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ANALYSE NUMÉRIQUE
Chapitre II
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE NUMÉRIQUE-CHAPITRE II
Quelques Opérations et Terminologies Utiles sur les Matrices
Déterminant d’un Produit de deux Matrices
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A=
0
B
B
B
B
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a11 a12 a13 : : : a1n
a21 a22 a23 : : : a2n
a31 a32 a33 : : : a3n
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an1 an2 an3 : : : ann
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11 21::: n1
12 22::: n2
13 23::: n3
...
1n 2n::: nn
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C
C
C
A
Une matrice A est inversible si det A 6= 0: Si det A = 0 elle n’admet pas d’inverse. (AB) 1
=B 1
A 1
Matrice Triangulaire Inférieure L (Lower), Triangulaire Supérieure U (Upper), et Diagonale D
Les matrices L, U, et D sont appelées ainsi si elles sont respectivement de la forme:
L=
0
B
B
B
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l11 0 0 : : : 0
l21 l22 0 : : : 0
l31 l32 l33 : : : 0
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ln1 ln2 ln3 : : : lnn
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0
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0 u22 u23 : : : u2n
0 0 u33 : : : u3n
...
0 0 0 : : : unn
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0 0 d33 : : : 0
...
0 0 0 : : : dnn
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C
C
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A
det L = l11l22l33:::lnn =
nY
i=1
lii: det U = u11u22u33:::unn =
nY
i=1
uii: det D = d11d22d33:::dnn =
nY
i=1
dii:
Matrice Symétrique et Matrice Dé…nie Positive (Critère de Silvestre)
La matrice A (désignée par [aij]16i;j6n) est dite symétrique si A=At
(noté aussi aij = aji)
Pour que A soit dé…nie positive il su¢ t que det Ai > 0 (i = 1; :::; n)
Les sous-matrices principales sont Ai =
0
B
@
a11 ::: a1i
...
...
...
ai1 ::: aii
1
C
A
Matrice à Diagonale Dominante Strictement
Une matrice A est dite à diagonale dominante strictement si : jaiij >
nP
j=1;j6=i
jaijj : (i = 1; :::; n)
Calcul des Valeurs Propres i d’une Matrice
Les valeurs propres i d’une matrice A sont les solutions de l’équation det(A I) = 0:
I est la matrice unité: c’est-à-dire une matrice diagonale ne contenant que des 1.
Rayon Spectral (A) d’une Matrice
Si les valeurs propres d’une matrice A sont i, le rayon spectral de A est (A) = maxfj ijg:
N.B: A…n d’alléger ce résumé du chapitre, je n’ai inclus ci-dessous que les deux méthodes principales
dans chacune des deux catégories de méthodes numériques de résolutions des systèmes linéaires.
F . H A M M A D http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev
Systèmes d’Équations Linéaires
Un système d’équations à n inconnues xi est dit linéaire s’il est de la forme :8
>>>>><
>>>>>:
a11x1 + a12x2+:::+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2+:::+a2nxn = b2
a31x1 + a32x2+:::+a3nxn = b3
...
an1x1 + an2x2+:::+annxn = bn
Forme matricielle:
A!x =
!
b :
0
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B
B
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a11 a12 a13 : : : a1n
a21 a22 a23 : : : a2n
a31 a32 a33 : : : a3n
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an1 an2 an3 : : : ann
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b1
b2
b3
...
bn
1
C
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A
Méthodes Directes (Gauss et LU)
Méthode d’Élimination de Gauss
Cette méthode transforme le système A!x =
!
b en U!x =
!
b0
: Celui-ci est résolu par remontée triangulaire.
Méthodes de Décomposition LU
Cette méthode transforme le système A!x =
!
b en LU!x =
!
b .
On résout alors le système L!y =
!
b par descente triangulaire puis U!x = !y par remontée triangulaire.
La factorisation LU existe et est unique si et seulement si les sous-matrices Ai sont inversibles.
Ou bien il su¢ t que la matrice A soit à diagonale dominante strictement.
Si L=
0
B
B
B
B
B
@
1 0 0 : : : 0
l21 1 0 : : : 0
l31 l32 1 : : : 0
...
ln1 ln2 ln3 : : : 1
1
C
C
C
C
C
A
!(Dolittle). Si U=
0
B
B
B
B
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@
1 u12 u13 : : : u1n
0 1 u23 : : : u2n
0 0 1 : : : u3n
...
0 0 : : : 1
1
C
C
C
C
C
A
!(Crout)
Si L=
0
B
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B
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l11 0 0 : : : 0
l21 l22 0 : : : 0
l31 l32 l33 : : : 0
...
ln1 ln2 ln3 : : : lnn
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C
C
C
C
C
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; U=
0
B
B
B
B
B
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l11 l21 l31 : : : ln1
0 l22 l32 : : : ln2
0 0 l33 : : : ln3
...
0 0 : : : lnn
1
C
C
C
C
C
A
=Lt
! (Cholesky ou LLt
lorsque
A symétrique dé…nie positive)
Méthodes Itératives (Jacobi et Gauss-Seidel): À partir de la matrice A extraire les matrices:
D=
0
B
B
B
B
B
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a11 0 0 : : : 0
0 a22 0 : : : 0
0 0 a33 : : : 0
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0 0 : : : ann
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A
E=
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B
B
B
B
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0 0 0 : : : 0
a21 0 0 : : : 0
a31 a32 0 : : : 0
...
an1 an2 an3 : : : 0
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C
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A
F=
0
B
B
B
B
B
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0 a12 a13 : : : a1n
0 0 a23 : : : a2n
0 0 0 : : : a3n
...
0 0 0 : : : 0
1
C
C
C
C
C
A
Méthode de Jacobi
Cette méthode transforme A!x =
!
b en un système itératif: !x k+1
= D 1
(E + F)!x k
+ D 1!
b .
Après véri…cation que detD6=0, cette méthode converge si et seulement si (D 1
(E + F)) < 1:
Si le calcul du rayon spectral de la matrice de Jacobi D 1
(E + F) est long, il su¢ t de véri…er que
A est à diagonale dominante strictement ou bien que A et 2D–A sont symétriques dé…nies positives.
Méthode de Gauss-Seidel
Cette méthode transforme A!x =
!
b en un système itératif: !x k+1
= (D E) 1
F!x k
+ (D E) 1 !
b :
Après véri…cation que det(D E)6=0; cette méthode converge si et seulement si ((D E) 1
F) < 1:
Si le calcul du rayon spectral de la matrice de Gauss-Seidel (D E) 1
F est long, il su¢ t de véri…er
que A est à diagonale dominante strictement ou bien symétrique dé…nie positive.
L’avantage de calculer le rayon spectral est qu’il indique la rapidité de convergence des deux méthodes.
F . H A M M A D http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev

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Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.

  • 1. ANALYSE NUMÉRIQUE Chapitre II SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
  • 2. EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE NUMÉRIQUE-CHAPITRE II Quelques Opérations et Terminologies Utiles sur les Matrices Déterminant d’un Produit de deux Matrices det(AB) = det(A) det(B) (Pour la méthode du calcul du déterminant et des cofacteurs ij voir la rubrique Maths 2 de ce site) Transposée At (ou t A) et Inverse A 1 d’une Matrice A A= 0 B B B B B @ a11 a12 a13 : : : a1n a21 a22 a23 : : : a2n a31 a32 a33 : : : a3n ... an1 an2 an3 : : : ann 1 C C C C C A At = 0 B B B B B @ a11 a21 a31 : : : an1 a12 a22 a32 : : : an2 a13 a23 a33 : : : an3 ... a1n a2n a3n : : : ann 1 C C C C C A A-1 = 1 det A 0 B B B B B @ 11 21::: n1 12 22::: n2 13 23::: n3 ... 1n 2n::: nn 1 C C C C C A Une matrice A est inversible si det A 6= 0: Si det A = 0 elle n’admet pas d’inverse. (AB) 1 =B 1 A 1 Matrice Triangulaire Inférieure L (Lower), Triangulaire Supérieure U (Upper), et Diagonale D Les matrices L, U, et D sont appelées ainsi si elles sont respectivement de la forme: L= 0 B B B B B @ l11 0 0 : : : 0 l21 l22 0 : : : 0 l31 l32 l33 : : : 0 ... ln1 ln2 ln3 : : : lnn 1 C C C C C A U= 0 B B B B B @ u11 u12 u13 : : : u1n 0 u22 u23 : : : u2n 0 0 u33 : : : u3n ... 0 0 0 : : : unn 1 C C C C C A D= 0 B B B B B @ d11 0 0 : : : 0 0 d22 0 : : : 0 0 0 d33 : : : 0 ... 0 0 0 : : : dnn 1 C C C C C A det L = l11l22l33:::lnn = nY i=1 lii: det U = u11u22u33:::unn = nY i=1 uii: det D = d11d22d33:::dnn = nY i=1 dii: Matrice Symétrique et Matrice Dé…nie Positive (Critère de Silvestre) La matrice A (désignée par [aij]16i;j6n) est dite symétrique si A=At (noté aussi aij = aji) Pour que A soit dé…nie positive il su¢ t que det Ai > 0 (i = 1; :::; n) Les sous-matrices principales sont Ai = 0 B @ a11 ::: a1i ... ... ... ai1 ::: aii 1 C A Matrice à Diagonale Dominante Strictement Une matrice A est dite à diagonale dominante strictement si : jaiij > nP j=1;j6=i jaijj : (i = 1; :::; n) Calcul des Valeurs Propres i d’une Matrice Les valeurs propres i d’une matrice A sont les solutions de l’équation det(A I) = 0: I est la matrice unité: c’est-à-dire une matrice diagonale ne contenant que des 1. Rayon Spectral (A) d’une Matrice Si les valeurs propres d’une matrice A sont i, le rayon spectral de A est (A) = maxfj ijg: N.B: A…n d’alléger ce résumé du chapitre, je n’ai inclus ci-dessous que les deux méthodes principales dans chacune des deux catégories de méthodes numériques de résolutions des systèmes linéaires. F . H A M M A D http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev
  • 3. Systèmes d’Équations Linéaires Un système d’équations à n inconnues xi est dit linéaire s’il est de la forme :8 >>>>>< >>>>>: a11x1 + a12x2+:::+a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+:::+a2nxn = b2 a31x1 + a32x2+:::+a3nxn = b3 ... an1x1 + an2x2+:::+annxn = bn Forme matricielle: A!x = ! b : 0 B B B B B @ a11 a12 a13 : : : a1n a21 a22 a23 : : : a2n a31 a32 a33 : : : a3n ... an1 an2 an3 : : : ann 1 C C C C C A 0 B B B B B @ x1 x2 x3 ... xn 1 C C C C C A = 0 B B B B B @ b1 b2 b3 ... bn 1 C C C C C A Méthodes Directes (Gauss et LU) Méthode d’Élimination de Gauss Cette méthode transforme le système A!x = ! b en U!x = ! b0 : Celui-ci est résolu par remontée triangulaire. Méthodes de Décomposition LU Cette méthode transforme le système A!x = ! b en LU!x = ! b . On résout alors le système L!y = ! b par descente triangulaire puis U!x = !y par remontée triangulaire. La factorisation LU existe et est unique si et seulement si les sous-matrices Ai sont inversibles. Ou bien il su¢ t que la matrice A soit à diagonale dominante strictement. Si L= 0 B B B B B @ 1 0 0 : : : 0 l21 1 0 : : : 0 l31 l32 1 : : : 0 ... ln1 ln2 ln3 : : : 1 1 C C C C C A !(Dolittle). Si U= 0 B B B B B @ 1 u12 u13 : : : u1n 0 1 u23 : : : u2n 0 0 1 : : : u3n ... 0 0 : : : 1 1 C C C C C A !(Crout) Si L= 0 B B B B B @ l11 0 0 : : : 0 l21 l22 0 : : : 0 l31 l32 l33 : : : 0 ... ln1 ln2 ln3 : : : lnn 1 C C C C C A ; U= 0 B B B B B @ l11 l21 l31 : : : ln1 0 l22 l32 : : : ln2 0 0 l33 : : : ln3 ... 0 0 : : : lnn 1 C C C C C A =Lt ! (Cholesky ou LLt lorsque A symétrique dé…nie positive) Méthodes Itératives (Jacobi et Gauss-Seidel): À partir de la matrice A extraire les matrices: D= 0 B B B B B @ a11 0 0 : : : 0 0 a22 0 : : : 0 0 0 a33 : : : 0 ... 0 0 : : : ann 1 C C C C C A E= 0 B B B B B @ 0 0 0 : : : 0 a21 0 0 : : : 0 a31 a32 0 : : : 0 ... an1 an2 an3 : : : 0 1 C C C C C A F= 0 B B B B B @ 0 a12 a13 : : : a1n 0 0 a23 : : : a2n 0 0 0 : : : a3n ... 0 0 0 : : : 0 1 C C C C C A Méthode de Jacobi Cette méthode transforme A!x = ! b en un système itératif: !x k+1 = D 1 (E + F)!x k + D 1! b . Après véri…cation que detD6=0, cette méthode converge si et seulement si (D 1 (E + F)) < 1: Si le calcul du rayon spectral de la matrice de Jacobi D 1 (E + F) est long, il su¢ t de véri…er que A est à diagonale dominante strictement ou bien que A et 2D–A sont symétriques dé…nies positives. Méthode de Gauss-Seidel Cette méthode transforme A!x = ! b en un système itératif: !x k+1 = (D E) 1 F!x k + (D E) 1 ! b : Après véri…cation que det(D E)6=0; cette méthode converge si et seulement si ((D E) 1 F) < 1: Si le calcul du rayon spectral de la matrice de Gauss-Seidel (D E) 1 F est long, il su¢ t de véri…er que A est à diagonale dominante strictement ou bien symétrique dé…nie positive. L’avantage de calculer le rayon spectral est qu’il indique la rapidité de convergence des deux méthodes. F . H A M M A D http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev