description de la conduction pour les étudiants

2. 1. Définitions
Le transfert de chaleur par convection existe au sein des milieux fluides
(mouvement de matière) dans lesquels il est généralement prépondérant. Selon la
nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue :
1.1 La convection libre ou naturelle :
Le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des
différences de masse volumique, résultant des
différences de températures, sur les frontières et d’un
champ de forces extérieures (la pesanteur).
1.2 La convection forcée :
Le mouvement du fluide est induit par une cause
indépendante des différences de température (pompe,
ventilateur...).
L’étude du transfert de chaleur par convection permet de
déterminer les échanges de chaleur se produisant entre
un fluide et une paroi.

3. 1.3 Régime d’écoulement
Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est
nécessaire de considérer le régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple
l’écoulement d’un fluide dans une conduite :
- En régime laminaire, l’écoulement s’effectue par couches pratiquement
indépendantes.
Les échanges de chaleur s’effectuent donc :
- Par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides.
- Par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non
normale aux filets fluides.
En régime turbulent, l’écoulement n’est pas unidirectionnel :
L’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction
dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est généralement négligeable
par rapport à la convection, la turbulence augmente le flux de chaleur échangé entre
le fluide et la paroi.

4. Le changement de régime est généralement dû à l'augmentation d'un certain
paramètre (vitesse, température) au dessus d'une valeur critique on quantifie
cette valeur critique par des nombre adimensionnels par exemple, le nombre
de Reynolds (en convection forcée)
Re=VD/ν
V: vitesse de l'écoulement; D: diamètre de la conduite; ν: viscosité dynamique.
Par exemple pour le cas de l'écoulement dans les conduites; Rec=2300.
Re<2300 l'écoulement est laminaire.
Re>2300 l'écoulement est turbulent.

5. 2. Expression du flux de chaleur
2.1 Couche limite dynamique et thermique
La couche limite est une région du fluide qui est proche des parois solides dont
l'influence de la viscosité est très importante, la vitesse et la température dans cette
région sont différentes de celle du fluide loin des parois. L'épaisseur de cette couche
varie en fonction de plusieurs paramètres: viscosité, distance,…
Le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, c’est
à dire dans la sous-couche laminaire. Quelque soit le régime d’écoulement du fluide,
on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le film
laminaire qui joue le rôle d’isolant thermique (couche limite thermique).

6. 2.2 Coefficient de transfert de chaleur par convection
La loi de transfert de chaleur par convection est une loi simple mais présente une
énorme difficulté dans son application. Elle amène à définir un cœfficient de transfert
de chaleur par convection h (W/m2.K).
Quelque soit le type de convection et le régime d'écoulement le flux de chaleur entre
le fluide et la paroi s'écrit comme suit:
( ) &
sQ hS T T
Considérer une surface de forme arbitraire et de
surface totale S, maintenue à une température
uniforme (Ts > T∞) exposés à un écoulement de fluide
à la vitesse u∞ .
on attend à ce que le coefficient de convection varie au-dessus de la surface dans ce
cas le flux thermique local, q peut être exprimé comme : ( )x x sq h T T 
Le flux de chaleur total peut être obtenu en intégrant le flux thermique local au-dessus
de la surface totale S(ou As). C'est :
( )sQ hS T T &
Où est coefficient de convection moyen:h
0
0
1
xh h dx
x
 

7. 2.3 Estimation du coefficient de convection
Dans les problèmes de convection l’objectif principal est de déterminer le coefficient
de convection h pour différentes géométries et de multiples conditions d’écoulement.
donc h dépend d'un nombre important de paramètres: propriétés physiques du
fluides, caractéristiques de l'écoulement, la température, la géométrie,….
( , , , , , , , , )f s Ph f T T v C Q l D  &
Il s'avère très utile d'utiliser la technique de l'analyse adimensionnelle (similitude)
pour laquelle on groupe les grandeurs physiques sous forme de nombres
adimensionnels, et on déterminer expérimentalement et théoriquement la relation
entre ces nombres qu'on représente par des corrélations.
Les nombres sans dimensions importants dans la convection thermique sont :
Le nombre de Reynolds: Re=ρVD/ν
Le nombre de Prandtl : Pr=CPμ/λ=ν/a
Le nombre de Nusselt : Nu=hL/λ

8. 3. Calcul du flux de chaleur en convection forcée
L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant
le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend
peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres
adimensionnels :
Nu = f (Re, Pr)
Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue
donc de la manière suivante :
1. Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl.
2. Suivant la valeur de Re et la configuration choix de la corrélation
3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.
4. Calcul de h =λNu/L et de ( )s fQ hS T T &

9. Quelques Corrélations usuelles

10. 3.1 Ecoulements Externes

11. Exemple de la plaque plane
Malgré sa simplicité cette géométrie possède de nombreuses applications: Murs,
ailes, plafonds,…
Dans cette configuration le développement
de la couche limite laminaire commence au
bord d'attaque (x =0), et le passage à la
turbulence peut se produire à un distance
critique xc pour lequel le nombre de
Reynolds critique est Rex,c = 5.105.
Nous présenterons les corrélations appropriées pour prévoir l'épaisseur de la couche
limite aussi bien que le coefficient de convection. Nous commençons par les
conditions de la couche limite laminaire.

12. 3.1.1 Couche limite laminaire
Comme illustré dans la fig., l'épaisseur de la couche limite dynamique δ(x) est défini
pour que u/u∞ = 0.99 et son expression pour la plaque plane est :
 
 1/2
x( ) 5 Re avec Re / (nombre de Reynolds local)xx x u x
Dans ce cas le nombre de Nusselt local :
   1/2 1/3 5
/ 0.332Re Pr , Re 5 10x x xNu h x
Et le nombre de Nusselt moyen : 1/2 1/3
/ 0.664Re PrLNu hL  
3.1.2 Couche limite turbulente
Pour des écoulements turbulents, à une approximation raisonnable, l'épaisseur
hydrodynamique de la couche limite peut être exprimée comme suit :
1/5 8
x( ) 0.37 Re avec Re 10xx x 
 
Dans ce cas le nombre de Nusselt local :
  4/5 1/3 8
/ 0.0296Re Pr (Re 10 ; 0.6<Pr<60)x x x xNu h x
Et le nombre de Nusselt moyen :
    4/5 1/3 5 8
/ 0.037Re Pr (5 10 Re 10 ; 0.6<Pr<60)L xNu hL

13. 3.2 Ecoulements internes

14. Exemple d’écoulement dans un tube
Un fluide s’écoule en régime permanent dans une conduite cylindrique circulaire de
diamètre intérieur D. Dans une section droite, à l’abscisse x par rapport à l’entrée de la
conduite, la vitesse moyenne du fluide est Um, sa température moyenne Tm, et la
température de la paroi Tp.
échangé à travers l’aire latérale de paroi dS comprise entre les abscisses x et x + dx:
CdQ&Les corrélations expérimentales permettent de calculer le flux de chaleur
  & -C s mdQ h T T P dx
La conservation d'énergie permet d'écrire
& &C P mdQ mc dT

15. Cette relation est valide peu importe la condition à la frontière; Donc partir de
la conservation d'énergie on peut dériver une expression pour la variation de
Tm avec x
  
&
( )m
m s
P
dT hP
T T
dx mc
En régime laminaire établit ( Re < 2000), et loin de la zone d'entrée on peut appliquer
les corrélations qui ont pour expressions:
Nu=3.66 (température de la paroi constante)
Nu=4.36 (Flux de chaleur à la paroi constant)
3.2.1 Cas d'un flux de chaleur constant
Le flux convectif total d CQ&
devient simplement q.P.dx
Et la température moyenne devient
m mi
P
qP
T T x
mc
 
&
La température moyenne varie linéairement avec la distance.

16. 3.2.2 Cas d'une paroi à température constante
Pour Ts constante comment Tm varie avec x (h=constant) ?

   
&
( )
( )m m
m
P
dT d T hP
T
dx dx mc
En séparant les variables et intégrant de l’entrée à la sortie du tube:



  
 & 0
( )s
e
T L
m m
m PT
dT d T hP
dx
dx T mc
Où encore

 
 &
ln s
e P
T hP
L
T mc

 
 &
exp( )ms s
me Ps
T T hP
L
T T mc
On obtient
Pour une distance quelconque x on a:

 
 &
( )
exp( )m s
me Ps
T x T hP
x
T T mc

17. 4. La Convection naturelle
La convection naturelle est la forme d’échange convectif la plus couramment
observée. Au contact d’un corps chaud , la température de l’air augmente, donc sa
masse volumique décroît. L’air ambiant, de masse volumique plus élevée, exerce une
poussée d’Archimède vers le haut, et la masse d’air chaude s’élève en enlevant de la
chaleur au corps. Elle est remplacée par une masse d’air froid qui, au contact du corps
s’échauffe, et ainsi de suite.
Ces échanges jouent un grand rôle en pratique. On citera en particulier:
le chauffage domestique
le calcul des pertes par les parois dans les installations industrielles
Comme les vitesses en convection naturelle demeurent faibles, les
échanges sont nettement moins intenses qu’en convection forcée

18. Convection naturelle de Rayleigh- Bénard). La
couche de liquide est chauffée par le bas. Des
particules métalliques en suspension
permettent de visualiser les cellules de
convection qui ont presque toutes une forme
hexagonale.
Exemples

19. 4.2 Calcul du flux de chaleur lors de la convection naturelle
Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle, le coefficient de
convection dépend des caractéristiques du fluide : λ, ρ, μ, cp, β, g, de la paroi
caractérisée par la longueur L, et de l’écart de température ΔT aux bornes ce qu'on
peut traduire par une relation du type :
h = f (λ, ρ, μ, cp, β, g, L, ΔΤ)
L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de
chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée
sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels :
Nu = f (Gr, Pr)
Gr=ρ2g.β.ΔT.D3/μ2 : le nombre de Grashof.
Le calcul du flux de chaleur par convection naturelle s’effectue donc de la manière
suivante :
1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl.
2. Suivant la valeur de Gr et configuration choix de la corrélation.
3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.
4. Calcul de h =λNu/L et de ( )s fQ hS T T &

20. 1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl.
2. Suivant la valeur de Gr et configuration choix de la corrélation.
3. Calcul de Nu par application de cette corrélation.
4. Calcul de h =λNu/L et de ( )s fQ hS T T &