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1Automatique
Liens entre fonction de transfert et
représentations d'état d'un système
(formes canoniques de la représentation d'état)
UV Automatique
ASI 3
Cours 10
2Automatique
Contenu
! Introduction
! Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Passage modèle d'état " fonction de transfert
# Cas d'un système monovariable
# Cas d'un système multivariable
! Passage fonction de transfert " modèle d'état
#Forme canonique de commandabilité
#Forme canonique d'observabilité
#Forme modale
3Automatique
Introduction
! Exemple : système mécanique (masse en translation)
! Equation différentielle ! FT
! Représentation d'état
Etats du système
m F
z
Fr=f z
.
Entrée : u(t) = F
Sortie : y(t) = z(t)
γ
rr
mF =∑ zfzmF &&& +=
)(
1
)(
)(
)(
fmsssF
sZ
sH
+
==
)()(1 tztx = )()(2 tztx &=
)1()()()( 21 txtztx == &&
zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &
)2()()( 22 tx
m
f
m
F
tx −=&
[ ]












=








+













−
=








)(
)(
01)(
1
0
)(
)(
0
10
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
tx
ty
F
mtx
tx
m
f
tx
tx
&
&
(Système d'ordre 2)
! Remarques
$ De l'équation différentielle, on
passe aisément à la FT
$ De l'équation différentielle, on
passe à la représentation d'état
Question : Peut-on passer de la FT à la
représentation d'état et inversement ?
4Automatique
Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Descriptions d'un système
# Equation différentielle
# Réponse impulsionnelle
# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)
# Représentations d'état (A, B, C, D)
! Liens entre les descriptions
Fonction de transfert
H(s)
Représentation
d’état
(A, B, C, D)
Réponse
impulsionnelle
h(t)
Equation
différentielle
ububyayay 0101 +=++ &&&&
5Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Forme générale
# TL de l'équation d'état
# TL de l'équation de sortie
Fonction de transfert
ou matrice de transfert




+=
+=
)()()(
)()(
tDUtCXtY
tBUtAXX&
Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0
( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX +=
( ) )()( 1
sBUAsIsX n
−
−=
In : matrice
identité d'ordre n
nnA ×∈R
mnB ×∈R
npC ×∈R
mpD ×∈R
ntX R∈)(
mtU R∈)(
ptY R∈)(
( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY +=
( )( ) )()( 1
sUDBAsICsY n +−= −
( ) DBAsICsH n +−= −1
)(
6Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Remarques
# Calcul de l'inverse de (sIn−A)
# Nouvelle écriture de H(s)
( ) DBAsICsH n +−= −1
)(
)det(
))((
)( 1
AsI
AsIcom
AsI
n
T
n
n −
−
=− −
)( AsIcomM n −=
matrice des cofacteurs
][ , jimM = avec ji
ji
ji Mm ,, det)1( +−=
Mi,j : matrice extraite de
(sIn−A) en supprimant la
ième ligne et la jème colonne
D
AsI
BAsIcomC
sH
n
T
n +
−
−
=
)det(
))((
)(
)det(
)det())((
)(
AsI
DAsIBAsIcomC
sH
n
n
T
n
−
−+−
=
Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn
Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλ
Les pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute
l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
7Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie
R
u(t)
i(t)
c Vc(t)
L
Entrée : u(t)
Sortie : )()( tVty c=





=








+








−−
=
Xy
u
L
X
LRL
c
X
]01[
1
0
1
10&
Etats du système
)()(1 tVtx c= )()(2 titx =
T
c titVtX ])()([)( =
Modèle d'état
(voir cours 8)
Fonction de transfert








−−
−








=−
LRL
c
sAsI
1
10
10
01
2








+
−
=−
LRsL
cs
AsI
1
1
2 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=−
Lc
RcssLc
AsI
1
)det(
2
2
++
=−







 −+
=−
sc
LLRs
AsIcom
1
1
)( 2








−
+
=−
LsL
cLRs
BAsIcomC T
/1
0
1
1
]01[))(( 2
Lc
BAsIcomC T 1
))(( 2 =−
)det(
))((
)(
2
2
AsI
BAsIcomC
sH
T
−
−
= 1
1
)( 2 ++
=
RcssLc
sH
8Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie















−
=








−−
+








−
−−
=
XY
UXX
21
01
12
30
11
23
&
avec








=
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tX








=
)(
)(
)(
2
1
tu
tu
tU








=
)(
)(
)(
2
1
ty
ty
tY








−
−−
−








=−
11
23
10
01
2 sAsI








+−
+
=−
11
23
2
s
s
AsI
Calcul de la matrice de transfert








+−
+
=−
32
11
)( 2
s
s
AsIcom
54)det( 2
2 ++=− ssAsI




−−



+
−+




−
=−
12
30
31
21
21
01))(( 2 s
sBAsIcomC T




−−



+−−
−+=−
12
30
)4(21
21))(( 2 ss
sBAsIcomC T




++
+=−
)1(5)4(4
534))(( 2 ss
sBAsIcomC T
9Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2
! Exemple 2 (suite)
)det(
))((
)(
2
2
AsI
BAsIcomC
sH
T
−
−
=












++
+
++
+
++
+
++
=
54
)1(5
54
)4(4
54
53
54
4
)(
22
22
ss
s
ss
s
ss
s
ss
sH
Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle
de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.
Signification des éléments de la
matrice de transferts de l'exemple










=
)()(
)()(
)(
2221
1211
sHsH
sHsH
sH
)(
)(
)(
1
1
11 sU
sY
sH = )(
)(
)(
2
1
12 sU
sY
sH =
)(
)(
)(
1
2
21 sU
sY
sH =
)(
)(
)(
2
2
22 sU
sY
sH =










=










=
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
sU
sU
sH
sY
sY
sY
)()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY +=
)()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=
10Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Remarques
# Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le
quadruplet (A, B, C, D)
# Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie
est appelée une réalisation de H(s)
# Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation
minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension
inférieure à n
# Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation
minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de
simplification des pôles et zéros)
( ) DBAsICsH n +−= −1
)(
11Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Position du problème
! Forme canonique de commandabilité
# Cas simple : m=0 et b0=1
A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule
ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation
nm
asasas
bsbsbsb
sU
sY
sH n
n
n
m
m
m
m <
++++
++++
== −
−
−
− ,
)(
)(
)(
01
1
1
01
1
1
L
L ?
),,,( DCBA
On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins
il existent quelques formes remarquable exposées ci-après
01
1
)(
)(
)(
asassU
sY
sH n +++
==
L
)()()()()( 01
1
1 sUsYassYasYsasYs n
n
n =++++ −
− L
)()()()()( 0
)1(
1
)1(
1
)( tutyatyatyaty n
n
n =++++ −
− LEquation différentielle
)()()()()( 0
)1(
1
)1(
1
)( tutyatyatyaty n
n
n +−−−−= −
− L
12Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas simple
Posons
)()(
)()(
)()(
)()(
)1(
)2(
1
)1(
2
1
tytx
tytx
tytx
tytx
n
n
n
n
−
−
−
=
=
=
=
M
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)1(
1
)2(
2
)1(
1
tytx
tytx
tytx
tytx
n
n
n
n
=
=
=
=
−
−
&
&
M
&
&
Dérivation Equations d'état
)()()()()(
)()(
)()(
)()(
12110
1
32
21
tutxatxatxatx
txtx
txtx
txtx
nnn
nn
+−−−−=
=
=
=
−
−
L&
&
M
&
&
Forme canonique de commandabilité
)(
1
0
0
0
100
0
00100
0010
1
2
1
1210
1
2
1
tu
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nnn
n












+


























−−−−
=














−
−−
−
MM
LL
OOM
MOOM
L
LL
&
&
M
&
&
[ ]












=
−
n
n
x
x
x
x
ty
1
2
1
0001)( ML
Remarques
$ Chaque variable d'état xi,
i=2,…,n−1 est la dérivée de la
variable précédente. On parle
de variables de phase
$ A cause de cette dépendance,
en faisant varier la commande
u, tous les états sont modifiés :
le système est commandable
13Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité
# cas simple : schéma de simulation
# Cas général : m<n et b0≠0
uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&
nx& nx 1−nx
1−na
+
+
+u
2−na
+
+
3−na
+
+
2−nx
1a
+
+
2x 1x
0a
y
−
∫ ∫ ∫ ∫
1,,2pour)()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasas
bsbsbsb
sU
sY
sH n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
== −
−
−
−
L
L
Soit v une variable
intermédiaire telle que
)(
)(
)(
)(
)(
sU
sV
sV
sY
sH =
01
1
)(
)(
asassU
sV
n +++
=
L
01
1
1)(
)(
bsbsbsb
sV
sY m
m
m
m ++++= −
− L
(I)
(II)
14Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
$ Equation (I)
Elle correspond au cas précédent
)1(
)2(
1
)1(
2
1
−
−
−
=
=
=
=
n
n
n
n
vx
vx
vx
vx
M
uxax
xx
xx
xx
n
i iin
nn
+−=
=
=
=
∑ −
= +
−
1
0 1
1
32
21
&
&
M
&
&
$ Equation (II)
01
1
1)(
)(
bsbsbsb
sV
sY m
m
m
m ++++= −
− L
)()()( 01 sVbsbsbsY m
m +++= L
)()()()( 0
)1(
1
)( tvbtvbtvbty m
m +++= L
)()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L
Représentation d'état
)(
1
0
0
0
100
0
00100
0010
1
2
1
1210
1
2
1
tu
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nnn
n












+


























−−−−
=














−
−−
−
MM
LL
OOM
MOOM
L
LL
&
&
M
&
&
[ ]


















=
+
+
n
m
mm
x
x
x
x
x
bbbty
M
M
LL
2
1
2
1
10 00)(
Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les
coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état
15Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&
1,,2pour1 −== + nixx ii L&
∫ += 1ii xx
10211 xbxbxby mm +++= + L
nx& nx 1−nx
1−na
+
+
+u
2−na
+
+
3−na
+
+
2−nx
+
+
y
−
b0
+
b1
+
bm
+
xm+1
+ +
a0a1
x2
∫∫ ∫ ∫ x1
Schéma de simulation
Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis
les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc
être commandés et modifiés
16Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique d'observabilité
nm
asasas
bsbsb
sU
sY
sH n
n
n
m
m <
++++
+++
== −
−
,
)(
)(
)(
01
1
1
01
L
L
)()()()()()()( 1001
1
1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs m
m
n
n
n +++=++++ −
− LL
)()(
))()(())()(())()(()(
1
1
1
1
1100
sYsasYsa
sYasUbssYasUbssYasUbsYs
n
n
m
m
mm
mn
−
−
+
+ −−−
−++−+−=
L
L
Divisons cette équation par sn
s
sYa
s
sYa
s
sYasUb
s
sYasUb
s
sYasUb
sY n
mn
m
mn
mm
nn
)()()()()()()()(
)( 1
1
1
1
1100 −
−−
+
−−
−−−
−
++
−
+
−
= LL
Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
17Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Modèle d'état
++
u
−
y
b0
a0
b1
+
a1
−
+
b2
+
a2
−
+
bm
+
am
−
+
an-1
−
1x&
1x x2
xn−1
.
xn−1 xnxn
.xm+1
.
xm+11
s
1
s
1
s
1
s
1
s
x3
.
x2
.
Schéma de simulation
n
nnnn
nmmm
mnmmm
n
n
xy
xaxx
xaxx
ubxaxx
ubxaxx
ubxax
=
−=
−=
+−=
+−=
+−=
−−
+++
+
11
112
1
1112
001
&
M
&
&
M
&
&
)(
0
0
100
0100
0010
001
000
1
0
1
3
2
1
1
2
2
1
0
1
3
2
1
tub
b
b
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
m
n
n
n
n
n
n
















+
































−
−
−
−
−
=
















−
−
−− M
M
M
LL
L
MMOOM
L
LL
LL
&
&
M
&
&
&
[ ]










=
nx
x
x
ty
M
L 2
1
100)(
Connaissant y=xn, on peut
déduire les autres états par
dérivation et différence : c'est
l'observabilité.
18Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Remarques
! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité
$ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la
commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique
de commandabilité
$ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie
et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique
d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en
parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée
$ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne
dépendent pas de la réalisation
Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité
Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité
On constate que ),,,(),,,( o
T
o
T
o
T
occcc DBCADCBA =
19Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale
# Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels
% Décomposition en éléments simple
% Choix des états
01
1
1
01)(
asasas
bsbsb
sH n
n
n
m
m
++++
+++
= −
− L
L
))(())((
)(
121
01
λλλλ −−−−
+++
=
− ssss
bsbsb
sH
nn
m
m
L
L
∑ = −
== n
i
i
i
ssU
sY
sH 1 )()(
)(
)(
λ
µ
∑ = −
= n
i
i
i s
sU
sY 1 )(
)(
)(
λ
µ
)(
)(
)(
i
i s
sU
sX
λ−
= )()()( sUsXssX iii += λ
)()()( tutxtx iii += λ&
ni ,...,1=pour
∑ == n
i ii txty 1 )()( µ
)(
1
1
1
00
0
0
00
2
1
2
1
2
1
tu
x
x
x
x
x
x
nnn










+




















=










MM
L
OOM
MO
L
&
M
&
&
λ
λ
λ
[ ]










=
n
n
x
x
x
ty
M
L 2
1
21)( µµµ
nii ,,1 L=λ
20Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale
# Remarques sur le cas 1
$ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système
$ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt
$ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi,
A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que
ATTAm
1−= CTCm =
BTBm
1−= DDm = 









=
n
mA
λ
λ
λ
00
0
0
00
2
1
L
OOM
MO
L
avec
u
+
y
∫
λ1
µ1
∫
λn
µn
+
+
+
+
+
+
xn xn
x1 x1
Schéma de
simulation
T : matrice des
vecteurs propres de A
Chaque état xi est
indépendant des
autres
21Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale
# Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes
% Décomposition en éléments simples
% Choix des états
Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2
)(
)(
)(1 ωσ js
sU
sX
+−
= )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ
)(
)(
)(2 ωσ js
sU
sX
−−
= )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ
∑ = −
+
−−
−
+
+−
+
= n
i
i
i
sjs
jba
js
jba
sH 3 )()()(
)(
λ
µ
ωσωσ
∑ = −
+
−−
−+
+−
+= n
i
i
i s
sU
js
sU
jba
js
sU
jbasY 3 )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
λ
µ
ωσωσ
On obtient des états à
coefficients complexes qui ne
signifient rien physiquement !!
uxjx ++= 11 )( ωσ&
uxjx +−= 22 )( ωσ&
)()()( tutxtx iii += λ&
ni ,...,3=pour
Pas de problème
pour les pôles réels
22Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués
% Transformation linéaire sur les états complexes
))()(()(
)()()(
21
'
21
'
2
1
ssXssXjssX
ssXssXssX
−=
+=
)( 21
'
21
'
2
1
xxjx
xxx
−=
+=
)()()(
)(2)()()(
'''
'''
212
211
sXsXssX
sUsXsXssX
σω
ωσ
+−=
++=
∑ =+−++= n
i ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ
uxxx 2'''
1 21
++= ωσ&
'''
2 21
xxx σω +−=&
Sortie
∑ =++= n
i ii sXsbXsaXsY 3
'' )()()()( 21
µ ∑ =++= n
i iixbxaxy 3
''
21
µ
)(
1
1
0
2
000
00
00
00
00
3
'
'
3
3
'
'
2
1
2
1
tu
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n












+


























−
=














M
ML
OMM
MO
L
L
&
M
&
&
λ
λ
σω
ωσ
[ ]














=
n
n
x
x
x
x
baty
M
L
3
'
'
3
2
1
)( µµ
Couplage entre les états
correspondants aux pôles
complexes conjugués
23Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
% Décomposition en éléments simples
% Choix des états
Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples
)()()(
)(
11
01
nk
k
m
m
sss
bsbsb
sH
λλλ −−−
+++
=
+ L
L
∑ +=− −
+
−
+
−
+
−
=
n
ki
i
ik
kk ssss
sH 1
11
1
2
1
1
)()()()(
)(
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
L
∑ +=− −
+
−
+
−
+
−
=
n
ki
i
ik
kk s
sU
s
sU
s
sU
s
sU
sY 1
11
1
2
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
L
nki
s
sU
sX
s
sU
sX
s
sU
sX
s
sU
sX
s
sU
sX
i
i
k
k
k
k
,,1,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
1
1
1
2
1
1
L
M
+=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
nki
s
sU
sX
s
sU
sX
s
sX
sX
s
sX
sX
s
sX
sX
i
i
k
k
k
,,1,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
3
2
1
2
1
L
M
+=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
λ
λ
λ
λ
λ
nkiuxx
uxx
xxx
xxx
xxx
iii
kk
kkk
,,1,
1
111
3212
2111
L&
&
&
M
&
&
+=+=
+=
+=
+=
+=
−−
λ
λ
λ
λ
λ
∑ == n
i ii txty 1 )()( µ
24Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
nkiuxx
uxx
xxx
xxx
xxx
iii
kk
kkk
,,1,
1
111
3212
2111
L&
&
&
M
&
&
+=+=
+=
+=
+=
+=
−−
λ
λ
λ
λ
λ
∑ == n
i ii txty 1 )()( µ
)(
1
1
1
0
0
0
00
1
00
01
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
tu
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
k
k
k
n
k
n
k
k
k
















+




































=


















+
−
++
−
M
M
M
M
O
L
OM
MOO
L
&
M
&
&
&
M
&
λ
λ
λ
λ
λ
[ ]








=
n
n
x
x
ty ML
1
1)( µµ
Bloc de Jordan
D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité
kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est












=
)(00
0
)(0
00)(
2
1
2
1
rk
k
k
r
J
J
J
A
λ
λ
λ
L
OOM
MO
L
avec










=
i
i
i
iki
J
λ
λ
λ
λ
00
1
0
001
)(
L
OOM
MO ii
i
kk
ikJ ×∈R)(λ
Bloc de Jordan
25Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1








−−
−








=−
LRL
c
sAsI
1
10
10
01
2








+
−
=−
LRsL
cs
AsI
1
1
2
LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=−
Lc
RcssLc
AsI
1
)det(
2
2
++
=−







 −+
=−
sc
LLRs
AsIcom
1
1
)( 2
















−
+
=−
LsL
cLRs
BAsICcom T
/1
0
1
1
]01[)( 2 Lc
BAsICcom T 1
)( 2 =−
)det(
)(
)(
2
2
AsI
BAsICcom
sH
T
−
−
=
1
1
)( 2 ++
=
RcssLc
sH
26Automatique
∫=
t
c di
c
tV
0
)(
1
)( ττ )(
1
)( ti
c
tVc =&
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++ )(
1
)()(
1)(
tu
L
ti
L
R
tV
Ldt
tdi
c +−−=
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  • 1. 1Automatique Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système (formes canoniques de la représentation d'état) UV Automatique ASI 3 Cours 10
  • 2. 2Automatique Contenu ! Introduction ! Liens entre les différentes descriptions d'un système ! Passage modèle d'état " fonction de transfert # Cas d'un système monovariable # Cas d'un système multivariable ! Passage fonction de transfert " modèle d'état #Forme canonique de commandabilité #Forme canonique d'observabilité #Forme modale
  • 3. 3Automatique Introduction ! Exemple : système mécanique (masse en translation) ! Equation différentielle ! FT ! Représentation d'état Etats du système m F z Fr=f z . Entrée : u(t) = F Sortie : y(t) = z(t) γ rr mF =∑ zfzmF &&& += )( 1 )( )( )( fmsssF sZ sH + == )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )1()()()( 21 txtztx == && zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += & )2()()( 22 tx m f m F tx −=& [ ]             =         +              − =         )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & (Système d'ordre 2) ! Remarques $ De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT $ De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'état Question : Peut-on passer de la FT à la représentation d'état et inversement ?
  • 4. 4Automatique Liens entre les différentes descriptions d'un système ! Descriptions d'un système # Equation différentielle # Réponse impulsionnelle # Fonction (ou matrice) de transfert H(s) # Représentations d'état (A, B, C, D) ! Liens entre les descriptions Fonction de transfert H(s) Représentation d’état (A, B, C, D) Réponse impulsionnelle h(t) Equation différentielle ububyayay 0101 +=++ &&&&
  • 5. 5Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Forme générale # TL de l'équation d'état # TL de l'équation de sortie Fonction de transfert ou matrice de transfert     += += )()()( )()( tDUtCXtY tBUtAXX& Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0 ( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX += ( ) )()( 1 sBUAsIsX n − −= In : matrice identité d'ordre n nnA ×∈R mnB ×∈R npC ×∈R mpD ×∈R ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)( ( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY += ( )( ) )()( 1 sUDBAsICsY n +−= − ( ) DBAsICsH n +−= −1 )(
  • 6. 6Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Remarques # Calcul de l'inverse de (sIn−A) # Nouvelle écriture de H(s) ( ) DBAsICsH n +−= −1 )( )det( ))(( )( 1 AsI AsIcom AsI n T n n − − =− − )( AsIcomM n −= matrice des cofacteurs ][ , jimM = avec ji ji ji Mm ,, det)1( +−= Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne D AsI BAsIcomC sH n T n + − − = )det( ))(( )( )det( )det())(( )( AsI DAsIBAsIcomC sH n n T n − −+− = Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλ Les pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
  • 7. 7Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie R u(t) i(t) c Vc(t) L Entrée : u(t) Sortie : )()( tVty c=      =         +         −− = Xy u L X LRL c X ]01[ 1 0 1 10& Etats du système )()(1 tVtx c= )()(2 titx = T c titVtX ])()([)( = Modèle d'état (voir cours 8) Fonction de transfert         −− −         =− LRL c sAsI 1 10 10 01 2         + − =− LRsL cs AsI 1 1 2 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− Lc RcssLc AsI 1 )det( 2 2 ++ =−         −+ =− sc LLRs AsIcom 1 1 )( 2         − + =− LsL cLRs BAsIcomC T /1 0 1 1 ]01[))(( 2 Lc BAsIcomC T 1 ))(( 2 =− )det( ))(( )( 2 2 AsI BAsIcomC sH T − − = 1 1 )( 2 ++ = RcssLc sH
  • 8. 8Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie                − =         −− +         − −− = XY UXX 21 01 12 30 11 23 & avec         = )( )( )( 2 1 tx tx tX         = )( )( )( 2 1 tu tu tU         = )( )( )( 2 1 ty ty tY         − −− −         =− 11 23 10 01 2 sAsI         +− + =− 11 23 2 s s AsI Calcul de la matrice de transfert         +− + =− 32 11 )( 2 s s AsIcom 54)det( 2 2 ++=− ssAsI     −−    + −+     − =− 12 30 31 21 21 01))(( 2 s sBAsIcomC T     −−    +−− −+=− 12 30 )4(21 21))(( 2 ss sBAsIcomC T     ++ +=− )1(5)4(4 534))(( 2 ss sBAsIcomC T
  • 9. 9Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2 ! Exemple 2 (suite) )det( ))(( )( 2 2 AsI BAsIcomC sH T − − =             ++ + ++ + ++ + ++ = 54 )1(5 54 )4(4 54 53 54 4 )( 22 22 ss s ss s ss s ss sH Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert. Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple           = )()( )()( )( 2221 1211 sHsH sHsH sH )( )( )( 1 1 11 sU sY sH = )( )( )( 2 1 12 sU sY sH = )( )( )( 1 2 21 sU sY sH = )( )( )( 2 2 22 sU sY sH =           =           = )( )( )( )( )( )( 2 1 2 1 sU sU sH sY sY sY )()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY += )()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=
  • 10. 10Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Remarques # Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le quadruplet (A, B, C, D) # Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie est appelée une réalisation de H(s) # Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n # Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros) ( ) DBAsICsH n +−= −1 )(
  • 11. 11Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Position du problème ! Forme canonique de commandabilité # Cas simple : m=0 et b0=1 A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation nm asasas bsbsbsb sU sY sH n n n m m m m < ++++ ++++ == − − − − , )( )( )( 01 1 1 01 1 1 L L ? ),,,( DCBA On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après 01 1 )( )( )( asassU sY sH n +++ == L )()()()()( 01 1 1 sUsYassYasYsasYs n n n =++++ − − L )()()()()( 0 )1( 1 )1( 1 )( tutyatyatyaty n n n =++++ − − LEquation différentielle )()()()()( 0 )1( 1 )1( 1 )( tutyatyatyaty n n n +−−−−= − − L
  • 12. 12Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas simple Posons )()( )()( )()( )()( )1( )2( 1 )1( 2 1 tytx tytx tytx tytx n n n n − − − = = = = M )()( )()( )()( )()( )( )1( 1 )2( 2 )1( 1 tytx tytx tytx tytx n n n n = = = = − − & & M & & Dérivation Equations d'état )()()()()( )()( )()( )()( 12110 1 32 21 tutxatxatxatx txtx txtx txtx nnn nn +−−−−= = = = − − L& & M & & Forme canonique de commandabilité )( 1 0 0 0 100 0 00100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 tu x x x x aaaax x x x n n nnn n             +                           −−−− =               − −− − MM LL OOM MOOM L LL & & M & & [ ]             = − n n x x x x ty 1 2 1 0001)( ML Remarques $ Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase $ A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandable
  • 13. 13Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité # cas simple : schéma de simulation # Cas général : m<n et b0≠0 uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L& nx& nx 1−nx 1−na + + +u 2−na + + 3−na + + 2−nx 1a + + 2x 1x 0a y − ∫ ∫ ∫ ∫ 1,,2pour)()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasas bsbsbsb sU sY sH n n n m m m m ++++ ++++ == − − − − L L Soit v une variable intermédiaire telle que )( )( )( )( )( sU sV sV sY sH = 01 1 )( )( asassU sV n +++ = L 01 1 1)( )( bsbsbsb sV sY m m m m ++++= − − L (I) (II)
  • 14. 14Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas général $ Equation (I) Elle correspond au cas précédent )1( )2( 1 )1( 2 1 − − − = = = = n n n n vx vx vx vx M uxax xx xx xx n i iin nn +−= = = = ∑ − = + − 1 0 1 1 32 21 & & M & & $ Equation (II) 01 1 1)( )( bsbsbsb sV sY m m m m ++++= − − L )()()( 01 sVbsbsbsY m m +++= L )()()()( 0 )1( 1 )( tvbtvbtvbty m m +++= L )()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L Représentation d'état )( 1 0 0 0 100 0 00100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 tu x x x x aaaax x x x n n nnn n             +                           −−−− =               − −− − MM LL OOM MOOM L LL & & M & & [ ]                   = + + n m mm x x x x x bbbty M M LL 2 1 2 1 10 00)( Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état
  • 15. 15Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas général uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L& 1,,2pour1 −== + nixx ii L& ∫ += 1ii xx 10211 xbxbxby mm +++= + L nx& nx 1−nx 1−na + + +u 2−na + + 3−na + + 2−nx + + y − b0 + b1 + bm + xm+1 + + a0a1 x2 ∫∫ ∫ ∫ x1 Schéma de simulation Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés
  • 16. 16Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique d'observabilité nm asasas bsbsb sU sY sH n n n m m < ++++ +++ == − − , )( )( )( 01 1 1 01 L L )()()()()()()( 1001 1 1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs m m n n n +++=++++ − − LL )()( ))()(())()(())()(()( 1 1 1 1 1100 sYsasYsa sYasUbssYasUbssYasUbsYs n n m m mm mn − − + + −−− −++−+−= L L Divisons cette équation par sn s sYa s sYa s sYasUb s sYasUb s sYasUb sY n mn m mn mm nn )()()()()()()()( )( 1 1 1 1 1100 − −− + −− −−− − ++ − + − = LL Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
  • 17. 17Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Modèle d'état ++ u − y b0 a0 b1 + a1 − + b2 + a2 − + bm + am − + an-1 − 1x& 1x x2 xn−1 . xn−1 xnxn .xm+1 . xm+11 s 1 s 1 s 1 s 1 s x3 . x2 . Schéma de simulation n nnnn nmmm mnmmm n n xy xaxx xaxx ubxaxx ubxaxx ubxax = −= −= +−= +−= +−= −− +++ + 11 112 1 1112 001 & M & & M & & )( 0 0 100 0100 0010 001 000 1 0 1 3 2 1 1 2 2 1 0 1 3 2 1 tub b b x x x x x a a a a a x x x x x m n n n n n n                 +                                 − − − − − =                 − − −− M M M LL L MMOOM L LL LL & & M & & & [ ]           = nx x x ty M L 2 1 100)( Connaissant y=xn, on peut déduire les autres états par dérivation et différence : c'est l'observabilité.
  • 18. 18Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Remarques ! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité $ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique de commandabilité $ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée $ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne dépendent pas de la réalisation Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité On constate que ),,,(),,,( o T o T o T occcc DBCADCBA =
  • 19. 19Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels % Décomposition en éléments simple % Choix des états 01 1 1 01)( asasas bsbsb sH n n n m m ++++ +++ = − − L L ))(())(( )( 121 01 λλλλ −−−− +++ = − ssss bsbsb sH nn m m L L ∑ = − == n i i i ssU sY sH 1 )()( )( )( λ µ ∑ = − = n i i i s sU sY 1 )( )( )( λ µ )( )( )( i i s sU sX λ− = )()()( sUsXssX iii += λ )()()( tutxtx iii += λ& ni ,...,1=pour ∑ == n i ii txty 1 )()( µ )( 1 1 1 00 0 0 00 2 1 2 1 2 1 tu x x x x x x nnn           +                     =           MM L OOM MO L & M & & λ λ λ [ ]           = n n x x x ty M L 2 1 21)( µµµ nii ,,1 L=λ
  • 20. 20Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Remarques sur le cas 1 $ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système $ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt $ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi, A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que ATTAm 1−= CTCm = BTBm 1−= DDm =           = n mA λ λ λ 00 0 0 00 2 1 L OOM MO L avec u + y ∫ λ1 µ1 ∫ λn µn + + + + + + xn xn x1 x1 Schéma de simulation T : matrice des vecteurs propres de A Chaque état xi est indépendant des autres
  • 21. 21Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes % Décomposition en éléments simples % Choix des états Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2 )( )( )(1 ωσ js sU sX +− = )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ )( )( )(2 ωσ js sU sX −− = )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ ∑ = − + −− − + +− + = n i i i sjs jba js jba sH 3 )()()( )( λ µ ωσωσ ∑ = − + −− −+ +− += n i i i s sU js sU jba js sU jbasY 3 )( )( )( )( )( )( )( )()( λ µ ωσωσ On obtient des états à coefficients complexes qui ne signifient rien physiquement !! uxjx ++= 11 )( ωσ& uxjx +−= 22 )( ωσ& )()()( tutxtx iii += λ& ni ,...,3=pour Pas de problème pour les pôles réels
  • 22. 22Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués % Transformation linéaire sur les états complexes ))()(()( )()()( 21 ' 21 ' 2 1 ssXssXjssX ssXssXssX −= += )( 21 ' 21 ' 2 1 xxjx xxx −= += )()()( )(2)()()( ''' ''' 212 211 sXsXssX sUsXsXssX σω ωσ +−= ++= ∑ =+−++= n i ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ uxxx 2''' 1 21 ++= ωσ& ''' 2 21 xxx σω +−=& Sortie ∑ =++= n i ii sXsbXsaXsY 3 '' )()()()( 21 µ ∑ =++= n i iixbxaxy 3 '' 21 µ )( 1 1 0 2 000 00 00 00 00 3 ' ' 3 3 ' ' 2 1 2 1 tu x x x x x x x x n n n             +                           − =               M ML OMM MO L L & M & & λ λ σω ωσ [ ]               = n n x x x x baty M L 3 ' ' 3 2 1 )( µµ Couplage entre les états correspondants aux pôles complexes conjugués
  • 23. 23Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles multiples % Décomposition en éléments simples % Choix des états Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples )()()( )( 11 01 nk k m m sss bsbsb sH λλλ −−− +++ = + L L ∑ +=− − + − + − + − = n ki i ik kk ssss sH 1 11 1 2 1 1 )()()()( )( λ µ λ µ λ µ λ µ L ∑ +=− − + − + − + − = n ki i ik kk s sU s sU s sU s sU sY 1 11 1 2 1 1 )( )( )( )( )( )( )( )( )( λ µ λ µ λ µ λ µ L nki s sU sX s sU sX s sU sX s sU sX s sU sX i i k k k k ,,1, )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 1 2 1 1 1 1 2 1 1 L M += − = − = − = − = − = − − λ λ λ λ λ nki s sU sX s sU sX s sX sX s sX sX s sX sX i i k k k ,,1, )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 1 1 1 1 3 2 1 2 1 L M += − = − = − = − = − = − λ λ λ λ λ nkiuxx uxx xxx xxx xxx iii kk kkk ,,1, 1 111 3212 2111 L& & & M & & +=+= += += += += −− λ λ λ λ λ ∑ == n i ii txty 1 )()( µ
  • 24. 24Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles multiples nkiuxx uxx xxx xxx xxx iii kk kkk ,,1, 1 111 3212 2111 L& & & M & & +=+= += += += += −− λ λ λ λ λ ∑ == n i ii txty 1 )()( µ )( 1 1 1 0 0 0 00 1 00 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 tu x x x x x x x x x x n k k k n k n k k k                 +                                     =                   + − ++ − M M M M O L OM MOO L & M & & & M & λ λ λ λ λ [ ]         = n n x x ty ML 1 1)( µµ Bloc de Jordan D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est             = )(00 0 )(0 00)( 2 1 2 1 rk k k r J J J A λ λ λ L OOM MO L avec           = i i i iki J λ λ λ λ 00 1 0 001 )( L OOM MO ii i kk ikJ ×∈R)(λ Bloc de Jordan
  • 25. 25Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1         −− −         =− LRL c sAsI 1 10 10 01 2         + − =− LRsL cs AsI 1 1 2 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− Lc RcssLc AsI 1 )det( 2 2 ++ =−         −+ =− sc LLRs AsIcom 1 1 )( 2                 − + =− LsL cLRs BAsICcom T /1 0 1 1 ]01[)( 2 Lc BAsICcom T 1 )( 2 =− )det( )( )( 2 2 AsI BAsICcom sH T − − = 1 1 )( 2 ++ = RcssLc sH
  • 26. 26Automatique ∫= t c di c tV 0 )( 1 )( ττ )( 1 )( ti c tVc =& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ )( 1 )()( 1)( tu L ti L R tV Ldt tdi c +−−= Modélisation