Dossier sur l'étude des avalanches granulaires dans différents milieux fluides (air, eau, généralisation). Modélisation et démarche scientifique de Mr Sylvain Courrech Du Pont. Confrontation du modèle avec des expériences personnelles à l'aide d'un tambour tournant.

1. Avalanches dans l’air et dans l’eau.
Influence du milieu.
Plan
1 Introduction 2
2 Exp´eriences et Observation 3
2.1 Exp´eriences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Mod´elisation 5
4 ´etude de la force de frottement fluide 6
4.1 Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Force et coefficient de traˆın´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Force de traˆın´ee visqueuse quand Re << 60 . . . . . . . . . . 8
4.4 Force de traˆın´ee inertielle quand Re >> 1 . . . . . . . . . . . . 9
4.5 R´esum´e des valeurs caract´eristiques selon notre mod`ele . . . . 10
5 ´Etude de l’avalanche ´el´ementaire dans un fluide quelconque 11
5.1 Les param`etres d´ecrivant la dynamique de la chute . . . . . . 11
5.2 Les trois diff´erents types d’avalanches ´el´ementaires . . . . . . . 13
6 ´Etude de l’avalanche dans son ensemble. Collisions des grains
dans le r´egime de chute libre 15
6.1 La dur´ee d’avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 La dur´ee d’avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1

2. 1 Introduction
Les milieux granulaires sont des milieux assez int´eressants et complexes
`a ´etudier puisqu’ils peuvent parfois ˆetre assimil´es `a un solide compact et
d’autres fois `a un liquide. Mais ils permettent une mod´elisation simple et
pr´ecise pour un ´el`eve de classe pr´eparatoire tout en ´elargissant le programme
de MP sur des notions qui compl`etent le programme comme la m´ecanique
des fluides par exemple. Nous nous sommes donc pench´es sur une ´etude des
milieux granulaires et cela autour d’une exp´erience centrale : des avalanches
successives de sable ou de bille de verre dans un tambour fabriqu´e par nos
soin. Mon groupe de TIPE et moi avons alors ´etudi´e les diff´erents facteurs
influen¸cant les caract´eristiques de l’avalanche (dur´ee, ´ecart angulaire...) et
avons mod´elis´e les ph´enom`enes observ´es. Pour ma part, je me suis partic-
uli`erement int´eress´e `a l’influence du milieu (l’air ou l’eau) lors de l’avalanche
et surtout en ce qui concerne la dur´ee de l’avalanche. C’est l’´etude qui suit.
2

3. 2 Exp´eriences et Observation
2.1 Exp´eriences
Notre ´etude est bas´ees sur les exp´eriences du tambour tournant dans l’air
avec des billes de verre de diam`etres allant de 1, 5 `a 5 mm et dans l’eau avec
des grains de sable (0.3 mm) et ces mˆemes billes de verre.
Figure 1: Sch´ema du montage exp´erimental
3

4. Figure 2: Exp´erience en sec sur le petit tambour
Figure 3: Exp´erience dans l’eau dans le grand tambour
2.2 Observation
On appelle l’hyst´er´esis l’´ecart entre l’angle avant l’avalanche et apr`es l’avalanche.
Dans l’air, la dur´ee des avalanches et l’hyst´er´esis sont ind´ependants
du diam`etre des grains. L’air influence donc peu la dynamique des
avalanches.
En revanche, dans l’eau, la dur´ee des avalanches augmente et
4

5. l’hyst´er´esis diminue quand on diminue la taille des grains. L’eau
influence donc nettement la dynamique des avalanches.
3 Mod´elisation
Pour expliquer les ph´enom`enes de l’avalanche dans son ensemble, on ´etudie
d’abord la m´ecanique des avalanches ´el´ementaires. C’est-`a-dire la chute
d’un grain sur celui du dessous, sur une distance d ´egale au diam`etre des
grains, entre deux collisions avec les grains adjacents.On ne traitera donc
pas ici les collisions): on applique le principe fondamental de la dynamique
selon l’axe de chute u, inclin´e d’un angle θ par rapport `a l’horizontale (ordre
de grandeur : θ 25o
):
Figure 4: Bilan des forces sur le grain
On note :
P le poids exerc´e sur le grain
Πfluide la pouss´ee d’Archim`ede exerc´e sur le grain
Ft une force de traˆın´ee (ou frottement fluide) que l’on explicitera dans
la suite et qui a priori d´epend de la vitesse du solide
π
6
ρs d3 dv
dt
=
π
6
∆ρ g d3
sin θ − Ft (1)
5

6. Avec ρs et ρf respectivement les densit´es volumiques du grain et du fluide
et ∆ρ = ρs − ρf
Nous devons chercher une distance caract´eristique du grain pour atteindre
sa vitesse limite. Il faut pour cela introduire un temps caract´eristique τ
pour atteindre une telle vitesse. Un temps caract´eristique pertinent est par
exemple la dur´ee que met le grain sans vitesse initiale pour atteindre sa
vitesse limite v∞ sans force de frottement fluide.
τ =
v∞ ρs
∆ρ g sin θ
(2)
Or dans le r´egime permanent, v∞ est solution de :
Ft(v∞) =
π
6
∆ρ g d3
sin θ (3)
Puis la distance caract´eristique δ que parcourt le grain pour atteindre sa
vitesse limite est la dur´ee que met le grain pour atteindre cette vitesse (donc
τ) multipli´ee par la vitesse moyenne du grain pendant ce trajet.
δ =
v2
∞ ρs
2 ∆ρ g sin θ
(4)
On doit ensuite comparer δ `a d pour voir si effectivement le grain atteint
sa vitesse limite durant sa chute ´el´ementaire. Mais pour cela, il faut pouvoir
d´eterminer v∞ grˆace `a (3). Il faut donc pouvoir d´eterminer la force de
traˆın´ee (ou frottement fluide).
4 ´etude de la force de frottement fluide
La force de frottement fluide est ici aussi la force de traˆın´ee. C’est une force
qui s’oppose au mouvement et qui traduit la ”r´esistance” du fluide aux solides
le traversant.
L’´etude de la force de frottement fluide est n´ecessaire pour comprendre et
expliquer les diff´erents r´egimes d’avalanches. C’est dans l’expression de
cette force que l’on met en ´evidence l’influence du fluide interstitiel
dans la dynamique des grains. En effet, cette force s’exprime en fonction
de la vitesse du syst`eme mais l’expression de cette d´ependance est diff´erente
selon le fluide, le solide et sa vitesse. Pour comprendre les diff´erentes ex-
pression, nous allons introduire une grandeur adimensionn´ee, le nombre de
Reynolds Re
6

7. 4.1 Nombre de Reynolds
Contrairement `a ce que l’on peut penser au premier abord, la viscosit´e dy-
namique η du fluide n’est pas suffisante pour d´ecrire la dynamique du grain
dans celui ci. Il faut aussi prendre en compte certaines caract´eristiques du
solide en question. C’est ce que fait le nombre de Reynolds. Pour un solide
sph´erique :
Re =
ρf d v
η
Avec v la vitesse du grain.
Ce nombre repr´esente la disposition du fluide `a ˆetre ”tr`es fluide” (si
Re << 1) ou au contraire ”visqueux” (si Re >> 1) pour le solide consid´er´e
`a la vitesse v.
Remarque: On verra par la suite qu’il est plus pertinent de comparer Re
`a la valeur critique Rec = 60
En anticipant sur la suite, voil`a quelques valeurs de Re pour les avalanches
que l’on a exp´eriment´ee :
solide/milieu diam`etre Re
sable/eau 0.3mm 5
verre/eau 1.5mm 100
2mm 400
3mm 840
5mm 1800
verre/air 1.5mm 720
2mm 1080
3mm 1980
5mm 4368
Dans l’eau : Re << 60 pour le sable et il augmente quand on augmente
le diam`etre des grains. On a Re >> 60 pour les plus grands diam`etres.
Dans l’air : on a toujours Re >> 1 et il y a aussi une augmentation avec
le diam`etre.
7

8. 4.2 Force et coefficient de traˆın´ee
La formule des forces de traˆın´ee peut ˆetre d´eterminer par l’analyse des
d´ependances et par l’analyse dimensionnelle. On obtient la formule g´en´erale
:
Ft = Ct
π
8
d2
ρf v2
(5)
Ou le coefficient de traˆın´ee Ct d´epend du caract`ere visqueux ou non du
fluide : il d´epend directement du nombre de Reynolds : on peut d’ailleurs
montrer qu’il s’exprime uniquement `a l’aide du nombre de Reynolds.
En effet, ce coefficient peut ˆetre d´etermin´e math´ematiquement `a partir
des ´equations de Navier-Stockes qui est la traduction du principe fondamental
de la dynamique pour les fluides. Mais les formules trouv´ees d´ecoulent essen-
tiellement d’hypoth`eses approximatives (comme l’´etablissement du r´egime
permanent par exemple) et ont donc des domaines de validit´e restreints (val-
ables pour Re pas trop grand et justement non valable dans certains cas qui
nous int´eressent)
On adopte donc un mod`ele empirique, celui de White qui ´etabli (le do-
maine de validit´e est Re < 400000 toujours vrai dans notre ´etude):
Ct =
24
Re
+
6
1 +
√
Re
+ 0, 4 (6)
4.3 Force de traˆın´ee visqueuse quand Re << 60
Quand Re << 60, on dit que la force de traˆın´ee est visqueuse. On dit
que l’´ecoulement est lent ou laminaire. C’est le cas du sable (diam`etre
faible) dans l’eau.
Figure 5: ´ecoulement laminaire pour Re << 1
8

9. Enfin, on parle de traˆın´ee de Stokes car la force de traˆın´ee est donn´ee par
la loi de Stockes, qui d´ecoule des ´equations de Navier Stokes en n´egligeant
le terme quadratique (dit ”inertiel”) de la vitesse. Dans (6), on trouve en
faisant le d´eveloppement limit´e (le v d´esigne ”visqueux”) :
Ctv =
24
Re
Et donc on a la loi de Stokes avec (5):
Ftv = 3 π d η v (∝ v)
On peut donc trouver v∞v avec (3):
Ftv(v∞v) =
π
6
∆ρ g d3
sin θ
3π d η v∞v =
π
6
∆ρ g d3
sin θ
v∞v =
∆ρ g d2
sin θ
18 η
Avec (2) et (4), on obtient τv et δv:
τv =
ρs d2
18η
δv =
ρs ∆ρ g sin θ d4
648 η2
4.4 Force de traˆın´ee inertielle quand Re >> 1
Quand Re >> 60, on dit que la force de traˆın´ee est inertielle. On dit que
l’´ecoulement est rapide ou turbulent. C’est le cas des billes de diam`etres
´elev´es dans l’eau et des billes dans l’air.
9

10. Figure 6: ´ecoulement turbulent pour Re >> 1
Dans (6), on trouve (le i d´esigne ”inertiel”) :
Cti = 0, 4 (ind´ependant de Re)
Avec (5):
Fti =
π
20
d2
ρf v2
(∝ v2
)
On trouve avec (3):
v∞i =
10 ∆ρ g d sin θ
3 ρf
Avec (2) et (4):
τi =
10 ρ2
s d
3 ρf ∆ρ g sinθ
δi =
5 ρs d
3 ρf
4.5 R´esum´e des valeurs caract´eristiques selon notre
mod`ele
On fait l’application num´erique dans chaque cas avec le mod`ele qui corre-
spond (les valeurs pr´esent´ees donnent un ordre de grandeur pour la compara-
ison) :
solide/milieu τ δ d
sable/eau 8 · 10−6
1.9 · 10−7
0.0003
verre/eau 0.7 2.6 · 10−5
0.0015
0.13 0.00053 0.005
verre/air 1.6 0.051 0.0015
2.9 1.0 0.005
10

11. On compare δ et d :
La vitesse limite est atteinte tr`es vite pour le sable et les billes
de verre dans l’eau. En revanche pour les billes dans l’air : pas
de vitesse limite (Ft faible), le grain est acc´el´er´e sur toute sa chute
´el´ementaire.
5 ´Etude de l’avalanche ´el´ementaire dans un
fluide quelconque
Pour pr´eciser ces ph´enom`enes d’avalanche et tirer des g´en´eralit´es sur des
fluides quelconques, on peut effectuer une analyse des rapports des distances
caract´eristiques. C’est l’objectif de cette section.
5.1 Les param`etres d´ecrivant la dynamique de la chute
Dans le cas g´en´eral, on peut ainsi consid´erer que la force de traˆın´ee a
une ”composante visqueuse” et une ”composante inertielle”. Bien
sur, on verra que le nombre de Reynolds est l’indicateur id´eal pour savoir
laquelle des deux composantes est n´egligeable.
Pour mesurer l’impact de ces forces sur la chute d’un grain, on compare la
distance de la chute ´el´ementaire d et la distance caract´eristique pour atteindre
la vitesse limite appropri´ee.
Ainsi, pour mesurer l’influence de la force visqueuse, on introduit le nom-
bre de Stokes d´efini par (le fait d’avoir exprimer la racine du rapport car-
act´eristique sera justifi´e par la suite). :
St =
δv
d
Si St est ”petit”, la distance pour atteindre v∞v est nettement inf´erieure
`a la distance de chute donc entre chaque collision, le grain est `a tout
instant `a sa vitesse de chute limite visqueuse.
Si St est ”grand”, la distance pour atteindre v∞v est trop grande par
rapport `a la longueur de chute, les forces de traˆın´ee visqueuse auront donc
peu d’impact sur la chute du grain.
Avec l’expression de la distance caract´eristique visqueuse, on a:
St =
ρs ∆ρ g sin θ d3
648 η2
=
(ρs ∆ρ g sinθ)1/2
d3/2
18
√
2 η
(7)
11

12. Cette expression donnent une bonne id´ee des d´ependances de la force
visqueuse en fonction des param`etres. On s’attendait en effet `a ce que St
d´ecroit quand η augmente ou quand d ou ρs augmente.
On introduit maintenant un nombre qui mesure l’importance de la force
inertielle sur la chute:
r =
δi
d
Si r est ”petit”, la distance pour atteindre v∞i est nettement inf´erieure `a
la distance de chute donc entre chaque collision, le grain est `a tout
instant `a sa vitesse de chute limite inertielle.
Si r est ”grand”, la distance pour atteindre v∞i est trop grande par rap-
port `a la longueur de chute, les forces de traˆın´ee inertielle auront donc peu
d’impact sur la chute du grain.
Avec l’expression de la distance caract´eristique inertielle, on a:
r =
5 ρs
3 ρf
(8)
r mesure donc aussi le rapport de la densit´e volumique du grain sur la densit´e
volumique du fluide.
Remarque: En reprenant (1) sans force de frottement fluide (Ft = 0),
on trouve l’´equation du mouvement en chute libre (en int´egrant deux fois
`a la vitesse initiale nulle et `a l’origine): x = ∆ρ g sin θ
2 ρs
t2
donc la dur´ee pour
atteindre d en chute libre :
τl =
2 d ρs
∆ρ g sin θ
On retrouve avec (7) :
τv
τl
=
(ρs ∆ρ g sinθ)1/2
d3/2
18
√
2 η
= St
De mˆeme on trouve :
τi
τl
= r
12

13. On a donc utilis´e ces d´efinitions de r et St (avec la racine carr´ee) pour avoir
une interpr´etation simple en terme de dur´ees caract´eristiques.
Nous avons donc d´efini deux nombres sans dimension grˆace auxquels on
d´etermine comment va se comporter le grain durant sa chute.
5.2 Les trois diff´erents types d’avalanches ´el´ementaires
On note rc et Stc les valeurs critiques de r et St `a partir de lesquels on trouve
un changement de comportement.
4 cas peuvent se pr´esenter:
St < Stc St > Stc
r < rc ¸ca d´epend de St/r vitesse limite inertielle
r > rc vitesse limite visqueuse chute libre
Si St << Stc et r << rc : On a alors δi, δv << d donc la vitesse limite est
atteinte tr`es rapidement. En revanche, pour d´eterminer si la vitesse limite
est visqueuse ou inertielle, il faut comparer St et r entre eux. Et on a:
St
r
=
ρf d ∆ρ g d2 sin θ
60 × 18 η2
=
ρf d v∞v
60 η
=
Re(v∞v)
60
Et d’autre part, on a aussi :
St
r
=
√
9
18
√
50
ρf d
η
10 ∆ρ g sin θ d
3 ρf
=
√
9
18
√
100
ρf d v∞i
η
=
Re(v∞i)
60
Ainsi, peu importe si on est en r´egime visqueux ou en r´egime iner-
tiel, le nombre de Reynolds appliqu´e `a la vitesse (ici constante) des grains
13

14. fourni une mesure du rapport de l’influence de la force inertielle sur la force
visqueuse. C’est parfaitement en accord avec notre interpr´etation du nombre
de Reynolds. On peut donc retrouver le nombre de Reynolds grˆace `a St et r
et conclure si le r´egime est visqueux ou inertiel (le r´egime en chute libre est
ici ´ecart´e). En effet, si St/r << 1 (Re << 60) c’est le r´egime visqueux et si
St/r >> 1 (Re >> 60) c’est le r´egime inertiel.
Remarque: Notre mod`ele est d’autant plus pr´ecis que Re >> 60 ou
Re << 60. Car pour Re 60, on a St = r et on est `a la fronti`ere entre
le r´egime visqueux et le r´egime inertiel et donc nos approximations dans la
loi de White sont injustifi´ees. C’est en particulier le cas pour les billes
de diam`etres moyen (2.5 et 3 mm) On ´etudieras plus tard un mod`ele
plus adapt´e pour ce cas ”limite”.
Les deux nombres St et r permettent donc de d´eterminer `a eux seuls le
type de r´egime suivie par le grain dans sa chute ´el´ementaire. Pour notre
exp´erience on trouve :
solide/milieu diam`etre St r St/r
sable/eau 0.3mm 0.44 1.6 0.275
verre/eau 1.5mm 9.8 2.0 4.9
2mm 15 2.0 7.5
3mm 28 2.0 14
5mm 60 2.0 30
verre/air 1.5mm 680 57 12
2mm 1050 57 18
3mm 1900 57 33
5mm 4150 57 73
14

15. On peut alors r´esumer les diff´erents r´egimes de la chute ´el´ementaire sur
un tableau et y placer les diff´erentes valeurs correspondant `a nos exp´eriences
:
Figure 7: Les trois diff´erents r´egimes d’avalanches en fonction de St et r
On retrouve nos observations faites au paragraphe pr´ec´edent : on a une
vitesse limite visqueuse atteinte quasi-instantan´ement par les grains de sable
dans l’eau et une vitesse limite inertielle pour les billes de verre de grands
diam`etres dans l’eau. Les avalanches dans l’air correspondent `a des chutes
libres sur toute la chute ´el´ementaire. Mais on peut aussi tirer des conclusions
g´en´erales pour n’importe quelle grain dans n’importe quel fluide en pla¸cant
le point correspondant sur le tableau. Les avalanches auront les mˆemes car-
act´eristiques pour une mˆeme zone, tant qu’on reste loin du cas limite (trait
rouge).
6 ´Etude de l’avalanche dans son ensemble.
Collisions des grains dans le r´egime de chute
libre
6.1 La dur´ee d’avalanche
Maintenant que nous avons ´etudier la chute ´el´ementaire d’un grain, nous
allons nous int´eresser `a l’avalanche globale. On consid`ere qu’elle est la suc-
15

16. cession d’avalanches ´el´ementaires.
On consid`ere que la dur´ee d’une avalanche est la dur´ee que met un grain
au dessus de la pente pour la d´evaler jusqu’en bas. On note D la longueur de
la pente. Un grain doit donc r´ealiser D/d avalanches ´el´ementaire pour faire
une avalanche compl`ete.
D´ej`a, si le r´egime d’avalanche est visqueux ou inertiel, les grains poss`edent
une vitesse constante sur chaque chute ´el´ementaire, c’est `a dire entre chaque
collision. Donc, mˆeme si des collisions ont lieu r´eguli`erement pour freiner
le grain, on peut consid´erer qu’il retrouve la vitesse limite instantan´ement.
Donc en r´egime visqueux ou inertiel, les grains d´evalent la pente `a
une vitesse constante.
Ainsi en r´egime visqueux comme le sable dans l’eau :
Tv =
D
v∞v
=
18 η D
∆ρ g d2 sin θ
∝ d−2
Et dans le r´egime inertiel comme les billes de verre dans l’eau de
gros diam`etre :
Ti =
D
v∞i
= D
3 ρf
10 ∆ρ g d sin θ
1/2
∝ d−1/2
Pour le r´egime de chute libre, l’analyse est un peu plus compliqu´e car il
faut prendre en compte les collisions successives avec les grains qui ont lieux
entre chaque chute ´el´ementaire.
Si l’on consid`ere qu’il n’y a pas de perte de vitesse entre chaque choc
(exp´erimentalement vrai d`es que St >> 10), on a une acc´el´eration uniforme
sur tout le long du tas `a l’acc´el´eration ´egale `a ∆ρ g sin θ
ρs
(voir (1) en n´egligeant
Ft 0 ici). C’est le cas des avalanches dans l’air. On trouve :
Tcl =
2 ρs D
∆ρ g sin θ
1/2
ind´ependant de d
Enfin, dans le cas limite r St < rc, Stc, notre mod`ele des forces de
traˆın´ee est inexacte, dˆu `a une impossibilit´e de faire un d´eveloppement limit´e
dans l’expression de Ct. On peut donc consid´erer un mod`ele semi-collisionnel
16

17. qui se traduit par une perte de vitesse (en proportion 1 − e o`u e ∈ ]0, 1[)
apr`es chaque choc et en consid´erant que le grain est acc´el´er´e sur toute sa
chute ´el´ementaire `a l’acc´el´eration ∆ρ g sin θ
ρs
.
Figure 8: Sch´ema du mod`ele semi-collisionnel
En r´egime permanent, en notant vf la vitesse avant les chocs, en intro-
duisant vlim la vitesse limite atteinte, on trouve:
Tsc = D/vlim = D
1 − e
1 + e
2 ρs D
d ∆ρ g sin θ
1/2
On adoptera ce mod`ele pour notre cas limite, `a savoir les billes de verre
dans l’eau de petit diam`etre.
17

18. 6.2 La dur´ee d’avalanche
En bleu est repr´esent´e les valeurs trouv´ees exp´erimentalement et en orange
les valeurs trouv´ees par notre mod`ele.(e est pris ´egal `a 0.6 pour les billes de
1.5mm et 2mm).
Dans l’eau :
Figure 9: Dur´ee moyenne des avalanches dans l’eau
On retrouve la mˆeme ´evolution que dans la th´eorie : d´ecroissance de la
dur´ee d’avalanche avec le diam`etre, ´evolution en d−1/2
pour le r´egime iner-
tiel (3mm et 5mm). Les valeurs calcul´ees sont tr`es proche de la r´ealit´e pour
le mod`ele visqueux (sable, 0.3mm). Et le mod`ele semi-collisionnel semble
adapt´e aux billes de (1.5 et 2 mm) avec le coefficient e = 0.6. Enfin, on
obtient par le calcul environ la moiti´e des valeurs exp´erimentales pour le
r´egime inertiel. Cela est peut-ˆetre dˆu au fait qu’on a n´eglig´e les frottements
solides avec le grain du dessus (ce qui formellement change tous les sin θ en
sin θ − µd cos θ en adoptant le mod`ele des frottements de Coulomb) et le fait
que l’expression de la force de traˆın´ee utilis´ee est valable pour une sph`ere
plong´ee dans un liquide infini ce qui n’est pas le cas ici.
18

19. Dans l’air:
Figure 10: Dur´ee moyenne des avalanches dans l’air
Le mod`ele pr´evoit une ´evolution constante de la dur´ee d’avalanche en
fonction du diam`etre. On observe en effet une ´evolution sensiblement con-
stante de la dur´ee d’avalanche dans l’air. L’´ecart avec la valeur th´eorique est
dˆu aux mˆemes ph´enom`enes que dans l’eau.
Ainsi notre mod`ele explique bien l’´evolution relative des dur´ees d’avalanches
en fonction du diam`etre dans une large gamme d’avalanche. Il est en revanche
impr´ecis pour pr´evoir exactement la dur´ee des avalanches pour un fluide et
un solide donn´e.
19