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                                TP    MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES                                    www.tifawt.com


                                                         Exercices
Exercice n°1 :
                                                      u1 = 1/ 3
                                                     ∗                                        ∗       un
  On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par         n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn =
                                                      un +1 = 3n un                                   n
                                                      
1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique.
2) Exprimer vn en fonction de n .
3) En déduire l’expression de un en fonction de n .
                       n
4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente.
                      k =1
Exercice 2 :
                                                             an
On considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un =      où a une constante réelle quelconque.
                                                             nα
           Etudier la convergence de la suite (un ) .
Exercice 3 :
                                                                                    4
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
                                                                                  n −1
                                                                                   2

1) Montrer que cette série est convergente.
                                                 4    a    b
2) Déterminer les réels a et b tels que :       =       +
                                               n −1 n −1 n +1
                                                 2

                       n
                                   4n + 2
3) En déduire que : ∑ uk = 3 −
                      k =2        n(n + 1)
4) En déduire la somme S de la série ( un ).

Exercice 4 :
                                                                                     2
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
                                                                                   n −12

1) Montrer que cette série est convergente.
                                                 2    a    b
2) Déterminer les réels a et b tels que :       =       +
                                               n −1 n −1 n +1
                                                 2

                       n
                               3 2n + 1
3) En déduire que : ∑ uk=       −         . En déduire la somme S de la série ( un ).
                      k =2     2 n(n + 1)
Exercice 5 :
                                             1
Soit la suite ( un ) définie par : un =
                                          n(n + 1)
                                                      a    b
1. Déterminer les réels a et b tels que : un=           +
                                                      n n +1
2. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ .

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Exercice 6 :
                                                  k=2n

                                                  ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
                                                             1     1      1       1
Soit (un) la suite définie sur N * par un =
                                                   k= n
                                                                       −3n − 2
1. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un =                      .
                                               n( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Établir alors que (un) est une suite convergente.

Exercice 7 :
                                          +∞
1. Etudier la convergence de la série     ∑2
                                          n =0
                                                  n
                                                         =1 + 2 + 22 + ......... + 2n       ;
                                           n
                                                  1
2. Etudier la convergence de la série     ∑2
                                          p= 0
                                                     p




                                                                                        3
3. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un =
                                                                                      n +1
                                                                                        2

                                          +∞
                                                             1                                                         1
4. Etudier la convergence de la série     ∑                             de terme général un =                                  .
                                                 ( 2n + 1) )                                                 ( 2n + 1) )
                                                                   2                                                       2
                                          n =0

                                          +∞
                                              (−1) n                                            (−1) n
5. Etudier la convergence de la série     ∑                      de terme général un =
                                          n =1 n                                                  n

                                                 ( −1)                                        ( −1)
                                                             n                                           n
                                          +∞
6. Etudier la convergence de la série     ∑ 2n + 1                de terme général un       =
                                                                                                  2n + 1
                                                                                                             .
                                          n =0
                                          ∞
                                                 (−1) n +1                                       (−1) n +1
7. Etudier la convergence de la série     ∑          n   2
                                                                 de terme général un =
                                                                                                    n2
                                                                                                              .
                                          n =1
                                          +∞
                                                      n2                                               n2
8. Etudier la convergence de la série     ∑ 2n + n                de terme général un =
                                                                                                     2n + n
                                                                                                            .
                                          n =0
Exercice 8 :

                                          +∞
                                                 1            2nπ                                               1      2nπ 
7. Etudier la convergence de la série     ∑ n2 sin                 de terme général                un =          2
                                                                                                                    sin      
                                          n =1                3                                                 n      3 
                                          +∞
                                               arctan n                       arctan n
8. Etudier la convergence de la série     ∑       n 2
                                                        de terme général un =
                                                                                 n2
                                                                                       .
                                          n =1
                                                                                 n +1                        1
4. Etudier la convergence de la série de terme général : un =                               ; vn =
                                                                                  n!                         n!




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                                                          Correction
Exercice n°1
                                          n +1
                                               un
                                    un +1         1 un 1
1) Pour tout entier n ∈ N ∗ , = = 3n = = vn
                              vn +1
                                    n +1   n +1   3 n 3
2) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v1
                                                                                      u1 1
                                                                            =          =
                                                                                      1 3
                                           n −1      n
                     ∗  1       1 1
3) Pour tout n ∈ N = = v1  =   .
                   , vn   vn −1   
                        3       3 3
                                                                    n
                             ∗ u                    1
 Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura = nvn n  
                                            un =
                                n                   3
Exercice 2
       an                               an                                                  ln n 
un =    α
          .posons vn = ln un , vn = ln  α  = ln a n − ln nα = n ln a − α ln n = n  ln a − α      
       n                               n                                                     n 
       ln n                       ln n 
 lim 
n →+∞  n 
              = 0 , nlim  ln a − α
                      →+∞ 
                                          =ln a
                                      n 
Donc : 2 cas :
Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞
                         n →+∞                    n →+∞     n →+∞

Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : =
                                          lim un             =
                                                             lim evn 0 .
                         n →+∞                    n →+∞     n →+∞
                                                                               an
On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un =           α
                                                                                  est celui de a n pour a ≠ 1 .
                                                                               n
Exercice 3




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                                                   4    a    b    a (n + 1) + b(n − 1) (a + b)n + (a − b)
                                                     =    +     =                     =                   , d’où
  n=2
                     2        2
                          − =2 −
                                          2      n −1 n −1 n +1
                                                   2
                                                                         n2 − 1              n2 − 1
                  2 −1 3                  3
                                                 a + b =0
  n=
                     2
                          −
                                2
                                     =  1−
                                             1            et a = 2 ; b = −2
                                                 a − b =
        3                                                4
                  3 −1 3 +1                  2
                     2          2         2 2      4    2    2
  n=4                      −          =−          =       −
                   4 −1 4 +1 3 5                 n −1 n −1 n +1
                                                   2
                     2          2        1 1
  n=    5                 −          =−
                  5 −1 5 +1 2 3                   n
                                                                  2     2        2       2        4n + 2
  n=6
                     2
                          −
                                2
                                      =−
                                          2 2    ∑ uk = 2 + 1 − n + 1 − n = 3 −  n + 1 + n  = 3 − n(n + 1)
                  6 −1 6 +1 5 7                  k =2                                      
                     2          2        1 1
 = 7
  n                       − =               −                4n + 2               4n + 2 
                  7 −1 7 +1 3 4                   lim  3 −           = 
                                                                         3 − lim            =
                                                 n →+∞      n(n + 1)       n →+∞ n( n + 1) 
  n=    8
                     2
                          −
                                2
                                     =−
                                        2 2                                               
                  8 −1 8 +1 7 9                             4n                1          1
                                                 3 − lim  2  =   ; lim   =
                                                                    3 − 4 lim                      0
  .......................................            n →+∞  n          n →+∞  n    n →+∞  n 
                   2       2        2     2
     n=
      p −3             −         =−                                                          n    
               p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2                       =
                                                 Donc la série converge vers S         lim  ∑ uk  3
                                                                                       =
                                                                                      n →+∞       
                   2        2        2     2                                                 k =2 
     n= p−2             −        =      −
               p − 2 −1 p − 2 +1   p − 3 p −1
                  2       2        2    2
     n= p −1           −        =−
               p −1−1 p −1+1 p − 2 p
             2       2    2      2
     n= p        −      =     −
            p −1 p +1 p −1 p +1




Exercice 4




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                                                                               2       1      1
                      1       1           1                                    =           −
   n=2
                   2 −1 3
                           − =1 −
                                          3
                                                                             n −1 n −1 n +1
                                                                                2

                                                                    n
                                                                             1     1     1 3  1           1  3 2n + 1
   n=    3
                     1
                           −
                   3 −1 3 +1 2 4
                                1
                                      =−
                                         1 1
                                                                  ∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 −  n + 1 + n  = 2 − n(n + 1)
                                                                  k =2                                      
                      1          1          1 1
   n=4                      −          =−
                    4 −1 4 +1 3 5                                        3 2n + 1  3                2n + 1 
                                                                   lim  −             =   − lim           =
   n=
                      1
                           −
                                 1
                                      =−
                                          1 1                     n →+∞  2   n(n + 1)  2 n→+∞  n(n + 1) 
         5                                                                                                  
                   5 −1 5 +1 4 6
                                                                  3          2n  3             1          1
   n=6
                      1
                           −
                                 1
                                       =−
                                           1 1                       − lim   =   ; lim   =
                                                                                        − 2 lim                     0
                   6 −1 6 +1 5 7                                  2 n→+∞  n 2  2         n →+∞  n   n →+∞  n 


   n=
                      1
                           −
                                 1
                                       =
                                           1 1
                                             −                                                               n     3
         7
                   7 −1 7 +1 6 8                                                   =
                                                                 Donc la série converge vers S         lim  ∑ uk 
                                                                                                       =
                                                                                                      n →+∞       
                     1          1        1 1                                                                 k =2  2
   n=    8                 −          =−
                   8 −1 8 +1 7 9
   .......................................
                           1                1       1     1
   n=     p −3                     −             =−
                      p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2
                           1                 1       1     1
   n= p−2                           −            =      −
                      p − 2 −1 p − 2 +1            p − 3 p −1
                          1                1       1    1
   n=     p −1                    −              =−
                     p −1−1 p −1+1 p − 2 p
                   1           1           1     1
   n= p                  −           =         −
                p −1 p +1 p −1 p +1

Exercice 5
                                                                                    +∞
          1                 1        1       1     1                                         1
un =
       n(n + 1)
                . on a :         = 2
                         n(n + 1) n + n
                                        et 2
                                           n +n
                                                
                                                +∞ n 2
                                                       la série                     ∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu
                                                                                    n =0
                                                         1     1   1
du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que      =   −
                                                      n(n + 1) n n + 1
                                    1 1 1                1 1 1 1       1 2
On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − =
                                    1 2 2                1 2 2 3       3 3
                   1 1 1 1 1 1         1 3
S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − = − = et de même en observant les groupements de termes qui
                                     1
                   1 2 2 3 3 4         4 4
s’annulent, on obtient :
                                          1 1 1 1 1 1               1  1 1   1       1    n
S 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ +     − + −     =−
                                                                                 1     =
                                          1 2 2 3 3 4             n −1 n n n +1    n +1 n +1
                                                                +∞
                                                                                              n
                                               ∑ un lim Sn
Par définition de la somme d’une série , on a := = lim     = 1.
                                                                        n →+∞       n →+∞   n +1
                                                                n =1
Exercice 6
         k =2n

         ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
                 1   1   1           1
  un =
         k =n


1. un +1 − =                                             1
                1         1             1      1                 1          1    1      1    1
           un    + ... +   +               +            − +      + ... + =        +      − d’où
              n +1         2n        2n + 1 2n + 2        n n +1        2n  2n + 1 2n + 2 n
                    −3n − 2
  un +1 − un =                      .
             n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )

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6

2. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 .
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.

Exercice 7
              +∞                                                                p
                                                                                                                             1 − 2 p +1
1. la série   ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car
              n =0
                                                                               ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p =
                                                                               n =0                                            1− 2
                                                                                                                                        = 2 p +1 − 1
        p              +∞
  lim
 n →+∞
        ∑ 2n = ∑ 2n =            lim (2 p +1 − 1) = +∞ .
                                p →+∞
 = 0= 0n n
               n
                       1                                                                                                                               1
2. la série   ∑2
              p= 0
                       p
                            est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison
                                                                                                                                                       2

                                      1 1 − (1/ 2 )
                                                                               n +1


                                                                                         (                    ) , la série converge puisque :
                   n
                                                                                      =2 1 − (1/ 2 )
                  1   1 1                                                                              n +1
  et on a : ∑ p = + + 2 + ......... + n =
                    1
            p =0 2    2 2            2     1 − 1/ 2
            +∞                                                                            n +1
         n
                                             1
  lim ∑ p = p = 2 1 − (1/ 2 )  = ; lim  
          1    1              n +1                                                                              1
 n →+∞
            ∑ 2 nlim 
                 →+∞ 
                                    2
                                      n →+∞  2 
                                                                                                 =0 ( q
                                                                                                      =
                                                                                                                2
                                                                                                                  <1)
 = 0= 0p 2  p
                                              n
                                        1                                                      n
                                                                                                     1
  La série de terme général   converge , on écrit : lim ∑ p = 2 .
                            2                       n →+∞
                                                            p =0 2

                                           1              1       1
3 .On considère la série de terme général      ; on a : 2      < 2 pour tout n ; or la série de terme général
                                         n +1           n +1 n             2

   1                                                                                     1
      converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2        converge .
  n 2
                                                                                       n +1
                    +∞         +∞                         +∞
                        3          1                            3
  En admettant que ∑ 2      = 3∑ 2    , on peut dire que ∑ 2        est une série convergente .
           = 0= 0 n + 1
                    n n +1     n                         n =0 n + 1
  On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement :
                                                                                                              +∞
    3       3                            3                                                                             3
         2 , la série de terme général 2 est convergente donc
  n + 1 +∞ n
   2
                                        n
                                                                                                              ∑ n2 + 1 est une série convergente.
                                                                                                              n =0
                                                  +∞
                                                              1                                                    1             1
4. On considère la série positive                 ∑                        de terme général U n =
                                                                                       =
                                                         ( 2n + 1) )                                     ( 2n + 1) )
                                                                       2                         2                                        2
                                                  n =0                                                                             1 
                                                                                                                           4n  1 + 2 
                                                                                                                             2

                                                                                                                               2n 
                               n2          n2                       1
  On =
     a : n 2U n             =                      donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann
                           ( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1
                                      2  2
                                                        n →+∞       4

 s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge .
                                                    1
 Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de   , on reconnaît le terme général d’une série de
                                                   4n 2
 Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussi
d’après le théorème d’équivalence des séries positives .
                                          (−1) n
5. La série de terme général                     répond au critère d’une série alternée :
                                            n
                1                                                                          1       1                                                 1
  La suite   est décroissante ( on a pour tout n > 0 ,     ≤  donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x  )
            n n∈N                                      n +1 n                                      x



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7

                                                                     +∞
                                    1                                     (−1) n
      =
  et lim vn
        n →+∞
                               = 0 , donc la série
                               lim
                              n →+∞ n
                                                                     ∑ n             converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée
                                                                     n =1

                       ( −1)                                           ( −1)
                               n                                                 n
                +∞
6.1a série ∑                        de terme général un              =               . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème
                n =0   2n + 1                                             2n + 1
  spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a :
                     1         1      1                                             1
   un +1 =                  =      <       = un .Ainsi, la suite définie par un =        est décroissante
                2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1                                        2n + 1
                                                         ( −1)
                                                                 n
                                                  +∞
  et lim un = 0 , donc 1a série ∑                                    est convergente
        n →+∞                                     n =0   2n + 1
                                                                 ∞
                                                                  (−1) n +1                       (−1) n +1
7. Etudier la convergence de la série                        ∑ n2           de terme général un =
                                                                                                    n2
                                                                                                            . On reconnaît une série
                                                             n =1
   alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique.
                                                                                            (−1) n +1 1      1          1       1
                                           =
   En effet, pour tout n entier naturel on a : un                                           = 2 un +1   =      = 2            < = un .
                                                                                              n 2
                                                                                                      n   (n + 1) 2
                                                                                                                    n + 2n + 1 n 2
                                                       1                                                                         ∞
                                                                                                                                      (−1) n +1
  Ainsi, la suite définie par un =
                                                       n2
                                                          est décroissante et lim un = 0 , donc la série
                                                                             n →+∞
                                                                                                                                 ∑ n2 est convergente.
                                                                                                                                 n =1

           n2   n2
8. 0 <         < n =
                   vn
         2n + n 2
   Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert
         (n + 1) 2
                             2
   vn +1   2n +1   1  n +1    1
  =          =             → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de
    vn      n 2
                   2 n        2
              n
            2
                                                                                 n2
 comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n   est convergente également .
                                                                               2 +n
Exercice 8
                              +∞       +∞                                                                                              +∞
                                            1    2nπ                                               1       2nπ    1                       1
1. soit la série              ∑ un = ∑ n2 sin         ; pour tout n > 0 un
                                                                 =                                    2
                                                                                                        sin       ≤ 2   . La série   ∑ n2 converge
                 = 1= 1
                  n  n                           3                                                n        3  n                    n =1
                                                                          +∞
  (théorème de Riemann ), donc la série                                 ∑ un converge ( critère de comparaison
                                                                          n =1
                       +∞                                                            +∞
                                                                                                  2nπ 
                     ∑u
                                                                                            1
   La série                    n   est absolument convergente ,                      ∑ n2 sin          est convergente .
                       n =1                                                          n =1         3 
                               +∞
                                    arctan n                                arctan n   π                π 1
2. Soit la série               ∑       n 2
                                             . Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤
                                                                               n 2
                                                                                     < 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série
                                                                                      2n                2 n
                               n =1
   +∞
        π π +∞ 11                                                                                                +∞
                                                                                                                      arctan n
   ∑ 2 n2 2 ∑ n
            ×
         = 2 converge ( théorème de Riemann)donc la série                                                        ∑       n2
                                                                                                                               est convergente.
   n 1= 1   n                                                                                                    n =1

                              un +1              u      n + 2   n +1 n + 2             n!     n+2                  un +1
3. On calcule                       . On obtient n +1= 
                                                        (n + 1)!  /  n ! = (n + 1)! × n + 1= (n + 1) 2 , donc nlim un = 0 , 0 < 1
                                                                                                                  →+∞
                               un                 un                     
                                                                                            n +1
    Donc d’après la règle d’Alembert , la série                                      ∑       n!
                                                                                                 est convergente

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8

                          n          n    n   n n n −n n +2 n  2 n
4. On a : un =               , un −    =
                                       =    −       =                  , cette expression est positive pour
                         n−2        n    n−2 n      n(n + 1)  n(n + 1)
                                             n          1                                 1
tout n > 2 . On a donc un >                    ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann
                                            n         n                                 n
                                                                   +∞
                    1                                                          n
avec α=
                    2
                      < 1 ), on déduit donc que la série           ∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence :
                                                                   n =0

   n      n         n     1                                                                       n
           donc           la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme général
n − 2 +∞ n       n − 2 +∞ n                                                                      n−2
        est divergente.

                                                                                                                                                1
Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : c'est la série :                                                            ∑n
                                                                                                                                         n ≥1
Bien que son terme général tend vers 0 en +                           , cette série est divergente en effet :
2p
         1          1   1 1 1 1 1 1                 1                  1
∑ k =1 + 2 +             + + + + + + ......... + p −1
                        3 4 5  7 
                              6   8
                                                          + ........ + p
                                                      + 1 
k =1                                      2
                                                                  2
                        2 termes        4 termes                              2 p −1 termes
2p
         1          1   1 1 1 1 1 1                 1                  1
∑ k =1 + 2 +             + + + + + + ......... + p −1
                        3 4  
                            5  7 
                              6   8
                                                          + ........ + p
                                                      + 1 
k =1                                           2
                                                                  2
                        2 termes        4 termes                              2 p −1 termes
1 1    1                   1 1 1 1     1                                                          1                       1                         1
 + ≥ 2× ;                   + + + ≥ 4 × ; ……………. ;                                            p −1
                                                                                                           + ........ +           ≥ 2 p −1 ×
3 4    4                   5 6 7 8     8                                                  2           +1                  2   p
                                                                                                                                                    2p
    p
2                                                                                                                                  n
         1          1       1       1                         1           1
∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1 + 1 + 1 +
                                                                                                                                         1          p
                                                            
                                                                        ........... + 1)                          ; donc          ∑ n ≥ 1+ 2
k =1                                                                                                                              k =1
                                                                                              p
                                                                                                                                                          n
                                                                                                              ln n                                              1   p
soit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre
                                                                                                              ln 2
                                                                                                                   , on a : n                2p et :     ∑ n ≥ 1+ 2
                                                                                                                                                         k =1
                                                                                                              1
quand n tend vers +                , p tend également vers +                       d'ou la série       ∑ n est une série divergente.
                                                                                                       n ≥1
III. Raisonnement par Récurrence.
Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé.
Etape 1 : Vérification (initialisation)
       On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie.
Etape 2 : Hérédité
       On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle
       est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1.
       Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie.

Exercice 3.             Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a :
              n                              n ( n + 1)
    1.       ∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n =
             k =1                                  2
                                                          .
              n
                                                       n(n + 1)(2n + 1)
    2.       ∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =                6
             k =1


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9

    Exercice 3.
                                                            2
                                              n
                                                 n 
      Soit à démontrer par récurrence que ∑ k =  ∑ k  . Pn0=1 : 13 = 1²
                                                  3

                                    = 1= 1 
                                          k     k
                                      2
                                                            n(n + 1)    n ²(n + 1)²
                                                                         2
                       n
                           n                     n
 On suppose que ∑ k =  ∑ k  , c'est-à-dire ∑ k 3 =
                           3
                                              =                       
           = 1= 1 k      k                      k =1      2                4
 n +1    n
                           n ²(n + 1)²            n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4)
 ∑ k
= 1= 1
 k
      k= ∑ k 3 + (n + 1)=
       3                3

                                4
                                       + (n + 1)=
                                                3

                                                              4
                                                                        =
                                                                                      4
                                                      2
       (n + 1)²(n + 2)²  (n + 1)(n + 2)   n +1 
                                          2

        =  = ∑k                       
               4                2         k =1 
                                                                          n 2 (n + 1) 2
    Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 =
                                                                                4
    Démonstration :
    Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés ,




    la formule du binôme de Newton permet d'écrire :
    on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que l'on peut ajouter membre à membre :




    en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes.

    Somme des n premiers carrés (non nuls)
    démonstration :



                              on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1
    on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes :




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Suite exercice

  • 1. 1 TP MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES www.tifawt.com Exercices Exercice n°1 : u1 = 1/ 3 ∗ ∗ un On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par  n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn = un +1 = 3n un n  1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique. 2) Exprimer vn en fonction de n . 3) En déduire l’expression de un en fonction de n . n 4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente. k =1 Exercice 2 : an On considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un = où a une constante réelle quelconque. nα Etudier la convergence de la suite (un ) . Exercice 3 : 4 Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = n −1 2 1) Montrer que cette série est convergente. 4 a b 2) Déterminer les réels a et b tels que : = + n −1 n −1 n +1 2 n 4n + 2 3) En déduire que : ∑ uk = 3 − k =2 n(n + 1) 4) En déduire la somme S de la série ( un ). Exercice 4 : 2 Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un = n −12 1) Montrer que cette série est convergente. 2 a b 2) Déterminer les réels a et b tels que : = + n −1 n −1 n +1 2 n 3 2n + 1 3) En déduire que : ∑ uk= − . En déduire la somme S de la série ( un ). k =2 2 n(n + 1) Exercice 5 : 1 Soit la suite ( un ) définie par : un = n(n + 1) a b 1. Déterminer les réels a et b tels que : un= + n n +1 2. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ . www.tifawt.com
  • 2. 2 Exercice 6 : k=2n ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1 Soit (un) la suite définie sur N * par un = k= n −3n − 2 1. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un = . n( 2n + 2 )( 2n + 1 ) 2. En déduire le sens de variation de la suite (un). 3. Établir alors que (un) est une suite convergente. Exercice 7 : +∞ 1. Etudier la convergence de la série ∑2 n =0 n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n ; n 1 2. Etudier la convergence de la série ∑2 p= 0 p 3 3. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un = n +1 2 +∞ 1 1 4. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un = . ( 2n + 1) ) ( 2n + 1) ) 2 2 n =0 +∞ (−1) n (−1) n 5. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un = n =1 n n ( −1) ( −1) n n +∞ 6. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + 1 de terme général un = 2n + 1 . n =0 ∞ (−1) n +1 (−1) n +1 7. Etudier la convergence de la série ∑ n 2 de terme général un = n2 . n =1 +∞ n2 n2 8. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + n de terme général un = 2n + n . n =0 Exercice 8 : +∞ 1  2nπ  1  2nπ  7. Etudier la convergence de la série ∑ n2 sin   de terme général un = 2 sin   n =1  3  n  3  +∞ arctan n arctan n 8. Etudier la convergence de la série ∑ n 2 de terme général un = n2 . n =1 n +1 1 4. Etudier la convergence de la série de terme général : un = ; vn = n! n! www.tifawt.com
  • 3. 3 Correction Exercice n°1 n +1 un un +1 1 un 1 1) Pour tout entier n ∈ N ∗ , = = 3n = = vn vn +1 n +1 n +1 3 n 3 2) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v1 u1 1 = = 1 3 n −1 n ∗ 1 1 1 3) Pour tout n ∈ N = = v1  =   . , vn vn −1  3 3 3 n ∗ u 1 Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura = nvn n   un = n 3 Exercice 2 an  an   ln n  un = α .posons vn = ln un , vn = ln  α  = ln a n − ln nα = n ln a − α ln n = n  ln a − α  n n   n   ln n   ln n  lim  n →+∞  n   = 0 , nlim  ln a − α →+∞  =ln a n  Donc : 2 cas : Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : = lim un = lim evn 0 . n →+∞ n →+∞ n →+∞ an On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un = α est celui de a n pour a ≠ 1 . n Exercice 3 www.tifawt.com
  • 4. 4 4 a b a (n + 1) + b(n − 1) (a + b)n + (a − b) = + = = , d’où n=2 2 2 − =2 − 2 n −1 n −1 n +1 2 n2 − 1 n2 − 1 2 −1 3 3 a + b =0 n= 2 − 2 = 1− 1  et a = 2 ; b = −2 a − b = 3 4 3 −1 3 +1 2 2 2 2 2 4 2 2 n=4 − =− = − 4 −1 4 +1 3 5 n −1 n −1 n +1 2 2 2 1 1 n= 5 − =− 5 −1 5 +1 2 3 n 2 2  2 2 4n + 2 n=6 2 − 2 =− 2 2 ∑ uk = 2 + 1 − n + 1 − n = 3 −  n + 1 + n  = 3 − n(n + 1) 6 −1 6 +1 5 7 k =2   2 2 1 1 = 7 n − = −  4n + 2   4n + 2  7 −1 7 +1 3 4 lim  3 − =  3 − lim  = n →+∞  n(n + 1)  n →+∞ n( n + 1)  n= 8 2 − 2 =− 2 2     8 −1 8 +1 7 9  4n  1 1 3 − lim  2  =   ; lim   = 3 − 4 lim 0 ....................................... n →+∞  n  n →+∞  n  n →+∞  n  2 2 2 2 n= p −3 − =−  n  p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 = Donc la série converge vers S lim  ∑ uk  3 = n →+∞   2 2 2 2  k =2  n= p−2 − = − p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1 2 2 2 2 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 2 2 2 2 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1 Exercice 4 www.tifawt.com
  • 5. 5 2 1 1 1 1 1 = − n=2 2 −1 3 − =1 − 3 n −1 n −1 n +1 2 n 1 1 1 3  1 1  3 2n + 1 n= 3 1 − 3 −1 3 +1 2 4 1 =− 1 1 ∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 −  n + 1 + n  = 2 − n(n + 1) k =2   1 1 1 1 n=4 − =− 4 −1 4 +1 3 5  3 2n + 1  3  2n + 1  lim  − =  − lim  = n= 1 − 1 =− 1 1 n →+∞  2 n(n + 1)  2 n→+∞  n(n + 1)  5    5 −1 5 +1 4 6 3  2n  3 1 1 n=6 1 − 1 =− 1 1 − lim   =   ; lim   = − 2 lim 0 6 −1 6 +1 5 7 2 n→+∞  n 2  2 n →+∞  n  n →+∞  n  n= 1 − 1 = 1 1 −  n  3 7 7 −1 7 +1 6 8 = Donc la série converge vers S lim  ∑ uk  = n →+∞   1 1 1 1  k =2  2 n= 8 − =− 8 −1 8 +1 7 9 ....................................... 1 1 1 1 n= p −3 − =− p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 1 1 1 1 n= p−2 − = − p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1 1 1 1 1 n= p −1 − =− p −1−1 p −1+1 p − 2 p 1 1 1 1 n= p − = − p −1 p +1 p −1 p +1 Exercice 5 +∞ 1 1 1 1 1 1 un = n(n + 1) . on a : = 2 n(n + 1) n + n et 2 n +n  +∞ n 2 la série ∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu n =0 1 1 1 du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que = − n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − = 1 2 2 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − = − = et de même en observant les groupements de termes qui 1 1 2 2 3 3 4 4 4 s’annulent, on obtient : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n S 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ + − + − =− 1 = 1 2 2 3 3 4 n −1 n n n +1 n +1 n +1 +∞ n ∑ un lim Sn Par définition de la somme d’une série , on a := = lim = 1. n →+∞ n →+∞ n +1 n =1 Exercice 6 k =2n ∑ k = n + n + 1 + ... + 2n . 1 1 1 1 un = k =n 1. un +1 − =   1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 un  + ... + + + − + + ... + =  + − d’où  n +1 2n 2n + 1 2n + 2   n n +1 2n  2n + 1 2n + 2 n −3n − 2 un +1 − un = . n ( 2n + 2 )( 2n + 1 ) www.tifawt.com
  • 6. 6 2. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 . 3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien. Exercice 7 +∞ p 1 − 2 p +1 1. la série ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car n =0 ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p = n =0 1− 2 = 2 p +1 − 1 p +∞ lim n →+∞ ∑ 2n = ∑ 2n = lim (2 p +1 − 1) = +∞ . p →+∞ = 0= 0n n n 1 1 2. la série ∑2 p= 0 p est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2 1 1 − (1/ 2 ) n +1 ( ) , la série converge puisque : n =2 1 − (1/ 2 ) 1 1 1 n +1 et on a : ∑ p = + + 2 + ......... + n = 1 p =0 2 2 2 2 1 − 1/ 2 +∞ n +1 n 1 lim ∑ p = p = 2 1 − (1/ 2 )  = ; lim   1 1 n +1 1 n →+∞ ∑ 2 nlim  →+∞   2  n →+∞  2  =0 ( q = 2 <1) = 0= 0p 2 p n 1 n 1 La série de terme général   converge , on écrit : lim ∑ p = 2 . 2 n →+∞ p =0 2 1 1 1 3 .On considère la série de terme général ; on a : 2 < 2 pour tout n ; or la série de terme général n +1 n +1 n 2 1 1 converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2 converge . n 2 n +1 +∞ +∞ +∞ 3 1 3 En admettant que ∑ 2 = 3∑ 2 , on peut dire que ∑ 2 est une série convergente . = 0= 0 n + 1 n n +1 n n =0 n + 1 On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement : +∞ 3 3 3 3  2 , la série de terme général 2 est convergente donc n + 1 +∞ n 2 n ∑ n2 + 1 est une série convergente. n =0 +∞ 1 1 1 4. On considère la série positive ∑ de terme général U n = = ( 2n + 1) ) ( 2n + 1) ) 2 2 2 n =0  1  4n  1 + 2  2  2n  n2 n2 1 On = a : n 2U n = donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann ( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1 2 2 n →+∞ 4 s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge . 1 Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de , on reconnaît le terme général d’une série de 4n 2 Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussi d’après le théorème d’équivalence des séries positives . (−1) n 5. La série de terme général répond au critère d’une série alternée : n 1 1 1 1 La suite   est décroissante ( on a pour tout n > 0 , ≤ donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x  )  n n∈N n +1 n x www.tifawt.com
  • 7. 7 +∞ 1 (−1) n = et lim vn n →+∞ = 0 , donc la série lim n →+∞ n ∑ n converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée n =1 ( −1) ( −1) n n +∞ 6.1a série ∑ de terme général un = . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème n =0 2n + 1 2n + 1 spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a : 1 1 1 1 un +1 = = < = un .Ainsi, la suite définie par un = est décroissante 2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1 2n + 1 ( −1) n +∞ et lim un = 0 , donc 1a série ∑ est convergente n →+∞ n =0 2n + 1 ∞ (−1) n +1 (−1) n +1 7. Etudier la convergence de la série ∑ n2 de terme général un = n2 . On reconnaît une série n =1 alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique. (−1) n +1 1 1 1 1 = En effet, pour tout n entier naturel on a : un = 2 un +1 = = 2 < = un . n 2 n (n + 1) 2 n + 2n + 1 n 2 1 ∞ (−1) n +1 Ainsi, la suite définie par un = n2 est décroissante et lim un = 0 , donc la série n →+∞ ∑ n2 est convergente. n =1 n2 n2 8. 0 < < n = vn 2n + n 2 Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert (n + 1) 2 2 vn +1 2n +1 1  n +1 1 = =   → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de vn n 2 2 n  2 n 2 n2 comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n est convergente également . 2 +n Exercice 8 +∞ +∞ +∞ 1  2nπ  1  2nπ  1 1 1. soit la série ∑ un = ∑ n2 sin   ; pour tout n > 0 un = 2 sin   ≤ 2 . La série ∑ n2 converge = 1= 1 n n  3  n  3  n n =1 +∞ (théorème de Riemann ), donc la série ∑ un converge ( critère de comparaison n =1 +∞ +∞  2nπ  ∑u 1 La série n est absolument convergente , ∑ n2 sin   est convergente . n =1 n =1  3  +∞ arctan n arctan n π π 1 2. Soit la série ∑ n 2 . Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤ n 2 < 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série 2n 2 n n =1 +∞ π π +∞ 11 +∞ arctan n ∑ 2 n2 2 ∑ n × = 2 converge ( théorème de Riemann)donc la série ∑ n2 est convergente. n 1= 1 n n =1 un +1 u  n + 2   n +1 n + 2 n! n+2 un +1 3. On calcule . On obtient n +1=   (n + 1)!  /  n ! = (n + 1)! × n + 1= (n + 1) 2 , donc nlim un = 0 , 0 < 1  →+∞ un un     n +1 Donc d’après la règle d’Alembert , la série ∑ n! est convergente www.tifawt.com
  • 8. 8 n n n n n n −n n +2 n 2 n 4. On a : un = , un − = = − = , cette expression est positive pour n−2 n n−2 n n(n + 1) n(n + 1) n 1 1 tout n > 2 . On a donc un > ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann n n n +∞ 1 n avec α= 2 < 1 ), on déduit donc que la série ∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence : n =0 n n n 1 n  donc  la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme général n − 2 +∞ n n − 2 +∞ n n−2 est divergente. 1 Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : c'est la série : ∑n n ≥1 Bien que son terme général tend vers 0 en + , cette série est divergente en effet : 2p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1 3 4 5  7  6 8 + ........ + p + 1  k =1    2  2 2 termes 4 termes 2 p −1 termes 2p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1 3 4   5  7  6 8 + ........ + p + 1  k =1  2  2 2 termes 4 termes 2 p −1 termes 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ≥ 2× ; + + + ≥ 4 × ; ……………. ; p −1 + ........ + ≥ 2 p −1 × 3 4 4 5 6 7 8 8 2 +1 2 p 2p p 2 n 1 1 1 1 1 1 ∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1 + 1 + 1 + 1 p  ........... + 1) ; donc ∑ n ≥ 1+ 2 k =1 k =1 p n ln n 1 p soit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre ln 2 , on a : n 2p et : ∑ n ≥ 1+ 2 k =1 1 quand n tend vers + , p tend également vers + d'ou la série ∑ n est une série divergente. n ≥1 III. Raisonnement par Récurrence. Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé. Etape 1 : Vérification (initialisation) On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie. Etape 2 : Hérédité On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1. Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie. Exercice 3. Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a : n n ( n + 1) 1. ∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n = k =1 2 . n n(n + 1)(2n + 1) 2. ∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6 k =1 www.tifawt.com
  • 9. 9 Exercice 3. 2 n  n  Soit à démontrer par récurrence que ∑ k =  ∑ k  . Pn0=1 : 13 = 1² 3 = 1= 1  k k 2  n(n + 1)  n ²(n + 1)² 2 n  n  n On suppose que ∑ k =  ∑ k  , c'est-à-dire ∑ k 3 = 3 =  = 1= 1 k k k =1  2  4 n +1 n n ²(n + 1)² n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4) ∑ k = 1= 1 k k= ∑ k 3 + (n + 1)= 3 3 4 + (n + 1)= 3 4 = 4 2 (n + 1)²(n + 2)²  (n + 1)(n + 2)   n +1  2 =  = ∑k   4  2   k =1  n 2 (n + 1) 2 Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 = 4 Démonstration : Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés , la formule du binôme de Newton permet d'écrire : on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que l'on peut ajouter membre à membre : en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes. Somme des n premiers carrés (non nuls) démonstration : on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes : www.tifawt.com
  • 10. 10 www.Tifawt.com Formation gratuite en économie et gestion. www.tifawt.com