SlideShare une entreprise Scribd logo

Partie i vibrations et oscillateurs

vibrations et oscillateurs

1  sur  94
Télécharger pour lire hors ligne
ETUDE
DES VIBRATIONS
1
DES VIBRATIONS
Chapitre I -
Présentation et définitions
2
Présentation et définitions
• Les objectifs à atteindre:
1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer
à l'étude des systèmes physiques oscillants.
• 2) Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des
paramètres caractéristiques et des conditions initiales,
3
• 3) Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.
Pour cela, il est recommandé d'aborder, dans l'ordre, les thèmes suivants :
– L'oscillateur harmonique.
– L'oscillateur harmonique amorti.
– L'oscillateur harmonique forcé
L'étude de ces thèmes nécessite certaines connaissances
préalables en mathématiques et en physique :
En physique,
• Le principe fondamental de la dynamique
• Les théorèmes généraux (de l'énergie cinétique, du moment cinétique).
• Les définitions des énergies cinétique, potentielle, énergie totale
mécanique ou électrique.
4
En mathématiques :
• il faut savoir résoudre les équations différentielles (du second ordre, linéaires, à
coefficients constants, sans et avec second membre)
• il faut connaître la représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale
fonction du temps.
• Développement en série de Fourrier / transformée de fourrier
I) Introduction générale et Définitions
a) Exemples d’Oscillateurs
a) Exemples d’Oscillateurs
Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique,
- la masse accrochée à un ressort, le pendule,
- le circuit électrique RLC,
- un enfant sur une balançoire,
5
- un enfant sur une balançoire,
- le balancier d'une horloge,
- Sismographe,
- haut-parleur, microphone,
- instruments de musique à vent ou à cordes,
- amortisseurs d'un véhicule,
- structure d'une molécule diatomique
b) Définitions
α) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d’une
grandeur q autour d’une valeur moyenne qe.
 La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée.
Quand l’évolution de l’oscillateur peut-être décrite par n variables
indépendantes, l’oscillateur possède n degrés de liberté.
Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie
périodiquement
6
périodiquement
 Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation
différentielle linéaire.
L ‘oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté.
Un oscillateur est libre s’il oscille sans interventions extérieures pendant son
retour à l’équilibre.
 Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de
l’énergie.
 Un oscillateur dissipe de l’énergie quand il retourne vers son état
d’équilibre : il est amorti

Recommandé

T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)tawfik-masrour
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapi...
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapi...T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapi...
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapi...tawfik-masrour
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - analyse modale
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - analyse modaleT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - analyse modale
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - analyse modaletawfik-masrour
 
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires sarah Benmerzouk
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmcT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmctawfik-masrour
 
Dynamique des structures cours
Dynamique des structures coursDynamique des structures cours
Dynamique des structures coursMohamed Abid
 
Masrour cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre4-vibrations-masrour
Masrour  cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre4-vibrations-masrourMasrour  cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre4-vibrations-masrour
Masrour cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre4-vibrations-masrourtawfik-masrour
 

Contenu connexe

Tendances

corrig dynam.pdf
corrig dynam.pdfcorrig dynam.pdf
corrig dynam.pdfAuRevoir4
 
Cours robotique complet
Cours robotique completCours robotique complet
Cours robotique completMouna Souissi
 
Modèlisation des systèmes mécaniques
Modèlisation des systèmes mécaniquesModèlisation des systèmes mécaniques
Modèlisation des systèmes mécaniquesmedrouam
 
3 identification des systèmes
3 identification des systèmes3 identification des systèmes
3 identification des systèmesRachid Lajouad
 
exerci dynam.pdf
exerci dynam.pdfexerci dynam.pdf
exerci dynam.pdfAuRevoir4
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnesTRIKI BILEL
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddlT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddltawfik-masrour
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursm.a bensaaoud
 
Td dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbreTd dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbreYoussef Trimech
 
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphaséTélécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasémorin moli
 
2 correction des systèmes asservis
2 correction des systèmes asservis2 correction des systèmes asservis
2 correction des systèmes asservisRachid Lajouad
 
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automates
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automatesتمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automates
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automateselectrolouhla
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxMidoxotk
 
Ppt mesure et analyse des vibrations
Ppt   mesure et analyse des vibrationsPpt   mesure et analyse des vibrations
Ppt mesure et analyse des vibrationsMaxime MIGNANWANDE
 

Tendances (20)

Regulation PI
Regulation PIRegulation PI
Regulation PI
 
Cours rdm notions
Cours rdm notionsCours rdm notions
Cours rdm notions
 
Magnétosta cp 2 2017
Magnétosta cp 2 2017 Magnétosta cp 2 2017
Magnétosta cp 2 2017
 
04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites
 
corrig dynam.pdf
corrig dynam.pdfcorrig dynam.pdf
corrig dynam.pdf
 
Cours robotique complet
Cours robotique completCours robotique complet
Cours robotique complet
 
Modèlisation des systèmes mécaniques
Modèlisation des systèmes mécaniquesModèlisation des systèmes mécaniques
Modèlisation des systèmes mécaniques
 
3 identification des systèmes
3 identification des systèmes3 identification des systèmes
3 identification des systèmes
 
Énergétique
Énergétique Énergétique
Énergétique
 
exerci dynam.pdf
exerci dynam.pdfexerci dynam.pdf
exerci dynam.pdf
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddlT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre1-1ddl
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseurs
 
Td dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbreTd dimensionnenemt d'arbre
Td dimensionnenemt d'arbre
 
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphaséTélécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Télécharger Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 
2 correction des systèmes asservis
2 correction des systèmes asservis2 correction des systèmes asservis
2 correction des systèmes asservis
 
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automates
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automatesتمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automates
تمارين وحلول خاصة ببرمجة Ladder et instructions automates
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
 
Vib et-ondes-2006-2007
Vib et-ondes-2006-2007Vib et-ondes-2006-2007
Vib et-ondes-2006-2007
 
Ppt mesure et analyse des vibrations
Ppt   mesure et analyse des vibrationsPpt   mesure et analyse des vibrations
Ppt mesure et analyse des vibrations
 

Similaire à Partie i vibrations et oscillateurs

Mec_Vib_chapitre 1.pdf
Mec_Vib_chapitre 1.pdfMec_Vib_chapitre 1.pdf
Mec_Vib_chapitre 1.pdfAdemDhokar
 
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdf
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdfTravaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdf
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdfCoolDangbenon
 
Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratOumaimaBenSaid
 
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdf
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdfs-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdf
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdfmouhssinesallami
 
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.pptoscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppthermoussa
 
Transp_1-1.pdf
Transp_1-1.pdfTransp_1-1.pdf
Transp_1-1.pdfAuRevoir4
 
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTICours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTIsarah Benmerzouk
 
Modelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlModelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlMED MED
 
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI sarah Benmerzouk
 
Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 Exercices corrigés sur le gradateur triphasé Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Exercices corrigés sur le gradateur triphasémorin moli
 
Chap1 introduction a la mécanique des solides
Chap1   introduction a la mécanique des solidesChap1   introduction a la mécanique des solides
Chap1 introduction a la mécanique des solidesabderrahmen6
 
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011sunprass
 
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdf
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdfL2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdf
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdfMohammedElazhari2
 
synthese_2015.pdf
synthese_2015.pdfsynthese_2015.pdf
synthese_2015.pdfAuRevoir4
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfAuRevoir4
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfAuRevoir4
 
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptx
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptxVLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptx
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptxmouadmourad1
 

Similaire à Partie i vibrations et oscillateurs (20)

Mec_Vib_chapitre 1.pdf
Mec_Vib_chapitre 1.pdfMec_Vib_chapitre 1.pdf
Mec_Vib_chapitre 1.pdf
 
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdf
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdfTravaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdf
Travaux Dirigés N°03_Automatique-Asservissement.pdf
 
Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 prat
 
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdf
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdfs-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdf
s-m-c-5-m30-chimie-th-orique-el-issami.pdf
 
Vib 1 agm
Vib 1 agmVib 1 agm
Vib 1 agm
 
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.pptoscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres  amortis.pptx.ppt
oscillateurs harmoniques libres et oscillateurs libres amortis.pptx.ppt
 
Transp_1-1.pdf
Transp_1-1.pdfTransp_1-1.pdf
Transp_1-1.pdf
 
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTICours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI
 
Modelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlModelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddl
 
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI
 
Notion de base
Notion de baseNotion de base
Notion de base
 
Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 Exercices corrigés sur le gradateur triphasé Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
Exercices corrigés sur le gradateur triphasé
 
Chap1 introduction a la mécanique des solides
Chap1   introduction a la mécanique des solidesChap1   introduction a la mécanique des solides
Chap1 introduction a la mécanique des solides
 
Chapitre02
Chapitre02Chapitre02
Chapitre02
 
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
124776153 td-automatique-1 a-jmd-2011
 
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdf
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdfL2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdf
L2-Electronique fondamentale-2-Chap5.pdf
 
synthese_2015.pdf
synthese_2015.pdfsynthese_2015.pdf
synthese_2015.pdf
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptx
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptxVLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptx
VLSI-Chapitre1-Diaporama-2022.pptx
 

Partie i vibrations et oscillateurs

  • 2. Chapitre I - Présentation et définitions 2 Présentation et définitions
  • 3. • Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques oscillants. • 2) Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, 3 • 3) Savoir étudier l'énergie de tels systèmes. Pour cela, il est recommandé d'aborder, dans l'ordre, les thèmes suivants : – L'oscillateur harmonique. – L'oscillateur harmonique amorti. – L'oscillateur harmonique forcé
  • 4. L'étude de ces thèmes nécessite certaines connaissances préalables en mathématiques et en physique : En physique, • Le principe fondamental de la dynamique • Les théorèmes généraux (de l'énergie cinétique, du moment cinétique). • Les définitions des énergies cinétique, potentielle, énergie totale mécanique ou électrique. 4 En mathématiques : • il faut savoir résoudre les équations différentielles (du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans et avec second membre) • il faut connaître la représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale fonction du temps. • Développement en série de Fourrier / transformée de fourrier
  • 5. I) Introduction générale et Définitions a) Exemples d’Oscillateurs a) Exemples d’Oscillateurs Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique, - la masse accrochée à un ressort, le pendule, - le circuit électrique RLC, - un enfant sur une balançoire, 5 - un enfant sur une balançoire, - le balancier d'une horloge, - Sismographe, - haut-parleur, microphone, - instruments de musique à vent ou à cordes, - amortisseurs d'un véhicule, - structure d'une molécule diatomique
  • 6. b) Définitions α) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d’une grandeur q autour d’une valeur moyenne qe. La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée. Quand l’évolution de l’oscillateur peut-être décrite par n variables indépendantes, l’oscillateur possède n degrés de liberté. Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie périodiquement 6 périodiquement Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire. L ‘oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté. Un oscillateur est libre s’il oscille sans interventions extérieures pendant son retour à l’équilibre. Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de l’énergie. Un oscillateur dissipe de l’énergie quand il retourne vers son état d’équilibre : il est amorti
  • 7. Exemple de réponse d'un oscillateur : • L'oscillation est de forme quelconque et de période T. La fonction de réponse est telle que : q(t) = q(t+T) 7
  • 8. β) Oscillateur Harmonique - La forme des oscillations est sinusoïdale - L'excitation appliquée au système est très brève, elle disparaît dès que le système oscille, - Les oscillations sont dites libres. -L'énergie totale du système se conserve au cours du temps χ) Oscillateur Harmonique amorti - Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas 8 - Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas dans le temps. Le système est amorti. - Les oscillations sont libres (l’excitation initiale n’est pas entretenue). δ) L'oscillateur harmonique forcé Le système est soumis à une excitation permanente produite par un dispositif extérieur. Les oscillations sont dites forcées.
  • 9. φ φ φ φ) L'oscillateur anharmonique - Le système évolue suivant une loi périodique de forme quelconque ( non sinusoïdale) - Pour des petites variations (approximation des petites oscillations), certains systèmes se comportent comme des oscillateurs harmoniques. L'oscillateur est dit anharmonique. - On montre mathématiquement que toute oscillation périodique se décompose en une somme d'oscillations harmoniques (décomposition de Fourrier). 9 la réponse de ce système physique est celle d’un un oscillateur anharmonique. Car q(t) : - est une fonction périodique du temps, - elle est de forme quelconque,
  • 10. f f .v pour un oscillateur rectiligne d M pour un systeme en rotation dt = −µ θ = −µ r r R f T γ γ γ γ) Forces de Frottement : - Frottement visqueux: Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire. Exemple de dispositif : 10 la relation fondamentale s'écrit: P R T f m + + + = γ r r r r r P f 0 x Exemple de dispositif : Frottements solides : La force de frottement est constante et opposée au mouvement
  • 11. 11
  • 12. II) Démarche générale 1) Définir et décrire le système physique oscillant. 2) Appliquer le « principe fondamental de la dynamique » 3) Résoudre les équations différentielles du second ordre, 12 3) Résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants 4) Déterminer les expressions des énergies cinétique, potentielle élastique et mécanique.
  • 13. Chapitre II - L’Oscillateur Harmonique 13 L’Oscillateur Harmonique
  • 14. 14
  • 15. 15
  • 16. 16
  • 17. 17
  • 18. 18
  • 19. 19
  • 20. Pendule élastique : x x’ l l x vide P O T m T 2 k = π Période d’oscillation Autres Oscillateurs Harmoniques 20 x P Pendule de Torsion: θ I T 2 C = π I : moment d’inertie / ∆ C: Constante de torsion
  • 21. Pendule pesant G O θ I T 2 ∆ = π OG = a M: masse du pendule I∆ ∆ ∆ ∆: moment d’inertie / ∆ 21 P T 2 M g a ∆ = π l T 2 g = π Pour le pendule simple:
  • 22. Résumé : Oscillateur libre 1. Oscillateur non amorti On appelle oscillateur harmonique un système évoluant dans le temps suivant la loi : x = a sin( ω ω ω ωο ο ο οt + ϕ ϕ ϕ ϕ ) ωo est la pulsation propre de l’oscillateur 22 2. Équation différentielle caractéristique Inversement : tout système obéissant à l’équation ci-dessus est un oscillateur harmonique. 2 2 2 x x 0 t ∂ + ω = ∂
  • 23. II - Étude énergétique 1) pendule élastique : On a : x = a sin (ω ω ω ω.t + ϕ ϕ ϕ ϕ) et v = a ω ω ω ω cos (ω ω ω ω.t + ϕ ϕ ϕ ϕ ) l’énergie cinétique : L’énergie potentielle: 1 1 Ec mv ² ma² ² cos ²( t ) 2 2 = = ω ω + ϕ = = ω ω + ϕ = = ω ω + ϕ = = ω ω + ϕ 1 1 x 0 0 Ep ( x ) k .x .dx − = − ∫ 23 L’énergie Mécanique de vibration s’écrit : L’Energie mécanique totale est constante 2 1 1 Ep k.x ka² sin ²( t ) 2 2 ⇒ = = ω + ϕ 2 a² E Ec Ep m ² cos ²( t ) k sin ( t ) 2 = + = ω ω + ϕ + ω + ϕ     1 1 k Soit : E k.a² m ²a² avec ² 2 2 m = = ω ω =
  • 24. 2) Autres oscillateurs harmoniques Pendule de torsion: Pendule pesant : 2 2 2 2 2 m m m 1 1 1 1 1 Ec J ; Ep C E C J ² J 2 2 2 2 2 = θ = θ ⇒ = θ = ω θ = θ 2 2 1 1 1 Ec I. ; Ep M.g.a. ² E M.g.a. = θ = θ ⇒ = θ 24 Circuit LC: L’oscillateur harmonique non amorti est un système à énergie mécanique constante: C’est un système conservatif 2 2 m Ec I. ; Ep M.g.a. ² E M.g.a. 2 2 2 = θ = θ ⇒ = θ 2 m Q 1 E 2 C =
  • 25. III) Équation différentielle à partir de l’énergie mécanique t e m m 1 1 E k ² m . ² C 2 2 d E d d k . m . 0 d d d k x x x x x x t t t = + + = + = 25 k 0 m x x + = Qui est l’équation différentielle du mouvement pour un oscillateur harmonique
  • 26. 26
  • 27. Chapitre III - L’Oscillateur Harmonique Amorti 27 L’Oscillateur Harmonique Amorti
  • 28. 28
  • 29. 2 . Mise en équation ( frottement fluide ) On utilise la relation fondamentale de la dynamique: On obtient : Avec l’équation devient : ext F ma = ∑ r r ( ) e x l l = − 0 k x x x α + + = 2 2 ( ) o d l dl m i k l l i mgi i dt dt α = − − + − r r r r 29 Avec 0 k x x x m m α + + = et 2 o k m m α λ ω = = 2 2 0 o x x x λ ω + + =
  • 30. 30
  • 31. Si λ ωo régime apériodique Si λ = ωo : régime critique Si λ ωo : régime pseudopériodique La solution x(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions 31 La solution x(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions particulières: L’expression de x(t) dépend donc de la constante d’amortissement λ λ λ λ: : : : 1 1 ( ) r t x t e = 2 2 ( ) r t x t e = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) x t A x t A x t = +
  • 32. 32 Remarque : la fonction de réponse x(t) n’est ni sinusoïdale ni périodique
  • 33. 33
  • 34. Solution qui peut aussi s’écrire : Si on suppose qu’ à l’instant t = 0, x = xo et v = 0 , on a : t e (1 t) −λ = + λ o x x t e (1 Bt) −λ = + x A 34 et On constate que x est toujours positif et la vitesse v est toujours négative, donc x décroît de xo à 0 en un temps théoriquement infini: Il n’y a plus d’oscillations. t o v ²x t.e−λ = −λ
  • 35. 35
  • 36. 36
  • 37. Les constantes A et ϕ sont déterminées par les conditions initiales. Par exemple, si à t = 0 on a : x = xo ; v = - λ xo nous obtenons : A = xo et ϕ = π/2 37 t o x x e cos t −λ = ω Soit Le système effectue des oscillations d’amplitude décroissante et de « pseudo-période » T = 2π/ω
  • 38. 38
  • 40. 40
  • 41. 41
  • 42. x(t) x(t+2T) Λ Λ Λ Λ = 0.5 0.5 0.5 0.5 log(2 (2 (2 (2,6 ,6 ,6 ,6 / / / /0,8 0,8 0,8 0,8) = ) = ) = ) = 0,6 0,6 0,6 0,6 λ λ λ λ = Λ/Τ = 0,1 s-1 T = (9,5 – 3)/2 = 6,25 s 42
  • 43. 43
  • 44. 44
  • 45. 45
  • 46. 46
  • 47. 47
  • 48. Chapitre IV - Oscillateur Harmonique Forcé 48 Oscillateur Harmonique Forcé
  • 49. 49
  • 50. Réponse d’un oscillateur à une force excitatrice pour différentes valeurs de la fréquence d’excitation. La fréquence naturelle de l’oscillateur est: 0 1 1 2 2 k f Hz m ω π π = = = f = 0,4 Hz f = 1,01 Hz f = 1,6 Hz 2 2 m π π La force excitatrice s’écrit: 0 cos(2 . . ) F F f t π =
  • 51. 51
  • 52. 52
  • 53. 2 - Étude du régime Forcé On utilise la méthode des complexes. ( ) ( ) ( ) cos( ) . o e a e o e a j t x t x t x e ω ϕ ω ϕ + = + = ℜ ( ) ( ) . e j t e o x t x e ω = ℜ 53 amplitude complexe de l’oscillateur Pour la force d’excitation on obtient : ( ) ( ) . e j t E e o F t F e ω = ℜ ( ) e o a v e c . a j o o x x e ϕ =
  • 54. A ( ) 2 2 2 o o e e o x j A ω ω λω − + = ⇒ ⇒ L’équation différentielle appliquée à la solution du régime forcé donne : 2 2 . 2 . . . e e e e j t j t j t j t e o e o o o o x e j x e x e A e ω ω ω ω ω λω ω − + + = 54 ( ) 2 2 2 o o o e e A x j ω ω λω = − +
  • 55. 55
  • 56. 56
  • 57. 57
  • 59. 59
  • 60. 60
  • 61. 61
  • 62. 62
  • 63. 63
  • 64. 64
  • 65. 65
  • 66. 66
  • 67. 67
  • 68. 68
  • 69. 69
  • 70. 70
  • 71. 71
  • 72. 72
  • 73. 73
  • 74. 74
  • 75. 75
  • 76. 76
  • 77. 77
  • 78. Chapitre V - Oscillateurs Harmoniques couplés 78 couplés
  • 79. m1 m2 k1 K k2 Considérons deux oscillateurs harmoniques de longueur à vide l et de raideurs k1 et k2 reliés par un ressort de longueur L et de raideur K. On désigne par x1 et x2 les déplacements respectifs de m1 et m2 par rapport à leurs positions d’équilibre. T1 T 79 x1 x2 Considérons la masse m1 : elle est soumise aux tension T1 du ressort k1 et T due au ressort K. T1 = - k1.x1 T = + k2(x2 – x1) T1 T
  • 80. •Action du ressort k1: son allongement étant x1, il exerce sur m1 une force T1 = ε. ε. ε. ε. k1.x1 (ε=+/ ε=+/ ε=+/ ε=+/− − − −1) 1) 1) 1) – Si x10 le ressort k1 est allongé. Il va chercher à se raccourcir en exerçant sur m1 une force T1 dirigée vers la gauche. T1 sera négatif et ε = - 1. Donc T1 = - k1.x1 – Si x1 0 le ressort k1 est comprimé. Il va chercher à s’allonger en exerçant sur m1 une force dirigée vers la droite. T1 0 et x1 0 ε = -1 l’expression est la même: T = - k .x 80 même: T1 = - k1.x1 •Action du ressort K : son allongement étant ( x2 – x1) il exerce sur m1 une force T = ε Κ. Κ. Κ. Κ.(x2 – x1). – Si ( x2 – x1) 0 , le ressort K est étiré et va chercher à se raccourcir en exerçant sur m1 une force dirigée vers la droite. T est positif et donc ε = +1. T = + K ( x2 – x1) – Si (x2 – x1) 0 le ressort K est comprimé. Il va chercher à s’allonger en repoussant m1. La force T2 est dirigée vers la gauche. T 0 et (x2 – x1) 0 ε = + 1. L’expression est la même.
  • 81. Mise en équation : Le PFD appliqué à m1 donne la relation : • Masse m2: Sachant qu’elle subit la tension du ressort K et celle du ressort k2, le même raisonnement conduit à la relation: • 1) Cas du couplage d’oscillateurs symétriques. 2 2 2 2 2 1 m .x k .x K(x x ) = − − − 1 1 1 1 2 1 m .x k .x K(x x ) = − + − 81 Les deux oscillateurs reliés par le ressort K sont identiques: m1 = m2= m et k1= k2 = ko . Le système devient : = − + −   = − − −  (1) (2) 1 0 1 2 1 2 0 2 2 1 m.x k .x K(x x ) m.x k .x K(x x )
  • 82. Résolution: • en posant S = (x1 + x2) et D = (x1 – x2) on obtient les deux équations découplées suivantes: • Les solutions de ces équations sont: ω ϕ ω φ ω ω + = + = + = = et ; 0 0 o 1 o 2 k k 2K S S cos( t ) D D cos( t ) avec = − = − + et ( 0 0 m.S k .S m.D k 2K ).D 82 Sachant que x1 = (S+D)/2 et x2 = (S – D)/2 on obtient finalement : o o 1 1 2 o o 2 1 2 S D x c o s ( t ) c o s ( t ) 2 2 S D x c o s ( t ) c o s ( t ) 2 2 ω ϕ ω φ ω ϕ ω φ = + + + = + − + ω ω + = = ; 0 0 k k 2K 1 2 m m avec
  • 83. Modes propres Remarque : les oscillations couplées x1(t) et x2(t) ne sont en général pas sinusoïdales (la somme ou la différence de deux fonctions sinusoïdales de fréquences différentes n’est pas une fonction sinusoïdale) 83 Définition: On appelle mode propre du système couplé un mode d’oscillation pour lequel tous les paramètres ont des mouvements sinusoïdaux de même pulsation
  • 84. -Si Do = 0, alors x1(t) = x2(t) = So/2.cos(ω1t + ϕ). Les deux oscillateurs oscillent en phase, avec la même pulsation et la même amplitude: c’est le premier mode propre ou mode propre symétrique. -Si So = 0, alors x1(t) = - x2(t) = Do/2.cos(ω2t + φ). Les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase, avec la 84 Les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase, avec la même pulsation et la même amplitude. C’est le deuxième mode propre ou mode propre antisymétrique Remarque: En général, il y a autant de modes propres et de pulsations propres ( c.a.d de pulsations pour lesquelles tous les oscillateurs sont en phase) que d’oscillateurs.
  • 85. 2) Oscillateurs couplés dissymétriques Les équations différentielles Peuvent être mise sous la forme plus générale: et 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 m .x k .x K(x x ) m .x k .x K(x x ) = − + − = − − − + =   + =  1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 x a .x b .x x a .x b .x 85 a) Équations aux pulsations propres: Les modes propres sont les solutions particulières du système qui sont sinusoïdales et de même pulsation ω, c.a.d En reportant ces solutions particulières dans le système d’équations: et i t i t 1 1 2 2 x (t) A .e x (t) A .e ω ω = =
  • 86. •On obtient : Qui n’a de solution non nulle que si le déterminant des coefficients de A1 et A2 est nul, c’est-à-dire: C’est l’équation aux pulsations propres 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 ( a )A b A 0 b A ( a )A 0 ω ω  − + − =   − + − + =   2 2 1 2 1 2 ( a )( a ) b b 0 ω ω − + − + − = 86 C’est l’équation aux pulsations propres Cette équation en ω ω ω ω fournit les deux solutions ω ω ω ω1 et ω ω ω ω2 acceptables (c.a.d positives) , pulsations propres du système dissymétrique couplé Pour ω = ω ω = ω ω = ω ω = ω1 : les deux oscillateurs oscillent en phase Pour ω = ω ω = ω ω = ω ω = ω2 : les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase Mais toujours avec des amplitudes différentes
  • 87. • Exemples d’oscillateurs couplés • Pendules simples α α α α α α α α − − − −α α α α α α α α 87 X1(t) m X2(t) m X1(t) m X2(t) m 1er mode propre ( ω1) X1(t) = x2(t) 2eme mode propre ( ω2) X1(t) = - x2(t)
  • 88. • Pendule double θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ Α Α Α Α Ο Ο Ο Ο y x G m 2m Β Β Β Β 88 • Corde plombée y1 y3 y1 y2 y2
  • 89. FIN « Vibrations » 89 FIN « Vibrations »
  • 91. 1) Développement d’une fonction périodique en série de Fourier Théorème : Toute fonction périodique f(t), de période T, bornée, est équivalente à une somme infinie de sinusoïdes de fréquences f=n/T, n étant un entier appelé « harmonique » 1 1 ( ) .cos(2 . ) .sin(2 . ) ∞ ∞ = = = + + ∑ ∑ o n n n n f t a a nft b nft π π 91 1 ( ) cos( ) ∞ = = + ω + ϕ ∑ o n n n f t a c n t [ ] 1 ( ) cos sin ∞ = = + ω + ω ∑ o n n n f t a a n t b n t En posant 2 2 2 n n n n n n b c a b et Arctg a   = + ϕ = −     Cn0
  • 92. 0 0 0 c a lc u le le s c o e ffic ie n ts d e F o u rie r p a r: 1 ( ). 2 ( ). c o s( ). 2 ( ). sin ( ). = = = ∫ ∫ ∫ T T n T O n a f t d t T a f t n t d t T b f t n t d t ω ω 92 0 ( ). sin ( ). = ∫ n b f t n t d t T ω Remarque : si f(t) paire bn = 0 si f(t) impaire an = 0 L’ensemble des valeurs an, bn ou Cn constitue le spectre de la fonction f
  • 93. 0 les termes ; .cos( ) ; .sin( ) sont les composantes de Fourier de f n n a a n t b n t ω ω En coordonnées spatiales (x) le D.S.F de ( ) s'écrit: ( ) .cos( ) .sin( ) ∞ ∞ = + + ∑ ∑ h x h x a a nkx b nkx -La composante n = 1 est la composante fondamentale. -Les autres, n = 2 , 3 ..... sont les Harmoniques 93 1 1 ( ) .cos( ) .sin( ) avec 2 vecteur d'onde = = = + + = ∑ ∑ o n n n n h x a a nkx b nkx k π λ 2 2 2 2 0 0 1 1 1 P arseval: ( ). 2 2 ∞ ∞ = = = + + ∑ ∑ ∫ T n n n n a b Identité de f t dt a T
  • 94. 2) Transformée de Fourier • Toute fonction f est décomposable en une somme infinie et continue de fonctions sinusoïdales: [ ] +∞ = + ∫ ω ω ϕ ω ω π 0 1 ( ) ( )cos ( ) 2 f t c t d 1 ( ) ( ).exp( ). +∞ = ∫ f t F j t d ω ω ω 94 1 ( ) ( ).exp( ). 2 =−∞ = ∫ f t F j t d ω ω ω ω π ( ) est la Transformée de Fourier de : où F f ω 1 ( ) ( ).exp( ). 2 +∞ =−∞ = − ∫t F f t j t dt ω ω π On voit que est la Transformée Inverse de f F