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Cours d’analyse 1
Licence 1er semestre

     Guy Laffaille
    Christian Pauly

     janvier 2006
2
Table des mati`res
              e

1 Les   nombres r´els et complexes
                    e                                                                                                                                                5
  1.1   Nombres rationnels . . . . . . . . . .                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    5
  1.2   Nombres r´els . . . . . . . . . . . . .
                   e                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
  1.3   Densit´ des rationnels et irrationnels
              e                                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  1.4   Nombres complexes . . . . . . . . . .                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  1.5   Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   13

2 Logique et langage des ensembles                                                                                                                                  15
  2.1 Propositions et op´rateurs logiques
                          e                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15
  2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . .                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   16
  2.3 Techniques de d´monstration . . .
                       e                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
      2.3.1 R´currence . . . . . . . . .
               e                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
      2.3.2 Contrapos´e . . . . . . . . .
                         e                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
      2.3.3 D´monstration par l’absurde
               e                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  2.4 Langage des ensembles . . . . . . .                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19

3 Suites r´elles et complexes
          e                                                                                                                                                         21
  3.1 Limite d’une suite r´elle
                           e        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   21
  3.2 Propri´t´s de la limite .
             ee                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
  3.3 Suites adjacentes . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
  3.4 Comparaison de suites .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  3.5 Suites complexes . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33
  3.6 Exercices . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34

4 Fonctions d’une variable r´ellee                                                                                                                                  39
  4.1 Limite et continuit´ . . . . . . . . . .
                          e                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
  4.2 Propri´t´s de la limite d’une fonction
            ee                                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
  4.3 Propri´t´s des fonctions continues . .
            ee                                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
  4.4 Fonctions d´rivables . . . . . . . . .
                  e                                             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
  4.5 Propri´t´s des fonctions d´rivables . .
            ee                     e                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   47
  4.6 Application aux suites r´elles . . . .
                                e                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   48
  4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   50

5 D´veloppements limit´s
    e                      e                                                                                                                                        55
  5.1 Comparaison de fonctions . . . .                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   55
  5.2 Formules de Taylor . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   55
  5.3 Calcul de d´veloppements limit´s
                  e                     e               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   59
  5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61

                                                                3
4                                                                                                                            `
                                                                                                               TABLE DES MATIERES

6 Fonctions classiques                                                                                                                                         63
  6.1 Fonctions bijectives . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63
  6.2 Logarithme et exponentielle      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63
  6.3 D´veloppements limit´s . . .
        e                   e          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   65
  6.4 Fonctions trigonom´triques .
                          e            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   66

7 Corrig´ des exercices
        e                                                                                                                                                      69

    Remerciements.

   Merci ` Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten
          a
pour les exercices de TD.

    Merci ` Michele Bolognesi pour la r´daction de quelques corrig´s d’exercices.
          a                            e                          e

    Merci ` Ivan Babenko pour la preuve de l’irrationnalit´ du nombre d’Euler.
          a                                               e
Chapitre 1

Les nombres r´els et complexes
             e

1.1     Nombres rationnels
   On d´signe par N l’ensemble des entiers naturels
       e

                                          N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est
un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N  {0}, c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels non
                                                        a
nuls.
    ´
   Etant donn´ deux entiers naturels x et y on sait d´finir les nombres
              e                                      e
                                                                   x
                              x + y, x − y, x · y        et          , si y = 0.
                                                                   y

On remarque que l’addition et la multiplication sont des op´rations qui ont leur r´sultat dans N.
                                                           e                      e
Par contre le r´sultat d’une soustraction ou d’une division n’est pas toujours un entier naturel.
               e
On cr´e ainsi de nouveaux nombres
     e

                               Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .},

l’ensemble des entiers relatifs — on notera Z∗ = Z  {0} — et
                                      a
                              Q=            | a∈Z             et     b ∈ Z∗ ,
                                      b
                                                                                   a          a·n
l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction              b
                                                                                       avec   b·n
                                                                                                    pour tout a ∈ Z
et b, n ∈ Z∗ .
    On a bien entendu les inclusions suivantes

                                              N⊂Z⊂Q

et les quatre op´rations ´l´mentaires +, −, · et / peuvent s’´tendre ` l’ensemble Q des nombres
                e        ee                                  e       a
rationnels.

    Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´s s’exprimaient par des nombres
                                                                 e
rationnels. Ils se sont aper¸u que ce n’est pas toujours le cas. En effet on peut construire des
                            c
nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´rons par exemple un triangle ABC rectangle en A
                                           e

                                                     5
6                                                                             ´
                                                     CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES

                                         C




                                                                     a
                                     b




                                         A                       c                    B

   Si on note a la longueur du segment BC, b celle de CA et c celle de AB, alors le th´or`me de
                                                                                        e e
Pythagore dit qu’on a la relation
                                          a2 = b 2 + c 2 .
                                                                                             √
Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d’un carr´ de cˆt´ b = c = 1 est ´gale ` a = 2.
                                                           e    oe                e     a
                                               √
Proposition 1.1.1 Le nombre                        2 n’est pas un nombre rationnel.
    D´monstration. √
      e               Nous allons faire une d´monstration par l’absurde. 1
                                              e                                        √
    Supposons que 2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifs a, b tels que 2 = a/b. Si
a et b sont pairs, on peut simplifier la fraction a/b par 2. En simplifiant par 2 autant que possible,
on arrive au cas o` au moins un√ deux entiers a ou b est impair.
                    u              des
    En ´levant au carr´ l’´galit´ 2 = a/b et en chassant le d´nominateur, on arrive `
        e              e e      e                               e                      a

                                                            2b2 = a2 .

Donc a2 est pair. Si a est impair, on peut ´crire a = 2a + 1, alors a2 = 4a 2 + 4a + 1 qui est
                                           e
impair. On en d´duit donc que a est pair, donc on peut ´crire a = 2a , ce qui donne 2b2 = 4a 2 et
               e                                       e
en simplifiant par 2, on obtient
                                           b2 = 2a 2 .
C’est la mˆme ´quation que ci-dessus avec a ` la place de b et b ` la place de a. Le mˆme
           e    e                              a                   a          √         e
raisonnement montre alors que b est aussi pair. On a donc une contradiction et 2 ne peut pas
ˆtre rationnel.
e

        Voici d’autres exemples de nombres irrationnels.
    1. Le nombre π = 3, 1415 . . . d´fini comme la circonf´rence d’un cercle de diam`tre 1.
                                    e                    e                         e
                                                                                                   2
    2. Le nombre d’Euler e = 2, 718 . . . , la base de l’exponentielle, d´fini comme somme infinie
                                                                         e

                                                          1  1  1      1
                                               e=1+         + + + ··· + + ···
                                                          1! 2! 3!     k!
                          √
    3. Les racines carr´s n si n est un entier qui n’est pas un carr´, c’est-`-dire qui n’est pas de
                       e                                            e        a
       la forme n = k 2 avec k ∈ N.

Proposition 1.1.2 Le nombre d’Euler e n’est pas un nombre rationnel.
    1
        voir section 2.3.3
    2
        Par d´finition n! = 1 · 2 · 3 · · · n
              e
´
1.2. NOMBRES REELS                                                                                      7
                                   √
   D´monstration. Comme pour 2 nous allons faire une d´monstration par l’absurde. Supposons
     e                                                        e
donc que e est rationnel. Il existe alors deux entiers a, b ∈ N∗ tels que
                                  a      1  1  1      1
                             e=     = 1 + + + + ··· +    + ···
                                  b      1! 2! 3!     n!
Multiplions par b!. Alors on obtient l’´galit´
                                       e     e

                                                    a                 b! b!              b!
                                                      b! − b! + b! + + + · · · +
                                                    b                 2! 3!              b!
          1         1                  1                               1
      =      +              +                      + ··· +                              + ···
        b + 1 (b + 1)(b + 2) (b + 1)(b + 2)(b + 3)         (b + 1)(b + 2) · · · (b + n)

Il est clair que tous les termes de la somme ` gauche sont des nombres entiers, donc la somme,
                                               a
qu’on notera s, est aussi un entier. En utilisant la minoration

                                  (b + 1)(b + 2) · · · (b + n) > (b + 1)n

on obtient un l’encadrement suivant de s
                               1      1           1                  1
                    0<s<          +        2
                                             +         3
                                                         + ··· +          + ··· .
                             b + 1 (b + 1)     (b + 1)           (b + 1)n
                                      1
Cette derni`re somme infinie vaut
           e                         b+1
                                           · 1−1 1 =   1
                                                       b
                                                           d’apr`s la formule donnant la somme d’une s´rie
                                                                e                                     e
                                              b+1
g´om´trique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l’encadrement
 e e

                                                           1
                                              0<s<           ≤ 1,
                                                           b
ce qui contredit s entier.

   La preuve de l’irrationalit´ de π et d´passe largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par
                              e          e
exemple au livre “Autour du nombre π” de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.
                                 √                                             √
   Par contre l’irrationalit´ de n se montre de la mˆme fa¸on que celle de 2 (exercice).
                            e                         e       c


1.2      Nombres r´els
                  e
                                √
   La proposition 1.1.1 dit que 2 n’est pas rationnel, c’est-`-dire ne peut pas s’´crire comme
                                                             a√                   e
quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre 2 peut s’´crire sous forme d’un
                                                                         e
d´veloppement d´cimal infini
 e              e                    √
                                       2 = 1, 41421356 . . .
Dans ce cours nous prenons cette repr´sentation d´cimale comme d´finition d’un nombre r´el.
                                     e           e              e                     e

D´finition 1.2.1 (nombre r´el) Un nombre r´el est une collection de chiffres {c0 , . . . , cm } et
  e                                 e                     e
{d1 , d2 , . . .} compris entre 0 et 9. Les chiffres ci sont en nombre fini et les chiffres dj peuvent ˆtre
                                                                                                    e
en nombre infini. On fait correspondre ` cette collection le nombre donn´ par le d´veloppement
                                              a                                         e  e
d´cimal
 e
                                    x = cm cm−1 . . . c1 c0 , d1 d2 d3 . . . dn . . . .
Exemples.
8                                                                  ´
                                          CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES

    1. Les d´cimales du nombre π sont
            e
                                       c0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, . . . .

    2. S’il n’y a qu’un nombre fini de d´cimales dj non nulles, alors le r´el x est un rationnel et
                                       e                                 e
                      x = cm 10m + cm−1 10m−1 + · · · + c1 10 + c0 + d1 10−1 + · · · + dn 10−n
       (x est rationnel, car c’est une somme de rationnels).
    3. Un nombre rationnel admet un d´veloppement d´cimal, donc est r´el. On a
                                         e              e            e
                                            1
                                              = 0, 3333 . . . (que des 3)
                                            3
Th´or`me 1.2.1 Un nombre r´el est rationnel si et seulement si son d´veloppement d´cimal est
   e e                          e                                   e             e
p´riodique a partir d’un certain rang.
 e         `
Nous admettons ce r´sultat. On peut se convaincre que c’est vrai en effectuant une division de
                      e
deux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu’il n’y a qu’un nombre fini de possibilit´s pour
                                                                                          e
les restes, donc ¸` boucle.
                 ca

Remarques.
    1. Cette d´finition nous suffira pour ce cours mais elle n’est pas tr`s satisfaisante. D’abord un
              e                                                       e
       nombre r´el peut avoir deux d´veloppements d´cimaux distincts. Par exemple 1 = 0, 9999 . . .
                e                   e               e
       (toujours des 9). On peut pour s’en convaincre ´crire
                                                      e
                                                     9         1          1
                                   0, 9999 · · · =        1+      + ··· + n ···
                                                     10        10        10
         On voit qu’on a affaire ` un progression g´om´trique et on peut utiliser la formule donnant
                                a                 e e
         la somme d’une s´rie g´om´trique
                          e    e e
                                        1
                                           = 1 + a + a2 + · · · + an + · · ·                        (1.1)
                                       1−a
                                                                     1
         vraie pour tout r´el a tel que |a| < 1 (ici on prend a = 10 .)
                            e
    2.   Cette d´finition fait r´f´rence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num´ration,
                  e             ee                                                                e
         ce qui donnerait une d´finition ´quivalente d’un nombre r´el.
                                  e         e                          e
    3.   Les op´rations addition, multiplication,. . . ne sont pas si faciles que l’on pourrait le penser
                 e
         a
         ` cause du probl`me des retenues.
                            e
    4.   Il existe des constructions plus intrins`ques de l’ensemble des r´els. Ces constructions d´passent
                                                 e                        e                        e
         le cadre de ce cours.
    5.   Il est impossible de d´finir rigoureusement le nombre π par son d´veloppement d´cimal. Il
                                 e                                               e              e
         faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´cimales de π ! Donner une
                                                                               e
         valeur approch´e (utilis´e dans le calcul num´rique) d’un nombre r´el, aussi bonne qu’elle
                          e         e                     e                        e
         soit, n’est pas une d´finition au sens math´matique.
                               e                      e
    L’ensemble des r´els sera not´ R et l’on a les inclusions
                    e            e

                                              N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
    On notera tr`s souvent R∗ l’ensemble des r´els non nuls.
                e                             e

    L’ensemble des r´els R admet une relation d’ordre not´e ≤. C’est la relation habituelle sur les
                    e                                    e
r´els.
 e
´
1.2. NOMBRES REELS                                                                                9

D´finition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´e)
 e                                              e
   Soit A une partie de R.
  1. Le r´el M est un majorant de A si pour tout a ∈ A on a a ≤ M . On dit que A est major´e
         e                                                                                e
     si A a un majorant.
  2. Le r´el m est un minorant de A si pour tout a ∈ A, on a m ≤ a. On dit que A est minor´e
         e                                                                                e
     si A a un minorant.
  3. Si la partie A est major´e et minor´e, on dit que A est born´e.
                             e          e                        e

D´finition 1.2.3 (intervalle, segment)
 e
   Soient a, b deux r´els tels que a ≤ b.
                     e
  1. On note [a, b] l’ensemble des r´els x tels que a ≤ x ≤ b. C’est un intervalle ferm´. On dit
                                     e                                                 e
     aussi que [a, b] est un segment.
  2. On note ]a, b[ l’ensemble des r´els x tels que a < x < b. C’est un intervalle ouvert.
                                    e
    On d´finit de mˆme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a, b[ et ]a, b]. On introduit aussi le
        e           e
symbole ∞ (appel´ l’infini) et on note [a, +∞[ l’ensemble des x r´els tels que a ≤ x et ]−∞, a]
                   e                                               e
l’ensemble des r´els x tels que x ≤ a.
                e

Exemples.
  – 1, 23, π sont des majorants du segment A = [0, 1]. 1 est un majorant de A = [0, 1[.
  – L’intervalle [a, +∞[ n’a pas de majorant.

Th´or`me 1.2.2 (Propri´t´ d’Archim`de) Soient x et y deux r´els > 0, alors il existe un
   e e                   e e      e                        e
entier n tel que ny > x.
Nous ne d´montrons pas cette propri´t´. Elle dit qu’en faisant assez de pas de longueur y on
            e                          ee
d´passe x. D’ailleurs avec notre d´finition des r´els la propri´t´ d’Archim`de est ´vidente, ce qui
 e                                 e            e             ee           e      e
est loin d’ˆtre le cas quand on d´finit un nombre r´el de mani`re intrins`que.
           e                     e                 e           e         e

D´finition 1.2.4 (borne sup´rieure, borne inf´rieure) Soit A une partie non vide de R (ou
   e                         e                  e
plus g´n´ralement d’un ensemble E muni d’un ordre total ≤). On appelle borne sup´rieure de A
      e e                                                                        e
le minimum de l’ensemble des majorants de A et borne inf´rieure de A le maximum de l’ensemble
                                                        e
des minorants de A.
   Avant d’´noncer le th´or`me d’existence de la borne sup´rieure dans R, montrons que la borne
            e            e e                              e
sup´rieure n’existe pas toujours. On se place dans Q muni de l’ordre naturel.
   e

Proposition 1.2.1 Consid´rons la partie A = {x ∈ Q | x2 < 2}. Alors A n’a pas de borne
                        e
sup´rieure dans Q.
   e
   D´monstration. Soit M un majorant de A dans Q. Il y en a : 2, 12 en sont. Posons
    e                                                             7

                                                 M2 + 2
                                          M =           .
                                                  2M
Nous allons v´rifier que M est un autre majorant (dans Q) et que M < M , ce qui prouve qu’il
              e
n’y a pas de plus petit majorant.
   Montrons que M est un majorant : il suffit de voir que M 2 > 2. On calcule

                               (M 2 + 2)2     M 4 − 4M 2 + 4   (M 2 − 2)2
                    M 2−2=                −2=                =
                                 4M 2              4M 2          4M 2
10                                                             ´
                                      CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES
                                                                  √
qui est bien strictement positif. En effet M 2 −2 = 0, car sinon       2 serait rationnel (voir proposition
1.1.1).
    V´rifions que M < M . On calcule
     e
                                                M2 + 2    M2 − 2
                                M −M =M −              =
                                                  2M        2M
qui est bien strictement positif puisque M est un majorant rationnel de A.

     On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donne M en fonction de M
                                                    x2 + 2
                                               y=
                                                      2x
C’est une hyperbole √ centre l’origine, d’asymptote x = 0 et y = x/2 qui coupe la premi`re
                      de √                                                                 e
bissectrice au √
               point ( 2, 2) o` on a une tangente horizontale. On voit alors imm´diatement sur
                              u              √                                  e
le dessin que 2 < M < M si on a pris M > 2.




                                                    M         M
                                           √
                                               2

Remarque.
                                                                                                  2 +2
    Le choix de la fonction f qui d´finit M = f (M ) n’est pas essentiel. Ici on a choisi f (x) = x 2x ,
                                   e
mais n’importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆmes) satisfaisant aux trois
                  √      √           √                                 o                     √
conditions (1) f ( 2) = 2, (2) f ( 2) = 0, (3) f croissante et f (x) ≤ x sur l’intervalle [ 2, +∞[
aurait pu servir dans la preuve pr´c´dente. Ceci sera expliqu´ en d´tail un peu plus tard (section
                                   e e                        e     e
4.6).

Th´or`me 1.2.3 Soit A une partie non vide de R.
  e e
  1. Si A est major´e, alors A admet une borne sup´rieure, not´e sup A.
                   e                               e           e
  2. Si A est minor´e, alors A admet une borne inf´rieure, not´e inf A.
                   e                              e           e
Nous admettons ce th´or`me.
                    e e

Exemples.
  – On a sup[0, 1] = 1 et sup [0, 1[√ 1.
                                    =
  – On a sup{x ∈ Q | x2 < 2} = 2 mais comme partie de Q on vient de voir que cette partie
    n’a pas de borne sup´rieure.
                         e
´
1.3. DENSITE DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS                                                      11

1.3     Densit´ des rationnels et irrationnels
              e
D´finition 1.3.1 (densit´) Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si A rencontre
  e                          e
tout intervalle ouvert ]a, b[ avec a < b.

Th´or`me 1.3.1 L’ensemble Q est dense dans R.
  e e
   D´monstration. Soit a, b deux r´els tels que a < b. Il s’agit d’exhiber un rationnel p/q tel que
     e                            e
a < p/q < b.
   En appliquant la propri´t´ d’Archim`de (th´or`me 1.2.2), on voit qu’il existe un entier q tel
                           ee           e       e e
que
                                              1
                                                  <q
                                            b−a
(on prend y = 1 et x = 1/(b − a)). On obtient

                                            qa + 1 < qb.                                        (1)

   Soit p le plus petit entier relatif tel que p > qa. On a alors

                                          p − 1 ≤ qa < p,                                       (2)

donc p ≤ qa + 1 et qa < p ≤ qa + 1 < qb. En divisant par q on a le r´sultat d´sir´.
                                                                    e        e e

Th´or`me 1.3.2 L’ensemble des nombres irrationnels not´ R  Q est dense dans R.
    e e                                                     e
                                                                √
    D´monstration. Soit i un nombre irrationnel, par exemple 2.
      e
    Soient a et b deux r´els tels que a < b. On applique le th´or`me pr´c´dent ` ]a − i, b − i[ : il
                        e                                      e e     e e     a
existe un rationnel r tel que a − i < r < b − i. Alors a < i + r < b. Le nombre x = i + r est
irrationnel, sinon i = x − r serait rationnel contrairement ` l’hypoth`se. Le th´or`me est donc
                                                             a        e         e e
d´montr´.
  e      e

Remarque.
    Il y a beaucoup plus de nombres r´els que de nombres rationnels. On peut montrer que les
                                        e
ensembles Z et Q peuvent ˆtre mis en bijection avec N, c’est-`-dire que l’on peut num´roter avec
                             e                               a                       e
les entiers naturels les ´l´ments de Z et Q. On dit que Z et Q sont d´nombrables. Par contre R
                         ee                                           e
n’est pas d´nombrable (th´or`me de Cantor) et pourtant Q est dense dans R.
            e               e e


1.4     Nombres complexes
   Certains polynˆmes ` coefficients r´els, par exemple P (x) = x2 + 1, n’ont pas de racines r´elles.
                 o    a             e                                                       e
Le polynˆme P (x) = ax2 + bx + c avec a = 0 a deux racines
        o
                                                 √
                                           −b ± ∆
                                               2a
si le discriminant ∆ = b2 −4ac est ≥ 0. Si ∆ < 0, il y a un probl`me. Grˆce aux nombres complexes
                                                                 e      a
on peut donner un sens math´matique aux racines carr´es de nombres n´gatifs.
                              e                           e               e

D´finition 1.4.1 (nombre complexe) Un nombre complexe est un couple de nombres r´els
  e                                                                            e
(a, b).
12                                                              ´
                                       CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES

     On d´finit l’addition et la multiplication des nombres complexes par les formules
         e

                                     (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)


                                   (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

   On note i le nombre complexe (0, 1). La formule du produit donne i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
En identifiant le r´el a avec le nombre complexe (a, 0), l’´galit´ pr´c´dente s’´crit
                  e                                       e     e e e          e

                                                i2 = −1.
                                                                                             √
Ainsi i apparait comme une racine carr´ de −1. C’est pourquoi on ´crit tr`s souvent i = −1.
                                       e                              e      e
On peut alors noter de mani`re plus agr´able (a, b) = a + ib et on v´rifie que la formule qui donne
                            e          e                            e
le produit vient du d´veloppement de
                     e

                   (a + ib)(c + id) = ac + i(bc + ad) + i2 bd = ac − bd + i(ad + bc).

  Si z = a + ib, avec a et b r´els, a est appel´ la partie r´elle de z et b sa partie imaginaire.
                                 e             e            e
  Si z est un nombre complexe non nul, c’est-`-dire si a ou b est non nul, alors z a un inverse
                                                  a
multiplicatif : il existe z tel que zz = 1.
  On v´rifie aussi que z · z = z · z pour tout nombre complexe z et z .
         e


D´finition 1.4.2 (conjugu´, module, argument) Soit z = a + ib un nombre complexe avec
  e                     e
a, b r´els.
      e

     1. Le conjugu´ de z est le nombre complexe z = a − ib.
                  e
                                                 √          √
     2. Le module de z est le nombre r´el positif a2 + b2 = zz. On note |z| le module de z.
                                      e
     3. L’argument de z est le nombre r´el θ ∈ [0, 2π[ tel que
                                       e

                                           z = |z|(cos θ + i sin θ).


     On ´tablit sans peine les formules suivantes
        e


     – |z · z | = |z| · |z |
     – |z| = |z|
       1      z
     – z = |z|2 pour z = 0


     L’ensemble des nombres complexes sera not´ C.
                                              e


     Interpr´tation g´om´trique : plan complexe
            e        e e


     On associe ` z = a + ib avec a, b r´els le point du plan de coordonn´es (a, b).
                a                       e                                e
1.5. EXERCICES                                                                               13




                      b = ρ sin θ                                        z = a + ib



                                                     ρ




                                          θ
                                                                   a = ρ cos θ




D´finition 1.4.3 (exponentielle) L’exponentielle complexe est d´finie par
 e                                                            e

                                               z   z2         zn
                                    ez = 1 +     +    + ··· +    + ···
                                               1! 2!          n!
   Il faut ´videmment donner un sens ` cette somme infinie. On a alors
           e                         a

Th´or`me 1.4.1 (Formule de Moivre) Pour tout θ ∈ R, on a
  e e

                                          eiθ = cos θ + i sin θ.

Th´or`me 1.4.2 Pour tout z, z ∈ C on a la formule
  e e

                                               ez+z = ez · ez .

Cette formule jointe ` la formule de Moivre permet de retrouver beaucoup de formules de trigo-
                     a
nom´trie.
    e


1.5     Exercices

Exercice 1.1. Trouver des entiers naturels a, b tels que a = 5, 1736363636... — ` partir de la
                                                         b
                                                                                a
troisi`me d´cimale le d´veloppement d´cimal est compos´ d’une suite infinie de nombres 36.
      e    e           e             e                 e

Exercice 1.2. Pour chacune des parties suivantes de R dire si elle est major´e, minor´e, born´e.
                                                                            e        e       e
Si oui, donner sa borne sup´rieure et/ou inf´rieure :
                           e                e
                          √
   1. {x ∈ R | 0 < x < 3}
                                √
   2. {x ∈ R | 1/2 ≤ sin x < 3/2}
  3. {x ∈ R | x3 > 3}
  4. {x ∈ R |     exp(x) < 1/2}
                                                   √
  5. {x ∈ R | il existe p ∈ N∗ tel que x =             2/p}
14                                                                  ´
                                           CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES

Exercice 1.3. Pour tout nombre r´el x = −1/3, on pose
                                e
                                                        2x + 1
                                               g(x) =          .
                                                        3x + 1
     1. Tracer le graphe de la fonction x → g(x).
     2. On pose g(N) = {g(0), g(1), g(2), . . .} Quel est le plus petit majorant de g(N) ? de l’ensemble
        g(Z) ?
     3. Trouver le plus grand minorant de l’ensemble g(N).
     4. L’ensemble g(Z) est-il born´ ?
                                   e

Exercice 1.4. Mettre les nombres complexes suivants sous la forme a + ib, avec a, b r´els :
                                                                                     e
                                  1          3 + 2i                1
                                       ,            ,                        .
                                5 + 3i       3 − 2i         (4 + 3i)(3 − 2i)

Exercice 1.5. Calculer sous la forme a + ib, avec a, b r´els, les racines carr´es des nombres
                                                        e                     e
complexes suivants
                                         √                         1+i
                                    1 + i 3,       5 + 12i,            .
                                                                   1−i

Exercice 1.6. Calculer les racines quatri`mes de i. En d´duire cos( π ) et sin( π ).
                                         e              e           8           8
Chapitre 2

Logique et langage des ensembles

     Le but de ce chapitre est de pr´senter les quantificateurs ∀ et ∃ qui apparaˆ
                                    e                                           ıtront dans ce cours
(limite d’une suite, continuit´ d’une fonction) et de rappeler les d´finitions ´l´mentaires de la
                                e                                      e          ee
th´orie des ensembles.
   e


2.1     Propositions et op´rateurs logiques
                          e
D´finition 2.1.1 Une relation (ou proposition) est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse
  e
(V ou F en abr´g´).
              e e
   Une relation porte sur des objets math´matiques comme des nombres, des fonctions, des figures
                                         e
g´om´triques,etc.
 e e

   Voici quelques exemples de relations. On indique entre parenth`ses la valeur de v´rit´ (V =
                                                                 e                  e e
vrai et F= faux).

Exemples.
  – 5 + 7 = 11. (F)
  – L’aire d’un triangle est ´gale ` la moiti´ du produit de la base par la hauteur (V).
    √                        e     a         e
  – 2 est un nombre rationnel (F) (voir proposition 1.1.1)

   Soient R et S deux relations. On peut en former d’autres :
   – la conjonction, not´e (R et S).
                         e
   – la disjonction, not´e (R ou S). (le ou n’est pas exclusif)
                        e
   – la n´gation, not´e (non R).
         e            e

D´finition 2.1.2
 e
   – L’implication (R ⇒ S) est la relation (non R) ou S.
   – L’´quivalence (R ⇔ S) est la relation (R ⇒ S) et (S ⇒ R).
       e
   Ainsi la valeur de v´rit´ d’une relation comme par exemple R ⇒ S ou R ⇔ S sera fonction
                        e e
des valeurs de v´rit´ de R et S. La situation est d´crite dans la table suivante.
                e e                                e

    R    S   R et S   R ou S    non R    (R ⇒ S)     (R ⇔ S)
    V    V     V        V         F         V           V
    V    F     F        V         F         F           F
    F    V     F        V         V         V           F
    F    F     F        F         V         V           V

                                                15
16                                  CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES

Proposition 2.1.1 On a les ´quivalences suivantes :
                           e
     1. non(non R) ⇔ R
     2. non (R ou S) ⇔ (non R et (non S)
     3. non(R et S) ⇔ (non R) ou (non S)
     4. R et (S ou T ) ⇔ (R et S) ou (R et T )
     5. (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P )
   D´monstration. Il suffit d’´crire la table des v´rit´s pour chacune des relations. Traitons le
     e                        e                     e e
dernier cas. La relation (P ⇒ Q) est par d´finition la relation ((non P ) ou Q) qui ´quivaut ` (Q
                                            e                                      e        a
ou (non P )) qui par d´finition est la relation (non Q ⇒ non P ).
                       e

    Tr`s souvent une relation fait intervenir des param`tres ou variables et la valeur V ou F de la
       e                                                 e
relation peut d´pendre de ces param`tres. Soit par exemple R(x) la relation “x2 − 2 ≥ 0” o` x
                 e                     e                         √                    √                u
est un param`tre r´el. Alors R(x) est vraie pour x ∈ −∞, − 2 ou x ∈
              e      e                                                                    2, +∞ et R(x) est
                     √ √
fausse pour x ∈ − 2, 2 .
    Il peut arriver que R fasse intervenir plusieurs variables (x, y, z, a1 , a2 , . . . ).


2.2       Quantificateurs
   Nous avons vu plusieurs proc´d´s logiques pour former de nouvelles relations. Dans la pratique,
                                  e e
on a besoin d’un autre proc´d´ qui exprime l’assertion qu’´tant donn´es une relation R et une
                              e e                             e         e
variable x qui intervient dans R il existe au moins un objet math´matique A pour lequel la relation
                                                                  e
obtenue en rempla¸ant x par A est vraie, autrement dit A v´rifie R. On introduit pour cela le
                    c                                           e
quantificateur existentiel, not´ par le symbole
                              e

                                                    ∃.


     La relation (∃x)R(x) se lit “il existe x qui v´rifie R”.
                                                   e

Exemples.
                               (∃x)((x ∈ R) et (x4 + 1 = 0))           (F )
                               (∃x)((x ∈ C) et (x4 + 1 = 0))           (V )

     `
     A partir du symbole ∃ on introduit le quantificateur universel not´
                                                                      e

                                                    ∀.

Si R est une relation et x une variable, on note (∀x)R(x) la relation

                                         non((∃x)(non R(x)))

La relation (∀x)R(x) se lit “pour tout x on a R(x)”. Ainsi la n´gation de (∀x)R(x) est (∃x) (non
                                                               e
R(x)), c’est-`-dire on a l’´quivalence
             a             e

                                  non((∀x)R(x)) ⇔ (∃x)(nonR(x)).

De mˆme on a l’´quivalence
    e          e

                                  non((∃x)R(x)) ⇔ (∀x)(nonR(x)).
´
2.3. TECHNIQUES DE DEMONSTRATION                                                                  17

Exemple.
  La n´gation de “tous les hommes sont mortels” est “il existe un homme immortel”.
      e

   Il convient de prendre garde ` l’ordre des quantificateurs : en g´n´ral on ne peut pas les
                                a                                  e e
´changer.
e

Exemples.
  – ∀x, x ∈ R, ∃y, y ∈ R, x < y qui est vraie : ´tant donn´ un r´el x on peut toujours trouver un
                                                e          e     e
    autre r´el y qui est plus grand.
           e
  – ∃y, y ∈ R, ∀x, x ∈ R, x < y qui est fausse : l’´l´ment y serait plus grand que tous les r´els.
                                                   ee                                        e

    Il faut savoir qu’en math´matiques il y a beaucoup d’abus de langage. Sans eux, on ne pourrait
                              e
rien faire, mais le d´butant risque d’ˆtre perdu. Ainsi on ´crit presque toujours ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x <
                     e                e                    e
y au lieu de
                                ∀x(x ∈ R ⇒ (∃y(y ∈ R et x < y)))
   On se ram`ne syst´matiquement ` une ´criture plus correcte en rempla¸ant ∀x ∈ E . . . par
             e         e                a     e                        c
∀x(x ∈ E ⇒ . . . ) et ∃x ∈ E . . . par ∃x(x ∈ E et . . . ).


2.3     Techniques de d´monstration
                       e
2.3.1     R´currence
           e
   Cette technique repose sur le fait que toute partie non vide de N a un plus petit ´l´ment. Soit
                                                                                     ee
R(n) une propri´t´ d´pendant d’un entier n. On suppose que
               ee e
  1. la relation R(0) est vraie,
  2. la relation R(n) ⇒ R(n + 1) est vraie.
On en d´duit alors que
       e

   R(n) est vraie pour tout n.

   En effet si A, l’ensemble des entiers n pour lesquels pour lesquels R(n) est fausse, n’est pas
vide, il a un plus petit ´l´ment qu’on note p. Mais alors p − 1 n’est pas dans A donc R(p − 1) est
                         ee
vraie et par suite R(p − 1 + 1) = R(p) est vraie (` cause de l’hypoth`se (2)).
                                                  a                    e

Exemple.
   Soit R(n) la relation “2n + 1 est divisible par 3”. Il s’agit de montrer que R(n) est vraie pour
tout entier n impair. Pour n = 1, on a 21 + 1 = 3. Supposons R(n) vraie avec n impair, c’est-`-dire
                                                                                              a
                      n                              n
que l’on peut ´crire 2 + 1 = 3k avec k ∈ N. Alors 2 = 3k − 1. L’entier impair suivant est n + 2.
               e
On a 2n+2 = 4.2n = 4(3k − 1) = 12k − 4 = 3(4k − 1) − 1, d’o` 2n+2 + 1 = 3(4k − 1). C’est R(n + 2).
                                                              u
La propri´t´ est donc d´montr´e.
          ee            e      e
   Le lecteur pr´cautionneux expliquera pourquoi dans cet exemple on consid`re R(1) et R(n + 2)
                 e                                                              e
au lieu de R(0) et R(n + 1).

2.3.2     Contrapos´e
                   e
   C’est l’´quivalence d´j` vue :
           e            ea

                                    (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P )
18                                  CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES

Exemple.
    Un entier est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-mˆme. On veut montrer que si 2n + 1
                                                                  e
est premier alors n est pair. Ici non Q est “n est impair”, on vient de voir qu’alors 2n + 1 est
divisible par 3, donc n’est pas premier, c’est non P , c’est-`-dire P ⇒ Q o` P est la relation “2n + 1
                                                             a             u
est premier” et Q est la relation “n est pair”.

2.3.3      D´monstration par l’absurde
            e
    On veut montrer que R est vraie. Pour cela on suppose que R est fausse. D’autre part supposons
que l’on d´duit ` partir de cette hypoth`se, c’est-`-dire (nonR) vraie, une propri´t´ S et que l’on
          e      a                      e          a                              ee
sait que S est fausse. En termes formels cela veut dire que

                                 (nonR) ⇒ S vraie           et S fausse.

     Ainsi la seule ligne de la table des v´rit´s
                                           e e

                                R    S   R⇒S        non R     non R ⇒ S
                                V    V    V           F           V
                                V    F    F           F           V
                                F    V    V           V           V
                                F    F    V           V           F

   ayant ces valeurs de v´rit´s (c’est-`-dire S fausse et (nonR) ⇒ S vraie) est la deuxi`me. Donc
                         e e           a                                                e
R est vraie.

   En d’autres termes si on arrive ` d´duire un r´sultat faux S ` partir de la n´gation de R, alors
                                   a e           e              a               e
R est vraie.

Exemple.                                                       √
    On a montr´ par cette m´thode dans le premier chapitre que 2 n’est pas rationnel (proposition
               e              e
1.1.1). Dans cet exemple on avait consid´r´ les deux relations
           √                              ee
    – R : √ 2 est irrationnel.
    – S:     2 = a , avec a, b ∈ N et a ou b impair.
                  b
et montr´ que (nonR ⇒ S) est vraie et S est fausse.
         e


2.4       Langage des ensembles
     Un ensemble E est une collection d’objets (au sens na¨ appel´s ´l´ments.
                                                          ıf)    e ee

Exemples.
  – N, Z, Q, R, C sont des ensembles.
  – Les fonctions continues de l’intervalle [0, 1] ` valeurs r´elles forment un ensemble.
                                                   a          e
  – Les parties d’un ensemble E forme un autre ensemble P (E), dont les ´l´ments peuvent ˆtre
                                                                              ee          e
    vus aussi comme des ensembles d’´l´ments de E.
                                       ee

     Si x est un ´l´ment de E, on note x ∈ E, qu’on lit x appartient ` E. La n´gation est x ∈ E.
                 ee                                                  a        e             /

D´finition 2.4.1 (inclusion) Soient E et F deux ensembles. On dit que E est contenu dans F ,
  e
ou que F contient E, si tout ´l´ment de E appartient ` F . On note E ⊂ F .
                             ee                      a
2.5. EXERCICES                                                                                19

2.5      Exercices

Exercice 2.1. Pour tout entier n ≥ 1, on consid`re la somme de n termes
                                               e
                                       1   1   1               1
                               Sn =      +   +    + ··· +             .
                                      1·2 2·3 3·4         n · (n + 1)

   1. Calculer S1 , S2 , S3 , S4 .
   2. Proposer une formule en n pour Sn .
   3. D´montrer cette formule par r´currence.
       e                           e

Exercice 2.2. D´montrer par r´currence que :
               e             e
                                                      n(n+1)
   1. pour tout n ∈ N∗ , 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =       2
                                                             ;
                                                           n(n+1)(2n+1)
   2. pour tout n ∈ N∗ , 12 + 22 + 32 + 42 + ... +   n2 =       6
                                                                        .

                                                                                    √
Exercice 2.3. Soient E l’ensemble des r´els x qui s’´crivent sous la forme x = p + q 2 avec p et
                             √         e            e
q des entiers relatifs et u = 2 − 1.
   1. Est-ce que Z ⊂ E ?
   2. Montrer que pour tout entier n ∈ Z et pour tout v ∈ E on a nv ∈ E.
   3. Montrer par r´currence que l’on a un ∈ E pour tout n ∈ N.
                    e
                                                            √
   4. D´terminer l’intersection E ∩ Q. (on se souviendra que 2 n’est pas rationnel)
       e

Exercice 2.4. Pour quelles valeurs du nombre r´el x la proposition
                                              e

                                (2x2 + 5x − 12 < 0 ou x2 + 3x + 2 > 0)

est-elle vraie ?

Exercice 2.5. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre r´ponse en
                                                                                        e
faisant une d´monstration.
             e
   1. ∀x ∈ R, (x = |x| ou x = −|x|).
   2. (∀x ∈ R, x = |x|) ou (∀x ∈ R, x = −|x|).
   3. ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z, y − x + x2 < 0.
   4. ∃y ∈ Z, ∀x ∈ Z, y − x + x2 < 0.
   5. ∃y ∈ Z, ∀x ∈ Z, y − x + x2 > 0.
20   CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES
Chapitre 3

Suites r´elles et complexes
        e

3.1     Limite d’une suite r´elle
                            e
D´finition 3.1.1 Un suite r´elle est une famille ` valeurs dans R index´e par les entiers naturels.
 e                          e                   a                     e
On note (un )n∈N ou tout simplement (un ).
Parfois on prend comme ensemble d’indices les entiers naturels non nuls N∗ .

Exemples.
                        1
  1. un = sin n, un =   n
                            pour n ≥ 1, un = en .
  2. Suites r´currentes.
             e
      (a) La suite de Fibonacci est d´finie par u0 = u1 = 1 et
                                     e

                                                un+1 = un + un−1 .
                                                 √
                                               1+ 5
          Elle est li´e au nombre d’or Φ =
                     e                           2
                                                      et apparaˆ dans le best seller actuel “Da Vinci
                                                               ıt
          code”.
      (b) Plus g´n´ralement on a les suites r´currentes lin´aires d’ordre 2 d´finies par la formule
                e e                          e             e                 e

                                               un+1 = aun + bun−1

          avec u0 et u1 donn´s.
                            e
      (c) Suites arithm´tiques un+1 = un + a avec a ∈ R fix´. Une r´currence facile montre que
                       e                                  e       e
          pour tout n on a un = na + u0 .
      (d) Suites g´om´triques un+1 = aun avec a ∈ R fix´. On montre par r´currence que pour
                  e e                                 e                 e
                            n
          tout n on a un = a u0 .
                                                                                         x2 +2
  3. Plus g´n´ralement un+1 = f (un ) o` f est une fonction, par exemple f (x) =
           e e                          u                                                 2x
                                                                                                 comme
     dans la preuve de la proposition 1.2.1
  4. Plus “bizarre”.
      (a) un = n-i`me d´cimale de π.
                  e    e
      (b) un = 0 si n premier et un = 1 sinon.

D´finition 3.1.2 Soit (un ) une suite r´el. On dit que (un ) est
 e                                       e
   – major´e s’il existe un r´el K tel que pour tout entier n ∈ N on a un ≤ K.
           e                 e
   – minor´e s’il existe un r´el k tel que pour tout n on a k ≤ un .
           e                 e
   – born´e si elle est major´e et minor´e.
         e                   e             e

                                                    21
22                                                                 ´
                                               CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES

     –   croissante si pour tout n on a un+1 ≥ un .
     –   strictement croissante si pour tout n on a un+1 > un .
     –   monotone si elle est croissante ou d´croissante.
                                              e
     –   p´riodique s’il existe un entier p ∈ N∗ tel que pour tout n on a un+p = un . L’entier p est la
          e
         p´riode de la suite.
          e
On d´finit de mˆme une suite d´croissante, strictement d´croissante.
    e         e              e                         e

     Il arrive qu’une propri´t´ ne soit pas vraie pour tous les premiers termes d’une suite mais
                            ee
seulement a partir d’un certain rang. Par exemple, (un ) est croissante ` partir d’un certain rang
             `                                                          a
s’il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N on a un+1 ≥ un .

Exemples.
     1. un = sin n est major´e.
                            e
               1
     2. un =   n
                  pour   n ≥ 1 est strictement d´croissante et born´e.
                                                e                  e
                n
     3. un = e est croissante, minor´e mais pas major´e.
                                    e                e
     4. On suppose que u0 > 0 et a > 0, la suite g´om´trique un = an u0 est croissante non major´e
                                                    e e                                         e
        si a > 1, d´croissante et born´e si a < 1, constante si a = 1.
                   e                  e
     5. La suite un = sin( 2πn ) est p´riodique de p´riode 17.
                            17
                                      e             e

Proposition 3.1.1 La suite (un ) est born´e si et seulement si la suite (|un |) est major´e.
                                         e                                               e
    D´monstration. Supposons la suite (un ) born´e, elle est donc major´e. Par d´finition il existe
     e                                          e                      e        e
K > 0 tel que pour tout n on a un ≤ K. Elle est aussi minor´e, donc il existe L < 0 tel que pour
                                                               e
tout n on a L ≤ un . Soit M = max(K, −L). Alors pour tout n, on a −M ≤ L ≤ un ≤ K ≤ M ,
ce qui est ´quivalent ` |un | ≤ M .
           e          a
    R´ciproquement supposons que la suite (|un |) est major´e. On a un r´el M tel que pour tout
     e                                                       e           e
n on a |un | ≤ M qui est ´quivalent ` −M ≤ un ≤ M . Alors M est un majorant et −M est un
                           e        a
minorant de la suite (un ).

D´finition 3.1.3 (limite d’une suite) On dit qu’une suite (un ) admet le r´el
  e                                                                      e              pour limite ou
que (un ) converge vers si

                             ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N on a |un − | < ε.

     On dit qu’une suite (un ) tend vers +∞ si

                              ∀K ∈ R     ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N on a un ≥ K.

   On dit qu’une suite (un ) diverge si elle ne converge pas, c’est-`-dire si elle n’admet pas de
                                                                    a
limite dans R.

     On note suivant les cas

                                  lim un =         ou       lim un = +∞.
                                 n→+∞                      n→+∞



Remarques.
     1. En particulier une suite qui tend vers +∞ diverge.
     2. On d´finit de mˆme lim un = −∞.
            e         e
                                n→+∞
´ ´
3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE                                                                     23

Exemples.
  1. La suite constante un = a pour a ∈ R fix´ converge vers a. Choisissons un ε > 0. Il faut
                                                e
     trouver un entier N tel que si n ≥ N alors |un − a| < ε. Comme |un − a| = 0 cette in´galit´
                                                                                         e     e
     est toujours vraie et il suffit de prendre N = 0.
  2. La suite d´finie par un = n tend vers +∞. Il faut montrer que pour tout K ∈ R il existe un
                e
     entier N tel que pour tout n tel que n ≥ N on a un ≥ K. Il suffit de prendre pour N le plus
     petit entier ≥ K.


3.2     Propri´t´s de la limite
              e e
Th´or`me 3.2.1 Si une suite (un ) de r´els admet une limite
  e e                                 e                           ∈ R alors cette limite est unique.
    D´monstration. Par l’absurde. Supposons qu’il y a deux limites et avec < . Prenons
     e
      −
ε = 2 > 0. Comme est limite de la suite (un ) il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N
on a |un − | < ε, de mˆme comme est limite on a un entier N tel que pour tout n ≥ N on a
                       e
|un − | < ε. Alors si n ≥ max(N, N ) on peut ´crire en utilisant l’in´galit´ triangulaire pour la
                                              e                      e     e
valeur absolue :
                       − = | − | ≤ | − un | + |un − | < ε + ε = − ,
ce qui est absurde.

Proposition 3.2.1 Si une suite (un ) de r´els converge, alors elle est born´e.
                                         e                                 e
   D´monstration. Commen¸ons par le cas particulier o` limn→+∞ un = 0. Par d´finition on a
    e                   c                            u                      e

                          ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N |un − 0| < ε.

   En particulier pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on a |un | ≤ 1. Soit
K = max{|u0 |, |u1 |, . . . , |uN −1 |, 1}, on a alors |un | ≤ K pour tout n, donc (un ) est born´e.
                                                                                                 e
   Dans le cas g´n´ral, on pose vn = un − si est la limite de (un ). Alors (vn ) a pour limite 0,
                 e e
donc d’apr`s le cas particulier la suite (vn ) est born´e : il existe M et m tels que m ≤ un ≤ M
          e                                                    e
pour tout n. Alors m + ≤ un ≤ M + , ce qui prouve que la suite (un ) est born´e.           e

Remarque.
   La r´ciproque est fausse. La suite d´finie par un = (−1)n est born´e et diverge (pour une
       e                                e                               e
preuve de la divergence voir la remarque suivant la proposition 3.2.9).

Proposition 3.2.2 Si (un ) est une suite born´e et si (vn ) est une suite qui converge vers 0, alors
                                             e
la suite (un vn ) converge vers 0.
    D´monstration. Comme (un ) est born´e, la suite (|un |) est major´e (proposition 3.1.1). Donc
      e                                       e                      e
il existe un r´el K tel que |un | ≤ K pour tout n ∈ N.
              e
    Fixons ε > 0. Comme (vn ) converge vers 0, il existe N ∈ N tel que |vn | < ε/K pour tout
                                          ε
n ≥ N . Alors |un vn | = |un |.|vn | < K. K = ε.

Proposition 3.2.3 (suite “somme”) Soient (un ) et (vn ) deux suites admettant comme limites
respectives les r´els et . Alors la suite “somme” (wn ), d´finie par
                 e                                        e

                                          wn = un + vn ,

tend vers + .
24                                                                 ´
                                               CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES

                                                                       ε
    D´monstration. Fixons ε > 0. On ´crit la convergence de (un ) avec 2 : il existe un N tel que
     e                                   e
                             ε
si n ≥ N alors |un − | < 2 . De mˆme la convergence de (vn ) donne un M tel que si n ≥ M alors
                                    e
            ε
|vn − | < 2 .
                                                                ε                ε
    On en d´duit que pour n ≥ K = max(M, N ) on a |un − | < 2 et |vn − | < 2 .
             e
    En utilisant l’in´galit´ triangulaire, on obtient
                     e     e
                                                                              ε ε
              |wn − ( + )| = |un + vn − ( + )| ≤ |un − | + |vn − | <           + = ε.
                                                                              2 2
Ceci prouve que (wn ) tend vers l + l .

Remarque.
  Si lim un = +∞ et lim = ∈ R alors lim (un + vn ) = +∞.
       n→+∞               n→+∞                      n→+∞
     Par contre si lim un = +∞ et lim vn = −∞, on a une forme ind´termin´e qui n´cessite
                                                                 e      e       e
                  n→+∞                     n→+∞
une ´tude plus approfondie pour conclure.
    e

Proposition 3.2.4 (suite “produit”) Soient (un ) et (vn ) deux suites r´elles admettant les nombres
                                                                       e
r´els et comme limites. Alors la suite “produit” (wn ) d´finie par
 e                                                      e

                                                  wn = un vn

tend vers · .
    D´monstration. Montrons que la suite ( vn ) tend vers . En effet, la suite constante est
      e
born´e et la suite (vn − ) tend vers 0. D’apr`s la proposition 3.2.2 la suite (vn − ) converge
     e                                         e
vers 0. Donc la suite ( vn ) tend vers .
    De mˆme, la suite (un ) tend vers , donc la suite (un − ) tend vers 0. La suite (vn ) est
           e
convergente donc born´e, donc la suite vn (un − ) converge vers 0, ` nouveau ` cause de la
                         e                                             a           a
proposition 3.2.2. En ´crivant un vn = (un vn − vn ) + vn = vn (un − ) + vn , on voit que la suite
                       e
(un vn ) tend vers .

Proposition 3.2.5 (suite des inverses) Soit (un ) une suite de r´els strictement positifs. Si (un )
                                                                e
tend vers > 0, alors
                                            1      1
                                      lim      = .
                                     n→+∞ un

    D´monstration. Comme (un ) a pour limite qui est strictement positif, il existe un entier N
     e
tel que si n ≥ N alors |un − | < 2 . On a donc un > − 2 = 2 . On en d´duit que u1n < 2 pour
                                                                               e
n ≤ N , donc (un ) est major´e, donc born´e puisqu’elle est minor´e par 0.
                                e             e                        e
    Ainsi la suite ( u1n (un − )) est le produit d’une suite born´e par une suite qui tend vers 0, c’est
                                                                 e
donc une suite qui tend vers 0 (proposition 3.2.2).
    Comme u1n (un − ) = 1 − un , on en d´duit que la suite un tend vers 1. Comme u1n = ( 1 )( un ),
                                              e
d’apr`s la limite d’un produit on a que la suite ( u1n ) tend vers 1 .
     e

Proposition 3.2.6 Soit (un ) une suite de r´els strictement positifs.
                                           e
                                    1
a) Si un tend vers +∞, alors       un
                                        tend vers 0.
                               1
b) Si un tend vers 0, alors   un
                                   tend vers +∞.
   D´monstration. a) Fixons ε > 0. Comme limn→∞ un = +∞, il existe un entier N tel que si
     e
n ≥ N alors un > 1 . Donc 0 < u1n < ε ce qui prouve que u1n tend vers 0.
                  ε
   b) Fixons K ∈ R. Comme limn→+∞ un = 0 et un > 0 pour tout n, on sait qu’il existe un entier
                                   1
N tel que si n ≥ N alors 0 < un < K . Donc un > K, ce qui prouve que un tend vers +∞.
´ ´
3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE                                                                          25

Remarque.
                                                                (−1)n
    La condition un > 0 est essentielle. Par exemple, si un =     n
                                                                      ,   la suite (un ) tend vers 0 mais
la suite ( u1n ) n’a pas de limite.

Proposition 3.2.7 (passage ` la limite des in´galit´s)
                                  a                   e     e
    Soient (un ) et (vn ) deux suites de r´els qui convergent respectivement vers
                                          e                                            et . On suppose
que
                                                un ≤ v n
a
` partir d’un certain rang. Alors   ≤ .

  D´monstration. Par l’absurde. Supposons que > . Fixons un r´el ε > 0 v´rifiant l’in´galit´
   e                                                               e          e     e     e
ε< − .
    2
  La convergence de (un ) vers dit qu’il existe un entier N tel que si n ≥ N alors

                                            |un − | < ε.                                             (1)

   La convergence de (vn ) vers     dit qu’il existe un entier N tel que si n ≥ N alors

                                            |vn − | < ε.                                             (2)

   Enfin il existe M tel que si n ≥ M alors

                                              un ≤ v n .                                             (3)

   Donc pour n ≥ max(N, N , M ) les trois in´galit´s sont vraies. On en d´duit que
                                            e     e                      e

                                     vn <    + ε < − ε < un .

                                                                   −
   Remarquons que la deuxi`me in´galit´ est ´quivalente ` ε <
                          e     e     e     e           a          2
                                                                          . Ceci donne une contradiction
avec (3).

Remarque.
   La proposition n’est plus vraie si on remplace les in´galit´s larges par des in´galit´s strictes.
                                                        e     e                   e     e
                                      1
Prenons par exemple un = 0 et vn = n . Alors pour tout n ≥ 1 on a un < vn , mais les deux suites
ont la mˆme limite 0.
        e

Proposition 3.2.8 (th´or`me des gendarmes)
                     e e
a) Soient (un ) et (vn ) deux suites ayant la mˆme limite ∈ R. Soit (xn ) une suite telle qu’` partir
                                               e                                             a
     d’un certain rang on ait les in´galit´s
                                       e    e

                                              un ≤ xn ≤ vn .

     Alors la suite (xn ) converge vers .
b) Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que limn→+∞ un = +∞ et vn ≥ un ` partir d’un certain
                                                                           a
     rang. Alors (vn ) tend vers +∞.
c) Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que limn→+∞ un = −∞ et vn ≤ un ` partir d’un certain
                                                                           a
     rang. Alors (vn ) tend vers −∞.
26                                                               ´
                                             CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES

   D´monstration. a) Fixons ε > 0. La convergence de (un ) vers
    e                                                                   dit qu’il existe un N tel que si
n ≥ N alors |un − | < ε, c’est-`-dire
                               a

                                            − ε < un < + ε.

    La convergence de (vn ) vers       dit qu’il existe un N tel que si n ≥ N alors |vn − | < ε,
c’est-`-dire
      a
                                            − ε < vn < + ε.
     Il existe aussi M tel que si n ≥ M alors un ≤ xn ≤ vn . Donc si n ≥ max(N, N , M ) on a

                                      − ε < un ≤ xn ≤ vn < + ε.

    On d´duit que |xn − | < ε, ce qui prouve que la suite (xn ) tend vers .
         e
    b) Par d´finition limn→+∞ un = +∞ signifie que pour un r´el K donn´ il existe un entier N
             e                                                  e          e
tel que si n ≥ N alors un ≥ K. D’autre part on sait qu’il existe un entier M tel que si n ≥ M
alors un ≤ vn . Donc si n ≥ max(M, N ) on a vn ≥ un ≥ K, ce qui prouve que vn tend vers +∞.
    c) On fait de mˆme.
                   e

D´finition 3.2.1 (sous-suite) Soit (un ) une suite. On dit que la suite (vn ) est une sous-suite
  e
ou une suite extraite de (un ) s’il existe une application strictement croissante ϕ : N → N telle que
pour tout n on a
                                               vn = uϕ(n) .

Exemples.
     1. Prenons la suite d´finie par un = (−1)n . L’application ϕ : n → 2n donne la sous-suite
                          e
        vn = u2n = (−1)2n = 1. Cette sous-suite est une suite constante. De mˆme ϕ : n → 2n + 1
                                                                             e
                                                2n+1
        donne la sous-suite vn = u2n+1 = (−1)         = −1. Cette sous-suite est aussi une suite
        constante.
     2. Soit (un ) la suite d´finie par un = sin( 2πn ). Elle est p´riodique de p´riode 17. L’application
                             e                    17
                                                                  e             e
        ϕ : n → 17n donne la sous-suite vn = u17n = sin(2πn) = 0. L’application ϕ : n → 17n + 1
        donne vn = u17n+1 = sin( 2π ) = 0.
                                   17

Proposition 3.2.9 Soit (un ) une suite. Alors (un ) tend vers       si et seulement si toute sous-suite
de (un ) tend vers .
   D´monstration. ⇐ C’est ´vident puisque la sous-suite (vn ) obtenue en prenant pour ϕ l’identit´
     e                        e                                                                  e
de N est la suite (un ) elle-mˆme.
                              e

   ⇒ Soit (vn ) la sous-suite associ´e ` l’application ϕ : N → N. Montrons d’abord que pour tout
                                    e a
n on a l’in´galit´
           e     e
                                             ϕ(n) ≥ n.
On proc`de par r´currence. On a ϕ(0) ≥ 0 puisque ϕ(0) ∈ N. Supposons que ϕ(n) ≥ n. On a
        e         e
ϕ(n + 1) > ϕ(n) puisque ϕ est strictement croissante. Donc ϕ(n + 1) > n, soit ϕ(n + 1) ≥ n + 1
puisque ϕ(n + 1) est un entier.
    Fixons ε > 0. Comme la suite (un ) tend vers , il existe un entier N tel que si n ≥ N alors
|un − | < ε. Comme ϕ(n) ≥ n, on a |uϕ(n) − | < ε pour n ≥ N , ce qui prouve que (vn ) tend vers
 .

Remarque.
´ ´
3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE                                                                    27

   On utilise cette proposition pour montrer qu’une suite diverge : si l’on trouve deux sous-suites
de (un ) qui tendent vers deux limites distinctes alors (un ) diverge.

Exemples.
   Si un = (−1)n , on a trouv´ deux sous-suites constantes ´gales ` 1 et −1. Donc (un ) diverge.
                             e                              e     a
   La suite d´finie par un = sin( 2πn ) diverge car on a trouv´ deux sous-suites (constantes) ayant
              e                   17
                                                             e
pour limite 0 et sin( 2π ).
                      17


Proposition 3.2.10 Une suite r´elle qui est croissante et major´e converge vers
                              e                                e                     = sup{un |n ∈
N}.

   D´monstration. La partie A de R form´e des un pour n ∈ N est non vide et major´e. On a
     e                                      e                                           e
admis au chapitre 1 qu’une telle partie a une borne sup´rieure (th´or`me 1.2.3). Soit cette borne
                                                        e         e e
sup´rieure, c’est un majorant de A et c’est le plus petit des majorants de A.
   e
   Puisque est un majorant on a un ≤ pour tout n.
   Soit ε > 0. Comme est le plus petit majorant le nombre − ε n’est pas un majorant de A,
donc il existe un ´l´ment uN de A tel que − ε < uN . Comme (un ) est croissante, on a un ≥ uN
                  ee
pour n ≥ N . On a donc pour n ≥ N :

                                    − ε < uN ≤ un ≤ < + ε.

On a donc |un − | < ε et limn→+∞ un = .

   De mˆme on a
       e

Proposition 3.2.11 Une suite de r´els qui est d´croissante et minor´e converge vers = inf{un |n ∈
                                 e             e                   e
N}.

Proposition 3.2.12 Une suite (un ) de r´els qui est croissante et non major´e tend vers +∞.
                                       e                                   e

   D´monstration. L’assertion “(un ) est major´e” s’´crit
    e                                         e     e

                                    ∃K ∈ R ∀n ∈ N un ≤ K

en fran¸ais : il existe un majorant K de la suite (un )
       c
    La n´gation de cette assertion est
        e

                                    ∀K ∈ R ∃n ∈ N un > K

en fran¸ais : quel que soit K le nombre K n’est pas un majorant de la suite (un ). Changeons de
       c
notations en ´changeant les rˆles de n et N :
              e               o

                                   ∀K ∈ R ∃N ∈ N uN > K

   Comme (un ) est croissante on a alors un ≥ uN > K pour tout n ≥ N , c’est la d´finition de
                                                                                 e
limn→+∞ un = +∞.

   De mˆme on a
       e

Proposition 3.2.13 Une suite (un ) de r´els qui est d´croissante et non minor´e tend vers −∞.
                                       e             e                       e
28                                                                 ´
                                               CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES

3.3        Suites adjacentes
Proposition 3.3.1 Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que
     1. (un ) est croissante,
     2. (vn ) est d´croissante,
                   e
     3. la suite (vn − un ) tend vers 0.
Alors les deux suites (un ) et (vn ) ont la mˆme limite.
                                             e
Dans ce cas on dit que les deux suites sont adjacentes.

     D´monstration. Pour tout n on a
      e

                                           un ≤ un+1 et vn ≥ vn+1

d’o`
   u
                                       −un ≥ −un+1 et vn ≥ vn+1
ce qui donne par addition
                                           vn − un ≥ vn+1 − un+1 .
     La suite (vn − un ) est donc d´croissante. Comme elle tend vers 0, on en d´duit que vn − un ≥ 0
                                   e                                            e
pour tout n, c’est-`-dire vn ≥ un .
                     a
     On a alors un ≤ vn ≤ v0 puisque (vn ) est d´croissante. La suite (un ) est donc major´e et est
                                                  e                                          e
croissante donc elle converge vers une limite .
     De mˆme la suite (vn ) est minor´e par u0 et est d´croissante, donc elle converge vers une limite
          e                           e                e
  .
     La suite (vn − un ) tend vers − qui est nul ` cause de l’hypoth`se (3). Donc on a bien
                                                        a                    e
    = .

Exemple.(suites arithm´tico-g´om´triques)
                        e      e e
   Soient u0 et v0 deux r´els avec v0 > u0 > 0. On d´finit les deux suites (un ) et (vn ) par les
                          e                            e
formules                                         √
                                         un+1 = un vn
                                                 un + v n
                                         vn+1 =
                                                    2
On v´rifie que ces deux suites sont adjacentes. Pour ´tablir la condition (3) on peut montrer que
    e                                               e
                                                           vn − un
                                           vn+1 − un+1 ≤
                                                              2
Th´or`me 3.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Soit (un ) une suite born´e, alors il existe une sous-
    e e                                                       e
suite de (un ) convergente.
   D´monstration. Soit [a, b] avec a < b un intervalle qui contient les termes de la suite (un ). On
     e
proc`de par dichotomie, c’est-`-dire que l’on va couper l’intervalle [a, b] en deux en gardant une
    e                           a
moiti´ qui contient une infinit´ de valeurs de (un ). Si les deux moiti´s conviennent, on dit qu’on
     e                         e                                        e
garde celle de gauche.
   Posons a0 = a et b0 = b. Soient [a1 , b1 ] la moiti´ de [a, b] que l’on garde, On a a0 ≤ a1 et
                                                       e
b1 ≤ b0 . On a aussi b1 − a1 = b0 −a0 .
                                  2
   On it`re le proc´d´ ce qui donne deux suites (ak ) et (bk ) telles que ak ≤ ak+1 et bk+1 ≤ bk . On
          e         e e
a aussi
                                                      b k − ak
                                        bk+1 − ak+1 =
                                                          2
3.4. COMPARAISON DE SUITES                                                                           29

et l’intervalle [ak , bk ] contient une infinit´ de termes de la suite (un ).
                                              e
    Les deux suites (ak ) et (bk ) sont donc adjacentes. Donc elle convergent vers la mˆme limite
                                                                                           e
(proposition 3.3.1).
    On construit alors une sous-suite (vn ) de (un ). On prend pour v0 = u0 . On choisit pour v1 un
des (un ) qui est dans [a1 , b1 ]. On suppose que l’on a choisi vk o` vk = uϕ(k) . On choisit alors pour
                                                                     u
vk+1 un des termes de (un ) qui est dans [ak+1 , bk+1 ] de sorte que ϕ(k + 1) > ϕ(k), cette condition
n’enl`ve qu’un nombre fini de possibilit´s, comme il y en a une infinit´ par construction ce n’est
      e                                      e                               e
pas gˆnant.
       e
    On a alors an ≤ vn ≤ bn et par le th´or`me des gendarmes la suite (vn ) tend aussi vers .
                                             e e

   Deuxi`me d´monstration (plus courte). On consid`re le sous-ensemble de N d´fini par
        e    e                                    e                          e

                                  A = {n ∈ N | ∀k ≥ n uk ≥ un }.

On distingue deux cas.
    Premier cas : A est un ensemble infini. Alors la suite extraite (un )n∈A est croissante et major´e,
                                                                                                   e
donc converge d’apr`s la proposition 3.2.10.
                     e
    Deuxi`me cas : A est un ensemble fini. Alors il existe M ∈ N tel que si n ≥ M alors n ∈ A, ce
           e                                                                                   /
qui est ´quivalent ` ∀n ≥ M il existe un entier k ≥ n tel que uk < un . Ceci permet d’extraire une
         e         a
sous-suite strictement d´croissante de (un ). Comme elle est minor´e, elle converge (proposition
                         e                                             e
3.2.11).

Remarques.
  1. On a d´j` vu des sous-suites convergentes dans le cas o` un = (−1)n ou un = sin( 2πn ).
           ea                                               u                          17
  2. Si on prend un = sin n, il y a beaucoup de sous-suites convergentes : on peut montrer que
     pour tout ∈ [−1, 1] il existe une sous-suite de (un ) qui converge vers . C’est plus difficile
     que dans les deux exemples pr´c´dents.
                                    e e


3.4      Comparaison de suites
D´finition 3.4.1 (´quivalent, n´gligeable, domin´)
 e                  e                e                  e
   Soient (un ) et (vn ) deux suites. On suppose qu’` partir d’un certain rang N on a vn = 0.
                                                    a
  1. On dit que (un ) est ´quivalent ` (vn ) si la suite ( un ) tend vers 1.
                          e          a                     v
                                                             n


  2. On dit que (un ) est n´gligeable devant (vn ) si la suite ( un ) tend vers 0.
                           e                                     v
                                                                   n


  3. On dit que (un ) est domin´e par (vn ) si la suite ( un ) est born´e.
                               e                          v
                                                            n
                                                                       e

D´finition 3.4.2 (Notation de Landau)
 e
  1. Si (un ) est ´quivalent ` (vn ) on note un ∼ vn .
                  e          a
  2. Si (un ) est n´gligeable devant (vn ) on note un = o(vn ) (petit o).
                   e
  3. Si (un ) est domin´e par (vn ) on note un = O(vn ) (grand O).
                       e

Proposition 3.4.1 Si la suite (un ) est ´quivalente ` la suite (vn ), la suite (vn ) est ´quivalente `
                                        e           a                                    e           a
(un ).
                                     1 `
    D´monstration. Prenons ε = 2 . A partir d’un certain rang on a 1 − ε = 1 ≤ un ≤ 1 + ε = 3 .
      e                                                                            2     v
                                                                                           n
                                                                                               2
                                                                                      v
On en d´duit qu’` partir d’un certain rang un = 0. On sait qu’alors la suite ( un ) a pour limite
         e         a                                                                    n
l’inverse de la limite de la suite ( un ) (proposition 3.2.5). Elle tend donc vers 1.
                                     v
                                       n
30                                                                   ´
                                                 CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES

Remarque.
    Les trois propri´t´s “n´gligeable, ´quivalente, domin´e” sont des propri´t´s ` l’infini des suites :
                    ee     e           e                 e                  ee a
la valeur de l’entier N n’a pas d’importance.

Proposition 3.4.2 Soient (an ) une suite non nulle ` partir d’un certain rang et (un ) et (vn ) deux
                                                   a
suites ´quivalentes. Alors
       e
     1. la suite (an un ) est ´quivalente ` la suite (an vn ).
                              e           a
     2. si (un ) et (vn ) sont non nulles ` partir d’un certain rang les suites ( un ) et ( an ) sont
                                          a                                        a
                                                                                     n      v
                                                                                              n


        ´quivalentes.
         e
                                                              u n an   un
      D´monstration. 1. On sait que limn→+∞ un = 1. Comme
        e                                     v
                                                n
                                                                     =    , on obtient
                                                              v n an   vn
                                                     u n an
                                                 lim        = 1.
                                                n→+∞ vn an

     2. On a les ´galit´s
                 e     e
                             an v n       vn         1         1
                         lim        = lim    = lim un =                           un     = 1,
                        n→+∞ un an   n→+∞ un  n→+∞ (    ) limn→+∞
                                                     vn                           vn

ce qui prouve l’affirmation.

Remarque.
  Les ´quivalents ne s’ajoutent pas !
      e

Exemple.
  Prenons an = −n, un = n et vn = n + 1.
  Les deux suites (un ) et (vn ) sont ´quivalentes, car la suite
                                      e
                                           un    n       1
                                              =     =1−
                                           vn   n+1     n+1
tend vers 1.
   Mais an + un = 0 et an + vn = 1, donc
                                                   an + u n
                                               lim          = 0.
                                              n→+∞ an + vn

Proposition 3.4.3 Soit (un ) une suite et λ ∈ [0, 1[. Si ` partir d’un certain rang N on a
                                                         a

                                         |un+1 | ≤ λ|un |        ∀n ≥ N                            (∗)

alors (un ) tend vers 0.
     D´monstration. En it´rant k fois l’in´galit´ (∗) on obtient
      e                  e                e     e

                             |uN +k | ≤ λ|uN +k−1 | ≤ λ2 |uN +k−2 | ≤ · · · ≤ λk |uN |

     Donc par la proposition 3.2.7

                            lim |uN +k | ≤ lim (λk |uN |) = ( lim λk )|uN | = 0.
                            k→+∞             k→+∞                 k→+∞

   Comme |uN +k | ≥ 0, on en d´duit que limk→+∞ |uN +k | = 0 , donc
                              e
limk→+∞ uN +k = 0 et limn→+∞ un = 0.
3.4. COMPARAISON DE SUITES                                                                         31

Proposition 3.4.4 Soient (un ) et (vn ) deux suites strictement positives. Soit λ ∈ [0, 1[. On sup-
pose qu’` partir d’un certain rang N on a
        a
                                          un+1    vn+1
                                               ≤λ              ∀n ≥ N                             (∗)
                                           un      vn
Alors (un ) est n´gligeable devant (vn ).
                 e
                                                   un
   D´monstration. En multipliant (∗) par
    e                                             vn+1
                                                         qui est > 0, on obtient
                                                  un+1   un
                                                       ≤λ .
                                                  vn+1   vn
    La suite ( un ) v´rifie les conditions de la proposition 3.4.3 donc ( un ) tend vers 0, ce qui veut
               v
                 n
                     e                                                   v
                                                                           n


dire que un = o(vn ).

Proposition 3.4.5 On consid`re les suites
                           e
   1. pour n ≥ 2, soit un = (ln n)β avec β > 0,
   2. pour n ≥ 1, soit vn = nα avec α > 0,
   3. pour n ≥ 0, soit wn = an avec a > 1,
   4. pour n ≥ 0, on pose zn = n!
Alors un = o(vn ), vn = o(wn ) et wn = o(zn ).
    D´monstration. 1. Montrons d’abord que vn = o(wn ). Pour cela montrons qu’il existe λ ∈ [0, 1[
      e
tel que
                                        vn+1     wn+1
                                             ≤λ
                                         vn       wn
et utilisons la proposition 3.4.4.
    Un calcul simple montre que
                                                   α
                                 vn+1         1                   wn+1
                                      =    1+             et           = a > 1.
                                  vn          n                    wn
                          vn+1
   Comme limn→+∞           vn
                                 = 1, il existe N tel que si n ≥ N on a
                                                  vn+1   1+a
                                                       <
                                                   vn     2
car la suite ( vn+1 ) est d´croissante et
                vn
                           e
                                                       1+a
                                                1<         < a.
                                                        2
                  1+a
   Prenons λ =     2a
                      .   Alors 0 < λ < 1 et pour n ≥ N on a
                                    vn+1   1+a   1+a            wn+1
                                         <     =     a = λa = λ      .
                                     vn     2     2a             wn
   On voit que les condition de la proposition 3.4.4 sont satisfaites et donc on conclut que vn =
o(wn ).

   2. Montrons que un = o(vn ). Il suffit de prouver
                                                   (ln n)β
                                               lim         = 0.
                                              n→+∞   nα
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  • 1. Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006
  • 2. 2
  • 3. Table des mati`res e 1 Les nombres r´els et complexes e 5 1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nombres r´els . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Densit´ des rationnels et irrationnels e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Logique et langage des ensembles 15 2.1 Propositions et op´rateurs logiques e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Techniques de d´monstration . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 R´currence . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Contrapos´e . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3 D´monstration par l’absurde e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Suites r´elles et complexes e 21 3.1 Limite d’une suite r´elle e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Propri´t´s de la limite . ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Fonctions d’une variable r´ellee 39 4.1 Limite et continuit´ . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Propri´t´s de la limite d’une fonction ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Propri´t´s des fonctions continues . . ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Fonctions d´rivables . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Propri´t´s des fonctions d´rivables . . ee e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6 Application aux suites r´elles . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 D´veloppements limit´s e e 55 5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3 Calcul de d´veloppements limit´s e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3
  • 4. 4 ` TABLE DES MATIERES 6 Fonctions classiques 63 6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3 D´veloppements limit´s . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4 Fonctions trigonom´triques . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7 Corrig´ des exercices e 69 Remerciements. Merci ` Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten a pour les exercices de TD. Merci ` Michele Bolognesi pour la r´daction de quelques corrig´s d’exercices. a e e Merci ` Ivan Babenko pour la preuve de l’irrationnalit´ du nombre d’Euler. a e
  • 5. Chapitre 1 Les nombres r´els et complexes e 1.1 Nombres rationnels On d´signe par N l’ensemble des entiers naturels e N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N∗ l’ensemble N {0}, c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels non a nuls. ´ Etant donn´ deux entiers naturels x et y on sait d´finir les nombres e e x x + y, x − y, x · y et , si y = 0. y On remarque que l’addition et la multiplication sont des op´rations qui ont leur r´sultat dans N. e e Par contre le r´sultat d’une soustraction ou d’une division n’est pas toujours un entier naturel. e On cr´e ainsi de nouveaux nombres e Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, l’ensemble des entiers relatifs — on notera Z∗ = Z {0} — et a Q= | a∈Z et b ∈ Z∗ , b a a·n l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction b avec b·n pour tout a ∈ Z et b, n ∈ Z∗ . On a bien entendu les inclusions suivantes N⊂Z⊂Q et les quatre op´rations ´l´mentaires +, −, · et / peuvent s’´tendre ` l’ensemble Q des nombres e ee e a rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´s s’exprimaient par des nombres e rationnels. Ils se sont aper¸u que ce n’est pas toujours le cas. En effet on peut construire des c nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´rons par exemple un triangle ABC rectangle en A e 5
  • 6. 6 ´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES C a b A c B Si on note a la longueur du segment BC, b celle de CA et c celle de AB, alors le th´or`me de e e Pythagore dit qu’on a la relation a2 = b 2 + c 2 . √ Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d’un carr´ de cˆt´ b = c = 1 est ´gale ` a = 2. e oe e a √ Proposition 1.1.1 Le nombre 2 n’est pas un nombre rationnel. D´monstration. √ e Nous allons faire une d´monstration par l’absurde. 1 e √ Supposons que 2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifs a, b tels que 2 = a/b. Si a et b sont pairs, on peut simplifier la fraction a/b par 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o` au moins un√ deux entiers a ou b est impair. u des En ´levant au carr´ l’´galit´ 2 = a/b et en chassant le d´nominateur, on arrive ` e e e e e a 2b2 = a2 . Donc a2 est pair. Si a est impair, on peut ´crire a = 2a + 1, alors a2 = 4a 2 + 4a + 1 qui est e impair. On en d´duit donc que a est pair, donc on peut ´crire a = 2a , ce qui donne 2b2 = 4a 2 et e e en simplifiant par 2, on obtient b2 = 2a 2 . C’est la mˆme ´quation que ci-dessus avec a ` la place de b et b ` la place de a. Le mˆme e e a a √ e raisonnement montre alors que b est aussi pair. On a donc une contradiction et 2 ne peut pas ˆtre rationnel. e Voici d’autres exemples de nombres irrationnels. 1. Le nombre π = 3, 1415 . . . d´fini comme la circonf´rence d’un cercle de diam`tre 1. e e e 2 2. Le nombre d’Euler e = 2, 718 . . . , la base de l’exponentielle, d´fini comme somme infinie e 1 1 1 1 e=1+ + + + ··· + + ··· 1! 2! 3! k! √ 3. Les racines carr´s n si n est un entier qui n’est pas un carr´, c’est-`-dire qui n’est pas de e e a la forme n = k 2 avec k ∈ N. Proposition 1.1.2 Le nombre d’Euler e n’est pas un nombre rationnel. 1 voir section 2.3.3 2 Par d´finition n! = 1 · 2 · 3 · · · n e
  • 7. ´ 1.2. NOMBRES REELS 7 √ D´monstration. Comme pour 2 nous allons faire une d´monstration par l’absurde. Supposons e e donc que e est rationnel. Il existe alors deux entiers a, b ∈ N∗ tels que a 1 1 1 1 e= = 1 + + + + ··· + + ··· b 1! 2! 3! n! Multiplions par b!. Alors on obtient l’´galit´ e e a b! b! b! b! − b! + b! + + + · · · + b 2! 3! b! 1 1 1 1 = + + + ··· + + ··· b + 1 (b + 1)(b + 2) (b + 1)(b + 2)(b + 3) (b + 1)(b + 2) · · · (b + n) Il est clair que tous les termes de la somme ` gauche sont des nombres entiers, donc la somme, a qu’on notera s, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b + 1)(b + 2) · · · (b + n) > (b + 1)n on obtient un l’encadrement suivant de s 1 1 1 1 0<s< + 2 + 3 + ··· + + ··· . b + 1 (b + 1) (b + 1) (b + 1)n 1 Cette derni`re somme infinie vaut e b+1 · 1−1 1 = 1 b d’apr`s la formule donnant la somme d’une s´rie e e b+1 g´om´trique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l’encadrement e e 1 0<s< ≤ 1, b ce qui contredit s entier. La preuve de l’irrationalit´ de π et d´passe largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par e e exemple au livre “Autour du nombre π” de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon. √ √ Par contre l’irrationalit´ de n se montre de la mˆme fa¸on que celle de 2 (exercice). e e c 1.2 Nombres r´els e √ La proposition 1.1.1 dit que 2 n’est pas rationnel, c’est-`-dire ne peut pas s’´crire comme a√ e quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre 2 peut s’´crire sous forme d’un e d´veloppement d´cimal infini e e √ 2 = 1, 41421356 . . . Dans ce cours nous prenons cette repr´sentation d´cimale comme d´finition d’un nombre r´el. e e e e D´finition 1.2.1 (nombre r´el) Un nombre r´el est une collection de chiffres {c0 , . . . , cm } et e e e {d1 , d2 , . . .} compris entre 0 et 9. Les chiffres ci sont en nombre fini et les chiffres dj peuvent ˆtre e en nombre infini. On fait correspondre ` cette collection le nombre donn´ par le d´veloppement a e e d´cimal e x = cm cm−1 . . . c1 c0 , d1 d2 d3 . . . dn . . . . Exemples.
  • 8. 8 ´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES 1. Les d´cimales du nombre π sont e c0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, . . . . 2. S’il n’y a qu’un nombre fini de d´cimales dj non nulles, alors le r´el x est un rationnel et e e x = cm 10m + cm−1 10m−1 + · · · + c1 10 + c0 + d1 10−1 + · · · + dn 10−n (x est rationnel, car c’est une somme de rationnels). 3. Un nombre rationnel admet un d´veloppement d´cimal, donc est r´el. On a e e e 1 = 0, 3333 . . . (que des 3) 3 Th´or`me 1.2.1 Un nombre r´el est rationnel si et seulement si son d´veloppement d´cimal est e e e e e p´riodique a partir d’un certain rang. e ` Nous admettons ce r´sultat. On peut se convaincre que c’est vrai en effectuant une division de e deux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu’il n’y a qu’un nombre fini de possibilit´s pour e les restes, donc ¸` boucle. ca Remarques. 1. Cette d´finition nous suffira pour ce cours mais elle n’est pas tr`s satisfaisante. D’abord un e e nombre r´el peut avoir deux d´veloppements d´cimaux distincts. Par exemple 1 = 0, 9999 . . . e e e (toujours des 9). On peut pour s’en convaincre ´crire e 9 1 1 0, 9999 · · · = 1+ + ··· + n ··· 10 10 10 On voit qu’on a affaire ` un progression g´om´trique et on peut utiliser la formule donnant a e e la somme d’une s´rie g´om´trique e e e 1 = 1 + a + a2 + · · · + an + · · · (1.1) 1−a 1 vraie pour tout r´el a tel que |a| < 1 (ici on prend a = 10 .) e 2. Cette d´finition fait r´f´rence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num´ration, e ee e ce qui donnerait une d´finition ´quivalente d’un nombre r´el. e e e 3. Les op´rations addition, multiplication,. . . ne sont pas si faciles que l’on pourrait le penser e a ` cause du probl`me des retenues. e 4. Il existe des constructions plus intrins`ques de l’ensemble des r´els. Ces constructions d´passent e e e le cadre de ce cours. 5. Il est impossible de d´finir rigoureusement le nombre π par son d´veloppement d´cimal. Il e e e faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´cimales de π ! Donner une e valeur approch´e (utilis´e dans le calcul num´rique) d’un nombre r´el, aussi bonne qu’elle e e e e soit, n’est pas une d´finition au sens math´matique. e e L’ensemble des r´els sera not´ R et l’on a les inclusions e e N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. On notera tr`s souvent R∗ l’ensemble des r´els non nuls. e e L’ensemble des r´els R admet une relation d’ordre not´e ≤. C’est la relation habituelle sur les e e r´els. e
  • 9. ´ 1.2. NOMBRES REELS 9 D´finition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´e) e e Soit A une partie de R. 1. Le r´el M est un majorant de A si pour tout a ∈ A on a a ≤ M . On dit que A est major´e e e si A a un majorant. 2. Le r´el m est un minorant de A si pour tout a ∈ A, on a m ≤ a. On dit que A est minor´e e e si A a un minorant. 3. Si la partie A est major´e et minor´e, on dit que A est born´e. e e e D´finition 1.2.3 (intervalle, segment) e Soient a, b deux r´els tels que a ≤ b. e 1. On note [a, b] l’ensemble des r´els x tels que a ≤ x ≤ b. C’est un intervalle ferm´. On dit e e aussi que [a, b] est un segment. 2. On note ]a, b[ l’ensemble des r´els x tels que a < x < b. C’est un intervalle ouvert. e On d´finit de mˆme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a, b[ et ]a, b]. On introduit aussi le e e symbole ∞ (appel´ l’infini) et on note [a, +∞[ l’ensemble des x r´els tels que a ≤ x et ]−∞, a] e e l’ensemble des r´els x tels que x ≤ a. e Exemples. – 1, 23, π sont des majorants du segment A = [0, 1]. 1 est un majorant de A = [0, 1[. – L’intervalle [a, +∞[ n’a pas de majorant. Th´or`me 1.2.2 (Propri´t´ d’Archim`de) Soient x et y deux r´els > 0, alors il existe un e e e e e e entier n tel que ny > x. Nous ne d´montrons pas cette propri´t´. Elle dit qu’en faisant assez de pas de longueur y on e ee d´passe x. D’ailleurs avec notre d´finition des r´els la propri´t´ d’Archim`de est ´vidente, ce qui e e e ee e e est loin d’ˆtre le cas quand on d´finit un nombre r´el de mani`re intrins`que. e e e e e D´finition 1.2.4 (borne sup´rieure, borne inf´rieure) Soit A une partie non vide de R (ou e e e plus g´n´ralement d’un ensemble E muni d’un ordre total ≤). On appelle borne sup´rieure de A e e e le minimum de l’ensemble des majorants de A et borne inf´rieure de A le maximum de l’ensemble e des minorants de A. Avant d’´noncer le th´or`me d’existence de la borne sup´rieure dans R, montrons que la borne e e e e sup´rieure n’existe pas toujours. On se place dans Q muni de l’ordre naturel. e Proposition 1.2.1 Consid´rons la partie A = {x ∈ Q | x2 < 2}. Alors A n’a pas de borne e sup´rieure dans Q. e D´monstration. Soit M un majorant de A dans Q. Il y en a : 2, 12 en sont. Posons e 7 M2 + 2 M = . 2M Nous allons v´rifier que M est un autre majorant (dans Q) et que M < M , ce qui prouve qu’il e n’y a pas de plus petit majorant. Montrons que M est un majorant : il suffit de voir que M 2 > 2. On calcule (M 2 + 2)2 M 4 − 4M 2 + 4 (M 2 − 2)2 M 2−2= −2= = 4M 2 4M 2 4M 2
  • 10. 10 ´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES √ qui est bien strictement positif. En effet M 2 −2 = 0, car sinon 2 serait rationnel (voir proposition 1.1.1). V´rifions que M < M . On calcule e M2 + 2 M2 − 2 M −M =M − = 2M 2M qui est bien strictement positif puisque M est un majorant rationnel de A. On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donne M en fonction de M x2 + 2 y= 2x C’est une hyperbole √ centre l’origine, d’asymptote x = 0 et y = x/2 qui coupe la premi`re de √ e bissectrice au √ point ( 2, 2) o` on a une tangente horizontale. On voit alors imm´diatement sur u √ e le dessin que 2 < M < M si on a pris M > 2. M M √ 2 Remarque. 2 +2 Le choix de la fonction f qui d´finit M = f (M ) n’est pas essentiel. Ici on a choisi f (x) = x 2x , e mais n’importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆmes) satisfaisant aux trois √ √ √ o √ conditions (1) f ( 2) = 2, (2) f ( 2) = 0, (3) f croissante et f (x) ≤ x sur l’intervalle [ 2, +∞[ aurait pu servir dans la preuve pr´c´dente. Ceci sera expliqu´ en d´tail un peu plus tard (section e e e e 4.6). Th´or`me 1.2.3 Soit A une partie non vide de R. e e 1. Si A est major´e, alors A admet une borne sup´rieure, not´e sup A. e e e 2. Si A est minor´e, alors A admet une borne inf´rieure, not´e inf A. e e e Nous admettons ce th´or`me. e e Exemples. – On a sup[0, 1] = 1 et sup [0, 1[√ 1. = – On a sup{x ∈ Q | x2 < 2} = 2 mais comme partie de Q on vient de voir que cette partie n’a pas de borne sup´rieure. e
  • 11. ´ 1.3. DENSITE DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS 11 1.3 Densit´ des rationnels et irrationnels e D´finition 1.3.1 (densit´) Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si A rencontre e e tout intervalle ouvert ]a, b[ avec a < b. Th´or`me 1.3.1 L’ensemble Q est dense dans R. e e D´monstration. Soit a, b deux r´els tels que a < b. Il s’agit d’exhiber un rationnel p/q tel que e e a < p/q < b. En appliquant la propri´t´ d’Archim`de (th´or`me 1.2.2), on voit qu’il existe un entier q tel ee e e e que 1 <q b−a (on prend y = 1 et x = 1/(b − a)). On obtient qa + 1 < qb. (1) Soit p le plus petit entier relatif tel que p > qa. On a alors p − 1 ≤ qa < p, (2) donc p ≤ qa + 1 et qa < p ≤ qa + 1 < qb. En divisant par q on a le r´sultat d´sir´. e e e Th´or`me 1.3.2 L’ensemble des nombres irrationnels not´ R Q est dense dans R. e e e √ D´monstration. Soit i un nombre irrationnel, par exemple 2. e Soient a et b deux r´els tels que a < b. On applique le th´or`me pr´c´dent ` ]a − i, b − i[ : il e e e e e a existe un rationnel r tel que a − i < r < b − i. Alors a < i + r < b. Le nombre x = i + r est irrationnel, sinon i = x − r serait rationnel contrairement ` l’hypoth`se. Le th´or`me est donc a e e e d´montr´. e e Remarque. Il y a beaucoup plus de nombres r´els que de nombres rationnels. On peut montrer que les e ensembles Z et Q peuvent ˆtre mis en bijection avec N, c’est-`-dire que l’on peut num´roter avec e a e les entiers naturels les ´l´ments de Z et Q. On dit que Z et Q sont d´nombrables. Par contre R ee e n’est pas d´nombrable (th´or`me de Cantor) et pourtant Q est dense dans R. e e e 1.4 Nombres complexes Certains polynˆmes ` coefficients r´els, par exemple P (x) = x2 + 1, n’ont pas de racines r´elles. o a e e Le polynˆme P (x) = ax2 + bx + c avec a = 0 a deux racines o √ −b ± ∆ 2a si le discriminant ∆ = b2 −4ac est ≥ 0. Si ∆ < 0, il y a un probl`me. Grˆce aux nombres complexes e a on peut donner un sens math´matique aux racines carr´es de nombres n´gatifs. e e e D´finition 1.4.1 (nombre complexe) Un nombre complexe est un couple de nombres r´els e e (a, b).
  • 12. 12 ´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES On d´finit l’addition et la multiplication des nombres complexes par les formules e (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) On note i le nombre complexe (0, 1). La formule du produit donne i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). En identifiant le r´el a avec le nombre complexe (a, 0), l’´galit´ pr´c´dente s’´crit e e e e e e i2 = −1. √ Ainsi i apparait comme une racine carr´ de −1. C’est pourquoi on ´crit tr`s souvent i = −1. e e e On peut alors noter de mani`re plus agr´able (a, b) = a + ib et on v´rifie que la formule qui donne e e e le produit vient du d´veloppement de e (a + ib)(c + id) = ac + i(bc + ad) + i2 bd = ac − bd + i(ad + bc). Si z = a + ib, avec a et b r´els, a est appel´ la partie r´elle de z et b sa partie imaginaire. e e e Si z est un nombre complexe non nul, c’est-`-dire si a ou b est non nul, alors z a un inverse a multiplicatif : il existe z tel que zz = 1. On v´rifie aussi que z · z = z · z pour tout nombre complexe z et z . e D´finition 1.4.2 (conjugu´, module, argument) Soit z = a + ib un nombre complexe avec e e a, b r´els. e 1. Le conjugu´ de z est le nombre complexe z = a − ib. e √ √ 2. Le module de z est le nombre r´el positif a2 + b2 = zz. On note |z| le module de z. e 3. L’argument de z est le nombre r´el θ ∈ [0, 2π[ tel que e z = |z|(cos θ + i sin θ). On ´tablit sans peine les formules suivantes e – |z · z | = |z| · |z | – |z| = |z| 1 z – z = |z|2 pour z = 0 L’ensemble des nombres complexes sera not´ C. e Interpr´tation g´om´trique : plan complexe e e e On associe ` z = a + ib avec a, b r´els le point du plan de coordonn´es (a, b). a e e
  • 13. 1.5. EXERCICES 13 b = ρ sin θ z = a + ib ρ θ a = ρ cos θ D´finition 1.4.3 (exponentielle) L’exponentielle complexe est d´finie par e e z z2 zn ez = 1 + + + ··· + + ··· 1! 2! n! Il faut ´videmment donner un sens ` cette somme infinie. On a alors e a Th´or`me 1.4.1 (Formule de Moivre) Pour tout θ ∈ R, on a e e eiθ = cos θ + i sin θ. Th´or`me 1.4.2 Pour tout z, z ∈ C on a la formule e e ez+z = ez · ez . Cette formule jointe ` la formule de Moivre permet de retrouver beaucoup de formules de trigo- a nom´trie. e 1.5 Exercices Exercice 1.1. Trouver des entiers naturels a, b tels que a = 5, 1736363636... — ` partir de la b a troisi`me d´cimale le d´veloppement d´cimal est compos´ d’une suite infinie de nombres 36. e e e e e Exercice 1.2. Pour chacune des parties suivantes de R dire si elle est major´e, minor´e, born´e. e e e Si oui, donner sa borne sup´rieure et/ou inf´rieure : e e √ 1. {x ∈ R | 0 < x < 3} √ 2. {x ∈ R | 1/2 ≤ sin x < 3/2} 3. {x ∈ R | x3 > 3} 4. {x ∈ R | exp(x) < 1/2} √ 5. {x ∈ R | il existe p ∈ N∗ tel que x = 2/p}
  • 14. 14 ´ CHAPITRE 1. LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES Exercice 1.3. Pour tout nombre r´el x = −1/3, on pose e 2x + 1 g(x) = . 3x + 1 1. Tracer le graphe de la fonction x → g(x). 2. On pose g(N) = {g(0), g(1), g(2), . . .} Quel est le plus petit majorant de g(N) ? de l’ensemble g(Z) ? 3. Trouver le plus grand minorant de l’ensemble g(N). 4. L’ensemble g(Z) est-il born´ ? e Exercice 1.4. Mettre les nombres complexes suivants sous la forme a + ib, avec a, b r´els : e 1 3 + 2i 1 , , . 5 + 3i 3 − 2i (4 + 3i)(3 − 2i) Exercice 1.5. Calculer sous la forme a + ib, avec a, b r´els, les racines carr´es des nombres e e complexes suivants √ 1+i 1 + i 3, 5 + 12i, . 1−i Exercice 1.6. Calculer les racines quatri`mes de i. En d´duire cos( π ) et sin( π ). e e 8 8
  • 15. Chapitre 2 Logique et langage des ensembles Le but de ce chapitre est de pr´senter les quantificateurs ∀ et ∃ qui apparaˆ e ıtront dans ce cours (limite d’une suite, continuit´ d’une fonction) et de rappeler les d´finitions ´l´mentaires de la e e ee th´orie des ensembles. e 2.1 Propositions et op´rateurs logiques e D´finition 2.1.1 Une relation (ou proposition) est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse e (V ou F en abr´g´). e e Une relation porte sur des objets math´matiques comme des nombres, des fonctions, des figures e g´om´triques,etc. e e Voici quelques exemples de relations. On indique entre parenth`ses la valeur de v´rit´ (V = e e e vrai et F= faux). Exemples. – 5 + 7 = 11. (F) – L’aire d’un triangle est ´gale ` la moiti´ du produit de la base par la hauteur (V). √ e a e – 2 est un nombre rationnel (F) (voir proposition 1.1.1) Soient R et S deux relations. On peut en former d’autres : – la conjonction, not´e (R et S). e – la disjonction, not´e (R ou S). (le ou n’est pas exclusif) e – la n´gation, not´e (non R). e e D´finition 2.1.2 e – L’implication (R ⇒ S) est la relation (non R) ou S. – L’´quivalence (R ⇔ S) est la relation (R ⇒ S) et (S ⇒ R). e Ainsi la valeur de v´rit´ d’une relation comme par exemple R ⇒ S ou R ⇔ S sera fonction e e des valeurs de v´rit´ de R et S. La situation est d´crite dans la table suivante. e e e R S R et S R ou S non R (R ⇒ S) (R ⇔ S) V V V V F V V V F F V F F F F V F V V V F F F F F V V V 15
  • 16. 16 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES Proposition 2.1.1 On a les ´quivalences suivantes : e 1. non(non R) ⇔ R 2. non (R ou S) ⇔ (non R et (non S) 3. non(R et S) ⇔ (non R) ou (non S) 4. R et (S ou T ) ⇔ (R et S) ou (R et T ) 5. (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P ) D´monstration. Il suffit d’´crire la table des v´rit´s pour chacune des relations. Traitons le e e e e dernier cas. La relation (P ⇒ Q) est par d´finition la relation ((non P ) ou Q) qui ´quivaut ` (Q e e a ou (non P )) qui par d´finition est la relation (non Q ⇒ non P ). e Tr`s souvent une relation fait intervenir des param`tres ou variables et la valeur V ou F de la e e relation peut d´pendre de ces param`tres. Soit par exemple R(x) la relation “x2 − 2 ≥ 0” o` x e e √ √ u est un param`tre r´el. Alors R(x) est vraie pour x ∈ −∞, − 2 ou x ∈ e e 2, +∞ et R(x) est √ √ fausse pour x ∈ − 2, 2 . Il peut arriver que R fasse intervenir plusieurs variables (x, y, z, a1 , a2 , . . . ). 2.2 Quantificateurs Nous avons vu plusieurs proc´d´s logiques pour former de nouvelles relations. Dans la pratique, e e on a besoin d’un autre proc´d´ qui exprime l’assertion qu’´tant donn´es une relation R et une e e e e variable x qui intervient dans R il existe au moins un objet math´matique A pour lequel la relation e obtenue en rempla¸ant x par A est vraie, autrement dit A v´rifie R. On introduit pour cela le c e quantificateur existentiel, not´ par le symbole e ∃. La relation (∃x)R(x) se lit “il existe x qui v´rifie R”. e Exemples. (∃x)((x ∈ R) et (x4 + 1 = 0)) (F ) (∃x)((x ∈ C) et (x4 + 1 = 0)) (V ) ` A partir du symbole ∃ on introduit le quantificateur universel not´ e ∀. Si R est une relation et x une variable, on note (∀x)R(x) la relation non((∃x)(non R(x))) La relation (∀x)R(x) se lit “pour tout x on a R(x)”. Ainsi la n´gation de (∀x)R(x) est (∃x) (non e R(x)), c’est-`-dire on a l’´quivalence a e non((∀x)R(x)) ⇔ (∃x)(nonR(x)). De mˆme on a l’´quivalence e e non((∃x)R(x)) ⇔ (∀x)(nonR(x)).
  • 17. ´ 2.3. TECHNIQUES DE DEMONSTRATION 17 Exemple. La n´gation de “tous les hommes sont mortels” est “il existe un homme immortel”. e Il convient de prendre garde ` l’ordre des quantificateurs : en g´n´ral on ne peut pas les a e e ´changer. e Exemples. – ∀x, x ∈ R, ∃y, y ∈ R, x < y qui est vraie : ´tant donn´ un r´el x on peut toujours trouver un e e e autre r´el y qui est plus grand. e – ∃y, y ∈ R, ∀x, x ∈ R, x < y qui est fausse : l’´l´ment y serait plus grand que tous les r´els. ee e Il faut savoir qu’en math´matiques il y a beaucoup d’abus de langage. Sans eux, on ne pourrait e rien faire, mais le d´butant risque d’ˆtre perdu. Ainsi on ´crit presque toujours ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x < e e e y au lieu de ∀x(x ∈ R ⇒ (∃y(y ∈ R et x < y))) On se ram`ne syst´matiquement ` une ´criture plus correcte en rempla¸ant ∀x ∈ E . . . par e e a e c ∀x(x ∈ E ⇒ . . . ) et ∃x ∈ E . . . par ∃x(x ∈ E et . . . ). 2.3 Techniques de d´monstration e 2.3.1 R´currence e Cette technique repose sur le fait que toute partie non vide de N a un plus petit ´l´ment. Soit ee R(n) une propri´t´ d´pendant d’un entier n. On suppose que ee e 1. la relation R(0) est vraie, 2. la relation R(n) ⇒ R(n + 1) est vraie. On en d´duit alors que e R(n) est vraie pour tout n. En effet si A, l’ensemble des entiers n pour lesquels pour lesquels R(n) est fausse, n’est pas vide, il a un plus petit ´l´ment qu’on note p. Mais alors p − 1 n’est pas dans A donc R(p − 1) est ee vraie et par suite R(p − 1 + 1) = R(p) est vraie (` cause de l’hypoth`se (2)). a e Exemple. Soit R(n) la relation “2n + 1 est divisible par 3”. Il s’agit de montrer que R(n) est vraie pour tout entier n impair. Pour n = 1, on a 21 + 1 = 3. Supposons R(n) vraie avec n impair, c’est-`-dire a n n que l’on peut ´crire 2 + 1 = 3k avec k ∈ N. Alors 2 = 3k − 1. L’entier impair suivant est n + 2. e On a 2n+2 = 4.2n = 4(3k − 1) = 12k − 4 = 3(4k − 1) − 1, d’o` 2n+2 + 1 = 3(4k − 1). C’est R(n + 2). u La propri´t´ est donc d´montr´e. ee e e Le lecteur pr´cautionneux expliquera pourquoi dans cet exemple on consid`re R(1) et R(n + 2) e e au lieu de R(0) et R(n + 1). 2.3.2 Contrapos´e e C’est l’´quivalence d´j` vue : e ea (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P )
  • 18. 18 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES Exemple. Un entier est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-mˆme. On veut montrer que si 2n + 1 e est premier alors n est pair. Ici non Q est “n est impair”, on vient de voir qu’alors 2n + 1 est divisible par 3, donc n’est pas premier, c’est non P , c’est-`-dire P ⇒ Q o` P est la relation “2n + 1 a u est premier” et Q est la relation “n est pair”. 2.3.3 D´monstration par l’absurde e On veut montrer que R est vraie. Pour cela on suppose que R est fausse. D’autre part supposons que l’on d´duit ` partir de cette hypoth`se, c’est-`-dire (nonR) vraie, une propri´t´ S et que l’on e a e a ee sait que S est fausse. En termes formels cela veut dire que (nonR) ⇒ S vraie et S fausse. Ainsi la seule ligne de la table des v´rit´s e e R S R⇒S non R non R ⇒ S V V V F V V F F F V F V V V V F F V V F ayant ces valeurs de v´rit´s (c’est-`-dire S fausse et (nonR) ⇒ S vraie) est la deuxi`me. Donc e e a e R est vraie. En d’autres termes si on arrive ` d´duire un r´sultat faux S ` partir de la n´gation de R, alors a e e a e R est vraie. Exemple. √ On a montr´ par cette m´thode dans le premier chapitre que 2 n’est pas rationnel (proposition e e 1.1.1). Dans cet exemple on avait consid´r´ les deux relations √ ee – R : √ 2 est irrationnel. – S: 2 = a , avec a, b ∈ N et a ou b impair. b et montr´ que (nonR ⇒ S) est vraie et S est fausse. e 2.4 Langage des ensembles Un ensemble E est une collection d’objets (au sens na¨ appel´s ´l´ments. ıf) e ee Exemples. – N, Z, Q, R, C sont des ensembles. – Les fonctions continues de l’intervalle [0, 1] ` valeurs r´elles forment un ensemble. a e – Les parties d’un ensemble E forme un autre ensemble P (E), dont les ´l´ments peuvent ˆtre ee e vus aussi comme des ensembles d’´l´ments de E. ee Si x est un ´l´ment de E, on note x ∈ E, qu’on lit x appartient ` E. La n´gation est x ∈ E. ee a e / D´finition 2.4.1 (inclusion) Soient E et F deux ensembles. On dit que E est contenu dans F , e ou que F contient E, si tout ´l´ment de E appartient ` F . On note E ⊂ F . ee a
  • 19. 2.5. EXERCICES 19 2.5 Exercices Exercice 2.1. Pour tout entier n ≥ 1, on consid`re la somme de n termes e 1 1 1 1 Sn = + + + ··· + . 1·2 2·3 3·4 n · (n + 1) 1. Calculer S1 , S2 , S3 , S4 . 2. Proposer une formule en n pour Sn . 3. D´montrer cette formule par r´currence. e e Exercice 2.2. D´montrer par r´currence que : e e n(n+1) 1. pour tout n ∈ N∗ , 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2 ; n(n+1)(2n+1) 2. pour tout n ∈ N∗ , 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = 6 . √ Exercice 2.3. Soient E l’ensemble des r´els x qui s’´crivent sous la forme x = p + q 2 avec p et √ e e q des entiers relatifs et u = 2 − 1. 1. Est-ce que Z ⊂ E ? 2. Montrer que pour tout entier n ∈ Z et pour tout v ∈ E on a nv ∈ E. 3. Montrer par r´currence que l’on a un ∈ E pour tout n ∈ N. e √ 4. D´terminer l’intersection E ∩ Q. (on se souviendra que 2 n’est pas rationnel) e Exercice 2.4. Pour quelles valeurs du nombre r´el x la proposition e (2x2 + 5x − 12 < 0 ou x2 + 3x + 2 > 0) est-elle vraie ? Exercice 2.5. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifiez votre r´ponse en e faisant une d´monstration. e 1. ∀x ∈ R, (x = |x| ou x = −|x|). 2. (∀x ∈ R, x = |x|) ou (∀x ∈ R, x = −|x|). 3. ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z, y − x + x2 < 0. 4. ∃y ∈ Z, ∀x ∈ Z, y − x + x2 < 0. 5. ∃y ∈ Z, ∀x ∈ Z, y − x + x2 > 0.
  • 20. 20 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLES
  • 21. Chapitre 3 Suites r´elles et complexes e 3.1 Limite d’une suite r´elle e D´finition 3.1.1 Un suite r´elle est une famille ` valeurs dans R index´e par les entiers naturels. e e a e On note (un )n∈N ou tout simplement (un ). Parfois on prend comme ensemble d’indices les entiers naturels non nuls N∗ . Exemples. 1 1. un = sin n, un = n pour n ≥ 1, un = en . 2. Suites r´currentes. e (a) La suite de Fibonacci est d´finie par u0 = u1 = 1 et e un+1 = un + un−1 . √ 1+ 5 Elle est li´e au nombre d’or Φ = e 2 et apparaˆ dans le best seller actuel “Da Vinci ıt code”. (b) Plus g´n´ralement on a les suites r´currentes lin´aires d’ordre 2 d´finies par la formule e e e e e un+1 = aun + bun−1 avec u0 et u1 donn´s. e (c) Suites arithm´tiques un+1 = un + a avec a ∈ R fix´. Une r´currence facile montre que e e e pour tout n on a un = na + u0 . (d) Suites g´om´triques un+1 = aun avec a ∈ R fix´. On montre par r´currence que pour e e e e n tout n on a un = a u0 . x2 +2 3. Plus g´n´ralement un+1 = f (un ) o` f est une fonction, par exemple f (x) = e e u 2x comme dans la preuve de la proposition 1.2.1 4. Plus “bizarre”. (a) un = n-i`me d´cimale de π. e e (b) un = 0 si n premier et un = 1 sinon. D´finition 3.1.2 Soit (un ) une suite r´el. On dit que (un ) est e e – major´e s’il existe un r´el K tel que pour tout entier n ∈ N on a un ≤ K. e e – minor´e s’il existe un r´el k tel que pour tout n on a k ≤ un . e e – born´e si elle est major´e et minor´e. e e e 21
  • 22. 22 ´ CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES – croissante si pour tout n on a un+1 ≥ un . – strictement croissante si pour tout n on a un+1 > un . – monotone si elle est croissante ou d´croissante. e – p´riodique s’il existe un entier p ∈ N∗ tel que pour tout n on a un+p = un . L’entier p est la e p´riode de la suite. e On d´finit de mˆme une suite d´croissante, strictement d´croissante. e e e e Il arrive qu’une propri´t´ ne soit pas vraie pour tous les premiers termes d’une suite mais ee seulement a partir d’un certain rang. Par exemple, (un ) est croissante ` partir d’un certain rang ` a s’il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N on a un+1 ≥ un . Exemples. 1. un = sin n est major´e. e 1 2. un = n pour n ≥ 1 est strictement d´croissante et born´e. e e n 3. un = e est croissante, minor´e mais pas major´e. e e 4. On suppose que u0 > 0 et a > 0, la suite g´om´trique un = an u0 est croissante non major´e e e e si a > 1, d´croissante et born´e si a < 1, constante si a = 1. e e 5. La suite un = sin( 2πn ) est p´riodique de p´riode 17. 17 e e Proposition 3.1.1 La suite (un ) est born´e si et seulement si la suite (|un |) est major´e. e e D´monstration. Supposons la suite (un ) born´e, elle est donc major´e. Par d´finition il existe e e e e K > 0 tel que pour tout n on a un ≤ K. Elle est aussi minor´e, donc il existe L < 0 tel que pour e tout n on a L ≤ un . Soit M = max(K, −L). Alors pour tout n, on a −M ≤ L ≤ un ≤ K ≤ M , ce qui est ´quivalent ` |un | ≤ M . e a R´ciproquement supposons que la suite (|un |) est major´e. On a un r´el M tel que pour tout e e e n on a |un | ≤ M qui est ´quivalent ` −M ≤ un ≤ M . Alors M est un majorant et −M est un e a minorant de la suite (un ). D´finition 3.1.3 (limite d’une suite) On dit qu’une suite (un ) admet le r´el e e pour limite ou que (un ) converge vers si ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N on a |un − | < ε. On dit qu’une suite (un ) tend vers +∞ si ∀K ∈ R ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N on a un ≥ K. On dit qu’une suite (un ) diverge si elle ne converge pas, c’est-`-dire si elle n’admet pas de a limite dans R. On note suivant les cas lim un = ou lim un = +∞. n→+∞ n→+∞ Remarques. 1. En particulier une suite qui tend vers +∞ diverge. 2. On d´finit de mˆme lim un = −∞. e e n→+∞
  • 23. ´ ´ 3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE 23 Exemples. 1. La suite constante un = a pour a ∈ R fix´ converge vers a. Choisissons un ε > 0. Il faut e trouver un entier N tel que si n ≥ N alors |un − a| < ε. Comme |un − a| = 0 cette in´galit´ e e est toujours vraie et il suffit de prendre N = 0. 2. La suite d´finie par un = n tend vers +∞. Il faut montrer que pour tout K ∈ R il existe un e entier N tel que pour tout n tel que n ≥ N on a un ≥ K. Il suffit de prendre pour N le plus petit entier ≥ K. 3.2 Propri´t´s de la limite e e Th´or`me 3.2.1 Si une suite (un ) de r´els admet une limite e e e ∈ R alors cette limite est unique. D´monstration. Par l’absurde. Supposons qu’il y a deux limites et avec < . Prenons e − ε = 2 > 0. Comme est limite de la suite (un ) il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N on a |un − | < ε, de mˆme comme est limite on a un entier N tel que pour tout n ≥ N on a e |un − | < ε. Alors si n ≥ max(N, N ) on peut ´crire en utilisant l’in´galit´ triangulaire pour la e e e valeur absolue : − = | − | ≤ | − un | + |un − | < ε + ε = − , ce qui est absurde. Proposition 3.2.1 Si une suite (un ) de r´els converge, alors elle est born´e. e e D´monstration. Commen¸ons par le cas particulier o` limn→+∞ un = 0. Par d´finition on a e c u e ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N |un − 0| < ε. En particulier pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on a |un | ≤ 1. Soit K = max{|u0 |, |u1 |, . . . , |uN −1 |, 1}, on a alors |un | ≤ K pour tout n, donc (un ) est born´e. e Dans le cas g´n´ral, on pose vn = un − si est la limite de (un ). Alors (vn ) a pour limite 0, e e donc d’apr`s le cas particulier la suite (vn ) est born´e : il existe M et m tels que m ≤ un ≤ M e e pour tout n. Alors m + ≤ un ≤ M + , ce qui prouve que la suite (un ) est born´e. e Remarque. La r´ciproque est fausse. La suite d´finie par un = (−1)n est born´e et diverge (pour une e e e preuve de la divergence voir la remarque suivant la proposition 3.2.9). Proposition 3.2.2 Si (un ) est une suite born´e et si (vn ) est une suite qui converge vers 0, alors e la suite (un vn ) converge vers 0. D´monstration. Comme (un ) est born´e, la suite (|un |) est major´e (proposition 3.1.1). Donc e e e il existe un r´el K tel que |un | ≤ K pour tout n ∈ N. e Fixons ε > 0. Comme (vn ) converge vers 0, il existe N ∈ N tel que |vn | < ε/K pour tout ε n ≥ N . Alors |un vn | = |un |.|vn | < K. K = ε. Proposition 3.2.3 (suite “somme”) Soient (un ) et (vn ) deux suites admettant comme limites respectives les r´els et . Alors la suite “somme” (wn ), d´finie par e e wn = un + vn , tend vers + .
  • 24. 24 ´ CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES ε D´monstration. Fixons ε > 0. On ´crit la convergence de (un ) avec 2 : il existe un N tel que e e ε si n ≥ N alors |un − | < 2 . De mˆme la convergence de (vn ) donne un M tel que si n ≥ M alors e ε |vn − | < 2 . ε ε On en d´duit que pour n ≥ K = max(M, N ) on a |un − | < 2 et |vn − | < 2 . e En utilisant l’in´galit´ triangulaire, on obtient e e ε ε |wn − ( + )| = |un + vn − ( + )| ≤ |un − | + |vn − | < + = ε. 2 2 Ceci prouve que (wn ) tend vers l + l . Remarque. Si lim un = +∞ et lim = ∈ R alors lim (un + vn ) = +∞. n→+∞ n→+∞ n→+∞ Par contre si lim un = +∞ et lim vn = −∞, on a une forme ind´termin´e qui n´cessite e e e n→+∞ n→+∞ une ´tude plus approfondie pour conclure. e Proposition 3.2.4 (suite “produit”) Soient (un ) et (vn ) deux suites r´elles admettant les nombres e r´els et comme limites. Alors la suite “produit” (wn ) d´finie par e e wn = un vn tend vers · . D´monstration. Montrons que la suite ( vn ) tend vers . En effet, la suite constante est e born´e et la suite (vn − ) tend vers 0. D’apr`s la proposition 3.2.2 la suite (vn − ) converge e e vers 0. Donc la suite ( vn ) tend vers . De mˆme, la suite (un ) tend vers , donc la suite (un − ) tend vers 0. La suite (vn ) est e convergente donc born´e, donc la suite vn (un − ) converge vers 0, ` nouveau ` cause de la e a a proposition 3.2.2. En ´crivant un vn = (un vn − vn ) + vn = vn (un − ) + vn , on voit que la suite e (un vn ) tend vers . Proposition 3.2.5 (suite des inverses) Soit (un ) une suite de r´els strictement positifs. Si (un ) e tend vers > 0, alors 1 1 lim = . n→+∞ un D´monstration. Comme (un ) a pour limite qui est strictement positif, il existe un entier N e tel que si n ≥ N alors |un − | < 2 . On a donc un > − 2 = 2 . On en d´duit que u1n < 2 pour e n ≤ N , donc (un ) est major´e, donc born´e puisqu’elle est minor´e par 0. e e e Ainsi la suite ( u1n (un − )) est le produit d’une suite born´e par une suite qui tend vers 0, c’est e donc une suite qui tend vers 0 (proposition 3.2.2). Comme u1n (un − ) = 1 − un , on en d´duit que la suite un tend vers 1. Comme u1n = ( 1 )( un ), e d’apr`s la limite d’un produit on a que la suite ( u1n ) tend vers 1 . e Proposition 3.2.6 Soit (un ) une suite de r´els strictement positifs. e 1 a) Si un tend vers +∞, alors un tend vers 0. 1 b) Si un tend vers 0, alors un tend vers +∞. D´monstration. a) Fixons ε > 0. Comme limn→∞ un = +∞, il existe un entier N tel que si e n ≥ N alors un > 1 . Donc 0 < u1n < ε ce qui prouve que u1n tend vers 0. ε b) Fixons K ∈ R. Comme limn→+∞ un = 0 et un > 0 pour tout n, on sait qu’il existe un entier 1 N tel que si n ≥ N alors 0 < un < K . Donc un > K, ce qui prouve que un tend vers +∞.
  • 25. ´ ´ 3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE 25 Remarque. (−1)n La condition un > 0 est essentielle. Par exemple, si un = n , la suite (un ) tend vers 0 mais la suite ( u1n ) n’a pas de limite. Proposition 3.2.7 (passage ` la limite des in´galit´s) a e e Soient (un ) et (vn ) deux suites de r´els qui convergent respectivement vers e et . On suppose que un ≤ v n a ` partir d’un certain rang. Alors ≤ . D´monstration. Par l’absurde. Supposons que > . Fixons un r´el ε > 0 v´rifiant l’in´galit´ e e e e e ε< − . 2 La convergence de (un ) vers dit qu’il existe un entier N tel que si n ≥ N alors |un − | < ε. (1) La convergence de (vn ) vers dit qu’il existe un entier N tel que si n ≥ N alors |vn − | < ε. (2) Enfin il existe M tel que si n ≥ M alors un ≤ v n . (3) Donc pour n ≥ max(N, N , M ) les trois in´galit´s sont vraies. On en d´duit que e e e vn < + ε < − ε < un . − Remarquons que la deuxi`me in´galit´ est ´quivalente ` ε < e e e e a 2 . Ceci donne une contradiction avec (3). Remarque. La proposition n’est plus vraie si on remplace les in´galit´s larges par des in´galit´s strictes. e e e e 1 Prenons par exemple un = 0 et vn = n . Alors pour tout n ≥ 1 on a un < vn , mais les deux suites ont la mˆme limite 0. e Proposition 3.2.8 (th´or`me des gendarmes) e e a) Soient (un ) et (vn ) deux suites ayant la mˆme limite ∈ R. Soit (xn ) une suite telle qu’` partir e a d’un certain rang on ait les in´galit´s e e un ≤ xn ≤ vn . Alors la suite (xn ) converge vers . b) Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que limn→+∞ un = +∞ et vn ≥ un ` partir d’un certain a rang. Alors (vn ) tend vers +∞. c) Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que limn→+∞ un = −∞ et vn ≤ un ` partir d’un certain a rang. Alors (vn ) tend vers −∞.
  • 26. 26 ´ CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES D´monstration. a) Fixons ε > 0. La convergence de (un ) vers e dit qu’il existe un N tel que si n ≥ N alors |un − | < ε, c’est-`-dire a − ε < un < + ε. La convergence de (vn ) vers dit qu’il existe un N tel que si n ≥ N alors |vn − | < ε, c’est-`-dire a − ε < vn < + ε. Il existe aussi M tel que si n ≥ M alors un ≤ xn ≤ vn . Donc si n ≥ max(N, N , M ) on a − ε < un ≤ xn ≤ vn < + ε. On d´duit que |xn − | < ε, ce qui prouve que la suite (xn ) tend vers . e b) Par d´finition limn→+∞ un = +∞ signifie que pour un r´el K donn´ il existe un entier N e e e tel que si n ≥ N alors un ≥ K. D’autre part on sait qu’il existe un entier M tel que si n ≥ M alors un ≤ vn . Donc si n ≥ max(M, N ) on a vn ≥ un ≥ K, ce qui prouve que vn tend vers +∞. c) On fait de mˆme. e D´finition 3.2.1 (sous-suite) Soit (un ) une suite. On dit que la suite (vn ) est une sous-suite e ou une suite extraite de (un ) s’il existe une application strictement croissante ϕ : N → N telle que pour tout n on a vn = uϕ(n) . Exemples. 1. Prenons la suite d´finie par un = (−1)n . L’application ϕ : n → 2n donne la sous-suite e vn = u2n = (−1)2n = 1. Cette sous-suite est une suite constante. De mˆme ϕ : n → 2n + 1 e 2n+1 donne la sous-suite vn = u2n+1 = (−1) = −1. Cette sous-suite est aussi une suite constante. 2. Soit (un ) la suite d´finie par un = sin( 2πn ). Elle est p´riodique de p´riode 17. L’application e 17 e e ϕ : n → 17n donne la sous-suite vn = u17n = sin(2πn) = 0. L’application ϕ : n → 17n + 1 donne vn = u17n+1 = sin( 2π ) = 0. 17 Proposition 3.2.9 Soit (un ) une suite. Alors (un ) tend vers si et seulement si toute sous-suite de (un ) tend vers . D´monstration. ⇐ C’est ´vident puisque la sous-suite (vn ) obtenue en prenant pour ϕ l’identit´ e e e de N est la suite (un ) elle-mˆme. e ⇒ Soit (vn ) la sous-suite associ´e ` l’application ϕ : N → N. Montrons d’abord que pour tout e a n on a l’in´galit´ e e ϕ(n) ≥ n. On proc`de par r´currence. On a ϕ(0) ≥ 0 puisque ϕ(0) ∈ N. Supposons que ϕ(n) ≥ n. On a e e ϕ(n + 1) > ϕ(n) puisque ϕ est strictement croissante. Donc ϕ(n + 1) > n, soit ϕ(n + 1) ≥ n + 1 puisque ϕ(n + 1) est un entier. Fixons ε > 0. Comme la suite (un ) tend vers , il existe un entier N tel que si n ≥ N alors |un − | < ε. Comme ϕ(n) ≥ n, on a |uϕ(n) − | < ε pour n ≥ N , ce qui prouve que (vn ) tend vers . Remarque.
  • 27. ´ ´ 3.2. PROPRIETES DE LA LIMITE 27 On utilise cette proposition pour montrer qu’une suite diverge : si l’on trouve deux sous-suites de (un ) qui tendent vers deux limites distinctes alors (un ) diverge. Exemples. Si un = (−1)n , on a trouv´ deux sous-suites constantes ´gales ` 1 et −1. Donc (un ) diverge. e e a La suite d´finie par un = sin( 2πn ) diverge car on a trouv´ deux sous-suites (constantes) ayant e 17 e pour limite 0 et sin( 2π ). 17 Proposition 3.2.10 Une suite r´elle qui est croissante et major´e converge vers e e = sup{un |n ∈ N}. D´monstration. La partie A de R form´e des un pour n ∈ N est non vide et major´e. On a e e e admis au chapitre 1 qu’une telle partie a une borne sup´rieure (th´or`me 1.2.3). Soit cette borne e e e sup´rieure, c’est un majorant de A et c’est le plus petit des majorants de A. e Puisque est un majorant on a un ≤ pour tout n. Soit ε > 0. Comme est le plus petit majorant le nombre − ε n’est pas un majorant de A, donc il existe un ´l´ment uN de A tel que − ε < uN . Comme (un ) est croissante, on a un ≥ uN ee pour n ≥ N . On a donc pour n ≥ N : − ε < uN ≤ un ≤ < + ε. On a donc |un − | < ε et limn→+∞ un = . De mˆme on a e Proposition 3.2.11 Une suite de r´els qui est d´croissante et minor´e converge vers = inf{un |n ∈ e e e N}. Proposition 3.2.12 Une suite (un ) de r´els qui est croissante et non major´e tend vers +∞. e e D´monstration. L’assertion “(un ) est major´e” s’´crit e e e ∃K ∈ R ∀n ∈ N un ≤ K en fran¸ais : il existe un majorant K de la suite (un ) c La n´gation de cette assertion est e ∀K ∈ R ∃n ∈ N un > K en fran¸ais : quel que soit K le nombre K n’est pas un majorant de la suite (un ). Changeons de c notations en ´changeant les rˆles de n et N : e o ∀K ∈ R ∃N ∈ N uN > K Comme (un ) est croissante on a alors un ≥ uN > K pour tout n ≥ N , c’est la d´finition de e limn→+∞ un = +∞. De mˆme on a e Proposition 3.2.13 Une suite (un ) de r´els qui est d´croissante et non minor´e tend vers −∞. e e e
  • 28. 28 ´ CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES 3.3 Suites adjacentes Proposition 3.3.1 Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que 1. (un ) est croissante, 2. (vn ) est d´croissante, e 3. la suite (vn − un ) tend vers 0. Alors les deux suites (un ) et (vn ) ont la mˆme limite. e Dans ce cas on dit que les deux suites sont adjacentes. D´monstration. Pour tout n on a e un ≤ un+1 et vn ≥ vn+1 d’o` u −un ≥ −un+1 et vn ≥ vn+1 ce qui donne par addition vn − un ≥ vn+1 − un+1 . La suite (vn − un ) est donc d´croissante. Comme elle tend vers 0, on en d´duit que vn − un ≥ 0 e e pour tout n, c’est-`-dire vn ≥ un . a On a alors un ≤ vn ≤ v0 puisque (vn ) est d´croissante. La suite (un ) est donc major´e et est e e croissante donc elle converge vers une limite . De mˆme la suite (vn ) est minor´e par u0 et est d´croissante, donc elle converge vers une limite e e e . La suite (vn − un ) tend vers − qui est nul ` cause de l’hypoth`se (3). Donc on a bien a e = . Exemple.(suites arithm´tico-g´om´triques) e e e Soient u0 et v0 deux r´els avec v0 > u0 > 0. On d´finit les deux suites (un ) et (vn ) par les e e formules √ un+1 = un vn un + v n vn+1 = 2 On v´rifie que ces deux suites sont adjacentes. Pour ´tablir la condition (3) on peut montrer que e e vn − un vn+1 − un+1 ≤ 2 Th´or`me 3.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Soit (un ) une suite born´e, alors il existe une sous- e e e suite de (un ) convergente. D´monstration. Soit [a, b] avec a < b un intervalle qui contient les termes de la suite (un ). On e proc`de par dichotomie, c’est-`-dire que l’on va couper l’intervalle [a, b] en deux en gardant une e a moiti´ qui contient une infinit´ de valeurs de (un ). Si les deux moiti´s conviennent, on dit qu’on e e e garde celle de gauche. Posons a0 = a et b0 = b. Soient [a1 , b1 ] la moiti´ de [a, b] que l’on garde, On a a0 ≤ a1 et e b1 ≤ b0 . On a aussi b1 − a1 = b0 −a0 . 2 On it`re le proc´d´ ce qui donne deux suites (ak ) et (bk ) telles que ak ≤ ak+1 et bk+1 ≤ bk . On e e e a aussi b k − ak bk+1 − ak+1 = 2
  • 29. 3.4. COMPARAISON DE SUITES 29 et l’intervalle [ak , bk ] contient une infinit´ de termes de la suite (un ). e Les deux suites (ak ) et (bk ) sont donc adjacentes. Donc elle convergent vers la mˆme limite e (proposition 3.3.1). On construit alors une sous-suite (vn ) de (un ). On prend pour v0 = u0 . On choisit pour v1 un des (un ) qui est dans [a1 , b1 ]. On suppose que l’on a choisi vk o` vk = uϕ(k) . On choisit alors pour u vk+1 un des termes de (un ) qui est dans [ak+1 , bk+1 ] de sorte que ϕ(k + 1) > ϕ(k), cette condition n’enl`ve qu’un nombre fini de possibilit´s, comme il y en a une infinit´ par construction ce n’est e e e pas gˆnant. e On a alors an ≤ vn ≤ bn et par le th´or`me des gendarmes la suite (vn ) tend aussi vers . e e Deuxi`me d´monstration (plus courte). On consid`re le sous-ensemble de N d´fini par e e e e A = {n ∈ N | ∀k ≥ n uk ≥ un }. On distingue deux cas. Premier cas : A est un ensemble infini. Alors la suite extraite (un )n∈A est croissante et major´e, e donc converge d’apr`s la proposition 3.2.10. e Deuxi`me cas : A est un ensemble fini. Alors il existe M ∈ N tel que si n ≥ M alors n ∈ A, ce e / qui est ´quivalent ` ∀n ≥ M il existe un entier k ≥ n tel que uk < un . Ceci permet d’extraire une e a sous-suite strictement d´croissante de (un ). Comme elle est minor´e, elle converge (proposition e e 3.2.11). Remarques. 1. On a d´j` vu des sous-suites convergentes dans le cas o` un = (−1)n ou un = sin( 2πn ). ea u 17 2. Si on prend un = sin n, il y a beaucoup de sous-suites convergentes : on peut montrer que pour tout ∈ [−1, 1] il existe une sous-suite de (un ) qui converge vers . C’est plus difficile que dans les deux exemples pr´c´dents. e e 3.4 Comparaison de suites D´finition 3.4.1 (´quivalent, n´gligeable, domin´) e e e e Soient (un ) et (vn ) deux suites. On suppose qu’` partir d’un certain rang N on a vn = 0. a 1. On dit que (un ) est ´quivalent ` (vn ) si la suite ( un ) tend vers 1. e a v n 2. On dit que (un ) est n´gligeable devant (vn ) si la suite ( un ) tend vers 0. e v n 3. On dit que (un ) est domin´e par (vn ) si la suite ( un ) est born´e. e v n e D´finition 3.4.2 (Notation de Landau) e 1. Si (un ) est ´quivalent ` (vn ) on note un ∼ vn . e a 2. Si (un ) est n´gligeable devant (vn ) on note un = o(vn ) (petit o). e 3. Si (un ) est domin´e par (vn ) on note un = O(vn ) (grand O). e Proposition 3.4.1 Si la suite (un ) est ´quivalente ` la suite (vn ), la suite (vn ) est ´quivalente ` e a e a (un ). 1 ` D´monstration. Prenons ε = 2 . A partir d’un certain rang on a 1 − ε = 1 ≤ un ≤ 1 + ε = 3 . e 2 v n 2 v On en d´duit qu’` partir d’un certain rang un = 0. On sait qu’alors la suite ( un ) a pour limite e a n l’inverse de la limite de la suite ( un ) (proposition 3.2.5). Elle tend donc vers 1. v n
  • 30. 30 ´ CHAPITRE 3. SUITES REELLES ET COMPLEXES Remarque. Les trois propri´t´s “n´gligeable, ´quivalente, domin´e” sont des propri´t´s ` l’infini des suites : ee e e e ee a la valeur de l’entier N n’a pas d’importance. Proposition 3.4.2 Soient (an ) une suite non nulle ` partir d’un certain rang et (un ) et (vn ) deux a suites ´quivalentes. Alors e 1. la suite (an un ) est ´quivalente ` la suite (an vn ). e a 2. si (un ) et (vn ) sont non nulles ` partir d’un certain rang les suites ( un ) et ( an ) sont a a n v n ´quivalentes. e u n an un D´monstration. 1. On sait que limn→+∞ un = 1. Comme e v n = , on obtient v n an vn u n an lim = 1. n→+∞ vn an 2. On a les ´galit´s e e an v n vn 1 1 lim = lim = lim un = un = 1, n→+∞ un an n→+∞ un n→+∞ ( ) limn→+∞ vn vn ce qui prouve l’affirmation. Remarque. Les ´quivalents ne s’ajoutent pas ! e Exemple. Prenons an = −n, un = n et vn = n + 1. Les deux suites (un ) et (vn ) sont ´quivalentes, car la suite e un n 1 = =1− vn n+1 n+1 tend vers 1. Mais an + un = 0 et an + vn = 1, donc an + u n lim = 0. n→+∞ an + vn Proposition 3.4.3 Soit (un ) une suite et λ ∈ [0, 1[. Si ` partir d’un certain rang N on a a |un+1 | ≤ λ|un | ∀n ≥ N (∗) alors (un ) tend vers 0. D´monstration. En it´rant k fois l’in´galit´ (∗) on obtient e e e e |uN +k | ≤ λ|uN +k−1 | ≤ λ2 |uN +k−2 | ≤ · · · ≤ λk |uN | Donc par la proposition 3.2.7 lim |uN +k | ≤ lim (λk |uN |) = ( lim λk )|uN | = 0. k→+∞ k→+∞ k→+∞ Comme |uN +k | ≥ 0, on en d´duit que limk→+∞ |uN +k | = 0 , donc e limk→+∞ uN +k = 0 et limn→+∞ un = 0.
  • 31. 3.4. COMPARAISON DE SUITES 31 Proposition 3.4.4 Soient (un ) et (vn ) deux suites strictement positives. Soit λ ∈ [0, 1[. On sup- pose qu’` partir d’un certain rang N on a a un+1 vn+1 ≤λ ∀n ≥ N (∗) un vn Alors (un ) est n´gligeable devant (vn ). e un D´monstration. En multipliant (∗) par e vn+1 qui est > 0, on obtient un+1 un ≤λ . vn+1 vn La suite ( un ) v´rifie les conditions de la proposition 3.4.3 donc ( un ) tend vers 0, ce qui veut v n e v n dire que un = o(vn ). Proposition 3.4.5 On consid`re les suites e 1. pour n ≥ 2, soit un = (ln n)β avec β > 0, 2. pour n ≥ 1, soit vn = nα avec α > 0, 3. pour n ≥ 0, soit wn = an avec a > 1, 4. pour n ≥ 0, on pose zn = n! Alors un = o(vn ), vn = o(wn ) et wn = o(zn ). D´monstration. 1. Montrons d’abord que vn = o(wn ). Pour cela montrons qu’il existe λ ∈ [0, 1[ e tel que vn+1 wn+1 ≤λ vn wn et utilisons la proposition 3.4.4. Un calcul simple montre que α vn+1 1 wn+1 = 1+ et = a > 1. vn n wn vn+1 Comme limn→+∞ vn = 1, il existe N tel que si n ≥ N on a vn+1 1+a < vn 2 car la suite ( vn+1 ) est d´croissante et vn e 1+a 1< < a. 2 1+a Prenons λ = 2a . Alors 0 < λ < 1 et pour n ≥ N on a vn+1 1+a 1+a wn+1 < = a = λa = λ . vn 2 2a wn On voit que les condition de la proposition 3.4.4 sont satisfaites et donc on conclut que vn = o(wn ). 2. Montrons que un = o(vn ). Il suffit de prouver (ln n)β lim = 0. n→+∞ nα