Télécharger:http://www.tifawt.com/exercices-corrigespour-economie-et-gestion/exercice-des-suites/

1. 1
TP MATHEMATIQUES SERIES NUMERIQUES www.tifawt.com
Exercices
Exercice n°1 :
u1 = 1/ 3
∗ ∗ un
On considère la suite définie pour tout n ∈ N , par  n + 1 . On pose, pour tout n ∈ N , vn =
un +1 = 3n un n

1) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique.
2) Exprimer vn en fonction de n .
3) En déduire l’expression de un en fonction de n .
n
4) Soit la série Sn = ∑ vk . Calculer Sn en fonction de n et montrer que la suite Sn est convergente.
k =1
Exercice 2 :
an
On considère la suite définie pour tout n ∈ N ∗ , par un = où a une constante réelle quelconque.
nα
Etudier la convergence de la suite (un ) .
Exercice 3 :
4
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
n −1
2
1) Montrer que cette série est convergente.
4 a b
2) Déterminer les réels a et b tels que : = +
n −1 n −1 n +1
2
n
4n + 2
3) En déduire que : ∑ uk = 3 −
k =2 n(n + 1)
4) En déduire la somme S de la série ( un ).
Exercice 4 :
2
Soit n un entier naturel, n ≥ 2 , on considère la série de terme général un =
n −12
1) Montrer que cette série est convergente.
2 a b
2) Déterminer les réels a et b tels que : = +
n −1 n −1 n +1
2
n
3 2n + 1
3) En déduire que : ∑ uk= − . En déduire la somme S de la série ( un ).
k =2 2 n(n + 1)
Exercice 5 :
1
Soit la suite ( un ) définie par : un =
n(n + 1)
a b
1. Déterminer les réels a et b tels que : un= +
n n +1
2. On pose Sn = u1 + u2 + u3 + ........... + un −1 + un . Calculer Sn et la limite S de Sn quand n tend vers +∞ .
www.tifawt.com

2. 2
Exercice 6 :
k=2n
∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
1 1 1 1
Soit (un) la suite définie sur N * par un =
k= n
−3n − 2
1. Montrer que pour tout n de N * , un+1 − un = .
n( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Établir alors que (un) est une suite convergente.
Exercice 7 :
+∞
1. Etudier la convergence de la série ∑2
n =0
n
=1 + 2 + 22 + ......... + 2n ;
n
1
2. Etudier la convergence de la série ∑2
p= 0
p
3
3. Etudier la convergence des séries de terme général : a) un =
n +1
2
+∞
1 1
4. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un = .
( 2n + 1) ) ( 2n + 1) )
2 2
n =0
+∞
(−1) n (−1) n
5. Etudier la convergence de la série ∑ de terme général un =
n =1 n n
( −1) ( −1)
n n
+∞
6. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + 1 de terme général un =
2n + 1
.
n =0
∞
(−1) n +1 (−1) n +1
7. Etudier la convergence de la série ∑ n 2
de terme général un =
n2
.
n =1
+∞
n2 n2
8. Etudier la convergence de la série ∑ 2n + n de terme général un =
2n + n
.
n =0
Exercice 8 :
+∞
1  2nπ  1  2nπ 
7. Etudier la convergence de la série ∑ n2 sin   de terme général un = 2
sin  
n =1  3  n  3 
+∞
arctan n arctan n
8. Etudier la convergence de la série ∑ n 2
de terme général un =
n2
.
n =1
n +1 1
4. Etudier la convergence de la série de terme général : un = ; vn =
n! n!
www.tifawt.com

3. 3
Correction
Exercice n°1
n +1
un
un +1 1 un 1
1) Pour tout entier n ∈ N ∗ , = = 3n = = vn
vn +1
n +1 n +1 3 n 3
2) ( vn ) est donc une suite géométrique de raison 1/ 3 et de premier terme v1
u1 1
= =
1 3
n −1 n
∗ 1 1 1
3) Pour tout n ∈ N = = v1  =   .
, vn vn −1 
3 3 3
n
∗ u 1
Puisque pour tout n ∈ N , vn = n , on aura = nvn n  
un =
n 3
Exercice 2
an  an   ln n 
un = α
.posons vn = ln un , vn = ln  α  = ln a n − ln nα = n ln a − α ln n = n  ln a − α 
n n   n 
 ln n   ln n 
lim 
n →+∞  n 
 = 0 , nlim  ln a − α
→+∞ 
=ln a
n 
Donc : 2 cas :
Si a > 1 , ln a > 0 et lim vn = +∞ d’où : lim un = lim evn = +∞
n →+∞ n →+∞ n →+∞
Si a < 1 , ln a < 0 et lim vn = −∞ d’où : =
lim un =
lim evn 0 .
n →+∞ n →+∞ n →+∞
an
On conclut que lorsque n tend vers l’infini , le comportement de un = α
est celui de a n pour a ≠ 1 .
n
Exercice 3
www.tifawt.com

4. 4
4 a b a (n + 1) + b(n − 1) (a + b)n + (a − b)
= + = = , d’où
n=2
2 2
− =2 −
2 n −1 n −1 n +1
2
n2 − 1 n2 − 1
2 −1 3 3
a + b =0
n=
2
−
2
= 1−
1  et a = 2 ; b = −2
a − b =
3 4
3 −1 3 +1 2
2 2 2 2 4 2 2
n=4 − =− = −
4 −1 4 +1 3 5 n −1 n −1 n +1
2
2 2 1 1
n= 5 − =−
5 −1 5 +1 2 3 n
2 2  2 2 4n + 2
n=6
2
−
2
=−
2 2 ∑ uk = 2 + 1 − n + 1 − n = 3 −  n + 1 + n  = 3 − n(n + 1)
6 −1 6 +1 5 7 k =2  
2 2 1 1
= 7
n − = −  4n + 2   4n + 2 
7 −1 7 +1 3 4 lim  3 − = 
3 − lim  =
n →+∞  n(n + 1)  n →+∞ n( n + 1) 
n= 8
2
−
2
=−
2 2    
8 −1 8 +1 7 9  4n  1 1
3 − lim  2  =   ; lim   =
3 − 4 lim 0
....................................... n →+∞  n  n →+∞  n  n →+∞  n 
2 2 2 2
n=
p −3 − =−  n 
p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2 =
Donc la série converge vers S lim  ∑ uk  3
=
n →+∞  
2 2 2 2  k =2 
n= p−2 − = −
p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1
2 2 2 2
n= p −1 − =−
p −1−1 p −1+1 p − 2 p
2 2 2 2
n= p − = −
p −1 p +1 p −1 p +1
Exercice 4
www.tifawt.com

5. 5
2 1 1
1 1 1 = −
n=2
2 −1 3
− =1 −
3
n −1 n −1 n +1
2
n
1 1 1 3  1 1  3 2n + 1
n= 3
1
−
3 −1 3 +1 2 4
1
=−
1 1
∑ uk = 1 + 2 − n + 1 − n = 2 −  n + 1 + n  = 2 − n(n + 1)
k =2  
1 1 1 1
n=4 − =−
4 −1 4 +1 3 5  3 2n + 1  3  2n + 1 
lim  − =  − lim  =
n=
1
−
1
=−
1 1 n →+∞  2 n(n + 1)  2 n→+∞  n(n + 1) 
5   
5 −1 5 +1 4 6
3  2n  3 1 1
n=6
1
−
1
=−
1 1 − lim   =   ; lim   =
− 2 lim 0
6 −1 6 +1 5 7 2 n→+∞  n 2  2 n →+∞  n  n →+∞  n 
n=
1
−
1
=
1 1
−  n  3
7
7 −1 7 +1 6 8 =
Donc la série converge vers S lim  ∑ uk 
=
n →+∞  
1 1 1 1  k =2  2
n= 8 − =−
8 −1 8 +1 7 9
.......................................
1 1 1 1
n= p −3 − =−
p − 3 −1 p − 3 +1 p − 4 p − 2
1 1 1 1
n= p−2 − = −
p − 2 −1 p − 2 +1 p − 3 p −1
1 1 1 1
n= p −1 − =−
p −1−1 p −1+1 p − 2 p
1 1 1 1
n= p − = −
p −1 p +1 p −1 p +1
Exercice 5
+∞
1 1 1 1 1 1
un =
n(n + 1)
. on a : = 2
n(n + 1) n + n
et 2
n +n

+∞ n 2
la série ∑ n(n + 1) est donc convergente en vertu
n =0
1 1 1
du théorème de Riemann. Il est immédiat de vérifier que = −
n(n + 1) n n + 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2
On obtient successivement : S1 =u1 = − = ; S2 =u1 + u2 = − + − =1 − =
1 2 2 1 2 2 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 3
S 2 =u1 + u2 + u3 = − + − + − = − = et de même en observant les groupements de termes qui
1
1 2 2 3 3 4 4 4
s’annulent, on obtient :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
S 2 =u1 + u2 + u3 + ..........un −1 + un = − + − + − + ........ + − + − =−
1 =
1 2 2 3 3 4 n −1 n n n +1 n +1 n +1
+∞
n
∑ un lim Sn
Par définition de la somme d’une série , on a := = lim = 1.
n →+∞ n →+∞ n +1
n =1
Exercice 6
k =2n
∑ k = n + n + 1 + ... + 2n .
1 1 1 1
un =
k =n
1. un +1 − =   1
1 1 1 1 1 1  1 1 1
un  + ... + + + − + + ... + =  + − d’où
 n +1 2n 2n + 1 2n + 2   n n +1 2n  2n + 1 2n + 2 n
−3n − 2
un +1 − un = .
n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )
www.tifawt.com

6. 6
2. La suite (un) est décroissante puisque −3n − 2 < 0 .
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.
Exercice 7
+∞ p
1 − 2 p +1
1. la série ∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2n diverge car
n =0
∑ 2n =1 + 2 + 22 + ......... + 2 p =
n =0 1− 2
= 2 p +1 − 1
p +∞
lim
n →+∞
∑ 2n = ∑ 2n = lim (2 p +1 − 1) = +∞ .
p →+∞
= 0= 0n n
n
1 1
2. la série ∑2
p= 0
p
est la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison
2
1 1 − (1/ 2 )
n +1
( ) , la série converge puisque :
n
=2 1 − (1/ 2 )
1 1 1 n +1
et on a : ∑ p = + + 2 + ......... + n =
1
p =0 2 2 2 2 1 − 1/ 2
+∞ n +1
n
1
lim ∑ p = p = 2 1 − (1/ 2 )  = ; lim  
1 1 n +1 1
n →+∞
∑ 2 nlim 
→+∞ 
 2
 n →+∞  2 
=0 ( q
=
2
<1)
= 0= 0p 2 p
n
1 n
1
La série de terme général   converge , on écrit : lim ∑ p = 2 .
2 n →+∞
p =0 2
1 1 1
3 .On considère la série de terme général ; on a : 2 < 2 pour tout n ; or la série de terme général
n +1 n +1 n 2
1 1
converge ( comme série de Riemann avec α = 2 ), donc la série de terme général 2 converge .
n 2
n +1
+∞ +∞ +∞
3 1 3
En admettant que ∑ 2 = 3∑ 2 , on peut dire que ∑ 2 est une série convergente .
= 0= 0 n + 1
n n +1 n n =0 n + 1
On peut aussi utiliser le théorème d’équivalence : On directement :
+∞
3 3 3 3
 2 , la série de terme général 2 est convergente donc
n + 1 +∞ n
2
n
∑ n2 + 1 est une série convergente.
n =0
+∞
1 1 1
4. On considère la série positive ∑ de terme général U n =
=
( 2n + 1) ) ( 2n + 1) )
2 2 2
n =0  1 
4n  1 + 2 
2
 2n 
n2 n2 1
On =
a : n 2U n = donc lim n 2U n = , par conséquent , la règle de Riemann
( 2n + 1) ) 4n + 4n + 1
2 2
n →+∞ 4
s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge .
1
Quand n tend vers l’infini , un est un équivalent de , on reconnaît le terme général d’une série de
4n 2
Riemann qui avec α= 2 > 1 est une série qui converge , donc la série de terme général un converge aussi
d’après le théorème d’équivalence des séries positives .
(−1) n
5. La série de terme général répond au critère d’une série alternée :
n
1 1 1 1
La suite   est décroissante ( on a pour tout n > 0 , ≤ donc vn +1 ≤ vn ou ( un+1 ≤ un )( x  )
 n n∈N n +1 n x
www.tifawt.com

7. 7
+∞
1 (−1) n
=
et lim vn
n →+∞
= 0 , donc la série
lim
n →+∞ n
∑ n converge. Cette série est appelée la série harmonique alternée
n =1
( −1) ( −1)
n n
+∞
6.1a série ∑ de terme général un = . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème
n =0 2n + 1 2n + 1
spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a :
1 1 1 1
un +1 = = < = un .Ainsi, la suite définie par un = est décroissante
2(n + 1) + 1 2n + 3 2n + 1 2n + 1
( −1)
n
+∞
et lim un = 0 , donc 1a série ∑ est convergente
n →+∞ n =0 2n + 1
∞
(−1) n +1 (−1) n +1
7. Etudier la convergence de la série ∑ n2 de terme général un =
n2
. On reconnaît une série
n =1
alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique.
(−1) n +1 1 1 1 1
=
En effet, pour tout n entier naturel on a : un = 2 un +1 = = 2 < = un .
n 2
n (n + 1) 2
n + 2n + 1 n 2
1 ∞
(−1) n +1
Ainsi, la suite définie par un =
n2
est décroissante et lim un = 0 , donc la série
n →+∞
∑ n2 est convergente.
n =1
n2 n2
8. 0 < < n =
vn
2n + n 2
Etudions la convergence de la série de terme général vn en utilisant la règle d’Alembert
(n + 1) 2
2
vn +1 2n +1 1  n +1 1
= =   → < 1 donc la série de terme général vn est convergente .D’après le théorème de
vn n 2
2 n  2
n
2
n2
comparaison sur les séries à termes positifs , la séries de terme général un = n est convergente également .
2 +n
Exercice 8
+∞ +∞ +∞
1  2nπ  1  2nπ  1 1
1. soit la série ∑ un = ∑ n2 sin   ; pour tout n > 0 un
= 2
sin   ≤ 2 . La série ∑ n2 converge
= 1= 1
n n  3  n  3  n n =1
+∞
(théorème de Riemann ), donc la série ∑ un converge ( critère de comparaison
n =1
+∞ +∞
 2nπ 
∑u
1
La série n est absolument convergente , ∑ n2 sin   est convergente .
n =1 n =1  3 
+∞
arctan n arctan n π π 1
2. Soit la série ∑ n 2
. Pour tout n > 0 , on a : 0 ≤
n 2
< 2 , donc 0 ≤ un < × 2 . La série
2n 2 n
n =1
+∞
π π +∞ 11 +∞
arctan n
∑ 2 n2 2 ∑ n
×
= 2 converge ( théorème de Riemann)donc la série ∑ n2
est convergente.
n 1= 1 n n =1
un +1 u  n + 2   n +1 n + 2 n! n+2 un +1
3. On calcule . On obtient n +1= 
 (n + 1)!  /  n ! = (n + 1)! × n + 1= (n + 1) 2 , donc nlim un = 0 , 0 < 1
 →+∞
un un    
n +1
Donc d’après la règle d’Alembert , la série ∑ n!
est convergente
www.tifawt.com

8. 8
n n n n n n −n n +2 n 2 n
4. On a : un = , un − =
= − = , cette expression est positive pour
n−2 n n−2 n n(n + 1) n(n + 1)
n 1 1
tout n > 2 . On a donc un > ou un > 1/ 2 . La série de terme général 1/ 2 diverge ( comme série de Riemann
n n n
+∞
1 n
avec α=
2
< 1 ), on déduit donc que la série ∑ n − 2 est divergente .on peut aussi la règle d’équivalence :
n =0
n n n 1 n
 donc  la conclusion vient de manière immédiate : la série de terme général
n − 2 +∞ n n − 2 +∞ n n−2
est divergente.
1
Quelques séries numériques de référence : Série harmonique : c'est la série : ∑n
n ≥1
Bien que son terme général tend vers 0 en + , cette série est divergente en effet :
2p
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1
3 4 5  7 
6 8
+ ........ + p
+ 1 
k =1    2
 2
2 termes 4 termes 2 p −1 termes
2p
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∑ k =1 + 2 + + + + + + + ......... + p −1
3 4  
5  7 
6 8
+ ........ + p
+ 1 
k =1  2
 2
2 termes 4 termes 2 p −1 termes
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ ≥ 2× ; + + + ≥ 4 × ; ……………. ; p −1
+ ........ + ≥ 2 p −1 ×
3 4 4 5 6 7 8 8 2 +1 2 p
2p
p
2 n
1 1 1 1 1 1
∑ k ≥ 1 + 2 + 2 × 4 + 4 × 4 + ....... + 2 p−1 × 2 p = 1 + 2 (1 + 1 + 1 +
1 p

........... + 1) ; donc ∑ n ≥ 1+ 2
k =1 k =1
p
n
ln n 1 p
soit n un entier naturel non nul, soit p la partie entière du nombre
ln 2
, on a : n 2p et : ∑ n ≥ 1+ 2
k =1
1
quand n tend vers + , p tend également vers + d'ou la série ∑ n est une série divergente.
n ≥1
III. Raisonnement par Récurrence.
Propriété : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé.
Etape 1 : Vérification (initialisation)
On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme : P(0) ou P(1) est vraie.
Etape 2 : Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour le terme de rang n et on démontre que si elle
est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n + 1.
Si pour tout entier n ≥ n0 on a P(n) vraie ⇒ P(n+1)vraie.
Exercice 3. Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 , on a :
n n ( n + 1)
1. ∑ k =1 + 2 + 3 + ... + n =
k =1 2
.
n
n(n + 1)(2n + 1)
2. ∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6
k =1
www.tifawt.com

9. 9
Exercice 3.
2
n
 n 
Soit à démontrer par récurrence que ∑ k =  ∑ k  . Pn0=1 : 13 = 1²
3
= 1= 1 
k k
2
 n(n + 1)  n ²(n + 1)²
2
n
 n  n
On suppose que ∑ k =  ∑ k  , c'est-à-dire ∑ k 3 =
3
= 
= 1= 1 k k k =1  2  4
n +1 n
n ²(n + 1)² n ²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n ² + 4n + 4)
∑ k
= 1= 1
k
k= ∑ k 3 + (n + 1)=
3 3
4
+ (n + 1)=
3
4
=
4
2
(n + 1)²(n + 2)²  (n + 1)(n + 2)   n +1 
2
=  = ∑k  
4  2   k =1 
n 2 (n + 1) 2
Somme des n premiers cubes ( non nuls) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 =
4
Démonstration :
Le principe est le même que pour la somme des n premiers carrés ,
la formule du binôme de Newton permet d'écrire :
on obtient en faisant varier k de 1 à n , n équations que l'on peut ajouter membre à membre :
en isolant S3 on obtient la formule de la somme des cubes.
Somme des n premiers carrés (non nuls)
démonstration :
on sait que : ( k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1
on peut donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes :
www.tifawt.com

10. 10
www.Tifawt.com
Formation gratuite en
économie et gestion.
www.tifawt.com