Cours mecasol 0_2

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Cours mecasol 0_2

  1. 1. M´canique du solide et des mat´riaux e e ´ Elasticit´-Plasticit´-Rupture e e Jean-Claude CharmetDocuments concernant l’enseignement (Cours, TD, Pr´ceptorats, TP) sur e http ://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement Rubrique : Supports de l’enseignement de m´canique des solides e ESPCI - Laboratoire d’Hydrodynamique et M´canique Physique e
  2. 2. ii
  3. 3. Table des mati`res e1 MATERIAUX 1 1.1 La Science des mat´riaux . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les mat´riaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Les classes de mat´riaux et leurs propri´t´s . . . e ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 La liaison chimique et les propri´t´s m´caniques ee e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Raideur et r´sistance ultime . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Entre raideur et rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 La m´canique des solides continus . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Les essais en m´canique . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 L’essai de traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Les modes de ruine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 H´t´rog´n´it´ et anisotropie . . . . . . . . . . . . ee e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.5 Le Comportement m´canique des mat´riaux . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ ´2 ETAT MECANIQUE 15 2.1 Milieux d´formables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Forces externes et ´quilibre m´canique . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Forces internes, forces de surface et transmission des efforts . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Raideur, rigidit´, ´tat m´canique local . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 16 2.2 Les contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ´ 2.2.1 Etat m´canique local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Le tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Propri´t´s du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . ee . . . . . . . . . . . 20 2.2.4 Repr´sentation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 22 2.3 La loi fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Equation de l’´quilibre dynamique . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Les d´formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 28 ´ 2.4.1 Etat local de d´formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Les grandes d´formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Les petites d´formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 31 2.4.4 Le tenseur des d´formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 34 2.4.5 Propri´t´s du tenseur des d´formations . . . . . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . 35 2.4.6 Repr´sentation des d´formations . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 36 2.5 Continuit´ et compatibilit´ des d´formations . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 36 2.6 Lois de comportement : relations contraintes - d´formations . . . . e . . . . . . . . . . . 37 2.7 R´sum´ Contraintes - D´formations . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 38 ´3 ELASTICITE ´ 39 3.1 Le travail de d´formation . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Le travail virtuel de d´formation . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Les potentiels ´lastiques . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Relation avec la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iii
  4. 4. iv ` TABLE DES MATIERES 3.2 L’´lasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Les deux ´lasticit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 42 3.2.2 L’´lasticit´ lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 42 3.2.3 L’´lasticit´ lin´aire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 43 3.3 Les modules ´lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 43 3.3.1 Module d’Young et coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Module de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.3 Modules de Lam´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 44 3.3.4 Modules de compressibilit´ et de cisaillement . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 44 3.4 Les ´quations de l’´lasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 45 3.4.1 La loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.2 Les modules effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.3 L’´quation de Lam´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 47 3.5 Les probl`mes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 48 3.5.1 La d´formation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 48 3.5.2 La contrainte plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.3 Lieux caract´ristiques des probl`mes plans . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 50 3.6 Ondes et vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.1 Les ondes de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.2 Barres, plaques et blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6.3 Les ondes de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 Th´or`mes ´nerg´tiques en ´lasticit´ lin´aire . . . . . . . . . . . . . . e e e e e e e . . . . . . . . . . 57 3.7.1 R´ciprocit´ des chargements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 57 3.7.2 Th´or`mes ´nerg´tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e . . . . . . . . . . 58 3.8 Flexion et flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.1 Flexion des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.8.2 Flambement des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9 Le contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.9.1 Le contact : ph´nom`ne m´canique local . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 64 3.9.2 Le contact en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.9.3 Poin¸on plan rigide ` base circulaire sous chargement normal c a . . . . . . . . . . 66 3.9.4 Le contact de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 e ´ 3.10 R´sum´ Elasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 694 PLASTICITE ´ 71 4.1 Le comportement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1.1 Le seuil de plasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 71 4.1.2 Influence des d´formations plastiques sur les propri´t´s m´caniques e ee e . . . . . . . 72 4.1.3 Le comportement plastique pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.4 Instabilit´ plastique et ´coulement libre . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 75 4.1.5 La striction stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Fronti`re ´lastique et fronti`re d’´coulement . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e . . . . . . . 77 4.2.1 La fronti`re ´lastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 77 4.2.2 La fronti`re d’´coulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 79 4.3 Crit`res de plasticit´ et d’´coulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . 80 4.3.1 Effet d’une pression isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3.2 Sym´tries du domaine de r´sistance . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 81 4.3.3 Crit`re de Tresca et Courbe intrins`que de Caquot . . . . . . . . . e e . . . . . . . 82 4.3.4 Crit`res de Von Mis`s et Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 83 4.4 Les ´quations de la plasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 84 4.4.1 Les mat´riaux ductiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 85 4.4.2 Chargement radial et d´formation simple . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 87 4.4.3 Loi de Hooke g´n´ralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . 88 4.4.4 Travail plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
  5. 5. `TABLE DES MATIERES v 4.5 La plasticit´ ` l’´chelle microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . ea e . . . . . . . . . . 91 4.5.1 Le glissement dans un monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5.2 Les dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.3 Action d’un champ de contrainte externe sur une dislocations . . . . . . . . . . 98 4.5.4 Obstacles intrins`ques au mouvement des dislocations . . . . e . . . . . . . . . . 102 4.5.5 Obstacles externes au mouvement des dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.5.6 Vers la plasticit´ macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 107 4.6 R´sum´ Plasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 1095 RUPTURE 111 5.1 R´sistance th´orique ` la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e a . . . . . . . . . 112 5.1.1 La contrainte th´orique de clivage . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 112 5.1.2 L’´nergie superficielle des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 113 5.1.3 L’effet d’´chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 113 5.2 Approche en force et en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.1 Le coefficient de concentration des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2.2 La contrainte de rupture effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 La rupture fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.1 Fissure et modes de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.2 Les phases de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.3 Les hypoth`ses du mod`le de rupture fragile . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 117 5.3.4 Le mod`le de rupture fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 118 5.3.5 Coefficient de concentration k et facteur d’intensit´ K . . . . . e . . . . . . . . . 118 5.4 La correction d’´lasto-plasticit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 119 5.4.1 Autonomie de la zone critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4.2 Mod`le d’Irwin en plasticit´ confin´e . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . 119 5.4.3 Mod`le de Barenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 120 5.5 La t´nacit´ des mat´riaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . 121 5.5.1 Condition d’amor¸age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c . . . . . . . . . 121 5.5.2 La t´nacit´ th´orique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . 122 5.5.3 Le paradoxe de la t´nacit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 122 5.5.4 La t´nacit´ effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 122 5.6 Approche ´nerg´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 123 5.6.1 Crit`re ´nerg´tique pour la rupture brutale . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . 124 5.6.2 Le bilan d’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 124 5.6.3 Condition d’amor¸age et taux de restitution de l’´nergie . . . . c e . . . . . . . . . 125 5.6.4 Stabilit´ et propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 125 5.6.5 Courbe d’´quilibre d’une fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 126 5.6.6 Influence du type de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.7 La longueur de Griffith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.7.1 Taux de restitutiton d’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 128 ´ 5.7.2 Energie de fissuration et longueur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ´ 5.7.3 Energie de fissuration et t´nacit´ : La relation entre GC et KC e e . . . . . . . . . 130 5.8 La propagation des fissures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.8.1 La courbe d’´quilibre et la propagation contrˆl´e . . . . . . . . e oe . . . . . . . . . 132 5.8.2 La stabilit´ de la propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 132 5.8.3 Influence du type de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.9 Les m´canismes de la rupture brutale . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 134 5.9.1 Le d´chirement ductile des m´taux . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 134 5.9.2 Le clivage fragile des c´ramiques . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 135 5.10 La r´sistance ` la rupture des mat´riaux fragiles . . . . . . . . . . . . e a e . . . . . . . . . 136 5.10.1 R´sistance ` la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a . . . . . . . . . 136 5.10.2 La statistique de la rupture fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.11 R´sum´ Rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 141
  6. 6. vi ` TABLE DES MATIERESA Propri´t´s m´caniques des mat´riaux e e e e 143 A.1 Temp´ratures de fusion et de ramollissement(*) en °K . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 A.2 Masse volumique en kg.m−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 A.3 Echelles de structure des mat´riaux . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 A.4 Module d’Young en Gpa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 A.5 Limite d’´lasticit´ Re et r´sistance ` la traction Rm e e e a . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Re A.6 Limite d’´lasticit´ normalis´e : E . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 A.7 Ductilit´ en traction - allongement ` rupture AR en % e a . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.8 T´nacit´ KC en M P a.m e e 1/2 ` l’ambiante . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.9 Energie de rupture GC en kJ.m−2 ` l’ambiante . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 152B Op´rateurs diff´rentiels - Formulaire e e 153 B.1 Coordonn´es cart´siennes . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.1.1 Scalaire φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.1.2 Vecteur u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.1.3 Contrainte σ et D´formation ε e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.2 Coordonn´es polaires . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.2.1 Scalaire φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.2.2 Vecteur u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.2.3 Contrainte σ et D´formation ε e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3 Coordonn´es sph´riques . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.3.1 Scalaire φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.3.2 Vecteur u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.3.3 Contrainte σ et D´formation ε e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156C Bibliographie 157
  7. 7. Chapitre 1MATERIAUX1.1 La Science des mat´riaux e Alors que la r´sistance des structures et des mat´riaux est un domaine qui nous concerne tous dans e enotre vie quotidienne, elle est rest´e pendant des si`cles le parent pauvre des “Sciences”. Essayer de e ecomprendre pourquoi se produisent des catastrophes telles que l’effondrement d’un pont ou la ruptured’un barrage ´tait le lot des hommes de l’art dont les connaissances ´taient surtout affaire d’empirisme e eet de tradition. C’est en 1638, sur la fin de sa vie, que Galil´e (1564-1642) publia son “Dialoghi delle due nuove escienze”, premier ouvrage publi´ qui traitait s´rieusement de r´sistance m´canique. Il ´tudia l’influence e e e e ede la section sur la r´sistance statique des tiges, montrant que la charge de rupture ´tait bien propor- e etionnelle ` l’aire de la section droite, et s’int´ressa aussi, avec plus ou moins de bonheur (il ne pouvait a eb´n´ficier des travaux de Isaac Newton (1642-1727) sur le principe de l’action et de la r´action), ` la e e e ar´sistance en flexion de divers types de poutres. e Alors qu’il partageait avec les Grecs leur m´pris pour les Sciences appliqu´es, Isaac Newton y e eapporta deux outils d’importance primordiale : le calcul diff´rentiel et sa troisi`me loi, plus connue e esous le nom de “Principe de l’action et de la r´action”. Cette loi stipule que si un corps pesant exerce sur eun corps support une force due ` l’action de la pesanteur (contact statique) ou ` celle de l’acc´l´ration a a ee(contact dynamique), ce support exerce en sens inverse une force de r´action ´gale et oppos´e sur le e e ecorps pesant. Si les lois de Newton nous donnent les forces auxquelles une structure peut ˆtre soumise, eelle ne nous donne aucune information sur les forces de r´action au sein des mat´riaux qui la compose. e e Comment et pourquoi la structure r´siste-t-elle ? La r´ponse fut donn´e par Robert Hooke (1635- e e e ´1703). Etudiant l’allongement produit par l’action de charges croissantes appliqu´es sur divers mat´riaux, e eil ´tablit une relation de proportionnalit´, dans la limite de pr´cision des mesures de l’´poque, et il e e e eformula la loi de l’´lasticit´ qui porte son nom en 1679 dans son trait´ “ De potentia restituva” sous la e e eforme “Ut tensio, sic vis”. Telle tension, telle force, car en latin tensio signifie g´n´ralement ´tirement e e eet non tension - au sens de force - bien que les romains aient souvent confondu les deux acceptions.Nous savons aujourd’hui que cette loi s’applique bien ` presque tous les solides usuels (cristallins ou aamorphes) aux faibles contraintes mais que les mat´riaux constitutifs des structures biologiques la esuivent rarement. Cependant, pour les structures et les mat´riaux usuels, elle joue un rˆle essentiel. e o Malgr´ leur richesse, les id´es de Hooke ne d´bouch`rent que cent ans plus tard sous la forme e e e edes concepts de Contrainte et de D´formation introduits par Augustin Cauchy (1789-1857). Bien eque recouvrant des notions tr`s simples ces deux termes restent souvent myst´rieux et rebutants. e eJusqu’alors les ´tudes avaient port´ sur des structures plus ou moins ´labor´es pour lesquelles les e e e eanalyses en terme d’allongement et de force ne distinguaient pas ce qui ´tait la contribution de la eg´om´trie de la structure de celle intrins`que au mat´riau. La d´finition de l’´tat m´canique local en e e e e e e eterme de contrainte et de d´formation a v´ritablement sorti la Science des Mat´riaux de l’impasse. e e e L’id´e qu’un mat´riau puisse ˆtre caract´ris´ par une rigidit´ intrins`que est due ` Thomas Young e e e e e e e a(1773-1829) qui d´montrait ainsi que la d´formation globale d’une structure r´sulte en fait de la com- e e ebinaison de la raideur du mat´riau et de la taille et de la forme de cette structure. Cependant on edoit ` Henri Navier (1785-1836) d’avoir formul´ math´matiquement le concept d´velopp´ par Thomas a e e e e 1
  8. 8. 2 CHAPITRE 1. MATERIAUXYoung, en s’appuyant sur les notions de d´formation et de contrainte formul´es par Augustin Cau- e echy. Les bases ´taient pos´es pour entreprendre la r´solution analytique des probl`mes de calcul des e e e estructures. Fort de ces progr`s, le d´but du XIXe si`cle fut la p´riode privil´gi´e des tentatives de pr´diction e e e e e e edes r´sistances pratiques des mat´riaux ` partir des connaissances acquises sur les forces des liaisons e e ainteratomiques et des catastrophes, les r´sultats obtenus s’´cartant de plusieurs ordres de grandeur e edes valeurs exp´rimentales. Il fallut attendre plus d’un si`cle pour voir se dessiner une approche e esatisfaisante des m´canismes comportementaux au del` de la zone ´lastique : ductilit´ et plasticit´, e a e e efragilit´ et rupture. En effet, ce n’est qu’en 1920 que A. Griffith publia son article r´volutionnaire sur e ela r´sistance ` la rupture des solides. et ce n’est qu’en 1934 que Geoffrey Taylor sugg´ra l’existence de e a edislocations dans les cristaux pour interpr´ter les propri´t´s de ductilit´ des m´taux purs. e ee e e La Science des Mat´riaux disposait enfin des outils conceptuels n´cessaires ` son d´veloppement. e e a eLes travaux de Griffith et de Taylor sont ` la base des m´thodes d’´laboration de nos mat´riaux a e e emodernes. Le d´veloppement conjoint des nouveaux mat´riaux et des moyens de calcul par ´l´ments e e eefinis permet aujourd’hui aux ing´nieurs de concevoir des structures m´caniquement fiables de plus en e eplus complexes comme en t´moignent les r´alisations de haute technologie du pont de Normandie ou e edu viaduc de Millau pour ne citer que le domaine des ouvrages d’art.1.2 Les mat´riaux e Le physico-chimiste ´tudie les propri´t´s de la mati`re, m´taux, alliages, verres, polym`res, tissus e ee e e ebiologiques,. . .mais ne s’occupe que rarement des mat´riaux correspondants. Les mat´riaux sont de e ela mati`re travaill´es par l’homme pour fabriquer des objets. Le process d’´laboration procure au e e emat´riau une certaine microstructure qui ` son tour d´termine ses propri´t´s chimiques, physiques, e a e eem´caniques, ´lectriques, thermiques. Il s’agit l` des propri´t´s intrins`ques du mat´riau. La synth`se e e a ee e e edes mat´riaux en laboratoire s’appuie sur la trilogie mise en oeuvre- structure - propri´t´s :. e ee Proc´d´s de fabrication e e Coul´e, frittage, d´pˆts (´lectrolytique,. . .) e e o e Mise en forme par d´formation e Laminage, extrusion, ´tirage, forgeage, emboutissage, e martelage, . . . Mise en forme par enl`vement de e Usinage, rectification, d´coupe (chalumeau, laser, jet e mati`re e d’eau), ´lectro´rosion, . . . e e Traitements thermiques Recuit, trempe, vieillissement, revenu, . . . Assemblage Soudage, collage, rivetage, boulonnage, vissage, fret- tage, . . . Traitement de surface Grenaillage, rodage, trempe superficielle, revˆtement e par d´pˆt (´lectrolytique, phase vapeur, projection, e o e . . .) ... Tab. 1.1 – Proc´d´s de mise en oeuvre e e Type de Liaison, Mol´cules e Type et taille Syst`me cristallin, Ordre e a ` longue et courte distance Polym`res e Taux de r´ticulation et de cristallinit´ e e H´t´rog´n´it´s chimiques ee e e e S´gr´gation aux joints de grains e e Pr´cipit´s coh´rents, incoh´rents e e e e Dimension, forme, fraction volumique Composites Plis, fibres (courtes longues trichytes) Texture, Porosit´e ... Tab. 1.2 – Microstructure
  9. 9. ´1.2. LES MATERIAUX 3 M´caniques e Modules et limites ´lastiques, ´crouissage (contrainte e e d’´coulement), charge ` la rupture, vitesse de fluage, e a ductilit´, allongement r´parti, ` rupture, taux de e e a striction, viscosit´, capacit´ d’amortissement, duret´, e e e r´sistance (fatigue, usure, abrasion, . . .) . . . e Tab. 1.3 – Propri´t´s m´caniques ee e1.2.1 Les classes de mat´riaux et leurs propri´t´s e e e L’ing´nieur groupe les mat´riaux en trois classes correspondant approximativement ` trois types e e ade comportement. Mat´riaux e Comportement Propri´t´s ee Verres et c´ramiques e Duret´ et fragilit´ e e Isolants et r´fractaires e M´taux et Alliages e Ductilit´ e Conducteurs et R´flecteurs e Polym`res e D´formabilit´ e e Tab. 1.4 – Les trois classes de mat´riaux e Cette classification recoupe celle des mat´riaux en fonction de leur type de liaison chimique. Ce er´sultat n’est pas fortuit dans la mesure o` une grande partie des propri´t´s physiques et en particulier e u eedes propri´t´s m´caniques sont conditionn´es par les propri´t´s des liaisons chimiques. ee e e ee Liaison covalente Bore Fibres Carbone diamant Poudres abrasives - fibres Silicium - germanium Composants ´lectroniques e Carbures - nitrures Meules, paliers, fibres r´fractaires e Polym`res e Thermodurcissables Liaison ionique Alumine, silice, zircone Abrasifs, r´fractaires e Verres Vitres, emballages, fibres Oxydes et carbures d’uranium Industrie nucl´aire e Liaison m´tallique e Aluminium Alliages l´gers e Zinc Bˆtiment, fonderie a Titane A´ronautique e Zirconium Industrie chimique, gaines combustible nucl´aire e Cuivre Laitons, bronzes Or, Argent Monnaies, brasures, photographie, contacts Etain, Plomb Plomberie, soudure Tantale R´fractaire, ´lectronique e e Fer, Cobalt, Nickel Aciers, fontes, superalliages Chaˆınes covalentes avec liaisons Van der Waals ou Hydrog`ne e Polym`res e Thermoplastiques Elastom`res e Bois, Papiers, Cartons Ciments, B´tons e Tab. 1.5 – Mat´riaux et type de liaisons chimiques e A ces trois classes s’ajoute la classe des composites qui permet une grande souplesse de combinai-sons de propri´t´s. ee
  10. 10. 4 CHAPITRE 1. MATERIAUX Fig. 1.1 – La classe des mat´riaux composites e .1.2.2 La liaison chimique et les propri´t´s m´caniques e e e Pour r´sister aux efforts qui lui sont appliqu´s un mat´riau n’a d’autre ressource que de se d´former e e e ede mani`re ` stocker ou ` dissiper l’´nergie qui lui est fournie. Dans les mat´riaux cristallins la e a a e ed´formation est associ´e ` de l´g`res variations des distances interatomiques, mais elles entraˆ e e a e e ınentdes variations consid´rables de l’´nergie de coh´sion (´nergie interne). Ainsi, pour comprendre les e e e ecaract´ristiques m´caniques des mat´riaux comme leur module il faut descendre ` l’´chelle atomique. e e e a eDeux facteurs ont un effet pr´pond´rant sur ces propri´t´s : e e eeLes forces qui retiennent les atomes les uns aux autres (les liaisons atomiques). Elles agissent commede petits ressorts qui lient un atome ` ses proches voisins dans l’´tat solide. a eLa mani`re dont les atomes sont empil´s (l’empilement atomique) qui va d´terminer le nombre de e e eressorts par unit´ de surface et l’angle sous lequel ils sont ´tir´s. e e eLes liaisons atomiques Les propri´t´s des mat´riaux sont fortement corr´l´es au type de liaison entre atomes car il ee e eed´termine l’´nergie de coh´sion de la mati`re, la force n´cessaire pour ´carter les atomes les uns e e e e e edes autres jusqu’` rupture, le coefficient de dilatation, la conductibilit´ ´lectrique ou thermique, la a e estabilit´ des phases, la r´activit´, . . .. Le chimiste distingue deux types de liaisons : les liaisons fortes e e e(ionique, covalente et m´tallique) toutes assez r´sistantes qui se d´sagr`gent entre 1000 et 5000 °K et e e e eles liaisons faibles ou secondaires (Van der Waals et hydrog`ne) relativement faibles qui fondent eentre 100 et 500 °K. La temp´rature de fusion du corps est un bon indicateur de la r´sistance de ses liaisons e e Liaisons Ionique ou Covalente M´tallique e Van der Waals Energie 10 5 0,1 Tab. 1.6 – Energie de liaison typique en eV/atome La coh´sion des m´taux et des c´ramiques est enti`rement due ` des liaisons fortes, covalentes et e e e e aioniques pour les c´ramiques, m´talliques et covalentes pour les m´taux. Ces liaisons fortes et rigides e e ese caract´risent par des modules m´caniques ´lev´s. e e e e Bien que beaucoup plus faibles, les liaisons secondaires n’en sont pas moins importantes. Elles sontresponsables de liens entre les mol´cules de polym`res, leur permettant d’exister ` l’´tat solide. Sans e e a eelles, l’eau bouillirait ` -80°C et la vie sur terre n’existerait pas. a Il faut cependant garder ` l’esprit que de nombreux atomes sont retenus les uns aux autres par ades liaisons mixtes qui combinent plusieurs sortes de liaisons ´l´mentaires. Ainsi le carbone graphite ee
  11. 11. ´1.2. LES MATERIAUX 5 Fig. 1.2 – L’´nergie de liaison U (potentiel de Lennard-Jones) e .poss`de des liaisons de covalence et des ´lectrons libres lui conf´rant un caract`re m´tallique et les e e e e eoxydes r´fractaires poss`dent des liaisons ioniques partiellement covalentes. e e B La longueur d’´quilibre r0 d’une liaison r´sulte de la comp´tition entre un terme r´pulsif UR = rn e e e e(avec n compris entre 6 et 12) r´sultant de l’interp´n´tration des distributions de charges ´lectroniques e e e e Aet un terme attractif UA = − rm (avec m < n). L’´nergie de liaison U (potentiel de Lennard-Jones) eest fonction de la distance r entre atomes : B A U = UR + UA = − (1.1) rn rmLa liaison ionique La liaison ionique est une liaison forte dont le terme attractif est d’origine Cou- q2 lombienne UA = − 4πε0 r2 . Elle assure la coh´sion des halog´nures d’alcalins comme NaCl et par- e e tiellement celle des oxydes (magn´sie, alumine, . . .) et des constituants du ciment (carbonates e hydrat´s). Les ´lectrons de chaque ion ´voluent dans des domaines complexes (les orbitales) e e e autour du noyau. En premi`re approximation les ions peuvent ˆtre suppos´s sph´riques et, ` e e e e a condition de respecter la nullit´ de la charge totale, la tol´rance d’empilement des ions les uns e e autour des autres est ´lev´e : la liaison ionique n’est pas directionnelle. e eLa liaison covalente est une liaison forte tr`s stable dont le terme attractif provient de la mise en e commun d’orbitales ´lectroniques. Dans la plupart des atomes, les ´lectrons mis en commun e e occupent des r´gions bien d´finies de l’espace et leur recouvrement (orbitales ` fort degr´ de e e a e sym´trie) conduit au caract`re directionnel de la liaison covalente qui d´termine ` son tour la e e e a mani`re dont s’empilent les atomes dans les cristaux. Pure, on la rencontre dans le diamant, e le silicium et le germanium dont les modules sont ´lev´s (celui du diamant est le plus grand e e connu). C’est la liaison dominante des c´ramiques au silicium et du verre (pierres, poteries, e briques, verres ordinaires et constituants du ciment). Elle contribue aussi ` la coh´sion des a e m´taux ` temp´rature de fusion ´lev´e (tungst`ne, molybd`ne, tantale, . . .). C’est ´galement la e a e e e e e e liaison des atomes de C des chaˆ ınes carbon´es de polym`res. Ces derniers comportant ´galement e e e des liaisons faibles, leurs modules sont g´n´ralement petits. e eLa liaison m´tallique est une liaison forte d´localis´e. C’est la liaison principale (mais pas unique) e e e des m´taux et de leurs alliages. Dans un m´tal les ´lectrons d’´nergie ´lev´e ont tendance ` e e e e e e a quitter leurs atomes d’origine (qui se transforment en ions) pour former un gaz d’´lectrons plus e ou moins libres ce qui explique la conductivit´ ´lectrique ´lev´e des m´taux. De ce fait, la liaison ee e e e m´tallique n’est pas directionnelle et les ions m´talliques ont tendance ` s’empiler en structures e e a simples et denses (comme des billes rang´es dans une boˆ e ıte).Les liaisons de type Van der Waals sont des liaisons faibles dont le terme attractif entre atomes ´lectriquement neutres est d’origine dipolaire et varie en r−6 . Si la sym´trie des charges d’un e e
  12. 12. 6 CHAPITRE 1. MATERIAUX atome existe en moyenne dans le temps (neutralit´ ´lectrique), la distribution instantan´e autour ee e du noyau ne l’est pas, cr´ant un moment dipolaire al´atoire. Ce moment induit un moment e e similaire sur un atome voisin et les deux dipˆles ainsi form´s s’attirent. Ce sont ces liaisons qui o e sont responsables de l’´tat liquide des gaz ` basse temp´rature, lorsque l’agitation thermique est e a e trop faible pour les rompre, et la glace n’existe que grˆce aux liaisons hydrog`ne. a e C’est par la formation de liaisons fortes et faibles que la mati`re se condense pour passer de l’´tat e egazeux ` l’´tat liquide ou solide. Les liaisons faibles des liquides ordinaires ont fondu ; pour cette raison a eils opposent une forte r´sistance ` la compression mais faible ` la traction ou au cisaillement. Leur e a amodule de compressibilit´ K est grand devant celui des gaz, mais leur module de cisaillement G et eleur module d’Young E sont nuls. De mani`re g´n´rale les modules d´pendent de l’´tat des liaisons e e e e e(solides ou fondues) et de la structure de la mati`re. e ´ Etat Liaisons Modules Faibles Fortes K G et E Liquides rompues — grand nuls (E = G = 0) Cristaux liquides rompues — grand quasi nuls (E G 0) Caoutchoucs ´tablies e ´tablies e grand petits (E G K) Verres — ´tablies e grand grands (E G K) Cristaux — ´tablies e grand grands (E G K) Tab. 1.7 – Liaisons chimiques et ´tats de la mati`re e eL’empilement des atomes La fa¸on dont les atomes sont empil´s est ´galement une donn´e importante pour d´terminer les c e e e epropri´t´s m´caniques des mat´riaux. De nombreux mat´riaux (presque tous les m´taux et c´ramiques) ee e e e e esont constitu´s d’un assemblage de petits cristaux dans lesquels les atomes sont empil´s en une struc- e eture r´guli`re r´p´t´e dans les trois dimensions. Les cristaux les plus simples peuvent ˆtre mod´lis´s e e e ee e e een assimilant les atomes ` des sph`res dures. Il s’agit l` cependant d’une simplification consid´rable a e a equoique commode. En simplifiant encore plus un corps pur avec une seule taille de sph`res dures eaux liaisons non directives aura tendance ` s’organiser en une structure compacte o` les sph`res sont a u erang´es sans contrainte autre que g´om´trique. Le Cuivre est un bon exemple de mat´riau r´pondant ` e e e e e aces conditions. Les caract´ristiques principales de l’empilement atomique s’expriment au travers de la emasse volumique du mat´riau qui est l’expression de la masse et du diam`tre des atomes constituants, e emais aussi de la densit´ de l’empilement dans le cristal. La plupart des m´taux ont de fortes densit´s e e eparce que leurs atomes sont lourds et empil´s de fa¸on compacte. e cLes verres min´raux sont constitu´s d’oxydes (comme SiO2 ) amorphes dans lesquels l’empilement e en’est pas cristallin. Ainsi, la silice vitreuse, du fait des liaisons covalentes Si − O reste solide bien audessus de 1000°C. L’ajout de N a2 O diminue la rigidit´ de la structure et abaisse la temp´rature de e eramollissement (` laquelle on peut travailler le verre sodique usuel des bouteilles et des vitres) aux aalentours de 700°C en brisant une partie des liaisons covalentes. La masse volumique des polym`res et de nombreuses c´ramique est plus faible que celle des m´taux e e eparce que les atomes constituants (C, H, O) sont plus l´gers et qu’ils adoptent des structures d’empi- element non compact (cf. annexe A.2).1.2.3 Raideur et r´sistance ultime e La connaissance du potentiel de Lennard-Jones (1.1) permet de calculer la force interatomiqueF = dU et la longueur au repos r0 (F = 0) de la liaison qui correspond au minimum de l’´nergie U de dr ela liaison. Lorsque l’on ´tire la liaison la force croˆ progressivement jusqu’` la valeur maximale FM e ıt apour une longueur rM correspondant ` la dissociation de la liaison qui se produit au point d’inflexion a dFde la courbe U (r). La pente S = dr de la courbe F (r) d´finit la raideur de la liaison. Au repos, F = 0 e d2 Uet r = r0 , elle a pour valeur S0 = dr2 |r0 .
  13. 13. ´1.2. LES MATERIAUX 7 ´ Fig. 1.3 – Energie et r´sistance d’une liaison e . Elle augmente depuis cette valeur lorsque la liaison est de plus en plus comprim´e, traduisant la er´sistance de plus en plus grande du mat´riau ` la compression hydrostatique. Au contraire, lorsque la e e aliaison est ´tir´e, sa raideur diminue jusqu’` s’annuler au point de dissociation r = rM o` la liaison ne e e a upr´sente plus de r´sistance ` la traction. Pour de faibles variations r − r0 de la longueur de la liaison e e aautour de sa valeur d’´quilibre r = r0 , la force de r´sistance F = S0 (r − r0 ) varie donc lin´airement e e eavec r − r0 pour tous les mat´riaux. On peut donc calculer la valeur S0 de la raideur de la liaison en efonction de sa nature ` partir de courbes th´oriques U (r). C’est le domaine de la physique du solide a eet de la chimie quantique. S0 Type de liaison S0 (N.m−1 ) E= r0 (Gpa) Covalentes, liaison C − C 180 1000 Ionique pure (i.e Na-Cl) 9 - 21 30 - 70 M´tallique pure (i.e Cu-Cu) e 15 - 40 30 - 150 Hydrog`ne (i.e H2 O − H2 O) e 2 8 Van der Waals (cires, polym`res) e 1 2 Tab. 1.8 – Raideurs de liaisons : valeur typiques La coh´sion d’un mat´riau cristallin ´tant assur´e par les liaisons interatomiques, leur raideur e e e epermet th´oriquement de calculer les modules ´lastiques du mat´riau ` condition de prendre en compte e e e ala structure cristalline qui va d´finir les directions des liaisons par rapport ` l’effort appliqu´ d’o` un e a e ucomportement g´n´ralement anisotrope. e ePour passer de la raideur microscopique (liaison) ` la raideur macroscopique (module d’Young E ) aassoci´ ` chaque type de liaison, donc ` chaque classe de mat´riau, consid´rons le mod`le simple dans ea a e e e Alequel tous les atomes sont situ´s sur un r´seau cubique (cf. Fig. 1.3). N = r2 ´tant le nombre de liaisons e e e 0qui traversent une section droite d’aire A normale ` la force macroscopique appliqu´e f , la r´sistance a e e` la traction microscopique de chaque liaison faiblement ´tir´e de r0 ` r ´tant F = S0 (r − r0 ), laa e e a eforce macroscopique appliqu´e est donc f = N F = A S0 r−r0 . R´´crite en terme de contrainte, densit´ e r 0 r0 ee e f r−r0surfacique de force σ = A et de d´formation, variation relative d’allongement ε = r0 , cette relation edevient σ = S0 ε. Soit l’expression du module d’Young E = σ caract´risant la raideur macroscopique r 0 ε e S0en fonction de la raideur microscopique E = r0 .En comparant les ordres de grandeur ainsi calcul´s (Tab. 1.8) avec les valeurs mesur´es (cf. annexe A.4), e e
  14. 14. 8 CHAPITRE 1. MATERIAUXon constate un bon accord pour les mat´riaux cristallins : c´ramiques et m´taux. On peut ´galement e e e enoter la tr`s bonne corr´lation entre les valeurs des modules ´lastiques et les temp´ratures de fusion e e e edes mat´riaux (cf. annexe A.1) qui traduisent bien la r´sistance des liaisons. Ainsi le diamant qui e epr´sente le plus fort module d’Young connu est aussi le mat´riau dont la temp´rature de fusion est la e e eplus ´lev´e. e e Le mod`le pr´c´dent permet ´galement d’estimer la limite th´orique de r´sistance ultime ` la e e e e e e atraction σM d’un mat´riau en fonction de son type de liaison. C’est la contrainte associ´e ` la force e e aFM qui conduit ` la dissociation de la liaison au maximum de la courbe F (r), donc au point d’inflexion ade la courbe U (r) ou encore ` la valeur S = 0 de la raideur. Il lui correspond une d´formation maximale a eεM associ´e ` la longueur maximale rM d’extension de la liaison. e a m+1 1 σM 1 m + 1 n−m n + 1 n−m = εM = −1 (1.2) E n+1 n+1 m+1 EPour un cristal ionique, m=1 et n=9, la limite ultime ` la traction est σM a 15 et la d´formation e σM 1 1εM 20% . En faisant varier m de 1 ` 6 et n de 6 ` 12, le rapport E varie assez peu, entre 10 et 25 a aet εM varie entre 10 et 30%.Le cas particulier des polym`res e D’apr`s (Tab. 1.8) tous les mat´riaux v´ritablement ` l’´tat solide devraient avoir des modules e e e a e´lastiques sup´rieurs ` la valeur minimale calcul´e de 2 GPa. Or, pour la classe des mat´riaux po-e e a e elym`res, les estimations bas´es sur la raideur des liaisons pr´sentent une divergence de plusieurs ordres e e ede grandeur par rapport aux valeurs mesur´es. Ceci provient de leur structure particuli`re. Les po- e elym`res sont constitu´s de tr`s longues mol´cules. Bien que les atomes qui en constituent le squelette e e e e(g´n´ralement compos´ d’atomes de carbone) soient li´s par des liaisons covalentes rigides, la longueur e e e ede ces chaˆınes les rend flexibles et, selon les conditions, ces chaˆ ınes s’arrangent – au hasard et non en structures p´riodiques tridimensionnelles (polym`res amorphes) e e – se replient les unes sur les autres de mani`re sym´trique et r´guli`re ` la mani`re d’une rame de e e e e a e papier informatique (polym`res cristallins) e – ou pr´sentent une structure mixte contenant ` la fois des zones amorphes et des zones cristallis´es. e a e Fig. 1.4 – Structure des polym`res e– ` gauche : amorphe partiellement cristallis´ a e– ` droite : fortement r´ticul´ par de nombreux ponts covalents interchaˆ a e e ınesLeurs propri´t´s m´caniques sont conditionn´e par l’indice de cristallinit´, le degr´ de pontage entre ee e e e eles chaˆ ınes et la densit´ des liaisons faibles interchaˆ e ınes de type Van der Waals. Les liaisons le longdu squelette des macromol´cules et les pontages occasionnels entre chaˆ e ınes (liaisons covalentes tr`s e
  15. 15. ´1.2. LES MATERIAUX 9raides) ne participent que tr`s peu ` la raideur globale, sauf ` tr`s forte d´formation lorsque toutes les e a a e echaˆınes sont compl`tement ´tir´es. Ce sont les liaisons secondaires faibles (inter-chaˆ e e e ınes de type Vander Waals) qui contrˆlent les propri´t´s m´caniques des polym`res. o ee e eOr la densit´ des liaisons faibles inter-chaˆ e ınes ´tant une fonction de la temp´rature, la temp´rature e e ede fusion du mat´riau doit ˆtre remplac´e par la temp´rature de transition vitreuse Tg qui caract´rise e e e e ela transition entre un ´tat normal basse temp´rature (T < Tg ) dans lequel les liaisons faibles sont e e´tablies et un ´tat fondu haute temp´rature (T > Tg ) dans lequel les liaisons secondaires ont fondu.e e e La plupart des polym`res tr`s flexibles ont partiellement fondu ` l’ambiante. Au del` de Tg les po- e e a a Fig. 1.5 – Influence de Tg sur la structure des ´lastom`res e e– ` gauche : amorphe ` T > Tg pontage inter-chaˆ a a ınes covalents occasionnels– ` droite : ` T < Tg liaisons Van des Waals secondaires inter-chaˆ a a ınes ´tablies au niveau des groupes elym`res non pont´s fondent compl`tement et deviennent des liquides visqueux, les polym`res r´ticul´s e e e e e edeviennent visco´lastiques (PVC) ou caoutchouteux (Polystyr`ne butadi`ne). Cette fusion des liaisons e e esecondaires est la cause de leurs propri´t´s m´caniques particuli`res comme par exemple la formabi- ee e elit´ du poly´thyl`ne ou la grande d´formabilit´ ´lastique du caoutchouc. Sous contrainte les chaˆ e e e e ee ınespeuvent alors facilement glisser les unes sur les autres partout o` il n’y a pas de pont, ce qui explique ula grande d´formabilit´ et la faible valeur des modules ´lastiques des polym`res ` l’ambiante. e e e e aPar contre, en dessous de Tg les polym`res sont de v´ritables solides de module ´lastique ≥ 2 GPa. e e eLeur module est ´lev´ par suite de la formation de ponts Van der Waals dont la densit´ avoisine 1. e e eLa simple exp´rience qui consiste ` refroidir un morceau de caoutchouc ` la temp´rature de l’azote e a a eliquide permet de rendre compte de la qualit´ de la pr´diction th´orique. En effet ce dernier devient e e ealors rigide (et cassant) et son module passe rapidement d’une valeur 1 MPa ` une valeur normale ad’environ 4 GPa. L’autre param`tre qui caract´rise le comportement m´canique des polym`res est leur degr´ de e e e e er´ticulation qui mesure la densit´ de ponts covalents inter-chaˆ e e ınes. La rigidit´ des polym`res augmente e ecorr´lativement ` l’augmentation de leur taux de r´ticulation pour tendre vers la limite du diamant e a eque l’on peut consid´rer comme un polym`re dont toutes les liaisons sont pont´es. les polym`res les e e e eplus rigides ont aujourd’hui des modules comparables ` celui de l’aluminium. Le module d’Young est adonc une fonction croissante de la densit´ de ponts covalents, mˆme pour les caoutchoucs au dessus e ede la temp´rature de transition vitreuse, en dessous de Tg leur module ´tant ´lev´ par suite de la e e e eformation de ponts Van der Waals dont la densit´ avoisine 1 (cf. Fig. 1.6). eLa haute ´lasticit´ caoutchoutique e e Pour les mat´riaux tels que les ´lastom`res et les tissus biologiques, les conformations des chaˆ e e e ınesmacromol´culaires peuvent ˆtre consid´rablement modifi´es par les d´formations quasiment sans varia- e e e e etion des distances interatomiques et le comportement du mat´riau r´sulte de la variation de r´sistance e e eau changement de conformation des macromol´cules, d´senchevˆtrement, ´tirement, alignement, res- e e e eponsables de la haute ´lasticit´ caoutchoutique, ´lasticit´ d’origine entropique. La d´formation se pro- e e e e eduit quasiment ` contrainte constante et les pelotes s’´tirent progressivement, la faible r´sistance a e e
  16. 16. 10 CHAPITRE 1. MATERIAUX Fig. 1.6 – Influence de la Tg et du taux de r´ticulation e Fig. 1.7 – L’´lasticit´ d’origine entropique e ea` cet ´tirement provenant de l’agitation thermique qui tend ` r´emmˆler les chaˆ e a e e ınes. A tr`s haute ed´formation, le module tangent croˆ brutalement car ce sont les liaisons covalentes du squelette car- e ıtbon´ de la plupart des chaˆ e ınes qui sont maintenant ´tir´es et la rupture (fragile) intervient sans e eaccroissement notable de d´formation. e1.2.4 Entre raideur et rupture Si un mat´riau suivait ` l’´chelle macroscopique les lois microscopiques jusqu’` rupture il stockerait e a e aune quantit´ d’´nergie m´canique ´gale ` la somme des ´nergies de toutes ses liaisons chimiques, c’est e e e e a ea` dire du mˆme ordre que celle contenue dans une masse ´quivalente d’explosif. A la rupture cette e e´nergie serait brutalement lib´r´e en une v´ritable explosion. Manger s’apparenterait ` allumer danse ee e asa bouche un bˆton de dynamite. aHeureusement, il n’en est rien car les r´sistances RM ultimes mesur´es (cf. annexe A.5 et A.6) e e Esont de plusieurs ordres de grandeur inf´rieures ` la limite th´orique σM e a e 10 . Au del` d’un seuil a
  17. 17. ´1.3. LA MECANIQUE DES SOLIDES CONTINUS 11de contrainte, les mat´riaux cristallins dissipent l’exc´dent d’´nergie m´canique en se d´formant de e e e e emani`re irr´versible supportant des allongements sup´rieurs ` la valeur th´orique εM e e e a e 10% sanscons´quence dangereuse (cf. annexe A.7). Mais il faut alors les comprimer fortement pour leur redonner eleur forme initiale et au bout de quelques cycles, le processus de d´gradation par fatigue provoque eleur rupture. Le comportement particulier des ´lastom`res provient du changement de conformation e e Mat´riau e D´formation (%) e Contrainte (MPa) ´ Energie stockable(J.kg −1 ) Bronze 0,3 400 70 Bois d’If (arc) 0,9 120 900 Corne 4,0 90 1500 Cheveux humains 30 160 13000 Caoutchouc 300 7 8000 Acier ` ressort a 0,3 700 130 Tendon 8,0 70 2500 Tab. 1.9 – Capacit´s de stockage d’´nergie e edes macromol´cules et non de l’extension des liaisons fortes du squelette et conduit ` une r´ponse e a er´versible jusqu’` rupture mais non lin´aire de sorte que leurs grandes d´formations s’obtiennent ` e a e e afaible niveau de contrainte limitant leur capacit´ de stockage. e1.3 La m´canique des solides continus e C’est le domaine de la Science qui ´tudie et mod´lise le comportement de la mati`re en prenant e e een compte, contrairement ` la M´canique Rationnelle, sa d´formabilit´. Comme les d´formations a e e e ed´pendent non seulement des forces, mais aussi de la temp´rature, il faut ´galement prendre en compte e e eles lois d’´change de chaleur et les principes de la Thermodynamique. Contrairement ` ces principes e abien ´tablis, les lois de d´formation sont loin d’ˆtre simples et connues avec autant de certitude. Si e e eth´orie et calculs sont n´cessaires pour mod´liser et pr´dire, la th´orie doit ˆtre pr´c´d´e d’observations e e e e e e e e eet les calculs v´rifi´s par l’exp´rience. e e e Avec l’av`nement des mat´riaux composites modernes, la Science des Mat´riaux ne peut plus faire e e el’impasse sur la texture de la mati`re pour pr´ciser les lois de comportement. En passant directement e ede l’´chelle microscopique, l’angstr¨m des liaisons atomiques, aux dimensions macroscopiques on oublie e oque les mat´riaux comportent des textures aux ´chelles m´soscopiques interm´diaires (cf. annexe A.3), e e e etextures qui vont influer consid´rablement sur certaines de leurs propri´t´s, tout particuli`rement sur e ee eleurs caract´ristiques de r´sistance m´canique. e e e Cependant, il faut garder pr´sent ` l’esprit le fait que tous les d´veloppements th´oriques sont bas´s e a e e esur la conception fondamentale d’un milieu continu dont les transformations sont continues. Or noussavons que la mati`re est discontinue ` l’´chelle mol´culaire, souvent mˆme ` une ´chelle beaucoup e a e e e a eplus grande : cristaux d’un m´tal, grains d’une roche, granulats d’un b´ton. Mais la M´canique se e e eplace ` une ´chelle macroscopique, c’est ` dire ` une ´chelle suffisamment grande pour que la mati`re a e a a e eapparaisse comme continue, sauf ´ventuellement le long de certaines surfaces de discontinuit´ comme e eles fractures.1.3.1 Les essais en m´canique e Dimensionner des structures pour qu’elles puissent supporter le chargement n´cessite la r´solution e ecompl`te du probl`me m´canique associ´. Aux ´quations de conservation (masse, impulsion, ´nergie) il e e e e e efaut adjoindre les lois de comportement des mat´riaux constitutifs, ´quations d’´tat reliant contrainte e e eet d´formation. e L’´tablissement de la loi de comportement d’un mat´riau est g´n´ralement ph´nom´nologique, e e e e e ebas´e sur l’exp´rimentation macroscopique et l’identification des param`tres dans le cadre de la for- e e emulation thermodynamique. Cependant l’identification exp´rimentale du comportement m´canique e e

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