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A.2.
1
Définition de la viscosité :
On considère le système formé par deux
plaques parallèles séparées par le liquide
dont on veut définir la viscosité. Une plaque
est fixe, l’autre mobile suite à l’application
d’une force Fx.
Au niveau de la plaque mobile, le liquide est
entraîné en conséquence d‘interactions avec
la plaque (Van der Waals, rugosité …). Le
liquide ne progresse que très peu (ou pas) au
niveau de la plaque fixe. Dans le cas le plus
simple, la vitesse d’entraînement diminue
linéairement depuis la plaque mobile vers la
plaque fixe, soit : dvx/dz = constante positive.
Pour des vitesses modérées, cette dérivée sera proportionnelle à la force appliquée qui, elle-
même, dépend de la surface (A) de la plaque mobile pour atteindre une vitesse vx(max)
donnée (plus la surface est grande, plus la quantité de liquide entraînée est importante).
Le coefficient de proportionnalité (η) entre
la force Fx et le produit A.(dvx/dz) est la
viscosité (dynamique, absolue) du liquide.
𝐹𝑥 = 𝜂. 𝐴.
dvx
dz
Interprétation microscopique de la viscosité :
L’espace entre les deux plaques est divisé en pensée en un grand nombre de couches
parallèles aux plaques. L’épaisseur d’une couche est telle qu’on peut admettre que la vitesse
d’entraînement y est constante.
En conséquence de l’agitation thermique, les molécules de deux couches adjacentes
s’échangent sans arrêt. Lorsqu’une molécule de la couche la plus rapide (pourvue de la vitesse
la plus grande) pénètre la couche voisine plus lente, elle l’accélère suite au transfert
d’impulsion (m.vrapide – m.vlente). L’inverse se produit lors du transfert d’une molécule de la
couche lente vers la couche rapide. On comprend de cette manière que la viscosité est une
mesure de l’intensité de ces transferts.
𝜂 = (
𝐹𝑥
𝐴
) . (
dz
dvx
) =
𝜏
𝐷
Avec : τ = Fx/A = contrainte de cisaillement et D = dvx/dz = taux de cisaillement
Cette relation montre que, pour une force d’entraînement et une surface de plaque
constantes (τ constant), la pente dvx/dz = D diminue lorsque la viscosité augmente de sorte
que vx(max) >> vx(min). Pour les faibles viscosités, par contre vx(max) se rapproche de vx(min)
et le profil de vitesse devient progressivement parallèle à l’axe z.
A.2.
2
La dimension de la viscosité dynamique découle également de cette relation :
[𝜂] = (
𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒
𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒
) ∙ (
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟/𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠
) = (𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛) ∙ (𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠)
L’unité du SI sera donc le (pascal seconde) = Pa s.
Beaucoup de livres mentionnent encore la viscosité dynamique en Poiseuille (1 Pl = 1 Pa s) ou
en poise (10 Po = 1 Pa s).
Quelques valeurs de viscosité :
Viscosité dynamique (à la pression atmosphérique)
Corps Température (°C) Viscosité (Pa s)
hydrogène 0 8,4 × 10-6
air 0 1,71 × 10-5
xénon 0 2,12 × 10-5
eau 20 1,002 × 10-3
glace -13 15 × 1012
mercure 20 1,526 × 10-3
acétone 20 0,326 × 10-3
éthanol 20 1,20 × 10-3
méthanol 20 0,59 × 10-3
benzène 20 0,64 × 10-3
nitrobenzène 20 2,0 × 10-3
glycérine 20 1,49
oxygène 0 1,9143 × 10-5
azote 0 1.6629 × 10-5
bitume 20 108
mélasse 20 102
miel 20 101
huile de ricin 20 0,95
sang 37 de 4 à 25 (généralement 6)× 10-3
pétrole 20 0,65 × 10-3
L’étendue des valeurs expérimentales de la viscosité (10-5 - 1012) est impressionnante.
A.2.
3
La viscosité cinématique :
Beaucoup de relations suggèrent de définir
une viscosité cinématique comme le
quotient de la viscosité dynamique à la
masse volumique de la substance étudiée.
𝜈 =
𝜇
𝜌
Avec [𝜈] = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 ∙ 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 ∙ (
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟3
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒
) =
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟2
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠
Unité SI : m2 s-1
Beaucoup de livres mentionnent la viscosité cinématique en stokes (St) ou en centistockes
(cSt) avec 1 St = 10-4 m2/s.
Influence de la température :
D’une manière générale, la viscosité diminue avec la température pour les liquides, mais
augmente avec la température pour les gaz. Ainsi, pour l’eau :
La décroissance de la viscosité est habituellement modélisée par l’expression 𝜂 = 𝐴. 𝑒
𝐸
𝑅𝑇
facile à linéariser (attention : T en kelvins).
A.2.
4
Ecoulements laminaires et turbulents :
« Reynolds a visualisé la transition entre l’écoulement
laminaire et l’écoulement turbulent à l’aide de son
expérience, dont la reproduction ci-contre est issue de la
publication de 1883.
Une plate-forme surélevée permet d’utiliser un siphon
suffisamment haut pour atteindre la vitesse critique
nécessaire. Un levier permet d’ouvrir la vanne de sortie
depuis la plate-forme. L’eau s’écoule d’un récipient aux
parois de verre à
travers un tube en
verre ; un filament de colorant est injecté à l’entrée du
tube, évasé pour ne pas perturber l’écoulement. La vitesse
est déterminée par la mesure du niveau d’eau dans le
récipient. On peut voir son dispositif à l’université de
Manchester.
Reynolds notait K le nombre de Reynolds, et le définissait
à partir du diamètre du tube. Il obtenait une transition
laminaire/turbulent pour une valeur de K située entre 1900
et 2000. »
http://phylam.org/physique/resumes/resume-reynolds.pdf
D’un point de vue dimensionnel, le nombre de Reynolds (sans dimension) peut être compris
comme le rapport de l’énergie cinétique d’écoulement (qui favorise la formation de
tourbillons) à l’énergie de freinage liée à la viscosité (qui limite le développement de
turbulences).
E(cinétique) ~ m.v2 soit ici (.V).v2
avec :  = masse volumique du fluide
V = un volume
v = vitesse moyenne du fluide
E(viscosité) ~ F(viscosité).déplacement ) ~ F(viscosité).L
avec : F(viscosité) = η.surface.vitesse/longueur = η.L.v
𝑅𝑒 =
𝜌. 𝑉. v2
𝜂. 𝐿. v. 𝐿
=
𝜌. v. 𝐿
𝜂
L est une longueur caractéristique,
par exemple, le diamètre du tuyau
d’écoulement (L = 2.r)
Rhéogrammes : Représentation de la relation entre le taux de cisaillement (D) et la
contrainte de cisaillement (τ).
Ecoulement newtonien :
Pour un fluide de viscosité constante à température et pression
fixées (fluide newtonien), τ et D sont en relation linéaire. Ces
fluides sont idéalement constitués de particules sphériques,
régulières et indéformables.
L’eau, le lait, les jus de fruits naturels (non concentrés), la plupart
des miels, les huiles minérales, les solvants organiques … sont de
bons exemples.
Ecoulement turbulent (instantané)
Ecoulement turbulent
Ecoulement laminaire
τ
D
D = τ/µ
A.2.
5
Ecoulement plastique :
Une relation linéaire s’établit au-delà d’un
seuil de tension de cisaillement (f) appelé
point de fluage (seuil de plasticité). La
pente définit l’inverse de la viscosité
élastique (U).
Exemple : le ketchup (doit être secoué).
Ecoulement pseudo-plastique :
La pente du tracé augmente avec la
contrainte de cisaillement (τ) ce qui
implique que la viscosité diminue avec τ.
Il n’y a plus de point de fluage.
Exemple : certaines peintures.
Ecoulement dilatant :
La pente du tracé diminue avec la
contrainte de cisaillement (τ) ce qui
implique que la viscosité augmente avec τ.
Il n’y a plus de point de fluage.
Exemple : la maïzena dans l’eau.
Méthodes de mesure :
Le viscosimètre capillaire : (réservé aux liquides newtoniens)
Un volume bien défini du liquide étudié (de masse volumique ) est disposé
dans le viscosimètre par le tube le plus large. L’ensemble est thermostaté
(idéalement à ± 0,01 °C) puis le liquide est aspiré dans le tube le plus étroit
jusqu’à atteindre un niveau légèrement supérieur (~ 1 cm) à la marque A.
Le temps de chute libre (t) nécessaire pour atteindre le niveau B est mesuré.
La viscosité dynamique est donnée par : η = K..t
Si la constante K du viscosimètre n’est pas connue, on opère exactement de la
même manière avec un liquide de référence (souvent de l’eau très pure). Il
vient ainsi ηref = K.ref.tref et finalement :
𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. (
𝜌
𝜌 𝑟𝑒𝑓
) . (
𝑡
𝑡 𝑟𝑒𝑓
)
τ
D
f
D = (τ-f)/U
τ
D
D = τ/µ(τ)
τ
D
D = τ/µ(τ)
A.2.
6
Le viscosimètre à chute de bille :
Le principe de fonctionnement est basé sur l’égalité, à l’état
stationnaire, de la force de chute libre (corrigée de la poussée
d’Archimède) d’une bille (masse volumique b, rayon r) dans le liquide
étudié (masse volumique , viscosité dynamique η) et de la force de
frottement donnée par la loi de Stokes (écoulement laminaire
supposé). L’ensemble est maintenu à température constante.
On chronomètre le temps (t) nécessaire à la bille pour parcourir une
différence de hauteur (h) entre deux repères.
Fchute = m.g = (b - ).V.g = (b - ).(4/3)..r3.g (chute verticale)
FStokes = 6..η.r.v = 6..η.r.h/t
Il vient ainsi : 𝜂 = (
2.𝑔.𝑟2
9.ℎ
) . (𝜌 𝑏 − 𝜌). 𝑡 = 𝐾. (𝜌 𝑏 − 𝜌). 𝑡
Si on ne dispose pas d’une valeur de la constante, il est possible de faire appel à un liquide de
référence (masse volumique ref, viscosité dynamique ηref, temps de chute tref). Il vient alors :
𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. (
𝜌 𝑏 − 𝜌
𝜌 𝑏 − 𝜌 𝑟𝑒𝑓
) . (
𝑡
𝑡 𝑟𝑒𝑓
)
Le viscosimètre à cylindres coaxiaux :
Un des cylindres est en rotation (vitesse angulaire  en rad s-1) et on
mesure le couple (L en N m) induit sur l’autre cylindre.
Pour ce système : 𝜂 = 𝐾. (
𝐿
𝛺
)
En utilisant un liquide de référence :
𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. (
𝐿
𝐿 𝑟𝑒𝑓
) . (
𝛺 𝑟𝑒𝑓
𝛺
)
Le viscosimètre à cône plan : (convient pour les fluides non-newtoniens)
Un cône est mis en rotation dans une prise de liquide à étudier qui
repose sur un plateau fixe. Le couple à appliquer pour obtenir une
vitesse de rotation donnée est déterminé.
Pour ce système : 𝜂 = 𝐾. (
𝐿
𝛺
) ou 𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. (
𝐿
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𝛺 𝑟𝑒𝑓
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La viscosimétrie

  • 1. A.2. 1 Définition de la viscosité : On considère le système formé par deux plaques parallèles séparées par le liquide dont on veut définir la viscosité. Une plaque est fixe, l’autre mobile suite à l’application d’une force Fx. Au niveau de la plaque mobile, le liquide est entraîné en conséquence d‘interactions avec la plaque (Van der Waals, rugosité …). Le liquide ne progresse que très peu (ou pas) au niveau de la plaque fixe. Dans le cas le plus simple, la vitesse d’entraînement diminue linéairement depuis la plaque mobile vers la plaque fixe, soit : dvx/dz = constante positive. Pour des vitesses modérées, cette dérivée sera proportionnelle à la force appliquée qui, elle- même, dépend de la surface (A) de la plaque mobile pour atteindre une vitesse vx(max) donnée (plus la surface est grande, plus la quantité de liquide entraînée est importante). Le coefficient de proportionnalité (η) entre la force Fx et le produit A.(dvx/dz) est la viscosité (dynamique, absolue) du liquide. 𝐹𝑥 = 𝜂. 𝐴. dvx dz Interprétation microscopique de la viscosité : L’espace entre les deux plaques est divisé en pensée en un grand nombre de couches parallèles aux plaques. L’épaisseur d’une couche est telle qu’on peut admettre que la vitesse d’entraînement y est constante. En conséquence de l’agitation thermique, les molécules de deux couches adjacentes s’échangent sans arrêt. Lorsqu’une molécule de la couche la plus rapide (pourvue de la vitesse la plus grande) pénètre la couche voisine plus lente, elle l’accélère suite au transfert d’impulsion (m.vrapide – m.vlente). L’inverse se produit lors du transfert d’une molécule de la couche lente vers la couche rapide. On comprend de cette manière que la viscosité est une mesure de l’intensité de ces transferts. 𝜂 = ( 𝐹𝑥 𝐴 ) . ( dz dvx ) = 𝜏 𝐷 Avec : τ = Fx/A = contrainte de cisaillement et D = dvx/dz = taux de cisaillement Cette relation montre que, pour une force d’entraînement et une surface de plaque constantes (τ constant), la pente dvx/dz = D diminue lorsque la viscosité augmente de sorte que vx(max) >> vx(min). Pour les faibles viscosités, par contre vx(max) se rapproche de vx(min) et le profil de vitesse devient progressivement parallèle à l’axe z.
  • 2. A.2. 2 La dimension de la viscosité dynamique découle également de cette relation : [𝜂] = ( 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 ) ∙ ( 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟/𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 ) = (𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛) ∙ (𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠) L’unité du SI sera donc le (pascal seconde) = Pa s. Beaucoup de livres mentionnent encore la viscosité dynamique en Poiseuille (1 Pl = 1 Pa s) ou en poise (10 Po = 1 Pa s). Quelques valeurs de viscosité : Viscosité dynamique (à la pression atmosphérique) Corps Température (°C) Viscosité (Pa s) hydrogène 0 8,4 × 10-6 air 0 1,71 × 10-5 xénon 0 2,12 × 10-5 eau 20 1,002 × 10-3 glace -13 15 × 1012 mercure 20 1,526 × 10-3 acétone 20 0,326 × 10-3 éthanol 20 1,20 × 10-3 méthanol 20 0,59 × 10-3 benzène 20 0,64 × 10-3 nitrobenzène 20 2,0 × 10-3 glycérine 20 1,49 oxygène 0 1,9143 × 10-5 azote 0 1.6629 × 10-5 bitume 20 108 mélasse 20 102 miel 20 101 huile de ricin 20 0,95 sang 37 de 4 à 25 (généralement 6)× 10-3 pétrole 20 0,65 × 10-3 L’étendue des valeurs expérimentales de la viscosité (10-5 - 1012) est impressionnante.
  • 3. A.2. 3 La viscosité cinématique : Beaucoup de relations suggèrent de définir une viscosité cinématique comme le quotient de la viscosité dynamique à la masse volumique de la substance étudiée. 𝜈 = 𝜇 𝜌 Avec [𝜈] = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 ∙ 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 ∙ ( 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟3 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 ) = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟2 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 Unité SI : m2 s-1 Beaucoup de livres mentionnent la viscosité cinématique en stokes (St) ou en centistockes (cSt) avec 1 St = 10-4 m2/s. Influence de la température : D’une manière générale, la viscosité diminue avec la température pour les liquides, mais augmente avec la température pour les gaz. Ainsi, pour l’eau : La décroissance de la viscosité est habituellement modélisée par l’expression 𝜂 = 𝐴. 𝑒 𝐸 𝑅𝑇 facile à linéariser (attention : T en kelvins).
  • 4. A.2. 4 Ecoulements laminaires et turbulents : « Reynolds a visualisé la transition entre l’écoulement laminaire et l’écoulement turbulent à l’aide de son expérience, dont la reproduction ci-contre est issue de la publication de 1883. Une plate-forme surélevée permet d’utiliser un siphon suffisamment haut pour atteindre la vitesse critique nécessaire. Un levier permet d’ouvrir la vanne de sortie depuis la plate-forme. L’eau s’écoule d’un récipient aux parois de verre à travers un tube en verre ; un filament de colorant est injecté à l’entrée du tube, évasé pour ne pas perturber l’écoulement. La vitesse est déterminée par la mesure du niveau d’eau dans le récipient. On peut voir son dispositif à l’université de Manchester. Reynolds notait K le nombre de Reynolds, et le définissait à partir du diamètre du tube. Il obtenait une transition laminaire/turbulent pour une valeur de K située entre 1900 et 2000. » http://phylam.org/physique/resumes/resume-reynolds.pdf D’un point de vue dimensionnel, le nombre de Reynolds (sans dimension) peut être compris comme le rapport de l’énergie cinétique d’écoulement (qui favorise la formation de tourbillons) à l’énergie de freinage liée à la viscosité (qui limite le développement de turbulences). E(cinétique) ~ m.v2 soit ici (.V).v2 avec :  = masse volumique du fluide V = un volume v = vitesse moyenne du fluide E(viscosité) ~ F(viscosité).déplacement ) ~ F(viscosité).L avec : F(viscosité) = η.surface.vitesse/longueur = η.L.v 𝑅𝑒 = 𝜌. 𝑉. v2 𝜂. 𝐿. v. 𝐿 = 𝜌. v. 𝐿 𝜂 L est une longueur caractéristique, par exemple, le diamètre du tuyau d’écoulement (L = 2.r) Rhéogrammes : Représentation de la relation entre le taux de cisaillement (D) et la contrainte de cisaillement (τ). Ecoulement newtonien : Pour un fluide de viscosité constante à température et pression fixées (fluide newtonien), τ et D sont en relation linéaire. Ces fluides sont idéalement constitués de particules sphériques, régulières et indéformables. L’eau, le lait, les jus de fruits naturels (non concentrés), la plupart des miels, les huiles minérales, les solvants organiques … sont de bons exemples. Ecoulement turbulent (instantané) Ecoulement turbulent Ecoulement laminaire τ D D = τ/µ
  • 5. A.2. 5 Ecoulement plastique : Une relation linéaire s’établit au-delà d’un seuil de tension de cisaillement (f) appelé point de fluage (seuil de plasticité). La pente définit l’inverse de la viscosité élastique (U). Exemple : le ketchup (doit être secoué). Ecoulement pseudo-plastique : La pente du tracé augmente avec la contrainte de cisaillement (τ) ce qui implique que la viscosité diminue avec τ. Il n’y a plus de point de fluage. Exemple : certaines peintures. Ecoulement dilatant : La pente du tracé diminue avec la contrainte de cisaillement (τ) ce qui implique que la viscosité augmente avec τ. Il n’y a plus de point de fluage. Exemple : la maïzena dans l’eau. Méthodes de mesure : Le viscosimètre capillaire : (réservé aux liquides newtoniens) Un volume bien défini du liquide étudié (de masse volumique ) est disposé dans le viscosimètre par le tube le plus large. L’ensemble est thermostaté (idéalement à ± 0,01 °C) puis le liquide est aspiré dans le tube le plus étroit jusqu’à atteindre un niveau légèrement supérieur (~ 1 cm) à la marque A. Le temps de chute libre (t) nécessaire pour atteindre le niveau B est mesuré. La viscosité dynamique est donnée par : η = K..t Si la constante K du viscosimètre n’est pas connue, on opère exactement de la même manière avec un liquide de référence (souvent de l’eau très pure). Il vient ainsi ηref = K.ref.tref et finalement : 𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. ( 𝜌 𝜌 𝑟𝑒𝑓 ) . ( 𝑡 𝑡 𝑟𝑒𝑓 ) τ D f D = (τ-f)/U τ D D = τ/µ(τ) τ D D = τ/µ(τ)
  • 6. A.2. 6 Le viscosimètre à chute de bille : Le principe de fonctionnement est basé sur l’égalité, à l’état stationnaire, de la force de chute libre (corrigée de la poussée d’Archimède) d’une bille (masse volumique b, rayon r) dans le liquide étudié (masse volumique , viscosité dynamique η) et de la force de frottement donnée par la loi de Stokes (écoulement laminaire supposé). L’ensemble est maintenu à température constante. On chronomètre le temps (t) nécessaire à la bille pour parcourir une différence de hauteur (h) entre deux repères. Fchute = m.g = (b - ).V.g = (b - ).(4/3)..r3.g (chute verticale) FStokes = 6..η.r.v = 6..η.r.h/t Il vient ainsi : 𝜂 = ( 2.𝑔.𝑟2 9.ℎ ) . (𝜌 𝑏 − 𝜌). 𝑡 = 𝐾. (𝜌 𝑏 − 𝜌). 𝑡 Si on ne dispose pas d’une valeur de la constante, il est possible de faire appel à un liquide de référence (masse volumique ref, viscosité dynamique ηref, temps de chute tref). Il vient alors : 𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. ( 𝜌 𝑏 − 𝜌 𝜌 𝑏 − 𝜌 𝑟𝑒𝑓 ) . ( 𝑡 𝑡 𝑟𝑒𝑓 ) Le viscosimètre à cylindres coaxiaux : Un des cylindres est en rotation (vitesse angulaire  en rad s-1) et on mesure le couple (L en N m) induit sur l’autre cylindre. Pour ce système : 𝜂 = 𝐾. ( 𝐿 𝛺 ) En utilisant un liquide de référence : 𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. ( 𝐿 𝐿 𝑟𝑒𝑓 ) . ( 𝛺 𝑟𝑒𝑓 𝛺 ) Le viscosimètre à cône plan : (convient pour les fluides non-newtoniens) Un cône est mis en rotation dans une prise de liquide à étudier qui repose sur un plateau fixe. Le couple à appliquer pour obtenir une vitesse de rotation donnée est déterminé. Pour ce système : 𝜂 = 𝐾. ( 𝐿 𝛺 ) ou 𝜂 = 𝜂 𝑟𝑒𝑓. ( 𝐿 𝐿 𝑟𝑒𝑓 ) . ( 𝛺 𝑟𝑒𝑓 𝛺 )