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1. 1Automatique
Correction des systèmes linéaires
continus asservis
UV Automatique
ASI 3
Cours 6

2. 2Automatique
Contenu
! Introduction
" Problématique de l'asservissement
! Différentes méthodes de correction
" Correction série, correction parallèle
" Correction par anticipation
! Eléments du cahier de charges
! Synthèse des correcteurs série usuels
" Correcteur proportionnel P
" Correcteurs I, PI, retard de phase
" Correcteurs PD, avance de phase
" Correcteur PID

3. 3Automatique
Introduction (1)
! Problématique de l'asservissement
" Caractéristiques du système piloté (entité non modifiable)
" Objectif de l'asservissement
# Amener le système à suivre un comportement fixé par un
cahier de charges
# Comment faire ? Utiliser un dispositif complémentaire : le
correcteur en boucle fermée
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
u
d
Capteur
Actionneur Système
y
# système mal amorti
# système lent
# système peu précis
# système présentant une tendance
à la dérive
# cas extrême : système instable

4. 4Automatique
Introduction (2)
! Problématique de l'asservissement
0 10 20 30 40 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Entrée
Sortie
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Consigne
Sortie
Système à commander Comportement désiré
$ Réponse oscillatoire
$ Réponse mal amortie
$ Ecart avec l'entrée en
régime établi
$ Réponse oscillatoire
$ Réponse bien amortie
$ Erreur statique nulle
Pour corriger le comportement du système : un correcteur

5. 5Automatique
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
y
d
++
F(s)
-+
C(s)
Méthodes de correction (1)
! Correction série
! Correction parallèle
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
C(s)
y
Correcteur
d
++
F(s)
Rôle du correcteur : élaborer le signal de commande
u approprié à partir du signal d'erreur ε

6. 6Automatique
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
y
d
++
F(s)
-+
C2(s)
C1(s)
Méthodes de correction (2)
! Correction série-parallèle
! Correction par anticipation
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
y
d
++
F(s)
+
Wc(s)
C(s)
Wd (s)
−−−− −−−−

7. 7Automatique
Méthodes de correction (3)
! Remarques
% La correction série est la plus couramment utilisée
% Pour la correction série, le schéma d'asservissement est
transformé en un asservissement à retour unitaire
H(s) G(s)Ha(s)
ysuyc +-
ε
C(s) y
d
++
F(s)
)()()()( sGsHsCsHBOC =
)(1
)(
)(
sH
sH
sH
BOC
BOC
BF
+
=
)()()( sYsGsY s=
En général, λ=)(sG
avec λ une constante
y et yc sont alors de
même nature
)()()( sHsHsH sa=
)()()( sGsHsHBONC =

8. 8Automatique
Exigences de l'asservissement (1)
! Cahier de charges
! Elements du cahier de charges
1. Stabilité
# On analyse la stabilité par les critères de Routh et de Nyquist
2. Marges de stabilité
# Si marges de stabilité faibles ⇒ système proche de l'instabilité
en BF, réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement
# On règlera les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes
suivantes :
Les exigences sont exprimées sous la forme d'un cahier de
charges. La synthèse du correcteur doit permettre de satisfaire
au mieux ces exigences.
dBmm g 10,45 ≥°≥ϕ

9. 9Automatique
Exigences de l'asservissement (2)
! Eléments du cahier de charges
3. Forme de la réponse indicielle en BF
# Apériodique (HBF doit avoir des pôles réels)
# Oscillatoire (HBF doit avoir des pôles complexes conjugués)
4. Précision en régime permanent
Pour avoir une bonne précision, deux solutions :
# augmenter le gain en basses fréquences du système non bouclé
# introduire des intégrateurs (si nécessaire)
Mais, risque de rendre le système instable en BF!!
5. Rapidité
Pour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir sa
bande passante en BF.
Augmenter la BP en BF ⇔ augmenter la pulsation de coupure à
0dB ωco de HBOC(s) = C(s)H(s)G(s)

10. 10Automatique
Exigences de l'asservissement (3)
Système du 1er ordre en BF
000,, 1 cnBFn K ωωω ≈+=
42 , << mBFn tω
BF
BFc
T
1
, =ω,
2
,
, π
ω BFc
f BFc
=
35.0,
≈BFc
fmt
ωlog
G (dB)
0dB HBF(s)
HBOC(s)
ωco
Bande
passante
en BF ωc, BF
Pente −1
Relation temps de montée-BP
0, cBFc ωω ≈
Système du 2e ordre en BF
ωlog
G (dB)
0dB
HBOC(s)
Pente −1
HBF(s)
Pente −2
BP en BF
ωn, BF
8.02.0 << BFξPour
On a

11. 11Automatique
Correcteurs série usuels
! Correcteurs qui modifient le gain
" Correcteur proportionnel (P)
" Correcteur intégral (I)
" Correcteurs proportionnel-intégral (PI), à retard de phase
! Correcteurs qui modifient la marge de phase
" Correcteur proportionnel dérivé (PD)
" Correcteur à avance de phase
! Correcteur réalisant les deux actions
" Correcteur proportionnel-intégral-dérivateur (PID)
Il y a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO
(précision), d'autres qui agissent sur la marge de phase
(stabilité, rapidité).

12. 12Automatique
Correcteur proportionnel P (1)
! Correcteur P
! Effets du correcteur
cKsC =)(Le correcteur est un gain Kc :
Commande du système : )()( tKtu c ε=
# Modification du gain du système en BO
# Si Kc > 1 (amplification)
% amélioration de la précision du système en BF
# Si Kc < 1 (atténuation)
% diminution de la précision du système en BF
Le correcteur P ne permet pas de régler indépendamment
la rapidité, la précision et les marges de stabilité
En effet … ⇒

13. 13Automatique
Correcteur proportionnel P (2)
! Effets du correcteur
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Kc=1
Kc >1
Kc <1 ωc0 ωc0
ωc0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
mϕ
mϕ
mϕ
# Si Kc > 1
% translation du diagramme de gain
de Bode vers le haut
% augmentation de ωco ⇒
augmentation de la rapidité
% diminution de la marge de phase
(dégradation de la stabilité en BF)
# Si Kc < 1
% translation du diagramme de gain
de Bode vers le bas
% diminution de ωco ⇒ diminution
de la rapidité
% Augmentation de la marge de
phase (amélioration stabilité)
HBOC(s) Amplitude (dB)
Phase (°)

14. 14Automatique
Correcteur intégral I (1)
! FT du correcteur
! Effets en fréquentiel du correcteur
sT
sC
i
1
)( =
Ti : constante d'intégration
Commande du système
∫= t
i
d
T
tu 0 )(
1
)( ττε
1 0
-2
10
-1
10
0
10
1
1 0
2
10
3
-27 0
-18 0
-9 0
0
H B O C (s)
H B O N C (s)
m ϕ
m ϕ
10
-2
1 0
-1
10
0
1 0
1
10
2
1 0
3
-1 50
-1 00
-50
0
5 0
10 0
H B O C (s)
H B O N C (s)
0
-1
-2
-1
-3
-2
ωc0
ωc0
Augmentation des pentes
de +20dB/décade
Translation du diagramme
de phase de 90° vers le bas
Amplitude (dB) Phase (°)

15. 15Automatique
Correcteur intégral I (2)
! Effets du correcteur
" Introduction d'un intégrateur ⇒ amélioration précision
# annulation de l'erreur statique, diminution de l'erreur de
vitesse (si le système non corrigé est de classe 0)
# rejet asymptotique des perturbations constantes
" Diminution de la pulsation de coupure à 0dB ωco
# diminution de la rapidité du système en BF
# l'effet intégrateur provoque un ralentissement du système
" Réduction de la marge de phase ⇒ dégradation de la
stabilité voire instabilité
Le correcteur I n'améliore que la précision ;
les autres performances sont dégradées

16. 16Automatique
Correcteur PI (1)
! FT du correcteur
sT
sT
K
sT
K
KsC
i
i
c
i
c
c
+
=+=
1
)(
Commande du système
∫+= t
i
c
c d
T
K
tKtu 0 )()()( ττεε
Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible
PI : combinaison des correcteurs P et I
t
ε
t
u
PI
I
P
Correcteur utilisé en industrie

17. 17Automatique
Correcteur PI (2)
! Réponse fréquentielle
000010
-2
10
-1
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50 Amplitude (dB)
iT
1
Kc=1
−−−−1
10
-2
10
-1
10
1
10
2
-100
-80
-60
-40
-20
0
iT
1
Phase (°)
! Effets du correcteurs
% Introduction d'un intégrateur
% Gain en basses fréquences
(ω<<1/Ti) infini ⇒ erreur statique
nulle (système de classe 0)
% Le gain du système corrigé ne
sera pas modifié en hautes
fréquences si ⇒ ωco
(⇒ rapidité) non modifiée
% La phase du système corrigé
n'est modifiée qu'en basses
fréquences (au contraire de I)
% La marge de phase n'est pas
modifiée si 0
1
c
iT
ω<<
0
1
c
iT
ω<<

18. 18Automatique
Correcteur à "retard de phase" (1)
! FT du correcteur
! Contraintes pouvant être satisfaites
Le correcteur à retard de phase est une forme approchée du
correcteur PI. Il réalise une action intégrale (augmentation du
gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur
bTs
Ts
KsC c
+
+
=
1
1
)( avec b > 1
En pratique, on choisit Kc= b
% Erreur permanente imposée
% Marge de phase imposée
% Rapidité imposée

19. 19Automatique
Correcteur à "retard de phase" (2)
! Réponse fréquentielle du correcteur
10
-2
10
-1
10
2
10
3
0
5
10
15
Amplitude (dB)
bT
1
0
−1
0
T
1
Tb
110
-2
10
-1
10
2
10
3
-90
-30
0
bT
1
T
1
Phase (°)
min,cϕ
% Introduction d'un déphasage
négatif d'où le nom de
correcteur à retard de phase
% Déphasage minimum
% Pulsation correspondante
b10log20
rad
b
b
c
+
−
=
1
1
arcsinmin,ϕ
bT
c
1
min, =ω
0min, <cϕ

20. 20Automatique
Correcteur à "retard de phase" (3)
! Effets du correcteur
! Eléments de réglage du correcteur
% Augmentation du gain en basses fréquences de 20log10b
⇒ effet intégral ⇒ diminution de l'erreur statique en BF
(système de classe 0 en BO)
% Diminution de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système
moins rapide en BF (augmentation de tm ou de tr,5%)
% Introduire dans le correcteur un gain K'
c qu'on calcule pour
avoir la marge de phase désirée
% Calculer Kc=b pour obtenir la précision imposée
% Choisir la constante de temps T telle que ( )
pour ne pas modifier la marge de phase et les performances
dynamiques
0
1
c
T
ω<< 01.0
1
c
T
ω≤

21. 21Automatique
Correcteur proportionnel dérivé PD (1)
! FT du correcteur
( )sTKsC dc += 1)(
Commande du système
dt
td
TKtKtu dcc
)(
)()(
ε
ε +=
Plus Td est grande, plus l'action dérivée est importante
PD : combinaison des correcteurs P et D
t
ε
La commande est proportionnelle à l'erreur et à la
variation de l'erreur (dérivée)
Td : constante de dérivation
t
u
PDD
P

22. 22Automatique
Correcteur PD (2)
! Réponse fréquentielle
10
-2
10
-1
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
0
Amplitude (dB)
dT
1
Kc=1
+1
10
-2
10
-1
10
1
10
2
0
30
60
90
dT
1
Phase (°)
! Effets du correcteurs
% Avance de phase maximale de
90° pour ω>>10/Td ⇒ amélioration
de la stabilité (marge de phase)
% Augmentation de la pulsation ωco ⇒
amélioration de la rapidité (tr,5% , tm↓)
% Amplification en hautes fréquences
(pour ω > 1/Td) ⇒ élargissement de
la BP du système en BF ⇒
sensibilité aux bruits
% Diminution de l'erreur permanente
! Réglages
% Régler Kc pour avoir ωco imposé
% Régler Td pour avoir mϕ imposée
% Vérifier a posteriori ωco et mϕ

23. 23Automatique
Correcteur à avance de phase (1)
! FT du correcteur
! Contraintes pouvant être satisfaites
"Augmentation de la marge de phase (comme l'indique le
nom du correcteur)
"Augmentation de la bande passante (augmentation de la
rapidité càd diminution de tr)
" Erreurs en régime permanent imposées
Le correcteur à avance de phase est une forme approchée
du correcteur PD qui est physiquement irréalisable (condition
de causalité non vérifiée)
Ts
aTs
KsC c
+
+
=
1
1
)( avec a > 1

24. 24Automatique
Correcteur à avance de phase (2)
! Réponse fréquentielle du correcteur
10
-2
10
-1
10
2
10
3
0
5
10
15
20 Amplitude (dB)
aT
1
0
+1
0
T
1
Kc=1
10
-2
10
-1
10
2
10
3
0
30
90
aT
1
T
1
Phase (°)
max,cϕ
aT
1
% Introduction d'un déphasage
positif d'où le nom de
correcteur à avance de phase
% Avance de phase maximale
(la cloche)
% Pulsation correspondante
rad
a
a
c
1
1
arcsinmax,
+
−
=ϕ
aT
c
1
max, =ω
0max, >cϕ
a10log20

25. 25Automatique
Correcteur à avance de phase (3)
! Effets du correcteur
! Eléments de réglage du correcteur
% Augmentation de la marge de stabilité ⇒ effet dérivateur
% Augmentation de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système
plus rapide en BF (diminution de tm ou de tr,5%)
% Sensibilité aux bruits à cause de l'élargissement de la BP
% Calculer a pour avoir l'avance de phase désirée
% Calculer T de façon à placer la cloche à la pulsation ωco désirée
càd
% Le gain fréquentiel est augmenté de 20log10a à partir de ω=10/T.
Ceci décale la pulsation ωco du système corrigé en BO
% Calculer Kc pour ramener ωco à la bonne valeur
1
1
arcsinmax,
+
−
=
a
a
cϕ
0
1
max, c
aT
c ωω ==

26. 26Automatique
Correcteur à avance de phase (4)
)1(
)(
ss
K
sHBONC
τ+
=
Ts
aTs
KsC c
+
+
=
1
1
)( )()()( sCsHsH BONCBOC =
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
0cω
HBONC
C
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-200
-150
-100
-50
0
50
0cω
Phase (°)
mϕϕϕϕ
ϕϕϕϕc,,,,max
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
HBOC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-160
-140
-120
-100
-80
mϕϕϕϕ
Phase (°)

27. 27Automatique
Correcteur PID théorique (1)
! FT du correcteur
sT
sTsTT
KsT
sT
KsC
i
idi
cd
i
c
11
1)(
2 ++
=





++=
PID : combinaison des correcteurs P, I et D
Td : constante
de dérivation
Ti : constante
d'intégration
Factorisation de C(s)
% Si Ti > 4Td ,
% Si Ti < 4Td ,
sT
sTsT
KsC
i
c
)1)(1(
)( 21 ++
= avec



=
=+
di
i
TTTT
TTT
21
21
sT
TssT
KsC
i
c
12
)(
22 ++
=
ξ avec



=
=
di
i
TTT
TT
2
2ξ
Zéros réels
Zéros complexes conjugués
1<ξ
Commande du système
dt
td
TKd
T
K
tKtu dc
t
i
c
c
)(
)()()( 0
ε
ττεε ++= ∫

28. 28Automatique
Correcteur PID théorique (2)
! Réponse fréquentielle
10
-2
10
0
10
2
10
3
0
10
20
30
40 Amplitude (dB)
−1
0
1
1
T
+1
2
1
T
10
-2
10
0
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
1
1
T 2
1
T
Phase (°)
! Effets du correcteurs
% Avance de phase en hautes
fréquences
% Amplification en hautes
fréquences
% Gain infini en basses fréquences
% Retard de phase en basses
fréquences
% Fréquences moyennes : peu
d'influence du correcteur
Effet PD en hautes
fréquences
Effet PI en basses
fréquences

29. 29Automatique
Correcteur PID (1)
! Caractéristiques du PID
" Correcteur utilisé industriellement avec les caractéristiques
# Bp : bande proportionnelle
# Taux de répétition par minute
# Constante de temps de dérivation Td
" Le PID théorique est physiquement irréalisable
! PID réel : PID théorique filtré
c
P
K
B
100
=
i
r
T
60
=τ






+






++
=
N
T
sT
sT
KsC
d
d
i
c
1
1
1
)(
Le PID théorique a l'inconvénient du PD càd une amplification en
hautes fréquences ⇒ sensibilité aux bruits. Pour éviter cela, on
introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences










+
++=
N
T
sT
sT
KsC
d
d
i
c
1
1
1)(ou
avec
N≥10
1 2

30. 30Automatique
Correcteur PID (2)
! Réponse fréquentielle PID réel






+






++
=
N
T
sT
sT
KsC
d
d
i
c
1
1
1
)(
Filtrage des hautes
fréquences
1
10
-2
10
3
0
5
10
15
20
Amplitude (dB)
−1
0
1
1
T
+1
2
1
T
0
dT
10
10
-2
10
0
10
3
-100
-50
0
50
100
1
1
T 2
1
T
Phase (°)
dT
10

31. 31Automatique
Stratégie de synthèse des correcteurs
1. Analyse du système (identification,
performances dynamiques,
réponse fréquentielle)
2. Analyse du cahier de charges
(traduction en termes d'erreur, de
rapidité, de marge de phase, de
pulsation ωco)
3. Choix de la structure du correcteur
compte tenu du cahier des charges
et des caractéristiques du système
4. Calcul des paramètres du
correcteur
5. Vérification des performances du
système corrigé. Si le cahier des
charges n'est pas satisfait, retour à
3
6. Réalisation de l'asservissement et
tests
Réglage des
paramètres
plus difficile
Très utilisé en
industrie
Action PI + PD
PID
Sensibilité du
système aux
bruits
Amélioration
stabilité et
rapidité
Avance de
phase
Système
parfois lent en
BF
Simplicité
Erreur
statique nulle
PI
Risque
d'instabilité si
Kc >> 1
Simplicité
Meilleure
précision
P
InconvénientsAvantagesCorrecteurs