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Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 49
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM2 :  Conversion
Analogique-Numérique
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII
Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 49
PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage
Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 49
Conversion Analogique-Numérique
 Principe
 Echantillonnage
 Quantification
 Traitement Numérique du Signal
 Conclusion
Plan
Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 49
1. Numérisation
Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 49
 Oreille :
Acoustique audible
f
Sensibilité
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
Sons audibles UltrasonsInfrasons
 MP3 :
 Téléphonie fixe :
 CD :
f
22 kHz0
f
22 kHz0
f
3,4 kHz0 300 Hz
Bande passante
Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 49
Acoustique audible
f (Hz)
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
0
50
100
150
Voix
Musique
Audible
Seuil
de perception
Seuil de douleur
pa (dB)
 Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
Seuils de perception et de douleur
 Dépendance en fréquence
Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 49
Effet de masquage: "psycho-acoustique"
 Exploité par le format MP3
Acoustique audible
f (Hz)
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
0
50
100
150
Seuil
de perception
normal
pa (dB)
Bruit
Modification du
seuil
de perception
Son intense
 Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 49
Signal analogique/numérique
 Numérisation d’un signal : x(t) → xn(tn)
 Nécessaire pour le stockage et/ou le transport
 Echantillonnage : fréquence d ’échantillonnage fe
Transducteur
acoustique
électrique
Transducteur
électrique
acoustique
U
Signal
acoustique
Signal
acoustique
Signal
électrique
 Quantification : nombre de bits Nbits
t
∆t
∆x
Pas de temps :
Pas de quantification :
1
e
t
f
∆ =
max( ) min( )
2 1bitsN
x x
x
−
∆ =
−
x(t)
xn(tn)
Acquisition d’un signal analogique :
Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 49
Signal analogique/numérique
 Fréquences d'échantillonnage et quantification: Applications
Acquisition d’un signal analogique :
f200 Hz 4 kHz
A
feSpectreDomaine Quantification Débit
f40 Hz 15 kHz
A
t
64 µs
A
Téléphonie
numérique
Audio
numérique
HiFi
Vidéo
numérique
Source: "Analyse et traitement des signaux – Méthodes et application au son et à l'image", Ed. Dunod, p.52.
8 kHz
44,1 kHz
13 MHz
8 bits
16 bits (/canal)
8 bits (N&B)
24 bits (coul.)
64
kbits/s
705
kbits/s
100 à 300
Mbits/s
Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 49
2. Echantillonnage
Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 49
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
 Une tendance linéaire se dégage.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
 La distribution de points expérimentaux est la suivante :
 Points (xk, yk) expérimentaux : k est un entier ∈ [1; 21]
Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 49
 L’erreur absolue commise vaut 1, mais l’erreur relative atteint 80 %
pour le deuxième point.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
 La distribution de points expérimentaux est la suivante :
 Régression linéaire: Soit x∈[0;5] et ylinéaire = a.x+b
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 49
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
 La distribution de points expérimentaux est la suivante :
 Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + sin(2π x)
 Ce modèle défini sur [0; 5] décrit bien l’évolution des points expérimentaux.
Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 49
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
 La distribution de points expérimentaux est la suivante :
 Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + triangle(2π x)
 Ce modèle défini sur [0; 5] convient tout autant que le précédent.
 Seul un sur-échantillonnage permettrait de déterminer le meilleur des deux.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 49
min
max
. 2e
points e
f
N f T
f
= = ≥
Npoints = 20 points/période
0 10 20 30 40
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 10 20 30 40
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
Npoints = 4 points/période
 Condition de Shannon : fe ≥ 2.fmax
 Echantillonnage minimum :
Echantillonnage
Echantillonnage : Discrétisation en temps
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 49
Signal numérique
 CD :
 WAV :
Echantillonnage : fe = 44,1 kHz
Quantification : Nbits = 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 2 voies
Débit :
D = fe.Nbits.Nvoies= 1411 kbits/s
Echantillonnage : fe = 8, 11, 22, 44 ou 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :
D = 64 à 1536 kbits/s
 MP3, WMA, OGG... :
Echantillonnage : fe = 8 à 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :
D = 32 à 320 kbits/s (MP3)
D = 48 à 500 kbits/s (OGG)
 Téléphone mobile : Débit : D = 6,5 ou 13 kbits/s
Débit associé à un format
Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 49
3. Quantification
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 49
Quantification
max( ) min( )
q
U U
U
N
−
∆ =
 Pas de quantification :
2
U
U
ε
∆
= ±
 Erreur de quantification :
 Pas de valeur discrète
pour U = 0.
 Erreur relative importante
pour les faibles valeurs de U.  Quantification uniforme sur 10 niveaux.
Quantification : Discrétisation en amplitude
2
q
U
N
∆ =soit : si U ∈[−1; +1].
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 49
Quantification
 Quantification uniforme
sur Nq = 16 niveaux.
 Calées sur le max ou le min et val. 0 :
max
1
1;q q
q
U N
U N
 − 
∈ − +  ÷
    
max
1
; 1q q
q
U N
U N
 − 
∈ − +  ÷
    
 Calées sur le max et le min et val. 0 :
[ ]
max
1; 1qU
U
 
∈ − + ÷
 
! Nq = 17 !
 En pratique, il existe de nombreuses
possibilités de quantification uniforme :
Quantification : Discrétisation en amplitude
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 49
Quantification
 En pratique, il existe de nombreuses
possibilités de quantification uniforme :
 Centrée sur 0 et erreur min :
max
1 1
;q q q
q q
U N N
U N N
 − − 
∈ − +  ÷
    
[ ]
max
1; 1qU
U
 
∈ − + ÷
 
 Centrée sur 0 et val. max et min :
 Quantification uniforme
sur Nq = 16 niveaux.
Quantification : Discrétisation en amplitude
C’est la quantification de référence.
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 49
Quantification
 Erreur de quantification uniforme
centrée sur 0 pour Nq = 16.
 Si U ∈ [ −Umax; +Umax ] :
max2
q
U
U
N
∆ =
 L’erreur de quantification q est
aléatoire et uniformément distribuée:
 Evaluation du bruit de quantification
en fonction de Umax et Nq :
Quantification : Discrétisation en amplitude
1
( )p q
U
=
∆ 2 2
U U
q
∆ ∆
− ≤ ≤ +si
0 sinon
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 49
Dans le cas d'une quantification, on distingue le signal quantifié xout et
l'erreur de quantification ε.
 L'erreur de quantification est bornée :
 L'erreur de quantification s'écrit :
max
2
U
ε
∆
= +
xin
+∆U/2
−∆U/2
( )inx t at=
min
2
U
ε
∆
= −et
pour ;
2 2
U U
t
a a
∆ ∆ 
∈ − +  
 La valeur RMS est donnée par :
/2
2
/2
( ) .
12
U a
RMS
U a
a U
at dt
U
ε
+∆
−∆
∆
= =
∆ ∫
ε
xout
Quantification : Erreur de quantification
Quantification
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 49
Dans le cas d'une quantification d'un signal sinusoïdal, on écrit :
 L'amplitude du signal sinusoïdal :
 L'amplitude du signal d'entrée s'écrit :
t
2
2
N
U
A
∆
=
 La valeur RMS du signal d'entrée s'écrit :
,
2 2
2 2
N
in RMS
U
x
∆
=
xin(t)
Quantification
( ) sin(2 )inx t A ftπ=
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
 Le rapport signal sur bruit s'écrit :
, 2 2 12 3
. 2
2 2 2
N
in RMS N
RMS
x U
SNR
Uε
∆
= = =
∆
+A
−A
2N
∆U
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 49
2
2
2 2
max max
32
12 2
2
N
Nin in
in
RMS
P P
SNR P
U Uε
 
= = = ÷
 
Quantification
 Rapport signal sur bruit SNR (dB)
en fonction du nombre de bits de
quantification N, pour Umax = 1 V
et Pin = 1 W.
 La variance de l’erreur est :
2
2 ( )
12
RMS
U
ε
∆
=
 Dans le cas d‘une quantification binaire
sur N bits, on a :
 Le rapport signal sur bruit est lié à la
variance de l’erreur :
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
2N
qN =
2
2 max21
12
RMS
q
U
N
ε
 
=  ÷ ÷
 
 Le rapport signal sur bruit est :
et
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 49
Quantification
 Le signal est beaucoup mieux
quantifié pour les petites valeurs.
 La quantification sur une échelle
logarithmique permet de minimiser
l ’erreur sur les petites valeurs de xin.
 La loi de quantification est fixée par des
normes et protocoles. Par exemple, la loi
A (ITU-T G711) loi A, donne :
 En pratique, la quantification linéaire
n’est pas satisfaisante :
Quantification : Discrétisation en amplitude
( )c x =
max
max
1 ln( / )
sgn( )
1 ln( )
A x x
x x
A
+
+
sgn( )
1 ln( )
A x
x
A+
si
sinon.
 Dans l ’exemple, on a Nq/2 pas de
quantification entre -0,1 et +0,1.
max
1x
x A
<
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 49
Quantification
 Avec la loi A, le SNR est
amélioré jusqu’à Pin = −15 dB.
 La loi de quantification appelée loi A
(ITU-T G711), avec A = 87,6 donne :
Quantification : Discrétisation en amplitude
( )c x =
max
max
7,453 ln( / )
sgn( )
7,453
x x
x x
+
11,75 sgn( )x x
max
1x
x A
<si
 La loi qe quantification appelée loi µ
(ITU-T G711), avec µ = 255, donne :
max
max
ln(1 / )
( ) sgn( )
ln(1 )
µ x x
c x x x
µ
+
=
+
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 49
Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
 Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
 On a vu la loi de quantification dite loi A :
( )c x =
max
max
1 ln( / )
sgn( )
1 ln( )
A x x
x x
A
+
+
sgn( )
1 ln( )
A x
x
A+
si
sinon.
max
1x
x A
<
 On associe à la loi A une fonction réciproque :
1
( )c y−
=
(1 ln( ))
1
sgn( )
y A
e
y
A
+
−
si
sinon.
1
1 ln( )
y
A
<
+
1 ln( )
sgn( )
A y
y
A
+
Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 49
Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
 Les lois de quantification ont été
standardisées par ITU-T G711.
 On a vu la loi de quantification
dite loi µ :
 On associe à la loi µ une fonction
réciproque :
ln(1 )
1 1
( ) sgn( )
y µ
e
c x y
µ
+
− −
=
max
max
ln(1 / )
( ) sgn( )
ln(1 )
µ x x
c x x x
µ
+
=
+
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 49
Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
 Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
(dB) 6,02 bitsSNR N=
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 49
Quantification
 Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
Quantification : Discrétisation en amplitude
 Le G.711 est une norme de compression audio de l'UIT-T, basée sur les lois
de quantification A (Europe, Afrique) ou µ (Amérique du Nord, Japon).
Échantillonnage : 8 kHz pour une bande passante entre 300 et 3400 Hz
Bande passante : 64 ou 56 kbit/s
Type de codage : MIC (Modulation d'impulsion codée, PCM en anglais)
 Son principe repose sur une grille de quantification non linéaire, permettant
de diminuer le rapport signal-sur-bruit de l'erreur de quantification pour les sons
de faible amplitude. Une quantification sur 8 bits en G.711 correspond à une
quantification sur 12 bits en PCM en ce qui concerne l'erreur de quantification.
 La norme G.711 a été révisée en 2000. Elle est la base de transport de la voix
sur le réseau téléphonique commuté (RTC, PSTN en anglais) ou sur le RNIS
(ISDN en anglais) et est également utilisée pour le transport de la voix avec peu
de compression dans les réseaux IP (100 % des offres ADSL correspondantes en
France).
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 49
Quantification
 Companding (Compress Expand) :
Quantification : Discrétisation en amplitude
COmpresser DECompresser
b = 8 bit
 SNR
Quantifier
)( enTx ][xQy = )( eb nTy )( eDEC nTx
piano_c3 Α 8 bit Α-1
8 bit
bitB 16=
)( enTx
)( enTy )(8 enTy
)( erec nTx
1/8
)(8 enTx
bitB 8=
bitB 8=
 Amélioration :
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 49
4. Traitement Numérique du Signal
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Chaîne d'acquisition, traitement, action
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Description d’un système analogique
Un système analogique peut être caractérisé dans différents domaines:
 Dans le domaine temporel, par une équation différentielle de la forme:
0 0
( ) ( )k kk d k n
k kk k
k k
d s t d e t
a b
dt dt
= =
= =
=∑ ∑
 Dans le domaine de Fourier:
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
k n
k
k
kF
F k d
kF
k
k
b j
S
T
E
a j
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
= =
∑
∑
 Par exemple, pour a = [1, τ], b = [K] et e(t) = E (entrée indicielle), on obtient:
( )
( ) .
ds t
s t K E
dt
τ + =
.
( )
1
F
K E
T
j
ω
ωτ
=
+
⇔
0
0
( )
( )
( )
k n
k
k
kL
L k d
kL
k
k
b p
S
T
E
a p
ω
ω
ω
=
=
=
=
= =
∑
∑
 Dans le domaine de Laplace:
⇔
.
( )
1
L
K E
T
p
ω
τ
=
+
Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Description d’un système numérique
1
0 1
1 2
1 2
( )
1
z
b b z
T z
a z a z
−
− −
+
=
+ +
Un système numérique peut être caractérisé dans différents domaines:
 Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:
0
0
( )
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
T z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
 Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence:
0 0
( ) ( )
d n
k k
k k
a s N k b e N k
= =
− = −∑ ∑
0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔
 Par exemple, pour a0 = 1, d = 2 et n = 1, on obtient:
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée en z
La transformée en z est un outil mathématique de traitement du signal.
 Elle est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.
 Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à
réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des
systèmes dynamiques de manière discrète.
 La transformée de Fourier discrète est un cas particulier de la
transformée en z.
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée en z
La transformée en z est la transformée de Fourier d’un signal
échantillonné. La transformée en Z est la généralisation de la
Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD XF(ω) peut être trouvée en
évaluant Xz(z) en z = ejω
, (en d'autres termes sur le cercle unité):
0
( ) ( ) k
z
k
X z x k z
+∞
−
=
= ∑ 0
( ) ( ) j k
F
k
X x k e ω
ω
+∞
−
=
= ∑
 C’est un outil incontournable pour l’étude des signaux numérisés.
En pratique, on utilise une table de transformées de Laplace.
0
( ) ( ) pTk
L
k
X p x k e
+∞
−
=
= ∑
 La transformée de Laplace XL(p) est obtenue en évaluant Xz(z) en z = epT
:
0
( ) ( ) k
z
k
X z x k z
+∞
−
=
= ∑ ⇔
⇔
Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Le filtrage permet de sélectionner la partie utile du spectre:
 Les filtres IIR (Infinite Impulse Response) qui sont obtenus à partir des
fonctions analogiques (passage de s à z):
 Les filtres FIR (Finite Impulse Response) sont simples à mettre en
oeuvre et ont une phase linéaire. Ils sont obtenus en échantillonnant la
réponse impulsionnelle du filtre voulu:
1
0
( )
n
k
z k
k
H z b z
−
−
=
= ∑
1
0
1
1
( )
1
n
k
k
k
z d
k
k
k
b z
H z
a z
−
−
=
−
−
=
=
+
∑
∑
 Les filtres adaptatifs ont des coefficients mis à jour régulièrement en
minimisant un critère (moindres carrés). Ils peuvent être de type FIR ou IIR.
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Les filtres adaptatifs permettent d’optimiser le filtrage de x(k) pour obtenir
y(k) par minimisation d ’un critère d’erreur e(k):
 Wiener, gradient, gradient stochastique, ... :
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Le vecteur w(k) est mis à jour en minimisant le carré du signal d'erreur
entre le signal désiré d(k), et la sortie y(k): e(k) = d(k) - y(k).
 En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs:
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète DFT (Discrete Fourier Transform) est
déterminée pour un nombre N fini de points du signal x(1) à x(N).
 En pratique cette somme est calculée en utilisant des de type FFT (Fast
Fourier Transform): [Cooley&Tukey, 1965]
21
0
( ) ( )
knN j
N
F
k
X n x k e
π− −
=
= ∑
0 1k N≤ ≤ −avec
 Le nombre d’opérations et temps de
calcul sont proportionnels à:
N2
pour la DFT
2N.log2(N) pour la FFT
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.
 La fonction d’intercorrélation traduit la similitude d’un signal temporel par
rapport à un autre signal décalé dans le temps. Pour deux signaux x(t) et
y(t) de durée infinie, on a:
Cette fonction quantifie dans quelle mesure on a :
 L’autocorrélation est l'intercorrélation d'un signal
avec lui-même:
( ) ( ) ( )xyC t x y t dτ τ τ
+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )xxC t x x t dτ τ τ
+∞
−∞
= −∫
( ) . ( )x t a y t bτ= − +
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.
 L’intercorrélation:
1
( ) ( ) ( )
N n
xy
k
r n x k y k n
−
=
= +∑
 L’autocorrélation:
1
( ) ( ) ( )
N n
xx
k
r n x k x k n
−
=
= +∑
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Distribution
Les signaux suivent une loi de distribution.
 Loi de distribution:
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution.
 Loi uniforme:
1
pour ( , )
( )
0 sinon
X
x a b
p x b a

∈
= −

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Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution.
 Loi gaussienne:
( )







 −
−= 2
2
2
exp
2
1
)(
σπσ
mx
xpX
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Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution.
 Loi de Rayleigh:
0
2
exp)( 2
2
2
≥





−= x
xx
xpX
σσ
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Traitement Numérique du Signal
Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante
utile et une composante perturbatrice: le bruit.
 Le RSB (Rapport Signal sur Bruit) ou SNR (Signal to Noise Ratio)
10
( )
( ) 10log
( )
utile
dB
bruit
P f
SNR f
P f
 
=  ÷
 
10
( )
( ) 20log
( )
utile
dB
bruit
U f
SNR f
U f
 
=  ÷
 
2
U
P
R
= La puissance P s ’exprime en fonction de la tension U:
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante
utile et une composante perturbatrice: le bruit.
 Le SNR (Signal to Noise Ratio) est donné en dB:
( )dBSNR f
( )
( )
utile
bruit
U f
U f10 100 1000 100001
0
+20
+40
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  • 1. Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 49 Novembre 2011. Traitement Numérique du Signal CM2 :  Conversion Analogique-Numérique Université du Havre, IUT du Havre Département GEII
  • 2. Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 49 PPN 2008: MC-II3 Traitement du signal Applications en GEII Mise en œuvre Test DSP CAN/CNA TF, compression, codage
  • 3. Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 49 Conversion Analogique-Numérique  Principe  Echantillonnage  Quantification  Traitement Numérique du Signal  Conclusion Plan
  • 4. Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 49 1. Numérisation
  • 5. Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 49  Oreille : Acoustique audible f Sensibilité 20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz Sons audibles UltrasonsInfrasons  MP3 :  Téléphonie fixe :  CD : f 22 kHz0 f 22 kHz0 f 3,4 kHz0 300 Hz Bande passante
  • 6. Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 49 Acoustique audible f (Hz) 20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz 0 50 100 150 Voix Musique Audible Seuil de perception Seuil de douleur pa (dB)  Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet Seuils de perception et de douleur  Dépendance en fréquence
  • 7. Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 49 Effet de masquage: "psycho-acoustique"  Exploité par le format MP3 Acoustique audible f (Hz) 20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz 0 50 100 150 Seuil de perception normal pa (dB) Bruit Modification du seuil de perception Son intense  Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
  • 8. Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 49 Signal analogique/numérique  Numérisation d’un signal : x(t) → xn(tn)  Nécessaire pour le stockage et/ou le transport  Echantillonnage : fréquence d ’échantillonnage fe Transducteur acoustique électrique Transducteur électrique acoustique U Signal acoustique Signal acoustique Signal électrique  Quantification : nombre de bits Nbits t ∆t ∆x Pas de temps : Pas de quantification : 1 e t f ∆ = max( ) min( ) 2 1bitsN x x x − ∆ = − x(t) xn(tn) Acquisition d’un signal analogique :
  • 9. Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 49 Signal analogique/numérique  Fréquences d'échantillonnage et quantification: Applications Acquisition d’un signal analogique : f200 Hz 4 kHz A feSpectreDomaine Quantification Débit f40 Hz 15 kHz A t 64 µs A Téléphonie numérique Audio numérique HiFi Vidéo numérique Source: "Analyse et traitement des signaux – Méthodes et application au son et à l'image", Ed. Dunod, p.52. 8 kHz 44,1 kHz 13 MHz 8 bits 16 bits (/canal) 8 bits (N&B) 24 bits (coul.) 64 kbits/s 705 kbits/s 100 à 300 Mbits/s
  • 10. Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 49 2. Echantillonnage
  • 11. Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 49 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 0 1 2 3 4 5 6  Une tendance linéaire se dégage. Ajustement de points expérimentaux Echantillonnage  La distribution de points expérimentaux est la suivante :  Points (xk, yk) expérimentaux : k est un entier ∈ [1; 21]
  • 12. Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 49  L’erreur absolue commise vaut 1, mais l’erreur relative atteint 80 % pour le deuxième point. Ajustement de points expérimentaux Echantillonnage  La distribution de points expérimentaux est la suivante :  Régression linéaire: Soit x∈[0;5] et ylinéaire = a.x+b 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 0 1 2 3 4 5 6
  • 13. Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 49 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 Ajustement de points expérimentaux Echantillonnage  La distribution de points expérimentaux est la suivante :  Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + sin(2π x)  Ce modèle défini sur [0; 5] décrit bien l’évolution des points expérimentaux.
  • 14. Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 49 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 0 1 2 3 4 5 6  La distribution de points expérimentaux est la suivante :  Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + triangle(2π x)  Ce modèle défini sur [0; 5] convient tout autant que le précédent.  Seul un sur-échantillonnage permettrait de déterminer le meilleur des deux. Ajustement de points expérimentaux Echantillonnage
  • 15. Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 49 min max . 2e points e f N f T f = = ≥ Npoints = 20 points/période 0 10 20 30 40 -2 0 2 4 6 8 t (ms) x(t) 0 10 20 30 40 -2 0 2 4 6 8 t (ms) x(t) Npoints = 4 points/période  Condition de Shannon : fe ≥ 2.fmax  Echantillonnage minimum : Echantillonnage Echantillonnage : Discrétisation en temps
  • 16. Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 49 Signal numérique  CD :  WAV : Echantillonnage : fe = 44,1 kHz Quantification : Nbits = 16 bits Nombre de voies :Nvoies = 2 voies Débit : D = fe.Nbits.Nvoies= 1411 kbits/s Echantillonnage : fe = 8, 11, 22, 44 ou 48 kHz Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies Débits : D = 64 à 1536 kbits/s  MP3, WMA, OGG... : Echantillonnage : fe = 8 à 48 kHz Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies Débits : D = 32 à 320 kbits/s (MP3) D = 48 à 500 kbits/s (OGG)  Téléphone mobile : Débit : D = 6,5 ou 13 kbits/s Débit associé à un format
  • 17. Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 49 3. Quantification
  • 18. Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 49 Quantification max( ) min( ) q U U U N − ∆ =  Pas de quantification : 2 U U ε ∆ = ±  Erreur de quantification :  Pas de valeur discrète pour U = 0.  Erreur relative importante pour les faibles valeurs de U.  Quantification uniforme sur 10 niveaux. Quantification : Discrétisation en amplitude 2 q U N ∆ =soit : si U ∈[−1; +1].
  • 19. Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 49 Quantification  Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux.  Calées sur le max ou le min et val. 0 : max 1 1;q q q U N U N  −  ∈ − +  ÷      max 1 ; 1q q q U N U N  −  ∈ − +  ÷       Calées sur le max et le min et val. 0 : [ ] max 1; 1qU U   ∈ − + ÷   ! Nq = 17 !  En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme : Quantification : Discrétisation en amplitude
  • 20. Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 49 Quantification  En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme :  Centrée sur 0 et erreur min : max 1 1 ;q q q q q U N N U N N  − −  ∈ − +  ÷      [ ] max 1; 1qU U   ∈ − + ÷    Centrée sur 0 et val. max et min :  Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux. Quantification : Discrétisation en amplitude C’est la quantification de référence.
  • 21. Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 49 Quantification  Erreur de quantification uniforme centrée sur 0 pour Nq = 16.  Si U ∈ [ −Umax; +Umax ] : max2 q U U N ∆ =  L’erreur de quantification q est aléatoire et uniformément distribuée:  Evaluation du bruit de quantification en fonction de Umax et Nq : Quantification : Discrétisation en amplitude 1 ( )p q U = ∆ 2 2 U U q ∆ ∆ − ≤ ≤ +si 0 sinon
  • 22. Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 49 Dans le cas d'une quantification, on distingue le signal quantifié xout et l'erreur de quantification ε.  L'erreur de quantification est bornée :  L'erreur de quantification s'écrit : max 2 U ε ∆ = + xin +∆U/2 −∆U/2 ( )inx t at= min 2 U ε ∆ = −et pour ; 2 2 U U t a a ∆ ∆  ∈ − +    La valeur RMS est donnée par : /2 2 /2 ( ) . 12 U a RMS U a a U at dt U ε +∆ −∆ ∆ = = ∆ ∫ ε xout Quantification : Erreur de quantification Quantification
  • 23. Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 49 Dans le cas d'une quantification d'un signal sinusoïdal, on écrit :  L'amplitude du signal sinusoïdal :  L'amplitude du signal d'entrée s'écrit : t 2 2 N U A ∆ =  La valeur RMS du signal d'entrée s'écrit : , 2 2 2 2 N in RMS U x ∆ = xin(t) Quantification ( ) sin(2 )inx t A ftπ= Quantification : Rapport Signal sur Bruit  Le rapport signal sur bruit s'écrit : , 2 2 12 3 . 2 2 2 2 N in RMS N RMS x U SNR Uε ∆ = = = ∆ +A −A 2N ∆U
  • 24. Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 49 2 2 2 2 max max 32 12 2 2 N Nin in in RMS P P SNR P U Uε   = = = ÷   Quantification  Rapport signal sur bruit SNR (dB) en fonction du nombre de bits de quantification N, pour Umax = 1 V et Pin = 1 W.  La variance de l’erreur est : 2 2 ( ) 12 RMS U ε ∆ =  Dans le cas d‘une quantification binaire sur N bits, on a :  Le rapport signal sur bruit est lié à la variance de l’erreur : Quantification : Rapport Signal sur Bruit 2N qN = 2 2 max21 12 RMS q U N ε   =  ÷ ÷    Le rapport signal sur bruit est : et
  • 25. Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 49 Quantification  Le signal est beaucoup mieux quantifié pour les petites valeurs.  La quantification sur une échelle logarithmique permet de minimiser l ’erreur sur les petites valeurs de xin.  La loi de quantification est fixée par des normes et protocoles. Par exemple, la loi A (ITU-T G711) loi A, donne :  En pratique, la quantification linéaire n’est pas satisfaisante : Quantification : Discrétisation en amplitude ( )c x = max max 1 ln( / ) sgn( ) 1 ln( ) A x x x x A + + sgn( ) 1 ln( ) A x x A+ si sinon.  Dans l ’exemple, on a Nq/2 pas de quantification entre -0,1 et +0,1. max 1x x A <
  • 26. Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 49 Quantification  Avec la loi A, le SNR est amélioré jusqu’à Pin = −15 dB.  La loi de quantification appelée loi A (ITU-T G711), avec A = 87,6 donne : Quantification : Discrétisation en amplitude ( )c x = max max 7,453 ln( / ) sgn( ) 7,453 x x x x + 11,75 sgn( )x x max 1x x A <si  La loi qe quantification appelée loi µ (ITU-T G711), avec µ = 255, donne : max max ln(1 / ) ( ) sgn( ) ln(1 ) µ x x c x x x µ + = +
  • 27. Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 49 Quantification Quantification : Discrétisation en amplitude  Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.  On a vu la loi de quantification dite loi A : ( )c x = max max 1 ln( / ) sgn( ) 1 ln( ) A x x x x A + + sgn( ) 1 ln( ) A x x A+ si sinon. max 1x x A <  On associe à la loi A une fonction réciproque : 1 ( )c y− = (1 ln( )) 1 sgn( ) y A e y A + − si sinon. 1 1 ln( ) y A < + 1 ln( ) sgn( ) A y y A +
  • 28. Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 49 Quantification Quantification : Discrétisation en amplitude  Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.  On a vu la loi de quantification dite loi µ :  On associe à la loi µ une fonction réciproque : ln(1 ) 1 1 ( ) sgn( ) y µ e c x y µ + − − = max max ln(1 / ) ( ) sgn( ) ln(1 ) µ x x c x x x µ + = +
  • 29. Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 49 Quantification Quantification : Discrétisation en amplitude  Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711. (dB) 6,02 bitsSNR N=
  • 30. Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 49 Quantification  Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711. Quantification : Discrétisation en amplitude  Le G.711 est une norme de compression audio de l'UIT-T, basée sur les lois de quantification A (Europe, Afrique) ou µ (Amérique du Nord, Japon). Échantillonnage : 8 kHz pour une bande passante entre 300 et 3400 Hz Bande passante : 64 ou 56 kbit/s Type de codage : MIC (Modulation d'impulsion codée, PCM en anglais)  Son principe repose sur une grille de quantification non linéaire, permettant de diminuer le rapport signal-sur-bruit de l'erreur de quantification pour les sons de faible amplitude. Une quantification sur 8 bits en G.711 correspond à une quantification sur 12 bits en PCM en ce qui concerne l'erreur de quantification.  La norme G.711 a été révisée en 2000. Elle est la base de transport de la voix sur le réseau téléphonique commuté (RTC, PSTN en anglais) ou sur le RNIS (ISDN en anglais) et est également utilisée pour le transport de la voix avec peu de compression dans les réseaux IP (100 % des offres ADSL correspondantes en France).
  • 31. Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 49 Quantification  Companding (Compress Expand) : Quantification : Discrétisation en amplitude COmpresser DECompresser b = 8 bit  SNR Quantifier )( enTx ][xQy = )( eb nTy )( eDEC nTx piano_c3 Α 8 bit Α-1 8 bit bitB 16= )( enTx )( enTy )(8 enTy )( erec nTx 1/8 )(8 enTx bitB 8= bitB 8=  Amélioration :
  • 32. Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 49 4. Traitement Numérique du Signal
  • 33. Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 49 Traitement Numérique du Signal Chaîne d'acquisition, traitement, action
  • 34. Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 49 Traitement Numérique du Signal Description d’un système analogique Un système analogique peut être caractérisé dans différents domaines:  Dans le domaine temporel, par une équation différentielle de la forme: 0 0 ( ) ( )k kk d k n k kk k k k d s t d e t a b dt dt = = = = =∑ ∑  Dans le domaine de Fourier: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n k k kF F k d kF k k b j S T E a j ω ω ω ω ω = = = = = = ∑ ∑  Par exemple, pour a = [1, τ], b = [K] et e(t) = E (entrée indicielle), on obtient: ( ) ( ) . ds t s t K E dt τ + = . ( ) 1 F K E T j ω ωτ = + ⇔ 0 0 ( ) ( ) ( ) k n k k kL L k d kL k k b p S T E a p ω ω ω = = = = = = ∑ ∑  Dans le domaine de Laplace: ⇔ . ( ) 1 L K E T p ω τ = +
  • 35. Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 49 Traitement Numérique du Signal Description d’un système numérique 1 0 1 1 2 1 2 ( ) 1 z b b z T z a z a z − − − + = + + Un système numérique peut être caractérisé dans différents domaines:  Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert: 0 0 ( ) n k k k z d k k k b z T z a z − = − = = ∑ ∑  Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence: 0 0 ( ) ( ) d n k k k k a s N k b e N k = = − = −∑ ∑ 0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔  Par exemple, pour a0 = 1, d = 2 et n = 1, on obtient:
  • 36. Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 49 Traitement Numérique du Signal Transformée en z La transformée en z est un outil mathématique de traitement du signal.  Elle est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.  Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.  La transformée de Fourier discrète est un cas particulier de la transformée en z.
  • 37. Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 49 Traitement Numérique du Signal Transformée en z La transformée en z est la transformée de Fourier d’un signal échantillonné. La transformée en Z est la généralisation de la Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD XF(ω) peut être trouvée en évaluant Xz(z) en z = ejω , (en d'autres termes sur le cercle unité): 0 ( ) ( ) k z k X z x k z +∞ − = = ∑ 0 ( ) ( ) j k F k X x k e ω ω +∞ − = = ∑  C’est un outil incontournable pour l’étude des signaux numérisés. En pratique, on utilise une table de transformées de Laplace. 0 ( ) ( ) pTk L k X p x k e +∞ − = = ∑  La transformée de Laplace XL(p) est obtenue en évaluant Xz(z) en z = epT : 0 ( ) ( ) k z k X z x k z +∞ − = = ∑ ⇔ ⇔
  • 38. Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 49 Traitement Numérique du Signal Opérations de base du TNS Le filtrage permet de sélectionner la partie utile du spectre:  Les filtres IIR (Infinite Impulse Response) qui sont obtenus à partir des fonctions analogiques (passage de s à z):  Les filtres FIR (Finite Impulse Response) sont simples à mettre en oeuvre et ont une phase linéaire. Ils sont obtenus en échantillonnant la réponse impulsionnelle du filtre voulu: 1 0 ( ) n k z k k H z b z − − = = ∑ 1 0 1 1 ( ) 1 n k k k z d k k k b z H z a z − − = − − = = + ∑ ∑  Les filtres adaptatifs ont des coefficients mis à jour régulièrement en minimisant un critère (moindres carrés). Ils peuvent être de type FIR ou IIR.
  • 39. Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 49 Traitement Numérique du Signal Opérations de base du TNS Les filtres adaptatifs permettent d’optimiser le filtrage de x(k) pour obtenir y(k) par minimisation d ’un critère d’erreur e(k):  Wiener, gradient, gradient stochastique, ... :
  • 40. Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 49 Traitement Numérique du Signal Opérations de base du TNS Le vecteur w(k) est mis à jour en minimisant le carré du signal d'erreur entre le signal désiré d(k), et la sortie y(k): e(k) = d(k) - y(k).  En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs:
  • 41. Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 49 Traitement Numérique du Signal Transformée de Fourier discrète La transformée de Fourier discrète DFT (Discrete Fourier Transform) est déterminée pour un nombre N fini de points du signal x(1) à x(N).  En pratique cette somme est calculée en utilisant des de type FFT (Fast Fourier Transform): [Cooley&Tukey, 1965] 21 0 ( ) ( ) knN j N F k X n x k e π− − = = ∑ 0 1k N≤ ≤ −avec  Le nombre d’opérations et temps de calcul sont proportionnels à: N2 pour la DFT 2N.log2(N) pour la FFT
  • 42. Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 49 Traitement Numérique du Signal Corrélation La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.  La fonction d’intercorrélation traduit la similitude d’un signal temporel par rapport à un autre signal décalé dans le temps. Pour deux signaux x(t) et y(t) de durée infinie, on a: Cette fonction quantifie dans quelle mesure on a :  L’autocorrélation est l'intercorrélation d'un signal avec lui-même: ( ) ( ) ( )xyC t x y t dτ τ τ +∞ −∞ = −∫ ( ) ( ) ( )xxC t x x t dτ τ τ +∞ −∞ = −∫ ( ) . ( )x t a y t bτ= − +
  • 43. Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 49 Traitement Numérique du Signal Corrélation La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux.  L’intercorrélation: 1 ( ) ( ) ( ) N n xy k r n x k y k n − = = +∑  L’autocorrélation: 1 ( ) ( ) ( ) N n xx k r n x k x k n − = = +∑
  • 44. Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 49 Traitement Numérique du Signal Distribution Les signaux suivent une loi de distribution.  Loi de distribution:
  • 45. Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 49 Traitement Numérique du Signal Signaux aléatoires Les signaux suivent une loi de distribution.  Loi uniforme: 1 pour ( , ) ( ) 0 sinon X x a b p x b a  ∈ = − 
  • 46. Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 49 Traitement Numérique du Signal Signaux aléatoires Les signaux suivent une loi de distribution.  Loi gaussienne: ( )         − −= 2 2 2 exp 2 1 )( σπσ mx xpX
  • 47. Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 49 Traitement Numérique du Signal Signaux aléatoires Les signaux suivent une loi de distribution.  Loi de Rayleigh: 0 2 exp)( 2 2 2 ≥      −= x xx xpX σσ
  • 48. Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 49 Traitement Numérique du Signal Rapport Signal sur Bruit Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit.  Le RSB (Rapport Signal sur Bruit) ou SNR (Signal to Noise Ratio) 10 ( ) ( ) 10log ( ) utile dB bruit P f SNR f P f   =  ÷   10 ( ) ( ) 20log ( ) utile dB bruit U f SNR f U f   =  ÷   2 U P R = La puissance P s ’exprime en fonction de la tension U:
  • 49. Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 49 Traitement Numérique du Signal Rapport Signal sur Bruit Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit.  Le SNR (Signal to Noise Ratio) est donné en dB: ( )dBSNR f ( ) ( ) utile bruit U f U f10 100 1000 100001 0 +20 +40 +60 +80

Notes de l'éditeur

  1.  This presentation deals with the “Optimization of Piezoelectric Screen-Printed Multilayer structures for HF Transducers” .  This work was performed at the JSI, Slovenia for the multilayer fabrication , and at the LUSSI, France for the characterization and transducer achievement .
  2. 4/3*625(co./im.)*625 (li./im.)*25 (im./s) = 13 MHz
  3.  This presentation deals with the “Optimization of Piezoelectric Screen-Printed Multilayer structures for HF Transducers” .  This work was performed at the JSI, Slovenia for the multilayer fabrication , and at the LUSSI, France for the characterization and transducer achievement .
  4.  This presentation deals with the “Optimization of Piezoelectric Screen-Printed Multilayer structures for HF Transducers” .  This work was performed at the JSI, Slovenia for the multilayer fabrication , and at the LUSSI, France for the characterization and transducer achievement .
  5.  This presentation deals with the “Optimization of Piezoelectric Screen-Printed Multilayer structures for HF Transducers” .  This work was performed at the JSI, Slovenia for the multilayer fabrication , and at the LUSSI, France for the characterization and transducer achievement .
  6. Identification de système : si l&apos;erreur obtenue est nulle alors les coefficients de la fonction de transfert du filtre adaptatif sont identiques à ceux de la fonction de transfert du système inconnu. Identification de l&apos;inverse d&apos;un système : de la même manière que précédemment si l&apos;erreur obtenue est nulle alors les coefficients de la fonction de transfert du filtre adaptatif sont identiques à ceux de l&apos;inverse de la fonction de transfert du système inconnu. Le délai est nécessaire pour rendre le système causal. Suppression de bruit : dans ce système on utilise un bruit n&apos;(k) corrélé avec le bruit n(k) à éliminer. Dans ce cas, le filtre adapte ses coefficients pour que l&apos;on obtiennne e(k) » s(k). Filtre prédictif : dans ce cas si l&apos;erreur tend vers 0 alors le filtre peut prévoir les échantillons futurs du signal s(k) qui sont basés sur les observations précédentes. Ceci peut fonctionner sur des signaux périodiques. L&apos;une des applications est l&apos;extraction de signaux noyés dans le bruit. On peut également utiliser ce système pour atténuer les variations d&apos;un signal, mais c&apos;est une application impossible à réaliser en temps réel.