cristallographie

1. IV. D´finitions
e
SM4
IV
D´finitions
e
IV.1
2010-2011
Famille cristalline
Une famille cristalline est form´e par l’ensemble des mat´riaux ayant mˆme structure et pr´sentant
e
e
e
e
des propri´t´s physiques et chimiques fortement analogues.
ee
Chaque famille est en pratique identifi´e par le nom 1 ou la formule chimique 2 d’un compos´
e
e
type, dont la structure sert de r´f´rence ` tous les autres membres.
ee
a
IV.2
Coordinence
• Dans un r´seau, un atome (ou ion), 𝐴 𝑖 donn´e est entour´ d’autres atomes (ou ions) 𝐴 𝑗 , pas
e
e
e
forc´ment identiques, et ´loign´s ` des distances interatomiques variables.
e
e
e a
♦ D´finition : La coordinence de l’atome 𝐴 𝑖 est le nombre 𝑥 de ses atomes plus
e
proches voisins 𝑉 .
On la note 𝐴/𝑉 = 𝑥 ou 𝐶(𝐴/𝑉 ) = 𝑥.
• la coordinence est un nombre sans dimension.
IV.3
Compacit´
e
♦ D´finition : La compacit´ 𝒞 est un nombre sans dimension qui mesure la taux
e
e
d’occupation r´el de l’espace par les atomes ou les ions assimil´s ` des sph`res
e
e a
e
dures.
La compacit´ est donc toujours comprise entre 0 et 1.
e
• Tr`s souvent on l’exprime en pourcentage (entre 0% et 100%).
e
𝑘
∑4
𝜋 𝑅3
𝑗
3
volume occup´
e
volume des k atomes d’une maille
𝑗=1
𝒞=
=
=
→
→ − →
volume disponible
volume de cette maille
(− × 𝑏 ) ▪ −
𝑎
𝑐
IV.4
Sites cristallographiques
♦ D´finition : Les sites cristallographiques (ou sites intersticiels) sont les intere
stices ou lacune de mati`re dans une maille.
e
• Csqce : Une maille contient n´cessairement du vide puisque 𝒞 < 1. Les sites cristallographiques
e
peuvent donc ˆtre occup´s par des entit´s chimiques ´trang`res.
e
e
e
e
e
Il existe trois sortes de sites cristallographiques :
les sites cubiques, les sites octa´driques et les sites t´tra´driques.
e
e e
♦ D´finition : On consid`re que le r´seau hˆte est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅
e
e
e
o
e
e
tangentes les unes avec les autres selon certaines directions de la structure cristalline.
L’habitabilit´ d’un site intersticiel est le rayon 𝑟 du plus gros atome qui puisse
e
s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure du r´seau hˆte.
e
ee
e
e
o
1. Ex : structure diamant, structure blende, . . .
2. Ex : structure 𝐶𝑠𝐶𝑙, structure 𝑁 𝑎𝐶𝑙, . . .
12
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2. IV. D´finitions
e
2010-2011
SM4
♦ D´finition : Les sites interstitiels co¨
e
ıncident avec le centre des poly`dres de
e
coordination (cube, octa`dre, t´tra`dre) ayant pour sommets les centres des premiers
e
e e
voisins 𝑉 du r´seau-hˆte cristallin.
e
o
IV.5
Sites cubiques [𝐶]
• Le site cubique dont le poly`dre de coordination est un cube d’arˆte 𝑑 aux huit sommets
e
e
occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝐶/𝑉 ) = 8
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site cubique [𝐶] :
e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝐶 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la grande
e
e
e
diagonale du cube d’arˆte 𝑑 :
e
√
𝑑 3
′
𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤
2
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
𝑑 3 ⎬
√
√
𝑟𝐶
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝐶 ≤
≤ 3 − 1 ≃ 0, 732
⇒ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑅 3 ⇔
2
⎭
𝑅
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site cubique :
𝑟 𝐶lim = 0, 732.𝑅
IV.6
Sites octa´drique [𝑂]
e
• Le site octa´drique dont le poly`dre de coordination est un octa`dre d’arˆte 𝑑 aux six sommets
e
e
e
e
occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑂/𝑉 ) = 6
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site octa´drique [𝑂] :
e
e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑂 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la diagonale
e
e
e
du carr´ d’arˆte 𝑑 :
e
e
√
.
𝑑 2
′
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤
2
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3. V. D´finitions
e
SM4
2010-2011
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
𝑑 2 ⎬
√
√
𝑟𝑂
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤
⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑅 2 ⇔
≤ 2 − 1 ≃ 0, 414
2
⎭
𝑅
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site octa´drique :
e
IV.7
𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅
Sites t´tra´drique [𝑇 ]
e e
• Le site t´tra´drique dont le poly`dre de coordination est un t´tra`dre d’arˆte 𝑑 aux quatre
e e
e
e e
e
sommets occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑇 /𝑉 ) = 4
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site t´tra´drique [𝑇 ] :
e
e e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑇 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon
e
e
𝑑
diagonale du cube d’arˆte 𝑎 = √ dans lequel s’inscrit le t´tra`dre :
e
e e
√
2
𝑎 3
⇔ 𝑅+ 𝑟𝑇 ≤
𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑑′ ⇔ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤
2
𝑑′ , la moiti´ de la grande
e
√
𝑑 3
√
2 2
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
√
√
𝑑 3 
⎬
𝑟𝑇
3
3
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝑇 ≤ .
⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑅.
⇔
≤
− 1 ≃ 0, 225
2
2

2
𝑅
2
⎭
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site t´tra´drique :
e e
IV.8
𝑟 𝑇,lim = 0, 225.𝑅
Site interstitiel pr´f´rentiel
ee
R`gle :
e
Pour un rapport
𝑟
fix´, lorsque plusieurs sites
e
𝑅
sont permis, l’atome ´tranger
e
occupera pr´f´rentiellement le
ee
site interstitiel de coordinence
la plus faible.
𝑟
Ex : Si
= 0, 40 :
𝑅
- les sites [𝑇 ] sont interdits
- les sites [𝑂] et [𝐶] sont permis, mais l’occupation d’un site [𝑂] sera prioritaire devant cele d’un
site [𝐶]
- i.e., les atomes ´trangers commencent par occuper les sites octa´driques [𝑂]
e
e
- si les atomes ´trangers sont en exc`s, ils occuperont ´galement les sites cubiques [𝐶]
e
e
e
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4. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
V
SM4
Corps Simples (I) : Cristaux m´talliques et cristaux
e
mol´culaires de gaz rares
e
Le motif est un atome du m´tal (ou du gaz rare). Dans ce r´seau, ces
e
e
atomes sont li´s par la liaison m´tallique. On les repr´sente par des sph`res
e
e
e
e
dures de rayon 𝑅.
Les ´lectrons libres sont d´localis´s sur l’ensemble de la structure
e
e
e
m´tallique : ´lectrons de conduction.
e
e
L’assemblage compact est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅 dispos´es de
e
e
e
mani`re ` minimiser l’espace vide.
e a
{
On distingue deux cas :
V.1
- ABCA : le cubique faces centr´es (c.f.c.)
e
- ABAB : l’hexagonal compact
(h.c.)
Propri´t´s macroscopiques conf´r´es par la liaison m´tallique
e e
ee
e
• Propri´t´s m´caniques : d´formable :
ee
e
e
- « bonne » ductibilité (obtentions de fils)
- « bonne » malléabilité (obtention de feuilles)
• Propriétés optiques : pouvoir réflecteur « élevé » sur tout le visible
• Propriétés thermiques : « bon » conducteur thermique
• Propriétés électriques : « bon » conducteur électrique
• Propriétés thermodynamiques : température de fusion « élevée »
V.2
Structure cubique ` faces centr´es : c.f.c (F)
a
e
Exemples :
- Métaux de transition (𝐶𝑢, 𝑁 𝑖, 𝐴𝑔, 𝐴𝑢, 𝐹 𝑒 𝛾 ,. . . ) et métal (𝐴𝑙)
- gaz rares : 𝑁 𝑒, 𝐴𝑟, 𝐾𝑟, 𝑋𝑒
- alcalino-terreux : 𝐶𝑎, 𝑆𝑟
z
c
β
a
α
b
y
γ
x
a
a
a
2
Param`tres de maille et relation entre 𝑎 et 𝑅
e
• Pour une maille c.f.c. :
𝑎= 𝑏= 𝑐
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90∘
• Cf. schéma page suivante.
√
√
Les atomes sont tangents le long de la diagonale d’une face : 4𝑅 = 𝑎 2, soit 𝑎 𝐹 = 2 2.𝑅
b
Nombre de motifs (atomes) par maille
(
)
1
8 ×
aux sommets
( 8)
1
6 ×
aux centres des faces
2
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⎫


⎬


⎭
⇒ 𝑍 =8×
1
1
+6×
8
6
⇒
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𝑍 = 4 at/maille
15

5. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
a
2010-2011
C
a
2
a
a
π
4
A
C
B
B
A
C
B
A
c
Coordinence
Chaque atome est tangent à :
⎫
- 6 atomes dans la même couche 𝐴
⎬
- 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵
⇒
⎭
- 3 atomes sur la couche supérieure 𝐶
d
A
𝐶(𝐸/𝐸) = 12
Compacit´
e
4
4. .𝜋.𝑅3
𝑍. 4 𝜋.𝑅3
Volume des atomes
3
3
𝒞=
=
= √
Volume d’une maille
𝑎3
(2 2.𝑅)3
⇒
𝜋
𝒞F = √ = 0, 74 = 74%
3 2
Dans une structure compacte c.f.c. :
• il y a 74% de volume occupé par les atomes
• il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités :
- les sites tétraédriques [𝑇 ]
- les sites octaédriques [𝑂]
e
Sites interstitiels
♦ D´finition : L’habitabilit´ d’un site est le rayon du plus gros atome qui puisse
e
e
s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure.
e
ee
e
𝛼) Sites octaédriques [𝑂]
• Localisation des sites [𝑂] dans
une maille 𝐹 :
- 1 au centre de la maille
- 12 au milieu des arêtes.
• Nombre de sites octaédriques
appartenant à la maille c.f.c. :
1
𝑁 𝑂 = 1 × 1 + 12 ×
4
⇒ 𝑁𝑂=4
• Règle 1 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure
compacte, il y a autant de sites octaédriques [𝑂] que d’atomes constituant le
réseau hôte : 𝑁 𝑂 = 𝑍
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6. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
Le schéma b) de la page précédente permet de conclure que :
• Dans une structure c.f.c, les sites [𝑂] sont
- sur les nœuds d’un réseau c.f.c.
- de paramètre 𝑎 )
(
1
- d’origine
, 0, 0 au lieu de (0, 0, 0)
2
• Habitabilité d’un site octaédrique [𝑂] :
√
- les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅
- l’atome interstitiel [𝑂] va au plus être tangent aux atomes 𝑉 du réseau selon une arête du
réseau c.f.c.. Donc : 2(𝑅 + 𝑟 𝑂 ) ≤ 𝑎
⎫
√
- D’où :
𝑎. 2 = 4.𝑅 ⎬
√
4.𝑅
𝑟𝑂
⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ √
⇔
≤ 2 − 1 ≃ 0, 414
𝑎
𝑅
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ ⎭
2. 2
2
Soit une habitabilité : 𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅
• La coordinence d’un site octaédrique est
𝑂/𝑉 = 6 .
𝛼) Sites tétraédriques [𝑇 ]
• Localisation des sites [𝑇 ] dans
une maille 𝐹 :
𝑎
8 au centre de 8 cubes de côté .
2
• Nombre de sites tétraédriques
appartenant à la maille c.f.c. :
𝑁𝑇 =8
• Règle 2 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure compacte, il y a deux fois plus de sites tétraédriques [𝑇 ] que d’atomes
constituant le réseau hôte : 𝑁 𝑇 = 2.𝑍
Le schéma b) permet de conclure que :
• Dans une structure c.f.c, les sites [𝑇 ] sont
- sur les nœuds d’un réseau Cubique Simple (P)
𝑎
- de paramètre 𝑎 𝑠 =
(
)2
1 1 1
- d’origine
, ,
au lieu de (0, 0, 0)
4 4 4
• Habitabilité d’un site tétraédrique [𝑇 ] :
√
- les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅
- l’atome interstitiel [𝑇 ] va au plus être tangent aux atomes √ du réseau selon le quart d’une
𝑉
𝑎 3
grande diagonale du cube du réseau c.f.c.. Donc : 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤
4
√
⎫
√
√
- D’où :
𝑎. 2 = 4.𝑅
⎬
4.𝑅 3
𝑟𝑇
3
√
≤
− 1 ≃ 0, 225
𝑎 3 ⎭ ⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ √2 . 4 ⇔
𝑅
2
𝑅+ 𝑟𝑇 ≤
4
Soit une habitabilité : 𝑟 𝑇lim = 0, 225.𝑅
• La coordinence d’un site tétraédrique est 𝑇 /𝑉 = 4 .
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7. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
V.3
Structure hexagonale compact : h.c. (H)
Exemples :
a
2010-2011
- 𝐻, 𝐻𝑒
- alcalino-terreux : 𝑀 𝑔, 𝐵𝑒
- 𝑇 𝑖, 𝑍𝑛, 𝐶𝑑,. . .
Param`tre de maille et g´om´trie
e
e e
• La nature de la maille est un prisme droit à base hexagonale, constituée de 3 mailles primitives.
La maille primitive (cf. ci-dessous) est un prisme droit à base losange :
z
c
c
c
D
2
α
β
a
γ
a
a h
b
C
y
x
a
A
• Pour une maille h.c. primitive :
H
a
a
a
B
𝑎 = 𝑏 ∕= 𝑐
𝛼 = 𝛽 = 90∘
𝛾 = 120∘
• Catactéristiques géométriques :
𝑎 désigne l’arête de l’hexagone ou celle d’un losange et 𝑅 le rayon d’un atome. On a :
- relation entre 𝑎 et 𝑅 : les atomes sont tangents suivant une arête de l’hexagone : 𝑎 𝐻 = 2.𝑅
√
2
- relation entre 𝑎 et 𝑐 : 𝑐 = 2.
.𝑎 ≃ 1, 633.𝑎 (§ à connaître par cœur et à savoir établir !)
3
Dém : (Voir les deux figures p.20)
- On considère les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 (sommets d’un tétraèdre régulier de côté 𝑎)
- On définit 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐷 sr le plan (𝐴𝐵𝐶) ; ce point est également l’intersection
des hauteurs (et bissectrices) du triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 de côté 𝑎
18
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8. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
- Puisque 𝐴𝐷𝐻 est orthogonal en 𝐻, le théorème de Pythagore donne :
ℎ2 = 𝑎2 − 𝐴𝐻 2 (★)
- Puisque 𝐴𝐻𝐶 ′ est orthogonal en 𝐶 ′ :
cos
( 𝜋)
𝐴𝐶 ′
𝑎
=
=
6
𝐴𝐻
2.𝐴𝐻
⇔
𝐴𝐻 =
𝑎
𝑎
(★★)
𝜋 = √
2. cos( 6 )
3
- On en déduit :
𝑎2
2𝑎2
− → ℎ2 = 𝑎2 −
−
=
3
3
(★★)
(★)
√
⇒
ℎ=
2
.𝑎
3
√
et donc :
𝑐 = 2ℎ =
8
.𝑎 ≃ 1, 633.𝑎
3
𝑐
est un critère pour tester un cristal réel hexagonal compact :
𝑎
Les valeurs fournies dans le tableau périodique (p. 11) permet d’évaluer ce rapport pour quelques
éléments suceptibles d’être concernés par la structure « hexagonal compact » :
Rq : Le rapport
Mg
= 1, 63 empilement parfait de sphères → empilement compact
Be
𝑐
𝑎
= 1, 57 empilement d’ellipsoïdes aplatis selon 𝑂𝑧
Zn
𝑐
𝑎
= 1, 86 empilement d’ellipsoïdes allongés selon 𝑂𝑧
C
b
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
= 2, 73 empilement absolument non compact (→ structure graphite)
Nombre de motifs/Nœuds et nombre d’atomes par maille
Attention : la structure « hexagonal compact » :
- est une structure critalline (modèle de cristal)
- mais elle n’est pas un système cristallin (réseau de Bravais)
Se souvenir que :
)}
{
(
→ → →
− , − , − ) + motif (0, 0, 0); 2 , 1 , 1
Structure cristalline = réseau ( 𝑎 𝑏 𝑐
3 3 2
Rq : Effectivement (Cf. schéma ci-dessous), comme 𝐻 est situé aux 2/3 de la hauteur du triangle
𝐶𝐶 ′ et puisque 𝐶𝐴𝐶 ′ et 𝐶𝐵 ′′ 𝐻 sont homologues, en appliquant le Thm de Thalès :
𝐶𝐵 ′′
𝐵 ′′ 𝐻
𝐶𝐻
2
2
=
⇒ donc :
𝐶𝐵 ′′ = .𝑎 et
=
=
𝐶𝐴
𝐴𝐶 ′
𝐶𝐶 ′
3
3
(
)
→
2 1
→ − →
Donc les coordonnées de 𝐻 sont
, , 0 dans la base (− , 𝑏 , − )
𝑎
𝑐
3 3
(
)
2 1 1
On en déduit les coordonnées de 𝐷 :
, ,
3 3 2
c
Coordinence
Chaque atome est tangent à :
⎫
- 6 atomes dans la même couche 𝐴
⎬
- 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵
⇒
⎭
- 3 atomes sur la couche supérieure 𝐵
d
1
𝐵 ′′ 𝐻 = .𝑎
3
𝐶(𝐸/𝐸) = 12
Compacit´
e
• Pour exprimer la compacité, il faut connaître le volume 𝑉 𝑒 de la maille élémentaire.
Or, le volume d’un prisme de hauteur 𝑐 à base losange est : 𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base
avec
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9. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
𝑆base = 2 × aire triangle équil. de côté 𝑎
(
)
1
.base tr. éq. × hauteur tr. éq.
= 2×
2
√
1
3
= 2 × .𝑎 × 𝑎.
2
2
√
A
3 2
=
.𝑎
2
√
⇒
𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base = 2.𝑎3
2010-2011
D
C
a
a
h
π a
6
B''
H π
a/3
3
a/2 C'
A
C
a
a
2a
3
a
H
B
B
4
2. .𝜋.𝑅3
𝑍at . 4 𝜋.𝑅3
8 1 𝜋. 𝑅3
𝜋
Volume des atomes
3
3
=
= √
= √ .
= √
𝒞=
3
3
Volume d’une maille
𝑉𝑒
3 2 8. 𝑅
2.𝑎
3. 2
𝜋
𝒞H = √ = 0, 74 = 74%
3 2
⇒
Dans une structure compacte h.c. :
• il y a 74% de volume occupé par les atomes
• il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités :
- les sites tétraédriques [𝑇 ]
- les sites octaédriques [𝑂]
e
Sites interstitiels
Pour les deux empilements compacts (c.f.c. ou h.c., même compacité et même coordinence), les
règles Règle 1 et Règle 2 sont valables :
- il y a autant de sites [𝑂] que d’atomes du réseau-hôte
- il y a deux fois plus de sites [𝑇 ] que d’atomes du réseau-hôte
⇒ on en déduit que, pour l’empilement h.c. : 𝑁 𝑂 = 𝑍at = 2 et 𝑁 𝑇 = 2.𝑍at = 4
V.4
Structure cubique centr´e : c.c. (I)
e
Exemples :
a
- métaux alcalins : 𝐿𝑖, 𝑁 𝑎 , 𝐾, 𝑅𝑏, 𝐶𝑠
- métaux de transition : 𝐹 𝑒 𝛼 , 𝑀 𝑜
Param`tre de maille et g´om´trie
e
e e
Les sphères modélisant les atomes (de rayon 𝑅) sont tangentes le long de la diagonale du cube :
√
4𝑅 = 𝑎. 3
⇒
4
𝑎 𝐶 = √ .𝑅
3
a 3
a
b
Coordinence
a
Chaque atome est tangent à 8 voisins immédiats (cf. l’atome
central de la maille primitive et les 8 atomes qui occupent
les sommets de cette maille) : ⇒
𝐶(𝐸/𝐸) = 8
c
2
a
a
Nombre de motifs/nœuds/atomes
Dans une maille élémentaire :
- chaque sommet est à partager avec les 7 autres mailles auxquelles il appartient. Donc chacune
des 8 motifs/atomes correspondant aux 8 sommets du cube de la maille élémentaire est à partager
entre 8 mailles.
20
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10. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
- le centre, où se trouve un motif/atome, est à comptabiliser entièrement pour la maille.
- donc, le nombre de motifs (atomes pour un cristal métallique ou de gaz rare) par maille est :
𝑍 =8×
d
1
+1
8
⇒
𝑍=2
Compacit´
e
4
√
2. .𝜋.𝑅3
𝑍at . 4 𝜋.𝑅3
Volume des atomes
4
𝑅3
𝜋. 3
3
3
𝒞=
=
=
= 2. .𝜋. 3
=
Volume d’une maille
𝑉𝑒
𝑎3
2.4
3
4
3
√ .𝑅
3. 3
√
𝜋. 3
⇒
𝒞I =
≃ 0, 68 = 68%
8
Dans une cubique centrée c.c. :
• il y a 68% de volume occupé par les atomes
• il y a 32% de vide qui peut être occupé par des atomes étrangers (impuretés
qui se logent les les sites interstitiels)
- comme 𝒞I = 0, 68 ≤ 0, 74 = 𝒞max on parle de structure « pseudo-compacte »
e
Exercice
♦ D´finition : On appelle rayon m´tallique la demi-distance d’´quilibre entre les
e
e
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noyaux des 2 plus proches voisins d’un cristal m´tallique.
e
Énoncé :
Le fer 𝛼 cristallise dans le système « cubique centrée » (c.c.).
→ Déterminer le rayon métallique de 𝐹 𝑒 𝛼 sachant que sa densité est 𝑑 = 7, 86.
Données : 𝑀 (𝐹 𝑒) = 55, 8 𝑔.𝑚𝑜𝑙−1 ; 𝒩 𝐴 = 6, 02.1023 𝑚𝑜𝑙−1
Réponse :
Puisque la définition de la densité d’un corps est le rapport de sa masse volumique par la masse
volumique de l’eau liquide :
𝑑=
𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 )
𝜌eau
⇒
𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 ) = 𝑑.𝜌eau = 7 860 𝑘𝑔.𝑚−3
En notant 𝑍 le nombre d’atomes par maille cubique centrée, de paramètre de maille 𝑎, on a :
𝑀
𝑍.
𝑚
masse d’une maille c.c.
𝑍.masse d’un atome de 𝐹 𝑒
𝒩𝐴
𝜌=
=
=
=(
)3
𝑉
𝑉maille
𝑎3
4
√ .𝑅
3
Soit :
√
3
𝑅=
.
4
(
𝑍.𝑀(𝐹 𝑒)
𝒩 𝐴 .𝜌(𝐹 𝑒)
Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
)1
3
√
3
.
=
4
(
2 × 55, 8.10−3
6, 02.1023 × 7 860
)1
3
⇒
𝑅 = 1, 24.10−10 𝑚 = 0, 124 𝑛𝑚
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