1. Int´grale de Riemann
e
Soit f une fonction continue et positive sur [a; b]. La situation est pr´sent´e ci-dessous dans le cas
e e
d’une fonction f croissante, et peut se g´n´raliser ` une classe bien plus importante de fonctions.
e e a
b−a
On d´coupe l’intervalle [a; b] en n intervalles de longueurs ∆x =
e :
n
[x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; [x2 ; x3 ] ; . . . ; [xn−1 ; xn ]
avec x0 = a, x1 = a + ∆x , x2 = x1 + ∆x = x0 + 2∆x , . . .
La suite (xk ) des abscisses est une suite arithm´tique de raison ∆x. En particulier, pour tout entier k,
e
`me
e
la k abscisse est xk = a + k∆x.
Cf
Cf f (xn )
f (xn−1 ) f (xn−1 )
f (x2 ) f (x3 )
f (x2 )
f (x1 ) f (x1 )
f (x0 )
j j
O i x0= a x1 x2 x3 xn−1 xn= b O i x0= a x1 x2 x3 xn−1 xn= b
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
Dans les deux cas, l’aire gris´e est la somme des aires de chaque rectangle qui la compose :
e
sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + . . . + f (xn−1 )∆x Sn = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x
n−1 n
= f (xk )∆x = f (xk )∆x
k=0 k=1
b
L’aire hachur´e est comprise entre ces deux aires gris´es : sn ≤
e e f (x)dx ≤ Sn
a
Ces deux suites (sn ) et (Sn ) sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune qui est
l’aire recherch´e : l’int´grale de f de a ` b :
e e a
b
lim sn = lim Sn = f (x) dx
n→+∞ n→+∞ a
b
Remarque : La notation f (x) dx (introduite par Leibniz au XVIIe si`cle) s’explique ` partir des
e a
a
calculs d’aire pr´c´dents, ` la limite o` ∆x → 0, et donc n → +∞, not´e finalement dx (largeur de
e e a u e
chaque rectangle infinit´simal), et le symbole
e se transformant en :
b n
f (x) dx = lim f (xk )∆x
a ∆x →0
k=1
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e 1/2

2. En d’autres termes, on passe d’une somme discr`te ` une somme continue :
e a f (k)∆x → f (x) dx
Exercice 1 On consid`re la fonction exponentielle f (x) = ex sur [0; 1].
e
Cf
La somme des aires de chaque rectangle est :
f (xn−1 ) Sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + · · · + f (xn−1 )∆x
n−1
= f (xk )∆x
k=0
avec, sur l’intervalle [0; 1] d´coup´ en n :
e e
1−0 1 k
f (x3 ) ∆x = = et xk = 0 + k∆x = .
n n n
f (x2 )
f (x1 ) La somme s’´crit donc :
e
f (x0 ) n−1 n−1
k 1 1 k
Sn = f = en
n n n
x0= 0 x1 x2 x3 xn−1 xn= 1 k=0 k=0
∆x ∆x ∆x ∆x ... ∆x
n
1. Soit un nombre r´el q = 1. Donner la somme :
e qk = 1 + q + q2 + q3 + · · · + qn.
k=0
En d´duire une expression de la somme Sn .
e
2. Rappeler le d´veloppement limit´ ` l’ordre 1 de eu , lorsque u tend vers 0.
e ea
En d´duire la limite lim Sn .
e
n→+∞
1
3. Calculer f (x) dx. Conclure.
0
Exercice 2 A l’aide des sommes de Riemann de la fonction propos´e, calculer la limite des suites
e
suivantes :
n
1 kπ
1. an = sin avec la fonction f (x) = sin(x).
n k=1 n
n
1 1
2. bn = o` (α > 0), et avec la fonction f (x) =
u
k=0
nα + k α+x
n
n 1
3. cn = avec la fonction f (x) =
n2 + k2 1 + x2
k=0
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