Manuscrit

1. Travail récent
ETUDE DU COMPORTEMENT THERMOMECANIQUE
DES PLAQUES EN MATERIAUX
A FONCTIONALITES GRADUEES
Présenté par le Doctorant:
MOHAMED EL IBRAHIMI
Encadré par Monsieur le Professeur:
A.SAMAOUALI
LABORATOIRE DE
THERMODYNAMIQUE
& ENERGETIQUE
UNIVERSITE
MOHAMMED V
FACULTE DES SCIENCES
RABAT

2. Introduction
Application aux moteurs-turbines à gaz
(Aéronautique & Marine):
-L’efficacité énergétique.
-L’isolation thermique.
-La protection contre la corrosion.
-Réduction d’émission de gaz nocifs.
• L’objectif est d’étudier le phénomène
du flambage thermique des FGM.
• Pour atteindre cet objectif, l’étude du
Transfert thermique à travers ces plaques
est nécessaire.
Fig1: description Schematique d’une plaque FGM en LZ7C3 / 8YSZ *
* Sumei Zhao and al, «http://dx.doi.org/10.1016/j.jallcom.2014.01.001»
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3. Formulation du problème
Differential transformation method pour l’analyse du transfert
de la chaleur à travers une plaque FGM avec la conductivité thermique
dépendante de la température
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4. L’Equation de la chaleur
𝒅
𝒅𝒛
𝒌(𝒛, 𝑻)
𝒅𝑻(𝒛)
𝒅𝒛
= 𝟎 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ
Les conditions au Bords
−𝒌 𝟏 𝑻
𝒅𝑻 𝒛
𝒅𝒛 𝒛=𝟎
= 𝒉 𝟏 𝑻 𝒖 − 𝑻(𝒛 = 𝟎) + 𝝐 𝝈 (𝑻 𝒖
𝟒
− 𝑻 𝟒
(𝒛 = 𝟎))
−𝒌 𝟐 𝑻
𝒅𝑻 𝒛
𝒅𝒛 𝒛=𝒉
= 𝒉 𝟐 𝑻 𝒛 = 𝒉 − 𝑻 𝒅
La conductivité thermique
𝒌 𝒛, 𝑻 = 𝒌 𝟏 𝑻 𝒆 𝒏 𝒑 𝑻
𝒛
𝒉
𝒏 𝒑 𝑻 = 𝒍𝒏
𝒌 𝟐 𝑻
𝒌 𝟏 𝑻
𝒌 𝟏 𝑻 = 𝒌 𝟏𝒂 𝟏 + 𝜷 𝟏 𝑻 − 𝑻 𝒂 And 𝒌 𝟐 𝑻 = 𝒌 𝟐𝒂 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝑻 − 𝑻 𝒂
La conductivité thermique est supposée être linéaire en fonction de la température.
𝑘 𝑎 représente la conductivité thermique de l’ambianteTa.
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5. Avant de commencer, il est préférable d’exprimer le modèle sous une forme adimensionnelle:
𝜃 =
𝑇
𝑇𝑢
; 𝜃 𝑑 =
𝑇 𝑑
𝑇𝑢
; ζ =
z
h
; 𝜆1 =
𝑘1
𝑘 𝑟𝑒𝑓
; 𝜆2 =
𝑘2
𝑘 𝑟𝑒𝑓
; 𝐵𝑖1 =
ℎ1ℎ
𝑘 𝑟𝑒𝑓
; 𝐵𝑖2 =
ℎ2ℎ
𝑘 𝑟𝑒𝑓
; 𝑁𝑟 =
𝜖𝜎ℎ𝑇𝑢
3
𝑘 𝑟𝑒𝑓
𝜀1 = 𝛽1 𝑇𝑢 And
𝜀2 = 𝛽2 𝑇𝑢
Avec: 𝐵𝑖 Nombre de Biot. 𝑁𝑟 Paramètre de radiation-conduction.
𝜀 Gradient de la conductivité thermique. 𝜆 Paramètre de la conductivité thermique.
Donc l’équation de la chaleur et les conditions aux bords sont exprimées comme suit:
𝑑
𝑑ζ
𝜆(ζ, 𝜃)
𝑑𝜃(ζ)
𝑑ζ
= 0 ; 0 ≤ ζ ≤ 1
−𝜆1 𝜃
𝑑𝜃 ζ
𝑑ζ ζ=0
= 𝐵𝑖1 1 − 𝜃(ζ = 0) + 𝑁𝑟(1 − 𝜃4
(ζ = 0))
−𝜆2 𝜃
𝑑𝜃 ζ
𝑑ζ ζ=1
= 𝐵𝑖2 𝜃 ζ = 1 − 𝜃 𝑑
En choisissant 𝑘 𝑟𝑒𝑓 = 𝑘1𝑎, et 𝑇𝑎 nulle, les expressions adimensionnalisées de la conductivité
thermique sont:
𝜆1 𝜃 = (1 + 𝜀1 𝜃) et 𝜆2 𝜃 = 𝜆0 1 + 𝜀2 𝜃 Avec: 𝜆0 =
𝑘2𝑎
𝑘1𝑎
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6. Differential transformation method (DTM):
Let be y(x) a continuously differentiable function in a domain D, the Taylor expansion of y(x) is in the
form of:
𝑦 𝑥 =
𝑥−𝑥0
𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑑 𝑘 𝑦(𝑥)
𝑑𝑥 𝑘
𝑥=𝑥0
(𝑥0 = 0 : Maclaurin series) 𝑦 𝑥 =
𝑥 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑑 𝑘 𝑦(𝑥)
𝑑𝑥 𝑘
𝑥=0
∀𝑥 ∈ 𝐷
The differential transformation of y(x) is defined as follows:
𝑌 𝑘 =
𝐻 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑑 𝑘
𝑦(𝑥)
𝑑𝑥 𝑘
𝑥=0
Where 𝑌 𝑘 is the transformed function of 𝑦 𝑥 , the differential spectrum of 𝑌 𝑘 is confined within
the interval x∈ [0, H], where H is a constant. The differential inverse transform of 𝑌 𝑘 is defined as
follows:
𝑦 𝑥 =
𝑥
𝐻
𝑘
∞
𝑘=0
𝒀(𝒌)
𝜃 ζ = ζ 𝑘
𝜱
𝑁
𝑘=0
(𝒌)
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7. En appliquant la transformation différentielle, 𝜱 𝒌 =
𝐻 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑑 𝑘 𝜽(𝛇)
𝑑𝑥 𝑘
𝑥=0
on obtient la relation
de récurrence suivante:
𝜱 𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝝉 ∗ 𝐥𝐧 𝟏 + 𝜺 𝟐 𝜼 − 𝝉 ∗ 𝐥𝐧 𝟏 + 𝜺 𝟏 ∗ 𝜼 + 𝝉 ∗ 𝐥𝐧 𝝀 𝟎 ; 𝒌 = 𝟎
𝜱 𝒌 + 𝟐 = −
𝟏
𝒌 + 𝟏 𝒌 + 𝟐
𝒓 + 𝟏 𝑭 𝟐 𝒌 − 𝒓
𝒌
𝒓=𝟎
𝜱 𝒓 + 𝟏 − 𝒓 + 𝟏 𝑭 𝟏 𝒌 − 𝒓 𝜱 𝒓 + 𝟏
𝒌
𝒓=𝟎
+ 𝒍𝒏 𝝀 𝟎 𝒌 + 𝟏 𝜱 𝒌 + 𝟏
; 𝒌 ≥ 𝟏
Avec: 𝐹𝑖 0 = 𝑙𝑛 1 + 𝜀𝑖 𝛷 0 ; 𝐺𝑖 0 =
𝜀𝑖
1+𝜀𝑖 𝛷 0
; 𝑖 = 1 ; 2
𝐹𝑖 ℎ =
1
𝑘
𝑘 − 𝑟 𝐺𝑖 𝑟 𝛷 𝑘 − 𝑟
𝑘−1
𝑟=0
; 𝑘 ≥ 1
𝐺𝑖 𝑠 =
−𝜀𝑖
1 + 𝜀𝑖 𝛷 0
𝑘 − 𝑟 𝐺𝑖 𝑟 𝛷 𝑘 − 𝑟
𝑠−1
𝑟=0
; 𝑠 ≥ 1
𝛷 0 = 𝜂 et 𝛷 1 = 𝜏
𝑑
𝑑ζ
𝜆(ζ, 𝜃)
𝑑𝜃(ζ)
𝑑ζ
= 0 𝑙𝑛
𝜆0 1 + 𝜀2 𝜃
1 + 𝜀1 𝜃
𝜃′
+ 𝜃′′
= 0
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8. Remplaçons la relation de recurrence dans la forme de la solution 𝜃 ζ = ζ 𝑘
𝛷𝑁
𝑘=0 (𝑘),
on obtient:
𝜽 𝜻 = 𝜼 + 𝝉𝜻 −
𝟏
𝟐
𝝉 ∗ 𝐥𝒏 𝟏 + 𝜺 𝟐 𝜼 − 𝝉 ∗ 𝐥𝒏 𝟏 + 𝜺 𝟏 ∗ 𝜼 + 𝝉 ∗ 𝐥𝐧 𝝀 𝟎 𝜻 𝟐
+ ⋯
Les termes 𝜂 et 𝜏 sont à calculer à partir des conditions aux bords. En utilisant DTM,
les conditions aux bords peuvent être exprimées comme suit:
− 1 + 𝜀1 ∗ 𝜂 ∗ 𝜏 = 𝐵𝑖1 ∗ 1 − 𝜂 + 𝑁𝑟 ∗ (1 − 𝜂^4)
−𝜆0 ∗ 1 + 𝜀2(𝜂 + 𝜏 + 𝛷 2 +. . 𝛷 𝑁 ∗ 𝜏 + 2 ∗ 𝛷 2 +. . . +𝑁 ∗ 𝛷 𝑁
= 𝐵𝑖2 ∗ 𝜂 + 𝜏 + 𝛷 2 +. . . +𝛷 𝑁 − 𝜃 𝑑)
Il s’agit d’un système non linéaire, la méthode de Raphson Newton a été utilisée dans le calcul
des constantes 𝜂 et 𝜏.
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9. Bi1=Bi2=1 Nr=4 𝝀 𝟎 = 𝟏𝟎 𝜽 𝒅=0.2 Ɛ 𝟏 = Ɛ 𝟐 = 𝟎
Ζ Exact** DTM (N=10) DTM (N=12) DTM(N=14) DTM(N=16) err(N=10) err(N=12) err(N=14) err(N=16)
0
0,96600887
0,96577150 0,96599914 0,96600858
0,96600886
2,37E-04 9,73E-06 2,88875E-07
6,48003E-09
0,125
0,90618743
0,90555254 0,90616141 0,90618665
0,90618741
6,35E-04 2,60E-05 7,72819E-07
1,73358E-08
0,25
0,86132767
0,86039470 0,86128944 0,86132654
0,86132765
9,33E-04 3,82E-05 1,13573E-06
2,54765E-08
0,375
0,82768761
0,82653109 0,82764021 0,8276862
0,82768757
1,16E-03 4,74E-05 1,40787E-06
3,15812E-08
0,5
0,80246111
0,80113699 0,80240685 0,8024595
0,80246108
1,32E-03 5,43E-05 1,61194E-06
3,61591E-08
0,625
0,78354391
0,78209436 0,78348450 0,78354215
0,78354387
1,45E-03 5,94E-05 1,76494E-06
3,95917E-08
0,75
0,76935801
0,76781604 0,76929478 0,76935614
0,76935797
1,54E-03 6,32E-05 1,87914E-06
4,21597E-08
0,875
0,75872009
0,75711673 0,75865422 0,75871813
0,75872005
1,60E-03 6,59E-05 1,95986E-06
4,4007E-08
1
0,75074277
0,74912367 0,75067611 0,75074079
0,75074273
1,62E-03 6,67E-05 1,98702E-06
4,46879E-08
Table1: Comparison of the results obtained by DTM and exact FM in the case
of temperature-independent thermal conductivity.
Une étude comparative a été faite avec la solution exacte utilisant la méthode de Ferrari** (FM).
Résultats:
** X. Wang, Z. Wang, T. Zeng, S. Cheng, and F. Yang, “Exact analytical solution for steady-state heat transfer in functionally graded
sandwich slabs with convective-radiative boundary conditions,” Compos. Struct., vol. 192, no. March, pp. 379–386, 2018. 9

10. Figure 2: Solution of DTM and exact FM for different values of: (a) 𝐵𝑖1and (b) 𝐵𝑖2
(a) (b)
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11. Figure.3. Solution of DTM and exact FM for different values of (a) 𝑁𝑟 𝑎𝑛𝑑 𝑏 𝜃 𝑑
(a) (b)
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12. (a) (b)
Figure.4. Effect of : (a) Ɛ1 (b) Ɛ2 on temperature distribution within the FG plate
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13. Conclusions
• La méthode de Ferrari a été considérée comme
une solution exacte pour valider les résultats de ce travail.
• Ces résultats indiquent que l’effet de la température sur
la conductivité thermique influence la solution
d’une manière considérable.
• On constate que le transfert thermique à travers la plaque
FGM est plus sensible au gradient de la conductivité
thermique de la céramique. Ceci n’est pas bénéfique pour
l’amélioration de l’isolation thermique.

14. Perspectives
• Utiliser les résultats obtenus pour effectuer une étude
du flambage thermique des plaques minces et épaisses avec
des propriétés thermomécaniques (Conductivité thermique,
Module de Young, Expansion thermique) dépendantes
de la température et des conditions aux bords incluant
la convection et la radiation.
• Résolution de l’équation de la chaleur avec deux méthodes celle
des éléments finies et des différences finies avec
la conductivité thermique linéairement et non linéairement
dépendante de la température, en tenant compte de l’effet
de la porosité.

15. Merci pour votre attention