CA_RESMA_2022_01 Chap1.pdf

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CONTRÔLE AVANCE Page 1
CONTRÔLE AVANCE
Recueil d’acétates
Chapitre 1 : Représentation d’état
Version Hiver 2022
Pr. Khalid BENJELLOUN
Khalid.benjelloun@um6p.ma
RESMA
Nous considérons les systèmes physiques décrits par l'équation différentielle
ordinaire d'ordre n. En utilisant un ensemble de variables, appelées variables
d'état, on peut obtenir un ensemble d'équations différentielles du premier
ordre. Nous regroupons ces équations de premier ordre en utilisant une
notation matricielle compacte dans un modèle appelé modèle à variable d'état.
Le modèle de variable d'état dans le domaine temporel se prête aisément à
l'analyse et à la solution informatique. La transformée de Laplace est utilisée
pour transformer les équations différentielles représentant le système en une
équation algébrique exprimée en termes de la variable complexe s. En
utilisant cette équation algébrique, nous pouvons obtenir une représentation
de la fonction de transfert de la relation entrée-sortie.
Introduction
1
2

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2
Avec la disponibilité des ordinateurs numériques, il convient de
considérer la formulation du domaine temporel des équations
représentant le système de contrôle. Les techniques du domaine
temporel peuvent être utilisées pour des systèmes non linéaires,
variables dans le temps et multivariés.
Introduction
Modèles mathématiques
• Technique classique ou domaine de
fréquence
• Technique Représentation d’état ou
Moderne ou Domaine-temporel
3
4

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3
Technique classique ou domaine de fréquence
• Avantages
• Convertit l’équation
différentielle en
équation algébrique
via des fonctions de
transfert.
• Fournit rapidement
des informations sur
la réponse, la
stabilité, le
transitoire, etc..
• Inconvénients
• Applicable
uniquement aux
systèmes linéaires
invariants dans le
temps (LTI) ou à
leurs approximations
proches.
La limitation de LTI est
devenue un problème
vers 1960 lorsque les
applications spatiales
sont devenues
importantes.
Représentation d’état ou Moderne ou Technique de
Domaine temporel
• Avantages
• Fournit une méthode
unifiée pour la
modélisation, l’analyse
et la conception d’un
large éventail de
systèmes à l’aide de
l’algèbre matricielle.
• Systèmes nonlinaires,
variables dans le temps
et multivariables
• Inconvénients
• Pas aussi intuitif que la
méthode classique.
• Calculs requis avant
que l’interprétation
physique ne soit pas
apparente
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4
Représentation dans l’espace d’État
Un système LTI est représenté dans le format espace d’état par
l’equation Différentielle vectorielle (DE) comme :
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) .
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
avec t t et x t condition initial
 
 


Les vecteurs x, y, et u sont les vecteurs d’état, de sortie et d’entrée.
Les matrices A, B, C, et D sont les matrices du système, l’entrée,
la sortie et l’anticipation (feedforward).
Équation(s) dynamique(s)
Équations de mesure ou de sortie
Concepts
État : est un ensemble de nombres de telle sorte que la connaissance de
ces nombres et les fonctions d’entrée, avec les équations décrivant la
dynamique, fournir l’état futur et la sortie.
Variables d’état : variables qui déterminent le comportement
futur d’un système lorsque l’état actuel et les signaux d’excitation sont connus.
Vecteur d’état : la matrice de colonne composée de toutes les n
variables d’état
Espace d’État: l’espace de dimension n construit par les variables
d’état













)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
x
t
x
t
x
t
x
n

7
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5
Définitions
• Variables système : toute variable qui répond à une
entrée ou à des conditions initiales.
• Variables d’état : le plus petit ensemble de variables
système linéairement indépendantes de telle sorte
que l’ensemble de condition initiale et les entrées
appliquées déterminent complètement le
comportement futur de l’ensemble.
Indépendance linéaire : un ensemble de variables est
linéairement indépendant si aucune des variables ne peut
être écrite comme une combinaison linéaire des autres.
Définitions (suite)
• Vecteur d’état : vecteur de colonne (n x 1)
dont les éléments sont les variables d’état.
• Espace d’état : l’espace n-dimensionne dont
les axes sont les variables d’état.
9
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Exemple: Considérez le circuit RLC
Entrée:
Output:
Énergie stockée dans le condensateur et l’inducteur
Utilisation de la loi de Kirchhoff:
Let , we get
)
(t
u
)
(t
uc
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
i
dt
t
du
C
t
u
t
u
t
Ri
dt
t
di
L
L
c
c
L
L




)
(
)
(
),
(
)
( 2
1 t
u
t
x
t
i
t
x c
L 

  
























 








)
(
)
(
1
0
)
(
)
(
0
/
1
)
(
)
(
0
/
1
/
1
/
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
t
x
t
x
t
y
t
u
L
t
x
t
x
C
L
L
R
t
x
t
x


Notez que , Nous avons
Soit , nous obtenons
Les variables d’état ne sont pas un ensemble unique, le
nombre de variables d’état est égal au nombre d’éléments
indépendants de stockage d’énergie.
)
(
)
( t
Cu
t
q c
c 
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
t
i
dt
t
dq
t
u
t
q
C
t
Ri
dt
t
di
L
L
c
c
L
L




)
(
)
(
),
(
)
( 2
1 t
q
t
x
t
i
t
x c
L 

  
























 








)
(
)
(
/
1
0
)
(
)
(
0
/
1
)
(
)
(
0
1
/
1
/
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
t
x
t
x
C
t
y
t
u
L
t
x
t
x
LC
L
R
t
x
t
x


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Exemple: Considérez le circuit RLC
Entrées: Sortie:
Variables d’état:
Utilisation de la loi de Kirchhoff:
)
(
),
( 2
1 t
u
t
u )
(t
y
c
u
x
i
x
i
x 

 3
2
2
1
1 ,
,
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
u
i
R
y
dt
du
C
i
i
u
i
R
dt
di
L
u
u
i
R
dt
di
L
u
c
c
c










Nous pouvons obtenir
Ou sous forme de matrice
2
2
2
2
1
3
2
2
3
2
2
2
2
2
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
u
x
R
y
x
C
x
C
x
u
L
x
L
x
L
R
x
u
L
x
L
x
L
R
x















    


















































































2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
3
2
1
2
2
2
1
1
1
3
2
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
u
u
x
x
x
R
y
u
u
L
L
x
x
x
C
C
L
L
R
L
L
R
x
x
x



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Représentation d’état des systèmes
I.1 – Introduction:
Exemple
Mise en équation:
- Loi d’Ohm:
- Force contre-électromotrice:
Où est un coefficient, et est la vitesse de rotation
- Couple/moteur:
- Equation mécanique
( )
( ) ( ) ( ) ( )
a
a a a a m
di t
e t R t i t L e t
dt
  
( ) ( )
m e
e t K t


e
K  


( )
m c a
T K i t
 ( )
c e
avec K K

m d
J T b T
 

  
( : , : tan )
d
J inertie b coefficient de frottement etT couplerésisis t
Exemple (suite)
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a e
E s R L s I s K s
   
Calcul du transfert:
A partir de l’équation mécanique on a:
Sachant que
On trouve donc:
On peut écrire sous la forme générale
( ) ( )( ) ( ) ( )
a a a e
c
Js b
E s R L s s K s
K

    
( ) ( )
s s s
  
1
( ) ( )
( )
a
a a e
c
s E s
Js b
s R L s K
K
 
 
 

 
 
 
 
 
2
1 2
( )
(1 )
v
K
s
s a s a s
 
 
15
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Exemple (suite)
Concept d’état
A un instant donné t, on peut considérer que le moteur se trouve dans un certain
« état », défini par les valeurs prise par
Pour un système mécanique, l’état est l’ensemble des positions et vitesses
relatives à chaque degré de liberté (ou toute combinaison équivalente).
Pour un réseau électrique, l’état est défini par le courant dans chaque inductance et
la tension aux bornes de chaque capacité (ou toute combinaison équivalente).
, , .
a
I etc

Exemple (suite)
a
e u

Concept d’état: Application au moteur
Dans le du moteur (système électromécanique), l’entrée est , la sortie est la
position , et on propose pour vecteur d’état:
En manipulant les équations précédentes, on peut
Écrire les équations différentielles suivantes:
y
  1
2
3 a
x
x x
i
x


   
   
 
   
   
 
 
c a
a a a e
a
a
K i b
J
e R i K
i
L
 









 

17
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I.1 – Introduction: Exemple (suite)
Ces équations sont linéaires et s’écrivent sous forme matricielle:
Le vecteur x proposé est donc bien acceptable en tant que vecteur d’état.
La représentation d’état permet de mettre en évidence des informations internes
au processus, qui n’apparaissent pas nécessairement sur la description sur la
description par fonction de transfert (représentation externe).
   
0 1 0
0
( , ) 0 0
1
0
( , ) 1 0 0 0
c
e a
a
a a
K
b
x f x u x u
J J
K R L
L L
y g x u x u

 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
  
I.2 Représentation d’état des systèmes dynamiques
( ) m
u t 
La représentation d’état est un modèle interne structuré bâti autour du concept
d’état et s’appliquant aux systèmes temps-variant et/ou non linéaires. On
considère donc le système dynamique multi variable de la figure suivante
ayant pour entrées les composantes du vecteur et pour sorties les
composantes du vecteur
En général, l’état d’un systéme est caractérisé par différentes variables
dynamiques appelées variables d’état regroupées dans un unique vecteur
appelé vecteur d’état, x(t) = [x1(t), ꞏ ꞏ ꞏ , xn(t)].
( ) r
y t 
19
20

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Remarques: La représentation par vecteur d’état permet de pallier des difficultés
rencontrées pour l’analyse et la synthèse d’une loi de commande avancée et
d’unifier le cadre de l’étude des systèmes dynamiques continus ou discrets. Le
concept d’état est utilisé chaque fois que des informations sur des variables
internes sont nécessaires pour prendre une décision concernant un système. On
peut donc lister certains avantages de la représentation d’état :
– Unité de la représentation ; une classe très importante de processus physiques
peut être représentée par un modèle mathématique sous forme d’état.
– La représentation d’état tient compte de l’état initial (la contrainte de travailler
avec des systèmes au repos est ici inutile).
– La représentation d’état est plus facilement adaptable au cas multi-variable et
donne une description des variables internes (d’où le nom aussi de
représentation interne).
Un système de contrôle variable dans le temps est un système pour lequel
un ou plusieurs paramètres du système peuvent varier en fonction du
temps.
L'état d'un système est un ensemble de variables tel que la connaissance
de ces variables et des fonctions d'entrée, avec les équations décrivant la
dynamique, fournira l'état et la sortie futurs du système.
21
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Pour un système dynamique, l'état d'un système est décrit en termes d'un ensemble
de variables d'état
 
1 2
, , ,
T
n
x x x

Les variables d'état sont les variables qui déterminent le comportement futur d'un
système lorsque l'état actuel du système et les signaux d'excitation sont connus.
Considérons le système illustré à la figure, où y1 (t) et y2 (t) sont les signaux de sortie
et u1 (t) et u2 (t) sont les signaux d'entrée. Un ensemble de variables d'état
[x1 x2 ... xn] pour le système montré dans la figure est un ensemble tel que la
connaissance des valeurs initiales des variables d'état [x1 (t0) x2 (t0) ... xn (t0) ] à
l'instant initial t0, et des signaux d'entrée u1 (t) et u2 (t) pour t˃ = t0, il suffit de
déterminer les valeurs futures des sorties et des variables d'état.
System
Input Signals
u1(t)
u2(t)
Output Signals
y1(t)
y2(t)
System
u(t)
Input
x(0) Initial conditions
y(t)
Output
système dynamique.
Forme générale des modèles dymanique
• Ensemble d’équations différentielles du
1er ordre :
 
 
 
 , , , , , , , , , , ,
 , , , , , , , , , , ,
 , , , , , , , , , , ,
x f x x x u u u p p p
n m r
n m r
n n n m r
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2



  
  

  
Variables d’état Variables d’entrées Paramètres
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Représentation vectorielle
• Équation :
• Si les paramètres sont constants, on
peut écrire:
 
 , ,
x f x u p

 
 ,
x f x u

S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le
système est dit « autonome ».
Solutions en régime permanent
• Les solutions sont très simples,
puisqu’en régime permanent le système
n’évolue plus (ce qui implique que les
dérivées sont nulles):
 
0  f x u p
, ,
Donne les valeurs des états xs, des
entrées us et des paramètres ps.
25
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Exemple
• Soit un pendule modélisé par:
2
( ) sin( ( )) ( )
t a t T t
 
 

Paramètre Couple
Angle
2
2
( ) sin( ( )) ( )
( ) sin( ( )) ( )
f
ml t mgl t T t
t a t T t
 
 
 
 


Exemple
• Soit un pendule modélisé par:
• États:
2
( ) sin( ( )) ( )
t a t T t
 
 

1
2 1
x
x x



  

Position (Angle)
Vitesse
27
28

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Exemple
• Équations d’état:
1 1 2
2
2 2 1
( , )
( , ) sin( ) ( )
x f x u x
x f x T a x T t
 
   


Exemple
• Si T(t) = 0, on trouve deux positions
d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0.
• Ce qui mène à:
1 2
2
2 1
0 ( , )
0 ( , ) sin( )
f x u x
f x T a x
 
  
1
2
0 et
0
x
x



29
30

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Exemple
• Si T(t) = Ts ≤ a2, on trouve la position
d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0.
• Ce qui mène à:
1 2
2
2 1
0 ( , )
0 ( , ) sin( ) s
f x u x
f x T a x T
 
   
1 2
2
arcsin
0
s
T
x
a
x
 
  
 

Les sorties de ce système
• Les p sorties du système dynamique
sont représentées par ces équations:
 
 
 
1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
n m r
n m r
p p n m r
y g x x x u u u p p p



  
  

  
Sorties Variables d’entrées Paramètres
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Les sorties de ce système
• On peut mettre les équations des
sorties sous forme vectorielle:
 
, ,
y g x u p

Diagramme bloc du système
• C’est un schéma bloc général, puisque f et
g peuvent être non-linéaires.
33
34

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Définition: (Vecteur d’état): x(t) est un vecteur d’état pour le système Σ si c’est
un vecteur contenant le nombre minimal de variables internes vérifiant la
propriété suivante:
Si, à chaque instant t0, x(t0) est connu alors y(t1) et x(t1) peuvent être déterminés
de manière unique pour tout t1 ≥ t0 si u(t) est connue sur l’intervalle [t0 , t1].
( ) : '
( ) :
( ) : '
n
m
r
x t vecteur d état
u t vecteur de com m ande
y t vecteur d état






 
 
, ,
, ,
x f x u t équation de la dynamique
x g x u t équation de mesure




Définition: (Représentation d’état)Tout système dynamique Σ peut être
représenté par ses équations d’état définies comme un ensemble d’équations
différentielles du premier ordre appelées équations dynamiques et un ensemble
d’équations algébriques appelées équations de sortie ou de mesure:
où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état, u(t) ∈ Rm est le vecteur de commande,
y(t) ∈ Rr est le vecteur de sortie. La fonction f: Rn × Rm × R → Rn est
une fonction de x, continue par rapport à u et continue par morceaux par
rapport à t afin que (Eq. état) ait une solution unique. Les équations
d’état caractérisent complètement le comportement dynamique du
système.
(Eq. état)
 
 
, ,
, ,
x f x u t équation de la dynamique
x g x u t équation de mesure




35
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Linéarisation
Equation d’état et linéarisation
La majorité des systèmes physiques sont en réalité non linéaires et décrits
par le modèle (Eq. état). Une pratique très courante consiste à linéariser le
modèle d’état non linéaire localement autour d’un point de fonctionnement
nominal afin de disposer d’un modèle linéaire localement valide sous les
hypothèses de faibles déviations autour du point de fonctionnement.
Il peut arriver que f(x,u,t) et/ou g(x,u,t) ne soient pas linéaires. Comment
analyser un tel système ?
Linéarisation
• Permet de transformer une équation
non-linéaire en une équation linéaire
applicable autour d’un point d’opération
donné :

x Ax Bu
y Cx Du
 
 
 
 
,
,
x f x u
y g x u



En xs, us
37
38

2022-02-25
20
Cas avec une seule variable
• Équation non-linéaire :
• La série de Taylor permet de linéariser :
 ( )
x f x

       

x f x f x
f
x
x x
f
x
x x
s
x
s
x
s
s s
      




1
2
2
2
2

On néglige les termes
d’ordre plus élevés !
Cas avec une seule variable
(suite)
• Le point d’opération autour duquel on
linéarise le système est le point atteint
en régime permanent, donc :
• En conséquence :
 ( )
x f x
s s
  0
   

x f x
f
x
x x
x
s
s
  


39
40

2022-02-25
21
Cas avec une seule variable (suite)
• Comme :
• On peut poser :
• Et écrire :     
x
f
x
x ax
xs


 
d x x
dt
x
s

 
  
x x xs
Puisque xs constant
Cas une entrée/une variable d’état
• La série de Taylor permet de linéariser
:
 ( , )
x f x u

       
f x u f x u
f
x
x x
f
u
u u
s s
x u
s
x u
s
s s s s
, ,
, ,
     





 0 Les termes d’ordre
supérieur seront négligés
41
42

2022-02-25
22
Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)
• On pose :
• Donc :
  
  
x x x
u u u
s
s

, ,
        
x
f
x
x
f
u
u ax bu
x u x u
s s s s




Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)
• La série de Taylor permet de linéariser :
y g x u
 ( , )
       
g x u g x u
g
x
x x
g
u
u u
s s
x u
s
x u
s
s s s s
, ,
, ,
     





 ys Les termes d’ordre
supérieur seront négligés
La sortie en régime
permanent
43
44

2022-02-25
23
Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie -
suite)
• En posant :
• On obtient pour la sortie linéarisée :
        
y
g
x
x
g
u
u cx du
x u x u
s s s s




, ,
  
  
  
x x x
u u u
y y y
s
s
s
Exemple #1
• Réservoir cylindrique dont on mesure le niveau:
Section A2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1
2
1 1
2 2
0
2 2
dh
A F A v
dt
P P
v gh v
or P P et v
v gh g h
 
 
   
 
  
45
46

2022-02-25
24
Exemple #1
• Hauteur d’un réservoir avec écoulement
de sortie non-linéaire :
• Série de Taylor :
2
( , ) 2
dh F
h f h F avec A g
dt A A


   
       
f h F f h F
f
h
h h
f
F
F F
s s
h F
s
h F
s
s s s s
, ,
, ,
    




Négligeant les termes
d’ordre supérieur
Exemple #1 (suite)
• En dérivant :
• En régime permanent :


 

f
h A h
f
F A
h F s h F
s s s s
, ,
  
2
1
 
f h F
F
A A
h
s s
s
s
,   

0
Permet d’obtenir hs à partir de Fs et
des paramètres…
47
48

2022-02-25
25
Exemple #1 (suite)
• Donc :
• Ou encore :
 
   
d h h
dt A h
h h
A
F F
s
s
s s

    

2
1
dx
dt A h
x
A
u
s
  

2
1
a b
Écart Écart
Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie
• Équations non-linéaires :
 ( , , )
 ( , , )
( , , )
x f x x u
x f x x u
y g x x u
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2



49
50

2022-02-25
26
Cas 1 E/2 V.E./1 S
(suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
     
   
     
f x x u f x x u
f
x
x x
f
x
x x
f
u
u u
f x x u f x x u
f
x
x x
f
x
x
s s s
x x u
s
x x u
s
x x u
s
s s s
x x u
s
x x u
s s s
s s s s s s
s s s
s s s
1 1 2 1 1 2
1
1
1 1
1
2
2 2
1
2 1 2 2 1 2
2
1
1 1
2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
, , , ,
, , , ,
, ,
, , , ,
, ,
, ,
  
    
  












   
2 2
2
1 2
   
x
f
u
u u
s
x x u
s
s s s

 , ,

Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite)
• Pour linéariser l’ensemble :
• Avec :
     
   
g x x u g x x u
g
x
x x
g
x
x x
g
u
u u
s s s
x x u
s
x x u
s
x x u
s
s s s
s s s s s s
1 2 1 2
1
1 1
2
2 2
1 2
1 2 1 2
, , , ,
, ,
, , , ,
  
    







 
g x x u y
s s s s
1 2
, , 
51
52

2022-02-25
27
• Comme :
• On écrit :
   
dx
dt
d x x
dt
dx
dt
d x x
dt
s s
1 1 1 2 2 2




et
 
 
 
 
 
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 1
1 2
, , , , , ,
1 1
2 2
2 2 2
2 2
, ,
1 2
, , , ,
s s s s s s s s s
s s s
s s s s s s
s
x x u x x u x x u
s
s
s
s
x x u
x x u x x u
f f f
d x x
x x u
x x
dt
u u
x x
d x x f
f f
u
dt x x
  
  

 

 
   

     
  
 
   
    
 
   


   
   
   
   
 
 
x Ax Bu
 

• Et :
 
 
 
 
1 2
1 2 1 2
1 2
, ,
1 1
2 2
1 2
, , , ,
, ,
s s s
s s s s s s
s s s
x x u
s
s s
s
x x u x x u
x x u
g
u
x x
g g
y y u u
x x
x x g
u


 
  

 
 
  
   
 
   
   

   
   
 
 
y Cx Du
 
53
54

2022-02-25
28
Exemple du pendule
• Rappel de l’équation d’état non-linéaire
(avec entrée nulle):
1 1 2
2
2 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
 
  


Exemple du pendule
• À x1s = x2s = 0 (pendule vers le bas):
1 1 2
2
2 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
 
  


1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 2
0, 0, 0 0, 0, 0
2
2 2
1 2
0, 0, 0 0, 0, 0
0 1
0
s s s s s s
s s s s s s
x x u x x u
x x u x x u
f f
x x
A
a
f f
x x
 
 
 
 
     
     
 
 
   
 
   

 
 
 
 
55
56

2022-02-25
29
Exemple du pendule
• À x1s = π, x2s = 0 (pendule vers le haut):
1 1 2
2
2 2 1
( , )
( , ) sin( )
x f x u x
x f x T a x
 
  


1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 2
, 0, 0 , 0, 0
2
2 2
1 2
, 0, 0 , 0, 0
0 1
0
s s s s s s
s s s s s s
x x u x x u
x x u x x u
f f
x x
A
a
f f
x x
 
 
 
 
 
 
     
     
 
 
   
 
   
 
 
 
 
Généralisant
• Système ayant n états, m entrées et p
sorties:
 
 
 
 
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
n m
n n n m
n m
p p n m
x f x x x u u u
x f x x x u u u
y g x x x u u u
y g x x x u u u




  

  
 

 
 
 
 ,
,
x f x u
y g x u


57
58

2022-02-25
30
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice Jacobienne (A) :
• Élément de la matrice B :
A
f
x
ij
i
j
x u
s s



,
B
f
u
ij
i
j
x u
s s



,
Définitions des éléments des matrices de linéarisation
• Élément de la matrice C :
• Élément de la matrice D :
C
g
x
ij
i
j
x u
s s



,
D
g
u
ij
i
j
x u
s s



,
59
60

2022-02-25
31
Forme après la linéarisation
• Équation d’état :
• Équation de sortie:
• Forme habituelle:
x Ax Bu
y Cx Du
 
 


x Ax Bu
y Cx
 

D
B C

( )
t
x
( )
t
x
 ( )
t
y
( )
t
u
A
61
62

2022-02-25
32
1
1


s
s
1
1

s
)
(t
u )
(t
y
1
1


s
u
y
BIBO stable, pole-zéro annulation
Exemple
-2
s
1
s
1
)
(t
u )
(t
y
+
+
+
+
+
-
1
x
 2
x

1
x 2
x
)
(t
v
u
s
u
v
s
s
s
u
v
1
2
1
2
1
1
1











2
2
1
2
1
1 2
x
y
u
x
x
x
u
x
x









20
2
10
1
)
0
(
)
0
(
x
x
x
x


)
(
2
1
)
2
1
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
10
10
20
2
10
1
t
u
e
x
e
e
x
x
t
x
t
y
t
u
e
x
e
t
x
t
t
t
t
t













20
10
20
10
2
.
2
0
.
1
x
x
if
x
x
if



Donc système stable
Description dans
l’espace d’État
Description du comportement interne
)]
(
)
[(
)
0
(
]
)
[(
)
( 1
1
1
1
s
BU
A
sI
L
x
A
sI
L
t
x 







63
64

2022-02-25
33
Figure: Schéma fonctionnel d'une représentation d’un modèle d’état
x Ax Bu
y Cx Du
 


 


MATLAB function:
SYS = SS(A,B,C,D)
SYS = SS(A,B,C,D,T)
SYS = SS
SYS = SS(D)
SYS =
SS(A,B,C,D,LTISYS)
SYS = SS(SYS)
Exemple #2
• Deux réservoirs en interaction :
F h h
1 1 1 2
 
 F h
2 2 2
 
2 1
h h

65
66

2022-02-25
34
Exemple #2 (suite)
• Équations du système :
• Si la sortie h2 nous intéresse :
dh
dt
F
A A
h h f h h F
dh
dt A
h h
A
h f h h F
1 0
1
1
1
1 2 1 1 2 0
2 1
2
1 2
2
2
2 2 1 2 0
   
   

 
( , , )
( , , )
y h h s
 
2 2
Exemple #2 (suite)
• Posons :
• Calcul de la Jacobienne :
x h h
x h h
u F F
s
s
s
1 1 1
2 2 2
0 0
 
 
 
A
f
h A h h
h u s s
s s
11
1
1
1
1 1 2
2
  




,
67
68

2022-02-25
35
Exemple #2 (suite)
• Calcul de la Jacobienne :
A
f
h A h h
h u s s
s s
12
1
2
1
1 1 2
2
 




,
A
f
h A h h
h u s s
s s
21
2
1
1
2 1 2
2
 




,
A
f
h A h h A h
h u s s s
s s
22
2
2
1
2 1 2
2
2 2
2 2
  




 
,
Exemple #2 (suite)
• Calcul de la matrice B :
B
f
F A
h u
s s
11
1
0 1
1
 

 ,
B
f
F h u
s s
21
2
0
 

 ,
69
70

2022-02-25
36
Exemple #2 (suite)
• Calcul de la matrice C :
C
g
h h u
s s
11
1
0
 

 ,
C
g
h h u
s s
12
2
1
 

 ,
Exemple #2 (suite)
• Bilan :
 
 
1 1
1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2
1 1 2
2 1 2 2 1 2 2 2
1
2
1
2 2
0
2
0 1
s s s s
s s s s s
A h h A h h
x x A u
x x
A h h A h h A h
x
y
x
 
  
 

   
 
   
   
 
   
   
     
 
 
 
 
 
 
  
 


71
72

2022-02-25
37
Solution pour des entrées nulles
• L’équation générale d’un modèle dans
l’espace d’état est :
• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on
peut écrire :

x Ax Bu
 

x Ax

Cas à une variable
• Pour un système représenté par :
• La solution est :
• Elle converge si a<0.
– Alors, le système est dit stable.
x t e x
at
( ) ( )
 0

x ax

73
74

2022-02-25
38
Cas multivariable
• Par extension, la solution d’un système
ayant plusieurs variables d’état sera :
• Problème :
– Comment calculer l’exponentielle d’une
matrice ?
x t e x
At
( ) ( )
 0
Méthode de la transformation de similarité
• Prenons comme exemple une matrice A de
taille 2x2.
• Les valeurs propres de cette matrice
(eigenvalue) sont les racines de l’équation
caractéristique de la matrice A.
• Cette équation caractéristique est obtenue
comme suit: det( )
I A

75
76

2022-02-25
39
Valeurs propres (Exemple)
• Soit la matrice A suivante :
• L’équation caractéristique est :
A 








1 1
0 5
  
det det




 
0
0
1 1
0 5
1 1
0 5
1 5





 













 
 













  
Valeurs propres (Exemple - suite)
• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.
– Fonction sur MATLAB : eig(A)
MATLAB function:
INITIAL(SYS,X0)
INITIAL(SYS,X0,TFINAL)
INITIAL(SYS,X0,T)
INITIAL(SYS1,SYS2,...,X0,T)
MATLAB function:
IMPULSE : impulsive input
STEP: step input
LSIM: arbitrary input
77
78

2022-02-25
40
Méthode de la transformation de similarité (suite)
• Associé à la valeur propre i, il y a le
vecteur propre i.
• Un vecteur propre est un vecteur i qui est
solution de :
pour la valeur propre correspondante i.
A i i i
  

Vecteurs propres (Exemple - suite)
• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la
solution de :
• Une solution possible est :
 













 





 
1 1
0 5
1
11
21
11
21
v
v
v
v
v
v
11
21
1
0





 






79
80

2022-02-25
41
Vecteurs propres (Exemple)
• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la
solution de :
• Une solution possible est :
 













 





 
1 1
0 5
5
12
22
12
22
v
v
v
v
v
v
12
22
02425
0 9701





 







.
.
• On peut généraliser en écrivant :
• Avec :
AV V
 
V
v v
v v
et






 






11 12
21 22
1
2
0
0



81
82

2022-02-25
42
• On peut écrire :
• En multipliant par t et en faisant
l’exponentielle, on trouve :
• Avec :
A V V
 
 1
e Ve V
At t
 
 1
e
e
e
t
t
t










1
2
0
0
Solution du système
• Ainsi :
• Toutes les valeurs propres de A doivent
être inférieures à 0 pour que la réponse
soit stable.
x t Ve V x
t
( ) ( )
 
 1
0
83
84

2022-02-25
43
Fin de l’exemple
• Solution :
• Ou encore
x t V
e
e
V x
t
t
( ) ( )










0
0
0
5
1
 
5
1
1 1 2
4
5
2 2
( ) (0) (0)
( ) (0)
t t t
t
x t x e x e e
x t x e
  

  

Effet de la direction de la condition initiale
• Pour faciliter l’analyse, on peut
s’assurer que les variables d’état soient
indépendantes les unes des autres.
• Ainsi, définissons une nouvelle variable
d’état z, en posant :
x Vz z V x
   1
85
86

2022-02-25
44
Solution de ce système
• La solution est (si 2x2) :
z t
z t
e
e
z
z
t
t
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )





 














Condition initiale #1
• Si la condition initiale est de la forme :
• Alors la réponse est :
z
z
( )
( )
0
0
0
1







z t
z e t
( )
( )







1 0
0
1

87
88

2022-02-25
45
• La condition initiale :
– Donne une réponse dont la vitesse est
associée à λ1. La réponse est dite « dans la
direction de λ1 ».
z
z
( )
( )
0
0
0
1







• Si on revient dans la variable originale :
x t
x t
x t
v v
v v
z t
z t
v v
v v
z e v z e
v z e
t t
t
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )






 
























 






1
2
11 12
21 22
1
2
11 12
21 22
1 11 1
21 1
0
0
0
0
1 1
1
 

De même pour λ2
89
90

2022-02-25
46
Exemple
• Solution :
• Si z(0) = [1 0]T :
z t
e
e
z
t
t
( ) ( )









0
0
0
5
z t
e
x t
e
t t
( ) ( )






  






 
0 0
Exemple
• Si z(0) = [0 1]T :
z t
e
x t
e
e
t
t
t
( ) ( )
.
.






  










0 0 2425
0 9701
5
5
5
91
92

2022-02-25
47
Exemple
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x
1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]
x
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps
x
Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.970
x2
Sous espace lent Sous espace rapide
Cas vectoriel et Cas scalaire
 La forme générale dans l’espace d’État dans le cas vectoriel, où il y a
multiples entrées et multiples sorties, est:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
 
 
x Ax Bu
y C x Du

 Dans le cas scalaire, où l’entrée et la sortie sont scalaires ou simples,
l’espace de l’État est généralement écrit comme:
T
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
 
 t t u t
y t t du t
x Ax b
c x
93
94

2022-02-25
48
Solution de l’équation d’État
 Considérons l‘équations d’état dans le cas vectoriel.
( ) ( ) ( )
t t t
 
x Ax Bu

 Multiplier chaque terme avec e–At,
( ) ( ) ( )
t t t
e t e t e t
  
 
A A A
x Ax Bu

( ) ( ) ( )
t t t
e t e t e t
  
 
A A A
x Ax Bu

 
( ) ( )
t t
d
e t e t
dt
 

A A
x Bu
 
t t
d
e e
dt
 
 
A A
A
 La dernière équation sera intégrée à partir de 0 à t:
0
0
( ) ( )
t
t
t
e e d

  
 
 
 
A A
x Bu
Solution d’équation d’État
0
0
( ) ( )
t
t
t t
e e d
  
 
 
 
A A
x Bu
0
0
( ) (0) ( )
t
t
e t e e d

 
  
  
A A A
x x Bu
( )
0
( ) (0) ( )
t
t t
t e e d

 

  
A A
x x Bu Solution d’équation d’État
 À t=0, x(t) = x(0) = x0, qui sont les conditions initiales.
95
96

2022-02-25
49
• Calcul de l’état:
( )
0
( ) (0) ( )
t
At A t
x t e x e Bu d

 

  
Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle
• Calcul de l’état:
• Calcul de la sortie:
( )
0
( ) (0) ( )
t
At A t
x t e x e Bu d

 

  
( )
0
( ) (0) ( )
t
At A t
y t Ce x C e Bu d

 

  
97
98

2022-02-25
50
Solution de léquation de sortie
 Nous allons remplacer la solution de l’équation d’état dans l’équation de
sortie:
( ) ( ) ( )
t t t
 
y C x Du
( )
0
( ) (0) ( ) ( )
t
t t
t e e d t

 

 
  
 
 

A A
y C x Bu Du
Solution
d’équations de
sortie
Solutions de l’équation d’État dans le domaine de
Laplace
 La solution de l’équations d’état et de sortie peut être écrite dans le
domaine de fréquence comme suit :
( ) ( ) ( )
t t t
 
x Ax Bu

( ) (0) ( ) ( )
s s s s
  
X x AX BU
( ) ( ) (0) ( )
s s s
  
I A X x BU
1 1
( ) ( ) (0) ( ) ( )
s s s s
 
   
X I A x I A BU
 
1 1
( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )
s s s s s
 
    
Y C I A x I A BU DU
( ) ( ) ( )
t t t
 
y C x Du
Solution de l’équation d’État
Solution de l’équation de sortie
( ) ( ) ( )
s s s
 
Y C X DU
MATLAB function:
[NUM,DEN] =
SS2TF(A,B,C,D,iu)
99
100

2022-02-25
51
Relation entre eAt et (sI–A)
 L’expression de la fonction exponentielle par le développement en série
Taylor est donnée par:
2 2
1
2! !
n n
t t t
e t
n
  

    
 Fonction Scalaire
2
2
2! !
n
n
t t t
e t
n
    
A
I A A A
 Fonction vectorielle
0 !
k
k
k
t
k


  A
 Il est possible de démontrer que et alors:
( 1)
!
k
k
t
s
k
 
 

 
 
L
0 !
k
k
t
k
t
e
k


 
    
 
 

A
A
L L ( 1)
0
k
k
k
s

 

  A
● Solution exacte, autour t = 0,
nombre infini de termes
 Alors,
( 1)
0
k
t k
k
e s

 

  
  
A
A
L
2
1 2 3
s s s
  
   
I A A 
1
1
s
s




I
I A
1 1 1
( )
s s
  
 
I A
 
1
1
( )
s s


 
I A
1
( )
t
e s 
   
 
A
I A
L 1 1
( )
t
e s
 
 
 
 
A
I A
L
Relation entre eAt et (sI–A)
101
102

2022-02-25
52
Matrice de transition d’état
 Écrivons à nouveau la forme générale l’équation d’état:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
 
 
x Ax Bu
y C x Du

 Le comportement de x(t) et y(t) peut être classé en:
 Solution homogène (entrée zéro, appliqué à l’état initial)
 Solution non homogène (entrée appliquée, état initial appliqué)
 Solution homogène:
( ) ( )
t t


x Ax
( ) (0) ( )
s s s
 
X x AX
1
( ) ( ) (0)
s s 
 
X I A x 1 1
( ) ( ) (0)
t s
 
 
 
 
x I A x
L
( ) (0)
t
t e
 A
x x
 eAt est appelé la matrice de transition d’État, capable de donner à l’état
actuel x(t) sans l’état initial x(0),
1 1
( )
t
e s
 
 
  
 
A
Φ I A
L
103
104

2022-02-25
53
 Puisque
( ) (0)
t
t e
 A
x x
0
0
( ) (0)
t
t e
 A
x x
 Nous pouvons écrire
0
0
(0) ( )
t
e t

  A
x x
0
0
( ) ( )
t
t
t e e t

 A
A
x x 0
( )
0
( )
t t
e t

 A
x 0 0
( ) ( )
t t t
 
Φ x
( ) (0)
t
 Φ x
 Certaines propriétés de la matrice de transition:
1.
2.
3.
4.
5.
1
2 1 1 0 2 0
(0)
( ) ( )
(0) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k
t t
t t
t t t t t t
t kt


 
 
   

Φ I
Φ Φ
x Φ x
Φ Φ Φ
Φ Φ
 Solution non homogène:
( ) (0) ( ) ( )
s s s s
  
X x AX BU
( ) ( ) (0) ( )
s s s
  
I A X x BU
1 1
( ) ( ) (0) ( ) ( )
s s s s
 
   
X I A x I A BU
0
( ) ( ) (0) ( ) ( )
t
t t t d
  
  

x Φ x Φ Bu
1 1 1 1
( ) ( ) (0) ( ) ( )
x t s s s
   
   
   
   
I A x I A BU
L L
 Alors,
Solution
homogène
105
106

2022-02-25
54
Exemple : Solution d’équation d’État
Calculer si .
1
( )
s 

I A
0 1
1 2

 
  

 
A
1
( )
1 2
s
s
s
 
   
 
 
I A
1 2 1
1
( )
1
( )( 2) (1)( 1)
s
s
s
s s
  
 
   
    
I A
2 2
2 2
2 1
2 1 2 1
1
2 1 2 1
s
s s s s
s
s s s s
 
 
 
   
  
 
 
   
 
Exemple: Solution d’équation d’État
Soit , trouver la solution pour x(t).
0 1 0
( ) ( ) ( )
1 2 1
t t u t

   
 
   

   
x x

( )
0
( ) (0) ( )
t
t t
t e e u d

 

  
A A
x x B
1 1
( )
t
e s
 
 
 
 
A
I A
L
2 2
1
2 2
2 1
( 1) ( 1)
1 s
( 1) (s+1)
s
s s
s

 
 
 
 
  
 
 

 
L
(1 )
(1 )
t t
t t
t e te
te t e
 
 
 
 
  

 
107
108

2022-02-25
55
Exemple 2 : Solution d’équation d’État
Maintenant, nous substituons eAt pour obtenir la solution x(t):
( ) ( )
( ) ( )
0
(1 )
( ) (0)
(1 )
0
(1 ( )) ( )
( )
1
( ) (1 ( ))
t t
t t
t t t
t t
t e te
t
te t e
t e t e
u d
t e t e
 
 
 
 
 
 
 
   
   
 
 
 
 

 
 
     
   
    
 

x x
( )
0
( )
0
( ) ( )
(1 )
(0)
(1 )
(1 ( )) ( )
t
t
t t
t t t
t
t e u d
t e te
te t e
t e u d


  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   

   
 
 
 


x
Exemple: Solution d’équation d’État
Si x(0)=0 et u(t) est une fonction échelon, déterminer x(t).
( )
0
( )
0
( ) 1( )
(1 )
( )
(1 )
(1 ( )) 1( )
t
t
t t
t t t
t
t e d
t e te
t
te t e
t e d


  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   

   
 
 
 


x 0
1
2
( )
( )
x t
x t
 
 
 
 
 
 
 
( )
0
( )
0
( )
(1 ( ))
t
t
t
t
t e d
t e d


 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 


109
110

2022-02-25
56
1
2
( )
( )
x t
x t
 
 
 
 
 
 
 
( )
0
( )
0
( ) ( )
(( ) 1) ( )
t
t
t
t
t e d t
t e d t


 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
  
 
 


( )
0
( )
0
(1 ( ))
( )
t
t
t
t
e t
e t




 
 
 

   
 

 

  
 
1 (1 )
t
t
e t
e t


 
  
  
 
( )
1
d t
d



 
( )
d t d
 
  
(1 )
t t
te dt e t
 
  

t t
e dt e
 
 

1
2
( ) 1 (1 )
( )
t
t
x t e t
x t e t


   

0 1
1 0
 
  

 
A
Calculer eAt si .
111
112

2022-02-25
57
( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


Équations d’état équivalente
1
x
2
x 2
x

2
x
Variables d’État:
• : courant d’inducteur iL
• : tension de condensateur vC
1
x
2
x
R
R
v
i
R

L
L
di
v L
dt

C
C
dv
i C
dt

1
x
 
2
x
 
2
x

2 1
x u x
  
2 1 2
x x x
 

2
y x

1 1
2 2
0 1 1
( )
1 1 0
x x
u t
x x

   
   
 
   
   

   
   


  1
2
0 1
x
y
x
 
  
 
( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


Devoir 1 : Équation d’état équivalente
1
x
 2
x

• : courant de la boucle gauche
• : courant de la boucle droite
1
x

2
x

1. Démontrer que pour le même système, avec une définition différente
des variables d’État, nous pouvons obtenir un espace d’État sous la
forme de :
1
1
2
2
1 1 1
( )
1 0 1
x
x
u t
x
x
    
   
 
   
   

   
 
 
 

 

  1
2
1 1
x
y
x
 
   
 


113
114

2022-02-25
58
Devoir 1 : Équation d’état équivalentes
2. Donnez une représentation dans l’espace d’état pour le diagramme
suivant:
Devoir 1A: Équation d’État équivalente
1
x
 2
x

1
x

2
x

1. Du devoir 1A, voir, s’il est possible de décrire le même circuit avec une
définition différente des variables d’état.
( )
u t


L
R
2
C
1
C
( )
L
v t


115
116

2022-02-25
59
Devoir 1A: Équation d’État équivalente
2. Soit la représentation dans l’espace d’État, avec conditions initiales nulles,
0 1 1
( ) ( ) ( )
1 2 1.5
t t u t
 
   
 
   

   
x x

 
( ) 1 2 ( ),
y t t
  x
Trouver la solution y(t) pour une entrée echelon unité et dessiner un
croquis de celui-ci .
Système électrique
 Décrivez la représentation dans l’espace d’état du circuit électrique suivant :
Variable d’entrée u:
• Tension d’entrée u(t)
Variable de sortie y:
• Tension d’inducteur vL(t)
( )
u t


L
R 2
C
1
C ( )
L
v t


117
118

2022-02-25
60
• x1 est la tension à travers C1
• x2 est la tension à travers C2
• x3 est le courant à travers L
R R
v Ri

L
L
di
v L
dt

C
C
dv
i C
dt

L
Li
 
C
Cv
 
1 1 1 2 2
( ) 0
x u R C x C x
   
 
2 2 3
C x x


1 2 3
x x Lx
  
1 1 1 1 3 1
1 1 1
x RC x C x RC u
      

2 2 3
1
x C x
 

3 1 2
1 1
x L x L x
   

( )
u t


L
R 2
C
1
C ( )
L
v t


 L’équation dans l’espace d’état peut maintenant être écrite comme suit :
 
1 1 1 1 1
2 2 2
3 3
1
2
3
1 0 1 1
0 0 1 0
1 1 0 0
1 1 0 0
x RC C x RC
x C x u
x L L x
x
y x u
x
 
       
       
 
       
       

       
 
 
   
 
 
 



1 1 1 1 3 1
1 1 1
x RC x C x RC u
      

2 2 3
1
x C x
 

3 1 2
1 1
x L x L x
   

119
120

2022-02-25
61
Fonction de transfert
 Compte tenu de la fonction de transfert suivante :
et en supposant les conditions initiales nulles, construire les équations dans
l’espace d’état qui peuvent représenter la fonction de transfert donnée.
3 2
2 1 0
1
( ) ( )
Y s U s
s a s a s a

  
3 2
2 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s Y s a s Y s a sY s a Y s U s
   
2 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t a y t a y t a y t u t
   
  
1
2
3
x y
x y
x y





1 2
x x


2 3
x x


3 0 1 1 2 2 3 ( )
x y a x a x a x u t
     
 
Fonction de transfert
 
1 1
2 2
3 0 1 2 3
1
2
3
0 1 0 0
0 0 1 0
1
1 0 0 0
x x
x x u
x a a a x
x
y x u
x
       
       
 
       
  
       
 
 
 
 
 



L’équation de la représentation d’état peut être donnée comme suit:
L’équation de la représentation
d’état peut également être donnée à
l’aide du diagramme de bloc :

( )
y t
2
a
( )
y t

 
( )
y t
 ( )
y t

1
a
0
a
( )
u t
3 2
2 1 0
1
( ) ( )
Y s U s
s a s a s a

  
121
122

2022-02-25
62
Exemple
 






















x
y
u
x
x
3
1
1
0
3
2
1
0

 


















1
0
,
3
2
1
0
3
1
,
0
B
A
C
D
 
 
 
 
 
2
3
1
3
2
)
3
(
1
3
1
3
1
2
)
3
(
1
1
2
)
3
(
1
3
1
1
0
2
1
3
2
)
3
(
1
3
1
1
0
3
2
1
3
1
1
0
3
2
1
0
1
0
0
1
3
1
0
)
(
)
(
2
1
1
1





























































































s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
B
A
sI
C
D
s
H
123
124

2022-02-25
63
• Dans Matlab:
>> A=[0 1;-2 -3];
>> B=[0;1];
>> C=[1 3];
>> D=[0];
>> [n,d]=ss2tf(A,B,C,D)
n =
0 3.0000 1.0000
d =
1 3 2
>> n=[1 2 3]; d=[1 4 5 6];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(n,d)
A =
-4 -5 -6
1 0 0
0 1 0
B =
1
0
0
C =
1 2 3
D =
0
>> tf(n, d)
Transfer function:
s^2 + 2 s + 3
---------------------
s^3 + 4 s^2 + 5 s + 6
125
126

2022-02-25
64
Autres modes de représentation
>> sys_tf = tf(sys) %sys is a predefined model
Transfer function:
1.5
------------------------
s^2 + 14 s + 40.02
>> sys_zpk = zpk(sys)
Zero/pole/gain:
1.5
-------------------------
(s+4.004) (s+9.996)
4 façons d’entrer le modèle système
sys = tf(num,den) % Transfer function
sys = zpk(z,p,k) % Zero/pole/gain
sys = ss(a,b,c,d) % State-space
sys = frd(response,frequencies) % Frequency response data
s = tf('s');
sys_tf = 1.5/(s^2+14*s+40.02)
Transfer function:
1.5
------------------------
s^2 + 14 s + 40.02
sys_tf = tf(1.5,[1 14 40.02])
127
128

2022-02-25
65
4 façons d’entrer le modèle système
sys_zpk = zpk([],[-9.996 -4.004], 1.5)
Zero/pole/gain:
1.5
-------------------------
(s+9.996) (s+4.004)
Cas vectoriel et Cas scalaire
 La forme générale dans l’espace d’État dans le cas vectoriel, où il y a
multiples entrées et multiples sorties, est:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
 
 
x Ax Bu
y C x Du

 Dans le cas scalaire, où l’entrée et la sortie sont scalaires ou simples,
l’espace de l’État est généralement écrit comme:
T
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
 
 t t u t
y t t du t
x Ax b
c x
129
130

2022-02-25
66
( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


Équations d’état équivalente
1
x
2
x 2
x

2
x
• : courant d’inducteur iL
• : tension de condensateur vC
1
x
2
x
R
R
v
i
R

L
L
di
v L
dt

C
C
dv
i C
dt

1
x
 
2
x
 
2
x

2 1
x u x
  
2 1 2
x x x
 

2
y x

1 1
2 2
0 1 1
( )
1 1 0
x x
u t
x x

   
   
 
   
   

   
   


  1
2
0 1
x
y
x
 
  
 
( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


1
x
 2
x

1
x

2
x

1. Démontrer que pour le même système, avec une définition différente
des variables d’État, nous pouvons obtenir un espace d’État sous la
forme de :
1
1
2
2
1 1 1
( )
1 0 1
x
x
u t
x
x
    
   
 
   
   

   
 
 
 

 

  1
2
1 1
x
y
x
 
   
 


131
132

2022-02-25
67
( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


1
x
 2
x

• : courant de boucle à gauche
• : courant de la boucle à droite
1
x

2
x

1 2
C
v x x y
  
 
1 1 2
( ) 0
u x x x
    

  
C
C
dv
i C
dt

2 1 2
x x x
 
 
  
1
x
 


1 1 2
x u x x
  

  
1 2 2
( )
u x x x
    
  
2 1
x u x
 

 
1
1
2
2
1 1 1
( )
1 0 1
x
x
u t
x
x
    
   
 
   
   

   
 
 
 

 

  1
2
1 1
x
y
x
 
   
 


Devoir 2 : Équation d’état équivalentes
2. Donnez une représentation dans l’espace d’état pour le diagramme
suivant:
133
134

2022-02-25
68
1
x
2
x
3
x 1
x

2
x

3
x

1 2
x x


2 3
x x


3 1 3
x ax x by u
    

1 2
y x cx
  1 1
2 2
3 3
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1
x x
x x u
x a b bc x
       
       
 
       
 
       



 
1
2
3
1 0 0
x
y c x u
x
 
 
 
 
 
1 3 1 2
( )
ax x b x cx u
     
1 2 3
( )
a b x bcx x u
     
135

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