Ce document traite des intégrales multiples, en mettant l'accent sur les intégrales doubles, leurs définitions, propriétés et méthodes de calcul. Il examine également les intégrales de surfaces et les intégrales triples avec des théorèmes importants comme ceux de Fubini et de Stokes. L'objectif principal est de fournir des outils pour calculer des aires et volumes en utilisant des intégrales simples et doubles.

1. Calcul des int´grales multiples
e
Abdesselam BOUARICH
Universit´ Sultan Moulay Slimane
e
Facult´ des sciences de Beni Mellal
e
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
60
50
60
40
50
30
40
30
20
20
10
10
0
0

2. 2

3. Table des mati`res
e
1 Int´grales doubles
e
1.1 D´finitions et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . .
e
ee
1.1.1 Construction de l’int´grale double . . . . .
e
1.1.2 Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
ee
e
e
1.2 M´thodes de calcul d’une int´grale double . . . . .
e
e
1.2.1 Th´or`me de Fibini . . . . . . . . . . . . .
e e
1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . .
1.2.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . .
1.3 Int´grales doubles g´n´ralis´es . . . . . . . . . . . .
e
e e
e
1.3.1 Cas d’une fonction positive . . . . . . . . .
1.3.2 Cas d’une fonction de signe quelconque . .
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5
6
6
8
9
9
12
14
17
17
20
2 Int´grales de surfaces
e
2.1 G´om´trie affine des surfaces classiques de R3 . . . . . . . . . . .
e e
2.1.1 Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e
2.1.2 Surfaces param´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.3 Surfaces de r´volution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.2 D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces . . . . . . . . .
e
ee
e
2.3 Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface orientable . .
a
2.3.1 Surfaces orientables dans l’espace R3 . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
22
22
23
24
28
32
32
33
35
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39
40
41
41
43
45
47
3 Int´grales triples
e
3.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . .
e
ee
3.2 M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
3.2.1 Formule de Fubini . . . . . . . .
3.2.2 Changement de variables . . . .
3.2.3 Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss .
e e
3.3 Int´grales triples g´n´ralis´es . . . . . .
e
e e
e
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4. 4
`
TABLE DES MATIERES

5. Chapitre 1
Int´grales doubles
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale double en utilisant la formule
e
de Fubini ;
2. savoir effectuer un changement de variables au sein d’une
int´grale double ;
e
3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann ;
4. comprendre que les int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e
convergent si elles sont absolument convergente.

6. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
6
Dans ce chapitre, on se propose d’´tablir des formules avec lesquelles on sera en mesure de
e
calculer l’aire d’un domaine plan ou le volume d’un domaine de l’espace R3 qui est limit´ par le
e
graphe d’une fonction born´e f (x, y). Les formules qu’on va ´tablir seront appel´es int´grales
e
e
e
e
doubles car, comme on va le voir ; elles seront exprim´ par deux int´grales simples it´r´es qui
e
e
ee
portent la fonction f (x, y) et sur son domaine de d´finition.
e
1.1
D´finitions et propri´t´s
e
e e
1.1.1
Construction de l’int´grale double
e
D´finition 1. On appelle domaine ´l´mentaire du plan R2 toute partie D ⊂ R2 d´finie par
e
ee
e
comme suit,
D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
o` f1 , f2 : [a, b] → R sont deux fonctions continues.
u
Quand, une partie born´e ferm´e D ′ ⊂ R2 est r´union finie de domaines ´l´mentaires on
e
e
e
ee
l’appellera compacte ´l´mentaire.
ee
a
b
Figure 1.1 – Compacts ´l´mentaires du plan R2
ee
Consid´rons un domaine ´l´mentaire D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
e
ee
et f : D → R une fonction born´e. On d´signe par [c, d] le segment obtenu en projetant le
e
e
domaine D sur l’axe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement
en m et n portions,
a = x1 < x2 < · · · < xm = b
et
c = y0 < y1 < · · · < yn = d.
Il est clair que si pour tout couple d’indices 0
i
m et 0
j
n on pose Ri,j =
[xi , xi+1 ]×[yj , yj+1 ] on d´finit ainsi une subdivision du domaine ´l´mentaire D qui sera d´sign´e
e
ee
e
e
par, Π(D) = {(xi , yj ) ∈ R2 /0 i m, 0 j n}.
Enfin, notons que puisque la fonction f : D → R est born´e les deux nombres r´els suivants
e
e
sont donc finis,
mi,j = inf{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }
et
Mi,j = sup{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }.
D´finition 2. Les deux nombres r´els suivants s’appellent respectivement : somme de Darboux
e
e
inf´rieure et somme de Darboux sup´rieure.
e
e

7. ´
´ ´
1.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES
7
et
S(f, Π(D)) =
Ri,j ⊂D
(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j
(1.2)
Figure 1.2 – Volume limit´ par D et le graphe de f (x, y)
e
Maintenant, puisqu’on sait que le nombre r´el (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j (resp. (xi+1 −
e
xi )(yj+1 − yj )Mi,j ) mesure le volume du parall`l´pipde de base Ri,j et de hauteur Mi,j (resp.
ee
mi,j ) ; ceci nous permet d’interpr´ter la somme de Darboux sup´rieure S(f, Π(D)) comme une
e
e
3 qui est limit´e par le domaine ´l´mentaire
mesure par exc`s du volume de la domine V ⊂ R
e
e
ee
D et le graphe de la fonction born´e f . De mˆme, on peut interpr´ter la somme de Darboux
e
e
e
inf´rieure σ(f, Π(D)) peut ˆtre interpr´ter comme une mesure par d´faut du domaine V.
e
e
e
e
D´finition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. Dans chaque rectangle Ri,j de la
e
e
subdivision Π(D) on fixe un point ζi,j ∈ Ri,j ∩ D. Le nombre r´el,
i=m−1 j=n−1
R(f, Π(D), ζi,j ) =
i=0
j=0
f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )
(1.3)
s’appelle somme de Riemann associ´e ` la fonction born´e f et ` la subdivision Π(D) munie
e a
e
a
des points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D.
On v´rifie facilement que les trois sommes d´finies ci-dessus satisfont aux propri´t´s suie
e
ee
vantes :
1. Pour toute subdivision Π(D) d’un domaine ´l´mentaire D ⊆ [a, b] × [c, d] et pour tout
ee
choix de points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D on a la double in´galit´,
e
e
σ(f, Π(D))
R(f, Π(D), ζi,j )
S(f, Π(D)).
(1.4)
2. La somme inf´rieure de Darboux σ(f, Π(D)) augmente au fur et ` mesure que la subdie
a
vision Π(D) devient fine.
3. Tandis que la somme sup´rieure de Darboux S(f, Π(D)) d´munie au fur et ` mesure que
e
e
a
la subdivision Π(D) devient fine.
ee
e
D´finition 4. Soit D ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e.
e
1. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Darboux sur le domaine D si ses
e
sommes de Darboux inf´rieure et sup´rieure sont ´gales,
e
e
e
sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}.
2. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Riemann sur le domaine D si la
e
somme de Riemann R(f, Π(D), ζi,j ) admet une limite finie quand xi+1 − xi et yj+1 − yj
tendent vers z´ro.
e
3. Si f : D → R est int´gralble au sens de Riemann ou au sens de Darboux on notera les
e
trois limits ´gales,
e
lim
xi+1 −xi →0
yj+1 −yj →0
par le symbole
R(f, Π(D), zi,j ) = sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}
f (x, y)dxdy qui se lit int´grale double de la fonction f sur le doe

8. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
8
ee
Th´or`me 1. Soit D ⊂ R2 un compact ´l´mentaire. Alors toute fonction continue f : D → R
e e
est int´grable au sens de Riemann.
e
D´monstration. Admise.
e
Pour achever ce paragraphe consacr´ ` la construction de l’int´grale double d’une fonction
ea
e
born´e f : D → R, notons qu’on a les faits suivants :
e
1. Si on prend f (x, y) = 1 alors par construction de l’int´grale double on d´duit que l’aire
e
e
du domaine D est donn´e par,
e
Aire(D) =
2. L’int´grale double
e
D
dxdy
(1.5)
D
f (x, y)dxdy mesure le volume alg´brique du domaine V ⊂ R3
e
limit´ par le domaine ´l´mentaire D et par le graphe de la fonction born´e f .
e
ee
e
3. Si par exemple le domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 d´signe une plaque m´tallique dont la
ee
e
e
densit´ de masse (resp. temperature) est donn´e en chaque point (x, y) ∈ D par une
e
e
fonction born´e f (x, y), alors ; interpr´ter l’int´grale double
e
e
e
f (x, y)dxdy mesure la
D
masse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque m´tallique D.
e
1.1.2
Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
e e
e
e
Dans ce paragraphe, nous donnerons quelques propri´t´s de nature alg´brique de l’int´grale
ee
e
e
double. Ces propri´t´s se d´montrent facilement ` partir des sommes de Darboux et de Rieee
e
a
mann.
Proposition 1. L’int´grale double au sens de Riemann d’une fonction born´e sur un compact
e
e
´l´mentaire v´rifie les propri´t´s suivantes :
ee
e
ee
1. L’int´grale double est lin´aire :
e
e
2 un domaine ´l´mentaire et f, g : D → R deux fonctions int´grales. Alors
Soient D ⊂ R
ee
e
pour tous r´els λ et µ on a,
e
(λf (x, y) + µg(x, y))dxdy = λ
f (x, y)dxdy + µ
D
D
g(x, y)dxdy
D
2. L’int´grale double est additif :
e
Soient D1 et D2 sont deux domaines ´l´mentaires de R2 dont l’intersection D1 ∩ D2 est
ee
vide ou ´gale ` une courbe plane. Alors pour toute fonction int´grable f : D1 ∪ D2 → R
e
a
e
on a,
f (x, y)dxdy =
D1 ∪D2
f (x, y)dxdy +
D1
f (x, y)dxdy
D2
3. L’int´grale double est croissante :
e
– Si pour tout (x, y) ∈ mathcalD on a f (x, y)
0 alors,
f (x, y)dxdy
0;
D
– Si la fonction f (x, y) est positive sur le domaine D alors pour tout sous domaine
´l´mentaire D ′ ⊂ D on a,
ee
f (x, y)dxdy
D′
f (x, y)dxdy.
D
– Si f, g : D → R sont deux fonctions int´grables telles que f (x, y)
e
g(x, y) sur le

9. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
9
Proposition 2. Soit D un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e int´grable.
ee
e
e
Alors on a l’in´galit´ :
e
e
|
D
f (x, y)dxdy |
| f (x, y) | dxdy
D
En particulier, si Aire(D) = 0 alors on a
1.2
sup{| f (x, y) | /(x, y) ∈ D}Aire(D)
f (x, y)dxdy = 0.
D
M´thodes de calcul d’une int´grale double
e
e
Cette section sera enti`rement consacr´e aux m´thodes de calcul des int´grales doubles. Pour
e
e
e
e
assurer une bien assimilation des m´thodes que nous avons ´tudier ci-dessous, nous les avons
e
e
suivi par des exemples de calcul d’illustration.
1.2.1
Th´or`me de Fibini
e e
Th´or`me 2. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction continue. Si
e e
ee
le domaine D est d´fini par,
e
{(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
y
f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c
y
d, g1 (y)
x
g2 (y)}
alors l’int´grable double de la fonction f (x, y) est ´gale `,
e
e
a
b
f (x, y)dxdy =
f2 (x)
(
a
D
d
f (x, y)dy)dx =
f1 (x)
g2 (y)
(
c
f (x, y)dx)dy
g1 (y)
D´monstration. Id´e de la d´monstration :
e
e
e
Puisque la fonction f (x, y) est continue son int´grale double
e
f (x, y)dxdy peut ˆtre donc
e
D
approch´e par la somme de Riemann associ´e ` une subdivision Π(D) et un choix de points
e
e a
ζi,j ∈ Ri,j ∩ D :
i=m−1 j=n−1
R(f, Π(D), zi,j ) =
i=0
f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )
j=0
i=m−1 j=n−1
=
[
i=0
f (ζi,j )(yj+1 − yj )](xi+1 − xi )
j=0
e
e
Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre yj+1 − yj vers z´ro dans la quantit´
mise entre crochet tout en laissant xi+1 − xi fixe on obtient une int´grale simple de type
e
f (x, y)dy dont les bornes d´pendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on
e
fait tendre xi+1 − xi vers z´ro on obtient une int´grale double ´gale ` l’it´ration de deux
e
e
e
a
e
int´grales simples de la forme,
e
[
f (x, y)dy]dx.
Corollaire 1. Sur un rectangle D = [a, b] × [c, d] l’int´grale double d’une fonction continue
e
b
f (x, y) est donn´e par,
e
f (x, y)dxdy =
D
d
(
a
d
f (x, y)dy)dx =
c
f (x, y)dx)dy.
c
En particulier, si f (x, y) = F(x)G(y) alors on a
a
b
f (x, y)dxdy = (
D
Exemple 1. 1) Calculons l’int´grale double
e
b
(
d
F(x)dx)(
a
G(y)dy).
c
(x2 + y 2 )dxdy o` D d´signe le triangle limit´
u
e
e

10. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
10
1−x
x
x−1
Figure 1.3 – Triangle
Pour calculer l’int´grale double donn´e nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela
e
e
nous allons d´finir le triangle D analytiquement par les in´galit´s (voir figure) :
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /0
1
(x2 + y 2 )dxdy =
D
x
1−x
(
0
1, x − 1
y
1 − x}
(x2 + y 2 )dy)dx
x−1
1
y 3 1−x
] dx
3 x−1
0
1
1
1
=
(2x2 − 2x3 + (1 − x)3 − (1 − x)3 )dx
3
3
0
2 3 1 4
1
1
1
= [ x − x − (1 − x)4 + (1 − x)4 ]1 =
0
3
2
12
12
3
=
[x2 y +
2) Calculons l’aire du domaine circulaire D limit´ par les deux cercles d’´quations analytiques
e
e
(voir figure) : x2 + y 2 = R2 et (x − R)2 + y 2 = R2 .
Figure 1.4 – Intersection de deux disques
Pour calculer l’aire du domaine D nous allons appliquer la formule de Fubini ` l’int´grale
a
e
double,

11. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
11
Observons que si on d´finit le domaine d’int´gration D en fonction des coordonn´es cart´e
e
e
e
siennes x et y par les in´galit´s,
e
e
√
√
3R
3R
2
D = {(x, y) ∈ R / −
y
et R − R2 − y 2 x
R2 − y 2 }
2
2
alors grˆce ` la formule de Fubini on peut ´crire,
a a
e
√
√
R2 −y 2
3R/2
Aire(D) =
=
dxdy =
D
√
3R/2
(2
√
− 3R/2
dy
√
− 3R/2
R−
√
dx
R2 −y 2
R2 − y 2 − R)dy.
Pour calculer l’int´grale simple pr´c´dente nous allons effectuer le changement de variable
e
e e
y = R sin(t) avec t ∈ [−π/3, π/3] :
π/3
Aire(D) =
−π/3
= R2
(2R cos(t) − R)R cos(t)dt
π/3
−π/3
(1 + cos(2t) − cos(t))dt = R2 [t +
√
π
3
= R [2 −
].
3
2
1
π/3
sin(2t) − sin(t)]−π/3
2
2
Exercice 1. Soit D ⊂ R2 une partie born´e ferm´e non vide et f : D → R une fonction
e
e
f (x, y)dxdy, dans les
int´grable. Indiquer les bornes d’int´gration de l’int´grale double,
e
e
e
D
cas suivants :
ı) D1 = {(x, y) ∈ R2 /x a, y b, x + y 1 + a + b} ;
ıı) D2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ax, x2 + y 2 ay} ;
ııı) D3 = {(x, y) ∈ R2 /y x2 , 1 − x2 y}.
Exercice 2. D´crire g´om´triquement le domaine d’int´gration D des int´grales doubles done
e e
e
e
n´es ci-dessous, ensuite, changer l’ordre de leurs bornes d’int´gration.
e
e
√
3
dx
0
25−x2
a
f (x, y)dy,
0
dx
−a
−x+a
√
1
f (x, y)dy,
x+a
dy
y
2
f (x, y)dx,
y2
0
y+2
dy
f (x, y)dx
y2
−1
Exercice 3. Calculer l’aire du domaine plan limit´ par les courbes donn´es :
e
e
a) y = 4x − x2 , y = x.
b) y 2 = 2x, x2 = 6y.
c) y = x3 − 2x, y6x − x3 .
Exercice 4. Calculer les int´grales doubles suivantes :
e
a)
D
b)
D
c)
D
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /ax2
u
y
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u
bx2 ,
c
x
y
d
} avec 0 < a < b et 0 < c < d.
x
1, x2 + y 2 − 2y
0, x
0, y
0}.
x2 − y 2 dxdy o` D est le tringle de sommets O = (0, 0), A = (1, 1) et B = (1, −1).
u

12. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
12
1.2.2
Changement de variables
Dans ce paragraphe, ´tant donn´ un compact ´l´mentaire D et une fonction continue f :
e
e
ee
D → R ; on se propose d’´tudier l’influence du changement de variables dans la d´finition
e
e
g´om´trique du domaine D sur l’expression de l’int´grale double
e e
e
f (x, y)dxdy.
D
Th´or`me 3 (Formule du changement de variables). Soient D ′ et D deux domaines ´l´mene e
ee
taires du plan R2 . Soit T : D ′ → D une application bijective de classe C 1 dont les composantes
sont d´sign´es par (x(u, v), y(u, v)) = T(u, v).
e
e
Si le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est non
e
nul sur le domaine D alors pour toute fonction continue, f : D → R, on a la formule suivante
dite de changement de variables :
f (x, y)dxdy =
D′
D
f (x(u, v), y(u, v)) |
D(x, y)
| dudv
D(u, v)
(1.6)
∂x ∂y ∂x ∂y
D(x, y)
=
−
d´signe le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
e
D(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
diff´rentiable T(u, v) = (x, y).
e
o`
u
D´monstration. Dans cette d´monstration, pour guider notre imagination nous travaillerons
e
e
avec la figure suivante :
Figure 1.5 – Changement de variables
Pour calculer l’int´grale double
e
D
f (x, y)dxdy nous allons subdiviser le domaine D en
utilisant la famille des courbes Ci = T(ui , v) et C′ = T(u, vj ) (Voir la figure), et puis ; nous
j
allons consid´rer la somme de Riemann associ´e ` la fonction f et aux donn´es ci-dessus :
e
e a
e
i=m−1 j=n−1
f (ζi,j )Aire(T(Ri,j ))
i=0
j=0
e
o` Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D ′ . Rappelons que la somme de Riemann tend vers l’int´grale
u
double de la fonction f (x, y) sur D.
Notons que puisque l’application T : D ′ → D est bijective donc on peut trouver des points
ηi,j ∈ D ′ tels que T(ηi,j ) = ζi,j . D’autre part, observons que si on approche l’aire du domaine
∂T
∂T
T(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ),
∂u
∂v
ı
∂x
(ui , vj )
∂u
∂x
(ui , vj )
∂v
on peut alors
suivante,

∂y
(ui , vj )
∂u
∂y
(ui , vj )
∂v
approcher
k
0
=|
∂x
∂y
∂x
∂y
D(x, y)
(ui , vj ) (ui , vj )− (ui , vj ) (ui , vj ) |=|
(ui , vj ) |
∂u
∂v
∂v
∂u
D(u, v)
0
la somme de Riemann pr´c´dente de la fonction f par l’expression
e e
i=m−1 j=n−1
i=0
j=0
f ◦ T(ηi,j ) |
D(x, y)
(ui , vj ) | (ui+1 − ui )(vj+1 − vj ).
D(u, v)
Ainsi, si on fait tendre les ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro on la formule du changement de
e

13. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
13
Corollaire 2. Si T(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) r´alise un changement de variables de D ′ sur D,
e
alors, pour toute fonction continue f : D ′ → D on a la formule de changement de variables en
coordonn´es polaires :
e
f (x, y)dxdy =
f (r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ
(1.7)
D′
D
Exemple 2. 1) Calculons l’int´grale double
e
D
(1 − x2 − y 2 )dxdy o` D d´signe le domaine
u
e
limit´ par le quart du cercle de ration r = 1 centr´ en (0, 0) et les demies droites x
e
e
en passant en coordonn´es polaires : x = r cos(θ) et y = r sin(θ).
e
0 et y
0
Notons qu’en coordonn´es polaires la fonction f (x, y) prend la forme 1 − r 2 tandis que le
e
π
domaine d’int´gration D devient D ′ = {(r, θ)/0 r 1, 0 θ
e
2 . Ainsi, avec ces notations
on applique la formule du changement de variables ` l’int´grale double donn´e on obtient :
a
e
e
D
(1 − x2 − y 2 )dxdy =
D′
(1 − r 2 )rdrdθ
π/2
=
1
(
0
=
0
π/2 2
r
[
0
=
2) Calculons l’int´grale double
e
D
2
π
.
8
(1 − r 2 )rdr)dθ
−
r4 1
] dθ
4 0
x2 + y 2 dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /r 2
u
x2 + y 2
R2 }.
En passant en coordonn´es polaires x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ) on obtient :
e
2π
R
R3 − r 3
)
3
D
0
r
Exercice 5. Calculer les int´grales doubles suivantes en utilisant un changement de variables.
e
x2 + y 2 dxdy =
a)
D
b)
(
ρ2 dr)dθ = 2π(
(x2 + y 2 )dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u
x}.
dxdy o` D est le domaine limit´ par la lemniscate de Bernoulli : (
u
e
D
90
x2 y 2 2 x2
y2
+ 2) = 2 − 2.
a2
b
k
h
2
60
120
1.5
150
30
1
0.5
180
0
210
330
240
300
270
Figure 1.6 – Lemniscate de Bernoulli : (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2
c)
D
d)
y
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 a2 , x 0, y 0}.
u
+ x2
x−y
cos(
)dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x + y
u
1, x
0, y
1} (Indication : poser
a2

14. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
14
1.2.3
Formule de Green-Riemann
Dans ce paragraphe, nous allons d´montrer la formule de Green-Riemann qui relie les int´e
e
grales double sur un domaine D ` une int´grales curviligne d’une forme diff´rentielle de degr´ un
a
e
e
e
le long du bord orient´ du domaine D. Avant qu’on d´montre la formule de Green-Riemann
e
e
nous allons d’abord pr´ciser le sens g´om´trique de l’adjectif : orient´.
e
e e
e
D´finition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) D ⊂ R2 est dit orient´ positivement
e
e
s’il reste du cˆt´ gauche d’un promeneur P qui se d´place dans le sens trigonom´trique le long
oe
e
e
du bord ∂D (fronti`re) du domaine D (Voir figure).
e
x
y
?
y
-
D1
?
-
6
D2
?
6x
-
y
6x
?
6
-
Figure 1.7 – Domaines de R2 orient´s positivement
e
Notons que si en particulier la fronti`re d’un domaine D est constitu´e que par une seule
e
e
composante alors pour orienter D positivement il suffit qu’on parcourt sa fronti`re ∂D dans le
e
sens trigonom´trique.
e
Th´or`me 4. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire dont le bord ∂D est orient´ positivement.
e e
ee
e
Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est une forme diff´rentielle d´finie sur le domaine D et de classe
e
e
C 1 alors on a la formule de Green-Riemann :
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
∂D
(
D
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y))dxdy
∂x
∂y
(1.8)
D´monstration. Supposons que le domaine ´l´mentaire D est d´fini par les in´galit´s suivantes,
e
ee
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c
y
y
d, g1 (y)
x
g2 (y)}
et parcourant sa fronti`re ∂D dans le sens trigonom´trique pour l’orienter positivement (Voir
e
e
la figure).
Sous les hypoth`ses pr´c´dentes calculons l’int´grale double
e
e e
e
D
En effet, si on applique la formule de Fubini on peut ´crire :
e
D
∂Q
(x, y)dxdy =
∂x
d
g2 (y)
(
c
g1 (y)
∂Q
(x, y))dx)dy
∂x
∂Q
(x, y)dxdy.
∂x

15. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
15
B
x
y
y
?
6 x
-
A
Figure 1.8 – Orientation positive du domaine ´l´mentaire D
ee
d
=
c
d
Q(g2 (y), y)dy −
Q(x, y)dy +
=
C2
(Q(g1 (y), y)dy
c
Q(x, y)dy =
Q(x, y).dy
∂D
C1
De mˆme la mˆme fa¸on, si on applique la formule de Fubini a l’int´grale double
e
e
c
`
e
on v´rifie ais´ment qu’on a,
e
e
D
∂P
(x, y)dxdy = −
∂y
D
∂P
(x, y)dxdy
∂y
P(x, y)dx.
∂D
La formule de Green-Riemann s’obtient finalement par soustraction des deux int´grales
e
∂Q
∂P
doubles pr´c´dentes,
e e
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
(
(x, y) −
(x, y))dxdy.
∂y
∂D
D ∂x
Corollaire 3. Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy d´signe une forme diff´rentielle de classe C 1 et
e
e
ferm´e sur le domaine ´l´mentaire D alors son int´grale curviligne
e
ee
e
ω = 0.
∂D
Corollaire 4. L’aire d’un compact ´l´mentaire D ⊂ R2 est donn´e par la formule,
ee
e
Aire(D) =
1
2
D
(xdy − ydx).
(1.9)
D´monstration. Il suffit qu’on applique la formule de Green-Riemann ` la forme diff´rentielle
e
a
e
1
ω = (xdy − ydx) sur le domaine D orient´ positivement.
e
2
Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer l’int´grale curviligne
e
de la forme diff´rentielle suivante,
e
ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Log(
2+y
x(3y + 7)
)dx +
dy
2
1+x
2+y
le long du cercle de rayon R = 1 centr´ au point (0, 0) orient´ positivement.
e
e

16. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
16
nous permet d’´crire,
e
∂Q ∂P
−
)dxdy
∂y
D ∂x
3y + 7
1
(
−
)dxdy
y+2
D y+2
ω =
(
∂D
=
=
3dxdy = 3Aire(D) = 3π
D
2) Calculons l’aire du domaine D limit´ par le folium C de Descate qui est d´fini par le syst`me
e
e
e
param´trique,
e
1 − t2 1 − t2
,t
)
o`
u
|t| 1
(x(t), y(t)) = (
1 + t2 1 + t2
Observons que les ´quations param´triques de la courbe C impliquent qu’on a
e
e
1
1
1
y = tx =⇒ ω = (xdy − ydx) = (x(tdx + xdt) − txdx) = x2 dt
2
2
2
Aire(D) =
=
1
2
1
2
C
(xdy − ydx)
1
(x(t))2 dt =
−1
1
2
1
(
−1
1 − t2 2
) dt.
1 + t2
Maintenant, si dans l’int´grale simple pr´c´dente on effectue le changement de variable,
e
e e
tg(θ) = t, on obtient :
Aire(D) =
1
2
π/4
−π
(1 − tg(θ)2 )2
π
dθ = 2 − .
1 + tg(θ)2
2
Exercice 6. Calculer les int´grales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann.
e
a)
C
b)
(2x3 − y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy o` C d´signe le cercle d’´quation, x2 + y 2 = 2x.
u
e
e
x2 + y 2 dx + y(x + log(x +
C
x2 + y 2 ))dy o` C d´signe l’ellipse d’´quation,
u
e
e
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Exercice 7. Calculer l’aire du domaine D limit´ par la courbe C d´finie ci-dessus.
e
e
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
b) C est l’hypocyclo¨de d’´quation x2/3 + y 2/3 = a2/3 (Voir la figure).
ı
e
a) C est l’ellipse :
Figure 1.9 – L’hypocyclo¨ : x = 2 cos(t) + cos(2t), y = 2 sin(t) − sin(2t), t ∈ [0, 2π].
ıde
c) C est la lemniscate de Bernoulli d’´quation : (
e
x2
+
y2
)2 =
x2
−
y2
.

17. ´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES
90
17
2
60
120
1.5
150
30
1
0.5
180
0
210
330
240
300
270
Figure 1.10 – Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a2 cos(2θ), θ ∈ [0, 2π]
1.3
Int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e
Dans cette section, nous allons ´tendre la d´finition de l’int´grale double aux deux cas suie
e
e
vants :
1) D ⊂ R2 est un domaine born´ et f : D → R est continue mais non born´e.
e
e
2) D ⊂ R2 est un domaine non born´ et f : D → R est continue et born´e.
e
e
1.3.1
Cas d’une fonction positive
D´finition 6. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive. On dira
e
que f est localement int´grable si pour tout compact ´l´mentaire K ⊂ D l’int´grale double
e
ee
e
f (x, y)dxdy est un nombre r´el fini.
e
K
Puisque on sait que les fonctions continues sont int´grables au sens de Riemann sur les
e
compacts ´l´mentaires du plan R2 elles sont donc localement int´grables au-dessus de tous les
ee
e
ouvert de R2 .
D´finition 7. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive localee
ment int´grable. S’il existe une famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 ⊂ D
e
ee
telle que,
1. D =
2.
Kn ,
n 0
lim
n→+∞
f (x, y)dxdy existe dans R,
Kn
on dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy := lim
n→+∞
D
Une int´grale double g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
Kn
Th´or`me 5. Soit D ⊂ R2 un ouvert vide et f : D → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
f (x, y)dxdy ne d´pend pas du choix de la
e
D
famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que D =
ee
D´monstration. Admise.
e
Kn .
n 0

18. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
18
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
D
e
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
Kn = D telle que la suite num´rique
e
n 0
f (x, y)dxdy soit major´e.
e
Kn
D´monstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite num´rique convergente est
e
e
born´e.
e
2) implique 1) En effet, puisque la fonction est positive f (x, y) 0 donc si on l’int`gre sur les
e
compacts ´l´mentaires Kn+1 = Kn ∪ (Kn+1 − Kn ) on obtient les in´galit´s :
ee
e
e
un+1 =
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
Kn+1
f (x, y)dxdy
Kn
un + 0
Kn+1 −Kn
qui montrent que la suite num´rique un =
e
f (x, y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on
Kn
sait que la suite un est major´e dans R elle est donc convergete.
e
Th´or`me 6 (Crit`re de comparaison). Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide ; et soient f, g : D →
e e
e
R+ deux fonctions positives et localement int´grables telles que 0 f (x, y) g(x, y), ∀(x, y) ∈
e
D. Alors on a les propositions :
1. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
converge.
g(x, y)dxdy converge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D
2. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy diverge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D
diverge.
x
f (x, y)dxdy
D
Exemple 4. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e,
e
e e
e
maine D = {(x, y)/0
f (x, y)dxdy
D
1, y 2
D
x}.
dxdy
, converge sur le dox + y2
Kn
1
n
1
Figure 1.11 – Suite croissante de compacts ´l´mentaires de D
ee
1
Consid´rons la suite de compacts Kn = {(x, y)/0
e
y
1,
y2
x} et int´grons la
e
n
1
fonction f (x, y) =
sur les Kn en appliquant la formule de Fubini :
x + y2
1
√
x
1

19. ´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES
19
e
Ainsi, si maintenant on fait tendre l’entier n vers +∞ dans la suite num´rique un on d´duit
e
dxdy
π
que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge vers .
2
2
D x+y
2) Etudions la nature de convergence de l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
dxdy
selon
(1 + x2 + y 2 )α
les valeurs du nombre r´el α.
e
Notons que si on consid`re la suite des disques Dn = {(x, y)/x2 + y 2
e
passage en coordonn´es polaires que :
e
un =
Dn
2π
dxdy
(1 + x2 + y 2 )α
n2 } on obtient apr`s
e
n
rdr
)dθ
2 α
0
0 (1 + r )

π
1

n2
dt
(
− 1), si α = 1
= π
=
−α + 1 (1 + n2 )α−1
α

(1 + t)
0
Log(n2 + 1), si α = 1
=
(
Ainsi, si on passe ` la limite sur l’entier n dans la suite num´rique un on d´duit alors que
a
e
e
dxdy
l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge si et seulement si le r´el α 1.
e
2
2 α
R2 (1 + x + y )
+∞
3) D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e
2
e−t dt est convergente. Ensuite,
0
calculons sa valeur exacte.
+∞
a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e
2
e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous
e
0
avons les in´galit´s :
e
e
2
1 t t2 =⇒ e−t e−t
+∞
=⇒
+∞
2
e−t dt
1
n
e−t = lim
n→+∞ 1
1
e−t dt = lim (−e−n + e−1 ) = e−1
n→+∞
+∞
b) Pour calculer la valeur exacte de l’int´grale double g´n´ralis´e I =
e
e e
e
2
e−t dt nous allons
0
−x2 −y 2
´tudier l’int´grale double g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e
e
dxdy.
R+ ×R+
En effet, si on consid`re la suite de compacts Kn = {( x, y)/x
e
obtient ` passage en coordonn´es polaires,
a
e
e−x
2 −y 2
π/2
dxdy =
Kn
n
(
0
2
re−r dr)dθ =
0
π
2
(1 − e−n ) =⇒
4
0, x2 + y 2
0, y
e−x
2 −y 2
n2 } on
dxdy =
R+ ×R+
π
4
D’autre part, si on consid`re le suite des compacts Ln = [0, n] × [0, n] on obtient la suite
e
num´rique :
e
e−x
un =
2 −y 2
n
dxdy =
Kn
n
(
0
2
n
2
e−x e−y dx)dy = (
0
2
e−x dx)2
0
dont la limite est ´gale `,
e
a
2
2
+∞
2
π
+∞
2
√
π

20. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
20
1.3.2
Cas d’une fonction de signe quelconque
D´finition 8. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction dont la valeur absolue
e
| f (x, y) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
D
| f (x, y) | dxdy converge on
f (x, y)dxdy convergente absolument.
D
Proposition 4. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
D
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = D telle que la suite num´rique
e
Kn
n 0
| f (x, y) | dxdy soit born´e (major´e).
e
e
Autrement dit, l’int´grale double g´n´ralis´e d’une fonction fonction localement int´grable de
e
e e
e
e
signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument.
Exemple 5. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
ment convergente.
sin(x + y)dxdy
est absolu(1 + x2 + y 2 )2
| sin(x + y) |
1
, et puisqu’on sait que l’int´e
2 + y 2 )2
2 + y 2 )2
(1 + x
(1 + x
dxdy
est convergente (voir l’exemple pr´c´dent) on en
e e
grale double g´n´ralis´e
e e
e
2
2 2
R2 (1 + x + y )
sin(x + y)dxdy
d´duit donc que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge absolument.
2
2 2
2 (1 + x + y )
R
En effet, puisque nous avons
sin(x2 + y 2 )dxdy est divergente.
2) Montrons que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
En effet, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de compacts Rn = [−n, n] × [−n, n]
e
on obtient la suite num´rique,
e
2
un =
2
n
sin(x +y )dxdy = 2(
Rn
n
2
sin(x )dx)(
−n
n2
2
cos(y )dy) = 2
0
−n
sin(t)
√ dt)
t
n2
0
cos(t)
√ dt),
t
qui, d’apr`s le th´or`me d’Abel (voir Cours M122), converge vers un r´el fini.
e
e e
e
Par contre, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de disques Dn de centre (0, 0)
e
et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge :
2π
sin(x2 + y 2 )dxdy =
vn =
Dn
n
(
0
0
sin(r 2 )rdr)dθ = π(1 − cos(n2 ))
Exercice 8. Trouver la nature des int´grales doubles g´n´ralis´es suivantes :
e
e e
e
a)
Log(
D
b)
D
c)
D
x2 + y 2 )dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
1}.
1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 1} et a 0.
+ y 2 )a
1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /0 x 1, 0 y 2 x}.
xα + y 2
(x2
sin(x2 + y 2 )e−x
Exercice 9. Montrer que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R+ ×R+
2 −y 2
dxdy est

21. Chapitre 2
Int´grales de surfaces
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. vous familiariser avec la g´om´trie affine des surfaces
e e
3;
classiques de l’espace R
2. savoir calculer le plan tangent et d´terminer la droite
e
normale d’une surface ;
3. savoir calculer l’´l´ment d’aire d’une surface donn´e soit
ee
e
par equation implicite ou param´trique ;
e
4. savoir calculer l’int´grale de surface et le flux d’champ de
e
vecteurs ` travers une surface orient´e ;
a
e
5. savoir appliquer la formule de Stokes.

22. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
22
G´om´trie affine des surfaces classiques de R3
e e
2.1
2.1.1
Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e
D´finition 9. Soit F : R3 → R une fonction de classe C k , k
e
1.
1. Le sous-ensemble Σ(F) = {(x, y, z) ∈ R3 /F(x, y, z) = 0} s’appelle surface de classe C k
d´finie par l’´quation implicite F(x, y, z) = 0.
e
e
2. On dira que le point (a, b, c) ∈ Σ(F) est r´gulier si le vecteur gradient gradF(a, b, c) = 0.
e
Un point (a, b, c) ∈ Σ(F) non r´gulier (i.e. gradF(a, b, c) = 0) est dit singulier. Quand
e
la surface Σ(F) ne poss`de aucun point singulier on dira qu’elle est r´guli`re.
e
e
e
3. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le plan tangent ` Σ(F) par l’´quae
e
a
e
tion affine,
(x − a)
∂F
∂F
∂F
(a, b, c) + (y − b) (a, b, c) + (z − c) (a, b, c) = 0.
∂x
∂y
∂z
(2.1)
L’ensemble des solutions de cette ´quation forme un sous-espace vectoriel de dimension
e
deux ; il se note par TM Σ(F).
4. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le vecteur normal unitaire au plan
e
e
tangent TM Σ(F) par l’expression,
nM =
gradF(a, b, c)
.
// gradF(a, b, c) //
(2.2)
Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /z(x2 + y 2 + xy + 1) = x + y}
est une surface de classe C ∞ r´guli`re et calculons son plans tangent au point O = (0, 0, 0).
e
e
1) Suppose qu’au point M = (x, y, z) ∈ Σ on un vecteur gradient gradF(x, y, z) = 0. Avec
∂F
= x2 + y 2 + xy + 1 = 0, poss`de au-moins une
e
cette hypoth`se on d´duit que l’´quation,
e
e
e
∂z
2 + y 2 + xy + 1 d’ind´termin´ x ´gal `
solution r´el malgr´ que le discriminant du trinˆme x
e
e
o
e
e e
a
3 − 4 0. Donc la surface Σ n’a pas de points singuliers.
∆x = −3y
2) Le plan tangent affine ` Σ au point O = (0, 0, 0) a pour ´quation,
a
e
x
∂F
∂F
∂F
(0, 0, 0) + y
(0, 0, 0) + z
(0, 0, 0) = 0 =⇒ −x − y + z = 0.
∂x
∂y
∂z
−1 −1 1
Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent TO Σ est ´gal `, nO = ( √ , √ , √ ).
e
a
3
3 3
2) Dans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe
C ∞ d´finie par,
e
Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /(x2 + y 2 )z = z 2 − 2x − 2y − 3}.
a) Supposons que le point (x, y, z) ∈ Σ est singulier. Donc, (x, y, z) par d´finition solution du
e
syst`me d’´quations :
e
e


2xz + 2
= 0

 1 − z3 = 0
2yz + 2
= 0 =⇒
yz + 1 = 0 =⇒ (x, y, z) = (−1, −1, 1) ∈ Σ
 2

2 − 2z = 0
x +y
xz + 1 = 0

23. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
23
b) Au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ donnons l’expression du plan tangent et d´terminons les
e
coordonn´es du vecteur unitairte normal ` Σ.
e
a
Puisque le point A = (−1, −1, 1) il est donc r´gulier. Le plan affine tangent de la surface Σ
e
au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ a pour expression :
∂F
∂F
∂F
(1, −1, −1) + (y + 1) (1, −1, −1) + (z + 1) (1, −1, −1) = 0 =⇒ y + z + 2 = 0
∂x
∂y
∂z
√ √
2
2
Le vecteur unitaire normal ` Σ au point A = (1, −1, −1) est ´gal `, nA = (0,
a
e
a
,
).
8
8
(x − 1)
2.1.2
Surfaces param´triques
e
D´finition 10. Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide et F : U → R3 une application de classe
e
C k , k 1.
1. Le sous-ensemble Σ(ϕ) = {ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 /(u, v) ∈ U} s’appelle
surface param´trique de classe C k .
e
∂ϕ
∂ϕ
2. Si au point M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) la famille des vecteurs { (u0 , v0 ),
(u0 , v0 )}
∂u
∂v
est libre on dira que M = (a, b, c) est un point r´gulier sur Σ. Un point ϕ(u0 , v0 ) =
e
∂ϕ
∂ϕ
(a, b, c) ∈ Σ(ϕ) non r´gulier (i.e.
e
(u0 , v0 ) ∧
(u0 , v0 ) = 0) sera dit singulier.
∂u
∂v
3. On d´finit le plan tangent affine de la surface param´trique Σ(ϕ) en un point r´gulier
e
e
e
e
M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) par l’´quation analytique :
x−a
∂x(u0 , v0 )
∂u
∂x(u0 , v0 )
∂v
y−b
∂y(u0 , v0 )
∂u
∂y(u0 , v0 )
∂v
z−c
∂z(u0 , v0 )
∂u
∂z(u0 , v0 )
∂v
=0
(2.3)
et on le note par TM Σ(ϕ).
4. Un vecteur normal ` Σ(ϕ) au point r´gulier M = ϕ(u0 , v0 ) est donn´ par le produit
a
e
e
∂ϕ(u0 , v0 ) ∂ϕ(u0 , v0 )
vectoriel NM =
∧
= 0.
∂u
∂v
Exemple 7. 1) Montrons que la surface Σ d´finie par la param´trisation,
e
e
ϕ(u, v) = ((7 + 5 cos(u)) cos(v), (7 + 5 cos(u)) sin(v), 5 sin(u))
pour
0
u, v
est r´guli`re.
e
e
En effet, pour tout couple (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] le produit vectoriel,
∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v)
∧
∂u
∂v
=
ı

k
−5 sin(u) cos(v)
−5 sin(u) sin(v)
5 cos(u)
−(7 + 5 cos(u)) sin(v) (7 + 5 cos(u)) cos(v)
0
= 5(7 + 5 cos(u))[cos(u) cos(v)ı + cos(u) sin(v) − sin(u)k]
est non nul car sa norme est ´gale ` 5(7 + 5 cos(u))
e
a
10 0.
2) a) Cherchons les points singuliers de la surface Σ′ d´finie par la param´trisation,
e
e
2π

24. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
24
Notons que si le point ψ(u, v) ∈ Σ′ singulier on obtient un produit vectoriel nul,
∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v)
∧
=
∂u
∂v
ı

k
3u2 3u2 2v
3v 2 −3v 2 2u
= 6(u3 + v 3 )ı − 6(u3 − v 3 ) − 18u2 v 2 k = 0.
Ainsi, puisque les ´quations u3 +v 3 = 0 et u3 −v 3 = 0 ont une seule solution (0, 0) on conclut
e
donc que le point ψ(0, 0) = (0, 0, 0) est l’unique point singulier de la surface Σ′ .
e
b) Le plan tangent de la surface Σ′ au point M = ψ(1, 0) = (1, 1, 0) a pour ´quation,
x−1 y−1 z
3
3
0
0
0
2
= 0 =⇒ x − y = 0,
√
√
2
2
dont le vecteur unitaire normal au point M = (1, 1, 0) est ´gal ` n = (
e
a
,−
, 0).
2
2
2.1.3
Surfaces de r´volution
e
D´finition 11. Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C k d´finit par une ´quation implicite ou
e
e
e
par un syst`me d’´quations param´triques ; et soit ∆ ⊂ R3 une droite. On dira que Σ est une
e
e
e
surface de r´volution d’axe ∆ si elle est stable par toutes les rotations R : R3 → R3 d’axe ∆.
e
C’est-`-dire, si M ∈ Σ alors le cercle Γ(M) qui passe par le point M d’axe ∆ est enti`rement
a
e
contenu dans Σ (Voir figure).
∆
Γ(M)
R
(0, y, f (y)) = M
θR
Figure 2.1 – Surface de r´volution d’axe ∆
e
1. Le cercle Γ(M) s’appelle parall`le de la surface de r´volution Σ.
e
e
2. Le plan Π qui passe par l’axe de rotation ∆ s’appelle plan m´ridien.
e
3. L’intersection du plan m´ridien Π avec la surface Σ s’appellent courbes m´ridiennes :
e
e
C = Π ∩ Σ.
Ci-dessous, nous allons exploiter la stabilit´ d’une surface de r´volution par rotation pour
e
e
la param´trer ou la d´finir par une ´quation implicite cart´sienne. Pour simplifier nous allons
e
e
e
e
supposer que l’axe de r´volution de la surface donn´e est ´gal ` ∆ = Oz. Cette hypoth`se est
e
e
e
a
e

25. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
25
La courbe m´ridienne C est d´finie par l’´quation cart´sienne, f (x) = z
e
e
e
e
Observons que si on fixe un point M = (x, 0, f (x)) ∈ C alors en lui appliquant la rotation
d’angle θ ∈ [0, 2π] d’axe Oz on obtient un nouveau point M′ qui appartient ` la surface de
a
r´volution Σ(C, Oz) dont les coordonn´es param´triques sont ´gales ` :
e
e
e
e
a

 X = x cos(θ)
Y = x sin(θ)

Z =
f (x)
avec x ∈ Dom(f ) et θ ∈ [0, 2π].
En effet, le syst`me des ´quations param´triques pr´c´dent d´finit compl`tement la surface
e
e
e
e e
e
e
de r´volution Σ(C, Oz) engendr´e par rotation du graphe de la fonction f (x) = z autour de
e
e
l’axe ∆ = Oz.
Notons que les ´quations param´triques de la surface de r´volution Σ(C, Oz) nous permet de
e
e
e
voir que l’´quation implicite cart´sienne de Σ(C, Oz) est donn´e par :
e
e
e
X2 + Y2 = x2
et
f (x) = z =⇒ f ( X2 + Y2 ) = Z.
Figure 2.2 – Surface de r´volution d’axe Oz
e
La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation implicite, g(x, z) = 0
e
e
e
Soit C une courbe contenue dans le plan Oxz d´finie par par l’´quation implicite, g(x, z) = 0,
e
e
k avec k
o` g est une fonction de classe C
u
1. Fixons un point M = (x, 0, z) ∈ C et appliquons
sur lui une rotation d’axe Oz et d’angle θ. Ceci produit donc un point Mθ = (X, Y, Z) qui
appartient ` la surface de r´volution Σ(C, Oz) dont la projection sur le plan Oxy d´finit un
a
e
e
point (X, Y, 0) = (x cos(θ), x sin(θ), 0) (Voir la figure). Ainsi, si on remarque que Z = z car la
rotation est d’axe Oz et que x2 = X2 + Y2 ; l’´quation implicite g(x, z) = 0 implique que les
e
√
point Mθ = (X, Y, Z) est solution l’´quation, g( X2 + Y2 , Z) = 0.
e
(x, 0, z) = M
∆
Mθ = (X, Y, Z)
θR
Figure 2.3 – Surface de r´volution d’axe ∆
e

26. 26
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
Conclusion : La surface de r´volution d’axe ∆ = Oz engendr´e par rotation de la courbe C
e
e
a
` pour ´quation implicite cart´sienne, g( x2 + y 2 , z) = 0.
e
e
Exemple 8. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c). La
e
e
surface de r´volution d’axe Oz engendr´e par le cercle C centr´ au point (a, 0, c) de rayon r
e
e
e
s’appelle tore. Son ´quation implicite est donc donn´e en fonction des coordonn´es cart´si`nne
e
e
e
e e
2 + y 2 − a)2 + (z − c)2 = r 2 .
par, ( x
La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation param´trique, ρ(t) = (x(t), 0, z(t))
e
e
e
e
Avec les mˆmes id´es que ci-dessus, on v´rifie facilement que la surface de r´volution d’axe Oz
e
e
e
e
engendr´e par la courbe parm´tr´e C, Σ(C, Oz), peut ˆtre d´finie par le syst`me des ´quations
e
e e
e
e
e
e
param´triques :
e

 X = x(t) cos(θ)
Y = x(t) sin(θ)

Z =
z(t)
avec t ∈ Dom(ρ) et θ ∈ [0, 2π].
Exemple 9. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c).
e
e
Si on param´trise le cercle C d’´quation (x − a)2 + (z − c)2 = r 2 par x = r cos(t) + a et
e
e
z = r sin(t) + c on en d´duit que le tore r´gulier engendr´ par C peut ˆtre param´trer par le
e
e
e
e
e
syst`me des ´quations suivantes :
e
e

 x(t, s) = (r cos(t) + a) cos(s)
y(t, s) = (r cos(t) + a) sin(s)

z(t, s) =
r sin(t) + c
Exercice 10. Trouver les ´quations param´triques (resp. cart´siennes) d’une surface de r´voe
e
e
e
lution autour de l’axe Oy et Ox.
Pour finir ce paragraphe consacr´e aux surfaces nous donnerons les ´quations implicites
e
e
cart´si`nnes et implicites de certaines surfaces classique de l’espace R3 .
e e
Exemple 10. A) Sph`re : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
e
Puisque la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon R peut ˆtre obtenue ` partir de la r´volution
e
e
e
a
e
du cercle (x − a)2 + (z − c)2 = R2 autour de l’axe Oz on d´duit donc, de ce qui pr´c`de, que
e
e e
l’´quation cart´sienne de la sph`re est donn´e par, (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
e
e
e
e
Notons que si on d´finit le cercle m´ridien d’´quation (x−a)2 +(z−c)2 = R2 par les ´quations
e
e
e
e
param´triques,
e

 x(t) = R cos(t) + a
y(t) =
b

z(t) = R sin(t) + c
on en d´duit que la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon est param´tr´e par le syst`me d’equae
e
e
e e
e
tions :

 x(t, s) = R cos(t) cos(s) + a
y(t, s) = R cos(t) sin(s) + b

z(t, s) =
R sin(t) + c

27. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
27
Figure 2.4 – La sph`re S2 de l’espace R3
e
B) Ellipso¨ de r´volution :
ıde
e
x2 + y 2 z 2
+ 2 =1
a2
b
L’ellipso¨de de r´volution d’axe Oz est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation
ı
e
d’une ellipse contenue dans le plan Oxz par rotation autour de l’axe Oz.
x2 z 2
Ainsi, si par exemple ; si on fait tourner l’ellipse d’´quation cart´si`nne 2 + 2 = 1 autour
e
e e
a
b
de l’axe Oz on obtient une ellipso¨de de r´volution dont l’´quation cart´sienne est donn´e par :
ı
e
e
e
e
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1.
a2
b
C) Hyperbolo¨ de r´volution :
ıde
e
x2 + y 2 z 2
− 2 =1
a2
b
L’hyperbolo¨de de r´volution est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation d’une
ı
e
hyperbole contenue dans le plan Oxz autour de l’axe Oz.
Par cons´quent, si on fait tourner l’hyperbole d’´quation cart´si`nne
e
e
e e
donc une hyperbolo¨de d’´quation cart´sienne :
ı
e
e
x2 + y 2 z 2
− 2 = 1.
a2
b
x2 z 2
− 2 = 1 elle g´n`re
e e
a2
b
Figure 2.5 – Hyperbol¨ : x2 + y 2 = z 2 + 1
ıde
Pour trouver les ´quations param´triques de l’hyperbolo¨de de r´volution il suffit qu’on pae
e
ı
e
2 − z 2 = 1, par les ´quations x(t) = ach(t), y(t) = 0 et
ram´trise l’hyperbole du plan Oxz, x
e
e
z(t) = b sh(t) :

 x(t, s) = ach(t) cos(s)
y(t, s) = ach(t) sin(s)

z(t, s) =
bsh(t)
D) Parabolo¨ de r´volution ` une seule nappe : z = a(x2 + y 2 )
ıde
e
a

28. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
28
Par exemple, si on consid`re la parabole z = ax2 alors par rotation autour de l’axe Oz on
e
obtient une parabolo¨de de r´volution dont l’´quation cart´si`nne est donn´e par, z = a(x2 +y 2 ).
ı
e
e
e e
e
Figure 2.6 – Parabolo¨ : x2 + y 2 = z
ıde
Notons que si on param´trise la parabole z = ax2 par les ´quations x(t) = t, y(t) = 0 et
e
e
z(t) = at2 on d´duit alors que la parabolo¨de de r´volution peut ˆtre param´tr´e par le syst`me
e
ı
e
e
e e
e
d’´quations :
e

 x(t, s) = t cos(s)
y(t, s) = t sin(s)

z(t, s) =
at2
E) Prabolo¨ de r´volution ` deux nappes :
ıde
e
a
x2 + y 2 z 2
− 2 = −1
a2
b
La parabolo¨de de r´volution ` deux nappes s’obtient par rotation de l’hyperbole ` deux
ı
e
a
a
z 2 x2
branches 2 − 2 = 1 autour de l’axe Oz.
b
a
F) Cˆne de r´volution : z = a
o
e
x2 + y 2 + b
La rotation d’une droite z = ax + b autour de l’axe Oz d´finit une surface appel´e cˆne de
e
e o
2 + y 2 + b.
r´volution. Son ´quation cart´sienne est donn´e par, z = a x
e
e
e
e
Figure 2.7 – Cone de r´volution : a(x2 + y 2 ) = z 2
e
2.2
D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces
e
e e
e
Dans cette section, ´tant donn´e une surface Σ ⊂ R3 de classe C 1 ; on se propose de trouver
e
e
une formule qui nous permet de calculer son aire ou sa masse quand la densit´ de masse est
e
une fonction ρ(x, y, z) continue sur Σ.
1) Cas du graphe d’une fonction
Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C 1 d´finit comme le graphe d’une fonction f : D → R dont
e
le domaine de d´finition est un compact ´l´mentaire d´fini par,
e
ee
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
y
f2 (x)}
Calculons l’aire de la surface Σ :
Figure 2.8 – Subdivison d’une surface

29. ´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES
29
Partageons le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D et
ee
d´signons par Σi,j le graphe de la fonction f au-dessus de du rectangle Ri,j . Avec ces notations,
e
il est clair que le nombre r´el positif,
e
i=m−1 j=n−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
Aire(Σi,j )
nous donne une mesure approch´e de la surface Σ. Donc, pour obtenir la valeur exacte de l’aire
e
de la surface Σ il suffit qu fait tendre l’aire des rectangles Ri,j tend vers z´ro.
e
Pour donner au suite de nombres r´els R(Σ, n, m) une expression explicite, nous allons ape
procher l’aire de la portion de surface Σi,j par l’aire du parall´logramme dont les cˆt´s sont
e
oe
´gales aux vecteurs tangents ` la surface Σ au point (ui , vj , f (ui , vj )) donn´s par :
e
a
e
Ui,j = (ui+1 − ui )(1, 0,
∂f
(ui , vj ))
∂x
et
Vi,j = (vj+1 − vj )(0, 1,
∂f
(ui , vj )).
∂y
Autrement dit, nous allons poser Aire(Σi,j ) =// Ui,j ∧Vi,j // pour avoir la nouvelle l’expression,
i=m−1 j=n−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
// Ui,j ∧ Vi,j //
i=m−1 j=n−1
1+(
=
i=0
j=0
∂f
∂f
(ui , vj ))2 + ( (ui , vj ))2 (ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂x
∂y
qui donne une mesure approch´e de l’aire de la surface Σ. En effet, si on fait tend les quantit´s
e
e
ui+1 − ui et vj+1 − vj simultan´ment vers z´ro on obtient l’int´grale double suivante dont la
e
e
e
valeurs est ´gale ` la mesure exacte de l’aire de la surface Σ :
e
a
1+(
D
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy = Aire(Σ)
∂x
∂y
(2.4)
D´finition 12. Soient D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et Σ ⊂ R3 une surface d´finit par le
e
ee
e
1.
graphe d’une fonction f : D → R de classe C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de la surface Σ autour du point M = (x, y, f (x, y)) par
e
e
l’expression :
dS = (
∂f
∂f
ı+
 + k)dxdyn(x, y, z).
∂x
∂y
(2.5)
o` n(x, y, z) d´signe le vecteur normal unitaire ` Σ calcul´ au point (x, y, f (x, y)) ∈ Σ.
u
e
a
e
2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) ∈ Σ par
e
ee
e
l’expression :
dσ =
1+(
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy =// dS // .
∂x
∂y
(2.6)
3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
∂f
∂f

30. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
30
2) Cas d’une surface param´tr´e
e e
Comme au paragraphe pr´c´dent, consid´rons un domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 et une surface
e e
e
ee
Σ ⊂ R3 de classe C 1 d´finit par le syst`me d’´quations param´triques :
e
e
e
e
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
(u, v) ∈ D ⊂ R2
Notons que pour trouver la mesure approch´e de l’aire de la surface param´trique Σ il suffit
e
e
qu’on subdivise le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ],
ee
et puis ; on approche l’aires des portions de surfaces Σi,j = r(Ri,j ) par la norme du produit
vectoriel suivant :
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧ (vj+1 − vj ) (ui , vj ) //
∂u
∂v
∂r
∂r
= //
(ui , vj ) // · //
(ui , vj ) // sin(ϕi,j )(ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂u
∂v
Aire(Σi,j ) = // (ui+1 − ui )
o` ϕi,j est la mesure de l’angle d´finit par les deux vecteurs
u
e
a
` la surface Σ au point r(ui , vj ).
∂r
∂r
(ui , vj ) et
(ui , vj ) tangents
∂u
∂v
Observons qu’avec ces notations se si on pose,
E(u, v) =//
∂r
(u, v) //2 ,
∂u
F(u, v) =//
∂r 2
// (u, v),
∂v
G(u, v) =
∂r
∂r
(u, v),
(u, v) ,
∂u
∂v
on pourra alors r´crire l’aire de la portion de surface Σi,j sous la forme suivante :
e
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ) //2 = E(ui , vj )F(ui , vj )(sin(ϕi,j ))2
∂u
∂v
= E(ui , vj )F(ui , vj )(1 − (cos(ϕi,j ))2 ) = E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2 .
Aire(Σi,j )2 = //
Finalement, si on consid`re la suite de nombres r´els d´finis par l’expression :
e
e
e
i=n−1 j=m−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
Aire(Σi,j )
i=n−1 j=m−1
=
i=0
j=0
E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2
en faisant tendre les quantit´s ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro ; on obtient la formule
e
e
Aire(Σ) =
D
E(u, v)F(u, v) − G(u, v)2 dudv
(2.8)
qui donne la mesure exacte de l’aire de la surface param´trique Σ.
e
D´finition 13. Soit Σ ⊂ R3 une surface param´tr´e par l’application r : D → R3 de classe
e
e e
1.
C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de surface Σ autour du point M = r(u, v) par l’exprese
e
sion :

31. ´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES
31
2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = r(u, v) ∈ Σ par l’exe
ee
e
pression :
EF − G2 dudv =// dS //
dσ =
(2.10)
∂r 2
∂r ∂r
∂r 2
// , F = //
// et G =
,
.
∂u
∂v
∂u ∂v
3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
o` E = //
u
ρ(x, y, z)dσ =
Σ
ρ(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
D
EF − G2 dudv
(2.11)
Avant qu’on d´veloppe des exemples de calcul des int´grales de surfaces d´finies ci-dessus on
e
e
e
donnera d’abord par deux remarques :
1) Notons que si Σ d´signe une surface d´finie comme le graphe d’une fonction de classe C 1 , en
e
e
posant r(x, y) = (x, y, f (x, y)) lorsque (x, y) ∈ D ; on d´finit ainsi un param´trage de la surface
e
e
Σ dont l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point r(x, y) ∈ Σ est donn´ par,
ee
e
e
ı
dσ =

1 0
0 1
k
∂f
∂x
∂f
∂y
dxdy =// (
∂f ∂f
,
, 1) // dxdy =
∂x ∂y
1+(
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy.
∂x
∂y
Ainsi, en cons´quence de ce calcul ; on d´duit que l’´l´ment infinit´simal de surface dσ ne
e
e
ee
e
d´pend pas de la repr´sentation de la surface Σ comme graphe d’une fonction ou par un syst`me
e
e
e
d’´quations param´triques.
e
e
2) Du fait que l’int´grale de surface se calcule moyennant une int´grale double elle est donc
e
e
lin´aire et additive :
e
Lin´arit´ :
e
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dσ = a
f (x, y, z)dσ + b
g(x, y, z)dσ.
Σ
Σ
Additivit´ :
e
f dσ =
f dσ +
Σ1 ∪Σ2
Σ1
Σ2
Σ
f dσ si l’intersection Σ1 ∩ Σ2 est une courbe.
Exemple 11. 1) Calculons l’aire du parabolo¨de Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 , 0
ı
Puisque la surface Σ est ´gale
e
du domaine D = {(x, y)/x2 + y 2
par,
ı
dσ = 1
0
z
h}.
au graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 d´finie au-dessus
e
h}, son ´l´ment infinit´simal de surface dσ est donc donn´
ee
e
e
 k
0 2x
1 2y
dxdy =
4x2 + 4y 2 + 1dxdy.
L’aire de la surface Σ est maintenant donn´e par l’int´grale :
e
e
√
Aire(Σ) =
4x2 + 4y 2 + 1dxdy = 2π
dσ =
Σ
D
h
4r 2 + 1rdr =
0
2π
(4h + 1)3/2 .
3
2) Calculons l’aire de la sph`re S(O, R) de rayon R 0 centr´e ` l’origine param´tr´e par
e
e a
e e
l’application

32. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
32
Avec ces donn´es on voit que l’´l´ment infinit´simal de surface de la sph`re est ´gale ` :
e
ee
e
e
e
a
dσ =
ı

k
−R sin(θ) cos(ϕ) R cos(θ) cos(ϕ)
0
−R cos(θ) sin(ϕ) −R sin(θ) sin(ϕ) R cos(ϕ)
dθdϕ = R2 cos(ϕ)dθdϕ.
2π
Donc, l’aire de la sph`re S(O, R) est : Aire(S(O, R)) =
e
√
3) Calculons l’int´grale de surface
e
π/2
(
0
R2 cos(ϕ)dϕ)dθ = 4πR2 .
−π/2
4z + 1dσ ´tendue sur la parabolo¨de :
e
ı
Σ
Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2
h}.
Rappelons que dans l’exemple 1), nous avons d´montr´ que l’´l´ment infinit´simal de la
e
e
ee
e
e
e
e
surface Σ est ´gale `, dσ = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. Par cons´quent, l’int´grale de surface donn´e
e
a
est donc ´gale `,
e
a
√
4z + 1dσ =
4(x2 + y 2 ) + 1 4x2 + 4y 2 + 1dxdy
x2 +y 2
Σ
√
= 2π
h
h
(4r 2 + 1)rdr = π(2h2 + h).
0
Exercice 11. Calculer les int´grales de surfaces suivantes :
e
ı)
Σ1
dσ = Aire(Σ1 ) o` Σ1 = {(x, y, z)/az = xy, x2 + y 2
u
ıı)
Σ2
a2 }.
(x2 + y 2 )dσ o` Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
u
ııı)
Σ3
ıv)
Σ4
1 + z 2 dσ o` Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = a2 , −a
u
xydσ o` Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x
u
z
0, y
a}.
0, z
0}.
Exercice 12. Calculer l’aire de la portion Σ d´coup´e par le cylindre d’´quation x2 + y 2 = 2z
e
e
e
sur l’h´misph`re sup´rieure centr´ ` l’origine et de rayon R 0.
e
e
e
ea
2.3
2.3.1
Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface oriena
table
Surfaces orientables dans l’espace R3
D´finition 14. Soit Σ ⊂ R3 une surface r´guli`re de classe C 1 .
e
e
e
1. On dira que la surface Σ est orientable si elle est impossible de trouver une courbe ferm´e
e
Γ de classe C 1 contenue dans Σ le long de laquelle on pourra d´placer continˆment un
e
u
vecteur normal N ` Σ depuis un point A ∈ Γ et le ramener sur son oppos´ −N au mˆme
a
e
e
point A.
2. Soit Σ ⊂ R3 une surface orientable et M ∈ Σ. Un vecteur normal N ` Σ au point M est
a
a
e
e
dit sortant s’il compl`te tout rep`re (v1 , v2 ) tangent ` Σ orient´ positivement (mˆme
e
e
orientation que le plan standard Oxy) en un rep`re (v1 , v2 , N) de l’epace R3 qui a la
e
mˆme orientation que le rep`re canonique Oxyz. En d’autres termes, si le produit mixte
e
e

33. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE33
3. Nous dirons qu’une surface r´guli`re est orient´e positivement quand elle est munie
e
e
e
d’un champ de vecteurs normaux sortants.
Exemple 12. 1) Le plan, le cylindre et la sph`re sont orientables. Sur ces surfaces on remarque
e
que toute normale ∆ qui perce ces surfaces d´finit une face externe (sens positive) et une face
e
interne (sens n´gatif ) (Voir la figure).
e
Figure 2.9 – Orientation du plan, du cylindre et de la sph`re dans R3 non rientable
e
2) Observons qu si on consid`re un rectangle R = [a, b] × [c, d] contenu dans le plan Oxy, en le
e
tordant suivant deux cˆt´s oppos´es ; alors en collant ses deux autres cˆt´s oppos´es on obtient
oe
e
oe
e
une surface qui s’appelle bande de M¨bius.
o
La bande de M¨bius n’est pas orientable. Parce que, comme il est indiquer sur la figure, sur
o
la bande de M¨bius on a trac´ une courbe Γ suivant laquelle on a ramen´ un vecteur normal
o
e
e
e
n0 sur son oppos´ n4 = −n0 .
Figure 2.10 – La bande de M¨bius : surfaces de R3 non rientable
o
En analysant les exemples de surfaces trait´es ci-dessus, on d´duit que pour voir est-ce qu’une
e
e
surface donn´e Σ ⊂ R3 est orientable ou non , il suffit alors qu’on examine le nombre de faces
e
de la surface donn´e. Ainsi, si la surface poss`de deux faces on d´duit qu’elle est orientable
e
e
e
mais s’il poss`de qu’une seule face on d´duit qu’elle est non orientable.
e
e
2.3.2
Flux d’un champ de vecteurs
D´finition 15. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide, X = (P, Q, R) un champ de vecteurs de classe
e
C k sur un ouvert U ⊂ R3 et Σ ⊂ U une surface de classe C k r´guli`re et orient´e positivement.
e
e
e
On d´finit le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ ⊂ U par l’int´grale
e
a
e
de surface suivante :
Φ=
Σ
X · dS =
Σ
X · ndσ
(2.12)
o` n d´signe le champ de vecteurs normaux unitaires sortants de la surface Σ.
u
e
Exemple 13. 1) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X(x, y, z) = (x, y, z) ∈ R3 `
a
travers le tetra`dre Σ limit´ par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.
e
e
Figure 2.11 – Le th´trai`re unit´ de R3
e
e
e

34. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
34
Puisque le th´tradi`re Σ admet quatre faces ∆xy , ∆xz , ∆yz et ∆ ; le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X est donc ´gal ` la somme des flux sortants ` travers les quatre faces du th´trai`re
e
a
a
e
e
Σ (voir figure) :
Σ
X · dS =
∆xy
X · dS +
∆xz
X · dS +
∆yz
X · dS +
∆
X · dS.
a) Flux sortant ` travers les faces ∆xy , ∆zy et ∆xz .
a
Puisque le vecteur normal unitaire sortant de la surface ∆xy est ´gal ` −k et comme l’´l´ment
e a
ee
e
e
infinit´simal de surface de ∆xy est donn´ par dS = −kdxdy , on d´duit donc que le flux sortant
e
du champ de vecteurs X ` travers ∆xy est donn´ par,
a
e
∆xy
X · dS =
x+y 1,z=0
−zdxdy = 0
parce que sur
∆xy , z = 0.
De la mˆme fa¸on, on montre que le flux sortant du champ X ` travers les faces ∆xz et ∆zy
e
c
a
sont donn´s par :
e
∆yz
X · dS =
y+z 1,x=0
−xdxdy = 0
X · dS =
,
∆xz
b) Flux ` travers la face ∆ d’´quation x + y + z = 1, x
a
e
0, y
x+z 1,y=0
0 et z
−ydxdy = 0
0.
En param´trisant la face ∆ par ϕ(x, y) = (x, y, 1−x−y) on voit que son ´l´ment infinit´simal
e
ee
e
de surface est ´gal `,
e
a
ı  k
1 0 −1 dxdy = (ı +  + k)dxdy =⇒ X · dS = (x + y + z)dxdy = dxdy.
0 1 −1
dS =
Ainsi, en cons´quence de ci qui pr´c`de, on conclut que le flux ` travers la face ∆ du tetra`dre
e
e e
a
e
Σ est ´gal `,
e
a
1
∆
X · dS =
(x + y + z)dxdy =
x+y 1
1−x
(
0
0
1
dy)dx = .
2
c) Le flux total sortant du champ de vecteur X ` travers le tetra`dre Σ est donc ´gal `,
a
e
e
a
Σ
X · dS =
∆xy
X · dS +
∆xz
X · dS +
∆yz
X · dS +
1
X · dS = .
2
∆
2) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X = (x, y, z) ` travers l’h´misph`re sup´rieure
a
e
e
e
Σ centr´e ` l’origine (0, 0, 0) et de rayon R.
e a
Pour identifier l’´l´ment infinit´simal de surface associ´ ` Σ nous allons la param´triser par
ee
e
ea
e
l’application ϕ(x, y) = (x, y, R2 − x2 − y 2 ) avec x2 + y 2 R2 .
dS =
ı 
1 0 −
k
x
R2 − x2 − y 2
dxdy = (
x
ı+
y
 + k)dxdy.

35. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE35
R2 − x2 − y 2 on en d´duit que le
e
Ainsi, puisque sur l’h´misph`re sup´rieure on a z =
e
e
e
produit scalaire (flux infinit´simal) :
e
X · dS = (
x2 + y 2
R2 − x2 − y 2
R2
+ z)dxdy =
R2 − x2 − y 2
dxdy.
Le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers l’h´misph`re sup´rieure est donc ´gal `,
a
e
e
e
e
a
Σ
dxdy
X · dS = R2
x2 +y 2 R2
R2
−
x2
−
y2
2π
= R2
R
(
0
0
√
rdr
)dθ = 2πR3
R2 − r 2
3) Soit ω 0 un nombre r´el fix´. Calculons le flux sortant du champ de vecteurs X = ω k
e
e
a
` travers la surface Σ limit´e par le cylindre Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = R2 , 0 z
e
h} et les
2 + y2
2 } et D = {(x, y, h)/x2 + y 2
2 }.
disques D1 = {(x, y, 0)/x
R
R
2
Par additivit´ de l’int´grale de surface, on voit que le flux total du champ de vecteur X = ω k
e
e
est ´gal `,
e
a
Φ=
Σ
X · dS =
Σ1
X · dS +
D1
X · dS +
D2
X · dS.
Ainsi, puisque sur les disques horizontaux D1 et D2 le vecteur de surface infinit´simal est
e
donn´ respectivement par dS1 = −kdxdy et dS2 = kdxdy on aura donc,
e






X · dS1 =
− ωdxdy
X · dS1 = −2πR2 ω


D1
x2 +y 2 R2
D1
=⇒




X · dS2 =
ωdxdy
X · dS2 = 2πR2 ω


x2 +y 2 R2
D2
0
D2
Enfin, en param´trisant le cylindre Σ1 par l’application ϕ(r, θ) = (R cos(θ), R sin(θ), z) avec
e
z h et 0 θ π ; on voit que le vecteur infinit´simal de surface de Σ1 est donn´ par,
e
e
dS =
∂ϕ ∂ϕ
∧
dθdz = (R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz.
∂θ
∂z
Mais, comme le champ de vecteurs X = ω k est orthogonal au vecteur de surface dS =
(R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz on en d´duit donc que le flux du champ de vecteurs X = ω k `
e
a
travers le cylindre Σ1 est nul.
Conclusion, le flux total du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ est :
a
Σ
0 − 2πωR2 + 2πωR2 = 0.
X · dS =
Exercice 13. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface indiqu´e.
a
e
ı) X1 = zxı + zy + y k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = 1, 0 z h}.
ıı) X2 = yı + z + xk et Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = z 2 , 0 z a}.
ııı) X3 = xı + y + z k et Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
ıv) X4 = x3/2 ı + y 3/2  + z 3/2 k et Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x
2.3.3
0, y
0, z
0}.
Formule de Stokes
Th´or`me 7. Soit A = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs de classe C 1 d´finit sur un ouvert
e e
e
non vide U ⊂ R3 . Si on d´signe par ω = Pdx + Qdy + Rdz la forme diff´rentielle associ´e au
e
e
e
champ de vecteurs A alors pour toute surface orientable Σ ⊂ U de classe C 1 et ayant un bord
∂Σ = Γ non vide orient´ positivement on a,
e

36. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
36
Autrement dit, la circulation d’un champ de vecteur A de classe C 1 le long d’une courbe ferm´e Γ est ´gale au flux sortant du champ rotationnel Rot(A) ` travers toute surface orientable
e
e
a
Σ dont le bord ∂Σ = Γ.
D´monstration. Dans cette preuve, on suppose que la surface Σ est param´tr´e par l’application
e
e e
2 sur un domaine ´l´mentaire D de bord C ′ .
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de classe C
ee
Notons qu’avec ces notations, puisque le couple (u, v) parcourt le bord ∂D = C ′ alors le
point r(u, v) parcourt la courbe C = ∂Σ on d´duit donc que l’int´grale curviligne de la forme
e
e
diff´rentielle ω peut s’´crire sous la forme :
e
e
ω =
C
=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
+Q
+ R )du + (P
+Q
+ R )dv
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
C′
∂r
∂r
A◦r·
du + A ◦ r ·
dv.
∂u
∂v
′
C
(P
∂r
∂r
Ainsi, si maintenant on pose U = A ◦ r ·
et V = A ◦ r ·
la formule de Green-Riemann
∂u
∂v
permet de transformer la derni`re int´grale curviligne comme suit :
e
e
C′
A◦r·
∂r
∂r
du + A ◦ r ·
dv =
∂u
∂v
=
=
=
Udu + Vdv
C′
∂V ∂U
−
)dudv
∂v
D ∂u
∂A ◦ r ∂r ∂A ◦ r ∂r
(
·
−
·
)dudv
∂u
∂v
∂v
∂u
D
∂r ∂r
Rot(A ◦ r) · (
∧
)dudv.
∂u ∂v
D
(
∂r ∂r
∧
)dudv
∂u ∂v
est ´gal au vecteur infinit´simal dS associ´ ` la surface Σ ; on obtient la formule de Stokes,
e
e
e a
Finalement, en remarquant que dans l’int´grale double pr´c´dente le vecteur (
e
e e
ω=
C
C
A · dr =
Σ
Rot(A) · dS.
Corollaire 5. Soit X = Pı+Q+Rk un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U ⊂ R3 .
Pour tout couple de surfaces orientables Σ1 et Σ2 contenues dans l’ouvert U et qui ont le mˆme
e
bord Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 on a,
Σ1
Rot(X) · dS =
Σ2
Rot(X) · dS =
Pdx + Qdy + Rdz.
C
Corollaire 6. Soit ω = Pdx+Qdy +Rdz est une forme diff´rentielle de classe C 1 sur un ouvert
e
U ⊂ R3 . Si ω est ferm´e alors pour toute courbe ferm´e C qui borde une surface orientable
e
e
Σ ⊂ U (i.e. C = ∂Σ) on a,
ω = 0.
C
Exemple 14. Calculons l’int´grale curviligne de la forme diff´rentielle,
e
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection du plan x + y + z = 1 et le cylindre
e
e
2 + y 2 = 2x.
x
Pour calculer l’int´grale curviligne
e
ω nous allons appliquer au champ de vecteurs,
C

37. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE37
et ` la surface orientable Σ d´coup´e par le cylindre x2 + y 2 = 2x sur le plan x + y + z = 1.
a
e
e
Notons bien que le bord ∂Σ = C.
Si on applique la formule de Stokes ` ces donn´es on obtient :
a
e
ω =
C
C
=
=
A · dr =
2
√
3
2
√
3
∆
Rot(A)
Σ
[(y − z)ı + (y − x) + (x − y)k] · [ı +  + k]dxdy
0dxdy = 0
∆
o` ∆ d´signe la projection de la surface Σ sur le plan Oxy.
u
e
Exercice 14. V´rifier le th´or`me de Stokes pour le champ de vecteurs X d´fini sur une
e
e e
e
surface orientable Σ dont le bord ∂Σ = C = ∅.
ı) X1 = 2yı + 3x − z 2 k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0}.
ıı) X2 = (y − z)ı + (x3 + yz) − 3xy 2 k et Σ2 = {(x, y, z)/x + y = 1, 0 x, 0 y, 0 z 1}.
Exercice 15. En utilisant la formule de Stokes, calculer l’int´grale curviligne de la forme
e
diff´rentielle,
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection de la sph`re x2 + y 2 + z 2 = 4y et le
e
e
e
2 + y 2 = 2y.
cylindre x

38. 38
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

39. Chapitre 3
Int´grales triples
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale triple en utilisant la formule
e
de Fubini ou en effectuant un changement de variables ;
2. savoir calculer le volume d’un domaine plonger dans l’espace R3 ;
3. savoir appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski ;
4. comprendre qu’une int´grale triple g´n´ralis´e converge
e
e e
e
si et seulement si elle converge absolument.

40. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
40
3.1
D´finition et propri´t´s
e
e e
Soit V ⊂ R3 un domaine born´ et ferm´ (i.e. compact) d´finit par l’expression,
e
e
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y)
z
f2 (x, y)},
o` D ⊂ R2 d´signe un domaine ´l´mentaire et f1 , f2 : D → R deux fonctions continues.
u
e
ee
Dans ce paragraphe, on se propose de calculer la masse total d’un solide dont la forme
g´om´trique est donn´e par le domaine V et dont la densit´ de masse est une fonction continue
e e
e
e
f : V → R.
Notons que si on proj`te le domaine V sur les trois axes de l’espace R3 on obtient trois
e
segments [a1 , b1 ] ⊂ Ox, [a2 , b2 ] ⊂ Oy et [a3 , b3 ] ⊂ Oz tels que V ⊂ [a1 , a2 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ].
Notons aussi que si on partage respectivement les derniers trois segments en m, n et k segments
d’extr´mit´s :
e e
x0 = a1 x1 · · · xm = b1 , y0 = a2 y1 · · · yn = b2 , et z0 = a3 z1 · · · zk = b3
on peut alors d´finir des parall´l´pip`de Pi,j,k = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] × [zl , zl+1 ] ∩ V dont la
e
ee e
r´union recouvre le domaine V.
e
Figure 3.1 – Subdivision d’un domaine V ⊂ R3
Enfin, observons que si dans chaque parall´l´pip`de Pi,j,k on choisit un point ζi,j,l on peut
ee e
alors d´finir une somme de Riemann par l’expression,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1
R(f, n, m, k, ζi,j,l ) =
i=0
j=0
l=0
f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl )
que l’on peut interpr´ter comme la mesure approch´e de la masse totale du solide V.
e
e
D´finition 16. Soit V ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : V → R une fonction continue.
e
ee
1. On dira que la fonction f est int´grable sur le domaine V si la somme de Riemann qui
e
lui est associ´e,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1
R(f, Π(V), ζi,j,l ) =
i=0
j=0
l=0
f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ),
(3.1)
admet une limite finie lorsque vi,j,l = (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ) (i.e volume du
parall´l´pip`de ´l´mentaire Pi,j,l ) tend vers z´ro. La limite de la somme de Riemann,
ee e ee
e
quand elle existe, elle s’appelle int´grale triple de la fonction f (x, y, z) sur le domaine V
e
et elle se note,
lim R(f, m, n, k, ζi,j,l ) =
vi,j,l →0
f (x, y, z)dxdydz.
(3.2)
V
2. L’int´grale triple de la fonction constante f (x, y, z) = 1 s’appelle volume alg´brique du
e
e
domaine V et se note par,

41. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
41
L’int´grale triple d’une fonction continue au-dessus d’un domaine ´l´mentaire satisfait aux
e
ee
propri´t´s alg`briques suivantes :
ee
e
Lin´arit´ : Pour tout couple de fonctions continues f et g sur un compact ´l´mentaire V, et
e
e
ee
pour tout couple de nombres r´els a et b on a,
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dxdydz = a
f (x, y, z)dxdydz + b
V
V
g(x, y, z)dxdydz.
V
Additivit´ : Si V1 et V2 sont deux compacts ´l´mentaires de l’espace R3 tels que V1 ∩ V2 = ∅
e
ee
ou V1 ∩ V2 = Σ est une surface alors on a,
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dxdydz +
V1 ∪V2
V1
f (x, y, z)dxdydz.
V2
Positivit´ : Si V est un compact ´l´mentaire et f : V → R est une fonction continue positive
e
ee
f (x, y, z)dxdydz
alors on a,
V
g : V → R v´rifient l’in´galit´ f
e
e
e
0. Plus g´n´ralement, si deux fonctions continues f et
e e
g alors on a,
f (x, y, z)dxdydz
g(x, y, z)dxdydz.
V
3.2
3.2.1
V
M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
Formule de Fubini
Th´or`me 8 (Formule de Fubini). Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et ϕ1 , ϕ2 : D → R
e e
ee
deux fonctions continues ; et soit V ⊂ un compact ´l´mentaire d´finit analytiquement par,
ee
e
V = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y)
z
ϕ2 (x, y)}.
L’int´grale triple d’une fonction continue f : V → R est ´gale ` :
e
e
a
ϕ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz =
V
(
f (x, y, z)dz)dxdy
(3.4)
ϕ1 (x,y)
D
Notons que si le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
V = {(x, y, z)R3 /(y, z) ∈ D ′ , φ1 (y, z)
x
φ2 (y, z)},
alors l’int´grale triple d’une fonction fonction continue f : V → R est donn´e par la formule
e
e
de Fubini :
φ2 (y,z)
f (x, y, z)dxdydz =
V′
(
f (x, y, z)dx)dydz.
(3.5)
φ1 (y,z)
D′
De mˆme, quand le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
e
V” = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D”, ψ1 (x, z)
y
ψ2 (x, z)},
la formule de Fubini s’´crit sous la forme :
e
ψ2 (x,z)
f (x, y, z)dxdydz =
(
f (x, y, z)dy)dxdz.
(3.6)

42. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
42
Figure 3.2 – Le domaine V limit´ par z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x3 + y 2 )
e
Exemple 15. 1) Calculons le volume du domaine ´l´mentaire V ⊂ R3 qui est limit´ par les
ee
e
deux parabolo¨des de r´volution d´finies par les ´quations : z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x2 + y 2 ).
ı
e
e
e
Notons que le domaine V est limit´ par le graphe des deux fonctions ϕ1 (x, y) = x2 + y 2 et
e
ϕ2 (x, y) = 4 − 3(x2 + y 2 ) d´finies au-dessus du domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 qui est ´gale `
e
ee
e
a
2 est limit´ par la
la projection du domaine V sur le plan Oxy. En effet, le domaine D ⊂ R
e
projection de la courbe C intersection des graphes des fonctions ϕ1 et ϕ2 . D’o` D = {(x, y) ∈
u
R2 /x2 + y 2 1} et V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, x2 + y 2 z 4 − 3(x2 + y 2 )}.
Maintenant, si on applique la formule de Fubini ` la description analytique du domaine D
a
on obtient :
4−3(x2 +y 2 )
Volume(V) =
dxdydz =
(
V
dz)dxdy
x2 +y 2
D
=
D
2π
=
(4 − 4(x2 + y 2 ))dxdy
1
(
0
2) Calculons l’int´grale triple
e
0
(4 − 4r 2 )rdr)dθ = 2π.
zdxdydz ´tendue sur le domaine V limit´ par l’h´misph`re
e
e
e
e
V
sup´rieure de centre O = (0, 0, 0) et de rayon R 0.
e
Figure 3.3 – L’h´misph`re pleine V limit´ par x2 + y 2 + z 2
e
e
e
R2 et x
0
e
e
Puisque le domaine d’int´gration V ⊂ R3 peut ˆtre d´fini analytiquement par l’expression :
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /0
R2 − x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ D}
z
avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 R2 } d´signe la projection du domaine V sur le plan Oxy, en
e
appliquant la formule de Fubini on peut ´crire :
e
√ 2 2 2
zdxdydz =
R −y −x
(
y 2 +x2 R2
V
=
y 2 +x2 R2
2π
R
=
(
0
0
xdx)dxdy
0
1 2
(R − y 2 − x2 )dydz
2
1 2
R4 π
(R − r 2 )rdr)dθ =
.
2
4
Exercice 16. Calculer les int´grales triples suivantes :
e
a)
V
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x
0, y
0, z
0, z
1 − y2, x + y
1}.

43. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
c)
V
d)
V
1
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x
(1 + x + y + z)3
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
0, y
43
0, z
R2 , x2 + y 2 + z 2
0, x + y + z
1}.
2Rz}.
Exercice 17. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions x2 , y 2 , z 2 , xy, xz et zy au-dessus de
e
la boule ferm´e B = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1}.
e
b) En d´duire que pour tout triplet de nombres r´els (a, b, c) l’int´grale de la fonction f (x, y, z) =
e
e
e
4 2
2
2
(a + b + c ).
(ax + by + cz)2 est ´gale `
e
a
15
Exercice 18. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions xy, xz et zy au-dessus du domaine
e
x2 y 2 z 2
V = {(x, y, z) ∈ R3 / 2 + 2 + 2
1, x 0, y 0, z 0}.
a
b
c
b) En d´duire que l’int´grale triple de la fonction g(x, y, z) = xy +yz+zx au-dessus du domaine
e
e
abc
V est ´gale `
e
a
(ab + bc + ca).
15
3.2.2
Changement de variables
Th´or`me 9 (Formule de changement de variables). Soient U1 et U2 deux ouverts non vides
e e
dans l’espace R3 ; et soit T : U1 → U2 une application bijective de classe C 1 dont l’application
inverse T−1 : U2 → U1 de T est de classe C 1 (i.e. T est un changement de variables) alors
pour tout compact ´l´mentaire V′ ⊂ U1 et pour toute fonction continue f : U1 → U2 on a la
ee
formule,
f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )
V′
f ◦ T(u, v, w) |
D(x, y, z)
| dudvdw.
D(u, v, w)
(3.7)
Corollaire 7 (coordonn´es cylindriques). Si T(r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) d´signe le syse
e
t`me de coordonn´es cylindriques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdzdθ.
T(V′ )
V′
Corollaire 8 (Coordonn´es sph´riques). Si T(r, θ, ϕ) = (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))
e
e
d´signe le syst`me de coordonn´es sph´riques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
e
e
f (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))r 2 cos(ϕ)drdϕdθ.
f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )
V′
Exemple 16. 1) Calculons le volume de la boule ferm´e be rayon R 0 centr´e ` l’origine,
e
e a
V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
R2 }.
Pour calculer le volume du domaine V nous allons donc passer en coordonn´es sph´riques :
e
e
R
Volume(V) =
dxdydz =
V
2) Calculons l’int´grale triple
e
2π
(
0
π/2
(
0
−π/2
r 2 cos(ϕ)dϕ)dθ)dr =
4πR3
.
3
x2 + y 2 dxdydz ´tendu sur le cylindre V = {(x, y, z)/x2 +
e

44. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
44
Pour calculer l’int´grale triple donn´e nous allons passer en coordonn´es cylindriques :
e
e
e
R
x2 + y 2 dxdydz =
V
2π
(
0
h
(
0
2πR3
.
3
r 2 dz)dθ)dr =
0
3) Pour tout triplet de nombres r´els a 0, b 0, c 0 et d 0 calculons l’int´grale triple,
e
e
I(a, b, c) =
V
xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz,
´tendu sur le t´tra`dre V = {(x, y, z)/x
e
e e
0, y
0, z
0, x + y + z
1} en effectuant
le changement de variables T(x, y, z) = (X, Y, Z) dont les composantes sont d´finies par les
e
relations,
X = x + y + z,
XY = y + z
et
XYZ = z.
A partir des relations qui d´finissent les composantes X, Y et Z de l’application T on v´rifie
e
e
−1 a pour composantes :
facilement que l’application inverse T
x = X(1 − Y),
y = XY(1 − Z)
et
z = XYZ.
De mˆme, on v´rifie que l’application T transforme le t´tra`dre V en un cube V′ = [0, 1] ×
e
e
e e
[0, 1] × [0, 1] = T(V).
Figure 3.4 – Transformation d’un t´tra`dre en cube
e e
Ainsi, puisque le d´terminant de la matrice jacobienne de la transformation T−1 est ´gal `,
e
e
a
D(x, y, z)
=
D(X, Y, Z)
1−Y
−X
0
Y(1 − Z) X(1 − Z) −XY
YZ
XZ
XY
1−Y
−1
0
= X2 Y Y(1 − Z) 1 − Z −1
YZ
Z
1
1 − Y −1 0
Y
1 0
YZ
Z 1
= X2 Y
= X2 Y,
donc en appliquant la formule du changement de variables on obtient :
I(a, b, c) =
V
xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz
[X(1 − Y)]a [XY(1 − Z)]b [XYZ]c [1 − X]d [X2 Y]dXdYdZ
=
V′
1
1
1
=
0
0
1
=
0
0
Xa+b+c+2 Yb+c+1 Zc (1 − Y)a (1 − Z)b (1 − X)d dXdYdZ
Xa+b+c+2 (1 − X)d dX
1
0
Yb+c+1 (1 − Y)a dY
1
0
Zc (1 − Z)b dZ.
Notons par exemple, si on prend a = b = c = d = 1 on obtient
1
I(1, 1, 1) =
X5 (1 − X)dX
1
Y3 (1 − Y)dY
1
Z(1 − Z)dZ =
1
.

45. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
45
Exercice 19. Calculer les int´grales suivantes en effectuant un changement de variables convee
nable.
a)
x2 + y 2 + z 2 dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 z}.
u
V
1
dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u
(x2 + y 2 + z 2 + a2 )2
V
2Rz} et a 0.
b)
V
(z + 2)(x2 + y 2 + 1)dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
u
V
z cos(x2 + y 2 )dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u
c)
d)
1, 0
1, z
R2 , x2 + y 2 + z 2
z
2}.
0}.
Exercice 20. a) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/4 t1/4 u1/2 , s1/4 t1/2 u1/4 , s1/2 t1/4 u1/4 ).
b) En d´duire que l’application r´alise un changement de variables.
e
e
b) Montrer que l’application inverse T−1 transforme le domaine V = {(x, y, z) ∈ R3 /x4 + y 4 +
z4
3xyz, x 0, y
0, z
0} en un domaine V′ = {(s, t, u) ∈ R3 /s + t + u 3, s 0, t
0, u 0}.
c) Calculer alors le volume du domaine V.
Exercice 21. Soit a 0 un r´el. Calculer le volume du domaine
e
Va = {(x, y, z) ∈ R3 /x5 + y 5 + z 5
a2 xyz, x
0, y
0, z
0}
en consid´rant l’application, T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/5 t1/5 u3/5 , s1/5 t3/5 u1/5 , s3/5 t1/5 u1/5 ).
e
Exercice 22. Soit a 0, b 0, c 0 et α 0 des nombres r´els.
e
1) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application,
e
T(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = (ar(cos(θ) cos(ϕ))α , br(sin(θ) cos(ϕ))α , cr(sin(ϕ))α ).
π π
, [×]0, 2π[.
2 2
3) En utilisant le syst`me de coordonn´es d´finit par l’application T ; calculer le volume des
e
e
e
domaines :
x
y
z
1. V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /( )3 + ( )3 + ( )3 1}.
a
b
c
3 /( x )2/3 + ( y )2/3 + ( z )2/3
2. V2 = {(x, y, z) ∈ R
1}.
a
b
c
2) En d´duire que T r´alise un syst`me de coordonn´es sur R∗ ×] −
e
e
e
e
+
3.2.3
Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss
e e
Th´or`me 10 (Formule d’Ostrigradski-Gauss). Soit X = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs
e e
de classe C 1 d´finit sur un ouvert non vide U ⊂ R3 . Si V ⊂ U est un domaine ´l´mentaire dont
e
ee
le bord (fronti`re) ∂V = Σ est une surface ferm´e orientable alors le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X ` travers la surface Σ = ∂V est ´gal ` l’int´grale triple de la divergence du champ
a
e
a
e
X au-dessus du domaine V :
Σ
X · dS =
Div(X)dxdydz.
V
(3.8)

46. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
46
Corollaire 9. Si un champ de vecteurs X a une divergence nulle, Div(X) = 0, alors son flux
sortant ` travers toute surface ferm´e orientable est nul.
a
e
Corollaire 10. Le flux sortant d’un champ de vecteurs rotatinnel X = Rot(A) est nul `
a
travers toute surface ferm´e orientable :
e
Σ
Rot(A) · dS = 0.
Exemple 17. 1) Calculons le flux du champ de vecteurs X = (z 2 − x)ı − xy + 3z k ` travers
a
la surface ferm´e Σ limit´e par les surfaces d’´quations cart´siennes :
e
e
e
e
z = 4 − y2,
x = 0,
x = 3,
et
z = 0.
Figure 3.5 – Cylindre parabolique
Pour calculer le flux demand´ nous allons appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski.
e
x
3, 0
z
4 − y 2 } dont le
Consid´rons le sous-ensemble V = {(x, y, z) ∈ R3 /0
e
bord est ´gal ` la surface ferm´e orientable Σ = ∂V, et puis ; appliquons la formule de Gausse
a
e
Ostrogradski aux donn´es V, Σ et X :
e
Σ
X · dS =
Div(X)dxdydz
V
=
V
(2 − x)dxdydz
3
0
(
0
3
=
0
2
(
0
4−y 2
2
(
=
0
(2 − x)dz)dy)dx
9
8
(2 − x)(4 − y 2 )dy))dx = (6 − )(8 − ) = 8.
2
3
2) Soit Σ une surface orientable contenue dans le demi-espace sup´rieur de R3 et qui s’appuis
e
2 × {0} centr´ ` l’origine et de rayon R 0.
sur le cercle C ⊂ R
ea
Montrons que le flux du champ de vecteurs X = (y 2 + z 2 )ı + (x2 + z 2 ) + (x2 + y 2 )k ` travers
a
π
une surface Σ est ´gal ` .
e
a
2
Figure 3.6 – Flux
Observons que si on consid`re le disque D centr´ ` l’origine et de rayon R 0 alors en
e
e a
posant Σ′ = Σ ∪ D on obtient une surface ferm´e orientable qui bord un domaine V. Et, ainsi
e
puisque la divergence du champ de vecteurs X est nulle ; la formule de Gauss-Ostrogradski
permet d’´crire :
e
Σ∪D
X · dS =
Σ
X · dS +
D
X · dS =
Div(X) = 0.
V
D’o`,
u
2π
R
πR4

47. ´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES
47
Exercice 23. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X = xz 2 ı+(x2 y−z 3 )+(2xy+y 2 z)k
a
` travers la sph`re centr´e ` l’origine et de rayon R 0,
e
e a
a) en appliquant la d´finition du flux ;
e
b) en appliquant le th´or`me de Gauss-Ostrogradski.
e e
Exercice 24. V´rifier la formule de Gauss-Ostrogradski aux donn´es suivantes :
e
e
a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1, z 0} et X1 = (x2 + y 2 )ı + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 )k.
b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z 1, x 0, y 0, z 0} et X1 = xyı + yz + zx)k.
Exercice 25. En utilisant la formule de Gauss-Ostrogradski montrer que le flux du champ de
vecteurs,
1
X= 2
(xı + y + z k),
2 + z 2 )3/2
(x + y
a
` travers la sph`re Σ centr´e ` l’origine O = (0, 0, 0) et de rayon R 0 est ´gal ` 4π.
e
e a
e
a
3.3
Int´grales triples g´n´ralis´es
e
e e
e
D´finition 17. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive. On dit
e
que f est localement int´grable si son int´grale triple existe sur tout compact ´l´mentaire
e
e
ee
K ⊂ V,
K
f (x, y, z)dxdydz ∈ R.
Puisque les fonctions continues sont int´grables sur les compacts ´l´mentaires de R3 ; elles
e
ee
3.
sont donc localement int´grables sur tout ouvert de R
e
D´finition 18. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive locae
lement int´grable. S’il existe une famille croissante Kn ⊂ Kn+1 ⊂ V de compacts ´l´mentaires
e
ee
telle que
1. V =
2.
Kn ;
n 0
lim
n→+∞
f (x, y, z)dxdydz existe dans R
Kn
nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz := lim
n→+∞
V
converge. Une int´grale triple g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz
Kn
Th´or`me 11. Soit V ⊂ R2 un ouvert vide et f : V → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz ne d´pend pas du
e
V
choix de la famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que V =
ee
Kn .
n 0
D´monstration. Admise.
e
Proposition 5. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz converge.
D
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e

48. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
48
D´monstration. Mˆme d´monstration que pour les int´grales g´n´ralis´es triples.
e
e
e
e
e e
e
Th´or`me 12. Crit`re de comparaison
e e
e
Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide ; et soient f, g : V → R+ deux fonctions positives et
localement int´grables et telles que 0
e
f (x, y, z)
g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ V. Alors on a les
propositions :
1.
g(x, y, z)dxdydz converge implique
f (x, y, z)dxdydz converge.
V
2.
V
f (x, y, z)dxdydz diverge implique
f (x, y, z)dxdydz diverge.
V
V
+∞
2
e−t dt est convergente.
Exemple 18. D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e
0
Ensuite, calculons sa valeur exacte.
+∞
a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e
2
e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous
e
0
avons les in´galit´s :
e
e
+∞
2
1 t t2 =⇒ e−t e−t =⇒
+∞
2
e−t dt
1
n
e−t = lim
n→+∞ 1
1
e−t dt = lim (−e−n +e−1 ) = e−1
n→+∞
+∞
b) Pour calculer la valeur exacte de cette int´grale g´n´ralis´e I =
e
e e
e
2
e−t dt nous allons
0
−x2 −y 2 −z 2
´tudier l’int´grale triple g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e
e
dxdydz.
(R+ )3
z2
Notons que si on consid`re la suite de compacts Kn = {(x, y, z)/x
e
n2 } on obtient,
e−x
2 −y 2 −z 2
π/2
dxdydz =
Kn
π/2
(
n
(
0
0
0, y
2
r 2 e−r cos(ϕ)dr)dθ)dϕ =
0
π
2
, x2 + y 2 +
0, z
n
2
r 2 e−r dr =
0
π
4
Par cons´quent, en passant ` la limite sur n on d´duit qu’on a
e
a
e
e−x
2 −y 2 −z 2
dxdydz =
(R+ )3
π
4
+∞
2
e−t dt
0
D’autre part, si on consid`re le suite de compacts Ln = [0, n]3 on obtient la suite num´rique :
e
e
e−x
un =
2 −y 2 −z 2
n
dxdydz = (
Ln
n
2
e−x dx)(
0
n
2
e−y dy)(
0
n
2
e−z dz) = (
0
2
e−t dt)3
0
dont la limite quand l’entier n tend vers l’infini est ´gale `,
e
a
−x2 −y 2 −z 2
e
(R+ )3
+∞
dxdydz = (
−t2
e
0
π
dt) =
4
+∞
3
−t2
e
+∞
dt =⇒
0
−t2
e
0
dt =
√
π
2
D´finition 19. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction dont la valeur abe
solue | f (x, y, z) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
D
| f (x, y, z) | dxdydz
f (x, y, z)dxdydz convergente ab-

49. ´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES
49
Proposition 6. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz converge.
V
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = V et telle que la suite num´rique
e
Kn
n 0
| f (x, y, z) | dxdydz soit born´e
e
(major´e).
e
Exercice 26. D´montrer que les int´grales triples g´n´ralis´es suivantes convergent.
e
e
e e
e
e−x
a)
2 −y 2 −z 2
dxdydz, V = R3 .
V
b)
V
dxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
le volume de Vn = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
z 2a , 1
z 2a , z
z
1} (Indication : on pourra calculer
n} avec n ∈ N∗ ).
Figure 3.7 – Surface d’´quation : x2 + y 2 = z 2a avec a = −0.7
e