1. Loi d’Ohm et Loi de Joule
I- Loi d’Ohm locale
Soit un conducteur parcouru par un courant électrique d’intensité I, dq est une quantité de
charges élémentaires entourant un point M du conducteur et ρ est la densité des charges
r r
libres. On appelle E le champ à l’intérieur de ce conducteur. Notons que E est indépendant
du temps et de la position à l’intérieur du conducteur.
r r r
Avec : E = E m + ES
r
E m est le champ électromoteur. Il est créé par le générateur du courant électrique.
r
E S est le champ statique. Il est créé par les charges du conducteur autre que dq.
uu
r
La charge élémentaire dq = ρdτ est soumise alors à une force dF 1 tel que :
uu
r r r r
1 =
dFρ dτ E =
ρ dτ (E Em + S )
Cette charge est freinée par les chocs successifs sur les atomes constituant le réseau du
uu
r r
matériau. Ceci est matérialisé par une force de frottement de la forme : dFα ρ v−dτ
2 =
r
où α est une caractéristique du matériau et v la vitesse acquise par les charges mobiles.
L’équation du mouvement est donnée par le principe fondamental de la dynamique appliqué à
la charge dq.
uu
r uu
r r
dF1 + dF2 = mγ
Si δ désigne la masse spécifique de dq alors :
uu
r
r r dv
ρ dτ E − α ρ v dτ = δ dτ
dt
r
r Eαρt u
r
d’où v = + C exp( − )
α δ
u
r
Pour calculer la constante vectorielle C , on utilise les conditions aux limites :
r
r r u
r E
A t=0 : v = 0 ⇒ C =−
α
r
r Eαρt
d’où : v = (1 − exp( − ))
α δ

2. r
r E t
La vitesse des porteurs mobiles peut aussi s’écrire : v = (1 − exp( − ))
α τ
δ
Avec τ = : une constante de temps (à ne pas confondre avec le volume τ ). Pour les
αρ
métaux, τ est un temps très petit. En effet, dans le cas du cuivre par exemple τ est de l’ordre
de 10−14 s.
r
En conséquence, lorsque le temps dépasse quelques secondes la vitesse v des porteurs libres
r
E
se rapproche de la valeur de . Le régime permanant est rapidement atteint.
α
r r 1
La vitesse des porteurs mobiles (électrons) s’écrit : vμ =
E avec : μ=
α
u
r r r r
=
Sachant que j ρv =
et v μE , la densité du courant électrique s’écrit sous la forme :
u
r r
=
j γE appelée loi d’Ohm locale
ρ
où γ = = ρ μ est la conductivité caractéristique du matériau.
α
Notons que l’inverse de la conductivité du matériau est appelé résistivité du matériau. La
résistivité du matériau est symbolisée par la lettre ρ (à ne pas confondre avec la densité de
1
charge volumique ρ) : ρ =
γ
Dans le système international d’unités (SI), ρ s’exprime en Ωm et γ en Siemens/m.
Lorsque le conducteur est homogène et isotrope alors γ est constante et les lignes de courant
se confondent avec les lignes de champ électrique.
II- Facteurs influençant la résistivité
La résistivité d’un matériau dépend de plusieurs facteurs :
1) La nature du matériau
Conducteur Cu ρ = 1,7 10−8 Ωm
Semi conducteur Si ρ = 104 Ωm
Isolant plastique ρ > 105 Ωm
2) Température
Pour les métaux ρ = ρo (1 + aT), T est la température du matériau en °C et a est une constante
caractéristique du matériau. Aux basses températures ρ = kT5, T est la température en °K.
Pour les semi conducteurs ρ = a eb/T, T est la température en °C, a et b sont des constantes
caractéristiques du matériau.

3. 1) Remarques
i/ Certains alliages ont la propriété de voir leur résistivité augmenter lorsque le champ
magnétique appliqué augmente, c’est la magnétorésistance.
ii/ Les photorésistances présentent une résistivité décroissante sous l’effet d’un éclairement.
Exemple de matériau photorésistant le CdS (sulfure de cadmium): la résistance varie de 0,1 Ω
à 100 kΩ entre la lumière solaire et l’obscurité.
III- Résistance d’un conducteur homogène
1) Expression intégrée de la loi d’Ohm
Considérons un conducteur dans lequel circule
un courant électrique I, comme illustre la figure B
ci-contre. Dans le conducteur, une ligne de
r r
courant est aussi une ligne de champ : j = γE .
VB
La d.d.p. entre les bouts du conducteur est
r uu
r
∫
j
égale : VA − VB = E dl A
AB S
u uu
r r r uu
r
et I= ∫
S
=
j dSγ ∫
E dS
S
VA
Entre la tension et l’intensité du courant, on peut
établir la relation suivante :
r uu
r
VA − VB 1
∫ E dl
= AB
r uu
r
Iγ
∫
S
E dS
r uur
La quantité 1
∫ E dl
AB
r uu = R est définie comme la résistance caractéristique de la
r
γ
∫
S
E dS
portion AB du conducteur. L’unité de la résistance dans le système international est l’ohm
(symbole : Ω).
VA − VB = R I est la loi d’Ohm généralisée. C’est une expression intégrale de la loi d’Ohm
u
r r
locale j γ=E pour un conducteur homogène.
La loi d’Ohm peut également s’écrire sous la forme : I = G (VA − VB )
1
où G = est la conductance de la portion AB du conducteur étudié.
R

4. N.B. : Si l’une des relations ci-dessus est respectée, on dit que le conducteur est ohmique.
2) Résistance d’une portion finie et de section constante
(Résistance filiforme)
a) Calcul de la valeur de R
On suppose que la portion conductrice étudiée a
une longueur l et une section S constante. Cette VA VB
portion est traversée par un courant d’intensité I
AS E B
du point A au point B de potentiels respectifs VA
et VB (VA > VB).
l
La résistance de cette portion du conducteur est donnée par son expression générale :
r uu
r
1
∫ E dl
R= AB
r uu
r
γ
∫ S
E dS
r
Le champ E dans le conducteur suit la direction du conducteur (les lignes de champ sont des
r
droites parallèles) ⇒ le champ E est uniforme. Il vient :
r uu
r r uu
r
∫
AB
E dl = E l et ∫
S
E dS = E S
La résistance R se réduit à :
1 l l
Rρ = =
γ S S
où ρ est la résistivité du matériau considéré.
b) Représentation d’une résistance
Pour représenter une résistance ohmique, on utilise l’un des trois schémas suivants.
3) Association de résistances
Les résistances peuvent être associées en série ou en parallèle ou les deux à la fois.
a) Groupement en série
I R1 R2 I Ri Rn I
A B
I R I
A B

5. Les résistances associées en série sont parcourues par le même courant.
On désigne par R la résistance équivalente au groupement des n résistances. On écrit VA−VB
de deux manières :
n
VA − VB = R 1I + ⋅ ⋅ ⋅ + R i I + ⋅⋅⋅ + R n I = ( ∑
i=1
Ri ) I et VA − VB = R I
n
d’où : R = ∑
i=1
Ri
b) Groupement en parallèle
I1
R1
I2
R2
A I I B
Ii
Ri
In Rn
I R I
A B
R est la résistance équivalente au groupement des n résistances. Les résistances associées en
dérivation sont soumises à la même différence de potentiel (d.d.p.).
En régime permanent l’intensité du courant électrique dans le conducteur principal est égale à
la somme des intensités dans les conducteurs dérivés.
On peut exprimer I de deux façons :
n
VA − VB
∑ 1
I = I1 + ⋅ ⋅⋅ + Ii + ⋅⋅⋅ + I n = ( ) (VA − VB ) et I =
Ri R
i=1
n
∑
1 1
d’où : =
R Ri
i=1

6. 4) Caractéristique d’un dipôle
Considérons un dipôle quelconque parcouru par un courant d’intensité I. La différence de
potentiel aux bornes de ce dipôle est notée U. La courbe représentant la variation de la tension
U (ou l’intensité I) en fonction de l’intensité I (ou la tension U), est la courbe caractéristique
de ce dipôle.
Exemples:
I I
Résistance U Diode U
I I
Voltmètre U Générateur U
I
IV- Energie et puissance électrique Moteur de Joule
- Loi U
1) Notion de générateur et de récepteur

7. Soit U la différence de potentiel appliquée aux extrémités d’une portion de circuit AB, et I
l’intensité de courant traversant ce dipôle.
I A B
I
VA VB
U
Dans la configuration ci-dessus, on a adopté la convention récepteur (I et U sont représentés
par des flèches de sens opposés).
La quantité d’électricité qui traverse ce dipôle pendant le temps dt est : dq = I dt .A l’entrée A
du dipôle, elle apporte l’énergie dq VA et à la sortie, elle retire l’énergie dq VB . Au total,
l’énergie fournie au dipôle est égale au travail des forces électriques.
dW = dq (VA − VB ) = U I dt
La puissance développée entre les bornes A et B est :
dW
P = = UI
dt
a) Générateur : Si VA < VB alors dW est négatif. Le dipôle est donc un générateur. Il cède
au reste du circuit une énergie électrique en transformant une autre forme d’énergie
(mécanique, chimique, etc…).
b) Récepteur : Si VA > VB alors dW est positif. Le dipôle dans ce cas est un récepteur. Il
transforme l’énergie électrique reçue en énergie calorifique, mécanique, radiative, etc…
En définitive, un circuit électrique comportant des générateurs, des récepteurs et des
connections permet la transformation et le transport de l’énergie.
2) Loi de Joule
Un conducteur traversé par un courant électrique R
s’échauffe. Cette chaleur provient du travail des I I
forces de frottement et chocs des électrons sur
les ions du conducteur. Cette transformation est U
appelée effet Joule.
dW = R I dt
2
L’énergie fournie à cette résistance pendant le temps dt est :
Cette énergie est intégralement transformée en chaleur, la puissance dissipée dans la
résistance R est : P = R I2 G
V- Loi d’Ohm généralisée P
N
e
1) Générateur
E E
m s
VP > VN

8. Un générateur est un dipôle actif qui
transforme une énergie non électrique
(mécanique, calorifique, chimique etc…)
en une énergie électrique. Lorsque le
générateur noté G est fermé sur un
circuit extérieur, les électrons des
conducteurs formant le circuit circulent
de la plaque positive (P) à la plaque
négative (N) à l’intérieur de G.
On admet qu’il existe un champ
r
électromoteur E m responsable de ce
mouvement de P à N.
r r r
A l’intérieure du générateur le champ électrique est donné par : E = E m + ES
r
E m est le champ électromoteur. Il est créé par le générateur du courant électrique.
r
E S est le champ statique. Il est créé par les charges du conducteur autre que la charge
considérée.
a) Générateur en circuit ouvert
Les charges à l’intérieur du générateur sont au repos car il ne débite aucun courant électrique.
r r
Dans ce cas : E = 0
r r r r r
d’où E m + ES = 0 ⇒ E m = − ES
Calculons VP − VN :
N r uu r N r uu r P r uu
r
VP − VN = ∫P
E S dl = − ∫ P
E m dl = ∫ N
E m dl
Dans ce cas VP − VN est la tension à vide du générateur. Elle est donnée par la circulation du
r
champ électromoteur E m de N (borne négative) à P (borne positive). Par définition c’est la
force électromotrice du générateur G (en abréviation f.e.m.). Elle se note « e » et son unité est
le volt (symbole V).
P r uu r
e = ∫
N
E m dl
b) Générateur en charge (circuit fermé)
Le générateur débite un courant électrique dans le circuit et les charges sont en mouvement à
l’intérieur de G.
Dans le générateur le champ électrique est donné par :
r r r ur uu
r
E = E m + ES avec E m 〉 ES

9. r r r
Calculons la circulation de E = E m + E S le long de PN = l , sachant qu’en régime
u
r r
permanent nous avons j = γ E et l’intensité I est constante.
N
r uu r N
r r uu
r 1
N
u uu
r r
∫
P
E . dl = ∫P
( E m + E S ) dl =
γ ∫
P
j dl
u
r I r r uu
r r r
On pose j = − u (de même sens que E ) et dl = dl u avec u vecteur unitaire dans
S
le sens de P vers N.
Dans ce cas on a :
N
r uu
r N
r uu
r 1
r N
u uu
r r 1 Il
∫
P
E dl = ∫
P
( E m + E S ) dl =
γ ∫ P
j dl = − =− rI
γ S
Le générateur G dissipe de l’énergie par effet Joule, caractérisée par une résistance interne r.
r r r
Calculons d’une autre façon la circulation de E = E m + E S le long de PN.
N
r uur N
r r uu
r N
r uu
r N
r uu
r
∫P
E .dl = ∫
P
( E m + E S ) dl = ∫
P
Em dl + ∫ P
E S dl
= − e + (VP − VN )
r
En égalant les deux résultats obtenus pour le calcul de la circulation de E le long de PN, nous
obtenons : − rI = − e + (VP − VN )
VP − VN = e − r I
C’est la loi d’Ohm généralisée pour un générateur.
d) Puissance d’un générateur
La puissance délivrée par un générateur et transformée en puissance électrique est : P = e I .
Sachant que VP − VN = e − r I et en multipliant les deux membres de l’égalité par I, nous
obtenons :
(VP − VN ) I = eI − r I
2
(VP − VN ) I : la puissance fournie par le générateur au circuit.

10. eI : la puissance totale développée par le générateur.
rI
2
: la puissance dissipée par effet joule dans le générateur.
e) Générateur linéaire
La loi d’Ohm pour un générateur est : U = VP − VN = e − r I
e U
Que nous pouvons écrire sous la forme : I = −
r r
e 1
Si on pose I = le courant de court-circuit et g = la conductance interne du
CC r r
générateur, la relation I = f (U) peut s’écrire : I = I CC − gU
f) Générateur de tension
i/ Source idéale de tension
Une source idéale de tension est un générateur pouvant maintenir une d.d.p. U constante à ses
bornes indépendamment de l’intensité I qu’il débite.
Cette définition implique que r = 0 ce qui donne U = e.
A I B A I B
ou
e e
U
e
I
ii/ Source réelle de tension : Modèle de Thévenin
r
En réalité il y a toujours dissipation d’énergie sous forme d’effet joule modélisé par la
A I B A I B
ou
présence d’une résistance montée en série avec la source idéale de tension.
e
(e , r)
U=e−rI
U
e
e I
r

11. g) Générateur de courant
i/ Source idéale de courant :
Une source idéale de courant est un générateur pouvant débiter un courant constant I CC
indépendamment de la d.d.p. U à ses bornes.
ICC ICC
A B ou A B
U
ICC I
où Icc est le courant de court-circuit.
ii/ Source réelle de courant : Modèle de Norton
Une source réelle de courant est modélisée par une source idéale de courant en parallèle avec
une résistance.
ICC U
ICC I
A B ou
A
′
B
r ICC
I
r
U ICC I
U = r I ' = r ( I CC − I )
U U
= I CC − I ⇒ I = I CC −
r r

12. h) Transformation (dualité) Thévenin−Norton
A chaque fois on peut transformer le générateur de Thévenin en générateur de Norton et vice-
versa.
I A I A
ICC
≡
r
U r U
e
B B
e
Thévenin en Norton → I CC =
r
Donc pour transformer le générateur de
Norton en Thévenin → e = r I CC
i) Associations de générateurs en série
Pour déterminer la force électromotrice et la résistance interne du générateur équivalent, il est
commode d’utiliser la représentation du générateur de tension.
r1 r2 ri rn I
A B
e1 e2 ei en
U
r
A I B
e
U = e − rI
Le générateur de tension équivalent est tel que :
e= ∑e
i
i : est la force électromotrice du générateur de tension équivalent.
r =∑ r i : est la résistance interne du générateur de tension équivalent.
i

13. j) Association de générateurs en dérivation
Dans ce cas, il convient d’utiliser la représentation du générateur de courant.
I1
r1
I2
r2
Ii
A B
ri
In
rn
Icc
A B
r
Le générateur de courant équivalent est tel que :
I CC = ∑ I : est le courant de court-circuit du générateur de courant équivalent.
i
i
g = ∑ g : est la conductance interne du générateur de courant équivalent.
i
i
2) Récepteurs
Un récepteur est un dispositif électrique qui peut transformer l’énergie électrique en une autre
forme d’énergie : mécanique, calorifique, chimique etc…
e'
I r'
M N

14. La loi d’Ohm pour un récepteur se traduit par :
VM − VN = e ′ + r ′ I
« e′ » est la force contre électromotrice du récepteur (en abréviation f.c.e.m.). Elle a la
dimension d’une tension et s’exprime en volts (symbole V).
La puissance totale consommée par un récepteur : P = (VM − VN ) I .
En remplaçant dans l’expression ci-dessus VM − VN par e′ + r ′ I , nous obtenons :
P = (VM − VN ) I = e′ I + r ′ I
2
(VM − VN ) I : la puissance totale consommée par le récepteur.
e′ I : la puissance transformée ou la puissance utile.
r′ I
2
: la puissance dissipée par effet joule dans le récepteur.
3) Enchainement de dipôles
Etant donné un ensemble de dipôles (générateurs, récepteurs et résistances), entre deux points
A et B d’un circuit. On veut calculer VA − VB . Le sens de parcourt est de A vers B.
VA − VB = ± ∑R I
i
i i
± ∑e
j
j
± ∑ e′
k
k
Le bilan énergétique dans la portion AB donne :
+ R i Ii le sens de I i est de A vers B.
− R i Ii le sens de I i est de B vers A.
+ ej si on rentre du côté ( +) du générateur.
− ej si on rentre du côté ( −) du générateur.
+ e′k si on rentre du côté ( +) du récepteur.
− e′k si on rentre du côté ( −) du récepteur.