10 cours en total Voir la suite chez moi !

1. 1Automatique
Marges de stabilité et performances
des systèmes linéaires asservis
UV Automatique
ASI 3
Cours 5

2. 2Automatique
Contenu
! Robustesse de la stabilité
" Notion de robustesse de la stabilité
" Marges de stabilité (marges de gain et de phase)
! Performances des systèmes asservis
" Précision des systèmes asservis
# Erreur en régime permanent liée à la consigne
# Rejet des perturbations
" Rapidité des systèmes asservis
" Dilemme stabilité, rapidité, précision

3. 3Automatique
Robustesse de la stabilité (1)
! Introduction
" Caractéristiques des critères de Routh et de Nyquist
# Déterminer si le système est stable, oscillant ou instable en BF
# Déterminer les conditions limite de stabilité
# Ne permettent pas de dire si le système stable en BF est plus ou
moins proche de l'instabilité (point critique)
" Concept de marges de stabilité (système à stabilité absolue)
# Intuitivement, la stabilité est satisfaisante si le lieu de Nyquist ou
de Black du système en BO passe loin du point critique -1
Re
Im
-1
Stabilité
satisfaisante
Re
Im
-1
Marges de
stabilité faibles

4. 4Automatique
Robustesse de la stabilité (2)
! Marges de stabilité
" Marge de phase mϕ
" Marge de gain mg
avec
Elles permettent d'estimer la proximité de la réponse
fréquentielle HBO(jω) du point critique π−∠=− 11
Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La marge
de phase est la différence entre ϕBO(ωc0) et −π
( ))(arg)( 00 CcBO jH ωωϕ =
Soit ω-π la pulsation telle que argHBO(jω-π )=−π. La marge
de gain est l'écart entre 0dB et le gain à la pulsation ω-π
πωϕϕ += )( 0cBOm
avec πωϕ π −=− )(BO)(log20 10 πω−−= jHm BOg

5. 5Automatique
Robustesse de la stabilité (3)
! Interprétation des marges de stabilité
! Remarques
$Un système est stable en BF si la marge de phase est positive
$La marge de gain correspond au gain supplémentaire
maximum que l'on peut donner au système en BO sans risquer
de le rendre instable en BF
$Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité
$Pour une bonne stabilité, on considère satisfaisantes les
valeurs minimales : mϕ = π/4 à π /3 (45° à 60°) et mg=10dB à 15dB
$On définit aussi la marge de retard mr comme le retard maximal
admissible sans déstabiliser le système en BF
0c
r
m
m
ω
ϕ
=
e−τs introduit un déphasage de −τω
Condition de stabilité : πωϕτω −≥+− )( 00 cBOc
0
lim
c
m
ω
τ ϕ
≤⇒

6. 6Automatique
Robustesse de la stabilité (4)
! Détermination des marges de stabilité
ϕ
G (dB)
-π/2-ππππ
mϕ
mg
ωc0
ω-π
−−−−ππππ
0 dB ωlog
G (dB)
ϕ (rad)
ωlog
mϕ
mg
ωc0
ω-π
Re
Im
-1
O
A
mϕ
ωc0
ω-π Amg 10log20−=
Cercle de
rayon unité

7. 7Automatique
Performances des systèmes asservis
! Introduction
! Précision des systèmes asservis
En boucle fermée, on désire que :
$ le système suive la consigne en régime établi (précision)
$ le système élimine les perturbations (rejet des perturbations)
$ le système ait une dynamique rapide
C(s) H(s)yc +−
ε y
u
d
+
+
F(s)
La précision est
définie à partir du
signal d'erreur ε :
)()()( tytyt c −=ε
Considérons le schéma
simplifié d'asservissement
On s'intéresse à
l'erreur en régime
permanent : )(lim t
t
εε
∞→
∞ =

8. 8Automatique
Précision des systèmes asservis (1)
! Sortie du système asservi
! TL de l'erreur
)()()( sHsCsHBO =
)(
)(1
)(
)(
)(1
)(
)( sD
sH
sF
sY
sH
sH
sY
BO
c
BO
BO
+
+
+
=
avec
)()()( sYsYtE c −=
)(
)(1
)(
)(
)(1
)(
)()( sD
sH
sF
sY
sH
sH
sYtE
BO
c
BO
BO
c +
−
+
−=
)(
)(1
)(
)(
)(1
1
)( sD
sH
sF
sY
sH
sE
BO
c
BO +
−
+
= )()()( sHsCsHBO =

9. 9Automatique
Précision des systèmes asservis (2)
! Erreur d'asservissement
" Un terme relatif à l'écart avec la consigne
" Un terme d'erreur dû à la perturbation
)(
)(1
)(
)(
)(1
1
)( sD
sH
sF
sY
sH
sE
BO
c
BO +
−
+
=
L'erreur est fonction de deux termes :
)(
)(1
1
)( sY
sH
sE c
BO
c +
=
)(
)(1
)(
)( sD
sH
sF
sE
BO
d
+
−=
Le système est d'autant plus précis que
l'erreur en régime permanent est proche de 0
0)(lim →
∞→
t
t
ε

10. 10Automatique
Précision des systèmes asservis (3)
! Erreur relative à la consigne εc
)(lim)(
0
ssEc
s
c
→
=∞⇒ ε)(lim)( tc
t
c εε
∞→
=∞
)(
)(1
lim)(
0
sY
sH
s
c
BOs
c +
=∞
→
ε
)(
)(
)(
0
00
0 sD
sN
s
K
sHBO α
=Ecrivons HBO(s) sous la forme
1
)(
)(
lim
0
0
0
=
→ sD
sN
s
avec
)(
)(
)(
1
lim)(
0
000
0
sY
sD
sN
s
K
s
c
s
c
α
ε
+
=∞
→
)(
1
lim)(
0
00
sY
s
K
s
c
s
c
α
ε
+
=∞
→
⇒
)(lim)(
0
1
0 0
0
sY
Ks
s
c
s
c
+
=∞
+
→ α
α
ε
1
1
)(
)(
1
1
0
0
0
0
+++
+++
= −
− sasa
sbsb
sD
sN
n
n
m
m
L
L
α
α
⇒

11. 11Automatique
Précision des systèmes asservis (4)
! Erreur relative à la consigne εc
" : consigne échelon. On parle d'erreur de
position ou erreur statique
" : consigne rampe. On parle d'erreur de vitesse
ou erreur de traînage
" : consigne parabole. On parle d'erreur
d'accélération
L'étude peut être menée pour tout signal de consigne. En
pratique, on s'intéresse à l'erreur pour des consignes suivantes :
)()( ttyc Γ=
)()( tvtyc =
2
2
1
)( ttyc =
Remarque
Un système ayant α0 intégrateurs est dit de classe α0
ou de type α0

12. 12Automatique
Précision des systèmes asservis (5)
! Erreur relative à la consigne εc
" Consigne échelon (erreur statique ou de position)
#
#
(pas d'intégrateur en BO, système de classe 0)
avec
00
, 0
0
lim)(
Ks
s
s
pc
+
=∞⇒
→ α
α
ε
s
sYc
1
)( =⇒)()( ttyc Γ=
00 =α
KpK
pc
1
1
1
)(
0
, =
+
=∞ε ( ))(1lim
0
sHKp BO
s
+=
→
(au moins un intégrateur en BO)10 ≥α
Si le système n'a pas d'intégrateur en BO, le système en BF
présente une erreur statique permanente. Cette erreur est
d'autant plus petite que le gain en BO K0 est grande
0)(, =∞pcε Si le système a au moins un intégrateur en BO,
le système en BF a une erreur statique nulle.

13. 13Automatique
Précision des systèmes asservis (6)
! Erreur relative à la consigne εc
" Consigne rampe (erreur de vitesse)
#
#
#
(système de classe 0, pas d'intégrateur en BO)
avec
0
1
0
, 0
0
lim)(
Ks
s
s
vc
+
=∞⇒
−
→ α
α
ε2
1
)(
s
sYc =⇒)()( tvtyc =
00 =α
∞=∞)(,vcε
)(lim
0
ssHK BO
s
v
→
=
(système de classe 2 ou supérieure)20 ≥α
0)(, =∞vcε
10 =α (système de classe 1, 1 intégrateur en BO)
v
vc
K
1
)(, =∞ε Gain en
vitesse

14. 14Automatique
Précision des systèmes asservis (7)
! Erreur relative à la consigne εc
" Consigne parabole (erreur d'accélération)
#
#
#
(au plus 1 intégrateur en BO)
2
2
1
)( ttyc =
avec
0
2
0
, 0
0
lim)(
Ks
s
s
ac
+
=∞⇒
−
→ α
α
ε3
1
)(
s
sYc =⇒
10 ≤α
∞=∞)(,acε
)(lim 2
0
sHsK BO
s
a
→
=
(plus de 2 intégrateurs en BO)30 ≥α
0)(, =∞acε
20 =α (système de classe 2, 2 intégrateurs en BO)
a
ac
K
1
)(, =∞ε Gain en
accélération

15. 15Automatique
Précision des systèmes asservis (8)
! Récapitulation (erreur due à la consigne)
0∞∞εc,a
00∞εc,v
000εc,p
α0>2210α0
ε
aK
1
vK
1
pK
1
α0 : nombre d'intégrateurs
de la fonction de transfert
en BO
Ces résultats sont valables si
le système est stable en BF !!
Remarques
$ Dans le cas où l'erreur est non nulle mais bornée, cette
erreur est d'autant plus petite que le gain en BO est grand
$ Si le gain en BO est grand, il y a risque d'instabilité (cf
Routh) : c'est le dilemme stabilité - précision

16. 16Automatique
Précision des systèmes asservis (9)
! Illustration
0 2 4
0
0.5
1
εc,p
0 5 10 15
0
5
10
15
εc,v→∞
0 5 10
0
10
20
30
40
50
εc,a→∞
0 5 10 15
0
0.5
1
εc,p= 0
0 5 10
0
5
10
εc,v
0 10 20
0
50
100
150
200
εc,a→∞
0 20 40
0
0.5
1
1.5
2
εc,p= 0
0 10 20
0
10
20
30
εc,v=0
0 10 20
0
50
100
150
200
εc,a≠0
α0=0 α0=1 α0=2

17. 17Automatique
Précision des systèmes asservis (10)
! Erreur relative à la perturbation εd
)(
)(1
)(
)( sD
sH
sF
sE
BO
d +
−=
)(lim)(
0
ssEd
s
d
→
=∞⇒ ε)(lim)( td
t
d εε
∞→
=∞
)(
)(
)(
0
00
0 sD
sN
s
K
sHBO α
= 1
)0(
)0(
0
0 =
D
N
Posons
On parle de rejet asymptotique de la perturbation si l'erreur
due à la perturbation εd tend vers 0 en régime permanent
)(
)(
)(
sD
sN
s
K
sF
d
dd
β
= 1
)0(
)0(
=
d
d
D
N
)(lim)(
0
1
0 0
0
sD
Ks
sKd
s
d
+
−=∞⇒
+−
→ α
βα
ε
avec
avec

18. 18Automatique
Précision des systèmes asservis (11)
! Erreur relative à la perturbation εd
" Perturbation de type échelon ( )
# (système de classe 0). On a :
• Si β = 0, on obtient
• Si β ≠ 0, on obtient
L'erreur est bornée si F(s) n'a pas d'intégrateur
00
, 0
0
lim)(
Ks
sKd
s
pd
+
−=∞
−
→ α
βα
ε
s
sD
1
)( =
00 =α
00
,
1
lim)(
K
sKd
s
pd
+
−=∞
−
→
β
ε
p
dd
pd
K
K
K
K
−=
+
−=∞
0
,
1
)(ε
−∞=∞)(,pdε
La présence d'intégrateurs dans F(s) ne contribue pas à
l'élimination asymptotique de la perturbation

19. 19Automatique
Précision des systèmes asservis (12)
! Erreur relative à la perturbation εd
" Perturbation de type échelon
# (au moins un intégrateur)
• Si α0−β = 0, on obtient
• Si α0−β ≥1, on obtient
10 ≥α
0
, )(
K
Kd
pd −=∞ε
L'erreur de position εd,p due à la perturbation est diminuée
voire annulée si on augmente le nombre d'intégrateurs α0
en amont du point d'application de la perturbation tout en
veillant à ne pas déstabiliser le système
00
,
0
lim)(
K
sKd
s
pd
βα
ε
−
→
−=∞On a
0)(, =∞pdε

20. 20Automatique
Précision des systèmes asservis (13)
! Erreur relative à la perturbation εd
0
-∞
-∞
-∞
-∞
εd,a
0003
012
0002
-∞11
001
-∞00
εd,vεd,pα0 β
p
d
K
K
−
v
d
K
K
−
Avec
)(lim
0
ssHK BO
s
v
→
=
v
d
K
K
−
a
d
K
K
−
a
d
K
K
−
)(lim 2
0
sHsK BO
s
a
→
=
( ))(1lim
0
sHK BO
s
p +=
→
L'erreur totale en régime permanent est la somme de l'erreur
par rapport à la consigne et de l'erreur due à la perturbation

21. 21Automatique
Précision des systèmes asservis (14)
! Rejet de la perturbation par compensation
Si F(s) est connue, on peut éliminer totalement la
perturbation en réalisant une correction par compensation
C(s) H(s)yc +−
ε y
u
d
+
+
F(s)
W(s)
−
)(
)(1
)()()(
)(
)(1
)(
)( sD
sH
sHsWsF
sY
sH
sH
sY
BO
BO
c
BO
BO
+
−
+
+
=
Le hic! W(s) n'est pas toujours stable ou
physiquement réalisable (contrainte de causalité)
On élimine totalement la perturbation en prenant
)()()( sHsCsHBO =
)(
)(
)(
sH
sF
sW
BO
=

22. 22Automatique
Performances dynamiques (1)
! Performances
" rapidité : temps de montée tm, temps de réponse tr
" dépassement
" résonance
! Résultats qualitatifs
On apprécie le comportement dynamique des systèmes
asservis en termes de (cf cours 1 à 3) :
Ces performances peuvent être évaluées sur la réponse
indicielle ou fréquentielle du système asservi
Peut-on déduire les performances des systèmes
asservis à partir de la connaissance de HBO(s) ?
$ Oui pour les systèmes du 1er ordre
$ Des résultats qualitatifs pour les systèmes du 2e ordre

23. 23Automatique
Performances dynamiques (2)
! Système du premier ordre en BF
" Fonction de transfert en BF
avec
Quand on boucle un système du 1er ordre, on obtient en
BF un système ayant le comportement d'un 1er ordre
KBF : gain statique en BF
TBF : constante de temps en BF
sT
K
sHBO
0
0
1
)(
+
=
HBO(s)yc +−
ε y
sTK
K
sHBF
00
0
1
)(
++
= ⇒
sT
K
sH
BF
BF
BF
+
=
1
)(
0
0
1 K
K
KBF
+
=
0
0
1 K
T
TBF
+
=et

24. 24Automatique
Performances dynamiques (3)
! Système du premier ordre en BF
" Remarques
# Le système du 1er ordre en BF présente en régime
permanent, une erreur statique non nulle. Cette erreur est
d'autant plus petite que le gain K0 est grand (mais
attention à la saturation des actionneurs !!)
# Temps de réponse en BF
• Le système est plus rapide en BF qu'en BO
• Le temps de réponse est d'autant plus petit que K0 est grand
avec
sT
K
sH
BF
BF
BF
+
=
1
)(
0
0
1 K
K
KBF
+
=
0
0
1 K
T
TBF
+
=et
0
0
,
1
3
3
K
T
Tt BFBFr
+
==

25. 25Automatique
Performances dynamiques (4)
! Système du deuxième ordre en BF
" Fonction de transfert en BF
12
)(
0,
0
2
0,
2
0
++
=
s
s
K
sH
nn
BO
ω
ξ
ω
HBO(s)yc +−
ε y
)1(2
)(
0
0,
0
2
0,
2
0
Ks
s
K
sH
nn
BF
+++
=
ω
ξ
ω
,
⇒
12
)(
,
2
,
2
++
=
s
s
K
sH
BFn
BF
BFn
BF
BF
ω
ξ
ω
: gain statique en BF
0
0
1 K
K
KBF
+
=
0
0
1 K
BF
+
=
ξ
ξ
00,, 1 KnBFn += ωω
: facteur d'amortissement en BF ( )
: pulsation naturelle en BF
10 << BFξ

26. 26Automatique
Performances dynamiques (5)
! Système du deuxième ordre en BF
" Remarques
# Le système en BF a une erreur statique non nulle
# Le système en BF a un comportement oscillatoire amorti
# Le facteur d'amortissement ξBF est faible si K0 est grand
⇒ la réponse indicielle a un fort dépassement
# Le temps de montée tm est rapide si K0 grand
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
ξBF
ωn,BFtm
8.02.0 << BFξPour on a
42 , << mBFn tω
Pour les valeurs courantes de ξBF,
on peut obtenir un ordre de
grandeur du temps de montée en
BF à partir des éléments de la BO

27. 27Automatique
Performances dynamiques (6)
! Système du deuxième ordre en BF
" Relation empirique 1
" Relation empirique 2 : relation entre marge de phase et
facteur d'amortissement en BF
Si K0 >> 1, on montre que 000,, 1 cnBFn K ωωω ≈+=
avec ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1 ou G(ωc0)=0dB
ωc0 est appelée aussi pulsation de coupure à 0dB
Ces deux relations permettent de déduire les performances
du système en BF à partir de la connaissance des
caractéristiques fréquentielles de HBO
100
)(degrém
BF
ϕ
ξ ≈ mϕ : marge de phase °+= 180)( 0cBOm ωϕϕ

28. 28Automatique
Performances dynamiques (7)
! Système du deuxième ordre en BF
" Influence du gain statique K0 en BO sur la BF
# Augmentation de K0 ⇒
• diminution de ξBF , augmentation de ωn,BF (donc de la BP)
• dépassement DBF important
• diminution de la marge de phase (stabilité moins bonne)
• augmentation du temps de montée en BF et de la précision
# Diminution de K0 ⇒
• augmentation de ξBF , diminution de ωn,BF (donc de la BP)
• diminution du dépassement DBF
• augmentation de la marge de phase (stabilité améliorée)
• diminution du temps de montée en BF et de la précision
Il y a un compromis à trouver entre
la rapidité, la stabilité et la précision