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CHAPITRE?
COMPENSATION DES SYSTEMES ASSERVIS DISCRETS
7.1. NECESSITE D'UNE CORRECTION DES SYSTEMES
7.1.1. Avantages du numérique
L'analyse d'un système asservi, qu'il soit continu ou discret, conduit
immanquablement à se poser le problème de l'adjonction au système d'un circuit
correcteur, afin de conférer à l'ensemble les meilleures performances possibles.
Ainsi, étant donnée une installation de fonction de transfert connue, réaliser sa
synthèse consiste à rechercher un réseau correcteur d'expression C(z), conçu de telle
façon que l'ensemble corrigé satisfasse un certain nombre de spécifications qui peuvent
se traduire soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine fréquentiel :
Automatique - S.A.E. chapitre 7 : Compensation
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

exigences temporelles - réponse temporelle imposée,
- temps de réponse minimal,
- dépassement maximal contrôlé,
- précision statique imposée,
oufréquentielles - marge de phase imposée,
- bande passante à respecter,
- résonance spécifiée,
Ces approches complémentaires et interactives permettent de façonner la
réponse du système à une entrée donnée et donc de modeler le système à ses desiderata.
L'utilisation de machines numériques (microprocesseur et autres, plus ou moins
importantes) pour commander les systèmes automatiques facilite grandement cette
façon de procéder ; en effet, il est alors relativement aisé de programmer également des
éléments correcteurs qui permettent d'obtenir des effets très intéressants sur les signaux
de commande du processus, difficilement réalisables par éléments câblés.
7.1.2. Différents types de correcteurs
Le circuit correcteur est alors programmé au cœur de la machine numérique et
tout se passe comme si le système répondait au diagramme fonctionnel suivant :
Automatique - S.A.E. chapitre7 : Compensation

Il peut se trouver cependant que l'on soit obligé d'utiliser des correcteurs de type
câblé ; dans ce cas, on dispose de la structure-série classique :
ou, quelques fois, de la structure-parallèle, beaucoup moins usuelle, mais qui permet
d'obtenir à partir d'éléments simples des effets spéciaux des plus intéressants :

a
Exemple : J(p) =
p + a
Z[^(P)J(P)] = — avec g = e-aT
z-a
C(z) = z - g = 1- g z"1
z +(l-2a) 1+(1-2^7-!
Ce correcteur peut être effectivement réalisé par éléments câblés, ou simplement
programmé ; dans ce cas on obtient yn par l'équation récurrente suivante :
yn = (2g-l)yn _i+en -g£n -i
7.2. FAISABILITE DES CORRECTEURS
Afin de déterminer le réseau correcteur (câblé ou programmé) qui convient le
mieux à un système asservi commandé numériquement, on ramènera, dans la suite de ce
chapitre, tout système à un diagramme fonctionnel à retour unitaire :

Dans ce cas, la fonction de transfert en boucle fermée s'exprime par :
C(z)F(z)
Hbf(z)
-l+C(z).F(Z)
Le cahier des charges imposant certaines contraintes (de rapidité, de précision,...)
au système bouclé, on connaît a priori la forme à donner à Hbf(z). Le processus de
fonction de transfert F(z) étant lui-même connu, on en déduit que le correcteur doit
répondre à :
C(Z) = MM(^
MZJ
F(z)[l-Hbi(Z)]
Généralement, le correcteur se présentera sous la forme d'un rapport de
polynômes en z :
_ b0 +bl Z + b2z2
+ + bnzn
^ ' ~~ 2 d
a0+a1z + a2z + + adz
La réalisation pratique du correcteur, déterminé par le calcul, implique que le
développement en série de sa fonction de transfert C(z) ne comporte pas de puissances
positives de z (principe de causalité à respecter impérativement). Cette condition se
traduit par :
limfz'1
C(z)] = 0
Z-»oo L J
c'est-à-dire quel'on doit avoir : n < d.

Cette condition est nécessaire, mais il y a des cas où elle n'est pas suffisante ;
Par exemple , supposons que : yn = a £n + (3 £n_{ -jyn.{ +
On voit qu'à l'instant nT le signal de sortie yn du correcteur doit être synchrone
de sa commande 8n. Or les conversions AN et NA, d'une part, et le calcul de
l'expression de yn, d'autre part, ne sont pas instantanés ; il faut un certain temps entre la
prise d'échantillon £ et la commande y du processus. Si ce temps est faible vis-à-vis de
la période d'échantillonnage, il n'y a pas de problème. Mais si l'échantillonnage est très
rapide, ou si les calculs sont complexes et nombreux, on ne pourra pas réaliser la
simultanéité de l'acquisition et de la commande. Dans ce cas, on aura tout intérêt à
prévoir une condition plus restrictive pour la faisabilité du correcteur :
lim C(z) = o
Z—>oo
c'est-à-dire : n < d
7.3. CRITERE DE CHOIX DES CORRECTEURS
7.3.1. Conditions générales et critères temporels
La détermination des organes de compensation d'un asservissement
échantillonné s'appuie sur un certain nombre de démarches, plus ou moins efficaces, qui
font appel à des critères spécifiques.

Une méthode classique, dite des pôles dominants de ZDAN consiste à imposer
à un système asservi de présenter une fonction de transfert en boucle fermée dont le
comportement soit voisin de celui d'un système du deuxième ordre, c'est-à-dire
caractérisé essentiellement par une paire de pôles dominants. Cette méthode, basée sur
la transformation en z, peut amener des résultats intéressants.
On peut aussi s'appuyer sur des considérations de précision statique et/ou de
rapidité. Il s'agit pour l'essentiel de critères temporels, qui imposent au système de
répondre à une entrée donnée, selon certaines spécifications sur ses régimes transitoire
et permanent. En fait, on définit un signal de sortie qui doit répondre à certaines
spécifications : progression d'un échantillon à l'autre, dépassement contrôlé, loi
d'évolution en régime permanent, erreur permanente admise,... Les méthodes de calcul
des réseaux correcteurs qui résultent de cette approche sont donc caractérisées par
l'utilisation directe des spécifications sur la réponse du système à des entrées
déterminées.
Il est bien entendu que, quelque soit le critère utilisé, il faudra en dernier lieu
vérifier la faisabilité de la solution préconisée.
7.3.2. Méthode de calcul
Soit la structure fonctionnelle retenue pour représenter le système à corriger :

On peut exprimer le signal d'erreur :
8(z) = e(z)- s(z)
soit: 8(z)= e(z)[l-Hbf(z)]
On a vu que la transformée en z d'une entrée canonique d'ordre m peut se
mettre sous la forme :
" (l-z-!)m+1
où A(z) est un polynôme en z"1
, de degré au plus égal à m et dépourvu de racines
égales à l'unité :
^d-^L.'1
-"^]
On peut définir un système en évaluant sa fonction de transfert en boucle fermée
de telle façon que,sollicité par une entrée donnée, il présente certaines conditions de
précision en régime permanent :
lim 8(nT)=lim(l-z-1
)8(z)
n—>°o z—>1
soit : lim£(nT) = lim [A(z) (1 - z'1
)'"1
[l - Hbf (z)]]
Automatique - S.A.E. chapitre 7 :Compensation

Ainsi, pour une entrée (d'ordre m fixé), on peut vouloir que :
lim 8(nT) = 0 précision parfaite
n—>oo
ou lim £(nT) = este précision relative
n-^oo
Partant de ces considérations, la relation précédente permet de calculer Hbt(z),
puis d'en déduire la fonction de transfert C(z) du correcteur qui, à partir du système
initial F(z), conduit à obtenir les performances souhaitées ; bien évidemment, il
conviendra de vérifier la faisabilité de la solution préconisée.
Par exemple : Si l'on désire parvenir à un système présentant une précision parfaite
pour une entrée d'ordre m (la précision ne peut être définie que par rapport à l'ordre de
la commande), il faudra que :
l-Hbf{Z) = (l-z-i)m+1
B(z)
Alors : lim e(nT) = lim (l - z~') A(z) B(z) = 0
n->oo Z_>1 V /
et ceci quelque soit le polynôme B(z), pourvu que celui-ci ne présente pas de racines
égales à l'unité.
On déduit alors :
Hbf(z)=l-(l-z-1
)m+1
B(z)

et 8(z) = A(z) B(z)
Le correcteur qui permet d'atteindre ce résultat, s'il remplit les conditions de
faisabilité, aura pour expression :
i-fa-z'T^.BCz)!
C(Z) = t- - —i
(l-z-T+I
.F(z).B(z)
En fait, le calcul montre que le signal d'erreur 8*(t) s'annule en un nombre fini
d'échantillons [E(z)est un polynôme en z"1
]. Les systèmes répondant à ces spécifications
sont donc à temps d'établissement fini, pour l'entrée considérée. On constate ainsi que
les considérations sur la précision entraînent des conséquences sur la rapidité du
système, et réciproquement.
7.3.3. Système rendu minimal absolu
Le calcul précédent nous a conduit à :
8(z) = A(z) B(z)
et l-HM(z) = (l-z-1
r1
B(z)
A(z) étant imposé par l'entrée choisie, le système considéré sera dit minimal
absolu, si :
B(z) = 1

Alors : £(z) = A(z)
et: Hbf(z)=l-(l-zl
r+l
son régime transitoire sera alors minimal.
Comme A(z)est un polynôme en z"1
de degré au plus égal à m, on voit que
l'erreur de l'asservissement s'annulera auplus en (m +1) périodes.
7.4. EXEMPLES DE SYNTHESE DISCRETE
7.4.1. Calcul de systèmes minima absolus pour quelques entrées d'ordre m
On se propose ici de calculer à chaque fois la fonction de transfert en boucle
fermée d'un système qui serait astreint à être minimal absolu pour différentes entrées
canoniques : échelon de position, rampe, échelon d'accélération.
^ pour uneentrée en échelon-unité (m =0)
e*(t) = T*(t) =Sr(t)
p(7 —
()
~^^
alors : £(z) = A(z) = 1

e*(t) = ô(t)
il faut donc : Hbf(z) = zl
, soit : h*(t) = ô(t -T)
# pour une entrée en échelon de vitesse (m =1)
e*(t) = T£n.<S(t-nT)
n
,. Tz-'
e(z)=
<T?7
e(z) = T. z-1
alors : E*(t) = T. ô(t - T)
et: Hbf(z) = 2 z1
- z 2
, soit: h*(t) = 2 Ô(t - T) - ô(t -2T)

^ pour uneentrée en échelon d'accélération (m =2)
T2
e*(t) = — 2V<S(t-nT)
^ n
cM-H^f?
2 (1-z-1
)2
T2
C(z) = A(z)= — z"1
(1+ z'1
)
ri-iZ, r-p^d
g * (t) =—5(t - T) +—<5(t -2T)
Hbf(z) = 3 z1
- 3 z-2
+ z3
, d'où: h*(t) = 3 6(t - T) - 3 Ô(t - 2T) + Ô(t -3T)

7.4.2. Comportement d'un système rendu minima absolu pour une entrée indicielle
On se propose ici de rendre compte du comportement d'un asservissement, dont
le correcteur a été calculé pour qu'il soit minimal absolu pour une entrée en échelon-
unité, lorsqu'il est sollicité par d'autres types de commande canonique.
On a vu au paragraphe précédent que dans ce cas :
Hbf(z) = z"1
le système corrigé est devenu un simple élément de retard pur
d'une période d'échantillonnage.
Le correcteur qui conduira à ce résultat doit avoir pour fonction de transfert :
C(z)=
z
" - *
FCzXl-z-1
) F(z)(z-l)

Les figures ci-dessous représentent les différents signaux qui affectent ce
système, lorsqu'il est sollicité par une entrée-impulsion et une entrée en échelon de
vitesse.
7.5. SYNTHESE PAR ANTICIPATION - PREDICTEUR DE SMITH
Le prédicteur de Smith est un régulateur qui permet d'obtenir d'intéressantes
performances dans le cas où le système à régler comprend un retard pur. On supposera
ici que le temps de retard Td dû à l'installation correspond à un multiple entier k de la
période d'échantillonnage T.
Avant de présenter ce type de correction, il est utile de rendre compte de l'effet
d'un retard sur les performances d'un système de commande.

7.5.1. Influence de la présence d'un retard pur dans une chaîne de régulation
Soit le système asservi suivant, qui présente un retard pur de k périodes :
Par exemple, on peut s'intéresser à l'effet de ce retard pur sur un système du premier
ordre :
F(p) = -£-
1+ Tp
rp
zk(p).-^_]=K-^ a = e~7
|_ 1 + tpJ z-cx
TJ ^ Kl
~a
H (z) = —
bo
z k
z - a
La sensibilité du système bouclé est : E(z) = zk+1
- a zk
+ K(l - a)
Pour que le système soit stable, il faut que les racines de Z(z) = 0 soient toutes
comprises dans le cerclederayon-unité.

En fonction du temps de retard, on peut calculer les limites à respecter pour le
gain statique en boucle ouverte K pour assurer la stabilité d'un tel ensemble :
1 + (X
k = 0 (pas de retard) K <
1-a
k = 1 (retard d'une période) K <
1-a
^ x i t ^ x . t v ^ , -a + w2
+ 4
k = 2 (retard de 2 périodes) K <
v > ^ 2(1-a)
7.5.2. Le prédicteur de SMITH
On considère un système asservi à temps discret présentant un retard pur de k
périodes, dont la fonction de transfert en boucle ouverte peut s'écrire :

Hbo(z) = z-k(1 - z-l). z[Ml = z-kH' (z)
L P J
où H'z) regroupe le bloqueur d'ordre zéro B0(p) et le processus F(p).
<$> Considérons, dans un premier temps, le système ci-dessous où C(z) est un
correcteur monté en cascade avec les éléments H'(z) précédents :
La variable de sortie peut s'exprimer par :
.-M- C(Z)H
'(Z)
e(z)
l + C(z)Hf
(z)
<$> Dans un deuxième temps, on conçoit un système correctif, associé à
l'asservissement à retard, dont le schéma fonctionnel est représenté ci-dessous ; ce
correcteur est appelé Prédicteur de Smith.

La fonction de transfert du prédicteur de Smith est :
u(z) = C(z)
£(z) l + (l-z-k
)C(z)H'(z)
d'où la fonction de transfert en boucle fermée de l'ensemble qui lui est associé :
s(z)= z _k C(z)H'(z)
e(z) l + C(z)Hf
(z)
<$> En comparant ces deux montages, il vient :
s(z) = z~k
s' (z)
On en conclut que la réponse réelle s(z) est égale à la sortie s'(z), retardée de k
périodes d'échantillonnage. Les pôles du système compensé par unprédicteur de Smith,
sont simplement les zéros de l'expression : 1 + C(z) H'(z), complétés d'un pôle nul de
multiplicité k.

// en découle que la stabilité de la structure n'est pas affectée par
l'implantation d'un prédicteur de Smith sur leprocessus physique avec retard pur.
L'effet de prévision associé au prédicteur de Smith est particulièrement bien mis
en évidence lorsque le diagramme fonctionnel du système est mis sous la forme
équivalente suivante :
On peut remarquer que le signal r de rétroaction, égal à : zk
s(z), correspond au
signal s'(z), puisque l'on a vu précédemment que : s(z) = z~k
s'(z). Il s'agit donc de la
grandeur de sortie s(z), avancée de k périodes d'échantillonnage, provoquant ainsi
l'effet anticipateur recherché.
Remarque : Un inconvénient du prédicteur de Smith est que sa conception repose sur le
modèle z"k
H'(z) du processus à régler ; en particulier, la valeur du retard
pur doit être parfaitement connue.
7.6. CORRECTEURS EN DERIVATION
Dans tout calcul de systèmes de commande, l'une des préoccupations
essentielles du concepteur est d'assurer la fiabilité de l'ensemble, c'est-à-dire de veiller

à ce que la défaillance d'une partie de la chaîne n'entraîne pas la détérioration de tout
l'ensemble.
On se souvient que les régulateurs P.I.D. universels continus sont prévus pour
autoriser une conduite manuelle du processus en cas de panne de tout ou partie du
régulateur. Dans le cas de la commande de systèmes échantillonnés, on suppose que
l'on peut être confronté à des incidents similaires dus au calculateur numérique qui
pilote le processus et qui assure en particulier la fonction-régulateur.
Une structure intermédiaire consiste à faire assurer la sûreté de fonctionnement
par un équipement continu (analogique) et à provoquer des performances plus élaborées
par une commande numérique du système.
Le diagramme fonctionnel ci-dessous illustre ce type de conception hybride.

NOTES PERSONNELLES
Le correcteur numérique est en dérivation, ou en parallèle, avec une connexion
continue entre le signal d'erreur et l'installation. Ainsi le signal de commande de
l'installation résulte de la somme de signaux continu et numérique :
U(p) = 8(p) + C*(p).8*(p)
Si le correcteur numérique est temporairement défaillant, le système asservi
analogique continue à opérer ; l'installationfonctionne alors sous mode dégradé.

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