Le document traite des définitions et concepts liés aux structures cristallines, notamment les familles cristallines, la coordinence, la compacité et les sites cristallographiques. Il détaille les différentes types de sites (cubiques, octaédriques, tétraédriques) et leur habitabilité en fonction des dimensions des atomes. Les cristaux métalliques et les gaz rares sont également abordés, mettant en avant leurs propriétés mécaniques, optiques, thermiques et électriques.

1. IV. D´finitions
e
SM4
IV
D´finitions
e
IV.1
2010-2011
Famille cristalline
Une famille cristalline est form´e par l’ensemble des mat´riaux ayant mˆme structure et pr´sentant
e
e
e
e
des propri´t´s physiques et chimiques fortement analogues.
ee
Chaque famille est en pratique identifi´e par le nom 1 ou la formule chimique 2 d’un compos´
e
e
type, dont la structure sert de r´f´rence ` tous les autres membres.
ee
a
IV.2
Coordinence
• Dans un r´seau, un atome (ou ion), 𝐴 𝑖 donn´e est entour´ d’autres atomes (ou ions) 𝐴 𝑗 , pas
e
e
e
forc´ment identiques, et ´loign´s ` des distances interatomiques variables.
e
e
e a
♦ D´finition : La coordinence de l’atome 𝐴 𝑖 est le nombre 𝑥 de ses atomes plus
e
proches voisins 𝑉 .
On la note 𝐴/𝑉 = 𝑥 ou 𝐶(𝐴/𝑉 ) = 𝑥.
• la coordinence est un nombre sans dimension.
IV.3
Compacit´
e
♦ D´finition : La compacit´ 𝒞 est un nombre sans dimension qui mesure la taux
e
e
d’occupation r´el de l’espace par les atomes ou les ions assimil´s ` des sph`res
e
e a
e
dures.
La compacit´ est donc toujours comprise entre 0 et 1.
e
• Tr`s souvent on l’exprime en pourcentage (entre 0% et 100%).
e
𝑘
∑4
𝜋 𝑅3
𝑗
3
volume occup´
e
volume des k atomes d’une maille
𝑗=1
𝒞=
=
=
→
→ − →
volume disponible
volume de cette maille
(− × 𝑏 ) ▪ −
𝑎
𝑐
IV.4
Sites cristallographiques
♦ D´finition : Les sites cristallographiques (ou sites intersticiels) sont les intere
stices ou lacune de mati`re dans une maille.
e
• Csqce : Une maille contient n´cessairement du vide puisque 𝒞 < 1. Les sites cristallographiques
e
peuvent donc ˆtre occup´s par des entit´s chimiques ´trang`res.
e
e
e
e
e
Il existe trois sortes de sites cristallographiques :
les sites cubiques, les sites octa´driques et les sites t´tra´driques.
e
e e
♦ D´finition : On consid`re que le r´seau hˆte est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅
e
e
e
o
e
e
tangentes les unes avec les autres selon certaines directions de la structure cristalline.
L’habitabilit´ d’un site intersticiel est le rayon 𝑟 du plus gros atome qui puisse
e
s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure du r´seau hˆte.
e
ee
e
e
o
1. Ex : structure diamant, structure blende, . . .
2. Ex : structure 𝐶𝑠𝐶𝑙, structure 𝑁 𝑎𝐶𝑙, . . .
12
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2. IV. D´finitions
e
2010-2011
SM4
♦ D´finition : Les sites interstitiels co¨
e
ıncident avec le centre des poly`dres de
e
coordination (cube, octa`dre, t´tra`dre) ayant pour sommets les centres des premiers
e
e e
voisins 𝑉 du r´seau-hˆte cristallin.
e
o
IV.5
Sites cubiques [𝐶]
• Le site cubique dont le poly`dre de coordination est un cube d’arˆte 𝑑 aux huit sommets
e
e
occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝐶/𝑉 ) = 8
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site cubique [𝐶] :
e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝐶 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la grande
e
e
e
diagonale du cube d’arˆte 𝑑 :
e
√
𝑑 3
′
𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤
2
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
𝑑 3 ⎬
√
√
𝑟𝐶
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝐶 ≤
≤ 3 − 1 ≃ 0, 732
⇒ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑅 3 ⇔
2
⎭
𝑅
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site cubique :
𝑟 𝐶lim = 0, 732.𝑅
IV.6
Sites octa´drique [𝑂]
e
• Le site octa´drique dont le poly`dre de coordination est un octa`dre d’arˆte 𝑑 aux six sommets
e
e
e
e
occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑂/𝑉 ) = 6
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site octa´drique [𝑂] :
e
e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑂 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la diagonale
e
e
e
du carr´ d’arˆte 𝑑 :
e
e
√
.
𝑑 2
′
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤
2
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3. V. D´finitions
e
SM4
2010-2011
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
𝑑 2 ⎬
√
√
𝑟𝑂
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤
⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑅 2 ⇔
≤ 2 − 1 ≃ 0, 414
2
⎭
𝑅
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site octa´drique :
e
IV.7
𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅
Sites t´tra´drique [𝑇 ]
e e
• Le site t´tra´drique dont le poly`dre de coordination est un t´tra`dre d’arˆte 𝑑 aux quatre
e e
e
e e
e
sommets occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑇 /𝑉 ) = 4
e
e
e
• Habitabilit´ d’un site t´tra´drique [𝑇 ] :
e
e e
- les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑇 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon
e
e
𝑑
diagonale du cube d’arˆte 𝑎 = √ dans lequel s’inscrit le t´tra`dre :
e
e e
√
2
𝑎 3
⇔ 𝑅+ 𝑟𝑇 ≤
𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑑′ ⇔ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤
2
𝑑′ , la moiti´ de la grande
e
√
𝑑 3
√
2 2
- les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅
e
e
e
√ ⎫
√
√
𝑑 3 
⎬
𝑟𝑇
3
3
- Soit :
𝑅+ 𝑟𝑇 ≤ .
⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑅.
⇔
≤
− 1 ≃ 0, 225
2
2

2
𝑅
2
⎭
𝑑 = 2.𝑅
Soit, un rayon limite pour le site t´tra´drique :
e e
IV.8
𝑟 𝑇,lim = 0, 225.𝑅
Site interstitiel pr´f´rentiel
ee
R`gle :
e
Pour un rapport
𝑟
fix´, lorsque plusieurs sites
e
𝑅
sont permis, l’atome ´tranger
e
occupera pr´f´rentiellement le
ee
site interstitiel de coordinence
la plus faible.
𝑟
Ex : Si
= 0, 40 :
𝑅
- les sites [𝑇 ] sont interdits
- les sites [𝑂] et [𝐶] sont permis, mais l’occupation d’un site [𝑂] sera prioritaire devant cele d’un
site [𝐶]
- i.e., les atomes ´trangers commencent par occuper les sites octa´driques [𝑂]
e
e
- si les atomes ´trangers sont en exc`s, ils occuperont ´galement les sites cubiques [𝐶]
e
e
e
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4. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
V
SM4
Corps Simples (I) : Cristaux m´talliques et cristaux
e
mol´culaires de gaz rares
e
Le motif est un atome du m´tal (ou du gaz rare). Dans ce r´seau, ces
e
e
atomes sont li´s par la liaison m´tallique. On les repr´sente par des sph`res
e
e
e
e
dures de rayon 𝑅.
Les ´lectrons libres sont d´localis´s sur l’ensemble de la structure
e
e
e
m´tallique : ´lectrons de conduction.
e
e
L’assemblage compact est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅 dispos´es de
e
e
e
mani`re ` minimiser l’espace vide.
e a
{
On distingue deux cas :
V.1
- ABCA : le cubique faces centr´es (c.f.c.)
e
- ABAB : l’hexagonal compact
(h.c.)
Propri´t´s macroscopiques conf´r´es par la liaison m´tallique
e e
ee
e
• Propri´t´s m´caniques : d´formable :
ee
e
e
- « bonne » ductibilité (obtentions de fils)
- « bonne » malléabilité (obtention de feuilles)
• Propriétés optiques : pouvoir réflecteur « élevé » sur tout le visible
• Propriétés thermiques : « bon » conducteur thermique
• Propriétés électriques : « bon » conducteur électrique
• Propriétés thermodynamiques : température de fusion « élevée »
V.2
Structure cubique ` faces centr´es : c.f.c (F)
a
e
Exemples :
- Métaux de transition (𝐶𝑢, 𝑁 𝑖, 𝐴𝑔, 𝐴𝑢, 𝐹 𝑒 𝛾 ,. . . ) et métal (𝐴𝑙)
- gaz rares : 𝑁 𝑒, 𝐴𝑟, 𝐾𝑟, 𝑋𝑒
- alcalino-terreux : 𝐶𝑎, 𝑆𝑟
z
c
β
a
α
b
y
γ
x
a
a
a
2
Param`tres de maille et relation entre 𝑎 et 𝑅
e
• Pour une maille c.f.c. :
𝑎= 𝑏= 𝑐
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90∘
• Cf. schéma page suivante.
√
√
Les atomes sont tangents le long de la diagonale d’une face : 4𝑅 = 𝑎 2, soit 𝑎 𝐹 = 2 2.𝑅
b
Nombre de motifs (atomes) par maille
(
)
1
8 ×
aux sommets
( 8)
1
6 ×
aux centres des faces
2
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⎫


⎬


⎭
⇒ 𝑍 =8×
1
1
+6×
8
6
⇒
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𝑍 = 4 at/maille
15

5. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
a
2010-2011
C
a
2
a
a
π
4
A
C
B
B
A
C
B
A
c
Coordinence
Chaque atome est tangent à :
⎫
- 6 atomes dans la même couche 𝐴
⎬
- 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵
⇒
⎭
- 3 atomes sur la couche supérieure 𝐶
d
A
𝐶(𝐸/𝐸) = 12
Compacit´
e
4
4. .𝜋.𝑅3
𝑍. 4 𝜋.𝑅3
Volume des atomes
3
3
𝒞=
=
= √
Volume d’une maille
𝑎3
(2 2.𝑅)3
⇒
𝜋
𝒞F = √ = 0, 74 = 74%
3 2
Dans une structure compacte c.f.c. :
• il y a 74% de volume occupé par les atomes
• il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités :
- les sites tétraédriques [𝑇 ]
- les sites octaédriques [𝑂]
e
Sites interstitiels
♦ D´finition : L’habitabilit´ d’un site est le rayon du plus gros atome qui puisse
e
e
s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure.
e
ee
e
𝛼) Sites octaédriques [𝑂]
• Localisation des sites [𝑂] dans
une maille 𝐹 :
- 1 au centre de la maille
- 12 au milieu des arêtes.
• Nombre de sites octaédriques
appartenant à la maille c.f.c. :
1
𝑁 𝑂 = 1 × 1 + 12 ×
4
⇒ 𝑁𝑂=4
• Règle 1 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure
compacte, il y a autant de sites octaédriques [𝑂] que d’atomes constituant le
réseau hôte : 𝑁 𝑂 = 𝑍
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6. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
Le schéma b) de la page précédente permet de conclure que :
• Dans une structure c.f.c, les sites [𝑂] sont
- sur les nœuds d’un réseau c.f.c.
- de paramètre 𝑎 )
(
1
- d’origine
, 0, 0 au lieu de (0, 0, 0)
2
• Habitabilité d’un site octaédrique [𝑂] :
√
- les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅
- l’atome interstitiel [𝑂] va au plus être tangent aux atomes 𝑉 du réseau selon une arête du
réseau c.f.c.. Donc : 2(𝑅 + 𝑟 𝑂 ) ≤ 𝑎
⎫
√
- D’où :
𝑎. 2 = 4.𝑅 ⎬
√
4.𝑅
𝑟𝑂
⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ √
⇔
≤ 2 − 1 ≃ 0, 414
𝑎
𝑅
𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ ⎭
2. 2
2
Soit une habitabilité : 𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅
• La coordinence d’un site octaédrique est
𝑂/𝑉 = 6 .
𝛼) Sites tétraédriques [𝑇 ]
• Localisation des sites [𝑇 ] dans
une maille 𝐹 :
𝑎
8 au centre de 8 cubes de côté .
2
• Nombre de sites tétraédriques
appartenant à la maille c.f.c. :
𝑁𝑇 =8
• Règle 2 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure compacte, il y a deux fois plus de sites tétraédriques [𝑇 ] que d’atomes
constituant le réseau hôte : 𝑁 𝑇 = 2.𝑍
Le schéma b) permet de conclure que :
• Dans une structure c.f.c, les sites [𝑇 ] sont
- sur les nœuds d’un réseau Cubique Simple (P)
𝑎
- de paramètre 𝑎 𝑠 =
(
)2
1 1 1
- d’origine
, ,
au lieu de (0, 0, 0)
4 4 4
• Habitabilité d’un site tétraédrique [𝑇 ] :
√
- les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅
- l’atome interstitiel [𝑇 ] va au plus être tangent aux atomes √ du réseau selon le quart d’une
𝑉
𝑎 3
grande diagonale du cube du réseau c.f.c.. Donc : 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤
4
√
⎫
√
√
- D’où :
𝑎. 2 = 4.𝑅
⎬
4.𝑅 3
𝑟𝑇
3
√
≤
− 1 ≃ 0, 225
𝑎 3 ⎭ ⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ √2 . 4 ⇔
𝑅
2
𝑅+ 𝑟𝑇 ≤
4
Soit une habitabilité : 𝑟 𝑇lim = 0, 225.𝑅
• La coordinence d’un site tétraédrique est 𝑇 /𝑉 = 4 .
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7. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
V.3
Structure hexagonale compact : h.c. (H)
Exemples :
a
2010-2011
- 𝐻, 𝐻𝑒
- alcalino-terreux : 𝑀 𝑔, 𝐵𝑒
- 𝑇 𝑖, 𝑍𝑛, 𝐶𝑑,. . .
Param`tre de maille et g´om´trie
e
e e
• La nature de la maille est un prisme droit à base hexagonale, constituée de 3 mailles primitives.
La maille primitive (cf. ci-dessous) est un prisme droit à base losange :
z
c
c
c
D
2
α
β
a
γ
a
a h
b
C
y
x
a
A
• Pour une maille h.c. primitive :
H
a
a
a
B
𝑎 = 𝑏 ∕= 𝑐
𝛼 = 𝛽 = 90∘
𝛾 = 120∘
• Catactéristiques géométriques :
𝑎 désigne l’arête de l’hexagone ou celle d’un losange et 𝑅 le rayon d’un atome. On a :
- relation entre 𝑎 et 𝑅 : les atomes sont tangents suivant une arête de l’hexagone : 𝑎 𝐻 = 2.𝑅
√
2
- relation entre 𝑎 et 𝑐 : 𝑐 = 2.
.𝑎 ≃ 1, 633.𝑎 (§ à connaître par cœur et à savoir établir !)
3
Dém : (Voir les deux figures p.20)
- On considère les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 (sommets d’un tétraèdre régulier de côté 𝑎)
- On définit 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐷 sr le plan (𝐴𝐵𝐶) ; ce point est également l’intersection
des hauteurs (et bissectrices) du triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 de côté 𝑎
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8. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
- Puisque 𝐴𝐷𝐻 est orthogonal en 𝐻, le théorème de Pythagore donne :
ℎ2 = 𝑎2 − 𝐴𝐻 2 (★)
- Puisque 𝐴𝐻𝐶 ′ est orthogonal en 𝐶 ′ :
cos
( 𝜋)
𝐴𝐶 ′
𝑎
=
=
6
𝐴𝐻
2.𝐴𝐻
⇔
𝐴𝐻 =
𝑎
𝑎
(★★)
𝜋 = √
2. cos( 6 )
3
- On en déduit :
𝑎2
2𝑎2
− → ℎ2 = 𝑎2 −
−
=
3
3
(★★)
(★)
√
⇒
ℎ=
2
.𝑎
3
√
et donc :
𝑐 = 2ℎ =
8
.𝑎 ≃ 1, 633.𝑎
3
𝑐
est un critère pour tester un cristal réel hexagonal compact :
𝑎
Les valeurs fournies dans le tableau périodique (p. 11) permet d’évaluer ce rapport pour quelques
éléments suceptibles d’être concernés par la structure « hexagonal compact » :
Rq : Le rapport
Mg
= 1, 63 empilement parfait de sphères → empilement compact
Be
𝑐
𝑎
= 1, 57 empilement d’ellipsoïdes aplatis selon 𝑂𝑧
Zn
𝑐
𝑎
= 1, 86 empilement d’ellipsoïdes allongés selon 𝑂𝑧
C
b
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
= 2, 73 empilement absolument non compact (→ structure graphite)
Nombre de motifs/Nœuds et nombre d’atomes par maille
Attention : la structure « hexagonal compact » :
- est une structure critalline (modèle de cristal)
- mais elle n’est pas un système cristallin (réseau de Bravais)
Se souvenir que :
)}
{
(
→ → →
− , − , − ) + motif (0, 0, 0); 2 , 1 , 1
Structure cristalline = réseau ( 𝑎 𝑏 𝑐
3 3 2
Rq : Effectivement (Cf. schéma ci-dessous), comme 𝐻 est situé aux 2/3 de la hauteur du triangle
𝐶𝐶 ′ et puisque 𝐶𝐴𝐶 ′ et 𝐶𝐵 ′′ 𝐻 sont homologues, en appliquant le Thm de Thalès :
𝐶𝐵 ′′
𝐵 ′′ 𝐻
𝐶𝐻
2
2
=
⇒ donc :
𝐶𝐵 ′′ = .𝑎 et
=
=
𝐶𝐴
𝐴𝐶 ′
𝐶𝐶 ′
3
3
(
)
→
2 1
→ − →
Donc les coordonnées de 𝐻 sont
, , 0 dans la base (− , 𝑏 , − )
𝑎
𝑐
3 3
(
)
2 1 1
On en déduit les coordonnées de 𝐷 :
, ,
3 3 2
c
Coordinence
Chaque atome est tangent à :
⎫
- 6 atomes dans la même couche 𝐴
⎬
- 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵
⇒
⎭
- 3 atomes sur la couche supérieure 𝐵
d
1
𝐵 ′′ 𝐻 = .𝑎
3
𝐶(𝐸/𝐸) = 12
Compacit´
e
• Pour exprimer la compacité, il faut connaître le volume 𝑉 𝑒 de la maille élémentaire.
Or, le volume d’un prisme de hauteur 𝑐 à base losange est : 𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base
avec
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9. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
SM4
𝑆base = 2 × aire triangle équil. de côté 𝑎
(
)
1
.base tr. éq. × hauteur tr. éq.
= 2×
2
√
1
3
= 2 × .𝑎 × 𝑎.
2
2
√
A
3 2
=
.𝑎
2
√
⇒
𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base = 2.𝑎3
2010-2011
D
C
a
a
h
π a
6
B''
H π
a/3
3
a/2 C'
A
C
a
a
2a
3
a
H
B
B
4
2. .𝜋.𝑅3
𝑍at . 4 𝜋.𝑅3
8 1 𝜋. 𝑅3
𝜋
Volume des atomes
3
3
=
= √
= √ .
= √
𝒞=
3
3
Volume d’une maille
𝑉𝑒
3 2 8. 𝑅
2.𝑎
3. 2
𝜋
𝒞H = √ = 0, 74 = 74%
3 2
⇒
Dans une structure compacte h.c. :
• il y a 74% de volume occupé par les atomes
• il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités :
- les sites tétraédriques [𝑇 ]
- les sites octaédriques [𝑂]
e
Sites interstitiels
Pour les deux empilements compacts (c.f.c. ou h.c., même compacité et même coordinence), les
règles Règle 1 et Règle 2 sont valables :
- il y a autant de sites [𝑂] que d’atomes du réseau-hôte
- il y a deux fois plus de sites [𝑇 ] que d’atomes du réseau-hôte
⇒ on en déduit que, pour l’empilement h.c. : 𝑁 𝑂 = 𝑍at = 2 et 𝑁 𝑇 = 2.𝑍at = 4
V.4
Structure cubique centr´e : c.c. (I)
e
Exemples :
a
- métaux alcalins : 𝐿𝑖, 𝑁 𝑎 , 𝐾, 𝑅𝑏, 𝐶𝑠
- métaux de transition : 𝐹 𝑒 𝛼 , 𝑀 𝑜
Param`tre de maille et g´om´trie
e
e e
Les sphères modélisant les atomes (de rayon 𝑅) sont tangentes le long de la diagonale du cube :
√
4𝑅 = 𝑎. 3
⇒
4
𝑎 𝐶 = √ .𝑅
3
a 3
a
b
Coordinence
a
Chaque atome est tangent à 8 voisins immédiats (cf. l’atome
central de la maille primitive et les 8 atomes qui occupent
les sommets de cette maille) : ⇒
𝐶(𝐸/𝐸) = 8
c
2
a
a
Nombre de motifs/nœuds/atomes
Dans une maille élémentaire :
- chaque sommet est à partager avec les 7 autres mailles auxquelles il appartient. Donc chacune
des 8 motifs/atomes correspondant aux 8 sommets du cube de la maille élémentaire est à partager
entre 8 mailles.
20
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10. V. Cristaux m´talliques et de gaz rares
e
2010-2011
SM4
- le centre, où se trouve un motif/atome, est à comptabiliser entièrement pour la maille.
- donc, le nombre de motifs (atomes pour un cristal métallique ou de gaz rare) par maille est :
𝑍 =8×
d
1
+1
8
⇒
𝑍=2
Compacit´
e
4
√
2. .𝜋.𝑅3
𝑍at . 4 𝜋.𝑅3
Volume des atomes
4
𝑅3
𝜋. 3
3
3
𝒞=
=
=
= 2. .𝜋. 3
=
Volume d’une maille
𝑉𝑒
𝑎3
2.4
3
4
3
√ .𝑅
3. 3
√
𝜋. 3
⇒
𝒞I =
≃ 0, 68 = 68%
8
Dans une cubique centrée c.c. :
• il y a 68% de volume occupé par les atomes
• il y a 32% de vide qui peut être occupé par des atomes étrangers (impuretés
qui se logent les les sites interstitiels)
- comme 𝒞I = 0, 68 ≤ 0, 74 = 𝒞max on parle de structure « pseudo-compacte »
e
Exercice
♦ D´finition : On appelle rayon m´tallique la demi-distance d’´quilibre entre les
e
e
e
noyaux des 2 plus proches voisins d’un cristal m´tallique.
e
Énoncé :
Le fer 𝛼 cristallise dans le système « cubique centrée » (c.c.).
→ Déterminer le rayon métallique de 𝐹 𝑒 𝛼 sachant que sa densité est 𝑑 = 7, 86.
Données : 𝑀 (𝐹 𝑒) = 55, 8 𝑔.𝑚𝑜𝑙−1 ; 𝒩 𝐴 = 6, 02.1023 𝑚𝑜𝑙−1
Réponse :
Puisque la définition de la densité d’un corps est le rapport de sa masse volumique par la masse
volumique de l’eau liquide :
𝑑=
𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 )
𝜌eau
⇒
𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 ) = 𝑑.𝜌eau = 7 860 𝑘𝑔.𝑚−3
En notant 𝑍 le nombre d’atomes par maille cubique centrée, de paramètre de maille 𝑎, on a :
𝑀
𝑍.
𝑚
masse d’une maille c.c.
𝑍.masse d’un atome de 𝐹 𝑒
𝒩𝐴
𝜌=
=
=
=(
)3
𝑉
𝑉maille
𝑎3
4
√ .𝑅
3
Soit :
√
3
𝑅=
.
4
(
𝑍.𝑀(𝐹 𝑒)
𝒩 𝐴 .𝜌(𝐹 𝑒)
Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
)1
3
√
3
.
=
4
(
2 × 55, 8.10−3
6, 02.1023 × 7 860
)1
3
⇒
𝑅 = 1, 24.10−10 𝑚 = 0, 124 𝑛𝑚
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