1. Les milieux granulaires : entre fluide et solide
dossier personnel
Benoit Halinger, Steren Giannini
20 juin 2006
Table des mati`res
e
Introduction 2
Notions pr´liminaires
e 2
0.1 D´finition d’un milieu granulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 2
0.2 Tenseurs de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 L’effet de voˆ te
u 3
1.1 La propagation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 L’exp´rience du silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 4
1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen . . . . . . . . . . . . . . .
e 8
2 Les Ecoulements denses 9
2.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Exp´rience du plan inclin´
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Exp´rience du tambour . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Mod´lisation des ´coulements . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 le tas de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Equations moyenn´es dans
e l’´paisseur
e . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Conclusion 18
Bibliographie 19
Contacts 19
Annexe 20
1

2. 0.1 D´finition d’un milieu granulaire
e `
TABLE DES MATIERES
Introduction
Au repos ou en ´coulement, la mati`re en grains ne manque pas de surprendre par ses
e e
propri´t´s particuli`res entre solides et liquides...
ee e
Les enjeux
Les mat´riaux granulaires sont pr´sents dans de nombreux secteurs industriels, cepen-
e e
dant leur ´tude reste tr`s r´cente. La description de leur comportement et la compr´hen-
e e e e
sion des ph´nom`nes observ´s est donc primordiale.
e e e
Une dualit´ Liquide/Solide
e
Le grand nombre de particules constituantes et la complexit´ des interactions de
e
contact conduisent ` une multitude de comportements diff´rents. Ainsi les milieux gra-
a e
nulaires existent sous plusieurs ´tats.
e
On observe donc un comportement solide sous certaines solicitations, liquide sous
d’autres, mais ´galement des comportements ayant simultan´ment les propri´t´s de ces
e e ee
deux ´tats.
e
Le sablier
L’observation anodine d’un sablier soul`ve ` elle seule de multiples interrogations :
e a
Contrairement ` la clepsydre, pourquoi le sablier conserve-t-il un d´bit constant ? Pour-
a e
quoi le tas inf´rieur garde-t-il le mˆme angle de talus au cours du remplissage ?
e e
Notions pr´liminaires
e
0.1 D´finition d’un milieu granulaire
e
On appelle ici un milieu granulaire un milieu form´ d’une collection de particules
e
macroscopiques de taille sup´rieure ` 100µm. En minorant la taille de ces grains, on peut
e a
n´gliger les forces de Van der Walls, les ponts capillaires, les mouvements browniens et
e
les forces ´lectrostatiques entre les particules.
e
0.2 Tenseurs de contraintes
On souhaite d´crire le milieu granulaire comme un mat´riau continu. On introduit
e e
alors le tenseur des contraintes, qui repr´sente les forces surfaciques s’exer¸ant sur lui.
e c
On le d´finit pour un ´l´ment rectangulaire ´l´mentaire de mat´riau.[cf sch´ma 1]
e ee ee e e
En deux dimensions, les composantes du tenseur des contraintes sont les suivantes :
– σxx la composante normale, selon − , des forces surfaciques s’exer¸ant sur les faces
→
ex c
verticales
– σzz la composante normale, selon − , des forces s’exer¸ant sur les faces horizontales
→ez c
– σxz la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant
→
ez c
sur les faces verticales
2

3. ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
Fig. 1 – Le tenseur des contraintes en 2 dimensions
– σzx la composante tangentielle (force de cisaillement), selon − , des forces s’exer¸ant
→
ex c
sur les faces horizontales.
D’un point de vue m´canique, c’est le mode de transmission des contraintes qui d´-
e e
termine l’´tat physique du milieu. Dans le cas d’un liquide, les contraintes tangentes sont
e
nulles, et les contraintes normales sont ´galement transmises dans toutes les directions et
e
dans tout le milieu. Dans le cas d’un solide, au contraire, les contraintes tangentes sont
souvent non-nulles et σxx peut ˆtre diff´rent de σzz (une telle diff´rence, la contrainte
e e e
d´viatorique, met syst´matiquement un liquide en mouvement : les liquides ne peuvent
e e
pas transmettre de contrainte d´viatorique).
e
Les contraintes dans un milieu granulaire
Le caract`re bivalent des milieux granulaires, entre solides et liquides, se manifeste au
e
niveau des contraintes, puisque la contrainte d´viatorique y est g´n´ralement non-nulle,
e e e
mais il existe une valeur limite au-del` de laquelle le milieu s’´coule. (cette valeur est
a e
proportionnelle ` la pression moyenne σxx +σzz qui s’exerce sur le milieu, ce qui explique
a 2
que lorsque l’on appuie sur un tas de sable, on s’enfonce, mais au fur et ` mesure la
a
pression est de plus en plus importante, le milieu s’´coule de moins en moins, le sable
e
devient solide sous la pression du doigt !)
1 L’effet de voˆ te
u
1.1 La propagation des contraintes
Lorsqu’un ensemble de grains est mis sous contrainte, la transmission des forces est
tr`s inhomog`ne. Certains grains ne sont pratiquement pas sous contrainte, alors que
e e
toute la charge repose sur d’autres. Ces derniers font parties de ”chaines de forces” bien
marqu´es.
e
Une exp´rience consiste ` exercer une pression sur un empilement de cylindres consti-
e a
tu´ d’un mat´riau bir´fringeant. (voir photo 2. On peut observer les chaˆ de forces entre
e e e ınes
3

4. 1.2 L’exp´rience du silo
e ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
Fig. 2 – Exp´rience de photo´lasticit´
e e e
deux polariseurs crois´s : les cylindres sont d’autant plus lumineux qu’ils sont soumis `
e a
une contrainte importante. La r´partition des forces est manifestement tr`s h´t´rog`ne.
e e ee e
exp´rience en direct : effet de voˆte dans le tube d’efferalgan
e u
1.2 L’exp´rience du silo
e
Nous allons ici observer une cons´quence de cette propagation particuli`re des forces
e e
dans un mat´riau granulaire. L’exp´rience consiste ` mesurer le poids ` la base d’un
e e a a
silo contenant un volume d´termin´ de mati`re en grains. Les mat´riaux sont ´galement
e e e e e
un param`tre d’´tude : Nous avons utilis´ du sable sec dont les grains sont d’un dia-
e e e
m`tre moyen autour du millim`tre pour notre premi`re manipulation (photo 3a). Pour
e e e
la seconde, nous avons utilis´ des granul´s de plastique de forme cylindrique dont les
e e
dimensions sont de quelques millim`tres.(photo 3b)
e
Apr`s de multiples remaniments, le dispositif final de la manipulation est le suivant
e
(voir sch´ma de la figure 4) :
e
– un silo transparent gradu´ en ”diam`tres” reli´ solidement et d’une mani`re tr`s
e e e e e
rigide au sol.
– une balance pr´sice capable de soutenir un poids maximal d’environ 4kg.
e
– un syst`me de piston qui transmet les forces de pression ` la base du silo vers la
e a
balance. Celui-ci doit coulisser sans frotter dans le silo. Il est pr´sent pour ´viter les
e e
fuites de grains.
4

5. 1.2 L’exp´rience du silo
e ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
Fig. 3 – Pr´sentation des dispositifs
e
Fig. 4 – Sch´ma du dispositif
e
5

6. 1.2 L’exp´rience du silo
e ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
Mesure Hauteur Photo Sch´ma
e Poids apparent mesur´
e
sable grains plastiques
n1
˚ D 420g 150g
n3
˚ 2D 624 200g
n5
˚ 3D 700g 200g
Tab. 1 – R´capitulatif des observations
e
On observe alors plusieurs phases lors du remplissage progressif du silo (voir tableau
1 et courbes de la figure 5) : Pour de faibles hauteurs de grains, le poids mesur´ augmente
e
lin´airement avec le volume de grains vers´. Ce qui est tr`s naturel car c’est le cas des
e e e
fluides. Cependant au del` d’une hauteur de l’ordre de deux fois le diam`tre du silo, le
a e
poids mesur´ reste casiment toujours le mˆme. Il tend vers une valeur constante, ce qui
e e
diff`re des fluides ordinaires.
e
Ces ph´nom`nes observ´s d´coulent de la dualit´ liquide/solide qui r´git un mat´riau
e e e e e e e
granulaire : Une telle mati`re ne peut ˆtre d´crite comme un fluide classique dont le poids
e e e
est directement mesurable ` la base du r´cipient qui le contient, le mat´riau pr´sente donc
a e e e
simultan´ment des caract´ristiques d’un liquide et d’un solide.
e e
Sur le principe de la voˆte architecturale, le poids des grains est en partie support´ par
u e
les paroies du silo.
6

7. 1.2 L’exp´rience du silo
e ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
Fig. 5 – Poids apparent ` la base du silo
a
7

8. 1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen
e ˆ
1 L’EFFET DE VOUTE
1.3 Mod´lisation physique : Approche de Janssen
e
On consid`re un silo cylindrique de diam`tre D remplit d’un mat´riau granulaire. Le
e e e
mod`le choisit a ´t´ propos´ par Janssen en 1895, il reste d’une grande simplicit´.
e ee e e
il est bas´ sur 3 hypoth`ses :
e e
1. les contraintes verticales σzz ne d´pendent que de la variable d’espace z
e
2. le milieu frotte sur les parois lat´rales et se trouve sur le point de glisser : T = µs N
e
(avec µs le coefficient de frottement statique)
3. la contrainte verticale σzz appliqu´e sur le mat´riaux engendre une contrainte hori-
e e
zontale σxx qui lui est directement proportionnelle : σxx = Kσzz . (K ´tant constante,
e
pour un fluide la pression est isotrope on aurait K = 1)
Equilibre d’une tranche ´l´mentaire de mat´riau [z, z + dz] :
ee e
Fig. 6 – Syst`me ´tudi´ : tranche cylindrique de diam`tre D
e e e e
bilan des efforts : poids, forces de pression en z et en z + dz, forces de frottement avec
la paroie.
En projetant le th´or`me fondamental de la statique sur l’axe vertical :
e e
πD2 πD2
ρgdz + (σzz |z − σzz |z+dz ) − πDdzT = 0 (1)
4 4
ce qui devient en utilisant les hypoth`ses :
e
dσzz 4Kµs
= ρg − σzz (2)
dz D
Sachant que σzz est nulle ` la surface z = 0, on en d´duit que la contrainte verticale
a e
σzz est donn´ par :
e
σzz (z) = ρgλ(1 − ez/λ ) (3)
8

9. 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Fig. 7 – Contrainte verticale
4D
avec λ = qui repr´sente une longueur caract´ristique du syst`me. Pour des
e e e
µs K
valeurs classiques de K 0, 5 et µs 1, on a λ 2D.
on observe l’existence de deux r´gimes :
e
– un r´gime hydrostatique (z << λ) : la pression augmente lin´airement avec la
e e
hauteur comme pour un fluide classique (σzz = ρgλ)
– un r´gime satur´ (z >> λ) : la pression sature et devient constante (σzz = ρgz)
e e
On peut ´galement remarquer que la longueur caract´ristique diminue quand le coefficient
e e
de frottement augmente. Ce qui est plutot naturel car ce dernier traduit la capacit´ qu’a
e
la paroie a retenir la masse de grains.
Poids apparent :
On remarque alors que la contrainte verticale reste constante au del` des hauteurs
a
sup´rieures ` λ (c’est ` dire deux fois le diam`tre du silo). Ainsi une fois d´pass´ la
e a a e e e
hauteur λ tout ajout de mat´riau dans le silo n’affecte plus la pression au fond : le
e
surplus de poids est support´ enti`rement par la friction sur les paroies. On observe alors
e e
un poids apparent constant ` la base du silo.
a
Nos r´sultats exp´rimenteux sont en accord avec la mod´lisation th´orique. Le simple
e e e e
mod`le de Janssen permet donc de justifier les observation pratiques r´alis´es.
e e e
2 Les Ecoulements denses
On entend par ´coulements denses des ´coulements s’effectuant le long d’une surface,
e e
de mani`re ”coulante”, par oppposition aux ´coulements tr`s rapides lors desquels le milieu
e e e
granulaire s’apparente ` un gaz (avalanche en a´rosol).
a e
9

10. 2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES
2.1 Observations
Duplicit´ des angles
e
On constate exp´rimentalement que pour chaque type de grains, tous les tas form´s
e e
de ces grains ont un mˆme angle, appel´ angle de talus. Mais, au-del` de ce point de
e e a
vue statique, on remarque aussi que lors d’un ´coulement, sur un plan inclin´ ou dans un
e e
tambour par exemple, il existe deux angles : un angle de d´part ou d’avalanche, et un
e
angle d’arrˆt, plus petit.
e
Fig. 8 – L’angle de talus reste constant quelle qeue soit l’´chelle
e
2.1.1 Exp´rience du plan inclin´
e e
Pour mettre en ´vidence ces deux angles, nous avons r´alis´ un dispositif de plan in-
e e e
clin´.
e
On d´pose une couche de sable sur une plaque de bois recouverte de toile Emeri (pour la
e
rugosit´), dont on modifie l’inclinaison, jusqu’` ce que le milieu s’´coule. L’angle mesur´
e a e e
a
` la fin de l’avalanche est plus petit que l’angle de d´part.
e
Fig. 9 – L’exp´rience du plan inclin´ - Principe
e e
Ainsi on mesure un angle de stabilit´ maximum de 38 , et un angle de repos (ou
e ˚
d’arrˆt) de 34 .
e ˚
10

11. 2.1 Observations 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Fig. 10 – Dispositif utilis´
e
Fig. 11 – R´sultats - angle de d´part et angle d’arret
e e
11

12. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Fig. 12 – Exp´rience du tambour, dispositif de l’ENSIC
e
2.1.2 Exp´rience du tambour
e
particularit´s.. 2 zones apparaissent : une zone importante o` les grains tournent de
e u
concert avec le tambour, et une zone en forme de croissant o` les grains s’´coulent ` la
u e a
mani`re d’un fluide. / 2 angles diff´rents directmt visibles par exp´rience ` effectuer dvt
e e e a
jury.
2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e
2.2.1 le tas de sable
Nous allons tenter dans ce paragraphe de simuler sommairement le comportement
d’un tas de sable.
Le syst`me ´tudi´ est un demi tas en 2 dimensions. Celui-ci est discr´tis´, il est
e e e e e
en r´alit´ repr´sent´ par une liste de valeurs, ces valeurs ´tant les hauteurs de chaque
e e e e e
”collonne de grains”.
Il est r´git par quelques r`gles simples qui vont d´terminer son ´volution :
e e e e
Une boucle dans le programme d´termine s’il doit y avoir effondrement ou non. Se-
e
lon la figure 13, la colonne de grains est jug´e instable si elle d´passe au moins de trois
e e
grains sa voisine. Dans ce cas l’effondrement entraine avec lui deux grains (voir plus si
la diff´rence ´tait sup´rieure ` 3). Ceci traduit l’existence de friction entre les grais : un
e e e a
grain qui s’effondre entraine avec lui d’autres grains.
On g´n`re ensuite un tas initialement stable avec un algorithme bas´ sur des choix
e e e
al´atoirs. Ce tas va maintenant ˆtre utils´ pour diverses simulations.
e e e
12

13. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Fig. 13 – R`gles simples r´gissant le syst`me
e e e
´crans
e observations
Tas initial g´n´r´, au repos.
e ee
Tas apr`s le d´clanchement d’une avalanche, au repos.
e e
Superposition des deux r´sultats pr´c´dents :
e e e
on constate que l’angle du tas apr`s l’avalanche
e
est inf´rieur ` l’angle initial.
e a
Tab. 2 – Angles du tas avant et apr`s une avalanche
e
La premi`re simulation est la suivante : nous cr´ons une perturbation en ajoutant un
e e
ou deux grains ` une hauteur donn´e. Ainsi cette perturbation va, ` l’it´ration suivante,
a e a e
d´clancher une avalanche suivant les r`gles initiales. Le syst`me ´volue alors jusqu’` une
e e e e a
situation de repos apr`s un certain nombre d’it´rations.
e e
L’objectif est ici de comparer l’angle avant l’avalanche et l’angle apr`s l’avalanche. Les
e
r´sultats de la simulation sont pr´sent´s dans la tableau 2.
e e e
Cette simple simulation num´rique aboutit ainsi au mˆme r´sultat que nos observations
e e e
initiles du plan inclin´.
e
La seconde simulation consiste ` ”d´verser” en continue une certaine quantit´ de grains
a e e
au sommet du tas. Nos observations se limitent ` l’observation de la g´om´trie du tas.
a e e
13

14. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
´crans
e observations
Tas initial g´n´r´, au repos.
e ee
Tas apr`s l’ajout d’une grande
e
quantit´ de grains a son sommet.
e
Tab. 3 – Angle de talus ` diff´rente ´chelles
a e e
Comme pour la simulation pr´cd´dente, des avalanches ont lieu. On constate cepen-
e e
dant (voir tableau 3) que les tas ainsi cr´´s poss`dent r´guli`rement le mˆme angle que
ee e e e e
le tas initial. Il sagit de l’angle maximal observable.
Ceci n’est autre que l’observation de l’existence d’un angle de talus : peu importe la taille
du tas consid´r´, l’angle maximal qu’on peu esp´rer atteindre reste le mˆme.
ee e e
14

15. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
2.2.2 Equations moyenn´es dans l’´paisseur
e e
Les ´quations moyenn´es de l’´paisseur, ´tablies en 1989, permettent de rendre compte
e e e e
de l’´volution de l’´coulement d’un milieu granulaire sur un plan inclin´ d’un angle θ.
e e e
Fig. 14 – description du syst`me ´tudi´
e e e
Conservation de la masse
On consid`re un volume virtuel τ , fixe dans l’espace, limit´ par une surface ferm´e Σ,
e e e
et plong´ dans un fluide en d´placement dont la densit´ est ρ et la vitesse − . Pendant
e e e →v
un temps dt, la masse m pr´sente dans ce volume varie donc d’une quantit´
e e
dm d ∂ρ
= ρdV = dV (4)
dt dt τ τ ∂t
puisque le volume est fixe dans l’espace.
∂ρ
de plus l’hypoth`se d’incompressibilit´ assure que
e e = 0. Donc imm´diatement
e
∂t
dm
=0 (5)
dt
−−
→ − →
−
→
or l’´l´ment de surface d2 S de Σ est travers´ par un flux de masse ρ d2 S − dt. On peut
ee e v
donc ´crire
e
dm
= − →− −
→
ρ − d2 S
v (6)
dt Σ
15

16. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
D’o` en utilisant le th´or`me d’Ostrogradsky
u e e
div(ρ − )dV = 0
→
v (7)
τ
ceci ´tant valable pour tout volume τ , on en d´duit
e e
div − = 0
→
v (8)
ce qui s’´crit encore dans le cas de notre probl`me plan, avec − = u(x, z, t, ) − +v(x, z, t) − ,
e e →
v →
ex →
ez
∂u ∂v
+ =0 (9)
∂x ∂z
Conservation de la quantit´ de mouvement
e
∂ρ −
→
v →→ − −
→ −−
→ →
−
dV = − ρ − (− . d2 S)
v v + [σ] d2 S + F dV
τ ∂t Σ Σ τ
quantite de mouvement f lux de la quantite de mouvement f orces de surf ace f orces de volume (poids ρ − )
→
g
(10)
Nous allons ramener chaque int´grale surfacique en int´grale volumique en utilisant
e e
le th´or`me d’Ostrogradsky
e e
Concernant les forces de surface :
−−
→ −→
[σ] d2 S = div[σ]dV (11)
Σ τ
−→ ∂σxx ∂σxy ∂σxz
o` (div[σ])x =
u + +
∂x ∂y ∂z
Concernant le flux de la quantit´ de mouvement :
e
→→ −
v v
−
→
ρ − (− . d2 S) =
→
−→
div(ρvx v) − +div(ρvy − ) − +div(ρvz − ) − dV )(12)
ex → →
v ey → →
v ez
Σ τ
= → −→ →
v
−
ρ(− . grad)(− ) + − div(ρ − ) dV
v →
v →
v (13)
τ
= → −→ →
v
−
ρ(− . grad)(− )dV
v (14)
τ
Ainsi on tire de (10) :
∂ρ −→
v → −→ →
− −→ →
−
= −ρ(− . grad)(− ) + div[σ] + F
v v (15)
∂t
on reconnait ici la d´riv´e particuli`re
e e e
Dρ −
→
v −→ →
−
= div[σ] + F (16)
Dt
16

17. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Equations des ´coulements
e
la conservation de la masse et de la quantit´ de mouvement donnent donc les trois
e
´quations suivantes dans le cas de notre probl`me plan
e e
∂u ∂v
+ =0 (17)
∂x ∂z
∂u ∂u ∂u ∂σxx ∂σxz
ρ +u +v = ρg sin θ − − (18)
∂t ∂x ∂z ∂x ∂z
∂v ∂v ∂v ∂σxz ∂σzz
ρ +u +v = −ρg cos θ − − (19)
∂t ∂x ∂z ∂x ∂z
L’obtention des ´quations moyenn´es s’effectue en deux ´tapes. La premi`re ´tape
e e e e e
consiste ` utiliser l’hypoth`se de couche mice pour n´gliger des termes dans les ´quations
a e e e
pr´c´dentes. La seconde ´tape consiste ` int´grer les ´quations le long de z.
e e e a e e
Afin de pouvoir comparer les ordres de grandeur des diff´rents termes des ´quations
e e
pr´c´dentes, des variables adimensionn´es not´es avec une tilde sont introduite. L’´chelle
e e e e e
de grandeur selon x est not´e L et l’´chelle de l’´paisseur de la couche est H. l’hypoth`se
e e e e
de couche mince signifie que le param`tre = H/L est petit. l’adimensionnement est
e
choisi comme suit :
x = xL
˜ z = zH
˜ ˜
t = t g/L
u = u g/L
˜ v = v g/L
˜
σxx = σ˜ ρgH cos θ σzz = σ˜ ρgH cos θ σxz = σ˜ ρgH sin θ
xx zz xz
l’addimentionnement permet donc de transformer les ´quations de conservation de la
e
forme :
∂ u ∂˜
˜ v
+ =0 (20)
∂x ∂z
˜ ˜
∂u
˜ ∂u
˜ ∂u
˜ ∂ σ˜
xx ∂ σ˜
xz
+u˜ +v˜ = sin θ − cos θ − sin θ (21)
˜
∂t ∂x
˜ ∂z
˜ ∂x˜ ∂z˜
∂˜
v ∂˜
v ∂˜
v ∂ σ˜
xz ∂ σ˜
zz
+u ˜ +v = − cos θ − sin θ − cos θ (22)
˜
∂t ∂x
˜ ∂z
˜ ∂x˜ ∂z˜
Si on n´glige
e la derni`re ´quation (22) devient
e e
∂ σ˜
zz
= −1 (23)
∂z˜
par int´gration de cette ´quation, en consid´rant que la pression est nulle ` l’interface,
e e e a
on obtient l’expression de la pression verticale dimensionn´e :
e
σzz = ρg cos θ(h − z) (24)
17

18. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Obtention des ´quations finales
e
Dans le but d’obtenir les ´quations finale, il faut maintenant int´grer les ´quations
e e e
suivant z.
En ce qui concerne l’´quation (20) qui traduit la conservation de la masse, on utilise
e
∂h
le fait que v = , ainsi en int´grant suivant z :
e
∂t
∂h ∂(hu)
+ =0 (25)
∂t ∂x
Pour les ´quations de la conservation de la quantt´ de mati`re,nous supposons de plus
e e e
que la contrainte normale horizontale est proportionnelle ` la contrainte normale verti-
a
cale : σxx = kσzz . Pour une pression isotrope : k = 1, ce qui est le cas pour les fluides.
Concernant les milieux granulaires cette hypoth`se n’a rien d’´vident.
e e
Donc en utilisant σzz = ρg cos θ(h − z) et σxx = kσzz , l’´quation (18) devient donc :
e
∂u ∂u ∂u ∂h ∂τ 1
ρ +u +v = ρg cos θ tan θ − k − (26)
∂t ∂x ∂z ∂x ∂z ρg cos θ
en notant τ = σxz
On utilise enfin le fait que dans l’hypoth`se de la couche mince, la vitesse selon ex est
e
ind´pendante de z. Ainsi par int´gration suivant z :
e e
∂u ∂u ∂h τ
ρh +u = ρgh cos θ tan θ − k − (27)
∂t ∂x ∂x ρgh cos θ
La contrainte interfaciale τ qui traduit la rh´ologie du mat´riau peut, ` l’aide d’une
e e a
loi de friction, ˆtre remplac´e par µρgh cos θ, ie une contrainte tangentielle proporionnelle
e e
a
` la contrainte normale. µ repr´sente ici le coefficient de friction.
e
Finalement les ´quations moyenn´es dans l’´paisseur sont :
e e e
∂h ∂(hu)
+ =0 (28)
∂t ∂x
∂u ∂u ∂h
ρh +u = ρgh cos θ tan θ − k −µ (29)
∂t ∂x ∂x
On interpr`te ais´ment la derni`re ´quation (29) : l’acc´l´ration est compens´e par
e e e e ee e
une force de gravit´, une force de friction au fond et une force d’´talement.
e e
Conclusion
Finalement, les milieux granulaires, de par leur mode particulier de transmission des
contraintes, par les voˆtes qui les soudent mais qui sont boulervers´es ` la moindre per-
u e a
turbation, font preuve d’une dualit´ liquide/solide. Tas solide ou grains qui s’´coule dans
e e
18

19. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
un sablier, les comportements ´tranges des milieux granulaires se rencontrent aussi au
e
niveau de leurs ´coulements, que ce soit sur un plan ou dans un tambour.
e
D’autres domaines d’´tude concernant les milieux granulaires existent. Parmis eux
e
figurent l’´tude des interactions entre particules, les ph´nom`nes de s´gr´gation, de com-
e e e e e
paction, de dilatance, de r´sistance au cisaillement...
e
On parvient ` mod´liser des avalanches, et ` approcher les ´quations qui r´gissent
a e a e e
ces ´coulements, n´anmoins, leur port´e est tr`s limit´e. Les conditions d’applications,
e e e e e
les approximations utilis´es empˆchent toute g´n´ralisation. Par exemple, on s’est rendu
e e e e
compte que des mod´lisations effectu´es pour des ´coulements en tambour pour une cer-
e e e
rayon du tambour
taine tranche de rapports dimension des grains n’avaient plus de valeur pour des rapports
diff´rents. De nombreuses difficult´s restent ` surmonter, et aucune th´orie g´n´rale n’a
e e a e e e
encore ´t´ ´tablie dans cette science tr`s jeune mais tr`s dynamique.
eee e e
Et pour cause, ses applications dans l’industrie sont consid´rables : on estime que
e
70 % des produits fabriqu´s passent ` un moment au moins de leur ´laboration par un
e a e
stade granulaire. De l’activit´ mini`re ` la fabrication du b´ton, de l’industrie chimique ou
e e a e
pharmaceutique ` l’agroalimentaire, en passant par la mod´lisation des ´coulements py-
a e e
roclastiques et mˆme le broyage [(dont le cout global est sup´rieur ` celui du transport !)],
e e a
tous les domaines sont concern´s.e
Bibliographie
– La physique des tas de sable - Ph. Claudin - EDPscience - 1999
– Les milieux granulaires - O.Pouliquen - Cours de l’ENSTA - 2001
– Du sac de billes au tas de sable - Etienne Guyon, Jean-Paul Troadec - Odile
Jacob - 1994
– M´canique g´n´rale : Elastostatique - Ecole nationale sup´rieure de l’a´ronau-
e e e e e
tique et de l’espace - 1973
– sujets de concours : ´cole polytechnique - 1999 - ´cole normale sup´rieure de
e e e
Cachan - 2002
Contacts
V´ronique Falk, Enseignant-chercheur ` l’ENSIC Nancy
e a
19

20. 2.2 Mod´lisation des ´coulements
e e 2 LES ECOULEMENTS DENSES
Annexe
Code source du programme ”avalanche” ti-89
:Prgm
:
:EffDess
:0->ymin :hauteur->ymax
:0->xmin :hauteur->xmax
:
:{hauteur}->l
:Lign 1,0,1,hauteur
:
:hauteur->h
:While h <> 1: h-nbrAl´at(2)->h: augmente(l,{h})->l: dim(l)->di: Lign di,0,di,l[di]
e
:EndWhile
:Pause
:
:Prompt perturb :Lbl c
:l[perturb]+2->l[perturb] :Lign perturb,0,perturb,l[perturb]
:
:For i,2,dim(l),1
:If l[i-1]-l[i]=3 Then
:l[i-1]-2->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+2,0 :l[i]+2->l[i]
:Lign i,l[i]-2,i,l[i],1
:
:ElseIf l[i-1]-l[i]=4 Then
:l[i-1]-3->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+3,0 :l[i]+3->l[i]
:Lign i,l[i]-3,i,l[i],1
:
:ElseIf l[i-1]-l[i]>4 Then
:l[i-1]-4->l[i-1] :Lign i-1,l[i-1],i-1,l[i-1]+4,0 :l[i]+4->l[i]
:Lign i,l[i]-4,i,l[i],1
:EndIf
:EndFor
:
:Goto c
:
:EndPrgm
20