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CHAPITRE III Analyse des Systèmes discrets
III.1 Description des systèmes à temps discret
invariants linéaires
Un système de temps discret causal linéaire invariant dans le
temps implique les éléments suivants : unités de
sommation, unités d'amplification et unités de retard.
Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO

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Figure III.01 :
(a) Sommation,
(b) amplification et
(c) unités de retard.

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L'unité de retard est désignée par 𝑧−1
, ce qui signifie que la
sortie est identique à l'entrée retardée par une unité de temps.
Comme par exemple le système à temps discret du premier
ordre illustré à la figure III.02, donné par l’équation aux
différences suivante
𝒚 𝒌 + 𝒂𝟏𝒚 𝒌 − 𝟏 = 𝒃𝟎𝒖 𝒌 + 𝒃𝟏𝒖 𝒌 − 𝟏
𝒚 𝒌 = −𝒂𝟏𝒚 𝒌 − 𝟏 + 𝒃𝟎𝒖 𝒌 + 𝒃𝟏𝒖 𝒌 − 𝟏
ou :

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Figure III.02 :
Schéma fonctionnel d'un système à temps discret du premier ordre.

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pour le système à temps discret du second ordre l’équation
aux différences suivante ( la figure III.03)
𝒚 𝒌 + 𝒂𝟏𝒚 𝒌 − 𝟏 + 𝒂𝟐𝒚 𝒌 − 𝟐
= 𝒃𝟎𝒖 𝒌 + 𝒃𝟏𝒖 𝒌 − 𝟏 + 𝒃𝟐𝒖 𝒌 − 𝟐
𝒚 𝒌 = −𝒂𝟏𝒚 𝒌 − 𝟏 − 𝒂𝟐𝒚 𝒌 − 𝟐
+𝒃𝟎𝒖 𝒌 + 𝒃𝟏𝒖 𝒌 − 𝟏 + 𝒃𝟐𝒖 𝒌 − 𝟐

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Figure III.03 : Schéma fonctionnel d'un système à temps discret du
second ordre.

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Il existe trois différences fondamentales, allant des
systèmes à temps continu aux systèmes à temps discret :
les équations différentielles sont maintenant des
équations aux différences ; la transformation de Laplace
cède la place à la transformation 𝑍; et la procédure
d'intégration est remplacée par la sommation.
1. Équations aux différences
La forme générale d'une équation aux différences est la
suivante :

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Avec conditions initiales 𝑦 −1 , 𝑦 −2 , ⋯ , 𝑦 −𝑛 .
La solution de l'équation (III.02) peut être trouvée soit dans
le domaine temporel (en utilisant des méthodes similaires à
celles utilisées pour résoudre une équation différentielle
dans le domaine temporel), soit dans le domaine fréquentiel
complexe ou le domaine 𝑧 en utilisant la transformée en 𝑍 .
(𝐼𝐼𝐼. 02)

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2. Fonction de transfert
La fonction de transfert d'un système à temps discret est
notée 𝐻 𝑧 et est définie comme le rapport de la
transformée en 𝑍 de la sortie 𝑦 𝑘 divisé par la transformée
en 𝑍 de l'entrée 𝑢 𝑘 , à la condition que 𝑢 𝑘 = 𝑦 𝑘 =
0 , pour toutes les valeurs négatives de 𝑘 . C'est-à-dire
où 𝑢 𝑘 = 𝑦 𝑘 = 0 pour 𝑘 < 0 (III.03)
𝑯 𝒛 =
𝒁 𝒚 𝒌
𝒁 𝒖 𝒌
=
𝒀 𝒛
𝑼 𝒛

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La fonction de transfert d'un système décrit par l'équation
de différence (III.02), avec
𝒖 𝒌 = 𝒚 𝒌 = 𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒌 < 𝟎 ,
- multipliez les deux côtés de l’équation (III.02) par le terme
𝒛−𝒌
et additionner pour 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , ∞ , pour donner :
est déterminée comme suit :

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𝑘=0
∞
𝑦 𝑘 𝒛−𝒌
+ 𝑎1
𝑘=0
∞
𝑦 𝑘 − 1 𝒛−𝒌
+ 𝑎1
𝑘=0
∞
𝑦 𝑘 − 2 𝒛−𝒌
+ ⋯
𝑏0
𝑘=0
∞
𝑢 𝑘 𝒛−𝒌
+ 𝑏1
𝑘=0
∞
𝑢 𝑘 − 1 𝒛−𝒌
+ ⋯
+𝑏𝑚
𝑘=0
∞
𝑢 𝑘 − 𝑚 𝒛−𝒌
+𝑎𝑛
𝑘=0
∞
𝑦 𝑘 − 𝑛 𝒛−𝒌
=
𝒀 𝒛

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En utilisant la propriété de décalage temporel de
transformée en Z et l'hypothèse selon laquelle 𝑢 𝑘 =
𝑦 𝑘 = 0 pour les valeurs négatives de 𝑘 , l'équation ci-
dessus peut être simplifiée comme suit :

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là où on a utilisé la définition de la transformée en 𝑍 .
Par conséquent, en utilisant la définition (III. 03) , on
arrive à la forme polynomiale rationnelle suivante pour
𝐻 𝑧 :
𝑯 𝒛 =
𝒀 𝒛
𝑼 𝒛
=
𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒛−𝟏
+ ⋯ + 𝒃𝒎𝒛−𝒎
𝟏 + 𝒂𝟏𝒛−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒛−𝒏
𝒎 ≤ 𝒏
(III. 04)

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3. Réponse impulsionnelle ou Fonction de pondération
La réponse impulsionnelle (ou fonction de pondération)
d'un système est notée 𝒉 𝒌 et est définie comme la sortie
d'un système lorsque son entrée correspond à la séquence
d'impulsions unitaire 𝜹 𝒌 , sous la contrainte que les
conditions initiales 𝑦 −1 , 𝑦 −2 , ⋯ , 𝑦 −𝑛 ; du
système sont nulles.
La définition du schéma fonctionnel de la réponse
impulsionnelle est illustrée à la Figure III.04.

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Figure III.04 :
Définition du
schéma fonctionnel
de la réponse
impulsionnelle.
La fonction de transfert 𝐻 𝑧 et Les fonctions de poids
ℎ 𝑘 sont liées par l'équation suivante :
(III.05)
Où 𝒁 𝒉 𝒌 indique la transformée en 𝑍 de ℎ 𝑘 .
𝑯 𝒛 = 𝒁 𝒉 𝒌

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4. Équations d'état
Les équations de l’espace d'état ou simplement les
équations d'état sont un ensemble d'équations aux
différences du premier ordre décrivant les systèmes
d'ordre élevé et ayant la forme suivante :
𝒙 𝒌 + 𝟏 = 𝑨 𝒙 𝒌 + 𝑩 𝒖 𝒌 (III. 06 a)
𝒚 𝒌 = 𝑪𝒙 𝒌 + 𝑫 𝒖 𝒌 (III. 06 b)

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Où 𝑢 𝑘 ∈ 𝑅𝑚
, 𝑥 𝑘 ∈ 𝑅𝑛
𝑒𝑡 𝑦 𝑘 ∈ 𝑅𝑝
sont
respectivement les vecteurs d'entrée, d'état et de sortie, et
𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont des matrices constantes de dimensions
appropriées.
Soit 𝑌 𝑧 = 𝑍 𝑦 𝑘 𝑒𝑡 𝑈 𝑧 = 𝑍 𝑢 𝑘 . Alors,
la matrice de fonction de transfert 𝐻(𝑧) des
équations (2.8) est donnée par : avec CI=0

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𝑯 𝒛 =
𝒀 𝒛
𝑼 𝒛
= 𝑪 𝒛𝑰𝒏 − 𝑨 −𝟏
𝑩 + 𝑫
Y 𝒛 = 𝑪 𝒛 𝑰𝒏 − 𝑨 −𝟏
𝑩 𝑼 𝒛 + 𝑫 𝑼 𝒛
𝒛 𝑰𝒏 − 𝑨 𝑿 𝒛 = 𝑩 𝑼 𝒛 et Y 𝒛 = 𝑪𝑿 𝒛 + 𝑫 𝑼 𝒛
𝒵 𝒙 𝒌 + 𝟏 = 𝓩 𝑨 𝒙 𝒌 + 𝓩 𝑩 𝒖 𝒌
𝒛 𝑿 𝒛 = 𝑨 𝑿 𝒛 + 𝑩 𝑼 𝒛
La matrice de réponse impulsionnelle 𝐻(𝑘) des équations
(III. 06 a) est donnée par :
(𝐈𝐈𝐈. 𝟎𝟕)

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𝑯 𝒌 = 𝒁−𝟏
𝑯 𝒛 =
𝑫 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒌 = 𝟎
𝑪𝑨𝒌−𝟏
𝑩 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒌 > 𝟎
III.2 Analyse des systèmes à temps discret linéaire
invariant dans le temps
Le problème de l'analyse des systèmes à temps discret
invariant dans le temps linéaire sera traité à l'aide de quatre
méthodes différentes, chaque méthode correspondant à l'un
des quatre modèles de description présentés dans la sous-
section précédente.
(III.8)

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a. Analyse basée sur l'équation aux différences
Nous présentons l'exemple d’introduction suivant:
Exemple III.1
Un système à temps discret est décrit par l'équation aux
différences
)
𝒚 𝒌 = 𝒖 𝒌 + 𝒂 𝒚(𝒌 − 𝟏
Avec la condition initiale 𝑦(−1).
- Résoudre l'équation aux différences, c'est-à-dire déterminer
𝑦(𝑘) .

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Solution :
L'équation aux différences peut être résolue pour
déterminer 𝑦(𝑘), en utilisant la transformée en 𝑍,
comme suit. Prenons, la transformée en 𝑍 des deux
côtés de l'équation pour obtenir :
𝒁 𝒚 𝒌 = 𝒁 𝒖 𝒌 + 𝒂 𝒁 )
𝒚(𝒌 − 𝟏
𝒀 𝒛 =
𝒂𝒚 −𝟏
𝟏 − 𝒂𝒛−𝟏
+
𝑼 𝒛
𝟏 − 𝒂𝒛−𝟏
Et ainsi

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𝒀 𝒛 =
𝒛 𝑼 𝒛 + 𝒂𝒚 −𝟏
𝒛 − 𝒂
=
𝒂𝒚 −𝟏 𝒛
𝒛 − 𝒂
+
𝑼 𝒛 𝒛
𝒛 − 𝒂
Supposons que l'excitation 𝑢(𝑘) soit la séquence de
l’échelon unité 𝛽 𝑘 . Dans ce cas
𝑼 𝒛 = 𝒁 𝜷 𝒌 =
𝒛
𝒛 − 𝟏
Alors, la sortie 𝑌 𝑧 devient
𝒀 𝒛 =
𝒛 − 𝒂
+
𝒛𝟐
𝒛 − 𝒂 (𝒛 − 𝟏)

Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO 23/88
𝒀 𝒛 =
𝑎𝑦 −1 𝑧
𝑧 − 𝑎
+
𝐴
𝑧 − 𝑎
+
𝐵
𝑧 − 1
𝑌 𝑧
𝑧
=
𝑎𝑦 −1
𝑧 − 𝑎
+
𝑎
𝑎 − 1
1
𝑧 − 𝑎
+
1
1 − 𝑎
1
𝑧 − 1
𝒀 𝒛 =
𝒛 − 𝒂
+
𝟏
𝟏 − 𝒂
𝒛
𝒛 − 𝟏
−
𝒂
𝟏 − 𝒂
𝒛
𝒛 − 𝒂

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Prenons-la transformée en 𝑍 inverse pour obtenir :
𝒚 𝒌 = 𝒂𝒌+𝟏
𝒚 −𝟏 +
𝟏
𝟏 − 𝒂
−
𝟏
𝟏 − 𝒂
𝒂𝒌+𝟏
L'expression de la sortie 𝒚(𝒌) converge clairement pour
𝒂 < 𝟏
La condition initiale 𝑦(−1) ne contribue que pendant la
période transitoire.

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La sortie 𝑦(𝑘), en régime permanent, prend la forme
𝒚𝒔𝒔 𝒌 =
𝟏
𝟏 − 𝒂
Où 𝑦𝑠𝑠 𝑘 désigne la valeur à l’état permanent de 𝑦 𝑘 .
La figure III.05 montre 𝑦 𝑘 lorsque la condition initiale
𝑦 −1 = 0 , l'entrée 𝑢 𝑘 = 𝛽 𝑘 𝑒𝑡 𝒂 < 𝟏 .

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Figure III.05 : Réponse du système de l'exemple III.1 lorsque 𝑦 −1 = 0,
𝑢 𝑘 = 𝛽 𝑘 𝑒𝑡 𝑎 < 1.

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L'entrée 𝑈 𝑧 , la sortie 𝑌(𝑧) et la fonction de transfert
𝐻(𝑧) sont liées par l'équation
𝒀 𝒛 = 𝑯 𝒛 𝑼 𝒛 d’où
c. Analyse basée sur la réponse impulsionnelle
L'entrée 𝑢 𝑘 , la sortie 𝑦(𝑘) et la réponse impulsionnelle est
ℎ(𝑘) , liées par la relation de convolution suivante :
𝒚 𝒌 = 𝒁−𝟏
𝒀 𝒛 = 𝒁−𝟏
𝑯 𝒛 𝑼 𝒛
b. Analyse basée sur la fonction de transfert

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𝒚 𝒌 = 𝒖 𝒌 ∗ 𝒉 𝒌 =
𝒊=−∞
∞
𝒖 𝒊 𝒉 𝒌 − 𝒊
Si le système est causal, c'est-à-dire si ℎ 𝑘 = 0 pour 𝑘 < 0,
alors la relation (III.09) devient
𝒚 𝒌 =
𝒊=𝟎
∞
𝒖 𝒊 𝒉 𝒌 − 𝒊 =
𝒊=𝟎
∞
𝒖 𝒌 − 𝒊 𝒉 𝒊
(𝑰𝑰𝑰. 𝟏𝟎)
(𝐈𝐈𝐈. 𝟎𝟗)
Produit de convolution

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Si à la fois le système et le signal d'entrée sont causaux,
c'est-à-dire si 𝒉 𝒌 = 𝟎 et 𝒖 𝒌 = 𝟎 pour 𝒌 < 𝟎, alors
l’équation (III.10) devient
𝒚 𝒌 =
𝒊=𝟎
𝐤
𝒉 𝒊 𝒖 𝒌 − 𝒊 =
𝒊=𝟎
𝐤
𝒉 𝒌 − 𝒊 𝒖 𝒊
Les valeurs 𝑦 0 , 𝑦 1 , ⋯ de la sortie 𝑦(𝑘) peuvent être
calculées à partir de l’équation (III.11) comme suit :
(𝐈𝐈𝐈. 𝟏𝟏)

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𝑦 0 = ℎ 0 𝑢 0 =
𝒊=𝟎
𝟎
𝒉 𝒊 𝒖 𝟎 − 𝒊
𝑦 1 = ℎ 0 𝑢 1 + ℎ 1 𝑢 0 =
𝒊=𝟎
𝟏
𝒉 𝒊 𝒖 𝟏 − 𝒊
𝑦 2 = ℎ 0 𝑢 2 + ℎ 1 𝑢 1 + ℎ 2 𝑢 0
⋮ ⋮ ⋮
𝑦 𝑘 = ℎ 0 𝑢 𝑘 + ℎ 1 𝑢 𝑘 − 1 + ⋯ + ℎ 𝑘 𝑢 0
ou de manière plus compacte 𝒚 = 𝑯𝒖 = 𝑼 𝒉
(III.12)

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𝒚 =
𝑦 0
𝑦 1
⋮
𝑦 𝑘
, 𝒖 =
𝑢 0
𝑢 1
⋮
𝑢 𝑘
, 𝒉 =
ℎ 0
ℎ 1
⋮
ℎ 𝑘
,
Où
𝑯 =
ℎ 0 0 ⋯ 0
ℎ 1 ℎ 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
ℎ 𝑘 ℎ 𝑘 − 1 ⋯ ℎ 0
et 𝑼 =
𝑢 0 0 ⋯ 0
𝑢 1 𝑢 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑢 𝑘 𝑢 𝑘 − 1 ⋯ 𝑢 0

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Remarque III.1
L'équation (III. 12)peut être utilisée pour déterminer la
réponse impulsionnelle 𝒉 𝒌 sur la base de l'entrée 𝒖 𝒌
et de la sortie 𝒚 𝒌 . En effet, de l'équation (III. 12), nous
avons cela
𝒉 = 𝑼−𝟏
𝒚 𝑠𝑖 𝒖 𝟎 ≠ 𝟎
La procédure ci-dessus est appelée déconvolution (car elle
est l'inverse de la convolution) et constitue une méthode
d'identification simple pour un système à temps discret.
(III.13)

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d. Analyse basée sur les équations d'état
Considérons les équations d'état (III.06). De l'équation (III.06
a), 𝒙 𝒌 + 𝟏 = 𝑨 𝒙 𝒌 + 𝑩 𝒖 𝒌
Nous avons cela
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝒌 = 𝟎 ∶ 𝒙 𝟏 = 𝑨 𝒙 𝟎 + 𝑩 𝒖 𝟎
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝒌 = 𝟏 ∶ 𝒙 𝟐 = 𝑨 𝒙 𝟏 + 𝑩 𝒖 𝟏 = 𝑨 𝑨 𝒙 𝟎 +

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𝒙 𝟑 = 𝑨 𝒙 𝟐 + 𝑩 𝒖 𝟐
= 𝑨 𝑨𝟐
𝒙 𝟎 + 𝑨 𝑩 𝒖 𝟎 + 𝑩 𝒖 𝟏 + 𝑩 𝒖
𝒙 𝟑 = 𝑨𝟑
𝒙 𝟎 + 𝑨𝟐
𝑩 𝒖 𝟎 + 𝑨𝑩 𝒖 𝟏 + 𝑩 𝒖 𝟐
Si nous continuons cette procédure pour 𝑘 = 3, 4, 5, ⋯
nous arrivons à l'expression générale suivante pour 𝑥 𝑘 :
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝒌 = 𝟐 ∶

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ou plus compactement
𝒙 𝒌 = 𝑨𝒌
𝒙 𝟎 +
𝒊=𝟎
𝒌−𝟏
𝑨𝒌−𝒊−𝟏
𝑩 𝒖 𝒊
Selon l’équation (III.06 b), le vecteur de sortie 𝑦 𝑘 est
𝒚 𝒌 = 𝑪 𝒙 𝒌 + 𝑫 𝒖 𝒌 ou
𝒚 𝒌 = 𝑪𝑨𝒌
𝒙 𝟎 + 𝑪
𝒊=𝟎
𝒌−𝟏
𝑩 𝒖 𝒊 + 𝑫 𝒖 𝒌
où on a utilisé l'équation (III.14).
(𝑰𝑰𝑰. 𝟏𝟒)
(𝑰𝑰𝑰. 𝟏𝟓)

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𝜙 𝑘 = 𝐴𝑘
La matrice 𝜙 𝑘 est analogue à la matrice 𝜙 𝑡 des
systèmes à temps continu (voir Tableau III.1).
La matrice 𝑨𝒌
est appelée matrice fondamentale ou de
transition du système (2.8) et est notée comme suit :
(III.16)

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Méthode de description Système à temps continu Système à temps discret
Équation d’espace d’état 𝑥 𝑡 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡
𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘
Matrice de transition 𝜙 𝑡 = 𝑒𝐹𝑡
𝜙 𝑘 = 𝐴𝑘
Transformées en ℒ/𝒵 de
la matrice de transition Φ 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐹 −1
Φ 𝑧 = 𝑧 𝑧𝐼 − 𝐴 −1
Matrice de fonction de
transfert 𝐻 𝑠 = 𝐶Φ 𝑠 𝐺 + 𝐷 𝐻 𝑧 = 𝑧−1𝐶Φ 𝑧 𝐵 + 𝐷
Matrice de réponse
impulsionnelle
𝐻 𝑡 = 𝐶𝜙 𝑡 𝐺 + 𝐷𝛿 𝑡 𝐻 𝑘 = 𝜙 𝑘 − 1 𝐺 + 𝐷 pour 𝑘 > 0
𝐻 𝑘 = 𝐷 pour 𝑘 = 0
Tableau III.1: Comparaison des méthodes de description entre les systèmes à
temps continu et à temps discret. Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO

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Le vecteur d'état 𝒙 𝒌 peut également être calculé à partir
de l’équation (III.06 a) en utilisant la forme en 𝑍 comme suit :
Prenons, la transformée en 𝑍 des deux côtés de l'équation pour
obtenir
𝑜𝑢 𝑿 𝒛 = 𝒛 𝒛 𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝒙 𝟎 + 𝒛 𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝑩 𝑼 𝒛
En prenant l'inverse de la transformée en 𝑍, nous avons
𝒛 𝑿 𝒛 − 𝒛 𝒙 𝟎 = 𝑨 𝑿 𝒛 + 𝑩 𝑼 𝒛

Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO 39/85
𝒙 𝒌 = 𝓩−𝟏
𝒛 𝒛 𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝒙 𝟎 +𝓩−𝟏
𝒛 𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝑩 𝑼 𝒛
𝒙 𝒌 = 𝓩−𝟏
𝑿 𝒛
𝒙 𝟎 + 𝑨𝒌−𝟏
∗ 𝑩 𝒖 𝒌
𝒙 𝟎 +
𝒊=𝟎
𝒌−𝟏
𝑩 𝒖 𝒊
(𝑰𝑰𝑰. 𝟏𝟔)

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𝝓 𝒌 = 𝑨𝒌
= 𝓩−𝟏
𝒛 𝒛𝑰 − 𝑨 −𝟏
Il est évident que la matrice de transition d'état peut aussi
être exprimée comme
L'équation (III.16) est en accord avec l’équation (III.13),
comme prévu.
(𝐈𝐈𝐈. 𝟏𝟕)

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Remarque III.2
Lorsque les conditions initiales sont réunies pour 𝒌 = 𝒌𝟎 ,
les résultats ci-dessus prennent les formes générales suivantes :
𝒙 𝒌 = 𝝓 𝒌 − 𝒌𝟎 𝒙 𝒌𝟎 +
𝒊=𝒌𝟎
𝒌−𝟏
𝝓 𝒌 − 𝒊 − 𝟏 𝑩 𝒖 𝒊
𝒚 𝒌 = 𝑪𝝓 𝒌 − 𝒌𝟎 𝒙 𝒌𝟎
+𝑪
𝒊=𝒌𝟎
𝒌−𝟏
𝝓 𝒌 − 𝒊 − 𝟏 𝑩 𝒖 𝒊 + 𝑫𝒖 𝒌

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III.3 Conversion de 𝑮 𝒔 𝐞𝐧 𝑮 𝒛
Pour convertir une fonction de transfert en temps
continu 𝐺 𝑠 en une fonction de transfert 𝐺 𝑧 du système
discrétisé, différentes techniques ont été proposées. Dans
ce qui suit, nous présentons brièvement certaines des
techniques les plus populaires.

43/85
a) La méthode de la différence arrière
Pour simplifier, considérons le cas d'un système de
premier ordre décrit par la fonction de transfert
L'équation différentielle du système est
𝒚 𝟏
= −𝒂𝒚 + 𝒂 𝒖
𝑮 𝒔 =
𝒀 𝒔
𝑼 𝒔
=
𝒂
𝒔 + 𝒂

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Supposons que l'on veut déterminer les valeurs de la sortie
𝑦(𝑡) aux instants d'échantillonnage, c'est-à-dire aux points où
𝑡 = 𝑘𝑇.
En intégrant les deux côtés de l’équation différentielle de
0 à 𝑡, on obtient
𝟎
𝒕
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒕 = −𝒂
𝟎
𝒕
𝒚 𝒅𝒕 + 𝒂
𝟎
𝒕
𝒖 𝒅𝒕

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Alors, l'équation intégrale ci-dessus devient
𝟎
𝒌𝑻
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒕 =
𝟎
𝒌𝑻
𝒅𝒚 = −𝒂
𝟎
𝒌𝑻
𝟎
𝒌𝑻
𝒖 𝒅𝒕
Par conséquent, nous obtenons :
𝒚 𝒌𝑻 − 𝒚 𝟎 = −𝒂
𝟎
𝒌𝑻
𝟎
𝒌𝑻
𝒖 𝒅𝒕 (𝐼𝐼𝐼. 22)

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𝑦 𝑘 − 1 𝑇 − 𝑦 0 = −𝑎
0
𝑘−1 𝑇
𝑦 𝑑𝑡 + 𝑎
0
𝑘−1 𝑇
𝑢 𝑑𝑡 (𝐼𝐼𝐼. 23)
En substituant 𝑘𝑇 par 𝑘 − 1 𝑇 dans cette équation, on obtient
𝟎
𝒌𝑻
=
𝟎
(𝒌−𝟏)𝑻
+
(𝒌−𝟏)𝑻
𝒌𝑻
𝟎
𝒌𝑻
−
𝟎
𝒌−𝟏 𝑻
=
(𝒌−𝟏)𝑻
𝒌𝑻

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Soustrayant l’équation (III.22) de l'équation (III.21), nous
obtenons en outre
𝒚 𝒌𝑻 − 𝒚 𝒌 − 𝟏 𝑻
= −𝒂
𝒌−𝟏 𝑻
𝒌𝑻
𝒌−𝟏 𝑻
𝒌𝑻
𝒖 𝒅𝒕 (𝐼𝐼𝐼. 24)
Les deux termes sur le côté droit de l'équation (III.23) peuvent
être calculés de différentes manières.

48/85
𝒚 𝒌𝑻 − 𝒚 𝒌 − 𝟏 𝑻 = −𝒂 𝒚 𝒌𝑻 𝒕 𝒌−𝟏 𝑻
𝒌𝑻
+𝒂 𝒖 𝒌𝑻 𝒕 𝒌−𝟏 𝑻
𝒌𝑻
la méthode de différence arrière, alors l’équation
(III.23) prend la forme (d’après la figure III.06, où
l’intégrale est la surface entre 2 périodes)

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𝒚 𝒌𝑻 = 𝒚 𝒌 − 𝟏 𝑻
𝒚 𝒌𝑻 = 𝒚 𝒌 − 𝟏 𝑻 − 𝒂𝑻 𝒚 𝒌𝑻 − 𝒖 𝒌𝑻 (III.24)
De toute évidence, l’équation (III.24) est l'équation aux
différences équivalente de l'équation différentielle (III.06).
Pour trouver 𝐺 𝑧 , il suffit de prendre la transformation en 𝒵
de l’équation (III.24) pour donner
−𝐚 𝒌𝑻 − 𝒌 − 𝟏 𝑻 𝒚 𝒌𝑻 − kT−(k−1)T u(kT

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→ 𝑮 𝒛 =
𝒀 𝒛
𝑼 𝒛
=
𝒂
𝟏 − 𝒛−𝟏
𝑻
+ 𝒂
𝓩 𝒚 𝒌𝑻 = 𝓩 𝒚 𝒌 − 𝟏 𝑻 − 𝓩 𝒂𝑻 𝒚 𝒌𝑻 − 𝒖 𝒌𝑻
𝒀 𝒛 = 𝒛−𝟏
𝒀 𝒛 − 𝒂𝑻𝒀 𝒛 + 𝒂𝑻 𝑼 𝒛
→ 𝒀 𝒛 𝟏 − 𝒛−𝟏
+ 𝒂𝑻 = 𝒂𝑻 𝑼 𝒛
(𝐼𝐼𝐼. 25)

51/85
𝑮 𝒛 = 𝑮 𝒔
𝒔= 𝟏−𝒛−𝟏 𝑻
En étendant les résultats de l'exemple ci-dessus au cas général,
nous arrivons à la procédure suivante pour discrétiser 𝐺(𝑠)
en utilisant la méthode de la différence arrière :
(𝐼𝐼𝐼. 27)

52/85
Figure III.06 : Approximation de la surface utilisant (a) la méthode de la
différence arrière

53/85
Dans ce cas, l'approximation des deux termes du côté droit
de l’équation (III.24) est effectuée, comme indiqué sur la
figure III.06b.
En travaillant de la même manière que dans le cas
précédent, nous arrivons au résultat suivant pour discrétiser
𝑮(𝒔) en utilisant la méthode de différence avant :
b) La méthode de la différence avant

54/85
Figure III.06 :
Approximation
de la surface utilisant
(b) la méthode de la
différence avant.
(c) la méthode de Tustin
ou la méthode du trapèze.

55/85
𝒔= 𝟏−𝒛−𝟏 𝑻𝒛−𝟏
c) La méthode de transformation bilinéaire ou la méthode
trapézoïdale ou la méthode de transformation de Tustin
La transformation de Tustin est basée sur l'approximation
des deux termes du côté droit de l'équation (III.24) en
utilisant la règle trapézoïdale, comme illustré à la figure
III.06c. Cela conduit au résultat suivant pour discrétiser
𝐺(𝑠) :
𝒔=𝟐 𝑻 𝟏−𝒛−𝟏 𝟏+𝒛−𝟏
(𝐼𝐼𝐼. 29)
(𝐼𝐼𝐼. 28)

56/85
Dans ce cas, 𝐺(𝑠) et 𝐺(𝑧) présentent tous deux une
caractéristique commune : leurs fonctions d’impulsion
respectives 𝑔 𝑡 𝑒𝑡 𝑔 𝑘𝑇 sont égales pour
𝑡 = 𝑘𝑇. Ceci est réalisé quand
𝑮 𝒛 = 𝓩 𝒈 𝒌𝑻 ,
𝒈 𝒌𝑻 = 𝓛−𝟏
𝑮 𝒔
𝒕=𝒌𝑻
d) La méthode de réponse impulsionnelle invariante
(𝐼𝐼𝐼. 30)
𝑜ù

57/85
Dans ce cas, 𝐺(𝑠) et 𝐺(𝑧) présentent la
caractéristique commune que leurs réponses en
échelon, à savoir la réponse 𝒚(𝒕) produite par
l'excitation 𝒖 𝒕 = 𝟏(𝒕) et la réponse 𝒚 𝒌𝑻 produite
par l'excitation 𝒖 𝒌𝑻 = 𝟏(𝒌𝑻), sont égales pour
𝒕 = 𝒌𝑻. Ceci est réalisé quand
e) La méthode de réponse indicielle invariante

58/85
où, évidemment, le côté gauche de l’équation (III.31) est égal
à 𝒚 𝒌𝑻 , tandis que le côté droit est égal à 𝑦(𝑡) à 𝒕 = 𝒌𝑻.
𝑦 𝑘𝑇 = 𝒵−1
𝑌 𝑧 = 𝒵−1
𝐺 𝑧 𝑈 𝑧
= 𝒚 𝒕
𝒕=𝒌𝑻
(𝐼𝐼𝐼. 31)

59/85
Appliquons la transformation en 𝑍 sur l’équation (III.31),
nous obtenons
𝐺 𝑧 = 1 − 𝑧−1
𝒵
𝐺 𝑠
𝑠
Où 𝐺ℎ 𝑠 est la fonction de transfert du circuit bloqueur
d'ordre zéro présenté précédemment.
𝐺 𝑧 = 𝓩 𝑮𝒉 𝒔 𝑮 𝒔
= 𝒵
𝐺 𝑠
𝑠
− 𝒵
𝑒−𝑇𝑒𝑠
𝑠
𝐺 𝑠 = 𝒵
1 − 𝑒−𝑇𝑠
𝑠
𝐺 𝑠
(𝐼𝐼𝐼. 32)

60/85
Méthode de correspondance pôle-zéro
Considérons la fonction de transfert généralisée
𝑮 𝒔 = 𝑲𝒔
𝒔 + 𝝁𝟏 𝒔 + 𝝁𝟐 ⋯ 𝒔 + 𝝁𝒎
𝒔 + 𝝅𝟏 𝒔 + 𝝅𝟐 ⋯ 𝒔 + 𝝅𝒏
, 𝒎 ≤ 𝒏
Ensuite, la méthode de correspondance pôle-zéro suppose
que 𝐺(𝑧) , a la forme générale
𝑮 𝒛 = 𝑲𝒛
𝒛 + 𝟏 𝒏−𝒎
𝒛 + 𝒛𝟏 𝒛 + 𝒛𝟐 ⋯ 𝒛 + 𝒛𝒎
𝒛 + 𝒑𝟏 𝒛 + 𝒑𝟐 ⋯ 𝒛 + 𝒑𝒏
(𝐼𝐼𝐼. 33)
(𝐼𝐼𝐼. 34)

61/85
où les 𝒛𝒊 et 𝒑𝒊 sont '' unis '' respectivement aux
𝝁𝒊 𝑒𝑡 𝝅𝒊 selon les relations suivantes
Les 𝒏 − 𝒎 multiples zéros 𝒛 + 𝟏 𝒏−𝒎
qui apparaissent
dans 𝑮 𝒛 représentent la différence d'ordre entre le polynôme
du numérateur et le polynôme du dénominateur dans
l'équation (III.34).
La constante 𝑲𝒛 est calculée pour satisfaire des exigences
particulières. Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO
(𝑰𝑰𝑰. 𝟑𝟓)
𝒛𝒊 = −𝒆𝝁𝒊𝑻
𝒛é𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑮 𝒛 𝒆𝒕
𝒑𝒊 = −𝒆𝝅𝒊𝑻
(𝒑ô𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑮 𝒛 )

62/85
Par exemple, lorsque nous nous intéressons au comportement
d'un système à basses fréquences (et c'est le cas habituel dans
les systèmes de contrôle), 𝐾𝑧 est choisi tel que
𝐺 𝑠 𝑒𝑡 𝐺(𝑧) soient égaux respectivement pour
𝒔 = 𝟎 𝒆𝒕 𝒛 = 𝟏 ,
la relation suivante est valable :
𝑮 𝒛
𝒛=𝟏
= 𝑲𝒛
𝟐 𝒏−𝒎
𝟏 + 𝒛𝟏 𝟏 + 𝒛𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒛𝒎
𝟏 + 𝒑𝟏 𝟏 + 𝒑𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒑𝒏
= 𝑮 𝒔
𝒔=𝟎
= 𝑲𝒔
𝝁𝟏𝝁𝟐 ⋯ 𝝁𝒎
𝝅𝟏𝝅𝟐 ⋯ 𝝅𝒎

63/85
on peut facilement déterminer 𝑲𝒛
Notons que lorsqu'un terme de second ordre apparaît dans
𝐺 𝑠 , alors la méthode de correspondance pôle-zéro donne la
«correspondance» suivante :
𝒔 + 𝒂 𝟐
+ 𝒃𝟐
⟹ 𝒛𝟐
− 𝟐 𝒆−𝒂𝑻
𝒄𝒐𝒔 𝒃𝑻 𝒛 + 𝒆−𝟐𝒂𝑻
Exemple III.3
Considérons un système à temps continu de second ordre ayant
la fonction de transfert suivante

64/85
- Trouvez 𝐻 𝑧 en utilisant la méthode de réponse
impulsionnelle invariante.
𝑯 𝒔 =
𝒃
𝒔 𝒔 + 𝒂
=
𝒃
𝒂
𝟏
𝒔
−
𝟏
𝒔 + 𝒂
Solution : Nous avons
𝒉 𝒕 = 𝓛−𝟏
𝑯 𝒔 =
𝒃
𝒂
𝓛−𝟏
𝟏
𝒔
−
𝟏
𝒔 + 𝒂
=
𝒃
𝒂
𝟏 − 𝒆−𝒂𝒕
𝑜𝑢 𝒉 𝒌𝑻 = 𝒉 𝒕
𝒕=𝒌𝑻
=
𝒃
𝒂
𝟏 − 𝒆−𝒂𝒌𝑻

65/85
La transformée en 𝒵 de ℎ(𝑘𝑇) est
𝑯 𝒛 = 𝓩 𝒉 𝒌𝑻 =
𝒃
𝒂
𝒌=𝟎
∞
𝟏 − 𝒆−𝒂𝒌𝑻
𝒛−𝒌
𝑯 𝒛 =
𝒃𝒛−𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻
𝒂 𝟏 − 𝒛−𝟏 𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻𝒛−𝟏
=
𝒃
𝒂
𝟏 − 𝒛−𝟏
−
𝒃
𝒂
𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻𝒛−𝟏
𝑜𝑢

66/85
Exemple III.4
Considérons un système à temps continu du second ordre ayant
la fonction de transfert suivante :
𝑯 𝒔 =
𝟐
𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝒂
𝑯 𝒛 = 𝒁 𝑮𝒉 𝒔 𝑯 𝒔 = 𝒁
𝟏 − 𝒆−𝑻𝒔
𝒔
𝑯 𝒔
nous avons ∶
= 𝟏 − 𝒛−𝟏
𝒁
𝑯 𝒔
𝒔
- Trouvez 𝐻(𝑧) en utilisant la méthode du bloqueur BOZ

67/85
𝑯 𝒔
𝒔
=
𝟐
𝒔 𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝒂
=
𝟏
𝒔
−
𝟐
𝒔 + 𝟐
+
𝟏
𝒔 + 𝟐
utilisons la relation,
et par les tables des transformés en, nous obtenons
𝓩
𝑯 𝒔
𝒔
=
𝟏
𝟏 − 𝒛−𝟏
−
𝟐
𝟏 − 𝒆−𝑻𝒛−𝟏
+
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝟐𝑻𝒛−𝟏

68/85
Par conséquent
𝑯 𝒛 = 𝟏 − 𝒛−𝟏
𝟏
𝟏 − 𝒛−𝟏
−
𝟐
𝟏 − 𝒆−𝑻𝒛−𝟏
+
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝟐𝑻𝒛−𝟏
2.3.4 Conversion d'équations d'état différentielles
(continu) en équations d'état aux différences (discret)
Considérons le système en boucle ouverte MIMO (multi-
input--multi-output) à temps continu illustré à la figure
III.07. Que ce système soit décrit dans l'espace d'état par les
équations
𝑯 𝒛 = 𝟏 − 𝒛−𝟏
𝒁
𝑯 𝒔
𝒔

69/85
𝒙 𝒕 = 𝑭 𝒙 𝒕 + 𝑮 𝒎 𝒕
𝒚 𝒕 = 𝑪 𝒙 𝒕 + 𝑫 𝒎 𝒕
(𝐼𝐼𝐼. 36)
Figure III.07 : Système en boucle ouverte avec un échantillonneur et un
circuit de blocage.

70/85
Nous montrerons que les équations (III. 36a et b) peuvent
être approximativement écrites sous la forme d’équations
aux différences. À cette fin, considérons le vecteur
d'excitation constant par morceaux 𝑚(𝑡) décrit par
𝑚 𝑡 = 𝑢 𝑘𝑇 , 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑘 + 1 𝑇 (𝐼𝐼𝐼. 37)
Ensuite, résoudre l’équation (III.36a) pour 𝑥(𝑡) , nous
avons pour le système continu
𝒙 𝒕 = 𝒆𝑭𝒕
𝒙 𝟎 +
𝟎
𝒕
𝒆𝑭 𝒕−𝝃
𝑮 𝒎 𝝃 𝒅𝝃 (𝑰𝑰𝑰. . 𝟑𝟖)

71/85
Selon l’équation (III.37), 𝑚 0 = 𝑢(0) pour 0 ≤ 𝑡 < 𝑇
et donc l’équation (III.38) devient
𝒙 𝒕 = 𝒆𝑭𝒕
𝒙 𝟎 +
𝟎
𝒕
𝒆𝑭 𝒕−𝝃
𝑮 𝒖 𝟎 𝒅𝝃 (𝐼𝐼𝐼. 39)
Le vecteur d'état 𝑥(𝑡), pour 𝑡 = 𝑇, sera
𝒙 𝑻 = 𝒆𝑭𝑻
𝒙 𝟎 +
𝟎
𝑻
𝒆𝑭 𝑻−𝝃
𝑮 𝒅𝝃 𝒖 𝟎 (𝑰𝑰𝑰. 𝟒𝟏)

72/85
On définit 𝑨 𝑻 = 𝒆𝑭𝑻
𝑩 𝑻 =
𝟎
𝑻
𝒆𝑭 𝑻−𝝃
𝑮 𝒅𝝀,
(III.44)
𝒙 𝑻 = 𝑨 𝑻 𝒙 𝟎 + 𝑩 𝑻 𝒖 𝟎
Répétant la procédure ci-dessus pour 𝑇 ≤ 𝑡 < 2𝑇,
2𝑇 ≤ 𝑡 < 3𝑇 , etc., on arrive à la formule générale suivante :
(𝐼𝐼𝐼. 43)
(III. 42)
𝐨ù 𝝀 = 𝑻 − 𝝃 ; 𝒖 𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕

73/85
𝒙 𝒌 + 𝟏 𝑻 = 𝑨 𝑻 𝒙 𝒌𝑻 + 𝑩 𝑻 𝒖 𝒌𝑻
L’équation de sortie (III.36b) peut donc être écrite comme
𝒚 𝒌𝑻 = 𝑪 𝒙 𝒌𝑻 + 𝑫 𝒖 𝒌𝑻
Par conséquent, les équations différentielles d'état (III.36)
peuvent être écrites comme un système d'équations aux
différences, comme suit :
𝒙 𝒌 + 𝟏 𝑻 = 𝑨 𝑻 𝒙 𝒌𝑻 + 𝑩 𝑻 𝒖 𝒌𝑻 ,
𝒚 𝒌𝑻 = 𝑪 𝒙 𝒌𝑻 + 𝑫 𝒖 𝒌𝑻
L’équation d’état
(III. 45)

74/85
Les équations d'état (III.36) et (III.46) ne sont équivalentes
que pour les instants temporels 𝑡 = 𝑘𝑇 sous la contrainte que
les vecteurs d'entrée 𝑚 𝑡 et 𝑢(𝑡) satisfassent à la
condition (III.38).
Remarque III.3
La matrice de fonction de transfert du système à temps
continu (III.36) est 𝑯 𝒔 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
𝑮 + 𝑫 et la
matrice de fonction de transfert du système discret équivalent
(III.45) est
G(z)=H 𝒛 = 𝑪 𝒛𝑰 − 𝑨 𝑻 −𝟏
𝑩 𝑻 + 𝑫

75/85
Ces deux matrices sont liées comme suit :
𝑯 𝒛 = 𝒁 𝑮𝒉 𝒔 𝑯 𝒔 = 𝒁
𝟏 − 𝒆−𝑻𝒔
𝒔
𝑯 𝒔 (𝑰𝑰𝑰. 𝟒𝟔)
Cela signifie que la matrice 𝐺 𝑧 est équivalente à la
matrice 𝐻 𝑠 au sens de la réponse à l’échelon invariante
(voir l’équation (III.31)).

76/85
Passant de la description de l’espace d’état en temps continu
(III.36) à la description de l’espace d’état en temps discret
(données échantillonnées) (III-44), nous devons déterminer
les matrices 𝑨 𝑻 et 𝑩(𝑻) en utilisant la définition (III.42).
Pour la détermination de 𝐴 𝑇 , nous notons qu'il est facile
de réaliser la relation suivante :
𝑨 𝑻 = 𝒆𝑭𝒕
𝒕=𝑻
= 𝑳−𝟏
𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
𝒕=𝑻
Remarque III.4
(III. 45a)

77/85
L'équation (III.45a) facilite la détermination de 𝐵(𝑇),
puisque, selon la définition (III.43) de 𝐵(𝑇), nous avons
cette
𝑩 𝑻 =
𝟎
𝑻
𝑳−𝟏
𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
𝒕=𝝀
𝑮 𝒅𝝀 =
𝟎
𝑻
𝑨 𝝀 𝑮 𝒅𝝀
(III. 45b)
Considérons le système à temps continu
Exemple III.5
𝒙 𝒕 = 𝑭 𝒙 𝒕 + 𝒈 𝒎 𝒕
𝒚 𝒕 = 𝒄 𝑻
𝒙 𝒕

78/85
𝐨ù 𝑭 =
−𝟏 𝟎
𝟏 𝟎
, 𝒈 =
𝟐
𝟏
, 𝒄 =
𝟎
𝟏
- Trouver le système équivalent à temps discret (données
échantillonnées), c'est-à-dire trouver la matrice 𝐴 𝑇 et le
vecteur 𝑏 𝑇 .
Solution : Nous avons
𝒔𝑰 − 𝑭 =
𝒔 + 𝟏 𝟎
−𝟏 𝒔
,
𝓛−𝟏
𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
= 𝒆−𝒕
𝟎
𝟏 − 𝒆−𝒕
𝟏
𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
=
𝟏
𝒔 + 𝟏
𝟎
𝟏
𝒔 𝒔 + 𝟏
𝟏
𝒔

79/85
𝑨 𝑻 = 𝓛−𝟏
𝒔𝑰 − 𝑭 −𝟏
𝒕=𝑻
= 𝒆−𝑻
𝟎
𝟏 − 𝒆−𝑻
𝟏
De plus, de l’équation (III.45b) de 𝑏(𝑇), nous obtenons :
𝒃 𝑻 =
𝟎
𝑻
𝒆𝑭𝝀
𝒈 𝒅𝝀 =
𝟎
𝑻
𝒆−𝑻
𝟎
𝟏 − 𝒆−𝑻
𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝝀
=
𝟐 𝟏 − 𝒆−𝑻
𝟑𝑻 − 𝟐 𝟏 − 𝒆−𝑻
=
𝟎
𝑻
𝟐𝒆−𝑻
𝟑 − 𝟐𝒆−𝑻 𝒅𝝀
Par conséquent, de l’équation (III.45a), nous obtenons

80/85
III.5 Analyse des systèmes de données échantillonnées
Pour résoudre les équations (III.45), nous exploitons les
résultats de la sous-section précédente III.2, car ils ne diffèrent
que par la constante T dans les équations (III.44). Nous avons
donc que la solution générale de l'équation (III.43a) est donnée
par :
1. Analyse basée sur les équations d'état

81/85
𝒚 𝒌𝑻 = 𝒄 𝝓 𝒌 − 𝒌𝟎 𝑻 𝒙 𝒌𝟎𝑻
+𝒄
𝒊=𝒌𝟎
𝒌−𝟏
𝝓 𝒌 − 𝒊 − 𝟏 𝑻 𝑩 𝑻 𝒖 𝒊 𝑻
Et la solution générale de l’équation (III.45) par :
(𝐼𝐼𝐼. 46𝑏)
+
𝒊=𝒌𝟎
𝒌−𝟏
𝝓 𝒌 − 𝒊 − 𝟏 𝑻 𝑩 𝑻 𝒖 𝒊 𝑻
𝒙 𝒌𝑻 = 𝝓 𝒌 − 𝒌𝟎 𝑻 𝒙 𝒌𝟎𝑻
(𝐼𝐼𝐼. 46𝑎)

82/85
Où 𝜙 𝑘 − 𝑘0 𝑇 est la matrice de transition, donnée par la
relation :
𝝓 𝒌 − 𝒌𝟎 𝑻 = 𝑨 𝑻 𝒌−𝒌𝟎
Il est clair que, si on règle 𝑇 = 1 dans les équations (III.46a
et b), on obtient alors respectivement les formules (III.13) et
(III.14).
2. Analyse basée sur 𝑯 𝒌𝑻
Considérons le système temps continu illustré à la figure
III.08, où les deux échantillonneurs sont synchronisés.

83/85
Figure III.08 : Système à temps continu avec échantillonneurs
d’entrée et de sortie.
Le vecteur de sortie 𝑦 𝑘𝑇 , c’est-à-dire le vecteur 𝑦 𝑡 aux
points d’échantillonnage 𝑡 = 𝑘𝑇 , est :
𝒚 𝒌𝑻 =
𝒊=𝟎
∞
𝑯 𝒌𝑻 − 𝒊 𝑻 𝒖 𝒊 𝑻 III. 47

84/85
L'équation (III.47) représente, comme on le sait déjà, une
convolution. Si nous fixons 𝑇 = 1, alors l’équation (III.47)
est la forme vectorielle de la convolution scalaire (III.11).
3 Analyse basée sur 𝑯 𝒛
Si nous prenons la transforme en 𝒵 de l’équation (III.47), on
obtient l'expression suivante pour le vecteur de sortie :
𝒀 𝒛 = 𝑯 𝒛 𝑼 𝒛 III. 48
𝑼 𝒁 = 𝒁 𝒖 𝒌𝑻 𝐞𝐭 𝑯 𝒁 = 𝒁 𝑯 𝒌𝑻
𝑜ù 𝒀 𝒛 = 𝒁 𝒚 𝒌𝑻 ,

85/85
- trouver :
(a) La matrice de transition 𝜙 𝑘𝑇
(b) Le vecteur d'état-espace 𝑥 𝑘𝑇
(c) Le vecteur de sortie 𝑦 𝑘𝑇
Solution : a) 𝝓 𝒛 = 𝒁 𝝓 𝒌𝑻 = 𝒛 𝒛𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝐴 =
0 1
−1 0
,
=
𝟏
𝒛𝟐 + 𝟏
𝒛𝟐
𝒛
−𝒛 𝒛𝟐
𝑏 =
1
1
, 𝑐 =
1
0
Exemple III.05
Pour le système discret suivant , pour 𝑇 = 1𝑠,

86/85
𝝓 𝒌𝑻 =
𝒄𝒐𝒔
𝒌𝝅𝑻
𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝒌𝝅𝑻
𝟐
−𝒔𝒊𝒏
𝒌𝝅𝑻
𝟐
𝒄𝒐𝒔
𝒌𝝅𝑻
𝟐
En utilisant le tableau de paires transformées en 𝑍 , nous avons
𝝓 𝒌𝑻 =
𝒁−𝟏
𝒛𝟐
𝒛𝟐 + 𝟏
𝒁−𝟏
𝒛
𝒛𝟐 + 𝟏
𝒁−𝟏
−𝒛
𝒛𝟐 + 𝟏
𝒁−𝟏
𝒛𝟐
𝒛𝟐 + 𝟏
Par conséquent,

85/87
(c) Finalement, la sortie du système est donnée par
𝒚 𝒌𝑻 = 𝒄𝑻
𝒙 𝒌𝑻 = 𝟏 𝟎 𝒙 𝒌𝑻 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔
𝒌𝝅𝑻
𝟐
𝑑′
𝑜ù 𝒙 𝒌𝑻 = 𝒁−𝟏
𝑿 𝒛 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔
𝒌𝝅𝑻
𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝒌𝝅𝑻
𝟐
=
𝟏
𝒛𝟐 + 𝟏 𝒛 − 𝟏
𝒛 𝒛 + 𝟏
𝒛 𝒛 − 𝟏
𝒃 𝑿 𝒁 = 𝒛𝑰 − 𝑨 −𝟏
𝑩 𝑼 𝒛 =
𝟏
𝒛𝟐 + 𝟏
𝒛 𝟏
−𝒛 𝒛
𝟏
𝟏
𝒛
𝒛 − 𝟏

Pr CHENAFA Mohammed, Génie Electrique (SAE), ENPO 88
Fin du Chapitre 3
Merci de votre bonne attention

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