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1  sur  60
Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 60
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM4 : Transformée en z
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII
Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 60
PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage
Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 60
Conversion Analogique-Numérique
 Principe
 Propriétés
 Tables 
 Filtrage numérique
 Transformée en z
 Filtres RII
 Filtres RIF
Plan
Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 60
1. Principe
Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 60
Transformée en z
Principe: Description de système discrets
 Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence de la forme:
0 0
( ) ( )k kk d k n
k kk k
k k
d s t d e t
a b
dt dt
= =
= =
=∑ ∑
 Une fonction de transfert d’un système discret est donné par:
1
0 1
1 2
0 1 2
( )z
b b z
T z
a a z a z
−
− −
+
=
+ +
 Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:
0
0
( )
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
T z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔
 Par exemple, pour n = 1 et d = 2, on obtient:
0 0
( ) ( )
d n
k k
k k
a s N k b e N k
= =
− = −∑ ∑⇔
Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 60
Transformée en z
Principe: Description de système discrets
 Dans le domaine de la transformée en z, on a:
0
( ) ( ). epkT
L e
k
X p x kT e
+∞
−
=
= ∑
 Un signal discret xk est modélisé mathématiquement par pondération d’une
distribution peigne de Dirac de période Te par les échantillons xk = x(k.Te):
0
( ) ( ). ( )d e e
k
x t x kT t kTδ
+∞
=
= −∑
 Dans le domaine de Laplace, la transformée donne: { }( ) p
TL t e τ
δ τ −
− =
{ }( ) k
eTZ t kT zδ −
− =
0
( ) ( ). k
z e
k
X z x kT z
+∞
−
=
= ∑
Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 60
Transformée en z
Principe: Description de système discrets
 La transformée en z se calcule simplement pour certains signaux:
 Pour la fonction Heavyside atténué x(t) = H(t > 0).e−αt
(α > 0), on obtient:
 Pour la fonction échelon (Heavyside) H(t > 0) = 1, on obtient:
0 0
( ) ( ).
1
k k
z e
k k
z
H z H kT z z
z
+∞ +∞
− −
= =
= = =
−
∑ ∑
1
0
1
( ) .
1
e
e e
kT k
z T T
k
z
X z e z
e z z e
α
α α
+∞
− −
− −−
=
= = =
− −
∑
 Pour la fonction cosinus x(t) = cos(ωt) = (e+jωt
+e−jωt
)/2, on obtient:
2
21 1
0
cos( )1 1
( ) .
2 2 cos( ) 11 1
e e
e e
j kT j kT
k e
z j T j T
k e
z z Te e
X z z
z z Te z e z
ω ω
ω ω
ω
ω
+ −+∞
−
+ −− −
=
−+
= = + =
− +− −
∑
Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 60
2. Propriétés
Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 60
Transformée en z
Propriétés: Linéarité et translation temporelle
 La transformée en z est une transformée linéaire:
 Le retard temporel de nT (> 0) échantillons s’écrit:
 Le principe de superposition est vérifié:
{ } { } { }. ( ) . ( ) . ( ) . ( )TZ x t y t TZ x t TZ y tα β α β+ = +
( ){ } ( ){ }( ) .Tn
T e eTZ x k n T z TZ x kT− =
 L’avance temporelle de nT (< 0) échantillons s’écrit:
( ){ } ( ){ }( ) .Tn
T e eTZ x k n T z TZ x kT− =
Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 60
3. Tables
Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 60
( )tδ 1
( )et kTδ − k
z−
{ }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1
( ) ( )d zx t TZ X z−
=
( )H t
Transformée en z
1
z
z −
( ). t
H t e α−
eT
z
z e α−
−
t 2
( 1)
z
z −
2
t 3
( 1)
( 1)
z z
z
+
−
/ et T
a
z
z a−
Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 60
( ) cos( )t
H t e tα
ω−
Transformée en z
cos( )tω
sin( )tω
2
2
cos( )
2 cos( ) 1
e
e
z z T
z z T
ω
ω
−
− +
2
sin( )
2 cos( ) 1
e
e
z T
z z T
ω
ω− +
( ) sin( )t
H t e tα
ω−
2
22
cos( )
2 cos( )
e
e e
T
e
T T
e
z ze T
z ze T e
α
α α
ω
ω
−
− −
−
− +
22
sin( )
2 cos( )
e
e e
T
e
T T
e
ze T
z ze T e
α
α α
ω
ω
−
− −
− +
2
( )
T ek T
t∏
( ).(1 )t
H t e α−
−
(1 )
1 ( 1)( )
e
e e
T
T T
z z z e
z z e z z e
α
α α
−
− −
−
− =
− − − −
( )1 1 1
T e T e T e T ek T k T k T k Tz z z
z z z z
z z z
+ − + −
− = −
− − −
{ }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1
( ) ( )d zx t TZ X z−
=
Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 60
4. Transformée en z
Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Conception de filtre numérique dans le domaine de la transformée en z:
 La fonction de transfert d’un filtre numérique s’écrit:
1
0 1
1
1
( )
( )
( ) 1
n
n
d
d
b b z b zB z
G z
A z a z a z
− −
− −
+ + +
= =
+ + +
L
L
 La formulation factorisée fait apparaître les zéros zk et les pôles pk du filtre:
1
1
1
1
(1 )
( ) (0)
(1 )
n
k
k
d
k
k
z z
G z b
p z
−
=
−
=
−
=
−
∏
∏
Les coefficients
ak et bk sont réels.
Les coefficients zk et pk sont réels ou en
paires complexes conjuguées.
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie: n fini) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître uniquement des zéros zk:
1
0 1
( )
( )
( )
n
n
B z
G z b b z b z
A z
− −
= = + + +L
1
1
( ) (0) (1 )
n
k
k
G z b z z−
=
= −∏
Attention: G(z) possède n zéros et n pôles situés à l’origine, en z = 0.
 Exemples: Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).
 Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 60
1 1
1 1 1 1
( )
1 ( 1)
N N
N
z z
G z
N Nz z z
−
− −
− −
= =
− −
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:
 La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie : N fini) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître des zéros zk et des pôles pk en z = 0.
[ ]1/ 0, 1
( )
0
N k N
g k
ailleurs
 = −
= 

1
0
1
( )
N
k
k
G z z
N
−
−
=
= ∑
N zéros, N−1 pôles en z=0,
1 pôle en z=1
N zéros et 1 pôle
z = 1 est à la fois pôle et zéro
Il reste N−1 zéros
et N−1 pôles en z = 0.
Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La TZ d’un filtre RII (Réponse Impulsionnelle de durée Infinie: n →+∝) s’écrit:
 La formulation factorisée fait apparaître uniquement le pole a:
1
1
( )
1
z
G z
z aaz−
= =
−−
 Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ:
[ [( ) pour 0;k
g k a k= ∈ +∞
0
( ) k k
k
G z a z
+∞
−
=
= ∑
g(k)
kAttention: Série convergente pour |a| < 1.
 Remarque: Cette TZ correspond à la RI d’une exponentielle.
Pôle en z = a
Zéro en z = 0
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Exemple:
 Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ:
( ) 0,5. ( 1) 2. ( )y k y k x k= − + 1
( ) 2
( )
( ) 1 0,5.
z
z
Y z
G z
X z z−
= =
−
 La formulation factorisée fait apparaître le pole a = 0,5:
1
2 2
( )
1
z
G z
z aaz−
= =
−−
g(k)
kAttention: Série convergente car |a| < 1.
Pôle en z = a
Zéro en z = 0
 La table donne: ( ) 2.(0,5) . ( )k
g k H k=
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Exemple:
 Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ:
( ) ( 1) ( 1)y k x k x k= − + + 1 1( )
( )
( )
z
z
Y z
G z z z
X z
− +
= = +
 La transposition dans le domaine de Fourier discrétisé avec z = e+jωTe
donne:
( ) 2cos( )e ej T j T
e eG T e e Tω ω
ω ω− +
= + =
G(ωTe)
ωTeπ/2 π0
0
2
fe/4 fe/20 f
Filtre réjecteur de
fréquence en fc = fe/2
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 60
Caractéristique
Fonction
de transfert
Réponse
en fréquence
Réponse
en phase
Stabilité
Complexité
de la structure
Sensibilité
aux erreurs
d'arrondi
Transformée en z
Filtrage numérique: Comparaison
Filtre RIF
Ne contient que des zéros.
Aucune restriction.
Parfaitement linéaire si
nécessaire.
Toujours stables.
Proportionnelle à la longueur
de la réponse impulsionnelle.
Faible, sauf dans le cas d'une
réalisation récursive.
Filtre RII
Contient des pôles
et des zéros.
Les méthodes limitées
aux filtres LP, HP, BP, RB.
Approximation
d’une phase linéaire.
Pôles dans le cercle unité.
Plus faible qu'un filtre FIR
pour la même sélectivité.
Les pôles peuvent passer à
l'extérieur du cercle unité.
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 60
5. Filtrage numérique
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 60
Transformée en z
Filtrage: Forme générale
 La TF permet de déterminer les spectres et le produit d’un filtre:
 Intérêt de la TF: Signaux continus
x(t)
xf(t)
X(f)
Xf(f)
×∗ g(t) G(f)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TF
TF−1
( ) ( ). ( )fX f G f X f=( ) ( ) ( )fx t g t x t= ∗
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La FFT permet de déterminer la FT (Fonction de Transfert) d’un filtre discret:
 Intérêt de la FFT: Signaux discrets
x(k)
xf(k)
X(k)
Xf(k)
×∗ g(k) G(k)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
FFT
IFFT
( ) ( ). ( )fX k G k X k=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:
 Intérêt de la TZ: Signaux discrets
x(k)
xf(k)
Xz(z)
Xz,f(z)
×∗ g(k) Gz(z)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TZ
, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
TZ−1
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:
 Intérêt de la TZ: Signaux discrets
, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
 Convolution:  Produit de TZ:
0
( ) ( ). ( )
k
f
n
x k g k n x k
=
= −∑soit
Au total, le calcul d'une convolution
sur N points nécessite donc:
n(n+1)/2 additions
et n(n+1)/2+1 multiplications
 Illustration: Convolution d'une
porte rectangle par elle-même:
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 60
6. Filtres RII
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Méthodologie:
 Filtres de type RII:
 Ressemblance avec les filtres analogiques:
 Equation différentielle et fonction de transfert.
 Filtres analogiques ⇔ Filtres numériques RII.
1
1
1
1
(1 )
( ) (0)
(1 )
n
k
k
d
k
k
z z
G z b
p z
−
=
−
=
−
=
−
∏
∏
Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Forme générale:
 Filtres de Butterworth:
 Coefficients:
2
2
1
( ) ( ). ( )
1 n
H H Hω ω ω
ω
= = −
+
 Fonction de transfert:
Pour un filtre de Butterworth, on a :
- Pas d’ondulation dans la bande
passante.
- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés
d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade.
- Pour tout ordre n, G(fc) = −3 dB.
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Forme générale:
 Filtres de Chebyshev:
 Coefficients:
2 2
1
( )
1 ( )n
H
C
ω
ε ω
=
+
 Fonction de transfert:
2
10( ) 10log (1 )G ω ε∆ = − +
Pour un filtre de Chebyshev, on a :
- Ondulation dans la bande passante.
- Pour f >> fc, on retrouve les propriétés
d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade.
- Coupure très raide pour f > fc.
- Phase moins linéaire que Butterworth.
Ondulation:
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Filtres: Comparaison
 Fonctions de transfert:
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Filtres RII
 Synthèse des filtres numériques RII:
 Filtres de type RII:
Plan des z Plan des p
Spécifications sur
le cercle unité
Spécifications sur
l'axe imaginaire
Approximation
Synthèse
Fonction de
transfert g(z)
Fonction de
transfert G(p)
Filtre analogiqueFiltre discret
 Méthodes
d’optimisation
numériques
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 60
7. Filtres RIF
http://z.oumnad.123.fr/Signal/TNS.pdf
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Passe-Bas:
 Fonctions de transfert G(f) idéales de 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
fc f
0
1
fc f
0
1
fc1 f
0
1
f
0
1
fc2 fc1 fc2
 Pour les systèmes discrets, on cherche G(z) et non plus G(f).
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Fenêtres d'apodisation:
Comparaison: [Harris, 1978]
http://www.utdallas.edu/~cpb021000/EE 4361/Great DSP Papers/Harris on Windows.pdf
sin
( ) .
sin
e
f
j
ef
e
f
N
f
W f e
f
f
π
π
π
 
 ÷
 =
 
 ÷
 
Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Fenêtres d'apodisation:
Comparaison: [Harris, 1978]
http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function
http://www.bksv.com/doc/Bv0031.pdf
TF
TF−1
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Fenêtres d'apodisation:
Comparaison: [Harris, 1978]
FFT
IFFT
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Fenêtres d'apodisation: Comparaison
−13,3 dB
−31,5 dB
Rectangle
1
1 si
( ) 2
0 sinon
N
k
w k
−
≤
= 

Hanning
1 2 1
1 cos si
( ) 2 1 2
0 sinon
k N
k
w k N
π   − 
− ≤  ÷ ÷= −   


Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Fenêtrage
−40,6 dB
−31,5 dB
−13,3 dB
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Le tracé de G(z) n’étant pas parlant, on préfère remplacer z par exp(j2πf/fe)
 Filtre numérique Passe-Bas:
fe/2 f0
1
fc fe
 Réponse impulsionnelle:
G(f)
2 2
( ) sincc c
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
 Spectre discret du filtre Passe-Bas: Périodisation du spectre
g(k)
k
 Cette RI n’est ni finie, ni causale.
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:
 Intérêt de la TZ: Signaux discrets
x(k)
xf(k)
Xz(z)
Xz,f(z)
×∗ g(k) Gz(z)Filtre
Signal brut
Signal filtré
Convolution Produit
TZ
, ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
TZ−1
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Comme g(k) décroît rapidement, on l’approxime par sa troncature gw(k) :
 Filtre numérique Passe-Bas:
avec la fenêtre (signal porte):
sin
( )
sin
e
e
f
N
f
W f
f
f
π
π
 
 ÷
 =
 
 ÷
 
g(k)
k
 La FT de cette porte échantillonnée est:
1
1 si
( ) 2
0 sinon
N
k
w k
−
≤
= 

0
1
w(k)
k+(N−1)/2−(N−1)/2
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:
 Filtre numérique Passe-Bas:
sin
( ) ( )
sin
e
w
e
f
N
f
G f G f
f
f
π
π
 
 ÷
 = ∗
 
 ÷
 
 La fonction de transfert est alors:
( ) ( ) ( )wG f G f W f= ∗
fe f
ffe
G(f)
Gw(f)
 Ondulation de la fonction de transfert, résultant de la troncature (RIF).
soit
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:
 Filtre numérique Passe-Bas:
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
 La réponse impulsionnelle initiale est non causale:
g(k)
k
g(k)
k
 La réponse impulsionnelle initiale est causale:
 Le module de la TF reste inchangé.
2 2
( ) sincc c
w
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
2 2 1
( ) sinc
2
c c
c
e e
f f N
g k k
f f
 − 
= − ÷ ÷
  
1
2
N
k
−
≤si
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 D’après la fonction de transfert de la FT d’un déphaseur, on a:
 Filtre numérique Passe-Bas:
 Le module de la TF reste inchangé.
sin
( ) ( )
sin
e
w
e
f
N
f
G f G f
f
f
π
π
 
 ÷
 = ∗
 
 ÷
 
( 1)
sin
( ) ( ) .
sin
e
f
j N
e f
wc
e
f
N
f
G f G f e
f
f
π
π
π
− −
  
 ÷ ÷
  ÷= ∗
 ÷ 
 ÷ ÷ ÷
  
 La réponse impulsionnelle initiale est non causale:
 La réponse impulsionnelle initiale est causale:
2 2 1
( ) sinc
2
c c
wc
e e
f f N
g k k
f f
 − 
= − ÷ ÷
  
( ) ( ). ( )wg k g k w k=
2 2
( ) sincc c
w
e e
f f
g k k
f f
 
=  ÷
 
1
2
N
k
−
≤si
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Le filtre réalisable Gwc(f) n ’est qu’une approximation du filtre recherché G(f) :
 Filtre numérique Passe-Bas:
( 1)
sin
( ) ( ) .
sin
e
f
j N
e f
wc
e
f
N
f
G f G f e
f
f
π
π
π
− −
  
 ÷ ÷
  ÷= ∗
 ÷ 
 ÷ ÷ ÷
  
0
1
k
1+δ1
1−δ1
 Ondulation dans la Bande Passante: 2δ1
 Ondulation dans la Bande Coupée: δ2
δ2
 Transition de coupure da Bande: ∆fT
∆fT
Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:
 Filtre numérique Passe-Haut:
2 2 1 1
( ) sinc cos
2 2
e c e c
wc
e e
f f f f N N
g k k k
f f
π
 − − −  −    
= − − ÷  ÷ ÷  ÷
     
( )wcg k ( )wcG f
1
2
N
k
−
≤,
Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:
 Filtre numérique Passe-Bande:
,
1
2
N
k
−
≤
( )wcg k ( )wcG f
2 1 2 1 2 11 1
( ) sinc 2cos
2 2
wc
e e e
f f f f f fN N
g k k k
f f f
π
   − − +− −   
= − − ÷  ÷ ÷  ÷
      
Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:
 Filtre numérique Coupe-Bande:
1 2, ( ) , ( )( ) ( ) ( )wc wc LP f wc HP fg k g k g k= +
Passe-Bas
fc = f1
Passe-Haut
fc = f2
( )wcg k ( )wcG f
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 60
function h = myfirb(N,f1,f2,fe);
fo=(f1+f2)/fe;
B=(f2-f1)/fe;
N2=(N-1)/2;
n=0:N-1;
h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2));
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
function h = myfirs(N,f1,f2,fe);
f1=f1/fe;
f2=f2/fe;
N2=(N-1)/2;
B1=2*f1;
B2=1-2*f2;
n=0:N-1;
h= B1 * sinc(B1*(n-N2))
+ B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(%pi*(n-N2));
function h=myfirl(N,fc,fe)
B=2*fc/fe;
n=0:N-1;
h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2));
function h = myfirh(N,fc,fe)
B=1-2*fc/fe;
n=0:N-1;
N2=(N-1)/2;
h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));
Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle linéaire: Fenêtre rectangle  Echelle dB: Fenêtre rectangle
Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle lin.: Fenêtre de Hamming  Echelle dB: Fenêtre de Hamming
Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle lin.: Fenêtre de Blackman  Echelle dB: Fenêtre de Blackman
Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle lin.: Fenêtre de Kaiser  Echelle dB: Fenêtre de Kaiser
Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:
 Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral
 Echelle lin.: Fenêtre de Hanning  Echelle dB: Fenêtre de Hanning
Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Exemple: Filtre Passe-Bas
 Filtres numérique: Fenêtrage
 Si la fréquence d'échantillonnage est fe = 8 kHz, déterminer la réponse
impulsionnelle d'un filtre RIF d'ordre N = 21, de fréquence de coupure fc = 1 kHz,
et tracer le module de la fonction de transfert dans les deux cas suivants :
1) Troncature par fenêtre carrée:
2) Troncature par fenêtre de Hamming:
Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Exemple: Filtre Passe-Bas
 Filtres numérique: Fenêtrage
 1) Troncature par fenêtre carrée:
Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 60
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Exemple: Filtre Passe-Bas
 Filtres numérique: Fenêtrage
 2) Troncature par fenêtre de Hamming:
Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 60
8. Scripts RII et RIF
www.eeng.dcu.ie/~ee317/Matlab_Clones/signal.pdf
Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 60
hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03]);
[hzm,fr]=frmag(hz,256);
figure; plot2d(fr',hzm');
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RII et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
hz=iir(16,'sb','cheb2',[.2 .4],[0.1 .1]);
[hzm,fr]=frmag(hz,256);
figure; plot2d(fr',hzm');
hz=iir(4,'lp','butt',[.2 0],[0 0]);
[hzm,fr]=frmag(hz,256);
figure; plot2d(fr,hzm);
hz=iir(16,'hp','butt',[.2 0],[0 0]);
[hzm,fr]=frmag(hz,256);
figure; plot2d(fr',hzm');
Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 60
[h,hm,fr]=wfir('bp',8,[0.2 .3],'kr',[0.2 0.1]);
figure; plot2d(fr,hm);
Transformée en z
Filtrage numérique: Forme générale
 Passe-Bas:
 Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:
 Passe-Bande:
 Passe-Haut:
 Coupe-Bande:
[h,hm,fr]=wfir('sb',64,[0.1 .3],'kr',[0.2 0.1]);
figure; plot2d(fr,hm);
[h,hm,fr]=wfir('lp',33,[0.2 0],'hm',[0 0]);
figure; plot2d(fr,hm);
t = 0:200;
x = sin(2*%pi*t/20)+sin(2*%pi*t/3);
hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);
yhz=flts(x,hz);
figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');
[h,hm,fr]=wfir('hp',8,[0.1 0],'hn',[0 0]);
figure; plot2d(fr,hm);
t = 0:200;
x = sin(2*%pi*t/40)+sin(2*%pi*t/3);
hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);
yhz=flts(x,hz);
figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

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  • 3. Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 60 Conversion Analogique-Numérique  Principe  Propriétés  Tables   Filtrage numérique  Transformée en z  Filtres RII  Filtres RIF Plan
  • 4. Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 60 1. Principe
  • 5. Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 60 Transformée en z Principe: Description de système discrets  Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence de la forme: 0 0 ( ) ( )k kk d k n k kk k k k d s t d e t a b dt dt = = = = =∑ ∑  Une fonction de transfert d’un système discret est donné par: 1 0 1 1 2 0 1 2 ( )z b b z T z a a z a z − − − + = + +  Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert: 0 0 ( ) n k k k z d k k k b z T z a z − = − = = ∑ ∑ 0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔  Par exemple, pour n = 1 et d = 2, on obtient: 0 0 ( ) ( ) d n k k k k a s N k b e N k = = − = −∑ ∑⇔
  • 6. Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 60 Transformée en z Principe: Description de système discrets  Dans le domaine de la transformée en z, on a: 0 ( ) ( ). epkT L e k X p x kT e +∞ − = = ∑  Un signal discret xk est modélisé mathématiquement par pondération d’une distribution peigne de Dirac de période Te par les échantillons xk = x(k.Te): 0 ( ) ( ). ( )d e e k x t x kT t kTδ +∞ = = −∑  Dans le domaine de Laplace, la transformée donne: { }( ) p TL t e τ δ τ − − = { }( ) k eTZ t kT zδ − − = 0 ( ) ( ). k z e k X z x kT z +∞ − = = ∑
  • 7. Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 60 Transformée en z Principe: Description de système discrets  La transformée en z se calcule simplement pour certains signaux:  Pour la fonction Heavyside atténué x(t) = H(t > 0).e−αt (α > 0), on obtient:  Pour la fonction échelon (Heavyside) H(t > 0) = 1, on obtient: 0 0 ( ) ( ). 1 k k z e k k z H z H kT z z z +∞ +∞ − − = = = = = − ∑ ∑ 1 0 1 ( ) . 1 e e e kT k z T T k z X z e z e z z e α α α +∞ − − − −− = = = = − − ∑  Pour la fonction cosinus x(t) = cos(ωt) = (e+jωt +e−jωt )/2, on obtient: 2 21 1 0 cos( )1 1 ( ) . 2 2 cos( ) 11 1 e e e e j kT j kT k e z j T j T k e z z Te e X z z z z Te z e z ω ω ω ω ω ω + −+∞ − + −− − = −+ = = + = − +− − ∑
  • 8. Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 60 2. Propriétés
  • 9. Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 60 Transformée en z Propriétés: Linéarité et translation temporelle  La transformée en z est une transformée linéaire:  Le retard temporel de nT (> 0) échantillons s’écrit:  Le principe de superposition est vérifié: { } { } { }. ( ) . ( ) . ( ) . ( )TZ x t y t TZ x t TZ y tα β α β+ = + ( ){ } ( ){ }( ) .Tn T e eTZ x k n T z TZ x kT− =  L’avance temporelle de nT (< 0) échantillons s’écrit: ( ){ } ( ){ }( ) .Tn T e eTZ x k n T z TZ x kT− =
  • 10. Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 60 3. Tables
  • 11. Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 60 ( )tδ 1 ( )et kTδ − k z− { }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1 ( ) ( )d zx t TZ X z− = ( )H t Transformée en z 1 z z − ( ). t H t e α− eT z z e α− − t 2 ( 1) z z − 2 t 3 ( 1) ( 1) z z z + − / et T a z z a−
  • 12. Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 60 ( ) cos( )t H t e tα ω− Transformée en z cos( )tω sin( )tω 2 2 cos( ) 2 cos( ) 1 e e z z T z z T ω ω − − + 2 sin( ) 2 cos( ) 1 e e z T z z T ω ω− + ( ) sin( )t H t e tα ω− 2 22 cos( ) 2 cos( ) e e e T e T T e z ze T z ze T e α α α ω ω − − − − − + 22 sin( ) 2 cos( ) e e e T e T T e ze T z ze T e α α α ω ω − − − − + 2 ( ) T ek T t∏ ( ).(1 )t H t e α− − (1 ) 1 ( 1)( ) e e e T T T z z z e z z e z z e α α α − − − − − = − − − − ( )1 1 1 T e T e T e T ek T k T k T k Tz z z z z z z z z z + − + − − = − − − − { }( ) ( )z dX z TZ x t={ }1 ( ) ( )d zx t TZ X z− =
  • 13. Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 60 4. Transformée en z
  • 14. Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Conception de filtre numérique dans le domaine de la transformée en z:  La fonction de transfert d’un filtre numérique s’écrit: 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 n n d d b b z b zB z G z A z a z a z − − − − + + + = = + + + L L  La formulation factorisée fait apparaître les zéros zk et les pôles pk du filtre: 1 1 1 1 (1 ) ( ) (0) (1 ) n k k d k k z z G z b p z − = − = − = − ∏ ∏ Les coefficients ak et bk sont réels. Les coefficients zk et pk sont réels ou en paires complexes conjuguées.
  • 15. Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie: n fini) s’écrit:  La formulation factorisée fait apparaître uniquement des zéros zk: 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n B z G z b b z b z A z − − = = + + +L 1 1 ( ) (0) (1 ) n k k G z b z z− = = −∏ Attention: G(z) possède n zéros et n pôles situés à l’origine, en z = 0.  Exemples: Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).  Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:
  • 16. Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 60 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( 1) N N N z z G z N Nz z z − − − − − = = − − Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Forme générale d’un filtre RIF dans le domaine de la TZ:  La TZ d’un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle de durée Finie : N fini) s’écrit:  La formulation factorisée fait apparaître des zéros zk et des pôles pk en z = 0. [ ]1/ 0, 1 ( ) 0 N k N g k ailleurs  = − =   1 0 1 ( ) N k k G z z N − − = = ∑ N zéros, N−1 pôles en z=0, 1 pôle en z=1 N zéros et 1 pôle z = 1 est à la fois pôle et zéro Il reste N−1 zéros et N−1 pôles en z = 0.
  • 17. Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La TZ d’un filtre RII (Réponse Impulsionnelle de durée Infinie: n →+∝) s’écrit:  La formulation factorisée fait apparaître uniquement le pole a: 1 1 ( ) 1 z G z z aaz− = = −−  Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ: [ [( ) pour 0;k g k a k= ∈ +∞ 0 ( ) k k k G z a z +∞ − = = ∑ g(k) kAttention: Série convergente pour |a| < 1.  Remarque: Cette TZ correspond à la RI d’une exponentielle. Pôle en z = a Zéro en z = 0
  • 18. Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Exemple:  Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ: ( ) 0,5. ( 1) 2. ( )y k y k x k= − + 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 0,5. z z Y z G z X z z− = = −  La formulation factorisée fait apparaître le pole a = 0,5: 1 2 2 ( ) 1 z G z z aaz− = = −− g(k) kAttention: Série convergente car |a| < 1. Pôle en z = a Zéro en z = 0  La table donne: ( ) 2.(0,5) . ( )k g k H k=
  • 19. Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Exemple:  Forme générale d’un filtre RII dans le domaine de la TZ: ( ) ( 1) ( 1)y k x k x k= − + + 1 1( ) ( ) ( ) z z Y z G z z z X z − + = = +  La transposition dans le domaine de Fourier discrétisé avec z = e+jωTe donne: ( ) 2cos( )e ej T j T e eG T e e Tω ω ω ω− + = + = G(ωTe) ωTeπ/2 π0 0 2 fe/4 fe/20 f Filtre réjecteur de fréquence en fc = fe/2
  • 20. Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 60 Caractéristique Fonction de transfert Réponse en fréquence Réponse en phase Stabilité Complexité de la structure Sensibilité aux erreurs d'arrondi Transformée en z Filtrage numérique: Comparaison Filtre RIF Ne contient que des zéros. Aucune restriction. Parfaitement linéaire si nécessaire. Toujours stables. Proportionnelle à la longueur de la réponse impulsionnelle. Faible, sauf dans le cas d'une réalisation récursive. Filtre RII Contient des pôles et des zéros. Les méthodes limitées aux filtres LP, HP, BP, RB. Approximation d’une phase linéaire. Pôles dans le cercle unité. Plus faible qu'un filtre FIR pour la même sélectivité. Les pôles peuvent passer à l'extérieur du cercle unité.
  • 21. Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 60 5. Filtrage numérique
  • 22. Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 60 Transformée en z Filtrage: Forme générale  La TF permet de déterminer les spectres et le produit d’un filtre:  Intérêt de la TF: Signaux continus x(t) xf(t) X(f) Xf(f) ×∗ g(t) G(f)Filtre Signal brut Signal filtré Convolution Produit TF TF−1 ( ) ( ). ( )fX f G f X f=( ) ( ) ( )fx t g t x t= ∗
  • 23. Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La FFT permet de déterminer la FT (Fonction de Transfert) d’un filtre discret:  Intérêt de la FFT: Signaux discrets x(k) xf(k) X(k) Xf(k) ×∗ g(k) G(k)Filtre Signal brut Signal filtré Convolution Produit FFT IFFT ( ) ( ). ( )fX k G k X k=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗
  • 24. Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:  Intérêt de la TZ: Signaux discrets x(k) xf(k) Xz(z) Xz,f(z) ×∗ g(k) Gz(z)Filtre Signal brut Signal filtré Convolution Produit TZ , ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗ TZ−1
  • 25. Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:  Intérêt de la TZ: Signaux discrets , ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗  Convolution:  Produit de TZ: 0 ( ) ( ). ( ) k f n x k g k n x k = = −∑soit Au total, le calcul d'une convolution sur N points nécessite donc: n(n+1)/2 additions et n(n+1)/2+1 multiplications  Illustration: Convolution d'une porte rectangle par elle-même:
  • 26. Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 60 6. Filtres RII
  • 27. Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Filtres RII  Méthodologie:  Filtres de type RII:  Ressemblance avec les filtres analogiques:  Equation différentielle et fonction de transfert.  Filtres analogiques ⇔ Filtres numériques RII. 1 1 1 1 (1 ) ( ) (0) (1 ) n k k d k k z z G z b p z − = − = − = − ∏ ∏
  • 28. Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Filtres RII  Forme générale:  Filtres de Butterworth:  Coefficients: 2 2 1 ( ) ( ). ( ) 1 n H H Hω ω ω ω = = − +  Fonction de transfert: Pour un filtre de Butterworth, on a : - Pas d’ondulation dans la bande passante. - Pour f >> fc, on retrouve les propriétés d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade. - Pour tout ordre n, G(fc) = −3 dB.
  • 29. Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Filtres RII  Forme générale:  Filtres de Chebyshev:  Coefficients: 2 2 1 ( ) 1 ( )n H C ω ε ω = +  Fonction de transfert: 2 10( ) 10log (1 )G ω ε∆ = − + Pour un filtre de Chebyshev, on a : - Ondulation dans la bande passante. - Pour f >> fc, on retrouve les propriétés d’un filtre d’ordre n: −20.n dB/décade. - Coupure très raide pour f > fc. - Phase moins linéaire que Butterworth. Ondulation:
  • 30. Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Filtres RII  Filtres: Comparaison  Fonctions de transfert:
  • 31. Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Filtres RII  Synthèse des filtres numériques RII:  Filtres de type RII: Plan des z Plan des p Spécifications sur le cercle unité Spécifications sur l'axe imaginaire Approximation Synthèse Fonction de transfert g(z) Fonction de transfert G(p) Filtre analogiqueFiltre discret  Méthodes d’optimisation numériques
  • 32. Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 60 7. Filtres RIF http://z.oumnad.123.fr/Signal/TNS.pdf
  • 33. Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Passe-Bas:  Fonctions de transfert G(f) idéales de 4 types de filtres:  Passe-Bande:  Passe-Haut:  Coupe-Bande: fc f 0 1 fc f 0 1 fc1 f 0 1 f 0 1 fc2 fc1 fc2  Pour les systèmes discrets, on cherche G(z) et non plus G(f).
  • 34. Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Fenêtrage  Fenêtres d'apodisation: Comparaison: [Harris, 1978] http://www.utdallas.edu/~cpb021000/EE 4361/Great DSP Papers/Harris on Windows.pdf sin ( ) . sin e f j ef e f N f W f e f f π π π    ÷  =    ÷  
  • 35. Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Fenêtrage  Fenêtres d'apodisation: Comparaison: [Harris, 1978] http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function http://www.bksv.com/doc/Bv0031.pdf TF TF−1
  • 36. Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Fenêtrage  Fenêtres d'apodisation: Comparaison: [Harris, 1978] FFT IFFT
  • 37. Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Fenêtrage  Fenêtres d'apodisation: Comparaison −13,3 dB −31,5 dB Rectangle 1 1 si ( ) 2 0 sinon N k w k − ≤ =   Hanning 1 2 1 1 cos si ( ) 2 1 2 0 sinon k N k w k N π   −  − ≤  ÷ ÷= −     
  • 38. Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Fenêtrage −40,6 dB −31,5 dB −13,3 dB
  • 39. Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Le tracé de G(z) n’étant pas parlant, on préfère remplacer z par exp(j2πf/fe)  Filtre numérique Passe-Bas: fe/2 f0 1 fc fe  Réponse impulsionnelle: G(f) 2 2 ( ) sincc c e e f f g k k f f   =  ÷    Spectre discret du filtre Passe-Bas: Périodisation du spectre g(k) k  Cette RI n’est ni finie, ni causale.
  • 40. Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  La TZ permet de déterminer la RI (Réponse Impulsionnelle) d’un filtre discret:  Intérêt de la TZ: Signaux discrets x(k) xf(k) Xz(z) Xz,f(z) ×∗ g(k) Gz(z)Filtre Signal brut Signal filtré Convolution Produit TZ , ( ) ( ). ( )z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k= ∗ TZ−1
  • 41. Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Comme g(k) décroît rapidement, on l’approxime par sa troncature gw(k) :  Filtre numérique Passe-Bas: avec la fenêtre (signal porte): sin ( ) sin e e f N f W f f f π π    ÷  =    ÷   g(k) k  La FT de cette porte échantillonnée est: 1 1 si ( ) 2 0 sinon N k w k − ≤ =   0 1 w(k) k+(N−1)/2−(N−1)/2 ( ) ( ). ( )wg k g k w k=
  • 42. Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:  Filtre numérique Passe-Bas: sin ( ) ( ) sin e w e f N f G f G f f f π π    ÷  = ∗    ÷    La fonction de transfert est alors: ( ) ( ) ( )wG f G f W f= ∗ fe f ffe G(f) Gw(f)  Ondulation de la fonction de transfert, résultant de la troncature (RIF). soit ( ) ( ). ( )wg k g k w k=
  • 43. Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Le produit de signaux échantillonnés donne une convolution (∗) de leurs spectres:  Filtre numérique Passe-Bas: ( ) ( ). ( )wg k g k w k=  La réponse impulsionnelle initiale est non causale: g(k) k g(k) k  La réponse impulsionnelle initiale est causale:  Le module de la TF reste inchangé. 2 2 ( ) sincc c w e e f f g k k f f   =  ÷   2 2 1 ( ) sinc 2 c c c e e f f N g k k f f  −  = − ÷ ÷    1 2 N k − ≤si
  • 44. Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  D’après la fonction de transfert de la FT d’un déphaseur, on a:  Filtre numérique Passe-Bas:  Le module de la TF reste inchangé. sin ( ) ( ) sin e w e f N f G f G f f f π π    ÷  = ∗    ÷   ( 1) sin ( ) ( ) . sin e f j N e f wc e f N f G f G f e f f π π π − −     ÷ ÷   ÷= ∗  ÷   ÷ ÷ ÷     La réponse impulsionnelle initiale est non causale:  La réponse impulsionnelle initiale est causale: 2 2 1 ( ) sinc 2 c c wc e e f f N g k k f f  −  = − ÷ ÷    ( ) ( ). ( )wg k g k w k= 2 2 ( ) sincc c w e e f f g k k f f   =  ÷   1 2 N k − ≤si
  • 45. Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Le filtre réalisable Gwc(f) n ’est qu’une approximation du filtre recherché G(f) :  Filtre numérique Passe-Bas: ( 1) sin ( ) ( ) . sin e f j N e f wc e f N f G f G f e f f π π π − −     ÷ ÷   ÷= ∗  ÷   ÷ ÷ ÷    0 1 k 1+δ1 1−δ1  Ondulation dans la Bande Passante: 2δ1  Ondulation dans la Bande Coupée: δ2 δ2  Transition de coupure da Bande: ∆fT ∆fT
  • 46. Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:  Filtre numérique Passe-Haut: 2 2 1 1 ( ) sinc cos 2 2 e c e c wc e e f f f f N N g k k k f f π  − − −  −     = − − ÷  ÷ ÷  ÷       ( )wcg k ( )wcG f 1 2 N k − ≤,
  • 47. Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:  Filtre numérique Passe-Bande: , 1 2 N k − ≤ ( )wcg k ( )wcG f 2 1 2 1 2 11 1 ( ) sinc 2cos 2 2 wc e e e f f f f f fN N g k k k f f f π    − − +− −    = − − ÷  ÷ ÷  ÷       
  • 48. Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Une démarche similaire permet de réaliser les autres types de filtres:  Filtre numérique Coupe-Bande: 1 2, ( ) , ( )( ) ( ) ( )wc wc LP f wc HP fg k g k g k= + Passe-Bas fc = f1 Passe-Haut fc = f2 ( )wcg k ( )wcG f
  • 49. Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 60 function h = myfirb(N,f1,f2,fe); fo=(f1+f2)/fe; B=(f2-f1)/fe; N2=(N-1)/2; n=0:N-1; h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2)); Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Passe-Bas:  Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:  Passe-Bande:  Passe-Haut:  Coupe-Bande: function h = myfirs(N,f1,f2,fe); f1=f1/fe; f2=f2/fe; N2=(N-1)/2; B1=2*f1; B2=1-2*f2; n=0:N-1; h= B1 * sinc(B1*(n-N2)) + B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(%pi*(n-N2)); function h=myfirl(N,fc,fe) B=2*fc/fe; n=0:N-1; h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2)); function h = myfirh(N,fc,fe) B=1-2*fc/fe; n=0:N-1; N2=(N-1)/2; h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));
  • 50. Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral  Echelle linéaire: Fenêtre rectangle  Echelle dB: Fenêtre rectangle
  • 51. Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral  Echelle lin.: Fenêtre de Hamming  Echelle dB: Fenêtre de Hamming
  • 52. Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral  Echelle lin.: Fenêtre de Blackman  Echelle dB: Fenêtre de Blackman
  • 53. Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral  Echelle lin.: Fenêtre de Kaiser  Echelle dB: Fenêtre de Kaiser
  • 54. Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Utilisation de fenêtres d'échantillonnage moins abruptes:  Filtres numérique: Filtre RIF avec fenêtrage spectral  Echelle lin.: Fenêtre de Hanning  Echelle dB: Fenêtre de Hanning
  • 55. Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Exemple: Filtre Passe-Bas  Filtres numérique: Fenêtrage  Si la fréquence d'échantillonnage est fe = 8 kHz, déterminer la réponse impulsionnelle d'un filtre RIF d'ordre N = 21, de fréquence de coupure fc = 1 kHz, et tracer le module de la fonction de transfert dans les deux cas suivants : 1) Troncature par fenêtre carrée: 2) Troncature par fenêtre de Hamming:
  • 56. Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Exemple: Filtre Passe-Bas  Filtres numérique: Fenêtrage  1) Troncature par fenêtre carrée:
  • 57. Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 60 Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Exemple: Filtre Passe-Bas  Filtres numérique: Fenêtrage  2) Troncature par fenêtre de Hamming:
  • 58. Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 60 8. Scripts RII et RIF www.eeng.dcu.ie/~ee317/Matlab_Clones/signal.pdf
  • 59. Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 60 hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03]); [hzm,fr]=frmag(hz,256); figure; plot2d(fr',hzm'); Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Passe-Bas:  Scripts de calcul de filtres RII et causal pour les 4 types de filtres:  Passe-Bande:  Passe-Haut:  Coupe-Bande: hz=iir(16,'sb','cheb2',[.2 .4],[0.1 .1]); [hzm,fr]=frmag(hz,256); figure; plot2d(fr',hzm'); hz=iir(4,'lp','butt',[.2 0],[0 0]); [hzm,fr]=frmag(hz,256); figure; plot2d(fr,hzm); hz=iir(16,'hp','butt',[.2 0],[0 0]); [hzm,fr]=frmag(hz,256); figure; plot2d(fr',hzm');
  • 60. Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 60 [h,hm,fr]=wfir('bp',8,[0.2 .3],'kr',[0.2 0.1]); figure; plot2d(fr,hm); Transformée en z Filtrage numérique: Forme générale  Passe-Bas:  Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:  Passe-Bande:  Passe-Haut:  Coupe-Bande: [h,hm,fr]=wfir('sb',64,[0.1 .3],'kr',[0.2 0.1]); figure; plot2d(fr,hm); [h,hm,fr]=wfir('lp',33,[0.2 0],'hm',[0 0]); figure; plot2d(fr,hm); t = 0:200; x = sin(2*%pi*t/20)+sin(2*%pi*t/3); hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33); yhz=flts(x,hz); figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r'); [h,hm,fr]=wfir('hp',8,[0.1 0],'hn',[0 0]); figure; plot2d(fr,hm); t = 0:200; x = sin(2*%pi*t/40)+sin(2*%pi*t/3); hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33); yhz=flts(x,hz); figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');