1. 1
ABS : modélisation, simulation
et algorithmes de contrôle
Pierre Duysinx
Ingénierie des Véhicules Terrestres
Université de Liège
Année Académique 2009-2010
Plan de l’exposé
„ Introduction
„ Modélisation et simulation
„ Systèmes bang-bang
„ PID
„ Contrôleur en mode glissant
„ Contrôleurs tabulés
„ Exemples (Ulsoy, 1997)
„ Conclusions
2. 2
Modélisation
Modélisation
„ Dynamique du système =
„ Dynamique longitudinale du véhicule
„ Dynamique de la roue
„ Hypothèses: on néglige
„ Dynamique du moteur
„ Dynamique de la ligne de transmission
„ Dynamique du système de freinage
„ Transfert de charge
„ Dynamique de la suspension
„ Modèle de comportement roue sol
3. 3
Modélisation
„ Dynamique longitudinale de la voiture
Daero
ha
h
Fxf
Frlt,f
Rrlt,r
L
b
c
Fxr
max
mg sinθ
mg cosθ mg=W
Wf
Wr
θ
Laero
ϑ
sin
mg
D
F
F
N
V
m aero
rlt
x
w ∓
−
−
=
2
)
(
2
/
1 wind
x
aero
rlt
v
v
C
S
D
mg
f
F
+
=
=
ρ
)²
(
2
/
1 wind
x
aero
rlt
v
v
SC
D
mg
f
F
+
=
=
ρ
Modélisation
„ Dynamique de la roue
„ Te: couple moteur
„ Tb: couple de freinage
„ Tw: couples dissipatifs= moment de résistance au roulement +
friction visqueuse
„ Inertie de la roue et de la ligne de transmission (si traction)
v
Fx
Te
Tb
Re
ω
Fz
w
e
x
b
e T
R
F
T
T
J −
−
−
=
ω
engine
roues I
i
I
J ²
+
=
ω
w
z
e
w b
F
R
f
T +
=
4. 4
Modélisation
„ Equation constitutive : force de traction
„ Glissement longitudinal du pneumatique:
„ En traction (accélération)
„ En freinage (décélération)
„ Soit en général
0
0 / e
avec v R
ω ω
λ ω
ω
−
= =
0
0
0
/ e
avec v R
ω ω
λ ω
ω
−
= =
e
R
v
avec /
)
,
max(
0
0
0
=
−
= ω
ω
ω
ω
ω
λ
z
x F
F )
(λ
µ
=
Modélisation
„ Modèle de Pacejka:
„ Glissement
„ B stiffness factor
„ C shape factor
„ D curvature factor
„ sh horizontal offset
„ sv vertical offset
))
(
arctan(
)
)(
1
(
avec
))
arctan(
sin(
h
x
x
x
h
x
x
v
x
x
x
x
x
s
B
B
E
s
E
s
B
C
D
F
+
+
+
−
=
+
=
σ
σ
φ
φ
1
0
−
=
ω
ω
σ
5. 5
Modélisation
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Bx=23
Cx=1,35
Dx=3444
Ex=-2,9
Shx=0
Svx=0
Modèle de Pacejka
„ Pour les cas simples de dérive (latéral) et de glissement
longitudinal pur, la formule suivante peut être employée pour
décrire les courbes d’évolution de Fy , Mz et Fx en fonction de
l’angle de dérive α ou du taux de glissement longitudinal κ.
avec
y(x) = D sin[C arctanfBx ¡ E (B x ¡ arctan(Bx) ) g ]
Y (X) = y(x) + Sv
x = X + Sh
6. 6
Modèle de Pacejka
„ Interprétation des paramètres de la formule magique
„ BCD = pente à l’origine
„ D maximum de la courbe
y(x) = D sin[C arctanfBx ¡ E (B x ¡ arctan(Bx) ) g ]
d
dx
y(x)
¯
¯
¯
¯
x=0
= BCD
xm = inf
x
y(x) et D = min
x
y(x)
Modèle de Pacejka
„ Le paramètre C contrôle les limites du champ de l’argument du
sinus. Il détermine donc la forme de la courbe. Valeurs typiques
de C:
„ C = 1.3 force latérale,
„ C = 2.4 moment d’auto-alignement,
„ C = 1.65 force de freinage
y(x) = D sin[C arctanfBx ¡ E (B x ¡ arctan(Bx) ) g ]
7. 7
Modèle de Pacejka
„ Le paramètre restant B permet d’ajuster la pente de la courbe à
l’origine et est appelé facteur de raideur
d
dx
y(x)
¯
¯
¯
¯
x=0
= BCD
Modèle de Pacejka
„ Le dernier paramètre E permet de contrôler la valeur du
glissement maximum xm (s’il y a un maximum à la courbe)
E =
Bxm ¡ tan( ¼
2C
)
Bxm ¡ arctan(Bxm)
8. 8
Modélisation
„ Modèle de Burchardt:
Effet de la vitesse
Sensibilité à la charge verticale
( )
[ ] )
1
(
1
( 5
3
1
4
2
z
V
c
c
x F
c
e
c
e
c
µ −
−
−
= − σ
σ
σ
1
0
−
=
ω
ω
σ
Modélisation
0
306.39
0.05
Glace
0.0646
94.129
0.1946
Neige
0.1204
33.708
0.4004
Grenailles, mouillées
0.6691
6.4565
1.3713
Grenailles, sec
0.5373
25.168
1.1973
Béton, sec
0.347
33.822
0.857
Asphalte, mouillé
0.52
23.99
1.2801
Asphalte, sec
C3
C2
C1
9. 9
Modélisation
„ Variables d’état
„ Vitesse de rotation associée à la vitesse d’avance V
„ Vitesse de rotation de la roue
„ Glissement
„ En freinage
„ En accélération
e
R
V
x /
1 =
ω
=
2
x
2 1
2
/ e
V R x x
x
ω
λ
ω
− −
= =
1
1
2
/
/
x
x
x
R
V
R
V
e
e −
=
−
=
ω
λ
Modélisation
„ Equations d’état
„ Introduisons
„ Il vient
⎩
⎨
⎧
−
+
−
−
−
=
+
−
−
+
−
= ∑
b
e
z
e
w
z
e
z
wind
x
T
T
µ
F
R
b
F
R
f
J
µ
F
mg
mg
f
V
V
SC
V
m
)
(
)
(
sin
cos
)
(
5
,
0 2
λ
ω
ω
λ
ϑ
ϑ
ρ
2
1 x
et
R
x
V e =
= ω
[ ]
2
1 1
2 2
0,5 ( ) cos sin ( ) /
( ) /
x e wind z e
e z w e z e b
x SC R x V f mg mg F µ mR
x f R F b x R F µ T T J
ρ ϑ ϑ λ
λ
⎧ ⎡ ⎤
= − + − − +
⎪ ⎣ ⎦
⎨
= − − − + −
⎪
⎩
∑
10. 10
Modélisation
„ Remarques: on n’a pas modélisé la dynamique des actionneurs.
Une autre manière de voir les choses est de dire qu’on a ignoré
la dynamique des actionneurs
„ La dynamique du système de freinage requiert l’introduction
d’un retard (de l’ordre de 100 ms) et d’un déphasage du
premier ordre
„ La dynamique de la manette des gaz est plus rapide, mais elle
est connectée au moteur qui requiert une dynamique non
linéaire de l’admission
Modélisation
„ Modélisation de la manette des gaz
( , )
( ) ( )
adm e m m
atm
dm p p
f TC
dt p
ω
β α
=
„ madm: débit d’air à
l’admission
„ ωe: vitesse de rotation du
moteur
„ pa: pression d’air
atmosphérique
„ pm: pression d’air
d’admission
„ α: angle de manette des
gaz
„ β: débit d’air maximum
„ TC: fonction caractéristique
de la valve de manette des
gaz
11. 11
Modélisation
„ Equations d’état
avec
⎩
⎨
⎧
+
−
−
=
+
−
=
T
b
µ
b
x
f
x
µ
b
x
f
x
N
N
3
2
2
2
2
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
[ ]
[ ]
b
e
z
e
N
e
z
w
N
w
z
e
e
e
x
T
T
T
J
b
J
F
R
b
mR
F
N
b
J
x
b
F
fR
x
f
mR
mg
fmg
x
R
SC
x
f
−
=
=
=
=
+
=
+
+
=
/
1
/
/
/
)
(
/
sin
cos
5
,
0
)
(
3
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1 ϑ
ϑ
ρ
)
,
max( 2
1
1
2
x
x
x
x −
=
λ
Modélisation
„ Dynamique du système en terme du taux de glissement
longitudinal
„ En dérivant, il vient
„ On trouve
1
1
2
x
x
x −
=
λ
2 1 2 1 2 1
1
2
1 1 1 1 1
(1 )
x x x x x x
x
x x x x x
λ λ
−
= − − = − +
[ ] [ ]
1
3
2
1
2
2
1
1 )
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
x
T
b
µ
b
b
x
f
x
f N
N +
+
+
−
−
+
=
λ
λ
λ
λ
12. 12
Modélisation
„ Dynamique du système en terme du taux de glissement
„ Equation d’état fortement non linéaire
„ λ est une fonction non linéaire de x1 et x2;
„ µ(λ) est une fonction fortement non linéaire de x1 et x2;
„ f1(x1) et f2(x2) sont non linéaires
„ Le système comporte des sources d’incertitudes importantes:
„ Fz change avec la dynamique
„ µ(λ) n’est pas connue et dépend fortement des conditions de route
„ Les forces de résistance à l’avancement changent avec les
conditions atmosphériques
[ ] [ ]
1
3
2
1
2
2
1
1 )
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
x
T
b
µ
b
b
x
f
x
f N
N +
+
+
−
−
+
=
λ
λ
λ
λ
Algorithmes de Contrôle
13. 13
Algorithmes de contrôle
„ Le système est hautement non linéaire
„ courbes caractéristiques µ-λ (glissement - coefficients de friction
longitudinaux et latéraux)
„ équations du mouvement
„ Les contrôleurs linéaires se montrent peu performants
„ Les contrôleurs non linéaires s’imposent:
„ basés sur des règles et des solutions tabulées pour modifier le
couple de freinage et arriver au résultat désiré
„ difficiles à mettre au point (paramètres de réglages)
„ un système non linéaire simple: le contrôleur bang bang
Contrôleurs à 2 positions (on/off)
„ Dans un contrôleur à deux positions, l’actionneur peut prendre
uniquement 2 positions, soit souvent ouvert / fermé. C’est un
moyen courant et peu cher pour contrôler les systèmes.
„ Exemple contrôleur de remplissage d’une cuve
„ Un contrôleur à 2 positions suit la règle basique suivante:
14. 14
Contrôleurs à 2 positions (on/off)
„ Même si l’évolution du système linéaire reste linéaire quand le
contrôleur est dans une position donnée, les contrôleurs on/off
sont considérés comme systèmes de contrôle non-linéaire, car
leur comportement ne peut être décrit que dans le cadre de
cette théorie.
„ Parfois les contrôleurs on/off peuvent avoir de l’hystérésis et
l’amplitude de l’erreur que le signal doit traverser avant
actuation est appelé « écart différentiel »
Contrôleurs à 2 positions (on/off)
„ L’hystérésis introduit par les systèmes on/off peut être non
intentionnel (causé par du frottement ou des jeux dans le
mécanisme) ou bien désiré.
„ Une raison pour inclure de l’hystérésis est d’introduire une
temporisation pour le basculement entre les 2 états
„ Le basculement trop fréquent est intempestif, ce qui peut
réduire la durée de vie de l’actionneur
„ Par nature un écart différentiel va causer une oscillation de la
commande qui peut être réduite en diminuant l’écart
15. 15
Contrôleur bang-bang
„ Le principe bang-bang du contrôle dit qu’un système qui
travaille sous la contrainte de puissance limitée peut être amené
d’un état à un autre en un temps le plus court possible en
utilisant tout le temps la puissance maximale disponible.
„ Ceci a été suggéré, puis démontré d’abord expérimentalement,
théoriquement ensuite il y a longtemps déjà.
„ Toutes les implantations du contrôleur bang-bang ne
garantissent pas un temps optimal, mais pour certains systèmes
tels que les systèmes suivants avec des entrées bornées,
il peut être montré que le contrôle bang-bang donne le contrôle
optimal et atteint l’état final en n-1 basculements au plus.
0 0
1
1 0
( ) n n
n n
Y b
G s u u u
U a s a s a
−
−
= = − ≤ ≤
+ + +
…
Contrôleur bang-bang pour ABS
„ Le contrôle bang-bang est basé sur le principe qu’un système
peut être déplacé d’un état à un autre dans le temps le plus
court possible en utilisant de manière appropriée toute la
puissance disponible.
„ Dans ce sens le contrôleur bang-bang est optimal d’un point de
vue temporel tout au moins pour une certaine classe de
problème.
„ A cause de son implantation très simple (basée sur des relais),
le contrôleur bang-bang est très populaire.
16. 16
Contrôleur bang-bang pour ABS
„ Le basculement entre les deux états est affecté par la loi de
basculement (switching law) qui dépend de la valeur des
variables d’état du système.
„ Le lieux de tous les états auxquels on bascule se présente sous
la forme d’une surface dans l’espace d’état appelée surface /
courbe de basculement.
„ Pour un système d’ordre II comme le modèle de quart de
voiture, le basculement apparaît sur une courbe que l’on
détermine de manière appropriée dans l’espace de phase.
Contrôleur bang-bang pour ABS
„ Pour les ABS, le taux de glissement longitudinal (défini en
termes des variables d’état) peut être choisi comme variable
gouvernant la loi de basculement.
„ La partie intéressante de la courbe de glissement longitudinal –
coefficient d’adhérence correspondant au maximum se situe
dans l’intervalle [λlow, λhigh]
„ Le couple de freinage de contrôle est τbrake. Il va évoluer entre
τmax et 0 pour garder le glissement dans sa zone optimale
„ La loi de basculement s’écrit
max
1
0
low
i
brake high
i
brake low high
τ λ λ
τ λ λ
τ λ λ λ
−
⎧ <
⎪
= >
⎨
⎪ < <
⎩
17. 17
Exemple de contrôleur en opération
„ Exemple d’un véhicule lourd
avec des freins
pneumatiques sur sol mouillé
(Wong, 1993)
„ Le cycle de réduction et de
restauration de la pression
dans les freins peut être
répété entre 5 à 16 fois par
secondes
„ La fonction ABS est dé-
enclenchée lorsque la vitesse
du véhicule est en dessous
de 5-6 km/h
Simulation
18. 18
Simulation des systèmes ABS
„ Équations du systèmes: dynamique longitudinale du véhicule et
de la roue
„ Fonctions de transfert des capteurs de vitesse
„ Fonctions de transfert du modulateur hydraulique et des
électrovannes
„ Modèle du système de contrôle (logique, fonctions de
diagnostic)
„ Autres:
„ Course de la pédale de frein
„ Accéléromètres
„ Accumulateur et énergie électrique primaire
Schéma blocks de l’ABS
⎩
⎨
⎧
−
+
−
−
−
=
+
−
−
+
−
= ∑
b
e
z
e
w
z
e
z
wind
x
T
T
µ
F
R
b
F
R
f
J
µ
F
mg
mg
f
V
V
SC
V
m
)
(
)
(
sin
cos
)
(
5
,
0 2
λ
ω
ω
λ
ϑ
ϑ
ρ
21. 21
Résultat d’une simulation
Utiliser la simulation pour
comparer 3 scénarios:
• Haut coefficient de friction µ
avec un ABS
• Bas coefficient de friction µ
avec un ABS
• Bas coefficient de friction sans
ABS
Ceci démontre l’avantage
d’utiliser un ABS
Autres exemples: Ulsoy (1997)
„ Contrôleur ABS linéaire
„ utilise un modèle linéarisé du modèle de freinage
„ Système à retour sur intégrale d’erreur + retour des
variables d’état (proportionnel)
„ pauvres performances même pour des systèmes linéarisés
„ pas pratique de faire des suppositions sur la courbe µ-λ et il
y a encore d’autres paramètres d’incertitude
„ Contrôleur non-linéaire
„ basé sur des règles et des solutions tabulées pour modifier
le couple de freinage et arriver au résultat désiré
„ difficile à mettre au point
„ difficile de donner des garanties de performance
22. 22
Contrôleur linéaire (Ulsoy, 1997)
Contrôleur linéaire (Ulsoy, 1997)
Large overshoot à cause d’un zéro à l’origine
Évaluation des performances sur le système linéarisé
23. 23
Contrôleur linéaire (Ulsoy, 1997)
Évaluation des performances sur le système non-linéaire
Contrôleur non linéaire (Ulsoy, 1997)
Règle de contrôle:
24. 24
Conclusions
„ Beaucoup de bons articles dans la littérature
„ Contrôle non linéaire: e.g. contrôle en mode glissant
„ Solutions tabulées
„ Il existe de très bonnes solutions même s’il existe toujours des
questions sans réponses: en général ce qui va en production est
une solution propriétaire
Références
„ R.G. Langoria. « Vehicle System Dynamics and Control ». Partim
ABS. The University of Texas Austin. 2002.
„ A.G. Ulsoy & H. Peng. « Vehicle Control Systems ». Chapter 8
Traction Control. University of Michigan. 1997.
„ J.Y. Wong. Theory of Ground Vehicles. 3rd Edition. J. Wiley
Interscience. 2001.
„ U. Kiencke & L. Nielsen. Automotive Control Systems for Engine,
Driveline and Vehicle. Springer Verlag. 2000.
„ R. Bosch. Driving Safety Systems. 2nd edition. SAE
international. 1999.
