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Commande des Systèmes Linéaires
Continus
Présenté par:
Pr Ahmed MOUTABIR
2020-2021

Titre de la leçon:
Etude des Systèmes Linéaires
Continus de Base
Commande des sSystèmes Linéaires
continus
2

Objectifs du cours
continus
3
• La définition de l’équation différentielle régissant le système ;
• La définition de sa fonction de transfert en notations de
Laplace ;
• La définition de sa fonction de transfert dans le plan
complexe ;
• L’étude temporelle du système par la détermination de sa
réponse impulsionnelle (réponse à une impulsion) et indicielle
(réponse à un échelon).
• L’étude fréquentielle du système (calcul du module, du gain et
de l’argument de la onction de transfert) et le tracé de la
réponse fréquentielle (ou harmonique).
• La déduction des caractéristiques de chaque type de système.

Introduction
I- Etude du système du premier ordre.
II- Etude du système du second ordre.
III- Etude de systèmes particuliers
continus
4
Plan de la leçon

• Le système à étudier est linéaire continu (SLC)
mono-variable (une entrée et une sortie).
continus
5
Introduction
Système linéaire
Continu
mono-variable
Entrée
e(t), E(jω) ou E(p)
Sortie
s(t), S(jω) ou S(p)
• L’entrée ou la sortie peut être en fonction du
temps, de la fréquence ( ou pulsation) ou en
notations de Laplace.

• Un système linéaire continu mono-variable est régi par
une équation différentielle à coefficients constants liant
la sortie à l’entrée dont la forme généralisée est :
𝑎𝑛
𝑑𝑛
𝑠(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1
𝑠(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0
𝑑𝑠 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑎𝑚
𝑑𝑚𝑒(𝑡)
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑎𝑚−1
𝑑𝑚−1𝑒(𝑡)
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑎0
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
Avec: n, m ∈ ℕ∗
et 𝑛 ≥ 𝑚
𝑛 : ordre du système.
continus
6
Introduction

• Par passage à la transformée de Laplace notée
ℒ, on pose (e(t) et s(t) sont des signaux causaux:
𝐸 𝑝 = ℒ(𝑒 𝑡 𝑒𝑡 𝑆 𝑝 = ℒ(𝑠 𝑡 .
Un signal causal est un signal qui est nul pour t<0.
continus
7
Introduction

• Par passage à la transformée de Laplace notée
ℒ, on pose (e(t) et s(t) sont des signaux causaux:
𝐸 𝑝 = ℒ(𝑒 𝑡 𝑒𝑡 𝑆 𝑝 = ℒ(𝑠 𝑡 .
• On considérera dans tous le cours que les
conditions initiales sont nulles d’où:
ℒ
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑝𝐸 𝑝 et ℒ
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑝𝑆 𝑝
ℒ
𝑑2𝑒(𝑡)
𝑑𝑡2 ) = 𝑝2
𝐸(𝑝) et ℒ
𝑑2𝑠(𝑡)
𝑑𝑡2 ) = 𝑝2
𝑆(𝑝)
continus
8
Introduction

• Un système linéaire continu invariant du
premier ordre est un système régi par une
équation différentielle du premier ordre à
coefficients constants:
continus
9
Etude du système du premier ordre
𝝉
𝒅𝒔(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝒔 𝒕 = 𝑲𝒆(𝒕)
τ ∶ constante de temps en s τ > 0
𝐾: gain statique du système du 1erordre (𝐾 > 0).
Définition :

continus
10
Définition :
L’équation équivalente en notations de Laplace:
𝜏𝑝𝑆 𝑝 + 𝑆 𝑝 = 𝐾𝐸(𝑝)
La fonction de transfert de Laplace H(p):
𝐻 𝑝 =
𝑆(𝑝)
𝐸(𝑝)
=
𝐾
1 + 𝜏𝑝

continus
11
Exemples de systèmes de premier ordre :
La cellule RC:
𝑅𝐶
𝑑𝑉
𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑉
𝑠(𝑡) = 𝑉
𝑒(𝑡)
𝐾 = 1
𝜏 = 𝑅𝐶
𝐻 𝑝 =
𝑉
𝑠(𝑝)
𝑉
𝑒(𝑝)
=
1
1 + 𝑅𝐶𝑝
=
𝐾
1 + 𝜏𝑝

continus
12
Etude temporelle du système du premier ordre :
L’étude temporelle est l’étude de la réponse du système à un signal
d’entrée donné. C’est l’étude du signal de sortie en réponse au
signal d’entrée choisi.

continus
13
L’étude temporelle est l’étude de la réponse du système à un signal
d’entrée donné.
• La réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) :
𝑒 𝑡 = 𝛿(𝑡).
• La réponse à un échelon unitaire ou non (réponse
indicielle) :
𝑒 𝑡 = 𝐴𝑢(𝑡).
• La réponse à une rampe :
𝑒 𝑡 = 𝑡𝑢(𝑡).

continus
14
Réponse impulsionnelle:
𝒆 𝒕 = 𝜹 𝒕
ℒ
𝑬 𝒑 = 𝟏.

continus
15
𝒆 𝒕 = 𝜹 𝒕
ℒ
𝑬 𝒑 = 𝟏.
𝑺 𝒑 =
𝑲
𝟏+𝝉𝒑
𝑬 𝒑 =
𝑲
𝟏+𝝉𝒑
=
𝑲
𝝉(𝒑+
𝟏
𝝉
)
𝒔 𝒕 = 𝓛−𝟏
(𝑺 𝒑 ) =
𝑲
𝝉
𝒆−𝒕
𝝉𝒖(𝒕)

continus
16
𝑠 0 =
𝐾
𝜏
lim
𝑡→+∞
𝑠 𝑡 = 0
𝑠 𝜏 =
𝐾
𝜏
𝑒−1
= 0,37
𝐾
𝜏

continus
17
Réponse indicielle:
𝒆 𝒕 = 𝒖 𝒕
𝓛
𝑬 𝒑 =
𝟏
𝒑

continus
18
𝓛
𝑬 𝒑 =
𝟏
𝒑
𝑺 𝒑 =
𝑲
𝒑(𝟏 + 𝝉𝒑)
=
𝑲
𝒑
−
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑

continus
19
𝓛
𝑬 𝒑 =
𝟏
𝒑
𝑺 𝒑 =
𝑲
𝒑(𝟏 + 𝝉𝒑)
=
𝑲
𝒑
−
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝒔 𝒕 = 𝓛−𝟏(𝑺 𝒑 ) = 𝑲(𝟏 − 𝒆−𝒕
𝝉)𝒖(𝒕)

continus
20
𝑠 0 = 0
lim
𝑡→+∞
𝑠 𝑡 = 𝐾
𝑠 𝜏 = 𝐾 1 − 𝑒−1 = 0,63𝐾
𝑠 𝑇𝑟5%
= 0,95𝐾 ⟹ 𝑇𝑟5%
= 3𝜏

continus
21
Réponse à une rampe:
𝒆 𝒕 = 𝒕𝒖 𝒕
𝓛
𝑬 𝒑 =
𝟏
𝒑𝟐

continus
22
𝒆 𝒕 = 𝒕𝒖 𝒕
𝓛
𝑬 𝒑 =
𝟏
𝒑𝟐
𝑺 𝒑 =
𝑲
𝒑𝟐(𝟏 + 𝝉𝒑)
=
−𝑲𝝉
𝒑
+
𝑲
𝒑𝟐
+
𝑲𝝉𝟐
𝟏 + 𝝉𝒑
𝒔 𝒕 = 𝓛−𝟏(𝑺 𝒑 = 𝑲[𝒕 − 𝝉 𝟏 − 𝒆−𝒕
𝝉 ]𝒖(𝒕)

continus
23
𝑠 𝜏 =
𝐾
𝜏
𝑒−1
= 0,37
𝐾
𝜏
𝑠 0 = 0
lim
𝑡→+∞
𝑠 𝑡 = lim
𝑡→+∞
𝐾(𝑡 − 𝜏)

continus
24

continus
25
𝑯 𝒑 =
𝑺(𝒑)
𝑬(𝒑)
=
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝒑=𝒋𝝎
𝑯 𝒋𝝎 =
𝑺(𝒋𝝎)
𝑬(𝒋𝝎)
=
𝑲
𝟏 + 𝒋𝝉𝝎
=
𝑲
𝟏 + 𝒋
𝝎
𝝎𝟎
Etude fréquentielle du système du premier ordre :
La fonction de transfert donne des informations sur:
• Le gain du système qui est le rapport entre les amplitudes
de la sortie et l’entrée.
• La phase de la sortie par rapport à l’entrée.
D’où l’étude de leurs évolutions en fonction de la fréquence.

continus
26
C’est une représentation graphique dans
l’un des diagrammes suivants :
• Les diagrammes de bode;
• Le diagramme de Black;
• Le diagramme de Nyquist

continus
27
Module :
Gain :
Argument :
∥ 𝑯 𝒋𝝎 ∥=
𝑲
𝟏 + 𝝉𝟐𝝎𝟐
𝑮 = 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈 ∥ 𝑯 𝒋𝝎 ∥= 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈
𝑲
𝟏 + 𝝉𝟐𝝎𝟐
𝝋 = 𝑨𝒓𝒈𝑯 𝒋𝝎 = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝝉𝝎)

continus
28
Représentations de Bode :
𝒍𝒊𝒎
𝝎→𝟎
𝑯 𝒋𝝎 = 𝑲
𝒍𝒊𝒎
𝝎→𝟎
𝝋 → 𝟎°
𝒍𝒊𝒎
𝝎→∞
𝑯 𝒋𝝎 =
𝑲
𝒋𝝎𝝉
𝒍𝒊𝒎
𝝎→∞
𝝋 → −𝟗𝟎°

continus
29
Représentations de Black :

continus
30
Représentations de Nyquist :
𝑯 𝒋𝝎 =
𝑺(𝒋𝝎)
𝑬(𝒋𝝎)
=
𝑲
𝟏 + 𝝉𝟐𝝎𝟐 − 𝒋
𝑲𝝉𝝎
𝟏 + 𝝉𝟐𝝎𝟐

continus
31
Etude du système du second ordre
• Un système linéaire continu invariant du
second ordre est un système régi par une
équation différentielle du second ordre à
coefficients constants:
1
𝜔𝑛
2
𝑑2
𝑠(𝑡)
𝑑𝑡2
+
2𝑚
𝜔𝑛
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑠 𝑡 = 𝐾𝑒(𝑡)
Définition :
Avec :
𝜔𝑛 ∶ pulsation propre du système en 𝑟𝑑/𝑠 .
𝑚 ∶ coefficient d′
amortissement noté aussi: 𝑧 ou 𝜉 sans dimension.
𝐾: gain statique (sans dimension si 𝑒 𝑡 et 𝑠 𝑡 sont de même nature).

continus
32
Définition :
L’équation équivalente en notations de Laplace:
La fonction de transfert de Laplace H(p):
(
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
+ 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+ 𝟏)𝑺(𝒑) = 𝑲𝑬(𝒑)
𝑯 𝒑 =
𝑺(𝒑)
𝑬(𝒑)
=
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐

continus
33
Exemples de systèmes du second ordre :
Circuit RLC série :
𝑽𝒆 𝒕 = 𝑳
𝒅𝒊(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝑹𝒊 𝒕 + 𝑽𝒔(𝒕)
𝒊 𝒕 = 𝑪
𝒅𝑽𝒔(𝒕)
𝒅𝒕
𝑽𝒆 𝒕 = 𝑳𝑪
𝒅𝟐𝑽𝒔(𝒕)
𝒅𝒕𝟐 + 𝑹𝑪
𝒅𝑽𝒔(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝑽𝒔(𝒕)
𝑽𝒆 𝒑 = (𝟏 + 𝑹𝑪𝒑 + 𝑳𝑪𝒑𝟐
)𝑽𝒔(𝒑)
𝑯 𝒑 =
𝑽𝒔(𝒑)
𝑽𝒆 𝒑
=
𝟏
𝟏 + 𝑹𝑪𝒑 + 𝑳𝑪𝒑𝟐
𝝎𝒏 = 𝟏
𝑳𝑪
: 𝐩𝐮𝐥𝐬𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐞 𝒅′
𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝐝𝐮 𝐜𝐢𝐜𝐮𝐢𝐭 𝑹𝑳𝑪
𝒎 =
𝟏
𝟐𝑹
𝑳
𝑪
: 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭 𝒅′
𝐚𝐦𝐨𝐫𝐭𝐢𝐬𝐬𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐮 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐢𝐭 𝑹𝑳𝑪

continus
34
Exemples de systèmes du second ordre :
Système : amortisseur + masse + ressort :
𝑴
𝒅𝟐
𝒙(𝒕)
𝒅𝒕𝟐 = 𝒇
𝒅(𝒚 − 𝒙)
𝒅𝒕
+ 𝒌(𝒚 − 𝒙)
𝑯 𝒑 =
𝑿(𝒑)
𝒀(𝒑)
=
𝒌 + 𝒇𝒑
𝒌 + 𝒇𝒑 + 𝑴𝒑𝟐 =
𝟏 +
𝒇
𝒌
𝒑
𝟏 +
𝒇
𝒌
𝒑 +
𝑴
𝒌
𝒑𝟐
𝝉 =
𝒇
𝒌
𝝎𝒏 =
𝒌
𝑴
𝒎 =
𝒇
𝟐𝒌
𝑴
𝒌

continus
35
Calcul des pôles:
𝐻 𝑝 =
𝐾
1 + 2𝑚
𝑝
𝜔𝑛
+
𝑝2
𝜔𝑛
2
=
𝐾𝜔𝑛
2
𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2
𝒑𝟐
+ 𝟐𝒎𝝎𝒏𝒑 + 𝝎𝒏
𝟐
= 𝟎
∆= 𝟒𝝎𝒏
𝟐
(𝒎𝟐
− 𝟏)

continus
36
• Si : 𝑚 > 1 ⟹ ∆> 0, on a deux pôles réels négatifs :
𝑝1 = −𝑚𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 𝑚2 − 1
𝑝2 = −𝑚𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 𝑚2 − 1
• Si : 0 < 𝑚 < 1 ⟹ ∆< 0, on a deux pôles complexes
conjugués :
𝑝1 = −𝑚𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝑚2
𝑝2 = −𝑚𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝑚2
• Si : 𝑚 = 1 ⟹ ∆= 0, on a un pôle réel double :
𝑝1 = 𝑝2 = −𝜔𝑛
Calcul des pôles:
∆= 𝟒𝝎𝒏
𝟐
(𝒎𝟐
− 𝟏)

continus
37
−𝝎𝒏
−𝒋𝝎𝒏
𝒋𝝎𝒏
−𝑚𝜔𝑛 + 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝑚2
−𝑚𝜔𝑛 − 𝑗𝜔𝑛 1 − 𝑚2
m<1
m>1
−𝑚𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 𝑚2 − 1 −𝑚𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 𝑚2 − 1
Représentation des pôles:

continus
38
Etude temporelle du système du second ordre :
⟹ 𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2 =
𝐾𝜔𝑛
2
(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)
=
𝐴
(𝑝 − 𝑝1)
+
𝐵
(𝑝 − 𝑝2)
𝐸 𝑝 = 1
Cas où : m>1

continus
39
⟹ 𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2
=
𝐾𝜔𝑛
2
(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)
=
𝐴
(𝑝 − 𝑝1)
+
𝐵
(𝑝 − 𝑝2)
𝑠 𝑡 = ℒ−1
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝1 − 𝑝2
𝑒−𝑝1𝑡
− 𝑒−𝑝2𝑡
𝑢 𝑡 =
𝐾𝜔𝑛
2 1 − 𝑚2
𝑒𝑝1𝑡
− 𝑒𝑝2𝑡
𝑢 𝑡
Cas où : m>1

continus
40
𝑠 𝑡 = ℒ−1 𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝1 − 𝑝2
𝑒−𝑝1𝑡 − 𝑒−𝑝2𝑡 𝑢 𝑡 =
𝐾𝜔𝑛
2 1 − 𝑚2
𝑒𝑝1𝑡 − 𝑒𝑝2𝑡 𝑢 𝑡
Cas où : m>1
Régime apériodique

continus
41
Cas où : m<1
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2
=
𝐾𝜔𝑛
1 − 𝑚2
1 − 𝑚2𝜔𝑛
(𝑝 + 𝑚𝜔𝑛)2+(1 − 𝑚2)𝜔𝑛
2
𝑠 𝑡 = ℒ−1(𝑆 𝑝 ) =
𝐾𝜔𝑛
1 − 𝑚2
𝑒−𝑚𝜔𝑛𝑡sin( 1 − 𝑚2𝜔𝑛𝑡)𝑢(𝑡)
Régime Oscillatoire amorti

continus
42
Cas où : m=1
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝜔𝑛
2 + 2𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2
=
𝐾𝜔𝑛
2
(𝑝 + 𝜔𝑛)2
𝑠 𝑡 = ℒ−1
(𝑆 𝑝 ) = 𝐾𝜔𝑛
2
𝑡𝑒−𝜔𝑛𝑡
𝑢(𝑡)
La réponse impulsionnelle est identique à celle du cas m>1

continus
43
𝑬(𝒑) =
𝟏
𝒑
Cas où : m>1
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2)
=
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝑝 − 𝑝1)(𝑝 − 𝑝2)
=
𝐴
𝑝
+
𝐵
(𝑝 − 𝑝1)
+
𝐶
(𝑝 − 𝑝2)
⟹ 𝑆 𝑝 =
𝐾
𝑝
+
𝑝2
𝑝1 − 𝑝2
𝐾
(𝑝 − 𝑝1)
−
𝑝1
𝑝1 − 𝑝2
𝐾
(𝑝 − 𝑝2)
𝑠 𝑡 = ℒ−1
𝑆 𝑝 = 𝐾 1 +
𝐾𝑝2
𝑝1 − 𝑝2
𝑒𝑝1𝑡
−
𝐾𝑝1
𝑝1 − 𝑝2
𝑒𝑝2𝑡
𝑢(𝑡)

continus
44
𝑠 𝑡 = ℒ−1 𝑆 𝑝 = 𝐾 1 +
𝐾𝑝2
𝑝1 − 𝑝2
𝑒𝑝1𝑡 −
𝐾𝑝1
𝑝1 − 𝑝2
𝑒𝑝2𝑡 𝑢(𝑡)
s(t)
lim
𝑡→+∞
𝑠(𝑡) = 𝐾
Tangente horizontale à
l’origine

continus
45
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2)
=
𝐴
𝑝
+
𝐵𝑝 + 𝐶
𝑝2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝜔𝑛
2
Cas où : m<1
⟹ 𝑆 𝑝 =
𝐾
𝑝
+
−𝐾(𝑝 + 2𝑚𝜔𝑛)
2

continus
46
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝜔𝑛
2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑝2)
=
𝐴
𝑝
+
𝐵𝑝 + 𝐶
2
Cas où : m>1
⟹ 𝑆 𝑝 =
𝐾
𝑝
+
−𝐾(𝑝 + 2𝑚𝜔𝑛)
2
⟹ 𝑆 𝑝 = 𝐾
1
𝑝
−
(𝑝 + 𝑚𝜔𝑛) + 𝑚𝜔𝑛
𝑝2 + 2𝑚𝜔𝑛𝑝 + 𝑚2𝜔𝑛
2 − 𝑚2𝜔𝑛
2 + 𝜔𝑛
2

continus
47
⟹ 𝑆 𝑝 = 𝐾
1
𝑝
−
𝑝 + 𝑚𝜔𝑛
𝑝 + 𝑚𝜔𝑛
2 + 1 − 𝑚2 𝜔𝑛
2
−
𝑚𝜔𝑛
𝑝 + 𝑚𝜔𝑛
2 + 1 − 𝑚2 𝜔𝑛
2
𝑠 𝑡 = ℒ−1
𝑆 𝑝 = 𝐾[1 −
1
1 − 𝑚2
𝑒−𝑚𝜔𝑛𝑡
sin(𝜔𝑛 1 − 𝑚2𝑡 + 𝜑]𝑢(𝑡)
𝑠 𝑡 = ℒ−1
𝑆 𝑝
𝑠 𝑡 = 𝐾[1 − 𝑒−𝑚𝜔𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 1 − 𝑚2𝑡 −
𝑚
1 − 𝑚2
𝑒−𝑚𝜔𝑛𝑡sin(𝜔𝑛 1 − 𝑚2𝑡]𝑢(𝑡)
On pose:
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑚
𝑠𝑖𝑛𝜑 = 1 − 𝑚2

continus
48
𝑠 𝑡 = ℒ−1 𝑆 𝑝 = 𝐾[1 −
1
1 − 𝑚2
𝑒−𝑚𝜔𝑛𝑡sin(𝜔𝑛 1 − 𝑚2𝑡 + 𝜑]𝑢(𝑡)

continus
49
Cas où : m=1
𝑆 𝑝 =
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝜔𝑛
2+2𝜔𝑛𝑝+𝑝2)
=
𝐾𝜔𝑛
2
𝑝(𝑝+𝜔𝑛)2=𝐾[
1
𝑝
−
1
𝑝+𝜔𝑛
−
1
𝑝+𝜔𝑛
2]
𝑠 𝑡 = ℒ−1(𝑆 𝑝 ) = 𝐾(1 − 𝑒−𝜔𝑛𝑡 − 𝜔𝑛𝑡𝑒−𝜔𝑛𝑡)𝑢(𝑡)

continus
50

continus
51
Etude fréquentielle du système du second ordre :
Fonction de transfert de Laplace :
Fonction de transfert complexe :
𝐻 𝑗𝜔 =
𝑆(𝑗𝜔)
𝐸(𝑗𝜔)
=
𝐾
1 + 2𝑗𝑚
𝜔
𝜔𝑛
−
𝜔2
𝜔𝑛
2
𝐻 𝑝 =
𝑆(𝑝)
𝐸 (𝑝)
=
𝐾
1 + 2𝑚
𝑝
𝜔𝑛
+
𝑝2
𝜔𝑛
2
⇓ 𝑝 = 𝑗𝜔

continus
52
Module :
Gain :
Argument :
∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥=
𝐾
(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)2+4𝑚2 𝜔2
𝜔𝑛
2
𝐺𝑑𝐵 = 20 log ∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥ = 20𝑙𝑜𝑔𝐾 − 10log((1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)2+4𝑚2
𝜔2
𝜔𝑛
2)
• Si 𝜔 < 𝜔𝑛 ⟹ 𝐴𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(
2𝑚
𝜔
𝜔𝑛
1−
𝜔2
𝜔𝑛
2
).
• Si 𝜔 = 𝜔𝑛 ⟹ 𝐴𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 = −90°.
• Si 𝜔 > 𝜔𝑛 ⟹ 𝐴𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 = −[𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2𝑚
𝜔
𝜔𝑛
1−
𝜔2
𝜔𝑛2
+ 𝜋].

continus
53
Cas où : m>0,7
Cas où : m<0,7
Il y a apparition d’un phénomène de
résonance.
𝜔𝑅 = 𝜔𝑛 1 − 2𝑚2 < 𝜔𝑛.
Il n’y a pas de phénomène de résonance.
Cas où : m=1
Diagramme asymptotique en bleu.
La pulsation de coupure 𝜔𝑛.
𝐻 𝑗𝜔 =
𝐾𝜔𝑛
2
(𝑗𝜔 + 𝜔𝑛)2

continus
54
Cas où : m>1
𝐻 𝑗𝜔 =
𝐾
(1 + 𝑗𝜏1𝜔)(1 + 𝑗𝜏2𝜔)
=
𝐾
(1 + 𝑗
𝜔
𝜔1
)(1 + 𝑗
𝜔
𝜔2
)
𝐻 𝑗𝜔 est le produit de deux
fonctions de premier ordre de
pulsations de coupures
𝜔1 = 1/𝜏1 et 𝜔2 = 1/𝜏2.
Son diagramme asymptotique est
donc la superposition de deux
diagrammes du premier ordre.

continus
55

continus
56
Représentations de Black :

continus
57
𝐻 𝑗𝜔 =
𝐾(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)
(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)2+4𝑚2 𝜔2
𝜔𝑛
2
− 𝑗
2𝐾
𝜔
𝜔𝑛
(1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2)2+4𝑚2 𝜔2
𝜔𝑛
2

continus
58

continus
59
Etude de systèmes particuliers
Etude du système retard :
𝐻 𝑝 = 𝑒−𝜏𝑝
ℒ
𝐻 𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝜏𝜔
Fonctions de transfert :
Module et gain :
∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥= 1 ⟹ 𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥=0
Argument :
𝐴𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 = −𝜏𝜔

continus
60
Etude de systèmes particuliers
Etude du système intégrateur :
𝐻 𝑝 =
1
𝑝
ℒ
𝐻 𝑗𝜔 =
1
𝑗𝜔
Fonctions de transfert :
Module et gain :
∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥=
1
𝜔
⟹ 𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐻 𝑗𝜔 ∥= −20𝑙𝑜𝑔𝜔
Argument :
𝐴𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 = −90°

Merci pour votre attention
continus
61

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