utilise les cj-zj pour critère d’entrée des variables
•
                                                         29
Cas de quantités négatives
• Simplexe ne s’applique plus
• Se ramener à des quantités positives
• Exemple
• x1+x2≥-8 devient -x1-x2≤8




                                 30
Cas d’un problème impossible
• Ensemble des solutions réalisables est vide
• Exemple:
  Min x1+x2
   Sc x1-x2 ≥1
      -x1+x2≥1
       x1≥0, x2≥0
• Simplexe:
  – Solution optimale avec des variables artificielles non
    nulles
• graphiquement
                                             31
Cas d’une solution infinie
• Pas de solution
• Dans le cas d’un problème de maximisation
  – la fonction objectif peut être augmentée indéfiniment
• Exemple
• Max Z=x1+x2
   Sc 5x1-x2 ≥10
    3x1-x2 ≤9
    x1≥ 0, x2 ≥0
• Graphiquement
• Simplexe:
  – tous les ratio-tests sont négatifs ou nuls
  – la variable entrante n’a pas de limite sur sa valeur d’entrée
                                                  32
Cas de solutions multiples
• Plusieurs solutions mais toutes optimales de même
  valeur
   – Convexité
• Exemple
   – Max z=45x1+15x2 (de pente -3)
       Sc 2x1+2x2 ≤240 (de pente -1)
     3x1+ X2≤140 (de pente -3)
     x1≥0, x2≥0
• Graphiquement
• Simplexe:
   – Dans le tableau optimal, l’une des variables hors base admet un
     cj-zj nul
   – Existence d’autres solutions en entrant cette variable dans la
     base.

                                                     33
34
Étude de sensibilité
• L’étude du comportement de la solution
  optimale d’un PL si on varie ses données.
• Analyse de sensibilité sur les coefficients de
  variables dans la fonction objective (les cj).
• Analyse de sensibilité sur le second membre
  des contraintes.
• Analyse de sensibilité sur les coefficients de
  la matrice des contraintes.

                                      35
Analyse de sensiblité sur les cj




                        36
Analyse de sensibilité sur les bi




                         37
Autres méthodes
• Simplexe : se déplace de point extrême en point
  extrême le long de la frontière du polyèdre. Il y a un
  nombre fini de points extrêmes
  – L’algorithme du simplexe n’est pas un algorithme
    polynomial pour la programmation linéaire.
• En 1979, Khachiyan a développé le premier
  algorithme polynomial pour la programmation linéaire
  : la méthode de l’ellipsoïde.
  – Impact théorique important, mais performances pratiques
    mauvaises.
• En 1984, Karmarkar propose les méthodes de points
  intérieurs : polynomiales et efficaces en pratique sur
  des problèmes creux de grande taille.
                                              38

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  • 1. Chapitre 2 Programmation Linéaire Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion Hend Bouziri Maître Assistant, ESSEC de Tunis LARODEC ISG Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de Contrôle de processus 1
  • 2. Définition d’un PL • Un programme linéaire (PL) est: – un problème d’optimisation – consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire de n variables de décision – soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires. • À l’origine, le terme programme a le sens de planification opérationnelle • mais il est aujourd’hui employé comme synonyme de problème (d’optimisation). • La terminologie est due à Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe. 2
  • 4. Terminologie (1) • Les variables x1, . . . , xn sont appelées variables de décision du problème. • La fonction linéaire à optimiser est appelée fonction objectif (ou fonction économique ou fonction de coût). • Les contraintes prennent la forme d’équations et d’inéquations linéaires. • Les contraintes de la forme: sont appelées des contraintes de bornes. 4
  • 5. Terminologie (2) • Une solution est une affectation de valeurs aux variables du problème. • Une solution est admissible si elle satisfait toutes les contraintes du problème (y compris les contraintes de bornes). • La valeur d’une solution est la valeur de la fonction objectif en cette solution. • Le domaine admissible D d’un PL est l’ensemble des solutions admissibles du problème. 5
  • 6. L’ensemble des solutions d’une équation (linéaire) correspond à: 6
  • 7. Représentation Géométrique • L’ensemble des solutions d’une inéquation (linéaire) correspond à un demi-espace dans IRn (un demi-plan dans IR2). 7
  • 8. 8
  • 9. Représentation graphique des contraintes d’inégalité • L’intersection d’un nombre fini de demi-plans est un ensemble convexe. • L’ensemble des solutions d’un système d’équations et d’inéquations (linéaires) correspond à l’intersection des demi-espaces et des hyperplans associés à chaque élément du système. • Cette intersection, appelée domaine admissible, est convexe et définit un polyhèdre dans IRn (une région polygonale dans IR2). 9
  • 10. Hypothèses de la programmation Linéaire • La linéarité des contraintes et de la fonction objectif. – L’additivité des effets. – La proportionnalité des gains/coûts et des consommations de ressources. • La divisibilité des variables. • Lors de la modélisation d’un problème réel, l’impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié. • Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique, ...) et est essentielle pour la phase d’interprétation des résultats fournis par le modèle. 10
  • 11. Intérêts de la PL • Malgré les hypothèses sous-jacentes assez restrictives, de nombreux problèmes peuvent être modélisés par des programmes linéaires. • Exemples – la gestion de production, – l’économie, – la distributique, – les télécommunications,… • Il existe des algorithmes généraux (et des codes les mettant en oeuvre) permettant de résoudre efficacement des programmes linéaires (même lorsque le nombre de variables et de contraintes est important). • Exemple Cplex 11
  • 12. Exemple de programme linéaire (en fichier .lp) de CPLEX 12
  • 13. Le problème de transport • On désire acheminer des marchandises de n dépôts à m points de vente • On connaît : – cij , i = 1..n et j = 1..m, coût de transport (i, j), – Xi, i = 1..n, stocks des dépôts, – Dj , j = 1..m, niveaux de demande aux points de vente. • On recherche, pour chaque couple (i, j), la quantité (positive) xij à transporter du dépôt Xi au point de vente Dj . 13
  • 14. Formulation en PL • Programme linéaire Critère: coût total de transport Demande de chaque dépôt Offre de chaque point de vente 14
  • 15. Modélisation d’un problème en PL • Une usine est machine Main d'oeuvre Profit spécialisée dans la production de deux P1 2h/unité 3h/unité 25DT/unité produits P1 et P2. • Chaque produit P2 2h/unité 1h/unité 15DT/unité nécessite – un certain nombre total 240 140 d’heures de machine – et un certain nombre Stratégie de production d’heures de main pour maximiser le profit ? d’œuvre. 15
  • 16. Formulation du programme linéaire • Variables de décision – x1: nombre d’unités de produits P1 – x2: nombre d’unités de produits P2 • Fonction objectif: – z=25x1+15x2 • Contraintes: – 2x1+2x2≤240 – 3x1+x2≤140 • Contraintes de borne (non négativité des variables) – x1≥0 et x2≥ 0 16
  • 17. Programme linéaire: forme canonique Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2 Formulation matricielle sc x1 2x1+2x2≤240 3x1+x2≤140 Max f ( x 1 ,x 2 )=( 25 15 ) () x2 x1≥0 et x2≥ 0 2 2 x 1 ≤ 240 sous ( )( ) ( ) 3 1 x 2 140 avec x 1 ≥0 et x 2 ≥0 17
  • 18. Résolution graphique d’un PL dans le plan • Les lignes de niveau de la fonction objectif sont des droites parallèles dans IR2. • Il existe des solutions admissibles de valeur z si la ligne de niveau associée à cette valeur intersecte le domaine admissible D du problème. • Pour déterminer la valeur maximale atteignable par une solution admissible, – il suffit de faire glisser le plus loin possible une ligne de niveau de la fonction objectif, dans le sens du gradient, jusqu’à ce qu’elle touche encore tout juste D. – Les points de contact ainsi obtenus correspondent aux solutions optimales du PL. 18
  • 19. Exemple de résolution graphique • Max z = x1 + 4x2 • s.c. x1 − x2 ≤ 2 2x1 + x2 ≤ 5 x2 ≤ 3 x1 ≥0, x2 ≥0 • de solution optimale : x1 = 1, x2 = 3 et z = 13. 19
  • 20. Algorithme de simplexe ● Transformer le modèle sous forme standard : Max Z=f(x1,x2)=25x1+15x2+0 S1+0 S2 sc 2x1+2x2+S1=240 3x1+x2+S2=140 x1≥0 et x2≥ 0 ● S1 : valeur d'heures machines non utilisées ● S2 : valeur d'heures mains d'oeuves non utilisées 20
  • 21. Définitions ● La variable d'écart est la quantité qui ajoutée au membre gauche d'une contrainte, permet de transformer la contrainte en égalité. ● Dans le modèle, on dispose de n+m variables. ● On appelle variables hors base les variables fixées à 0. Les variables restantes sont dites de base. ● Une solution de base réalisable est une solution de base qui en plus vérifie les contraintes de positivité. ● Graphiquement un sommet du polygne correspond à une solution de base réalisable 21
  • 22. Algorithme de simplexe ● Idée : se déplacer d'une solution de base réalisable vers une autre qui lui est adjacente. ● Comment choisir le point de départ ? ● Le point d'origine : (x1=0, x2=0, S1=240, S2= 140) : la base ● Se déplacer vers une autre extrémité du polygone : ● Choisir la variable avec le coef objectif le plus élevé. ● D'où le sens de déplacement. 22
  • 23. Avantage de passer de la forme canonique à la forme standard • On obtient immédiatement une solution de base réalisable qui sert de solution de départ pour l’algorithme du simplexe. • Tableau initial :Les variables de base sont les variables d’écart. 23
  • 24. Algorithme de simplexe tabulaire • Si un problème est solvable par la méthode de simplexe alors • Transformer le programme en forme standard. • (*)Représenter le tableau simplexe initial à l’origine. – Variables de bases – Quantité – Matrice des coefficients  Si (∀j, cj-zj≤0) alors  Retourner la solution optimale (donnée par le dernier tableau)  Choisir colonne pivot (variable entrante à la base)  Choisir ligne pivot (variable sortante de la base)  Développer un nouveau tableau simplexe (VB, Qté, Matrice des coefs)  Revenir à l'étape (*) 24
  • 25. Algorithme de simplexe tabulaire • Itérations sur les tableaux – NP: nombre pivot – LP ligne pivot – L: ligne de la matrice de coefficients (!=ligne pivot) – TLP=LP/NP: transformée de la ligne pivot – aL: coef de la matrice se trouvant à l’intersection de la ligne transformée (!= ligne pivot) avec la colonne pivot 25
  • 26. Simplexe pour pb de minimisation avec contraintes ≥ • Min C=24x1+20x2 • Sc Sc x1+x2 ≥30 x1+x2-S1+A1=30 x1+2x2≥40 x1≥0 et x2≥0 x1+2x2-S2+A2=40 • Première étape: x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0 – Transformer le problème sous une forme standard – A l’origine (0,0), x1+x2-S1=30 donne S1=-30 – Non conforme à l’hypothèse de non négativité des variables d’écart. – Utiliser une variable artificielle: x1+x2 ≥30  x1+x2-S1+A1=30 26
  • 27. – Transformer les inégalités sup en égalité • Variables d’écart (Si) et des variables artificielles (Ai) • Les variables d’écart ont un effet nul sur la fonction objective. • Les variables artificielles ont un coefficient =M – M : un nombre entier positif très élevé pour s’assurer de son élimination de la base. • Min C=24x1+20x2+0S1+0S2+MA1+MA2 • Sc x1+x2-S1+A1=30 x1+2x2-S2+A2=40 x1≥0 x2≥0 S1≥0 S2≥0 A1≥0 A2≥0 27
  • 28. Application de la méthode simplexe • Initialement ( à l’origine) A1 et A2 sont les variables de base • Sélectionner la variable entrante par rapport à zj-cj maximal (⇔ cj-zj minimal) 28
  • 29. Maximisation avec contraintes mixtes • Max Z=4x1+3X2 Sc x1+x2=10 x1 + 3x2≤20 2x1-x2≥15 x 1 ≥0 x 2 ≥0 • Forme standard • Max Z=4x1+3X2+0S1+0S2-MA1-MA2 Sc x1+ x2 + A1 =10 x1 +3x2 + S1 = 20 2x1 -x2 -S2 +A2 =15 x1≥0, x2≥0 , S1≥0, S2≥0, A1≥0, A2≥0 • On utilise les cj-zj pour critère d’entrée des variables • 29
  • 30. Cas de quantités négatives • Simplexe ne s’applique plus • Se ramener à des quantités positives • Exemple • x1+x2≥-8 devient -x1-x2≤8 30
  • 31. Cas d’un problème impossible • Ensemble des solutions réalisables est vide • Exemple: Min x1+x2 Sc x1-x2 ≥1 -x1+x2≥1 x1≥0, x2≥0 • Simplexe: – Solution optimale avec des variables artificielles non nulles • graphiquement 31
  • 32. Cas d’une solution infinie • Pas de solution • Dans le cas d’un problème de maximisation – la fonction objectif peut être augmentée indéfiniment • Exemple • Max Z=x1+x2 Sc 5x1-x2 ≥10 3x1-x2 ≤9 x1≥ 0, x2 ≥0 • Graphiquement • Simplexe: – tous les ratio-tests sont négatifs ou nuls – la variable entrante n’a pas de limite sur sa valeur d’entrée 32
  • 33. Cas de solutions multiples • Plusieurs solutions mais toutes optimales de même valeur – Convexité • Exemple – Max z=45x1+15x2 (de pente -3) Sc 2x1+2x2 ≤240 (de pente -1) 3x1+ X2≤140 (de pente -3) x1≥0, x2≥0 • Graphiquement • Simplexe: – Dans le tableau optimal, l’une des variables hors base admet un cj-zj nul – Existence d’autres solutions en entrant cette variable dans la base. 33
  • 34. 34
  • 35. Étude de sensibilité • L’étude du comportement de la solution optimale d’un PL si on varie ses données. • Analyse de sensibilité sur les coefficients de variables dans la fonction objective (les cj). • Analyse de sensibilité sur le second membre des contraintes. • Analyse de sensibilité sur les coefficients de la matrice des contraintes. 35
  • 36. Analyse de sensiblité sur les cj 36
  • 37. Analyse de sensibilité sur les bi 37
  • 38. Autres méthodes • Simplexe : se déplace de point extrême en point extrême le long de la frontière du polyèdre. Il y a un nombre fini de points extrêmes – L’algorithme du simplexe n’est pas un algorithme polynomial pour la programmation linéaire. • En 1979, Khachiyan a développé le premier algorithme polynomial pour la programmation linéaire : la méthode de l’ellipsoïde. – Impact théorique important, mais performances pratiques mauvaises. • En 1984, Karmarkar propose les méthodes de points intérieurs : polynomiales et efficaces en pratique sur des problèmes creux de grande taille. 38