SlideShare une entreprise Scribd logo
1
Notion d’intégrale d’une fonction
Le plan étant muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ) , on définit les points I, Jet K par OI = i , OJ = j
et OIKJ rectangle.
L'aire du rectangle OIKJ définit alors l'unité d'aire (u.a.).
Aire et intégrale d'une fonction positive
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative dans le repère (O ;
i , j)
L'intégrale de a à b de f est le réel noté ∫
b
a
dx)x(f , égal à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D
délimité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.
Remarque
a et b sont les bornes de l'intégrale et x est une variable muette :
elle n'intervient pas dans le résultat. On peut la remplacer par les lettres t ou
u, ainsi : ∫
b
a
dx)x(f = ∫
b
a
dt)t(f = ∫
b
a
du)u(f
Valeur moyenne
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est
le réel µ = ∫−
b
a
dx)x(f
ab
1
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est donc le réel µ tel que le rectangle de dimensions µ et b - a soit de même
aire que le domaine D délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites d’équations
x = a et x = b
Intégrale et primitive
Intégrale d’une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a ; b]
Théorème :
Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle I = [a ; b] . On note C, sa courbe
représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
On définit sur [a; b] la fonction A : x ∫
x
a
dt)t(f֏ et on fixe x0 dans [a ; b]
la fonction A est dérivable sur I et sa dérivée est f
Primitive d’une fonction continue
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]
*)La fonction Φ définie sur [a ; b] par Φ(x) = ∫
x
a
dt)t(f est :L’unique primitive de f sur [a ; b] qui s’annule en a
Fiche de cours 4ème Maths
IntegralesIntegralesIntegralesIntegrales
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
Remarques
• La fonction Φ, définie dans le théorème, est donc dérivable sur [a ; b] , de dérivée f
Ce résultat montre que toute fonction continue sur [a ; b] admet une, donc des primitives sur [a ; b]
Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle I quelconque admet des primitives
• Soit F une primitive quelconque de f sur [a ; b], alors ∫
b
a
dt)t(f = F(b) - F(a)
*)Soit u une fonction dérivable sur un intervalle J tel que I)J(u ⊂ . Alors la fonction F définie sur J par
∫=
)x(u
a
dt)t(f)x(F est dérivable sur J et ( ))x(uf)x('u)x('F = , pour tout x de J.
*)Soit I un intervalle centré en 0 et soit a un réel de I.
• Si f est impaire alors 0dt)t(f
a
a
=∫−
• Si f est paire alors ∫∫ =
−
a
0
a
a
dt)t(f2dt)t(f
• Si f périodique de période T alors ∫∫ =
+ T
0
Ta
a
dt)t(fdt)t(f
Propriétés de l’intégrale
Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :
∫
c
a
dx)x(f = ∫
b
a
dx)x(f + ∫
c
b
dx)x(f
Linéarité
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel.
Pour tous réels a et b de I, on a :
∫ +
b
a
dx)x)(gf( = ∫
b
a
dx)x(f + ∫
b
a
dx)x(g et ∫
b
a
dx)x)(f.k( = k × ∫
b
a
dx)x(f
Intégrales et inégalités
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de , et a, b deux réels appartenant à I.
Si a ≤ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors ∫
b
a
dx)x(f ≥ 0. Si a ≤ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors ∫
b
a
dx)x(f ≤ 0.
Si a ≥ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors ∫
b
a
dx)x(f ≤ 0. Si a ≥ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors ∫
b
a
dx)x(f ≥ 0.
Conservation de l’ordre
Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b]. Si f ≤ g sur [a ; b], c'est-à-dire si, pour tout réel x de
[a ; b], f(x) ≤ g(x) , alors ∫
b
a
dx)x(f ≤ ∫
b
a
dx)x(g
Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.
Si a ≤ b et s'il existe deux réels m et M tels que m ≤ f (x) ≤ M, pour tout réel x de [a ; b]
alors m(b – a) ≤ ∫
b
a
dx)x(f ≤ M(b – a)
S'il existe un réel M positif tel que | f | ≤ M sur I, alors ∫
b
a
dx)x(f ≤ M | b – a |
Intégration par parties
Soit u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I telles que u' et v' soient continues sur I. Pour tous réels a
et b de I, on a : ∫∫ ×−×=×
b
a
b
a
b
a dx)x('v)x(u)]x(v)x(u[dx)x(v)x('u
3
Aire d'un domaine compris entre deux courbes
Théorème :
Soit f et g deux fonctions continues, a et b deux réels de I tels que a ≤ b.
l'aire en u.a. du domaine limité par les courbes C f et C g sur [a, b] est le réel ∫ −
b
a
dt)t(f)t(g
O I
J
a b
O I
J
a b
O I
J
a b
c d
∫=
b
a
dx)x(fA ∫−=
b
a
dx)x(fA ∫∫∫ +−=
b
d
d
c
c
a
dx)x(fdx)x(fdx)x(fA
Volume d'un solide
L'espace est muni d'un repère orthonormal (0, J, J, K) et l'unité de volume (u.v.) est le volume du cube construit
sur (0, J, J, K).
Théorème
On considère un solide (Ɖ) limité par les plans parallèles d'équations :
z = a et z = b (a )b≤
z = a et z = b (a ≤ b).
Pour tout z (a ≤ z ≤b), on note :
• P z le plan perpendiculaire à (Oz) et de cote z ;
• S z l'aire de la section du solide par le plan P z.
Lorsque S est une fonction continue sur [a, b] , le volume V du solide est calculé (en u.v.) par :
V = ∫
b
a
dz)z(S .
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b]. le volume V du solide de révolution engendré par la
rotation de l’arc { }bxaet)x(fy/)y,x(MAB ≤≤==
∩
autour de l’axe ( )i,O est le réel ∫=
b
a
2
dx)x(fV π

Contenu connexe

Tendances

TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTITD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
soufiane merabti
 
Exercice continuité et limites
Exercice continuité et limitesExercice continuité et limites
Exercice continuité et limitesYessin Abdelhedi
 
TD La fonction logarithme exercices corrigés - SOUFIANE MERABTI
TD La fonction logarithme exercices corrigés -  SOUFIANE MERABTITD La fonction logarithme exercices corrigés -  SOUFIANE MERABTI
TD La fonction logarithme exercices corrigés - SOUFIANE MERABTI
soufiane merabti
 
Activités du chapitre6
Activités du chapitre6Activités du chapitre6
Activités du chapitre6
vauzelle
 
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexesIntérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Jaouad Dabounou
 
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciences
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciencesSerie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciences
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciencesArbi Grami
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
Raed Ammar
 
Analyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationAnalyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolation
Jaouad Dabounou
 
Fonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensembleFonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensemble
Jaouad Dabounou
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexesYessin Abdelhedi
 
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correctionAnalyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Jaouad Dabounou
 
Cours espace
Cours espaceCours espace
Cours espace
Yessin Abdelhedi
 
Projection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensembleProjection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensemble
Jaouad Dabounou
 
Formulaire derivees
Formulaire deriveesFormulaire derivees
Formulaire derivees
HASSANSABRA4
 
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsĂmîʼndǿ TrànCè
 
Ts cours derivation_formulaire 6
Ts cours derivation_formulaire 6Ts cours derivation_formulaire 6
Ts cours derivation_formulaire 6Mohamedlemine Sarr
 

Tendances (20)

TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTITD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
TD - travaux dirigé etude de fonction ( exercice ) Soufiane MERABTI
 
Exercice espace
Exercice espaceExercice espace
Exercice espace
 
Exercice continuité et limites
Exercice continuité et limitesExercice continuité et limites
Exercice continuité et limites
 
TD La fonction logarithme exercices corrigés - SOUFIANE MERABTI
TD La fonction logarithme exercices corrigés -  SOUFIANE MERABTITD La fonction logarithme exercices corrigés -  SOUFIANE MERABTI
TD La fonction logarithme exercices corrigés - SOUFIANE MERABTI
 
Exercice primitives
Exercice primitivesExercice primitives
Exercice primitives
 
Activités du chapitre6
Activités du chapitre6Activités du chapitre6
Activités du chapitre6
 
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexesIntérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
 
Cours integrale riemann
Cours integrale riemannCours integrale riemann
Cours integrale riemann
 
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciences
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciencesSerie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciences
Serie+d'exercices+ +math+-+translation+-+2ème+sciences
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
Analyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationAnalyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolation
 
Fonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensembleFonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensemble
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
 
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correctionAnalyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
 
Cours espace
Cours espaceCours espace
Cours espace
 
Dérivation et primitivation
Dérivation et primitivationDérivation et primitivation
Dérivation et primitivation
 
Projection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensembleProjection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensemble
 
Formulaire derivees
Formulaire deriveesFormulaire derivees
Formulaire derivees
 
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
 
Ts cours derivation_formulaire 6
Ts cours derivation_formulaire 6Ts cours derivation_formulaire 6
Ts cours derivation_formulaire 6
 

En vedette

Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.bilal001
 
Math Analyse numérique
Math Analyse numérique Math Analyse numérique
Math Analyse numérique Rami Jenhani
 
Cours Algèbre - CAPES -
Cours Algèbre - CAPES -Cours Algèbre - CAPES -
Cours Algèbre - CAPES -
FATIHA AKEF
 
Réussir à la fac !
Réussir à la fac !Réussir à la fac !
Réussir à la fac !9rayti.com
 
Classes prépa Agadir
Classes prépa AgadirClasses prépa Agadir
Classes prépa Agadir9rayti.com
 
Analyse numerique
Analyse numeriqueAnalyse numerique
Analyse numerique
coursuniv
 
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceauxAchraf Ourti
 
Sélection de contrôles avec correction
Sélection de contrôles avec correctionSélection de contrôles avec correction
Sélection de contrôles avec correction
Jaouad Dabounou
 
Dérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériquesDérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériques
Jaouad Dabounou
 
Polycopie Analyse Numérique
Polycopie Analyse NumériquePolycopie Analyse Numérique
Polycopie Analyse Numérique
Jaouad Dabounou
 

En vedette (10)

Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
 
Math Analyse numérique
Math Analyse numérique Math Analyse numérique
Math Analyse numérique
 
Cours Algèbre - CAPES -
Cours Algèbre - CAPES -Cours Algèbre - CAPES -
Cours Algèbre - CAPES -
 
Réussir à la fac !
Réussir à la fac !Réussir à la fac !
Réussir à la fac !
 
Classes prépa Agadir
Classes prépa AgadirClasses prépa Agadir
Classes prépa Agadir
 
Analyse numerique
Analyse numeriqueAnalyse numerique
Analyse numerique
 
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux
02 intégrale sur un segment d une fonction continue par morceaux
 
Sélection de contrôles avec correction
Sélection de contrôles avec correctionSélection de contrôles avec correction
Sélection de contrôles avec correction
 
Dérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériquesDérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériques
 
Polycopie Analyse Numérique
Polycopie Analyse NumériquePolycopie Analyse Numérique
Polycopie Analyse Numérique
 

Similaire à Cours intégrales

02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup
SALLAH BOUGOUFFA
 
05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle
wanderful hyppolite
 
Endomorphismes des espaces euclidiens automorphismes orthogonaux
Endomorphismes des espaces euclidiens   automorphismes orthogonauxEndomorphismes des espaces euclidiens   automorphismes orthogonaux
Endomorphismes des espaces euclidiens automorphismes orthogonaux
Ahmed Ali
 
Cours Coniques
Cours   ConiquesCours   Coniques
Cours Coniques
Danober
 
Math BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_CorrectionMath BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_Correction
Achraf Frouja
 
Fonction
FonctionFonction
Derives et primitives
Derives et primitivesDerives et primitives
Derives et primitivesCindy Lopez
 
Espaces vecs
Espaces vecs Espaces vecs
Espaces vecs
Ayoub Farid
 
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
FATIHA AKEF
 
Devoir en algorithmique
Devoir en algorithmiqueDevoir en algorithmique
Devoir en algorithmique
ABDESSELAM ARROU
 
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdfChapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
etude-generale
 
Fonct ration
Fonct rationFonct ration
Fonct ration
MahdiGhazal1
 
Cour+coniques+
Cour+coniques+Cour+coniques+
Cour+coniques+
Yessin Abdelhedi
 
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
SeiliOk
 
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
VrazylandGuekou1
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
Yessin Abdelhedi
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdf
sassbo_123
 

Similaire à Cours intégrales (20)

02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup
 
05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle
 
Endomorphismes des espaces euclidiens automorphismes orthogonaux
Endomorphismes des espaces euclidiens   automorphismes orthogonauxEndomorphismes des espaces euclidiens   automorphismes orthogonaux
Endomorphismes des espaces euclidiens automorphismes orthogonaux
 
Cours Coniques
Cours   ConiquesCours   Coniques
Cours Coniques
 
cours2.pdf
cours2.pdfcours2.pdf
cours2.pdf
 
Math BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_CorrectionMath BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_Correction
 
Fonction
FonctionFonction
Fonction
 
Derives et primitives
Derives et primitivesDerives et primitives
Derives et primitives
 
Espaces vecs
Espaces vecs Espaces vecs
Espaces vecs
 
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
Algèbre & Trigonométrie ( DUT )
 
Devoir en algorithmique
Devoir en algorithmiqueDevoir en algorithmique
Devoir en algorithmique
 
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdfChapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
 
Fonct ration
Fonct rationFonct ration
Fonct ration
 
Espacesvec
EspacesvecEspacesvec
Espacesvec
 
Cour+coniques+
Cour+coniques+Cour+coniques+
Cour+coniques+
 
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
 
Exercice exponontielle
Exercice exponontielleExercice exponontielle
Exercice exponontielle
 
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdf
 

Plus de Yessin Abdelhedi

Exercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planExercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planYessin Abdelhedi
 
Exercice coniques
Exercice coniquesExercice coniques
Exercice coniques
Yessin Abdelhedi
 
Exercice arithmétiques
Exercice arithmétiquesExercice arithmétiques
Exercice arithmétiques
Yessin Abdelhedi
 
Espace
EspaceEspace
Divisibilité+
Divisibilité+Divisibilité+
Divisibilité+
Yessin Abdelhedi
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Yessin Abdelhedi
 
Cours suites réelles
Cours suites réellesCours suites réelles
Cours suites réelles
Yessin Abdelhedi
 
Cours similitudes
Cours similitudesCours similitudes
Cours similitudes
Yessin Abdelhedi
 
Cours probabilités
Cours probabilitésCours probabilités
Cours probabilités
Yessin Abdelhedi
 
Cours primitives
Cours primitivesCours primitives
Cours primitives
Yessin Abdelhedi
 
Cours nombres complexes
Cours nombres complexesCours nombres complexes
Cours nombres complexes
Yessin Abdelhedi
 

Plus de Yessin Abdelhedi (20)

Statistiques
StatistiquesStatistiques
Statistiques
 
Similitudes
SimilitudesSimilitudes
Similitudes
 
Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013
 
Exercice suites réelles
Exercice suites réellesExercice suites réelles
Exercice suites réelles
 
Exercice similitudes
Exercice similitudesExercice similitudes
Exercice similitudes
 
Exercice probabilités
Exercice probabilitésExercice probabilités
Exercice probabilités
 
Exercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planExercice isometrie du plan
Exercice isometrie du plan
 
Exercice logarithme
Exercice logarithmeExercice logarithme
Exercice logarithme
 
Exercice intégrales
Exercice intégralesExercice intégrales
Exercice intégrales
 
Exercice dérivabilité
Exercice dérivabilitéExercice dérivabilité
Exercice dérivabilité
 
Exercice coniques
Exercice coniquesExercice coniques
Exercice coniques
 
Exercice arithmétiques
Exercice arithmétiquesExercice arithmétiques
Exercice arithmétiques
 
Espace
EspaceEspace
Espace
 
Divisibilité+
Divisibilité+Divisibilité+
Divisibilité+
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
 
Cours suites réelles
Cours suites réellesCours suites réelles
Cours suites réelles
 
Cours similitudes
Cours similitudesCours similitudes
Cours similitudes
 
Cours probabilités
Cours probabilitésCours probabilités
Cours probabilités
 
Cours primitives
Cours primitivesCours primitives
Cours primitives
 
Cours nombres complexes
Cours nombres complexesCours nombres complexes
Cours nombres complexes
 

Dernier

Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
Bibliothèque de L'Union
 
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdfVeille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
frizzole
 
Iris van Herpen. pptx
Iris         van        Herpen.      pptxIris         van        Herpen.      pptx
Iris van Herpen. pptx
Txaruka
 
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
M2i Formation
 
Textes de famille concernant les guerres V2.pdf
Textes de famille concernant les guerres V2.pdfTextes de famille concernant les guerres V2.pdf
Textes de famille concernant les guerres V2.pdf
Michel Bruley
 
Iris van Herpen. pptx
Iris         van         Herpen.      pptxIris         van         Herpen.      pptx
Iris van Herpen. pptx
Txaruka
 
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
BenotGeorges3
 

Dernier (7)

Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
Bibliothèque de L'Union - Bilan de l'année 2023
 
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdfVeille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
Veille Audocdi 90 - mois de juin 2024.pdf
 
Iris van Herpen. pptx
Iris         van        Herpen.      pptxIris         van        Herpen.      pptx
Iris van Herpen. pptx
 
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
Formation M2i - Onboarding réussi - les clés pour intégrer efficacement vos n...
 
Textes de famille concernant les guerres V2.pdf
Textes de famille concernant les guerres V2.pdfTextes de famille concernant les guerres V2.pdf
Textes de famille concernant les guerres V2.pdf
 
Iris van Herpen. pptx
Iris         van         Herpen.      pptxIris         van         Herpen.      pptx
Iris van Herpen. pptx
 
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 12-06-24
 

Cours intégrales

  • 1. 1 Notion d’intégrale d’une fonction Le plan étant muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ) , on définit les points I, Jet K par OI = i , OJ = j et OIKJ rectangle. L'aire du rectangle OIKJ définit alors l'unité d'aire (u.a.). Aire et intégrale d'une fonction positive Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative dans le repère (O ; i , j) L'intégrale de a à b de f est le réel noté ∫ b a dx)x(f , égal à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D délimité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. Remarque a et b sont les bornes de l'intégrale et x est une variable muette : elle n'intervient pas dans le résultat. On peut la remplacer par les lettres t ou u, ainsi : ∫ b a dx)x(f = ∫ b a dt)t(f = ∫ b a du)u(f Valeur moyenne Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel µ = ∫− b a dx)x(f ab 1 La valeur moyenne de f sur [a ; b] est donc le réel µ tel que le rectangle de dimensions µ et b - a soit de même aire que le domaine D délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b Intégrale et primitive Intégrale d’une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a ; b] Théorème : Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle I = [a ; b] . On note C, sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. On définit sur [a; b] la fonction A : x ∫ x a dt)t(f֏ et on fixe x0 dans [a ; b] la fonction A est dérivable sur I et sa dérivée est f Primitive d’une fonction continue Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] *)La fonction Φ définie sur [a ; b] par Φ(x) = ∫ x a dt)t(f est :L’unique primitive de f sur [a ; b] qui s’annule en a Fiche de cours 4ème Maths IntegralesIntegralesIntegralesIntegrales Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 Remarques • La fonction Φ, définie dans le théorème, est donc dérivable sur [a ; b] , de dérivée f Ce résultat montre que toute fonction continue sur [a ; b] admet une, donc des primitives sur [a ; b] Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle I quelconque admet des primitives • Soit F une primitive quelconque de f sur [a ; b], alors ∫ b a dt)t(f = F(b) - F(a) *)Soit u une fonction dérivable sur un intervalle J tel que I)J(u ⊂ . Alors la fonction F définie sur J par ∫= )x(u a dt)t(f)x(F est dérivable sur J et ( ))x(uf)x('u)x('F = , pour tout x de J. *)Soit I un intervalle centré en 0 et soit a un réel de I. • Si f est impaire alors 0dt)t(f a a =∫− • Si f est paire alors ∫∫ = − a 0 a a dt)t(f2dt)t(f • Si f périodique de période T alors ∫∫ = + T 0 Ta a dt)t(fdt)t(f Propriétés de l’intégrale Relation de Chasles Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a : ∫ c a dx)x(f = ∫ b a dx)x(f + ∫ c b dx)x(f Linéarité Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel. Pour tous réels a et b de I, on a : ∫ + b a dx)x)(gf( = ∫ b a dx)x(f + ∫ b a dx)x(g et ∫ b a dx)x)(f.k( = k × ∫ b a dx)x(f Intégrales et inégalités Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de , et a, b deux réels appartenant à I. Si a ≤ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors ∫ b a dx)x(f ≥ 0. Si a ≤ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors ∫ b a dx)x(f ≤ 0. Si a ≥ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors ∫ b a dx)x(f ≤ 0. Si a ≥ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors ∫ b a dx)x(f ≥ 0. Conservation de l’ordre Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b]. Si f ≤ g sur [a ; b], c'est-à-dire si, pour tout réel x de [a ; b], f(x) ≤ g(x) , alors ∫ b a dx)x(f ≤ ∫ b a dx)x(g Inégalités de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I. Si a ≤ b et s'il existe deux réels m et M tels que m ≤ f (x) ≤ M, pour tout réel x de [a ; b] alors m(b – a) ≤ ∫ b a dx)x(f ≤ M(b – a) S'il existe un réel M positif tel que | f | ≤ M sur I, alors ∫ b a dx)x(f ≤ M | b – a | Intégration par parties Soit u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I telles que u' et v' soient continues sur I. Pour tous réels a et b de I, on a : ∫∫ ×−×=× b a b a b a dx)x('v)x(u)]x(v)x(u[dx)x(v)x('u
  • 3. 3 Aire d'un domaine compris entre deux courbes Théorème : Soit f et g deux fonctions continues, a et b deux réels de I tels que a ≤ b. l'aire en u.a. du domaine limité par les courbes C f et C g sur [a, b] est le réel ∫ − b a dt)t(f)t(g O I J a b O I J a b O I J a b c d ∫= b a dx)x(fA ∫−= b a dx)x(fA ∫∫∫ +−= b d d c c a dx)x(fdx)x(fdx)x(fA Volume d'un solide L'espace est muni d'un repère orthonormal (0, J, J, K) et l'unité de volume (u.v.) est le volume du cube construit sur (0, J, J, K). Théorème On considère un solide (Ɖ) limité par les plans parallèles d'équations : z = a et z = b (a )b≤ z = a et z = b (a ≤ b). Pour tout z (a ≤ z ≤b), on note : • P z le plan perpendiculaire à (Oz) et de cote z ; • S z l'aire de la section du solide par le plan P z. Lorsque S est une fonction continue sur [a, b] , le volume V du solide est calculé (en u.v.) par : V = ∫ b a dz)z(S . Soit f une fonction continue et positive sur [a,b]. le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc { }bxaet)x(fy/)y,x(MAB ≤≤== ∩ autour de l’axe ( )i,O est le réel ∫= b a 2 dx)x(fV π