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1Automatique
Réponse temporelle des systèmes
dynamiques continus LTI
UV Automatique
ASI 3
Cours 2
2Automatique
Contenu
! Introduction
! Etude des systèmes du premier ordre
" Intégrateur
" Système du 1er ordre
! Etude des systèmes du 2ème ordre
" Système du 2ème ordre avec réponse apériodique
" Système du 2ème ordre avec réponse oscillatoire
! Systèmes d'ordre supérieur à 2 et autre système
" Notion de pôles dominants
" Système avec retard
3Automatique
Introduction
! Système continu LTI
! Décomposition en éléments simples
u(t) H(s) y(t) H(s) : fonction de transfert
Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en réponse
aux signaux usuels :
# impulsion de Dirac u(t)=δ(t)
# signal échelon u(t)=Γ(t)
# signal rampe u(t)=v(t)
∑=
i
i sHsH )()( Hi(s) : fonction de transfert de systèmes de
base ou systèmes fondamentaux (1er ordre,
2e ordre)
4Automatique
Intégrateur (1)
! Système régi par l'équation différentielle
! Fonction de transfert
! Exemple
∫==
t
c di
C
tVty 0
)(
1
)()( ττ
)()( tutyTi =& ∫=
t
i
du
T
ty 0
)(
1
)( ττ⇒ (CI nulle)
sT
sH
i
1
)( = Ti : constante d'intégration
Pôle : λ=0
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
Relation entre le courant i(t) et Vc(t)
u(t) y(t)∫
iT
1
5Automatique
Intégrateur (2)
! Réponse aux signaux usuels
" Réponse impulsionnelle
" Réponse indicielle
" Réponse à une rampe
iT
t
th
)(
)(
Γ
=
La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon
d'amplitude 1/Ti
)()( ttu δ= ⇒
( )tv
T
ty
i
1
)( =)()( ttu Γ= ⇒
La réponse indicielle d'un intégrateur est une rampe de
pente 1/Ti
?)( =ty)()( tvtu = ⇒
6Automatique
Système du 1er ordre (1)
! Système régi par l'équation différentielle
! Fonction de transfert
! Exemple
)()()( tKutytyT =+&
)()()( tKutytyT =+& )()()( sKUsYsYTs =+⇒
sT
K
sH
+
=
1
)(
T : constante de temps
K : gain statique
Pôle :
T
1
−=λ
Condition de stabilité : 0>T
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
)()()( tutytyRC =+& avec )()( tVty c=
sT
sH
+
=
1
1
)( RCT =avec
7Automatique
Système du 1er ordre (2)
! Réponse impulsionnelle
" Entrée :
" Réponse du système :
" Tangente à l'origine :
)()( ttu δ=
T
t
e
T
K
th
−
=)(
La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = T
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
0
Réponse impulsionnelle
T
K
T
K
37.0
T
K
t
T
K
tx +−= 2
)(
0.05 h0
3T
0.13 h00.37 h0
2TT0
T
K
h =
0
( Pente = )2
T
K
−
8Automatique
Système du 1er ordre (3)
! Réponse indicielle
" Entrée : signal échelon
" Réponse du système
. On en déduit
" Valeur de la sortie en régime permanent
" Tangente à l'origine
Ktyy
t
==
∞→
∞ )(lim
)()( ttu Γ=
)()( ttu Γ= ⇒
s
sU
1
)( = ( )Tss
K
sY
+
=
1
)(
)()( 11)( tT
t
eKeKty λ−=−=
−
t
T
K
tx =)( ( Pente = )T
K
La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale y = K en t = T
9Automatique
Système du 1er ordre (4)
! Réponse indicielle (fin)
y∞ : valeur de la
sortie en régime
permanent
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
0
0.63K
K
R éponse indicielle
0.95K
87%
2T
63%
T
100%
∞
99,4%95%
5T3Tt
(%)
)(
∞
y
ty
Tableau récapitulatif de l'évolution de la sortie
10Automatique
Système du 1er ordre (5)
! Rapidité du système
" Temps de réponse tr du système
" Temps de montée tm
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
0
0.63K
K 0.95K
tr = temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 0.95y∞
Ttr 3≈
tm = temps au bout duquel la réponse passe de 0.1y∝ à 0.9y∞
Ttm 2,2≈
11Automatique
Système du 1er ordre (6)
! Réponse à une rampe
" Entrée : signal rampe
" Réponse du système
. On en déduit
" Remarques
)()( tvtu =
)()( tvtu = ⇒
2
1
)(
s
sU =
( )Tss
K
sY
+
=
1
)( 2
( ) T
t
KTeTtKty
−
+−=)(
$ La réponse est la somme de deux termes : une fonction
exponentielle décroissante et une rampe retardée, de retard T
$ Le terme au bout de 3T ⇒ la sortie tend
asymptotiquement vers
0≈
−
T
t
KTe
( )TtK −
$ La pente à l'origine est nulle
12Automatique
Système du 1er ordre (7)
! Réponse à une rampe (fin)
0 T 2T 3T 4T 5T
0
5
10
15
20 Kv(t)
y(t)
ε
$ La sortie suit asymptotiquement la rampe Kv(t) avec un retard T
$ L'écart en régime permanent ε = Kv(t) - y(t) est appelé erreur de
traînage
KT=εErreur de traînage :
13Automatique
Système du 2e ordre (1)
! Système régi par l'équation différentielle
! Fonction de transfert
! Autre écriture de la fonction de transfert
)()()()( 0012 tubtyatyatya =++ &&&
⇒
ou
)()()()( 0012 tubtyatyatya =++ &&& ( ) )()( 001
2
2 sUbsYasasa =++
1
2
)(
2
2
++
=
s
s
K
sH
nn ω
ξ
ω
01
2
2
0)(
asasa
b
sH
++
=
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sH
ωξω
ω
++
=
ξ : facteur d'amortissement, K : gain
ωn : pulsation naturelle non amortie du système avec 0>nω
14Automatique
Système du 2e ordre (2)
! Pôles du système
" Etude du discriminant réduit
$
$ Si alors : le système a des pôles réels et son
comportement est apériodique
# Si alors le système a deux pôles réels distincts
# Si alors le système a un pôle réel double
$ Si alors : le système a une paire de pôles
complexes conjugués et son comportement est oscillatoire
Les pôles sont les racines du polynôme
22
2
2
)(
nn
n
ss
K
sH
ωξω
ω
++
=
22 2 nnss ωξω ++
( )122 −=∆ ξωn
1≥ξ 0≥∆
1>ξ
1=ξ
1<ξ 0<∆
15Automatique
Système du 2e ordre (3)
! Système apériodique :
" Pôles du système
" Condition de stabilité
" Factorisation de la fonction de transfert
Comme ,
1≥ξ
12
1 −−−= ξωξωλ nn 12
2 −+−= ξωξωλ nnet
Le système est stable si les pôles λ1 et λ2 sont négatifs, ce qui
correspond à la condition ξ ≥ 1
2
21 nωλλ =
( )( )sTsT
K
sH
21 11
)(
++
=on a
Le système du 2e ordre apériodique est équivalent à la mise en
série de deux systèmes du 1er ordre de constantes de temps :
1
1
1
λ
−=T
2
2
1
λ
−=Tet
16Automatique
Système du 2e ordre (4)
! Système apériodique (cas ) : réponse indicielle
" Décomposition de la FT en éléments simples
" Réponse indicielle
! Système apériodique (cas ) : réponse indicielle
C'est la somme des réponses indicielles des deux sous-systèmes
1>ξ
( ) ( )sT
K
sT
K
sH
2
2
1
1
11
)(
+
−
+
=⇒
avec
21
1
1 TT
TK
K
−
=
21
2
2 TT
TK
K
−
=et
)1()1(11)( 2
2
1
121 )()( 21
t
eK
t
eKeKeKty T
t
T
t
λλ −−−=−−−=
−−
)1)(1(
)(
21 sTsT
K
sH
++
=
1=ξ
?)( =ty?)( =sH
17Automatique
Système du 2e ordre (5)
! Système apériodique ( ) : réponse indicielle
" Remarques
$ Pente à l'origine nulle
$ La réponse la plus rapide correspond à ξ=1
$ Asymptote horizontale y=K
1≥ξ
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
K
ξ = 1
ξ = 4
ξ = 2
18Automatique
Système du 2e ordre (6)
! Système oscillatoire :
" Pôles du système
" Lieu des pôles
1<ξ
2
1 1 ξωξωλ −−−= nn j 2
2 1 ξωξωλ −+−= nn jet
Le système est stable si Re(λ1) < 0 et Re(λ2) < 0, soit 0 < ξ < 1
21 ξω −− nj
21 ξω −nj
nξω−
Pour 0 ≤ ξ ≤ 1
nω− Re
Im
Rayon de l'arc
de cercle = ωn
ϕ
ξϕ =)cos(
1λ
2λ
ψ
ξψ =)sin(
19Automatique
Système du 2e ordre (7)
! Système oscillatoire ( )
" Réponse indicielle
avec 21 ξωω −= np
et








+
−
−
−= )sin(
1
1)(
2
ϕω
ξ
ξω
t
t
e
Kty p
n
ξ
ξ
ξ
ϕ arccos
1
arctan
2
=






 −
=
10 << ξ
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
K
T p
20Automatique
Système du 2e ordre (8)
! Système oscillatoire ( ) : réponse indicielle
! Caractéristiques de la réponse indicielle
$ Réponse oscillatoire amortie de pulsation
$ Pseudo-période des oscillations
$ Temps de pic
10 << ξ
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
K
T p
T p i c
21 ξωω −= np
p
pT
ω
π2
=
p
picT
ω
π=
21Automatique
Système du 2e ordre (9)
! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle
$ Dépassement (D)
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
K
t r
n %
D
y ∝
y m a x
n %
100max
% ×
−
=
∞
∞
y
yy
DDéfinition :
D est lié au coefficient d'amortissement ξ par :
21
% 100 ξ
πξ
−
−
= eD
y∞ : valeur de la sortie en régime permanent
ymax : valeur de pic de la réponse indicielle
22Automatique
Système du 2e ordre (10)
! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle
$ Temps de réponse à n% (trn%
)
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
K
t r n %
y ∝
n %
C'est le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint ±n% de
sa valeur finale
On mesure en général le temps de réponse à 5% :
( )7.0
100
ln
1
%
<≈ ξ
ξω n
t
n
rn
( )7.0
3
%5
<≈ ξ
ξωn
rt
23Automatique
Système du 2e ordre (11)
! Influence du coefficient d'amortissement
$ Amortissement faible ( ) : réponse peu amortie, fortes oscillations,
fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ est faible
$ Amortissement fort ( ) : réponse très amortie, pas d'oscillations,
dépassement à peine visible
$ Amortissement (souvent utilisé)
# Dépassement D ≈ 5% et
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
K
ξ = 0 .2
ξ = 0 .9
ξ = 0 .7
ξ = 1
ξ = 0 .4
7.0<ξ
7.0>ξ
3
%5
≈rntω
7.0=ξ
24Automatique
Système du 2e ordre (12)
! Influence de la pulsation naturelle ωn
$ Plus la pulsation ωn est faible, plus la période des oscillations est grande
$ Plus la pulsation ωn est faible, plus la réponse du système est lente
0 10 20
0
K
ωn
= 1
0 5 10 15
0
K
ωn
= 2
0 5 10
0
K
ωn
= 3
ωn=1 ωn=2 ωn=3
nω− Re
Im
nω− Re
Im
nω− Re
Im
25Automatique
Système d'ordre supérieur à 2 (1)
! Factorisation de la fonction de transfert
! Décomposition en éléments simples
On peut factoriser la fonction de transfert sous la forme d'éléments
de base du premier ou du second ordre
01
01
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sD
sN
sH n
n
m
m
+++
+++
==
L
L avec m < n et n > 2
∏∏
∏∏
+++
+++
=
j jnjnji i
l lnlnlk k
ji
lk
sssT
sssT
s
K
sH ββ
γγ
α
ωωξ
ωωξ
)2()1(
)2()1(
)(
2
,,
2
2
,,
2
∑=
i
i sHsH )()( Hi(s) : fonction de transfert de
systèmes du 1er ordre ou du 2e ordre
∑=
i
i tyty )()( avec yi(t) la réponse au signal d'entrée
du système de fonction de transfert Hi(s)
26Automatique
Système d'ordre supérieur à 2 (2)
! Exemple
Trouver la réponse indicielle du système suivant :
15239
31
)( 23 +++
+
=
sss
s
sH
Réponse indicielle
( )( )( )531
31
)(
+++
+
=
sss
s
sH
( ) ( ) ( )531
)(
+
+
+
+
+
=
s
C
s
B
s
A
sH avec
4
5
,1,
4
1
−=== CBA
)(
1
)()()( sH
s
sHsUsY ==
( ) ( ) ( )531
)(
+
+
+
+
+
=
ss
C
ss
B
ss
A
sY⇒
⇒ )1(
5
)1(
3
)1()( 53 ttt e
C
e
B
eAty −−− −+−+−=
⇒ Pôles : ,5,3,1 321 −=−=−= λλλ
27Automatique
Notion de pôles dominants (1)
! Illustration
Traçons la réponse indicielle du système de fonction de transfert :
( )( )sTsT
sH
21 11
5
)(
++
=
Décomposition de la fonction de transfert :
2
2
1
1
1
,
1
TT
−=−= λλ
avec T1=1 et T2=5.
)()()( 12 sHsHsH −=
Les pôles sont :
( )sT
sH
1
1 1
1
4
5
)(
+
=
( )sT
sH
2
2 1
1
4
25
)(
+
=








−−








−=−=
−−
12
12
1
4
5
1
4
25
)()()( T
t
T
t
eetytyty
Réponse indicielle
avec et
( ) ( )tt
eety 12 1
4
5
1
4
25
)( λλ
−−−=
28Automatique
Notion de pôles dominants (2)
0 T 1 T 2 = 5 T 1
1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
0
1
2
3
4
5
6
7
y 1
y 2
y
R é p o n s e r a p i d e
R é p o n s e l e n t e
Réponse
indicielle
Au bout de 5T1, la réponse y1 tend vers sa valeur finale y1∞. La sortie y
du système n'évolue que sous l'influence de y2.
Le sous-système H2 (son pôle est λ2 =-1/T2) impose le régime transitoire
du système. On dit que le pôle λ2 est dominant par rapport à λ1.
Le système du 2e ordre a une réponse temporelle similaire à celle d'un
système du 1er ordre de constante de temps T2.
29Automatique
Notion de pôles dominants (3)
! Définition
Soient les pôles d'un système stable. Le pôle λi ou la paire
de pôles est dit dominant par rapport au pôle λj si :
nλλ ,,1 L
ijji ≠<< )Re()Re( λλ
),( *
ii λλ
Les pôles dominants correspondent soit à une constante de temps
élevée (réponse lente), soit à un amortissement faible (réponse très
oscillatoire). Ils sont donc situés près de l'axe des imaginaires
En pratique, λi est dominant par rapport à λj si
Re
Im
Pôle dominant ou pôle
lent (réponse lente)
)Re(5)Re( ji λλ ×<
Pôle rapide
(réponse rapide)
30Automatique
Système à retard (1)
! Origine du retard : exemple
pH du
mélange (y1)
Mélangeur
Eau pure
Acide
(u : débit) Capteur de
mesure du pH (y)
Le pH mesuré y, représente le pH y1 réalisé plus tôt : .
Le retard Tr est dû au transport du fluide de la cuve au point de mesure
)()( 1 rTtyty −=
Fonction de transfert
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
sY
sY
sU
sY
sU
sY
sH ==
)()( 1 rTtyty −=
⇓
)()( 1 sYesY sTr−
= ⇒
)()( 1 sHesH sTr−
=
31Automatique
Système à retard (2)
! Illustration du retard








−=−=
−
−
T
rTt
r
eTtyty
)(
1
1)()(
Fonction de transfert
)()( 1 sHesH sTr−
= Ts
sH
+1
1
)(1avec
Réponse indicielle
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Retard
Tr
32Automatique
Système à retard (3)
! Définition
! Retard pur
! Approximation de
Le retard correspond au temps qui s'écoule entre la variation de
l'entrée et la répercussion de cette variation sur la sortie.
ou
)()( rTtuty −= )()( sUesY sTr−
=⇔
Un système réduit à un retard pur retarde l'entrée d'une durée de Tr.
" Si le retard Tr est très petit, on peut faire les approximations :
r
sT
sTe r −≈−
1
r
sT
sT
e r
+
=−
1
1
" Approximation simplifiée de Padé :
sTre−
2/1
2/1
sT
sT
e
r
rsTr
+
−
≈−

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Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

  • 1. 1Automatique Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI UV Automatique ASI 3 Cours 2
  • 2. 2Automatique Contenu ! Introduction ! Etude des systèmes du premier ordre " Intégrateur " Système du 1er ordre ! Etude des systèmes du 2ème ordre " Système du 2ème ordre avec réponse apériodique " Système du 2ème ordre avec réponse oscillatoire ! Systèmes d'ordre supérieur à 2 et autre système " Notion de pôles dominants " Système avec retard
  • 3. 3Automatique Introduction ! Système continu LTI ! Décomposition en éléments simples u(t) H(s) y(t) H(s) : fonction de transfert Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en réponse aux signaux usuels : # impulsion de Dirac u(t)=δ(t) # signal échelon u(t)=Γ(t) # signal rampe u(t)=v(t) ∑= i i sHsH )()( Hi(s) : fonction de transfert de systèmes de base ou systèmes fondamentaux (1er ordre, 2e ordre)
  • 4. 4Automatique Intégrateur (1) ! Système régi par l'équation différentielle ! Fonction de transfert ! Exemple ∫== t c di C tVty 0 )( 1 )()( ττ )()( tutyTi =& ∫= t i du T ty 0 )( 1 )( ττ⇒ (CI nulle) sT sH i 1 )( = Ti : constante d'intégration Pôle : λ=0 R u(t) i(t) C Vc(t) Relation entre le courant i(t) et Vc(t) u(t) y(t)∫ iT 1
  • 5. 5Automatique Intégrateur (2) ! Réponse aux signaux usuels " Réponse impulsionnelle " Réponse indicielle " Réponse à une rampe iT t th )( )( Γ = La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon d'amplitude 1/Ti )()( ttu δ= ⇒ ( )tv T ty i 1 )( =)()( ttu Γ= ⇒ La réponse indicielle d'un intégrateur est une rampe de pente 1/Ti ?)( =ty)()( tvtu = ⇒
  • 6. 6Automatique Système du 1er ordre (1) ! Système régi par l'équation différentielle ! Fonction de transfert ! Exemple )()()( tKutytyT =+& )()()( tKutytyT =+& )()()( sKUsYsYTs =+⇒ sT K sH + = 1 )( T : constante de temps K : gain statique Pôle : T 1 −=λ Condition de stabilité : 0>T R u(t) i(t) C Vc(t) )()()( tutytyRC =+& avec )()( tVty c= sT sH + = 1 1 )( RCT =avec
  • 7. 7Automatique Système du 1er ordre (2) ! Réponse impulsionnelle " Entrée : " Réponse du système : " Tangente à l'origine : )()( ttu δ= T t e T K th − =)( La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = T 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 0 Réponse impulsionnelle T K T K 37.0 T K t T K tx +−= 2 )( 0.05 h0 3T 0.13 h00.37 h0 2TT0 T K h = 0 ( Pente = )2 T K −
  • 8. 8Automatique Système du 1er ordre (3) ! Réponse indicielle " Entrée : signal échelon " Réponse du système . On en déduit " Valeur de la sortie en régime permanent " Tangente à l'origine Ktyy t == ∞→ ∞ )(lim )()( ttu Γ= )()( ttu Γ= ⇒ s sU 1 )( = ( )Tss K sY + = 1 )( )()( 11)( tT t eKeKty λ−=−= − t T K tx =)( ( Pente = )T K La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale y = K en t = T
  • 9. 9Automatique Système du 1er ordre (4) ! Réponse indicielle (fin) y∞ : valeur de la sortie en régime permanent 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 0 0.63K K R éponse indicielle 0.95K 87% 2T 63% T 100% ∞ 99,4%95% 5T3Tt (%) )( ∞ y ty Tableau récapitulatif de l'évolution de la sortie
  • 10. 10Automatique Système du 1er ordre (5) ! Rapidité du système " Temps de réponse tr du système " Temps de montée tm 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 0 0.63K K 0.95K tr = temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 0.95y∞ Ttr 3≈ tm = temps au bout duquel la réponse passe de 0.1y∝ à 0.9y∞ Ttm 2,2≈
  • 11. 11Automatique Système du 1er ordre (6) ! Réponse à une rampe " Entrée : signal rampe " Réponse du système . On en déduit " Remarques )()( tvtu = )()( tvtu = ⇒ 2 1 )( s sU = ( )Tss K sY + = 1 )( 2 ( ) T t KTeTtKty − +−=)( $ La réponse est la somme de deux termes : une fonction exponentielle décroissante et une rampe retardée, de retard T $ Le terme au bout de 3T ⇒ la sortie tend asymptotiquement vers 0≈ − T t KTe ( )TtK − $ La pente à l'origine est nulle
  • 12. 12Automatique Système du 1er ordre (7) ! Réponse à une rampe (fin) 0 T 2T 3T 4T 5T 0 5 10 15 20 Kv(t) y(t) ε $ La sortie suit asymptotiquement la rampe Kv(t) avec un retard T $ L'écart en régime permanent ε = Kv(t) - y(t) est appelé erreur de traînage KT=εErreur de traînage :
  • 13. 13Automatique Système du 2e ordre (1) ! Système régi par l'équation différentielle ! Fonction de transfert ! Autre écriture de la fonction de transfert )()()()( 0012 tubtyatyatya =++ &&& ⇒ ou )()()()( 0012 tubtyatyatya =++ &&& ( ) )()( 001 2 2 sUbsYasasa =++ 1 2 )( 2 2 ++ = s s K sH nn ω ξ ω 01 2 2 0)( asasa b sH ++ = 22 2 2 )( nn n ss K sH ωξω ω ++ = ξ : facteur d'amortissement, K : gain ωn : pulsation naturelle non amortie du système avec 0>nω
  • 14. 14Automatique Système du 2e ordre (2) ! Pôles du système " Etude du discriminant réduit $ $ Si alors : le système a des pôles réels et son comportement est apériodique # Si alors le système a deux pôles réels distincts # Si alors le système a un pôle réel double $ Si alors : le système a une paire de pôles complexes conjugués et son comportement est oscillatoire Les pôles sont les racines du polynôme 22 2 2 )( nn n ss K sH ωξω ω ++ = 22 2 nnss ωξω ++ ( )122 −=∆ ξωn 1≥ξ 0≥∆ 1>ξ 1=ξ 1<ξ 0<∆
  • 15. 15Automatique Système du 2e ordre (3) ! Système apériodique : " Pôles du système " Condition de stabilité " Factorisation de la fonction de transfert Comme , 1≥ξ 12 1 −−−= ξωξωλ nn 12 2 −+−= ξωξωλ nnet Le système est stable si les pôles λ1 et λ2 sont négatifs, ce qui correspond à la condition ξ ≥ 1 2 21 nωλλ = ( )( )sTsT K sH 21 11 )( ++ =on a Le système du 2e ordre apériodique est équivalent à la mise en série de deux systèmes du 1er ordre de constantes de temps : 1 1 1 λ −=T 2 2 1 λ −=Tet
  • 16. 16Automatique Système du 2e ordre (4) ! Système apériodique (cas ) : réponse indicielle " Décomposition de la FT en éléments simples " Réponse indicielle ! Système apériodique (cas ) : réponse indicielle C'est la somme des réponses indicielles des deux sous-systèmes 1>ξ ( ) ( )sT K sT K sH 2 2 1 1 11 )( + − + =⇒ avec 21 1 1 TT TK K − = 21 2 2 TT TK K − =et )1()1(11)( 2 2 1 121 )()( 21 t eK t eKeKeKty T t T t λλ −−−=−−−= −− )1)(1( )( 21 sTsT K sH ++ = 1=ξ ?)( =ty?)( =sH
  • 17. 17Automatique Système du 2e ordre (5) ! Système apériodique ( ) : réponse indicielle " Remarques $ Pente à l'origine nulle $ La réponse la plus rapide correspond à ξ=1 $ Asymptote horizontale y=K 1≥ξ 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00 K ξ = 1 ξ = 4 ξ = 2
  • 18. 18Automatique Système du 2e ordre (6) ! Système oscillatoire : " Pôles du système " Lieu des pôles 1<ξ 2 1 1 ξωξωλ −−−= nn j 2 2 1 ξωξωλ −+−= nn jet Le système est stable si Re(λ1) < 0 et Re(λ2) < 0, soit 0 < ξ < 1 21 ξω −− nj 21 ξω −nj nξω− Pour 0 ≤ ξ ≤ 1 nω− Re Im Rayon de l'arc de cercle = ωn ϕ ξϕ =)cos( 1λ 2λ ψ ξψ =)sin(
  • 19. 19Automatique Système du 2e ordre (7) ! Système oscillatoire ( ) " Réponse indicielle avec 21 ξωω −= np et         + − − −= )sin( 1 1)( 2 ϕω ξ ξω t t e Kty p n ξ ξ ξ ϕ arccos 1 arctan 2 =        − = 10 << ξ 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 K T p
  • 20. 20Automatique Système du 2e ordre (8) ! Système oscillatoire ( ) : réponse indicielle ! Caractéristiques de la réponse indicielle $ Réponse oscillatoire amortie de pulsation $ Pseudo-période des oscillations $ Temps de pic 10 << ξ 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 K T p T p i c 21 ξωω −= np p pT ω π2 = p picT ω π=
  • 21. 21Automatique Système du 2e ordre (9) ! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle $ Dépassement (D) 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 K t r n % D y ∝ y m a x n % 100max % × − = ∞ ∞ y yy DDéfinition : D est lié au coefficient d'amortissement ξ par : 21 % 100 ξ πξ − − = eD y∞ : valeur de la sortie en régime permanent ymax : valeur de pic de la réponse indicielle
  • 22. 22Automatique Système du 2e ordre (10) ! Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle $ Temps de réponse à n% (trn% ) 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 K t r n % y ∝ n % C'est le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint ±n% de sa valeur finale On mesure en général le temps de réponse à 5% : ( )7.0 100 ln 1 % <≈ ξ ξω n t n rn ( )7.0 3 %5 <≈ ξ ξωn rt
  • 23. 23Automatique Système du 2e ordre (11) ! Influence du coefficient d'amortissement $ Amortissement faible ( ) : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ est faible $ Amortissement fort ( ) : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible $ Amortissement (souvent utilisé) # Dépassement D ≈ 5% et 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 K ξ = 0 .2 ξ = 0 .9 ξ = 0 .7 ξ = 1 ξ = 0 .4 7.0<ξ 7.0>ξ 3 %5 ≈rntω 7.0=ξ
  • 24. 24Automatique Système du 2e ordre (12) ! Influence de la pulsation naturelle ωn $ Plus la pulsation ωn est faible, plus la période des oscillations est grande $ Plus la pulsation ωn est faible, plus la réponse du système est lente 0 10 20 0 K ωn = 1 0 5 10 15 0 K ωn = 2 0 5 10 0 K ωn = 3 ωn=1 ωn=2 ωn=3 nω− Re Im nω− Re Im nω− Re Im
  • 25. 25Automatique Système d'ordre supérieur à 2 (1) ! Factorisation de la fonction de transfert ! Décomposition en éléments simples On peut factoriser la fonction de transfert sous la forme d'éléments de base du premier ou du second ordre 01 01 )( )( )( asasa bsbsb sD sN sH n n m m +++ +++ == L L avec m < n et n > 2 ∏∏ ∏∏ +++ +++ = j jnjnji i l lnlnlk k ji lk sssT sssT s K sH ββ γγ α ωωξ ωωξ )2()1( )2()1( )( 2 ,, 2 2 ,, 2 ∑= i i sHsH )()( Hi(s) : fonction de transfert de systèmes du 1er ordre ou du 2e ordre ∑= i i tyty )()( avec yi(t) la réponse au signal d'entrée du système de fonction de transfert Hi(s)
  • 26. 26Automatique Système d'ordre supérieur à 2 (2) ! Exemple Trouver la réponse indicielle du système suivant : 15239 31 )( 23 +++ + = sss s sH Réponse indicielle ( )( )( )531 31 )( +++ + = sss s sH ( ) ( ) ( )531 )( + + + + + = s C s B s A sH avec 4 5 ,1, 4 1 −=== CBA )( 1 )()()( sH s sHsUsY == ( ) ( ) ( )531 )( + + + + + = ss C ss B ss A sY⇒ ⇒ )1( 5 )1( 3 )1()( 53 ttt e C e B eAty −−− −+−+−= ⇒ Pôles : ,5,3,1 321 −=−=−= λλλ
  • 27. 27Automatique Notion de pôles dominants (1) ! Illustration Traçons la réponse indicielle du système de fonction de transfert : ( )( )sTsT sH 21 11 5 )( ++ = Décomposition de la fonction de transfert : 2 2 1 1 1 , 1 TT −=−= λλ avec T1=1 et T2=5. )()()( 12 sHsHsH −= Les pôles sont : ( )sT sH 1 1 1 1 4 5 )( + = ( )sT sH 2 2 1 1 4 25 )( + =         −−         −=−= −− 12 12 1 4 5 1 4 25 )()()( T t T t eetytyty Réponse indicielle avec et ( ) ( )tt eety 12 1 4 5 1 4 25 )( λλ −−−=
  • 28. 28Automatique Notion de pôles dominants (2) 0 T 1 T 2 = 5 T 1 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1 y 2 y R é p o n s e r a p i d e R é p o n s e l e n t e Réponse indicielle Au bout de 5T1, la réponse y1 tend vers sa valeur finale y1∞. La sortie y du système n'évolue que sous l'influence de y2. Le sous-système H2 (son pôle est λ2 =-1/T2) impose le régime transitoire du système. On dit que le pôle λ2 est dominant par rapport à λ1. Le système du 2e ordre a une réponse temporelle similaire à celle d'un système du 1er ordre de constante de temps T2.
  • 29. 29Automatique Notion de pôles dominants (3) ! Définition Soient les pôles d'un système stable. Le pôle λi ou la paire de pôles est dit dominant par rapport au pôle λj si : nλλ ,,1 L ijji ≠<< )Re()Re( λλ ),( * ii λλ Les pôles dominants correspondent soit à une constante de temps élevée (réponse lente), soit à un amortissement faible (réponse très oscillatoire). Ils sont donc situés près de l'axe des imaginaires En pratique, λi est dominant par rapport à λj si Re Im Pôle dominant ou pôle lent (réponse lente) )Re(5)Re( ji λλ ×< Pôle rapide (réponse rapide)
  • 30. 30Automatique Système à retard (1) ! Origine du retard : exemple pH du mélange (y1) Mélangeur Eau pure Acide (u : débit) Capteur de mesure du pH (y) Le pH mesuré y, représente le pH y1 réalisé plus tôt : . Le retard Tr est dû au transport du fluide de la cuve au point de mesure )()( 1 rTtyty −= Fonction de transfert )( )( )( )( )( )( )( 1 1 sY sY sU sY sU sY sH == )()( 1 rTtyty −= ⇓ )()( 1 sYesY sTr− = ⇒ )()( 1 sHesH sTr− =
  • 31. 31Automatique Système à retard (2) ! Illustration du retard         −=−= − − T rTt r eTtyty )( 1 1)()( Fonction de transfert )()( 1 sHesH sTr− = Ts sH +1 1 )(1avec Réponse indicielle 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Retard Tr
  • 32. 32Automatique Système à retard (3) ! Définition ! Retard pur ! Approximation de Le retard correspond au temps qui s'écoule entre la variation de l'entrée et la répercussion de cette variation sur la sortie. ou )()( rTtuty −= )()( sUesY sTr− =⇔ Un système réduit à un retard pur retarde l'entrée d'une durée de Tr. " Si le retard Tr est très petit, on peut faire les approximations : r sT sTe r −≈− 1 r sT sT e r + =− 1 1 " Approximation simplifiée de Padé : sTre− 2/1 2/1 sT sT e r rsTr + − ≈−