Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques

1. Électricité 3
filière SMP (Semestre 4)
• Ch. 1: Milieux Diélectriques
• Ch. 2: Milieux Magnétiques
• Ch. 3: Equations de Maxwell dans les Milieux Matériels
• Ch. 4: Propagation des Ondes Électromagnétiques

2. Introduction
Nous nous proposons d’ étudier l’électromagnétisme de milieux
quelconques, conducteurs, diélectriques (c’est-à-dire isolants) ou
aimantés. Pour décrire les milieux, on parle d’échelle
microscopique pour des phénomènes qui ont lieu à des échelles
inférieures ou de l’ordre du rayon a (∼ 1Å) des atomes et
d’échelle macroscopique pour des phénomène qui ont lieu à des
échelles grandes par rapport à la taille des atomes (de l’ordre de
λ ∼ 100 nm). Aux échelles microscopique ou mésoscopique
(entre microscopique et macroscopique), il est nécessaire
d’utiliser la mécanique quantique. Aux échelles macroscopiques,
l’électromagnétisme classique permet de décrire les phénomènes
dans les milieux.

3. Ch. 1: Milieux Diélectriques
I. Rappels de l’électrostatique dans le vide
II. Les Milieux diélectriques
III. Polarisation
IV. Potentiel électrostatique
V. Distribution de charges
VI. Champ électrostatique
VII. Vecteur déplacement électrique
VIII. Conditions de continuité à la surface de séparation de deux milieux
IX. Susceptibilité électrique
X. Permittivité – constante diélectrique
XI. Equilibres électrostatiques et milieux diélectriques

4. I : Rappels de l’électrostatique dans le vide
1. Champs et potentiel électrostatiques
()
(M)
M
P
Soit une distribution de charge (M) répartie dans un
volume  :
E(M) =
1
4pe0
r(P)PM
PM
3
t
òòò dt V(M) =
1
4pe0
r(P)
PM
t
òòò dt
et
Le champ obéit à 2 lois:
dérive d’un potentiel scalaire V défini à une constante additive près :
E
E = -gradV(M) Û rot E = 0
- La circulation de ne dépend que de la différence de potentiel
E
- Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfacse équipotentielles
E

5. I : Rappels de l’électrostatique dans le vide
2. L’énergie électrostatique dans le vide:
E(M).dS =
SQint
e0
S.G
ò (Forme intégrale)
divE(M) =
r(M)
e0
(Forme locale)
D’où l’équation de Poisson: DV +
r
e0
= 0
Une distribution continue de charge (M) produisant et V(M), emmagasine dans l’espace :
E
We =
1
2
V(M)dq
-¥
+¥
ò =
1
2
V(M)r(M)dt
espace
òòò
We =
1
2
e0E2
(M)dt
espace
òòò
s’écrit aussi:
satisfait au théorème de Gauss :
E

6. I : Rappels de l’électrostatique dans le vide
3. Dipôle électrique dans un champ électrostatique:
Soit un dipôle AB de moment dipolaire
Le champ électrostatique crée est alors :
V(M) =
p.r
4pe0r3
=
pCosq
4pe0r2
p = q.AB
+ q
- q
A B
O

M
r
u
p
E
Er =
2pCosq
4pe0r3
Eq =
pSinq
4pe0r3

7. II : Milieux diélectriques et polarisation
À l’équilibre : E = 0 et r = 0
Milieu conducteur caractérisé par l’existance de charges libres (e-, ions, …)
d’où :
s se répartir entièrement en surface
ne pénètre pas dans le milieu
E
Milieu diélectrique (isolant) possède des propriétés électriques
les charges sont liées
pénètre dans le milieu
E

8. E = 0
E ¹ 0
II : Milieux diélectriques et polarisation
Diélectriques polaires:
Il s’agit de milieux qui possèdent
une polarisation permanente (ex.
H2O).
Les dipôles électriques dans ce
genre de matériaux ont tendance à
s’aligner avec un champ électrique
externe. L’alignement se produit
mécaniquement, à cause du couple
de force électrostatique qui agit sur
le dipôle.

9. II : Milieux diélectriques et polarisation
Diélectriques non polaires:
En absence de champ électrique externe, ces
matériaux ne présentent pas de polarisation.
Une polarisation macroscopique du matériau
apparait lorsqu’un champ externe est appliqué.
E = 0
E ¹ 0
(b)
(a)

10. II : Milieux diélectriques et polarisation
Polarisation des diélectriques non polaires:
d p ¹ 0
d p = 0
d d
p = 0 p ¹ 0
La séparation des
barycentres des charges +
et - entraine l’apparition
d’un moment dipolaire
.
d p
Dans l’ensemble du
matériau apparaît un
moment dipolaire .
p
Un matériau est
caractérisé par sa densité
de moment dipolaire
(coulomb/m3).
P
dp = P. dt
Atome
Matériau

11. III : Potentiel électrique
V(r) =
1
4pe0
p. r
r3
Soit un milieu diélectrique polarisé D, limité par une
surface S et possédant une densité de moment
dipolaire .
Soit, le dipôle élémentaire de moment .
P
p
Soit l’élément de volume d autour de A; il
possède le moment dipolaire P(A). dt ' dV(M) =
1
4pe0
r. P(A)
r3
dt '
Il vient pour tout le volume V(M) =
1
4pe0
r. P(A)
r3
dt '
D
òòò

A(x',y',z')
M(x,y,z)
D
S
d'
P(A)

12. IV : Distribution de Charge
Transformons l’expression précédente:
d’où:
V(M) =
1
4pe0
r. P(A)
r3
dt '
D
òòò
P(A). r
r3
= P(A). gradA (
1
r
) or div ( f. R)= f (div R)+ R (grad f )
P(A). r
r3
= div(
P(A)
r
)-
div P(A)
r
div (
P
r
) dt '
D
òòò =
P. dS
r
S
òò =
P. n
r
S
òò dS
V(M) =
1
4pe0
- div P(A)
r
dt
D
òòò '+
1
4pe0
P. n
r
òò dS
alors
On en déduit: rP = rliée = -div P sP =sliée = P. n
et

13. V : Champ électrostatique
Soit crée par une distribution de charges de polarisation donnée et constante:
Ep
divEp =
rp
e0
= -
div P
e0
et rotEp = 0
Les relations de continuité qui en découlent à la surface de séparation du diélectrique avec
l’air ou un autre diélectrique :
Ep
(2)
- Ep
(1)
=
s p
e0
n12
: vecteur unitaire dirigé du milieu
(1) vers le milieu (2)
n12
Relation qui exprime la discontinuité de la composante normale et la continuité de la
composante tangentielle.

14. V : Champ électrostatique
Le potentiel électrostatique correspondant obéit à l’équation de poisson
DVp +
rp
e0
= 0 Ep = -grad Vp
=
1
4pe0
r
r3
rp dt '+
r
r3
s p dS
S
òò
D
òòò
ì
í
î
ü
ý
þ
Dans le cas de coexistence de milieux diélectriques et conducteurs, nous sommes amenés
à considérer les deux types de charges en présence (liées et libres).
E = E0 + Ep
E0 et V0 sont respectivement le champ et potentiel crées par les charges libres
r = rlibre +rliée V =V0 +Vp
E = -grad V
rot E = 0
div E =
r
e0

18. X : Permittivité et constante diélectrique
P =e0 ce E
e Permittivité du matériau,
Pour un matériau homogène; a la même valeur en tout point du volume.
ce
Nous considérerons pour la suite que les diélectriques sont Linéaires, Homogènes et
Isotropes (L.H.I.)
10. Permittivité et constante diélectrique:
Pour un matériau L. I. de susceptibilité ce
D =e0 E +P
D =e0 (1+ ce ) E D =e E
soit
avec e =e0(1+ ce )
er =
e
e0
On définit
dans le vide e =e0 et er =1
er
Permittivité relative

19. XI : Equilibre électrostatiques et milieux
diélectriques
Considérons des milieux L. I.
div(e0 E +P)= rlibre
D(r)=e(r) E
P(r)=e0 ce(r)E
rot E = 0
rot E = 0
divD = rlibre
ou alors;
À la surface de séparation des 2 milieux, les équations locales prennent la forme:
(D2 - D1). n12 =slibre (E2 -E1)Ùn12 = 0
et

20. XI : Equilibre électrostatiques et milieux
diélectriques
E = 0
E =
s
e0
n
et
10. 1. Interface conducteur - diélectrique:
Dans le conducteur :
P = 0 D = 0
À l’équilibre électrostatique :
est normal à la surface du conducteur:
E
diélectrique
conducteur
n
s
s p
sl
si le milieu est un diélectrique L.H.I.: D =eE
À partir des relations de continuité de à la surface de séparation
D D =sl. n
On obtient : sl =
e
e0
s s p =s -sl = -(
e
e0
-1) s
d’où

21. XI : Equilibre électrostatiques et milieux
diélectriques
10. 2. Interface de deux diélectriques:
à la surface de séparation d’un diélectrique et d’un conducteur portant une densité de charges
libres sl ; apparaît une densité de charges de polarisation sp de signe opposé à celui de sl . La
densité totale s est alors inférieur à sl.
Dans l’hypothèse où la surface de séparation ne contient pas de charges libres
D1N = D2N E1T = E2T
et
Supposons les milieux L.H.I. (e1 et e2)
D1N =e1E1N D2N =e2E2N

22. XII : Energie électrostatiques
12. Energie électrostatique:
Il y a réfraction des lignes de
champ à l’interface des 2
milieux diélectriques
et
W =
1
2
E Ddt
t
òòò
D =eE
W =
1
2
eE2
dt
t
òòò
tgq1 =
E1T
E1N
tgq2 =
E2T
E2N
Si le milieu est L.I ou L.H.I.
tgq1
tgq2
=
e1
e2
alors
Pour tout milieu diélectrique; on aura:
q1
q2
E1
E2