Principalement, on aborde les oscillations des syst`emes m ́ecaniques mais sans oublier de mettre un accent sur le caract`ere plus g ́en ́eral des ph ́enom`enes oscillatoires en traitant les oscillations dans certains syst`emes ́electriques. On tache de faire apparaˆıtre la place im- portante de l’oscillateur harmonique dans les ph ́enom`enes vibratoire. Les probl`emes sont trait ́es dans le formalisme Newtonien en utilisant les forces et le principe de conservation de l’ ́energie totale dans les syst`emes conservatifs. L’usage du formalisme Lagrangien est introduit en faisant remarquer la grande simplification qu’il apporte dans les syst`emes compliqu ́es qu’il soient conservatifs ou non-conservatifs.

1. II.2 Oscillateurs harmoniques libres
II.2.1 Equation du mouvement
Oscillations si
Intégration
1
(Ecriture mathématique)
Equation différentielle du second
ordre linéaire , homogène et à
coefficients constants
On divise par A
(Ecriture physique) où

2. Pulsation propre
(rd/s)
En physique:
Phase à l’origine
(rd)
Amplitude
(m) ou (rd) Temps (s)
Phase (rd)
Elongation
(m) ou (rd)
2
harmoniques
Constantes d’intégration à déterminer à partir des conditions initiales
II.2.2 Equation horaire

3. q0
-q0
T0
/2
T0
T0
q(t)
t
Période propre
(s)
Variations de q(t) en fonction du temps t
3

4. .
la coordonnée y
Force élastique
2 forces
Poids
( Variation en
hauteur)
( Déformation
du ressort)
Epg Epe
2 énergies potentielles Ep = Epe + Epg
1 corps ( masse ponctuelle )1 énergie cinétique Ec = Ecm
y
K
m
0
Analyse du système
II.2.3 Exemple d’un oscillateur harmonique
4

5. 5
P
T
y
K
m
0
Position d’équilibre de m
Détermination de l’équation du mouvement à partir du PFD

6. 6
y
K
m
0
Position de m en mouvement
Equation horaire:
Conditions initiales:
Equation du mouvement:
où

7. y
K
m
0
7
Energie potentielle:
Détermination de l’équation du mouvement à partir de EM

8. 8
Système conservatif
Energie cinétique:
Energie mécanique:
Equation du mouvement:
Equation horaire:
Conditions initiales:
où

9. Sommaire
II.2.3 Décrément logarithmique
II.1 Introduction
II.2.1 Equation du mouvement
II.2 Oscillateurs linéaires libres amortis
II.2.2 Equation horaire
II.2.2.1 Régime apériodique
II.2.2.2 Régime apériodique critique
II.2.2.3 Régime pseudopériodique
II.2.4 Facteur (ou coefficient) de qualité Q
II Oscillateurs libres amortis

10. II.1 Introduction
Systèmes libres amortis
Amortisseurs de
masse négligeable
Masses
ponctuelles
Corps solides ayant
des dimensions
Ressorts de masse
négligeable
Systèmes libres non amortis
⁺
10

11. Systèmes libres amortis sont caractérisés:
d
w0
pulsation propre
coefficients d’amortissement
(se lit petit delta)
Amplitudes des mouvements
s’atténuent

12. Equation différentielle deuxième ordre
linéaire homogène à coefficients constants
(écriture physique)
On divise par A
12
II.2.1 Equation du mouvement
II.2 Oscillateurs linéaires libres amortis

13. Equation caractéristique
Le discriminant
Le régime apériodique Le régime apériodique
critique
13
Le régime
pseudopériodique
II.2.2 Equation horaire

14. 2 racines réelles négatives
Amortissement fort
Constantes d’intégration
à déterminer à partir des conditions initiales
14
II.2.2.1 Régime apériodique

15. Le régime apériodique
exponentielles décroissantes en fonction du temps t
,
Cas où le système est écarté de Q0 puis abandonné à lui même
Dans tous les cas le système
revient à sa position
d’équilibre et s’arrête
15

16. Le régime apériodique
Q0
ta
q(t)
t
Point d’inflexion
Valeur absolue de la pente à la
tangente à la courbe↗ pour 0 <t <t a
⇒ Mvt accéléré
Valeur absolue de la pente à la tangente à la
courbe↘ pour t > t a ⇒ Mvt décéléré
Le système revient
à sa position
d’équilibre sans
osciller
16

17. 0
2
4
6
8
10
12
d
< d
t
t2
t1
d
d
q(t)
Le régime apériodique:
Temps de retour à l’équilibre t
⇒ t2 > t1
d ↗ ⇒ t ↗
17

18. Fonction linéaire en
fonction du temps t
exponentielle décroissante
en fonction du temps t
-d < 0
L’exponentielle
l’emporte sur la
fonction linéaire
Dans tous les cas le système revient à la position d’équilibre
et s’arrête 18
II.2.2.2 Régime apériodique critique

19. Le régime apériodique critique
Q0
ta
q(t)
t
Point d’inflexion
Valeur absolue de pente à la tangente
à la courbe↗ pour 0 <t <t a
⇒ Mvt accéléré
Valeur absolue de pente à la tangente à la
courbe↘ pour t > t a ⇒ Mvt décéléré
Le système revient
à sa position
d’équilibre sans
osciller
t : Le temps de retour à l’équilibre est plus court dans ce régime.
19
où et

20. Amortissement faible
2 racines complexes conjuguées
Constantes d’intégration
à déterminer à partir des conditions initiales
Pseudo-pulsation
20
II.2.2.3 Régime pseudopériodique

21. Le régime pseudopériodique
,
Le système revient à
sa position
d’équilibre en
oscillant
-Q0
e
-dt
Q0
e
-dt
Ta
/2
Ta
Ta
Q0
q(t) t
Allure de q(t) est une cosinusoïde (ou sunisoïde) amortie
enveloppée par deux exponentielles
t
.
Pseudopériode
21

22. Le régime pseudopériodique
II.2.3 Décrément logarithmique
Il mesure la décroissance logarithmique (népérien) des amplitudes à
deux instants séparés de nTa où n est un nombre entier:
Or waTa=2p
22

23. Le régime pseudopériodique
t: un instant correspondant à un extremum
n: est choisi de telle façon que
23
q(t2
)
t2
t
q(t1
)
t1
2Ta
n=2
q(t)

24. mesures expérimentales
q(t) , q(t+nTa ) et Ta
D
Calcul
Calcul
Le régime pseudopériodique
Calcul
24

25. II.2.4 Facteur (ou coefficient) de qualité Q
Le régime pseudopériodique
Energie
mécanique
Energie
potentielle à
l’équilibre
Surplus
d’énergie par
rapport à
l’équilibre
chaleur
Pendant le mouvement
Atténuation des amplitudes
25

26. Le régime pseudopériodique
Surplus d’énergie à t
Perte d’énergie de t à t+Ta
26

27. Le régime pseudopériodique
Or waTa=2p
27

28. Le régime pseudopériodique
waTa=2p
28

29. Le régime pseudopériodique
29

30. Le régime pseudopériodique
Cas de très faibles amortissements
30

31. Le régime pseudopériodique
Cas de très faibles amortissements
31