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Les milieux granulaires : entre fluide et solide
                     dossier personnel
                         Benoit Halinger, Steren Giannini
                                      20 juin 2006




Table des mati`res
              e
Introduction                                                                                                                 2

Notions pr´liminaires
          e                                                                                                                  2
  0.1 D´finition d’un milieu granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
        e                                                                                                                    2
  0.2 Tenseurs de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                        2

1 L’effet de voˆ te
               u                                                                                                            3
  1.1 La propagation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                        3
  1.2 L’exp´rience du silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           e                                                                                                                4
  1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen . . . . . . . . . . . . . . .
          e                                                                                                                 8

2 Les Ecoulements denses                                                                                                     9
  2.1 Observations . . . . . . . . . . . .   . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
      2.1.1 Exp´rience du plan inclin´
                 e                       e    . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
      2.1.2 Exp´rience du tambour . .
                 e                            . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
  2.2 Mod´lisation des ´coulements . .
           e            e                    . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
      2.2.1 le tas de sable . . . . . . .     . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
      2.2.2 Equations moyenn´es dans
                                 e           l’´paisseur
                                               e            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15

Conclusion                                                                                                                  18

Bibliographie                                                                                                               19

Contacts                                                                                                                    19

Annexe                                                                                                                      20

                                             1
0.1 D´finition d’un milieu granulaire
     e                                                                        `
                                                                TABLE DES MATIERES

Introduction
   Au repos ou en ´coulement, la mati`re en grains ne manque pas de surprendre par ses
                    e                    e
propri´t´s particuli`res entre solides et liquides...
      ee            e

Les enjeux
    Les mat´riaux granulaires sont pr´sents dans de nombreux secteurs industriels, cepen-
            e                         e
dant leur ´tude reste tr`s r´cente. La description de leur comportement et la compr´hen-
          e             e e                                                         e
sion des ph´nom`nes observ´s est donc primordiale.
            e    e           e

Une dualit´ Liquide/Solide
          e
   Le grand nombre de particules constituantes et la complexit´ des interactions de
                                                               e
contact conduisent ` une multitude de comportements diff´rents. Ainsi les milieux gra-
                     a                                  e
nulaires existent sous plusieurs ´tats.
                                 e
   On observe donc un comportement solide sous certaines solicitations, liquide sous
d’autres, mais ´galement des comportements ayant simultan´ment les propri´t´s de ces
                e                                         e               ee
deux ´tats.
      e

Le sablier
   L’observation anodine d’un sablier soul`ve ` elle seule de multiples interrogations :
                                             e a
Contrairement ` la clepsydre, pourquoi le sablier conserve-t-il un d´bit constant ? Pour-
                 a                                                   e
quoi le tas inf´rieur garde-t-il le mˆme angle de talus au cours du remplissage ?
               e                     e


Notions pr´liminaires
          e
0.1    D´finition d’un milieu granulaire
        e
    On appelle ici un milieu granulaire un milieu form´ d’une collection de particules
                                                          e
macroscopiques de taille sup´rieure ` 100µm. En minorant la taille de ces grains, on peut
                              e       a
n´gliger les forces de Van der Walls, les ponts capillaires, les mouvements browniens et
  e
les forces ´lectrostatiques entre les particules.
           e

0.2    Tenseurs de contraintes
    On souhaite d´crire le milieu granulaire comme un mat´riau continu. On introduit
                  e                                           e
alors le tenseur des contraintes, qui repr´sente les forces surfaciques s’exer¸ant sur lui.
                                          e                                   c
On le d´finit pour un ´l´ment rectangulaire ´l´mentaire de mat´riau.[cf sch´ma 1]
        e             ee                     ee                  e           e

   En deux dimensions, les composantes du tenseur des contraintes sont les suivantes :
   – σxx la composante normale, selon − , des forces surfaciques s’exer¸ant sur les faces
                                        →
                                        ex                                c
     verticales
   – σzz la composante normale, selon − , des forces s’exer¸ant sur les faces horizontales
                                       →ez                   c
   – σxz la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant
                                                                   →
                                                                   ez                   c
     sur les faces verticales

                                             2
ˆ
                                                                 1 L’EFFET DE VOUTE




                   Fig. 1 – Le tenseur des contraintes en 2 dimensions

    – σzx la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant
                                                                    →
                                                                    ex                   c
      sur les faces horizontales.
    D’un point de vue m´canique, c’est le mode de transmission des contraintes qui d´-
                           e                                                               e
termine l’´tat physique du milieu. Dans le cas d’un liquide, les contraintes tangentes sont
           e
nulles, et les contraintes normales sont ´galement transmises dans toutes les directions et
                                         e
dans tout le milieu. Dans le cas d’un solide, au contraire, les contraintes tangentes sont
souvent non-nulles et σxx peut ˆtre diff´rent de σzz (une telle diff´rence, la contrainte
                                   e       e                           e
d´viatorique, met syst´matiquement un liquide en mouvement : les liquides ne peuvent
 e                       e
pas transmettre de contrainte d´viatorique).
                                  e

Les contraintes dans un milieu granulaire
   Le caract`re bivalent des milieux granulaires, entre solides et liquides, se manifeste au
             e
niveau des contraintes, puisque la contrainte d´viatorique y est g´n´ralement non-nulle,
                                               e                     e e
mais il existe une valeur limite au-del` de laquelle le milieu s’´coule. (cette valeur est
                                        a                          e
proportionnelle ` la pression moyenne σxx +σzz qui s’exerce sur le milieu, ce qui explique
                 a                          2
que lorsque l’on appuie sur un tas de sable, on s’enfonce, mais au fur et ` mesure la
                                                                                a
pression est de plus en plus importante, le milieu s’´coule de moins en moins, le sable
                                                      e
devient solide sous la pression du doigt !)


1     L’effet de voˆ te
                  u
1.1    La propagation des contraintes
    Lorsqu’un ensemble de grains est mis sous contrainte, la transmission des forces est
tr`s inhomog`ne. Certains grains ne sont pratiquement pas sous contrainte, alors que
  e            e
toute la charge repose sur d’autres. Ces derniers font parties de ”chaines de forces” bien
marqu´es.
       e
    Une exp´rience consiste ` exercer une pression sur un empilement de cylindres consti-
            e               a
tu´ d’un mat´riau bir´fringeant. (voir photo 2. On peut observer les chaˆ de forces entre
  e           e      e                                                  ınes

                                             3
1.2 L’exp´rience du silo
         e                                                                        ˆ
                                                                   1 L’EFFET DE VOUTE




                           Fig. 2 – Exp´rience de photo´lasticit´
                                       e               e        e

deux polariseurs crois´s : les cylindres sont d’autant plus lumineux qu’ils sont soumis `
                      e                                                                 a
une contrainte importante. La r´partition des forces est manifestement tr`s h´t´rog`ne.
                                 e                                         e ee e
   exp´rience en direct : effet de voˆte dans le tube d’efferalgan
      e                              u

1.2    L’exp´rience du silo
            e
     Nous allons ici observer une cons´quence de cette propagation particuli`re des forces
                                       e                                    e
dans un mat´riau granulaire. L’exp´rience consiste ` mesurer le poids ` la base d’un
              e                        e              a                   a
silo contenant un volume d´termin´ de mati`re en grains. Les mat´riaux sont ´galement
                             e      e        e                     e            e
un param`tre d’´tude : Nous avons utilis´ du sable sec dont les grains sont d’un dia-
           e      e                        e
m`tre moyen autour du millim`tre pour notre premi`re manipulation (photo 3a). Pour
   e                             e                    e
la seconde, nous avons utilis´ des granul´s de plastique de forme cylindrique dont les
                               e           e
dimensions sont de quelques millim`tres.(photo 3b)
                                     e

   Apr`s de multiples remaniments, le dispositif final de la manipulation est le suivant
        e
(voir sch´ma de la figure 4) :
          e
   – un silo transparent gradu´ en ”diam`tres” reli´ solidement et d’une mani`re tr`s
                                  e           e         e                               e     e
      rigide au sol.
   – une balance pr´sice capable de soutenir un poids maximal d’environ 4kg.
                     e
   – un syst`me de piston qui transmet les forces de pression ` la base du silo vers la
              e                                                       a
      balance. Celui-ci doit coulisser sans frotter dans le silo. Il est pr´sent pour ´viter les
                                                                           e          e
      fuites de grains.




                                               4
1.2 L’exp´rience du silo
         e                                                                    ˆ
                                                               1 L’EFFET DE VOUTE




                           Fig. 3 – Pr´sentation des dispositifs
                                      e




                              Fig. 4 – Sch´ma du dispositif
                                          e




                                            5
1.2 L’exp´rience du silo
         e                                                                      ˆ
                                                                 1 L’EFFET DE VOUTE

        Mesure    Hauteur     Photo        Sch´ma
                                              e            Poids apparent mesur´
                                                                               e
                                                          sable grains plastiques


          n1
          ˚          D                                    420g         150g




          n3
          ˚         2D                                    624          200g




          n5
          ˚         3D                                    700g         200g




                         Tab. 1 – R´capitulatif des observations
                                   e

    On observe alors plusieurs phases lors du remplissage progressif du silo (voir tableau
1 et courbes de la figure 5) : Pour de faibles hauteurs de grains, le poids mesur´ augmente
                                                                                e
lin´airement avec le volume de grains vers´. Ce qui est tr`s naturel car c’est le cas des
   e                                         e               e
fluides. Cependant au del` d’une hauteur de l’ordre de deux fois le diam`tre du silo, le
                           a                                                 e
poids mesur´ reste casiment toujours le mˆme. Il tend vers une valeur constante, ce qui
            e                                e
diff`re des fluides ordinaires.
    e

    Ces ph´nom`nes observ´s d´coulent de la dualit´ liquide/solide qui r´git un mat´riau
           e     e           e e                      e                    e           e
granulaire : Une telle mati`re ne peut ˆtre d´crite comme un fluide classique dont le poids
                           e           e     e
est directement mesurable ` la base du r´cipient qui le contient, le mat´riau pr´sente donc
                            a            e                              e       e
simultan´ment des caract´ristiques d’un liquide et d’un solide.
         e                e
Sur le principe de la voˆte architecturale, le poids des grains est en partie support´ par
                        u                                                             e
les paroies du silo.




                                            6
1.2 L’exp´rience du silo
         e                                                                 ˆ
                                                            1 L’EFFET DE VOUTE




                      Fig. 5 – Poids apparent ` la base du silo
                                              a




                                         7
1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen
       e                                                                        ˆ
                                                                 1 L’EFFET DE VOUTE

1.3    Mod´lisation physique : Approche de Janssen
          e
  On consid`re un silo cylindrique de diam`tre D remplit d’un mat´riau granulaire. Le
              e                             e                        e
mod`le choisit a ´t´ propos´ par Janssen en 1895, il reste d’une grande simplicit´.
   e             ee        e                                                     e
  il est bas´ sur 3 hypoth`ses :
            e              e
  1. les contraintes verticales σzz ne d´pendent que de la variable d’espace z
                                        e
  2. le milieu frotte sur les parois lat´rales et se trouve sur le point de glisser : T = µs N
                                        e
     (avec µs le coefficient de frottement statique)
  3. la contrainte verticale σzz appliqu´e sur le mat´riaux engendre une contrainte hori-
                                         e           e
     zontale σxx qui lui est directement proportionnelle : σxx = Kσzz . (K ´tant constante,
                                                                           e
     pour un fluide la pression est isotrope on aurait K = 1)

Equilibre d’une tranche ´l´mentaire de mat´riau [z, z + dz] :
                        ee                e




              Fig. 6 – Syst`me ´tudi´ : tranche cylindrique de diam`tre D
                           e   e    e                              e

    bilan des efforts : poids, forces de pression en z et en z + dz, forces de frottement avec
la paroie.

   En projetant le th´or`me fondamental de la statique sur l’axe vertical :
                     e e

                         πD2   πD2
                  ρgdz       +     (σzz |z − σzz |z+dz ) − πDdzT = 0                       (1)
                          4     4
   ce qui devient en utilisant les hypoth`ses :
                                         e
                                   dσzz        4Kµs
                                        = ρg −      σzz                                    (2)
                                    dz          D
    Sachant que σzz est nulle ` la surface z = 0, on en d´duit que la contrainte verticale
                              a                            e
σzz est donn´ par :
            e
                                  σzz (z) = ρgλ(1 − ez/λ )                             (3)


                                              8
2 LES ECOULEMENTS DENSES




                              Fig. 7 – Contrainte verticale

                4D
    avec λ =          qui repr´sente une longueur caract´ristique du syst`me. Pour des
                              e                         e                 e
                µs K
valeurs classiques de K 0, 5 et µs 1, on a λ 2D.
    on observe l’existence de deux r´gimes :
                                    e
    – un r´gime hydrostatique (z << λ) : la pression augmente lin´airement avec la
           e                                                           e
      hauteur comme pour un fluide classique (σzz = ρgλ)
    – un r´gime satur´ (z >> λ) : la pression sature et devient constante (σzz = ρgz)
           e             e
On peut ´galement remarquer que la longueur caract´ristique diminue quand le coefficient
         e                                         e
de frottement augmente. Ce qui est plutot naturel car ce dernier traduit la capacit´ qu’a
                                                                                   e
la paroie a retenir la masse de grains.

Poids apparent :
   On remarque alors que la contrainte verticale reste constante au del` des hauteurs
                                                                            a
sup´rieures ` λ (c’est ` dire deux fois le diam`tre du silo). Ainsi une fois d´pass´ la
   e        a           a                        e                               e     e
hauteur λ tout ajout de mat´riau dans le silo n’affecte plus la pression au fond : le
                               e
surplus de poids est support´ enti`rement par la friction sur les paroies. On observe alors
                            e     e
un poids apparent constant ` la base du silo.
                            a
   Nos r´sultats exp´rimenteux sont en accord avec la mod´lisation th´orique. Le simple
         e           e                                       e           e
mod`le de Janssen permet donc de justifier les observation pratiques r´alis´es.
    e                                                                    e e


2    Les Ecoulements denses
   On entend par ´coulements denses des ´coulements s’effectuant le long d’une surface,
                   e                       e
de mani`re ”coulante”, par oppposition aux ´coulements tr`s rapides lors desquels le milieu
        e                                  e             e
granulaire s’apparente ` un gaz (avalanche en a´rosol).
                       a                        e

                                            9
2.1 Observations                                     2 LES ECOULEMENTS DENSES

2.1     Observations
Duplicit´ des angles
        e
   On constate exp´rimentalement que pour chaque type de grains, tous les tas form´s
                     e                                                                e
de ces grains ont un mˆme angle, appel´ angle de talus. Mais, au-del` de ce point de
                         e               e                             a
vue statique, on remarque aussi que lors d’un ´coulement, sur un plan inclin´ ou dans un
                                              e                             e
tambour par exemple, il existe deux angles : un angle de d´part ou d’avalanche, et un
                                                            e
angle d’arrˆt, plus petit.
           e




            Fig. 8 – L’angle de talus reste constant quelle qeue soit l’´chelle
                                                                        e


2.1.1   Exp´rience du plan inclin´
           e                     e
    Pour mettre en ´vidence ces deux angles, nous avons r´alis´ un dispositif de plan in-
                    e                                        e e
clin´.
    e
On d´pose une couche de sable sur une plaque de bois recouverte de toile Emeri (pour la
      e
rugosit´), dont on modifie l’inclinaison, jusqu’` ce que le milieu s’´coule. L’angle mesur´
        e                                       a                   e                    e
a
` la fin de l’avalanche est plus petit que l’angle de d´part.
                                                      e




                    Fig. 9 – L’exp´rience du plan inclin´ - Principe
                                  e                     e

   Ainsi on mesure un angle de stabilit´ maximum de 38 , et un angle de repos (ou
                                       e              ˚
d’arrˆt) de 34 .
     e        ˚

                                            10
2.1 Observations                                  2 LES ECOULEMENTS DENSES




                            Fig. 10 – Dispositif utilis´
                                                       e




               Fig. 11 – R´sultats - angle de d´part et angle d’arret
                          e                    e




                                        11
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                2 LES ECOULEMENTS DENSES




                Fig. 12 – Exp´rience du tambour, dispositif de l’ENSIC
                             e

2.1.2   Exp´rience du tambour
           e
    particularit´s.. 2 zones apparaissent : une zone importante o` les grains tournent de
                e                                                u
concert avec le tambour, et une zone en forme de croissant o` les grains s’´coulent ` la
                                                              u              e       a
mani`re d’un fluide. / 2 angles diff´rents directmt visibles par exp´rience ` effectuer dvt
      e                             e                              e       a
jury.

2.2     Mod´lisation des ´coulements
           e             e
2.2.1   le tas de sable
   Nous allons tenter dans ce paragraphe de simuler sommairement le comportement
d’un tas de sable.

    Le syst`me ´tudi´ est un demi tas en 2 dimensions. Celui-ci est discr´tis´, il est
             e     e    e                                                        e e
en r´alit´ repr´sent´ par une liste de valeurs, ces valeurs ´tant les hauteurs de chaque
     e e         e    e                                      e
”collonne de grains”.
    Il est r´git par quelques r`gles simples qui vont d´terminer son ´volution :
            e                  e                       e              e
    Une boucle dans le programme d´termine s’il doit y avoir effondrement ou non. Se-
                                        e
lon la figure 13, la colonne de grains est jug´e instable si elle d´passe au moins de trois
                                               e                   e
grains sa voisine. Dans ce cas l’effondrement entraine avec lui deux grains (voir plus si
la diff´rence ´tait sup´rieure ` 3). Ceci traduit l’existence de friction entre les grais : un
       e       e         e     a
grain qui s’effondre entraine avec lui d’autres grains.

    On g´n`re ensuite un tas initialement stable avec un algorithme bas´ sur des choix
         e e                                                           e
al´atoirs. Ce tas va maintenant ˆtre utils´ pour diverses simulations.
  e                             e         e


                                             12
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                 2 LES ECOULEMENTS DENSES




                      Fig. 13 – R`gles simples r´gissant le syst`me
                                 e              e               e

    ´crans
    e                          observations




                               Tas initial g´n´r´, au repos.
                                            e ee




                               Tas apr`s le d´clanchement d’une avalanche, au repos.
                                      e      e




                               Superposition des deux r´sultats pr´c´dents :
                                                           e       e e
                               on constate que l’angle du tas apr`s l’avalanche
                                                                 e
                               est inf´rieur ` l’angle initial.
                                      e      a

                  Tab. 2 – Angles du tas avant et apr`s une avalanche
                                                     e



    La premi`re simulation est la suivante : nous cr´ons une perturbation en ajoutant un
             e                                      e
ou deux grains ` une hauteur donn´e. Ainsi cette perturbation va, ` l’it´ration suivante,
                a                   e                               a    e
d´clancher une avalanche suivant les r`gles initiales. Le syst`me ´volue alors jusqu’` une
  e                                    e                      e   e                  a
situation de repos apr`s un certain nombre d’it´rations.
                      e                         e

    L’objectif est ici de comparer l’angle avant l’avalanche et l’angle apr`s l’avalanche. Les
                                                                           e
r´sultats de la simulation sont pr´sent´s dans la tableau 2.
 e                                  e    e
Cette simple simulation num´rique aboutit ainsi au mˆme r´sultat que nos observations
                               e                          e     e
initiles du plan inclin´.
                        e

   La seconde simulation consiste ` ”d´verser” en continue une certaine quantit´ de grains
                                  a e                                          e
au sommet du tas. Nos observations se limitent ` l’observation de la g´om´trie du tas.
                                                 a                     e e


                                              13
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                2 LES ECOULEMENTS DENSES

               ´crans
               e                          observations




                                          Tas initial g´n´r´, au repos.
                                                       e ee




                                          Tas apr`s l’ajout d’une grande
                                                 e
                                          quantit´ de grains a son sommet.
                                                 e

                        Tab. 3 – Angle de talus ` diff´rente ´chelles
                                                a    e      e



    Comme pour la simulation pr´cd´dente, des avalanches ont lieu. On constate cepen-
                                     e e
dant (voir tableau 3) que les tas ainsi cr´´s poss`dent r´guli`rement le mˆme angle que
                                            ee      e     e    e              e
le tas initial. Il sagit de l’angle maximal observable.
Ceci n’est autre que l’observation de l’existence d’un angle de talus : peu importe la taille
du tas consid´r´, l’angle maximal qu’on peu esp´rer atteindre reste le mˆme.
                ee                                 e                        e




                                             14
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                    2 LES ECOULEMENTS DENSES

2.2.2   Equations moyenn´es dans l’´paisseur
                        e          e
    Les ´quations moyenn´es de l’´paisseur, ´tablies en 1989, permettent de rendre compte
        e                 e      e          e
de l’´volution de l’´coulement d’un milieu granulaire sur un plan inclin´ d’un angle θ.
     e              e                                                   e




                        Fig. 14 – description du syst`me ´tudi´
                                                     e   e    e


Conservation de la masse
    On consid`re un volume virtuel τ , fixe dans l’espace, limit´ par une surface ferm´e Σ,
             e                                                 e                     e
et plong´ dans un fluide en d´placement dont la densit´ est ρ et la vitesse − . Pendant
        e                   e                           e                     →v
un temps dt, la masse m pr´sente dans ce volume varie donc d’une quantit´
                          e                                                  e
                          dm   d                                 ∂ρ
                             =               ρdV =                  dV                   (4)
                          dt   dt        τ                   τ   ∂t
   puisque le volume est fixe dans l’espace.
                                                            ∂ρ
   de plus l’hypoth`se d’incompressibilit´ assure que
                   e                     e                     = 0. Donc imm´diatement
                                                                            e
                                                            ∂t
                                         dm
                                            =0                                           (5)
                                         dt
                           −−
                            →                                           − →
                                                                         −
                                                                         →
   or l’´l´ment de surface d2 S de Σ est travers´ par un flux de masse ρ d2 S − dt. On peut
        ee                                      e                            v
donc ´crire
     e
                                 dm
                                    = −                 →− −
                                                           →
                                                      ρ − d2 S
                                                        v                                (6)
                                 dt               Σ


                                             15
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                             2 LES ECOULEMENTS DENSES

    D’o` en utilisant le th´or`me d’Ostrogradsky
       u                   e e

                                                    div(ρ − )dV = 0
                                                          →
                                                          v                                                     (7)
                                                τ
    ceci ´tant valable pour tout volume τ , on en d´duit
         e                                         e

                                                    div − = 0
                                                        →
                                                        v                                                       (8)
    ce qui s’´crit encore dans le cas de notre probl`me plan, avec − = u(x, z, t, ) − +v(x, z, t) − ,
             e                                      e              →
                                                                   v                →
                                                                                    ex            →
                                                                                                  ez
                                                ∂u ∂v
                                                  +   =0                                                        (9)
                                                ∂x ∂z

Conservation de la quantit´ de mouvement
                          e


           ∂ρ −
              →
              v                               →→ −    −
                                                      →                             −−
                                                                                     →                        →
                                                                                                              −
                dV       = −                ρ − (− . d2 S)
                                              v v                  +            [σ] d2 S +                    F dV
       τ    ∂t                          Σ                                   Σ                             τ
quantite de mouvement          f lux de la quantite de mouvement       f orces de surf ace   f orces de volume (poids ρ − )
                                                                                                                        →
                                                                                                                        g
                                                                                   (10)
    Nous allons ramener chaque int´grale surfacique en int´grale volumique en utilisant
                                  e                       e
le th´or`me d’Ostrogradsky
     e e

    Concernant les forces de surface :
                                                −−
                                                 →               −→
                                            [σ] d2 S =           div[σ]dV                                      (11)
                                        Σ                    τ

                                                                       −→         ∂σxx ∂σxy ∂σxz
                                                                   o` (div[σ])x =
                                                                    u                 +    +
                                                                                   ∂x   ∂y   ∂z
    Concernant le flux de la quantit´ de mouvement :
                                   e


                 →→ −
                 v v
                         −
                         →
               ρ − (− . d2 S) =
                                                     →
                                                     −→
                                             div(ρvx v) − +div(ρvy − ) − +div(ρvz − ) − dV )(12)
                                                        ex         → →
                                                                   v ey           → →
                                                                                  v ez
           Σ                           τ

                             =                 → −→ →
                                               v
                                                    −
                                             ρ(− . grad)(− ) + − div(ρ − ) dV
                                                         v     →
                                                               v       →
                                                                       v                                       (13)
                                       τ

                             =                → −→ →
                                              v
                                                   −
                                            ρ(− . grad)(− )dV
                                                        v                                                      (14)
                                       τ

    Ainsi on tire de (10) :

                         ∂ρ −→
                             v          → −→ →
                                             −       −→       →
                                                              −
                                = −ρ(− . grad)(− ) + div[σ] + F
                                         v     v                                                               (15)
                           ∂t
    on reconnait ici la d´riv´e particuli`re
                         e e             e

                                            Dρ −
                                               →
                                               v   −→       →
                                                            −
                                                 = div[σ] + F                                                  (16)
                                             Dt

                                                       16
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                   2 LES ECOULEMENTS DENSES

Equations des ´coulements
              e
   la conservation de la masse et de la quantit´ de mouvement donnent donc les trois
                                                e
´quations suivantes dans le cas de notre probl`me plan
e                                             e

                                                      ∂u ∂v
                                                         +   =0                         (17)
                                                      ∂x ∂z
                        ∂u     ∂u    ∂u               ∂σxx ∂σxz
                      ρ     +u    +v     = ρg sin θ −      −                            (18)
                         ∂t    ∂x    ∂z                ∂x    ∂z
                       ∂v    ∂v    ∂v                 ∂σxz ∂σzz
                    ρ     +u    +v      = −ρg cos θ −      −                            (19)
                       ∂t    ∂x    ∂z                  ∂x    ∂z
   L’obtention des ´quations moyenn´es s’effectue en deux ´tapes. La premi`re ´tape
                       e                e                      e                 e e
consiste ` utiliser l’hypoth`se de couche mice pour n´gliger des termes dans les ´quations
         a                   e                       e                           e
pr´c´dentes. La seconde ´tape consiste ` int´grer les ´quations le long de z.
  e e                      e             a e           e

   Afin de pouvoir comparer les ordres de grandeur des diff´rents termes des ´quations
                                                               e                  e
pr´c´dentes, des variables adimensionn´es not´es avec une tilde sont introduite. L’´chelle
  e e                                  e       e                                     e
de grandeur selon x est not´e L et l’´chelle de l’´paisseur de la couche est H. l’hypoth`se
                            e        e            e                                     e
de couche mince signifie que le param`tre = H/L est petit. l’adimensionnement est
                                        e
choisi comme suit :


                            x = xL
                                ˜          z = zH
                                               ˜                 ˜
                                                             t = t g/L
                       u = u g/L
                           ˜           v = v g/L
                                           ˜
              σxx   = σ˜ ρgH cos θ σzz = σ˜ ρgH cos θ σxz = σ˜ ρgH sin θ
                       xx                  zz                xz


l’addimentionnement permet donc de transformer les ´quations de conservation de la
                                                   e
forme :

                                                          ∂ u ∂˜
                                                            ˜    v
                                                              +     =0                  (20)
                                                          ∂x ∂z
                                                            ˜     ˜
                   ∂u
                    ˜      ∂u
                            ˜     ∂u
                                   ˜                 ∂ σ˜
                                                        xx         ∂ σ˜
                                                                      xz
                       +u˜    +v˜    = sin θ − cos θ       − sin θ                      (21)
                    ˜
                   ∂t      ∂x
                            ˜     ∂z
                                   ˜                  ∂x˜           ∂z˜
                ∂˜
                 v      ∂˜
                         v    ∂˜
                               v                     ∂ σ˜
                                                        xz         ∂ σ˜
                                                                      zz
                   +u ˜    +v      = − cos θ − sin θ       − cos θ                      (22)
                 ˜
                ∂t      ∂x
                         ˜    ∂z
                               ˜                      ∂x˜           ∂z˜
   Si on n´glige
          e          la derni`re ´quation (22) devient
                             e e
                                        ∂ σ˜
                                           zz
                                              = −1                                       (23)
                                         ∂z˜
   par int´gration de cette ´quation, en consid´rant que la pression est nulle ` l’interface,
          e                 e                   e                              a
on obtient l’expression de la pression verticale dimensionn´e :
                                                           e

                                     σzz = ρg cos θ(h − z)                              (24)



                                              17
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                2 LES ECOULEMENTS DENSES

Obtention des ´quations finales
              e
    Dans le but d’obtenir les ´quations finale, il faut maintenant int´grer les ´quations
                              e                                      e         e
suivant z.

    En ce qui concerne l’´quation (20) qui traduit la conservation de la masse, on utilise
                          e
                ∂h
le fait que v =    , ainsi en int´grant suivant z :
                                 e
                ∂t
                                      ∂h ∂(hu)
                                          +         =0                                (25)
                                      ∂t      ∂x
    Pour les ´quations de la conservation de la quantt´ de mati`re,nous supposons de plus
             e                                         e       e
que la contrainte normale horizontale est proportionnelle ` la contrainte normale verti-
                                                            a
cale : σxx = kσzz . Pour une pression isotrope : k = 1, ce qui est le cas pour les fluides.
Concernant les milieux granulaires cette hypoth`se n’a rien d’´vident.
                                                   e           e

   Donc en utilisant σzz = ρg cos θ(h − z) et σxx = kσzz , l’´quation (18) devient donc :
                                                             e
                 ∂u    ∂u    ∂u                             ∂h   ∂τ    1
             ρ      +u    +v         = ρg cos θ tan θ − k      −                        (26)
                 ∂t    ∂x    ∂z                             ∂x   ∂z ρg cos θ
                                                                          en notant τ = σxz

   On utilise enfin le fait que dans l’hypoth`se de la couche mince, la vitesse selon ex est
                                            e
ind´pendante de z. Ainsi par int´gration suivant z :
   e                             e
                      ∂u    ∂u                             ∂h      τ
                 ρh      +u        = ρgh cos θ tan θ − k      −                         (27)
                      ∂t    ∂x                             ∂x   ρgh cos θ
    La contrainte interfaciale τ qui traduit la rh´ologie du mat´riau peut, ` l’aide d’une
                                                    e              e            a
loi de friction, ˆtre remplac´e par µρgh cos θ, ie une contrainte tangentielle proporionnelle
                 e           e
a
` la contrainte normale. µ repr´sente ici le coefficient de friction.
                                 e

   Finalement les ´quations moyenn´es dans l’´paisseur sont :
                  e               e          e


                                                   ∂h ∂(hu)
                                                      +       =0                        (28)
                                                   ∂t     ∂x
                        ∂u    ∂u                          ∂h
                   ρh      +u       = ρgh cos θ tan θ − k    −µ                         (29)
                        ∂t    ∂x                          ∂x
   On interpr`te ais´ment la derni`re ´quation (29) : l’acc´l´ration est compens´e par
              e       e              e e                      ee                e
une force de gravit´, une force de friction au fond et une force d’´talement.
                   e                                               e


Conclusion
   Finalement, les milieux granulaires, de par leur mode particulier de transmission des
contraintes, par les voˆtes qui les soudent mais qui sont boulervers´es ` la moindre per-
                       u                                             e a
turbation, font preuve d’une dualit´ liquide/solide. Tas solide ou grains qui s’´coule dans
                                     e                                          e


                                             18
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                                2 LES ECOULEMENTS DENSES

un sablier, les comportements ´tranges des milieux granulaires se rencontrent aussi au
                               e
niveau de leurs ´coulements, que ce soit sur un plan ou dans un tambour.
                 e

   D’autres domaines d’´tude concernant les milieux granulaires existent. Parmis eux
                          e
figurent l’´tude des interactions entre particules, les ph´nom`nes de s´gr´gation, de com-
          e                                              e   e        e e
paction, de dilatance, de r´sistance au cisaillement...
                           e

    On parvient ` mod´liser des avalanches, et ` approcher les ´quations qui r´gissent
                 a      e                            a             e              e
ces ´coulements, n´anmoins, leur port´e est tr`s limit´e. Les conditions d’applications,
     e             e                       e       e     e
les approximations utilis´es empˆchent toute g´n´ralisation. Par exemple, on s’est rendu
                          e        e              e e
compte que des mod´lisations effectu´es pour des ´coulements en tambour pour une cer-
                     e                   e             e
                              rayon du tambour
taine tranche de rapports dimension des grains n’avaient plus de valeur pour des rapports
diff´rents. De nombreuses difficult´s restent ` surmonter, et aucune th´orie g´n´rale n’a
    e                                e         a                         e     e e
encore ´t´ ´tablie dans cette science tr`s jeune mais tr`s dynamique.
       eee                                 e             e

    Et pour cause, ses applications dans l’industrie sont consid´rables : on estime que
                                                                    e
70 % des produits fabriqu´s passent ` un moment au moins de leur ´laboration par un
                            e           a                                 e
stade granulaire. De l’activit´ mini`re ` la fabrication du b´ton, de l’industrie chimique ou
                              e     e a                      e
pharmaceutique ` l’agroalimentaire, en passant par la mod´lisation des ´coulements py-
                  a                                            e             e
roclastiques et mˆme le broyage [(dont le cout global est sup´rieur ` celui du transport !)],
                  e                                            e      a
tous les domaines sont concern´s.e


Bibliographie
   – La physique des tas de sable - Ph. Claudin - EDPscience - 1999
   – Les milieux granulaires - O.Pouliquen - Cours de l’ENSTA - 2001
   – Du sac de billes au tas de sable - Etienne Guyon, Jean-Paul Troadec - Odile
     Jacob - 1994
   – M´canique g´n´rale : Elastostatique - Ecole nationale sup´rieure de l’a´ronau-
        e            e e                                       e            e
     tique et de l’espace - 1973
   – sujets de concours : ´cole polytechnique - 1999 - ´cole normale sup´rieure de
                               e                        e                e
     Cachan - 2002


Contacts



                   V´ronique Falk, Enseignant-chercheur ` l’ENSIC Nancy
                    e                                   a




                                             19
2.2 Mod´lisation des ´coulements
       e             e                     2 LES ECOULEMENTS DENSES

Annexe
Code source du programme ”avalanche” ti-89
:Prgm
:
:EffDess
:0->ymin :hauteur->ymax
:0->xmin :hauteur->xmax
:
:{hauteur}->l
:Lign 1,0,1,hauteur
:
:hauteur->h
:While h <> 1: h-nbrAl´at(2)->h: augmente(l,{h})->l: dim(l)->di: Lign di,0,di,l[di]
                      e
:EndWhile
:Pause
:
:Prompt perturb :Lbl c
:l[perturb]+2->l[perturb] :Lign perturb,0,perturb,l[perturb]
:
:For i,2,dim(l),1
:If l[i-1]-l[i]=3 Then
:l[i-1]-2->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+2,0 :l[i]+2->l[i]
:Lign i,l[i]-2,i,l[i],1
:
:ElseIf l[i-1]-l[i]=4 Then
:l[i-1]-3->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+3,0 :l[i]+3->l[i]
:Lign i,l[i]-3,i,l[i],1
:
:ElseIf l[i-1]-l[i]>4 Then
:l[i-1]-4->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+4,0 :l[i]+4->l[i]
:Lign i,l[i]-4,i,l[i],1
:EndIf
:EndFor
:
:Goto c
:
:EndPrgm




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  • 1. Les milieux granulaires : entre fluide et solide dossier personnel Benoit Halinger, Steren Giannini 20 juin 2006 Table des mati`res e Introduction 2 Notions pr´liminaires e 2 0.1 D´finition d’un milieu granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 0.2 Tenseurs de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 L’effet de voˆ te u 3 1.1 La propagation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 L’exp´rience du silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4 1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen . . . . . . . . . . . . . . . e 8 2 Les Ecoulements denses 9 2.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Exp´rience du plan inclin´ e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Exp´rience du tambour . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Mod´lisation des ´coulements . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 le tas de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Equations moyenn´es dans e l’´paisseur e . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Conclusion 18 Bibliographie 19 Contacts 19 Annexe 20 1
  • 2. 0.1 D´finition d’un milieu granulaire e ` TABLE DES MATIERES Introduction Au repos ou en ´coulement, la mati`re en grains ne manque pas de surprendre par ses e e propri´t´s particuli`res entre solides et liquides... ee e Les enjeux Les mat´riaux granulaires sont pr´sents dans de nombreux secteurs industriels, cepen- e e dant leur ´tude reste tr`s r´cente. La description de leur comportement et la compr´hen- e e e e sion des ph´nom`nes observ´s est donc primordiale. e e e Une dualit´ Liquide/Solide e Le grand nombre de particules constituantes et la complexit´ des interactions de e contact conduisent ` une multitude de comportements diff´rents. Ainsi les milieux gra- a e nulaires existent sous plusieurs ´tats. e On observe donc un comportement solide sous certaines solicitations, liquide sous d’autres, mais ´galement des comportements ayant simultan´ment les propri´t´s de ces e e ee deux ´tats. e Le sablier L’observation anodine d’un sablier soul`ve ` elle seule de multiples interrogations : e a Contrairement ` la clepsydre, pourquoi le sablier conserve-t-il un d´bit constant ? Pour- a e quoi le tas inf´rieur garde-t-il le mˆme angle de talus au cours du remplissage ? e e Notions pr´liminaires e 0.1 D´finition d’un milieu granulaire e On appelle ici un milieu granulaire un milieu form´ d’une collection de particules e macroscopiques de taille sup´rieure ` 100µm. En minorant la taille de ces grains, on peut e a n´gliger les forces de Van der Walls, les ponts capillaires, les mouvements browniens et e les forces ´lectrostatiques entre les particules. e 0.2 Tenseurs de contraintes On souhaite d´crire le milieu granulaire comme un mat´riau continu. On introduit e e alors le tenseur des contraintes, qui repr´sente les forces surfaciques s’exer¸ant sur lui. e c On le d´finit pour un ´l´ment rectangulaire ´l´mentaire de mat´riau.[cf sch´ma 1] e ee ee e e En deux dimensions, les composantes du tenseur des contraintes sont les suivantes : – σxx la composante normale, selon − , des forces surfaciques s’exer¸ant sur les faces → ex c verticales – σzz la composante normale, selon − , des forces s’exer¸ant sur les faces horizontales →ez c – σxz la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant → ez c sur les faces verticales 2
  • 3. ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE Fig. 1 – Le tenseur des contraintes en 2 dimensions – σzx la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant → ex c sur les faces horizontales. D’un point de vue m´canique, c’est le mode de transmission des contraintes qui d´- e e termine l’´tat physique du milieu. Dans le cas d’un liquide, les contraintes tangentes sont e nulles, et les contraintes normales sont ´galement transmises dans toutes les directions et e dans tout le milieu. Dans le cas d’un solide, au contraire, les contraintes tangentes sont souvent non-nulles et σxx peut ˆtre diff´rent de σzz (une telle diff´rence, la contrainte e e e d´viatorique, met syst´matiquement un liquide en mouvement : les liquides ne peuvent e e pas transmettre de contrainte d´viatorique). e Les contraintes dans un milieu granulaire Le caract`re bivalent des milieux granulaires, entre solides et liquides, se manifeste au e niveau des contraintes, puisque la contrainte d´viatorique y est g´n´ralement non-nulle, e e e mais il existe une valeur limite au-del` de laquelle le milieu s’´coule. (cette valeur est a e proportionnelle ` la pression moyenne σxx +σzz qui s’exerce sur le milieu, ce qui explique a 2 que lorsque l’on appuie sur un tas de sable, on s’enfonce, mais au fur et ` mesure la a pression est de plus en plus importante, le milieu s’´coule de moins en moins, le sable e devient solide sous la pression du doigt !) 1 L’effet de voˆ te u 1.1 La propagation des contraintes Lorsqu’un ensemble de grains est mis sous contrainte, la transmission des forces est tr`s inhomog`ne. Certains grains ne sont pratiquement pas sous contrainte, alors que e e toute la charge repose sur d’autres. Ces derniers font parties de ”chaines de forces” bien marqu´es. e Une exp´rience consiste ` exercer une pression sur un empilement de cylindres consti- e a tu´ d’un mat´riau bir´fringeant. (voir photo 2. On peut observer les chaˆ de forces entre e e e ınes 3
  • 4. 1.2 L’exp´rience du silo e ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE Fig. 2 – Exp´rience de photo´lasticit´ e e e deux polariseurs crois´s : les cylindres sont d’autant plus lumineux qu’ils sont soumis ` e a une contrainte importante. La r´partition des forces est manifestement tr`s h´t´rog`ne. e e ee e exp´rience en direct : effet de voˆte dans le tube d’efferalgan e u 1.2 L’exp´rience du silo e Nous allons ici observer une cons´quence de cette propagation particuli`re des forces e e dans un mat´riau granulaire. L’exp´rience consiste ` mesurer le poids ` la base d’un e e a a silo contenant un volume d´termin´ de mati`re en grains. Les mat´riaux sont ´galement e e e e e un param`tre d’´tude : Nous avons utilis´ du sable sec dont les grains sont d’un dia- e e e m`tre moyen autour du millim`tre pour notre premi`re manipulation (photo 3a). Pour e e e la seconde, nous avons utilis´ des granul´s de plastique de forme cylindrique dont les e e dimensions sont de quelques millim`tres.(photo 3b) e Apr`s de multiples remaniments, le dispositif final de la manipulation est le suivant e (voir sch´ma de la figure 4) : e – un silo transparent gradu´ en ”diam`tres” reli´ solidement et d’une mani`re tr`s e e e e e rigide au sol. – une balance pr´sice capable de soutenir un poids maximal d’environ 4kg. e – un syst`me de piston qui transmet les forces de pression ` la base du silo vers la e a balance. Celui-ci doit coulisser sans frotter dans le silo. Il est pr´sent pour ´viter les e e fuites de grains. 4
  • 5. 1.2 L’exp´rience du silo e ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE Fig. 3 – Pr´sentation des dispositifs e Fig. 4 – Sch´ma du dispositif e 5
  • 6. 1.2 L’exp´rience du silo e ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE Mesure Hauteur Photo Sch´ma e Poids apparent mesur´ e sable grains plastiques n1 ˚ D 420g 150g n3 ˚ 2D 624 200g n5 ˚ 3D 700g 200g Tab. 1 – R´capitulatif des observations e On observe alors plusieurs phases lors du remplissage progressif du silo (voir tableau 1 et courbes de la figure 5) : Pour de faibles hauteurs de grains, le poids mesur´ augmente e lin´airement avec le volume de grains vers´. Ce qui est tr`s naturel car c’est le cas des e e e fluides. Cependant au del` d’une hauteur de l’ordre de deux fois le diam`tre du silo, le a e poids mesur´ reste casiment toujours le mˆme. Il tend vers une valeur constante, ce qui e e diff`re des fluides ordinaires. e Ces ph´nom`nes observ´s d´coulent de la dualit´ liquide/solide qui r´git un mat´riau e e e e e e e granulaire : Une telle mati`re ne peut ˆtre d´crite comme un fluide classique dont le poids e e e est directement mesurable ` la base du r´cipient qui le contient, le mat´riau pr´sente donc a e e e simultan´ment des caract´ristiques d’un liquide et d’un solide. e e Sur le principe de la voˆte architecturale, le poids des grains est en partie support´ par u e les paroies du silo. 6
  • 7. 1.2 L’exp´rience du silo e ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE Fig. 5 – Poids apparent ` la base du silo a 7
  • 8. 1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen e ˆ 1 L’EFFET DE VOUTE 1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen e On consid`re un silo cylindrique de diam`tre D remplit d’un mat´riau granulaire. Le e e e mod`le choisit a ´t´ propos´ par Janssen en 1895, il reste d’une grande simplicit´. e ee e e il est bas´ sur 3 hypoth`ses : e e 1. les contraintes verticales σzz ne d´pendent que de la variable d’espace z e 2. le milieu frotte sur les parois lat´rales et se trouve sur le point de glisser : T = µs N e (avec µs le coefficient de frottement statique) 3. la contrainte verticale σzz appliqu´e sur le mat´riaux engendre une contrainte hori- e e zontale σxx qui lui est directement proportionnelle : σxx = Kσzz . (K ´tant constante, e pour un fluide la pression est isotrope on aurait K = 1) Equilibre d’une tranche ´l´mentaire de mat´riau [z, z + dz] : ee e Fig. 6 – Syst`me ´tudi´ : tranche cylindrique de diam`tre D e e e e bilan des efforts : poids, forces de pression en z et en z + dz, forces de frottement avec la paroie. En projetant le th´or`me fondamental de la statique sur l’axe vertical : e e πD2 πD2 ρgdz + (σzz |z − σzz |z+dz ) − πDdzT = 0 (1) 4 4 ce qui devient en utilisant les hypoth`ses : e dσzz 4Kµs = ρg − σzz (2) dz D Sachant que σzz est nulle ` la surface z = 0, on en d´duit que la contrainte verticale a e σzz est donn´ par : e σzz (z) = ρgλ(1 − ez/λ ) (3) 8
  • 9. 2 LES ECOULEMENTS DENSES Fig. 7 – Contrainte verticale 4D avec λ = qui repr´sente une longueur caract´ristique du syst`me. Pour des e e e µs K valeurs classiques de K 0, 5 et µs 1, on a λ 2D. on observe l’existence de deux r´gimes : e – un r´gime hydrostatique (z << λ) : la pression augmente lin´airement avec la e e hauteur comme pour un fluide classique (σzz = ρgλ) – un r´gime satur´ (z >> λ) : la pression sature et devient constante (σzz = ρgz) e e On peut ´galement remarquer que la longueur caract´ristique diminue quand le coefficient e e de frottement augmente. Ce qui est plutot naturel car ce dernier traduit la capacit´ qu’a e la paroie a retenir la masse de grains. Poids apparent : On remarque alors que la contrainte verticale reste constante au del` des hauteurs a sup´rieures ` λ (c’est ` dire deux fois le diam`tre du silo). Ainsi une fois d´pass´ la e a a e e e hauteur λ tout ajout de mat´riau dans le silo n’affecte plus la pression au fond : le e surplus de poids est support´ enti`rement par la friction sur les paroies. On observe alors e e un poids apparent constant ` la base du silo. a Nos r´sultats exp´rimenteux sont en accord avec la mod´lisation th´orique. Le simple e e e e mod`le de Janssen permet donc de justifier les observation pratiques r´alis´es. e e e 2 Les Ecoulements denses On entend par ´coulements denses des ´coulements s’effectuant le long d’une surface, e e de mani`re ”coulante”, par oppposition aux ´coulements tr`s rapides lors desquels le milieu e e e granulaire s’apparente ` un gaz (avalanche en a´rosol). a e 9
  • 10. 2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES 2.1 Observations Duplicit´ des angles e On constate exp´rimentalement que pour chaque type de grains, tous les tas form´s e e de ces grains ont un mˆme angle, appel´ angle de talus. Mais, au-del` de ce point de e e a vue statique, on remarque aussi que lors d’un ´coulement, sur un plan inclin´ ou dans un e e tambour par exemple, il existe deux angles : un angle de d´part ou d’avalanche, et un e angle d’arrˆt, plus petit. e Fig. 8 – L’angle de talus reste constant quelle qeue soit l’´chelle e 2.1.1 Exp´rience du plan inclin´ e e Pour mettre en ´vidence ces deux angles, nous avons r´alis´ un dispositif de plan in- e e e clin´. e On d´pose une couche de sable sur une plaque de bois recouverte de toile Emeri (pour la e rugosit´), dont on modifie l’inclinaison, jusqu’` ce que le milieu s’´coule. L’angle mesur´ e a e e a ` la fin de l’avalanche est plus petit que l’angle de d´part. e Fig. 9 – L’exp´rience du plan inclin´ - Principe e e Ainsi on mesure un angle de stabilit´ maximum de 38 , et un angle de repos (ou e ˚ d’arrˆt) de 34 . e ˚ 10
  • 11. 2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES Fig. 10 – Dispositif utilis´ e Fig. 11 – R´sultats - angle de d´part et angle d’arret e e 11
  • 12. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES Fig. 12 – Exp´rience du tambour, dispositif de l’ENSIC e 2.1.2 Exp´rience du tambour e particularit´s.. 2 zones apparaissent : une zone importante o` les grains tournent de e u concert avec le tambour, et une zone en forme de croissant o` les grains s’´coulent ` la u e a mani`re d’un fluide. / 2 angles diff´rents directmt visibles par exp´rience ` effectuer dvt e e e a jury. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2.2.1 le tas de sable Nous allons tenter dans ce paragraphe de simuler sommairement le comportement d’un tas de sable. Le syst`me ´tudi´ est un demi tas en 2 dimensions. Celui-ci est discr´tis´, il est e e e e e en r´alit´ repr´sent´ par une liste de valeurs, ces valeurs ´tant les hauteurs de chaque e e e e e ”collonne de grains”. Il est r´git par quelques r`gles simples qui vont d´terminer son ´volution : e e e e Une boucle dans le programme d´termine s’il doit y avoir effondrement ou non. Se- e lon la figure 13, la colonne de grains est jug´e instable si elle d´passe au moins de trois e e grains sa voisine. Dans ce cas l’effondrement entraine avec lui deux grains (voir plus si la diff´rence ´tait sup´rieure ` 3). Ceci traduit l’existence de friction entre les grais : un e e e a grain qui s’effondre entraine avec lui d’autres grains. On g´n`re ensuite un tas initialement stable avec un algorithme bas´ sur des choix e e e al´atoirs. Ce tas va maintenant ˆtre utils´ pour diverses simulations. e e e 12
  • 13. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES Fig. 13 – R`gles simples r´gissant le syst`me e e e ´crans e observations Tas initial g´n´r´, au repos. e ee Tas apr`s le d´clanchement d’une avalanche, au repos. e e Superposition des deux r´sultats pr´c´dents : e e e on constate que l’angle du tas apr`s l’avalanche e est inf´rieur ` l’angle initial. e a Tab. 2 – Angles du tas avant et apr`s une avalanche e La premi`re simulation est la suivante : nous cr´ons une perturbation en ajoutant un e e ou deux grains ` une hauteur donn´e. Ainsi cette perturbation va, ` l’it´ration suivante, a e a e d´clancher une avalanche suivant les r`gles initiales. Le syst`me ´volue alors jusqu’` une e e e e a situation de repos apr`s un certain nombre d’it´rations. e e L’objectif est ici de comparer l’angle avant l’avalanche et l’angle apr`s l’avalanche. Les e r´sultats de la simulation sont pr´sent´s dans la tableau 2. e e e Cette simple simulation num´rique aboutit ainsi au mˆme r´sultat que nos observations e e e initiles du plan inclin´. e La seconde simulation consiste ` ”d´verser” en continue une certaine quantit´ de grains a e e au sommet du tas. Nos observations se limitent ` l’observation de la g´om´trie du tas. a e e 13
  • 14. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES ´crans e observations Tas initial g´n´r´, au repos. e ee Tas apr`s l’ajout d’une grande e quantit´ de grains a son sommet. e Tab. 3 – Angle de talus ` diff´rente ´chelles a e e Comme pour la simulation pr´cd´dente, des avalanches ont lieu. On constate cepen- e e dant (voir tableau 3) que les tas ainsi cr´´s poss`dent r´guli`rement le mˆme angle que ee e e e e le tas initial. Il sagit de l’angle maximal observable. Ceci n’est autre que l’observation de l’existence d’un angle de talus : peu importe la taille du tas consid´r´, l’angle maximal qu’on peu esp´rer atteindre reste le mˆme. ee e e 14
  • 15. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES 2.2.2 Equations moyenn´es dans l’´paisseur e e Les ´quations moyenn´es de l’´paisseur, ´tablies en 1989, permettent de rendre compte e e e e de l’´volution de l’´coulement d’un milieu granulaire sur un plan inclin´ d’un angle θ. e e e Fig. 14 – description du syst`me ´tudi´ e e e Conservation de la masse On consid`re un volume virtuel τ , fixe dans l’espace, limit´ par une surface ferm´e Σ, e e e et plong´ dans un fluide en d´placement dont la densit´ est ρ et la vitesse − . Pendant e e e →v un temps dt, la masse m pr´sente dans ce volume varie donc d’une quantit´ e e dm d ∂ρ = ρdV = dV (4) dt dt τ τ ∂t puisque le volume est fixe dans l’espace. ∂ρ de plus l’hypoth`se d’incompressibilit´ assure que e e = 0. Donc imm´diatement e ∂t dm =0 (5) dt −− → − → − → or l’´l´ment de surface d2 S de Σ est travers´ par un flux de masse ρ d2 S − dt. On peut ee e v donc ´crire e dm = − →− − → ρ − d2 S v (6) dt Σ 15
  • 16. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES D’o` en utilisant le th´or`me d’Ostrogradsky u e e div(ρ − )dV = 0 → v (7) τ ceci ´tant valable pour tout volume τ , on en d´duit e e div − = 0 → v (8) ce qui s’´crit encore dans le cas de notre probl`me plan, avec − = u(x, z, t, ) − +v(x, z, t) − , e e → v → ex → ez ∂u ∂v + =0 (9) ∂x ∂z Conservation de la quantit´ de mouvement e ∂ρ − → v →→ − − → −− → → − dV = − ρ − (− . d2 S) v v + [σ] d2 S + F dV τ ∂t Σ Σ τ quantite de mouvement f lux de la quantite de mouvement f orces de surf ace f orces de volume (poids ρ − ) → g (10) Nous allons ramener chaque int´grale surfacique en int´grale volumique en utilisant e e le th´or`me d’Ostrogradsky e e Concernant les forces de surface : −− → −→ [σ] d2 S = div[σ]dV (11) Σ τ −→ ∂σxx ∂σxy ∂σxz o` (div[σ])x = u + + ∂x ∂y ∂z Concernant le flux de la quantit´ de mouvement : e →→ − v v − → ρ − (− . d2 S) = → −→ div(ρvx v) − +div(ρvy − ) − +div(ρvz − ) − dV )(12) ex → → v ey → → v ez Σ τ = → −→ → v − ρ(− . grad)(− ) + − div(ρ − ) dV v → v → v (13) τ = → −→ → v − ρ(− . grad)(− )dV v (14) τ Ainsi on tire de (10) : ∂ρ −→ v → −→ → − −→ → − = −ρ(− . grad)(− ) + div[σ] + F v v (15) ∂t on reconnait ici la d´riv´e particuli`re e e e Dρ − → v −→ → − = div[σ] + F (16) Dt 16
  • 17. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES Equations des ´coulements e la conservation de la masse et de la quantit´ de mouvement donnent donc les trois e ´quations suivantes dans le cas de notre probl`me plan e e ∂u ∂v + =0 (17) ∂x ∂z ∂u ∂u ∂u ∂σxx ∂σxz ρ +u +v = ρg sin θ − − (18) ∂t ∂x ∂z ∂x ∂z ∂v ∂v ∂v ∂σxz ∂σzz ρ +u +v = −ρg cos θ − − (19) ∂t ∂x ∂z ∂x ∂z L’obtention des ´quations moyenn´es s’effectue en deux ´tapes. La premi`re ´tape e e e e e consiste ` utiliser l’hypoth`se de couche mice pour n´gliger des termes dans les ´quations a e e e pr´c´dentes. La seconde ´tape consiste ` int´grer les ´quations le long de z. e e e a e e Afin de pouvoir comparer les ordres de grandeur des diff´rents termes des ´quations e e pr´c´dentes, des variables adimensionn´es not´es avec une tilde sont introduite. L’´chelle e e e e e de grandeur selon x est not´e L et l’´chelle de l’´paisseur de la couche est H. l’hypoth`se e e e e de couche mince signifie que le param`tre = H/L est petit. l’adimensionnement est e choisi comme suit : x = xL ˜ z = zH ˜ ˜ t = t g/L u = u g/L ˜ v = v g/L ˜ σxx = σ˜ ρgH cos θ σzz = σ˜ ρgH cos θ σxz = σ˜ ρgH sin θ xx zz xz l’addimentionnement permet donc de transformer les ´quations de conservation de la e forme : ∂ u ∂˜ ˜ v + =0 (20) ∂x ∂z ˜ ˜ ∂u ˜ ∂u ˜ ∂u ˜ ∂ σ˜ xx ∂ σ˜ xz +u˜ +v˜ = sin θ − cos θ − sin θ (21) ˜ ∂t ∂x ˜ ∂z ˜ ∂x˜ ∂z˜ ∂˜ v ∂˜ v ∂˜ v ∂ σ˜ xz ∂ σ˜ zz +u ˜ +v = − cos θ − sin θ − cos θ (22) ˜ ∂t ∂x ˜ ∂z ˜ ∂x˜ ∂z˜ Si on n´glige e la derni`re ´quation (22) devient e e ∂ σ˜ zz = −1 (23) ∂z˜ par int´gration de cette ´quation, en consid´rant que la pression est nulle ` l’interface, e e e a on obtient l’expression de la pression verticale dimensionn´e : e σzz = ρg cos θ(h − z) (24) 17
  • 18. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES Obtention des ´quations finales e Dans le but d’obtenir les ´quations finale, il faut maintenant int´grer les ´quations e e e suivant z. En ce qui concerne l’´quation (20) qui traduit la conservation de la masse, on utilise e ∂h le fait que v = , ainsi en int´grant suivant z : e ∂t ∂h ∂(hu) + =0 (25) ∂t ∂x Pour les ´quations de la conservation de la quantt´ de mati`re,nous supposons de plus e e e que la contrainte normale horizontale est proportionnelle ` la contrainte normale verti- a cale : σxx = kσzz . Pour une pression isotrope : k = 1, ce qui est le cas pour les fluides. Concernant les milieux granulaires cette hypoth`se n’a rien d’´vident. e e Donc en utilisant σzz = ρg cos θ(h − z) et σxx = kσzz , l’´quation (18) devient donc : e ∂u ∂u ∂u ∂h ∂τ 1 ρ +u +v = ρg cos θ tan θ − k − (26) ∂t ∂x ∂z ∂x ∂z ρg cos θ en notant τ = σxz On utilise enfin le fait que dans l’hypoth`se de la couche mince, la vitesse selon ex est e ind´pendante de z. Ainsi par int´gration suivant z : e e ∂u ∂u ∂h τ ρh +u = ρgh cos θ tan θ − k − (27) ∂t ∂x ∂x ρgh cos θ La contrainte interfaciale τ qui traduit la rh´ologie du mat´riau peut, ` l’aide d’une e e a loi de friction, ˆtre remplac´e par µρgh cos θ, ie une contrainte tangentielle proporionnelle e e a ` la contrainte normale. µ repr´sente ici le coefficient de friction. e Finalement les ´quations moyenn´es dans l’´paisseur sont : e e e ∂h ∂(hu) + =0 (28) ∂t ∂x ∂u ∂u ∂h ρh +u = ρgh cos θ tan θ − k −µ (29) ∂t ∂x ∂x On interpr`te ais´ment la derni`re ´quation (29) : l’acc´l´ration est compens´e par e e e e ee e une force de gravit´, une force de friction au fond et une force d’´talement. e e Conclusion Finalement, les milieux granulaires, de par leur mode particulier de transmission des contraintes, par les voˆtes qui les soudent mais qui sont boulervers´es ` la moindre per- u e a turbation, font preuve d’une dualit´ liquide/solide. Tas solide ou grains qui s’´coule dans e e 18
  • 19. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES un sablier, les comportements ´tranges des milieux granulaires se rencontrent aussi au e niveau de leurs ´coulements, que ce soit sur un plan ou dans un tambour. e D’autres domaines d’´tude concernant les milieux granulaires existent. Parmis eux e figurent l’´tude des interactions entre particules, les ph´nom`nes de s´gr´gation, de com- e e e e e paction, de dilatance, de r´sistance au cisaillement... e On parvient ` mod´liser des avalanches, et ` approcher les ´quations qui r´gissent a e a e e ces ´coulements, n´anmoins, leur port´e est tr`s limit´e. Les conditions d’applications, e e e e e les approximations utilis´es empˆchent toute g´n´ralisation. Par exemple, on s’est rendu e e e e compte que des mod´lisations effectu´es pour des ´coulements en tambour pour une cer- e e e rayon du tambour taine tranche de rapports dimension des grains n’avaient plus de valeur pour des rapports diff´rents. De nombreuses difficult´s restent ` surmonter, et aucune th´orie g´n´rale n’a e e a e e e encore ´t´ ´tablie dans cette science tr`s jeune mais tr`s dynamique. eee e e Et pour cause, ses applications dans l’industrie sont consid´rables : on estime que e 70 % des produits fabriqu´s passent ` un moment au moins de leur ´laboration par un e a e stade granulaire. De l’activit´ mini`re ` la fabrication du b´ton, de l’industrie chimique ou e e a e pharmaceutique ` l’agroalimentaire, en passant par la mod´lisation des ´coulements py- a e e roclastiques et mˆme le broyage [(dont le cout global est sup´rieur ` celui du transport !)], e e a tous les domaines sont concern´s.e Bibliographie – La physique des tas de sable - Ph. Claudin - EDPscience - 1999 – Les milieux granulaires - O.Pouliquen - Cours de l’ENSTA - 2001 – Du sac de billes au tas de sable - Etienne Guyon, Jean-Paul Troadec - Odile Jacob - 1994 – M´canique g´n´rale : Elastostatique - Ecole nationale sup´rieure de l’a´ronau- e e e e e tique et de l’espace - 1973 – sujets de concours : ´cole polytechnique - 1999 - ´cole normale sup´rieure de e e e Cachan - 2002 Contacts V´ronique Falk, Enseignant-chercheur ` l’ENSIC Nancy e a 19
  • 20. 2.2 Mod´lisation des ´coulements e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES Annexe Code source du programme ”avalanche” ti-89 :Prgm : :EffDess :0->ymin :hauteur->ymax :0->xmin :hauteur->xmax : :{hauteur}->l :Lign 1,0,1,hauteur : :hauteur->h :While h <> 1: h-nbrAl´at(2)->h: augmente(l,{h})->l: dim(l)->di: Lign di,0,di,l[di] e :EndWhile :Pause : :Prompt perturb :Lbl c :l[perturb]+2->l[perturb] :Lign perturb,0,perturb,l[perturb] : :For i,2,dim(l),1 :If l[i-1]-l[i]=3 Then :l[i-1]-2->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+2,0 :l[i]+2->l[i] :Lign i,l[i]-2,i,l[i],1 : :ElseIf l[i-1]-l[i]=4 Then :l[i-1]-3->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+3,0 :l[i]+3->l[i] :Lign i,l[i]-3,i,l[i],1 : :ElseIf l[i-1]-l[i]>4 Then :l[i-1]-4->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+4,0 :l[i]+4->l[i] :Lign i,l[i]-4,i,l[i],1 :EndIf :EndFor : :Goto c : :EndPrgm 20