Le document traite de l'intégrale triple dans un espace tridimensionnel, en introduisant des concepts essentiels tels que la somme de Riemann tridimensionnelle et en expliquant les changements de variables vers des coordonnées cylindriques et sphériques. Il propose également des applications géométriques, comme le calcul du volume d'un corps délimité, par exemple d'une sphère. Plusieurs exemples illustrent les concepts mathématiques abordés.

1. Elaboré par M. NUTH Sothan

2. I- Notion de l’intégrale triple:
Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté
au repère cartésien OXYZ .
Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V.
Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, .
Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ).
La somme :
où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle
somme de Riemann tridimensionnelle .
1
( , , ) , (1)
n
n i i i i
i
S f x y z V

 

3. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit di le diamètre de ∆Vi .
Soit
Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la
fonction f(x, y, z) :
Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend
∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .
0
1
( , , ) lim ( , , ) (2)
n
i i i i
d
iV
f x y z dV f x y z V


 
max i
i
d d

4. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
On a ainsi :
dV = dx dy dz (3)
D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme :
Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}
On a :
( , , ) ( , , ) (4)
V V
f x y z dV f x y z dxdydz 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) (5)
z x y
V S z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz  

5. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un
domaine standard par rapport à l’axe OY.
On a :
Analogiquement, si le domaine est standard par rapport
à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}
on a :
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (6)
y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz   
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (7)
x y z x yd
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz   

6. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple:
1. Coordonnées cylindrique :
Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose :
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1)
où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +.
On a :
où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.
2
1
( , )2
0 0 ( , )
( , , ) ( cos , sin , ) (2)
z x y
V z x y
f x y z dxdydz d rdr f r r z dz

  

   

7. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
En effet :
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
cos sin
(3)
sin cos
x x x
r z
r
y y y
j r
r z
z z z
r z
r
r
r

 
 


 
 
  
  

  
  
  
  
  

 
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
N(x,y)

8. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
2. Coordonnée sphérique :
Pour passer aux coordonnées
sphérique on pose :
x = r sinθ cosφ ,
y = r sinθ sinφ , (4)
z = r cosθ ,
où 0 ≤ r < + ,
0 ≤ φ ≤ 2π ,
0 ≤ θ ≤ π.
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
θ
N(x,y)

9. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
On a :
Où :
sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin sin cos
cos sin 0
x x x
r
r r
y y y
j r r
r
r
z z z
r
 
     
     
 
 
 
  
  

  
  
  

  
  
( , , )
( sin cos , sin sin , cos ) (5)
V
V
f x y z dxdydz
f r r r J d d dr      





10. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
Et :
En fin :
J= r2 sinθ (6)
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2
cos cos sin sin sin cos sin sin
cos sin
cos sin sin cos sin sin sin cos
cos (sin cos cos cos sin sin )
sin (sin cos sin sin )
cos sin sin sin (cos sin ) sin
r r r
r
r r r
r
r
r r r r
       
 
       
      
    
      
 
  
  
  
    

11. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
On peut poser aussi :
x = r cosθ cosφ ,
y = r cosθ sinφ , (7)
z = r sinθ
où 0 ≤ r < + ,
0 ≤ φ ≤ 2π ,
−π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
On a :
J= r2 cosθ (8)
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
θ
N(x,y)

12. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
3. En général :
On peut passer aux coordonnées (u, v, w) :
x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9)
Le jacobien
0 (10)
x x x
u v w
y y y
j
u v w
z z z
u v w
  
  
  
 
  
  
  

13. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :
( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )) (11)
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw





14. III- Application géométrique:
Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V.
Ex.1 : Calculer le volume
d’un sphère de centre
d’origine de coordonnées
et de rayon R.
V
V dV 
x
y
z
o
M(x, y, z)
φ
θ
r
N(x, y)

15. Exemple:
Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous
forme V: x2 + y2 + z2 = R2 .
En passant aux coordonnées sphériques, on pose :
x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ
où 0 ≤ r < R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
V: r = R et J= r2 cosθ .
2 32
2 32
20 0
2
4
cos 2 sin
3 3
R
V
R
V dV d d r dr R

 


     


      

16. Exemple:
Ex.2 : Calculer l’intégrale
où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R.
En passant aux coordonnées sphériques, on pose :
x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ
où 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
V: r = R et J= r2 cosθ .
2 2
2 4
0 0
2
cos
R
I d d rr dr R



   

   
2 2 2
V
I x y z dxdydz  

17. Exemple:
Calculer le volume limité par les surface suivantes :
Ex.3 :
Ex.4 :
Ex.5 :
Ex.6 :
Ex.7 :
Ex.8 :
2 2 2 2
2 , 2 , 0x y ax x y az z    
2 2 2 2 2 2 2
,x y z a x y z    
2 2 2 2 2
4, 3x y z x y z    
2 2 2 2 2 2
,x y ax x y z a    22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
 
     
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2, 0
x y z x y z
a b c a b c
     