1. Chapitre 3 : Théorème de Gauss
I Les coordonnées sphériques
On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ :
)
r = OM

θ = (k , OM ) : colatitude.

ϕ=(i , ON ) : longitude.
(N est la projection de M sur xOy )
   
Base locale : (er , eθ , eϕ) ( eϕ est le même vecteur que dans la base cylindrique)
 OM
er =
OM

eθ tangent au méridien (vers le sud)

eϕ dirigé suivant un parallèle, vers l’est.
Remarque : 
  
Les vecteurs k , er , eρ, eθ sont coplanaires :
  
er = cos θ.k +sin θ.eρ
  
eθ = cos θ.eρ −sin θ.k

On a OM = rer
Pour un déplacement élémentaire :
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
Electrostatique Page 1 sur 9

2.  
d OM = dr.er + r.de r
   
de r = k ( −sin θ.dθ) + e ρ (cos θ.dθ) + sin θ.de ρ
  
= ( −k . sin θ + e ρ cos θ) dθ + sin θ.dϕ.eϕ
 
= dθ.eθ + sin θ.dϕ.eϕ
  
Donc d OM = dr.er +r.dθ.eθ +r. sin θ.dϕeϕ .
Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques :
∂F
∂r
grad M F = 1 ∂F
r ∂θ
1 ∂F
r sin θ ∂ϕ
- Périmètre d’un méridien (½ cercle) : π × R
Longueur de la portion de chacun des méridiens : Rdθ (longueur de la corde)
- Périmètre d’un parallèle : 2π × R sin θ
Longueur du parallèle interceptée par le méridien : R sin θ.dϕ
(pour le parallèle du bas : R sin(θ + dθ ).dϕ = R sin θ.dϕ )
Donc dS = R sin θ.dϕ Rdθ
.
= R 2 sin θ.dϕ dθ
.
Volume élémentaire en coordonnées sphériques :
dV = dr × dS = R 2 sin θ.dr.dθ.dϕ
Exemple :
Aire de la sphère de centre O et de rayon R :
π 2π π
S = ∫∫dS = ∫ ∫ R 2 sin θ.dθ.dϕ = ∫ 2π 2 sin θ.dθ = 4π 2
R R
S θ=0 ϕ=0 θ=0
II Flux d’un champ de vecteurs
A) Définition
1) Flux élémentaire
Surface infinitésimale d’aire dS :
On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie dS . 

On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire,
perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ».
Vecteur élément de surface :

 
dS ou dS ( M ) = dS .n
 
Flux élémentaire du champ E à travers dS :
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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3.    
dφ = E ( M ) ⋅ dS = E ⋅ n.dS
2) Flux à travers une surface
Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :

Découpage de Sen surfaces infinitésimales dS .n .

dφ = E ( M ) ⋅ dS ( M )
    
φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M ) n( M )
S S
Pour une surface fermée :
Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur
normale est choisit sortant.
  
φS ( E ) = ∫∫ E ( M ) ⋅ dS ( M )
S
B) Théorème de Gauss
On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient
une charge QV ou Qint :
 QV
Alors φS ( E ) = (S est appelée une surface de Gauss)
ε0
Dans  situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus
les
simple de E .
III Plan infini uniformément chargé
A) Présentation
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Electrostatique Page 3 sur 9

4. On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme σ0
.  
P = (O, i , j )
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y , z dans
  
le repère (O, i , j , k ) .

B) Calcul de E (M )
1) Symétries
Soit M ( x, y , z ) un point de l’espace.
   
Les plans ( M , i , k ) et ( M , j , k ) sont des plans de symétrie.
 
Donc E est colinéaire à k .
 
Donc E ( M ) = E z ( x, y, z )k
 ∂E z
Invariance par translation de direction i . Donc =0
∂x
∂E z
De même, =0
∂y
 
Donc E ( M ) = E z ( z ) k , et E z (z ) est impair.
2) Surface de Gauss
S sup : surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante
z >0

S lat : surface latérale du cylindre parallèle à k
S inf : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte −z.
S tot = S inf + S lat + S sup est une surface fermée.

φS ( E ) = ∫∫ dφ = ∫∫ dφ + ∫∫ dφ + ∫∫ dφ
S S inf S lat S sup
En un point P de S inf :
 
n( P ) = −k
   
dφ = E ( P ) ⋅ dS .(−k ) = E z ( z P )k ⋅ dS (−k )
Or, E z ( z P ) = E z (−z ) = −E z ( z )
Donc dφ = −E z ( z ) dS

Donc φSinf ( E ) = E z ( z ) ∫∫dS = E z ( z ) S
S inf

De même, φSsup ( E ) = E z ( z ) S
Pour S lat :
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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5.    
dφ = E ( P ) ⋅ dS .n = E z ( z P )k ⋅ dS .n = 0

Donc φSlat ( E ) = 0

Donc φS ( E ) = 2 E z ( z ) S
Qint = QV ∩P = σ 0 S
Donc, d’après le théorème de Gauss :
σ S
2E z ( z)S = 0
ε0
σ0
Donc E z ( z ) = .
2ε 0
σ0 
  2ε k si z > 0

Ainsi, E ( M ) =  0 
−σ
 0 k si z < 0
 2ε 0

σ0
On a une discontinuité du champ en 0, ∆E =
ε0
C) Condensateur plan
Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e.
Plaque supérieure : densité surfacique σ > 0 , charge q =σ.S
Plaque inférieure : densité surfacique − σ < 0 , charge − q
Modélisation :
On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.
 
Ainsi, à l’extérieur des deux plaques, E (M ) = 0 , et entre les deux
 −σ 
E (M ) = k.
ε0
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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6. 
Le champ E à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la
charge négative.

E ( M ) = −grad M V
− ∂∂V
x
−σ 
Donc k = − ∂y
∂V
ε0
− ∂∂V
z
σ.z
Donc V ne dépend que de z et V ( z ) = + cte à l’intérieur.
ε
Et de plus V = cte à l’extérieur (la même, par continuité)
On a : U = q / C
σ.e σ.S .e q
Et U = Vq −V−q = V ( 2 ) −V ( 2 ) = = =
e −e
ε0 ε0 S (ε 0 S / e)
Donc C = ε 0 S / e
IV Analogie électrostatique – gravitation
Electrique Gravitationnelle
Force
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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7. q↔m
 q1 q 2   − Gm1 m2 
F1→2 = u
2 12
1
↔ −G
F1→2 = u12
4πε 0 M 1 M 2 4πε 0
2
M 1M 2
    − Gm1   
F12 = q 2 E1 ( M 2 ) F12 = m2  M M2 u12  = m2 G1 ( M 2 )

 1 2 
  − Gm 
q  G m en O ( M ) = u r (on peut ainsi définir
E q en O ( M ) = ur OM 2
4πε 0 OM 2
les distributions de masse…)
Potentiel
grad ϕ. ϕ : potentiel

 G =−
E =−grad V
gravitationnel.
q − Gm
V (M ) = (charge ponctuelle q en O) ϕ( M ) = (masse ponctuelle m en O)
4πε0 r r
Energie potentielle
E p = qV (M ) E p = mϕ(M )
Théorème de Gauss
 Q 
φS ( E ) = v φS (G ) = M v × (−4πG )
ε0
Application : 
Champ gravitationnel G (M ) créé par la Terre, considérée comme une boule de centre
O et de rayon RT = 6400km . On suppose la masse volumique µ uniforme.
0
4
Masse : M T = µ0 πRT = 6,0.10 24 kg
3
3
1) Symétries
Symétrie sphérique :
ϕ ne dépend que de r (dans les coordonnées sphériques)
 − dϕ  
G ( M ) = −grad ϕ = e r = G r ( r )e r
dr
2) Théorème de Gauss
On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r.
Elément infinitésimal de surface dS autour de M ∈S (O, r ) :
  
dS = dS ( M ) n( M ) = dS .e r ( M )
   
dφ = G ( M ) ⋅ dS = G r ( r ).er ⋅ dS .er = G r ( r ) dS
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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8. Donc φ =∫∫ ( O ,r ) G r ( r )dS =G r ( r ) ∫∫dSr ) =G r (r ) 4π.r
2
S S (O ,
Masse intérieure à S (O, r ) :
Si r > RT :
4
M int = πRT µ0 = M T
3
3
Si r < RT :
4 r3
M int = π .r 3 µ 0 = M T 3
3 RT
Théorème de Gauss :

φS (G ) = −4πGM int
r3
1er cas : r ≤ RT ; 4π .r G r (r ) = −4πGM T
2
3
RT
GM T r  GM T
D’où G r ( r ) = − 3 , soit G (r ) = − 3
OM .
RT RT
2ème cas : r ≥ RT ; 4π .r 2 Gr (r ) = −4πGM T
GM  GM 
Donc G r ( r ) = − 2 T , soit G (r ) = − 2 T er
r r
Ainsi, la Terre crée à l’extérieur un champ gravitationnel identique à celui
d’une masse ponctuelle M T en O.
( ∝ signifie « proportionnel à »)
3) Potentiel gravitationnel
 dϕ
G = −grad ϕ ⇔ G r = −
dr
 GM T r 2
ϕ (r ) =

+ k1 si 0 ≤ r ≤ RT
Donc 
2 RT3
ϕ (r ) = − GM T + k si r ≥ R

 r
2 T
Donc, par continuité :
Chapitre 3 : Théorème de Gauss
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9. 2
GM T RT − GM T
3
+ k1 = + k2
2 RT RT
− 3 GM T
On choisit de plus rlim ϕ = 0 , donc k 2 = 0 . Ainsi, k1 =
→+∞
.
2 RT
 − 3 GM T 1 GM T r 2
ϕ (r ) =

+ si 0 ≤ r ≤ RT
Donc 
2 RT 2 RT3
ϕ (r ) = − GM T si r ≥ R

 r
T
4) Analogie électrique
Boule de rayon R et de densité volumique de charge ρ0 uniforme.
4
Q= πR 3 ρ0 .
3
 Q.r  ρ 0 OM
 E (M ) = er = si 0 ≤ r ≤ R
 4πε 0 R 3 3ε 0

 E ( M ) = Q e si r ≥ R


 4πε 0 r 2 r
 −3 Q 1 Q.r 2
 V (r ) = + si 0 ≤ r ≤ R
 2 4πε 0 R 2 4πε 0 R 3
Et 
V (r ) = Q si r ≥ R

 4πε 0 r
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