systèmes linéaires continus asservis

1. 1Automatique
Correction des systèmes linéaires
continus asservis (2)
UV Automatique
ASI 3
Cours 7

2. 2Automatique
Contenu
q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine
fréquentiel
u Correcteur PI et retard de phase
u Correcteur à avance de phase
u Correcteur PID
q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs
u Méthode de Ziegler-Nichols
u Méthode de Broïda
q Techniques de correction parallèle et par anticipation

3. 3Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Système asservi
q Cahier de charges
q Eléments de réglage
H(s) yyc
+-
ε
C(s) ( )2
1
)(
Ts
K
sH
+
=
?)( =sC
1=T
§ Erreur statique nulle
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un
intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI
Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4

4. 4Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponses fréquentielles
Le correcteur PI
est placé de façon
à ne pas modifier
sensiblement le
réglage de la
marge de phase
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50
PI
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60°PI
HBONC
Réglage de PI
10
1 0c
iT
ω
≤

5. 5Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse fréquentielle du système corrigé
§ Le correcteur PI a
modifié légèrement
le réglage de la
marge de phase
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50
HBOC
HBONC
Amplitude (dB)
§Le diagramme de gain
de HBOC a une pente de
–1 aux basses
fréquence ⇒ annulation
erreur statique
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC

6. 6Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur PI a annulé l'erreur statique
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
§ La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne.
Pour y remédier, on baisse Ti mais cela modifiera le réglage
de la marge de phase

7. 7Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase
q Cahier des charges
q Réglage du correcteur à retard de phase
Reprenons l'exemple précédent
§ Erreur statique de 5%
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
§ Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
§ Erreur statique pour K=4 : %20
1
1
=
+
=
K
pε
§ FT du correcteur :
sbT
sT
bsC
c
c
+
+
=
1
1
)(
2)1)(1(
1
TssbT
sT
KbH
c
c
BOC
++
+
=⇒
75.4%5
1
1
=⇒=
+
=⇒ b
Kb
pε

8. 8Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponses fréquentielles
Le correcteur à RP
est placé de façon
à ne pas modifier
le réglage de la
marge de phase
Réglage du RP
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-80
-60
-40
-20
0
20
RP
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60°RP
HBONC
10
1 0c
cT
ω
≤

9. 9Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse fréquentielle du système corrigé
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-80
-60
-40
-20
0
20
40
HBOC
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC
§ Légère modification
de la marge de phase
§Le diagramme de gain
de HBOC a subi, aux
basses fréquences, une
translation de 20log10b
par rapport à celui de
HBONC

10. 10Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique
§La réponse est un peu lente pour atteindre la
valeur de consigne
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
εpc

11. 11Automatique
Correcteur à avance de phase
)1(
)(
ss
K
sHBONC
τ+
=
Ts
aTs
KsC c
+
+
=
1
1
)( )()()( sCsHsH BONCBOC =
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
0cω
HBONC
C
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-200
-150
-100
-50
0
50
0cω
Phase (°)
mϕ
ϕc,max
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
HBOC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-160
-140
-120
-100
-80
mϕ
Phase (°)

12. 12Automatique
Exemple : correcteur PID
q Système asservi
q Cahier de charges
q Analyse du système à asservir
H(s) yyc
+-
ε
C(s) 22 2
)(
nnss
K
sH
ωξω ++
=
300,rad/s3,2.0 === Knωξ
§ Erreur statique nulle
§ Dépassement de 10%
§ Temps de montée de 0.277s
%532.0 % =⇒= Dξ
Le système à asservir a un comportement très oscillatoire

13. 13Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponse fréquentielle du système à asservir
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);
Bode Diagrams
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude(dB)
Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite

14. 14Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sT
sTsT
KsC
i
di
c '
''
' )1)(1(
)(
++
=
Formules d'approximation
§ Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle,
dépassement de 10%) et des caractéristiques du système
(D=53%), on utilise un PID
§ FT du correcteur
§ Traduction du cahier de charges
rad/s1077.26.0 ,, =⇒=⇒= BFnmBFnBF t ωωξ
6.0%10% =⇒= BFBFD ξ
⇒





++= sT
sT
KsC d
i
c
1
1)(
°=⇒= 60100 ϕϕ ξ mm BF rad/s10,0 == BFnc ωω

15. 15Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sT
sTsT
ss
K
KsHsCsH
i
di
nn
cBOC '
''
22
' )1)(1(
2
)()()(
++
++
==
ωξω
§ FT du système corrigé en BO
2.01)()( '
00 =⇒= c
KjHjC cc ωω
s1
10
1 '0
'
=⇒≤ i
c
i
T
T
ω
3
)()arctan()arctan(
2
0
'
0
'
0
π
ωϕωω
π
πϕ =+++−= cBONCdcic TTm
s19.0' =dT
§ Paramètres du correcteur

16. 16Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé
-40
-20
0
20
40
60
80
Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);
Bode Diagrams
Magnitude(dB)
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

17. 17Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Principe
q Approche 1 : système stable en boucle ouverte
Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée
à un système sans connaissance précise de la FT du système
Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on
caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous
Tangente au
point d’inflexion
Tr
α
L
E0
M
sTre
s
a
sH −=)(
Intégrateur avec retard
)tan(α=a
Tr et a s'obtiennent à partir
du tracé de la tangente au
point d'inflexion M

18. 18Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Approche 2 : système instable en boucle ouverte
On étudie le comportement du système en boucle fermé avec un
correcteur proportionnel de gain k.
On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues :
c'est le phénomène de pompage
Processus yE
+-
ε
k
Tosc
Phénomène de pompageSchéma d'asservissement
Le phénomène de pompage est
caractérisé par le gain limite kosc et
la période des oscillations Tosc.

19. 19Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Réglage des paramètres des correcteurs
A partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols
ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50%
de la réponse indicielle du système en BF
Essai de pompage (kosc,
Tosc)
Essai indiciel en BO
(a, Tr)
Correcteurs C(s)
cK
sT
sT
K
i
i
c
+1






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
PI
PID
P r
c
aT
K
1
=
oscc kK 5.0=
r
c
aT
K
9.0
= ri TT 3.3=
oscc kK 45.0=
osci TT 83.0=
oscc kK 6.0=
osci TT 5.0=
oscd TT 125.0=
r
c
aT
K
2.1
=
ri TT 2= rd TT 5.0=

20. 20Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système intégrateur avec retard srT
e
s
a
sH −
=)(
PID mixtePID sériePIP
Correcteur
Paramètres
cK
iT
dT
raT
8.0
raT
8.0
raT
85.0
raT
9.0
rT5 rT8.4
rT4.0
rT2.5
rT4.0
§ PID série § PID mixte






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
( )( )
sT
sTsT
K
i
di
c
++ 11

21. 21Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retard
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, on
identifie un modèle du système sous la forme d'un 1er ordre avec retard
Méthode de Broïda
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
y∞
E∞
0.28y∞
0.4y∞
t1 t2
∞
∞
=
E
y
a
Paramètres du modèle
( )125.5 tt −=τ
21 8.18.2 ttTr −=

22. 22Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retard
PID mixtePID sériePIP
Correcteur
Paramètres
cK
iT
dT
raT
τ8.0
raT
τ85.0






+ 4.0
2.1
1
rTa
τ
τ τ
rT4.0 τ
τ
5.2+r
r
T
T
§ PID série § PID mixte






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
( )( )
sT
sTsT
K
i
di
c
++ 11
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
raT
τ8.0
rT4.0+τ

23. 23Automatique
Correction série : imbrication des correcteurs
q Intérêts et réglage
H1(s) ys
uyc +-
ε
d
-+C1(s) C2(s) H2(s)
G1(s)
d
G2(s)
Boucle
secondaire
Boucle primaire
Correcteur
secondaire
Correcteur
primaire
§ Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles
§ Variables internes du processus bien asservies
§ Elimination rapide des perturbations internes
§ Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante)
§ Réglage de la boucle externe ensuite

24. 24Automatique
Imbrication des correcteurs : exemples
q Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu
q Régulation de position (table traçante, enregistreur, …)
u
ωc +-
ε
-+Régulateur
de vitesse
MCC
Dynamo
tachymétrique
Régulateur
de courant
I ω
Saturation
u
θc +-
ε
-+
Régulateur
de vitesse
MCC
Dynamo
tachymétriqu
e
Régulateur
de courant
I ω
Saturation
Régulateur
de position+-
Potentiomètre
k/s
θ

25. 25Automatique
Correction parallèle
q Schéma de l'asservissement
H3(s)
G(s)
H2(s) ys
yc
+-
ε
d
++-+
C(s)
H1(s)
)()(
)()(1
)(
)()( 3
2
2
1 sGsH
sHsC
sH
sHsHBOC
+
=
Boucle interne Boucle ouverte corrigée
)()(1
)(
2
2
sHsC
sH
+
Intérêt
§ rendre la boucle interne plus rapide et donc le
système corrigé plus rapide

26. 26Automatique
Correction parallèle : exemple
q Correction par retour tachymétrique
yyc
+-
ε
-+
λ
Kc
sT
K
m
m
+1
ω θ
Génératrice tachymétrique
s
µ
Moteur
Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la
génératrice et fonction de la vitesse de rotation
Asservissement de position par un moteur à courant continu
Boucle interne :
Boucle ouverte corrigée :
sT
K
m
m
'
'
1+
m
m
m
K
K
K
λ+
=
1
'
m
m
m
K
T
T
λ+
=
1
'avec et
En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne
µ
)1(
)( '
'
sTs
K
KsH
m
m
cBOC
+
=

27. 27Automatique
Correction parallèle : exemple
q Application numérique
Le système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de
phase °= 45ϕm
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50 Am plitude (dB)
ωc0
ωc0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
λ=0
Phase (°)
λ=1
λ=5
mϕ=45°
Pour λ>0 le système
corrigé présente une
marge de supérieure
à 45°.
Si on veut conserver
la valeur de 45°, on
joue sur Kc.
La bande passante
est alors élargie ⇒
système plus rapide
en BF

28. 28Automatique
Correction par anticipation
q Schéma de l'asservissement
q Expression de la sortie du système asservi
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
y
d
++
F(s)
+
Wc(s)
H1(s)
Wd (s)
− −
avec
)(
)()()(1
)()()(
)(
)()()(1
)()()()(
)(
21
2
21
221
sD
sGsHsH
sHsWsF
sY
sGsHsH
sHsWsHsH
sY d
c
c
s
+
−
+
+
−
=
)()()(2 sHsHsH a=

29. 29Automatique
Correction par anticipation
q Compensation de la perturbation
q Anticipation de la consigne
Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée
en choisissant le correcteur Wd tel que
⇒=− 0)()()( 2 sHsWsF d
)(
)(
)(
2 sH
sF
sWd =
Le but de l'asservissement est que la sortie ys(t) suive la
consigne yc(t) c'est-à-dire ys(t) = ys(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a :
)()(
1
)(
2 sGsH
sWc −=
⇒= )()( sYsY cs



=−
=
1)()()()(
0)()()(
221
21
sHsWsHsH
sGsHsH
c
)(
)()()(1
)()()(
)(
)()()(1
)()()()(
)(
21
2
21
221
sD
sGsHsH
sHsWsF
sY
sGsHsH
sHsWsHsH
sY d
c
c
s
+
−
+
+
−
=

30. 30Automatique
Correction par anticipation
q Remarques
u Les correcteurs Wd et Wc ne sont pas en général réalisables
physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On
réalise alors une approximation en ajoutant des pôles
u Une correction par anticipation réalisable physiquement
n'affecte pas la stabilité du système
u Le modèle du système doit être précis pour une bonne
correction par anticipation
u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la
difficulté de la compenser