Cours10 Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système
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Cours10 Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système
- 1. 1Automatique Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système (formes canoniques de la représentation d'état) UV Automatique ASI 3 Cours 10
- 2. 2Automatique Contenu ! Introduction ! Liens entre les différentes descriptions d'un système ! Passage modèle d'état " fonction de transfert # Cas d'un système monovariable # Cas d'un système multivariable ! Passage fonction de transfert " modèle d'état #Forme canonique de commandabilité #Forme canonique d'observabilité #Forme modale
- 3. 3Automatique Introduction ! Exemple : système mécanique (masse en translation) ! Equation différentielle ! FT ! Représentation d'état Etats du système m F z Fr=f z . Entrée : u(t) = F Sortie : y(t) = z(t) γ rr mF =∑ zfzmF &&& += )( 1 )( )( )( fmsssF sZ sH + == )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )1()()()( 21 txtztx == && zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += & )2()()( 22 tx m f m F tx −=& [ ] = + − = )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & (Système d'ordre 2) ! Remarques $ De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT $ De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'état Question : Peut-on passer de la FT à la représentation d'état et inversement ?
- 4. 4Automatique Liens entre les différentes descriptions d'un système ! Descriptions d'un système # Equation différentielle # Réponse impulsionnelle # Fonction (ou matrice) de transfert H(s) # Représentations d'état (A, B, C, D) ! Liens entre les descriptions Fonction de transfert H(s) Représentation d’état (A, B, C, D) Réponse impulsionnelle h(t) Equation différentielle ububyayay 0101 +=++ &&&&
- 5. 5Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Forme générale # TL de l'équation d'état # TL de l'équation de sortie Fonction de transfert ou matrice de transfert += += )()()( )()( tDUtCXtY tBUtAXX& Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0 ( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX += ( ) )()( 1 sBUAsIsX n − −= In : matrice identité d'ordre n nnA ×∈R mnB ×∈R npC ×∈R mpD ×∈R ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)( ( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY += ( )( ) )()( 1 sUDBAsICsY n +−= − ( ) DBAsICsH n +−= −1 )(
- 6. 6Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Remarques # Calcul de l'inverse de (sIn−A) # Nouvelle écriture de H(s) ( ) DBAsICsH n +−= −1 )( )det( ))(( )( 1 AsI AsIcom AsI n T n n − − =− − )( AsIcomM n −= matrice des cofacteurs ][ , jimM = avec ji ji ji Mm ,, det)1( +−= Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne D AsI BAsIcomC sH n T n + − − = )det( ))(( )( )det( )det())(( )( AsI DAsIBAsIcomC sH n n T n − −+− = Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλ Les pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
- 7. 7Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie R u(t) i(t) c Vc(t) L Entrée : u(t) Sortie : )()( tVty c= = + −− = Xy u L X LRL c X ]01[ 1 0 1 10& Etats du système )()(1 tVtx c= )()(2 titx = T c titVtX ])()([)( = Modèle d'état (voir cours 8) Fonction de transfert −− − =− LRL c sAsI 1 10 10 01 2 + − =− LRsL cs AsI 1 1 2 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− Lc RcssLc AsI 1 )det( 2 2 ++ =− −+ =− sc LLRs AsIcom 1 1 )( 2 − + =− LsL cLRs BAsIcomC T /1 0 1 1 ]01[))(( 2 Lc BAsIcomC T 1 ))(( 2 =− )det( ))(( )( 2 2 AsI BAsIcomC sH T − − = 1 1 )( 2 ++ = RcssLc sH
- 8. 8Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie − = −− + − −− = XY UXX 21 01 12 30 11 23 & avec = )( )( )( 2 1 tx tx tX = )( )( )( 2 1 tu tu tU = )( )( )( 2 1 ty ty tY − −− − =− 11 23 10 01 2 sAsI +− + =− 11 23 2 s s AsI Calcul de la matrice de transfert +− + =− 32 11 )( 2 s s AsIcom 54)det( 2 2 ++=− ssAsI −− + −+ − =− 12 30 31 21 21 01))(( 2 s sBAsIcomC T −− +−− −+=− 12 30 )4(21 21))(( 2 ss sBAsIcomC T ++ +=− )1(5)4(4 534))(( 2 ss sBAsIcomC T
- 9. 9Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2 ! Exemple 2 (suite) )det( ))(( )( 2 2 AsI BAsIcomC sH T − − = ++ + ++ + ++ + ++ = 54 )1(5 54 )4(4 54 53 54 4 )( 22 22 ss s ss s ss s ss sH Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert. Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple = )()( )()( )( 2221 1211 sHsH sHsH sH )( )( )( 1 1 11 sU sY sH = )( )( )( 2 1 12 sU sY sH = )( )( )( 1 2 21 sU sY sH = )( )( )( 2 2 22 sU sY sH = = = )( )( )( )( )( )( 2 1 2 1 sU sU sH sY sY sY )()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY += )()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=
- 10. 10Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) ! Remarques # Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le quadruplet (A, B, C, D) # Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie est appelée une réalisation de H(s) # Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n # Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros) ( ) DBAsICsH n +−= −1 )(
- 11. 11Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Position du problème ! Forme canonique de commandabilité # Cas simple : m=0 et b0=1 A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation nm asasas bsbsbsb sU sY sH n n n m m m m < ++++ ++++ == − − − − , )( )( )( 01 1 1 01 1 1 L L ? ),,,( DCBA On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après 01 1 )( )( )( asassU sY sH n +++ == L )()()()()( 01 1 1 sUsYassYasYsasYs n n n =++++ − − L )()()()()( 0 )1( 1 )1( 1 )( tutyatyatyaty n n n =++++ − − LEquation différentielle )()()()()( 0 )1( 1 )1( 1 )( tutyatyatyaty n n n +−−−−= − − L
- 12. 12Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas simple Posons )()( )()( )()( )()( )1( )2( 1 )1( 2 1 tytx tytx tytx tytx n n n n − − − = = = = M )()( )()( )()( )()( )( )1( 1 )2( 2 )1( 1 tytx tytx tytx tytx n n n n = = = = − − & & M & & Dérivation Equations d'état )()()()()( )()( )()( )()( 12110 1 32 21 tutxatxatxatx txtx txtx txtx nnn nn +−−−−= = = = − − L& & M & & Forme canonique de commandabilité )( 1 0 0 0 100 0 00100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 tu x x x x aaaax x x x n n nnn n + −−−− = − −− − MM LL OOM MOOM L LL & & M & & [ ] = − n n x x x x ty 1 2 1 0001)( ML Remarques $ Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase $ A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandable
- 13. 13Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité # cas simple : schéma de simulation # Cas général : m<n et b0≠0 uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L& nx& nx 1−nx 1−na + + +u 2−na + + 3−na + + 2−nx 1a + + 2x 1x 0a y − ∫ ∫ ∫ ∫ 1,,2pour)()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasas bsbsbsb sU sY sH n n n m m m m ++++ ++++ == − − − − L L Soit v une variable intermédiaire telle que )( )( )( )( )( sU sV sV sY sH = 01 1 )( )( asassU sV n +++ = L 01 1 1)( )( bsbsbsb sV sY m m m m ++++= − − L (I) (II)
- 14. 14Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas général $ Equation (I) Elle correspond au cas précédent )1( )2( 1 )1( 2 1 − − − = = = = n n n n vx vx vx vx M uxax xx xx xx n i iin nn +−= = = = ∑ − = + − 1 0 1 1 32 21 & & M & & $ Equation (II) 01 1 1)( )( bsbsbsb sV sY m m m m ++++= − − L )()()( 01 sVbsbsbsY m m +++= L )()()()( 0 )1( 1 )( tvbtvbtvbty m m +++= L )()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L Représentation d'état )( 1 0 0 0 100 0 00100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 tu x x x x aaaax x x x n n nnn n + −−−− = − −− − MM LL OOM MOOM L LL & & M & & [ ] = + + n m mm x x x x x bbbty M M LL 2 1 2 1 10 00)( Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état
- 15. 15Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique de commandabilité : cas général uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L& 1,,2pour1 −== + nixx ii L& ∫ += 1ii xx 10211 xbxbxby mm +++= + L nx& nx 1−nx 1−na + + +u 2−na + + 3−na + + 2−nx + + y − b0 + b1 + bm + xm+1 + + a0a1 x2 ∫∫ ∫ ∫ x1 Schéma de simulation Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés
- 16. 16Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme canonique d'observabilité nm asasas bsbsb sU sY sH n n n m m < ++++ +++ == − − , )( )( )( 01 1 1 01 L L )()()()()()()( 1001 1 1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs m m n n n +++=++++ − − LL )()( ))()(())()(())()(()( 1 1 1 1 1100 sYsasYsa sYasUbssYasUbssYasUbsYs n n m m mm mn − − + + −−− −++−+−= L L Divisons cette équation par sn s sYa s sYa s sYasUb s sYasUb s sYasUb sY n mn m mn mm nn )()()()()()()()( )( 1 1 1 1 1100 − −− + −− −−− − ++ − + − = LL Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
- 17. 17Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Modèle d'état ++ u − y b0 a0 b1 + a1 − + b2 + a2 − + bm + am − + an-1 − 1x& 1x x2 xn−1 . xn−1 xnxn .xm+1 . xm+11 s 1 s 1 s 1 s 1 s x3 . x2 . Schéma de simulation n nnnn nmmm mnmmm n n xy xaxx xaxx ubxaxx ubxaxx ubxax = −= −= +−= +−= +−= −− +++ + 11 112 1 1112 001 & M & & M & & )( 0 0 100 0100 0010 001 000 1 0 1 3 2 1 1 2 2 1 0 1 3 2 1 tub b b x x x x x a a a a a x x x x x m n n n n n n + − − − − − = − − −− M M M LL L MMOOM L LL LL & & M & & & [ ] = nx x x ty M L 2 1 100)( Connaissant y=xn, on peut déduire les autres états par dérivation et différence : c'est l'observabilité.
- 18. 18Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Remarques ! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité $ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique de commandabilité $ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée $ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne dépendent pas de la réalisation Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité On constate que ),,,(),,,( o T o T o T occcc DBCADCBA =
- 19. 19Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels % Décomposition en éléments simple % Choix des états 01 1 1 01)( asasas bsbsb sH n n n m m ++++ +++ = − − L L ))(())(( )( 121 01 λλλλ −−−− +++ = − ssss bsbsb sH nn m m L L ∑ = − == n i i i ssU sY sH 1 )()( )( )( λ µ ∑ = − = n i i i s sU sY 1 )( )( )( λ µ )( )( )( i i s sU sX λ− = )()()( sUsXssX iii += λ )()()( tutxtx iii += λ& ni ,...,1=pour ∑ == n i ii txty 1 )()( µ )( 1 1 1 00 0 0 00 2 1 2 1 2 1 tu x x x x x x nnn + = MM L OOM MO L & M & & λ λ λ [ ] = n n x x x ty M L 2 1 21)( µµµ nii ,,1 L=λ
- 20. 20Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Remarques sur le cas 1 $ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système $ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt $ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi, A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que ATTAm 1−= CTCm = BTBm 1−= DDm = = n mA λ λ λ 00 0 0 00 2 1 L OOM MO L avec u + y ∫ λ1 µ1 ∫ λn µn + + + + + + xn xn x1 x1 Schéma de simulation T : matrice des vecteurs propres de A Chaque état xi est indépendant des autres
- 21. 21Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale # Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes % Décomposition en éléments simples % Choix des états Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2 )( )( )(1 ωσ js sU sX +− = )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ )( )( )(2 ωσ js sU sX −− = )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ ∑ = − + −− − + +− + = n i i i sjs jba js jba sH 3 )()()( )( λ µ ωσωσ ∑ = − + −− −+ +− += n i i i s sU js sU jba js sU jbasY 3 )( )( )( )( )( )( )( )()( λ µ ωσωσ On obtient des états à coefficients complexes qui ne signifient rien physiquement !! uxjx ++= 11 )( ωσ& uxjx +−= 22 )( ωσ& )()()( tutxtx iii += λ& ni ,...,3=pour Pas de problème pour les pôles réels
- 22. 22Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués % Transformation linéaire sur les états complexes ))()(()( )()()( 21 ' 21 ' 2 1 ssXssXjssX ssXssXssX −= += )( 21 ' 21 ' 2 1 xxjx xxx −= += )()()( )(2)()()( ''' ''' 212 211 sXsXssX sUsXsXssX σω ωσ +−= ++= ∑ =+−++= n i ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ uxxx 2''' 1 21 ++= ωσ& ''' 2 21 xxx σω +−=& Sortie ∑ =++= n i ii sXsbXsaXsY 3 '' )()()()( 21 µ ∑ =++= n i iixbxaxy 3 '' 21 µ )( 1 1 0 2 000 00 00 00 00 3 ' ' 3 3 ' ' 2 1 2 1 tu x x x x x x x x n n n + − = M ML OMM MO L L & M & & λ λ σω ωσ [ ] = n n x x x x baty M L 3 ' ' 3 2 1 )( µµ Couplage entre les états correspondants aux pôles complexes conjugués
- 23. 23Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles multiples % Décomposition en éléments simples % Choix des états Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples )()()( )( 11 01 nk k m m sss bsbsb sH λλλ −−− +++ = + L L ∑ +=− − + − + − + − = n ki i ik kk ssss sH 1 11 1 2 1 1 )()()()( )( λ µ λ µ λ µ λ µ L ∑ +=− − + − + − + − = n ki i ik kk s sU s sU s sU s sU sY 1 11 1 2 1 1 )( )( )( )( )( )( )( )( )( λ µ λ µ λ µ λ µ L nki s sU sX s sU sX s sU sX s sU sX s sU sX i i k k k k ,,1, )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 1 2 1 1 1 1 2 1 1 L M += − = − = − = − = − = − − λ λ λ λ λ nki s sU sX s sU sX s sX sX s sX sX s sX sX i i k k k ,,1, )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 1 1 1 1 3 2 1 2 1 L M += − = − = − = − = − = − λ λ λ λ λ nkiuxx uxx xxx xxx xxx iii kk kkk ,,1, 1 111 3212 2111 L& & & M & & +=+= += += += += −− λ λ λ λ λ ∑ == n i ii txty 1 )()( µ
- 24. 24Automatique Passage FT """" représentation d'état ! Forme modale : cas des pôles multiples nkiuxx uxx xxx xxx xxx iii kk kkk ,,1, 1 111 3212 2111 L& & & M & & +=+= += += += += −− λ λ λ λ λ ∑ == n i ii txty 1 )()( µ )( 1 1 1 0 0 0 00 1 00 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 tu x x x x x x x x x x n k k k n k n k k k + = + − ++ − M M M M O L OM MOO L & M & & & M & λ λ λ λ λ [ ] = n n x x ty ML 1 1)( µµ Bloc de Jordan D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est = )(00 0 )(0 00)( 2 1 2 1 rk k k r J J J A λ λ λ L OOM MO L avec = i i i iki J λ λ λ λ 00 1 0 001 )( L OOM MO ii i kk ikJ ×∈R)(λ Bloc de Jordan
- 25. 25Automatique Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1 −− − =− LRL c sAsI 1 10 10 01 2 + − =− LRsL cs AsI 1 1 2 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− Lc RcssLc AsI 1 )det( 2 2 ++ =− −+ =− sc LLRs AsIcom 1 1 )( 2 − + =− LsL cLRs BAsICcom T /1 0 1 1 ]01[)( 2 Lc BAsICcom T 1 )( 2 =− )det( )( )( 2 2 AsI BAsICcom sH T − − = 1 1 )( 2 ++ = RcssLc sH
- 26. 26Automatique ∫= t c di c tV 0 )( 1 )( ττ )( 1 )( ti c tVc =& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ )( 1 )()( 1)( tu L ti L R tV Ldt tdi c +−−= Modélisation