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1. 1Automatique
Systèmes linéaires asservis :
analyse de la stabilité
UV Automatique
ASI 3
Cours 4

2. 2Automatique
Contenu
! Introduction
" Éléments d'une structure d'asservissement
! Système en boucle fermée
"Fonction de transfert en boucle ouverte – notion de chaîne
directe
" Fonction de transfert en boucle fermée
" Propriétés des systèmes asservis
! Analyse de la stabilité d'un système asservi
" Critère de Routh
" Critère de Nyquist
" Critère du revers

3. 3Automatique
Introduction (1)
! Schéma de principe d'un asservissement
Correcteur Système
Capteur
yc +-
ε
actionneur yu
d
! yc : consigne
! ε = yc – y : signal d'erreur (écart entre consigne et sortie du système)
! Correcteur : élabore la loi de commande u
! Actionneur : applique la commande au système. Joue en général le
rôle d'amplificateur de puissance
! y : sortie du système ou grandeur à asservir

4. 4Automatique
Introduction (2)
! Structure fonctionnelle d'un asservissement
C(s) H(s)yc +−
ε yu
d
+
+ +
+
be
F1(s)
G(s)++r
bm
F2(s)
! C(s) : fonction de transfert du correcteur
! H(s) : fonction de transfert du système
! G(s) : fonction de transfert de la boucle de retour (capteur en général)
! r : signal de retour
! d : perturbation externe (mesurable ou non), bm : bruit de mesure
! be : bruit d'entrée (bruit de transmission de u aux actionneurs)

5. 5Automatique
Introduction (3)
! Types d'asservissement
" Régulation : consigne yc constante
" Poursuite de trajectoire : consigne yc varie
! Objectifs de l'asservissement
" Stabilité du système asservi
" Précision : en régime permanent, la sortie doit suivre la
consigne
" Rapidité : Le système asservi doit répondre le plus
rapidement possible aux variations de la consigne
" Rejet des perturbations et des bruits càd
" Robustesse : le système en BF doit résister aux
variations de paramètres, à l'imprécision du modèle H(s)
Le travail de l'automaticien est de régler convenablement
le correcteur pour répondre au mieux à ces exigences
0=
b
y

6. 6Automatique
Analyse du système asservi (1)
! Définitions
" Fonction de transfert en boucle ouverte HBO(s)
Supposons les perturbations et les bruits nuls. La fonction de
transfert en boucle ouverte est la transmittance entre le signal
d'erreur ε et le signal de retour r
C(s) H(s)yc +−
ε yu
d
+
+ +
+
be
F1(s)
G(s)++r
bm
F2(s)
)()()(
)(
)(
)( sGsHsC
s
sR
sHBO =
Ε
=

7. 7Automatique
Analyse du système asservi (2)
" Chaîne directe
" Fonction de transfert en boucle fermée HBF(s)
Si G(s)=1, on parle de retour unitaire
C'est la transmittance entre la consigne yc et la sortie y
)(1
)()(
)(
sH
sHsC
sH
BO
BF +
=
C'est la cascade de transmittance entre une entrée (yc ou les
perturbations d, bm, be) et la sortie y
Entre yc et y : C(s)H(s), Entre d et y : F2(s)
Entre be et y : F1(s)H(s), Entre bm et y : C(s)H(s)
Dans ce cas particulier, on a : )(1
)(
)(
sH
sH
sH
BO
BO
BF +
=
)()()(1
)()(
)(
)(
)(
sGsHsC
sHsC
sY
sY
sH
c
BF +
==

8. 8Automatique
Analyse du système asservi (3)
! Fonction de transfert entre la sortie y et les perturbations
! Expression de la sortie du système bouclé
Remarque
La fonction de transfert entre la sortie asservie y et une
entrée est le rapport de la transmittance de la chaîne
directe sur 1+HBO(s).
)(1
)()(
)(
)(
)( 1
sH
sHsF
sB
sY
sP
BOe
e
+
== )(
)(1
)()(
)(
)(
)( sH
sH
sHsC
sB
sY
sP BF
BOm
m =
+
==
)(1
)(
)(
)(
)( 2
sH
sF
sD
sY
sP
BO
d +
== )()()()( sGsHsCsHBO =avec
)()()()()()()()()( sBsHsDsPsBsPsYsHsY mBFdeecBF −++=

9. 9Automatique
Propriétés d'un système asservi
! Stabilité
! Précision
! Performances dynamiques
Le système asservi doit fonctionner automatiquement. Il est
indispensable qu'il soit stable. Autrement, le système évolue en
s'éloignant de son point (ou trajectoire) d'équilibre, ce qui peut
engendrer des saturations voire une dégradation du système
En régime permanent, la sortie du système asservi doit suivre la
référence sans erreur et rejeter rapidement les perturbations
Elles caractérisent le temps de réaction du système lorsque la
consigne varie et la rapidité avec laquelle le système asservi
"efface" les perturbations

10. 10Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (1)
! Notion de stabilité : définitions
! Théorème de stabilité
# Un système est stable si et seulement si écarté de sa position
d'équilibre (point ou trajectoire), il tend à y revenir.
Une faible perturbation des conditions initiales du système
engendre une faible perturbation de sa trajectoire
# Un système est stable si en réponse à une entrée bornée, la
sortie du système est borné
Un système linéaire continu à temps invariant est
asymptotiquement stable si et seulement si les pôles
de sa fonction de transfert sont à parties réelles
strictement négatives

11. 11Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (2)
! Elements de démonstration
( )∏∏
∏
+−−
−
=
k kki i
l l
cbsas
zsK
sH 22)()(
)(
)(
Décomposition en
éléments simples ∑∑
+−
+
+
−
= k
kk
kk
i
i
i
cbs
CsB
as
A
sH 22)(
)(
Réponse
impulsionnelle ∑ ∑ ++= i k k
tb
k
ta
i tceDeAth ki )sin()( φ
La réponse impulsionnelle converge si les termes
sont convergents c'est-à-dire si ai et bk sont négatifs
tkbtia
ee et
Soit le système de fonction de transfert
01
01
)(
asasa
bsbsb
sH n
n
m
m
+++
+++
=
L
L
H(s) a des pôles réels λi=ai
et/ou complexes λk=bk+jck,
λ∗
k=bk−jck
⇒
⇓
⇒

12. 12Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (3)
! Application du théorème de stabilité aux systèmes en BF
! Outils d'analyse de la stabilité en BF à partir de HBO(s)
" Critère algébrique de Routh
" Critère graphique de Nyquist
)(1
)()(
)(
sH
sHsC
sH
BO
BF
+
= )()()()( sGsHsCsHBO =avec
Le système asservi est stable asymptotiquement si et seulement
si les pôles de HBF(s) sont à parties réelles strictement négatives
Equation caractéristique du système asservi : 0)(1 =+ sHBO
Le système asservi est stable ssi les racines de l'équation
caractéristique sont à parties réelles strictement négatives.
Peut-on analyser la stabilité en BF à partir de HBO(s) sans
calculer explicitement la fonction de transfert en BF? Oui!

13. 13Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (1)
! Intérêt du critère
! Principe du critère de Routh
" Condition nécessaire (CN) de stabilité
Soit D(s) le dénominateur de la fonction de transfert d'un système
)(
)(
)(
sD
sN
sH = 01)( asasasD n
n +++= Lavec
Le critère de Routh permet de déterminer si les racines de
l'équation caractéristique D(s)=0 du système sont à parties réelles
positives ou non sans calculer explicitement ces racines
01)( asasasD n
n +++= L
Une condition nécessaire de stabilité est que tous les
coefficients ai de D(s) soient strictement de même signe.

14. 14Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (2)
! Principe du critère de Routh
" Condition nécessaire et suffisante (CNS) de stabilité
Si la CN est vérifiée, il faut construire le tableau de Routh
……………
…
…a44a43a42a41Ligne 4
…a34a33a32a31Ligne 3
…an-7an-5an-3an-1Ligne2
…an-6an-4an-2anLigne 1
Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))
1
31
2
31 −
−−
−
−=
n
nn
nn
a
aa
aa
a
1
51
4
32 −
−−
−
−=
n
nn
nn
a
aa
aa
a
31
3231
31
41 a
aa
aa nn
a
−−
−=
31
3331
51
42 a
aa
aa nn
a
−−
−=

15. 15Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (3)
Enoncé du critère de Routh : CNS
! Application du critère de Routh à un système en BF
Un système est asymptotiquement stable ssi tous les
coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont
tous de même signe
Remarques
# Le nombre de changements de signe dans la première colonne
est égal au nombre de pôles à parties réelles positives
# Si dans la première colonne il existe un élément nul, le
système admet au moins un pôle à partie réelle positive ou une
paire de pôles conjugués imaginaires purs
)()(
)()()(
)(1
)()(
)(
sNsD
sHsCsD
sH
sHsC
sH
BOBO
BO
BO
BF
+
=
+
=
Appliquer le critère de Routh au dénominateur de la
fonction de transfert en BF c'est-à-dire DBO(s) +NBO(s)
)(
)(
)(
sD
sN
sH
BO
BO
BO = ⇒Soit

16. 16Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (4)
! Exemple 1 : étude de la stabilité du système en BF
Boucle fermée à retour unitaire :
H(s)yc +−
ε y
)3(
10
)( 2 ++
=
sss
sH
103
10
)(1
)(
)( 23 +++
=
+
=
ssssH
sH
sHBF
Tableau de Routh
010Ligne 4
0-7Ligne 3
101Ligne2
31Ligne 1
103)( 23 +++= ssssDBF
Il y a un changement de signe dans
la première colonne de ce tableau
Le système en boucle fermée
à retour unitaire est instable

17. 17Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (5)
! Exemple 2 : étude de la stabilité du système en BF
yc +−
ε yK )1(
1
+ss
5
1
+s
)5)(1(
)(
++
=
sss
K
sHBO
0KLigne 4
0Ligne 3
K6Ligne2
51Ligne 1
D'après le critère de Routh, la
condition de stabilité impose :
et
⇒
Ksss
sK
sHBF
+++
+
=
56
)5(
)( 23
6
30 K−
0>K 0
6
30
>
− K
⇒ 300 << K
K : gain
variable

18. 18Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (6)
! Remarques
" Stabilité absolue
" Stabilité conditionnelle
H(s)yc +−
ε y
G(s)
Soit un système de gain
KB0 en boucle ouverte
Le système est à stabilité absolue s'il existe une valeur limite du
gain Klim telle que le système soit stable en boucle fermée pour
KB0< Klim et instable pour KB0 > Klim
Le système est à stabilité conditionnelle s'il est stable pour un
certain intervalle de valeurs [Klim,1, Klim,2] du gain KB0 et
instable en dehors de cet intervalle

19. 19Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (1)
! Théorème de Cauchy
C'est une méthode graphique permettant de déterminer si le
dénominateur de HBF(s) n'a pas de pôles instables à partir de la
connaissance de HBO(s). Elle est basée sur le théorème suivant :
Soit F(s) une fonction de la variable
complexe s admettant P pôles et Z
zéros dans un contour fermé C.
Lorsque s décrit le contour C, la
courbe F(C), image de C par F(s)
effectue T=P−Z tours autour de
l'origine. T est compté positivement si
C et F(C) sont orientés dans le même
sens et négativement autrement
Re(s)
Im(s)
C
pôle
zéro
+
Re(F(s))
Im(F(s))
F(C)

20. 20Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (2)
! Contour de Nyquist
Le contour d'exclusion de Nyquist Γ
englobe tout le demi-plan droit
correspondant aux pôles et zéros à
parties réelles strictement positives
de la fonction de transfert F(s)
Im
R→
+∝
ω → +∞
ω → −∞
ω → 0+
ω → 0−
Re
ε
I
II
IIIIV
] [ ωω js =∞−∈ ,0,:I
] [ ωω js =∞+∈ ,,0:II
∞→



−∈= Rs j ,
2
,
2
,Re:III
ππθθ
0,
2
,
2
,:IV →



−∈= εππθε θjes
L'image de Γ par F(s) est le
diagramme de Nyquist de F(s)
R→
+∝
ω → +∞
ω → −∞
Re
Im
I
II
III

21. 21Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (3)
! Etape préliminaire
)()(
)()()(
)(1
)()(
)(
sNsD
sHsCsD
sH
sHsC
sH
BOBO
BO
BO
BF
+
=
+
=
)(
)(
)(
sD
sN
sH
BO
BO
BO =
⇒
Soit un système asservi
de transmittance en BO
De plus
)(
)()(
)(1
sD
sNsD
sH
BO
BOBO
BO
+
=+
Remarques
# Les zéros de 1+HBO(s) sont les pôles de HBF(s)
# 1+HBO(s) et HBO(s) ont les mêmes pôles

22. 22Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (4)
! Application du théorème de Cauchy à 1+HBO(s)
Le diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) effectue T=P−Z
tours dans le sens trigonométrique autour de l'origine.
Soit P le nombre de pôles instables de 1+HBO(s) (donc de HBO(s))
Soit Z le nombre de zéros à parties réelles positives de 1+HBO(s)
Remarques
# Les zéros de 1+HBO(s) étant les pôles de HBF(s) , la condition de
stabilité du système en BF impose que 1+HBO(s) ne possède pas
de zéros à parties réelles positives càd Z=0 ⇒ T=P
# En pratique, étudier la position du diagramme de Nyquist de
1+HBO(s) par rapport à l'origine équivaut à analyser la position du
diagramme de HBO(s) par rapport au point –1 appelé point critique
Théorème

23. 23Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (5)
! Enoncé du critère de Nyquist
Un système en boucle fermée est asymptotiquement stable à la
condition nécessaire et suffisante que le diagramme de Nyquist
de sa transmittance en boucle ouverte HBO(s) effectue autour
du point -1 et dans le sens trigonométrique, un nombre de tours
T égal au nombre de pôles instables P de HBO(s)
# Les pôles instables et les zéros à parties réelles positives
sont comptés avec leur ordre de multiplicité
# L'intérêt du critère de Nyquist est d'étudier les conditions de
stabilité du système asservi à partir du diagramme de
Nyquist du système en boucle ouverte
Théorème

24. 24Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (6)
! Exemple 1
Soit un système en BF de
transmittance en boucle ouverte
)1)(1(
)(
21 sTsT
K
sHBO
++
=
avec 5.0,1,5 21 === TTK
Real Axis
ImaginaryAxis
Nyquist Diagrams
-2 0 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
Point critique HBO(s) n'a pas de pôle instable P=0.
Le nombre de tours autour de –1 est
nul, T=0.
Le système est stable
en boucle fermée
⇓

25. 25Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (7)
! Exemple 2
Soit un système en BF de
transmittance en boucle ouverte )255)(1(
20
)( 2 ++−
=
sss
sHBO
HBO(s) a un pôle instable λ=1 ⇒ P=1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Real Axis
ImaginaryAxis
Nyquist Diagrams
Point
critique
Or le nombre de tours autour de
–1 est nul, T=0. Le système est
donc instable en boucle fermée
Le système sera stable en boucle
fermée si le diagramme de Nyquist
entoure une fois le point –1 dans le
sens trigonométrique
Vérifier ce résultat par
le critère de Routh

26. 26Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (8)
! Exemple 3
Soit un système en BF de
transmittance en boucle ouverte )1)(14(
)(
+−
=
ss
k
sHBO
HBO(s) a un pôle instable
λ=1/4 ⇒ P=1.
La condition de stabilité impose
que OM > OC c'est-à-dire k > 1
Le système sera stable en boucle
fermée si le diagramme de Nyquist
entoure une fois le point –1 dans le
sens trigonométrique
-2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Real Axis
ImaginaryAxis
Nyquist Diagrams
Point
critique
k O
C
M
Vérifier ce résultat par
le critère de Routh

27. 27Automatique
Simplification du critère de Nyquist
! Critère du revers
Si le système est stable en boucle ouverte (HBO(s) n'a pas de pôles
ni zéros instables), une condition nécessaire et suffisante de
stabilité asymptotique du système en boucle fermée est qu'en
parcourant le lieu de Nyquist de HBO(s) dans le sens des
pulsations ω croissantes, on laisse le point critique –1 à gauche
Re
Im
-1
ω ↑
Stabilité en boucle fermée
mais non asymptotique
(système juste oscillant)
Re
Im
-1
ω ↑
Re
Im
-1
ω ↑
Stabilité asymptotique
en boucle fermée
Instabilité en
boucle fermée

28. 28Automatique
Critère du revers dans le plan de Black
! Définition
Plan de Black : point critique a pour coordonnées C(-π, 0dB)
Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La condition de
stabilité asymptotique du critère du revers impose que le
déphasage ϕBO(ωc0) soit supérieur à −π (arg(HBO(jωc0) > −π)
c'est-à-dire en parcourant le lieu de Black dans le sens des ω
croissants, on laisse le point critique –1 à droite
Re
Im
-1
ω ↑
ϕ
G (dB)
-π/2-ππππ
ωc0
correspond à

29. 29Automatique
Critère du revers sur le lieu de Bode
! Définition
−π
0 dB
0 dB
0 dB
ωc0
ωc0
ωc0
ωlog
G (dB)
ϕ (rad)
ωlog
Cas 1
Cas 2
Cas 3
Cas 1 : stabilité
asymptotique du
système en BF
Cas 2 : stabilité non
asymptotique du
système en BF
Cas 3 : instabilité du
système en BF