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Calcul des int´grales multiples
e
Abdesselam BOUARICH
Universit´ Sultan Moulay Slimane
e
Facult´ des sciences de Beni Mellal
e

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2
Table des mati`res
e
1 Int´grales doubles
e
1.1 D´finitions et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . .
e
ee
1.1.1 Construction de l’int´grale double . . . . .
e
1.1.2 Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
ee
e
e
1.2 M´thodes de calcul d’une int´grale double . . . . .
e
e
1.2.1 Th´or`me de Fibini . . . . . . . . . . . . .
e e
1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . .
1.2.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . .
1.3 Int´grales doubles g´n´ralis´es . . . . . . . . . . . .
e
e e
e
1.3.1 Cas d’une fonction positive . . . . . . . . .
1.3.2 Cas d’une fonction de signe quelconque . .

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6
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9
9
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17
17
20

2 Int´grales de surfaces
e
2.1 G´om´trie affine des surfaces classiques de R3 . . . . . . . . . . .
e e
2.1.1 Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e
2.1.2 Surfaces param´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.3 Surfaces de r´volution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.2 D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces . . . . . . . . .
e
ee
e
2.3 Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface orientable . .
a
2.3.1 Surfaces orientables dans l’espace R3 . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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41
41
43
45
47

3 Int´grales triples
e
3.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . .
e
ee
3.2 M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
3.2.1 Formule de Fubini . . . . . . . .
3.2.2 Changement de variables . . . .
3.2.3 Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss .
e e
3.3 Int´grales triples g´n´ralis´es . . . . . .
e
e e
e

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4

`
TABLE DES MATIERES
Chapitre 1

Int´grales doubles
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale double en utilisant la formule
e
de Fubini ;
2. savoir effectuer un changement de variables au sein d’une
int´grale double ;
e
3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann ;
4. comprendre que les int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e
convergent si elles sont absolument convergente.
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

6

Dans ce chapitre, on se propose d’´tablir des formules avec lesquelles on sera en mesure de
e
calculer l’aire d’un domaine plan ou le volume d’un domaine de l’espace R3 qui est limit´ par le
e
graphe d’une fonction born´e f (x, y). Les formules qu’on va ´tablir seront appel´es int´grales
e
e
e
e
doubles car, comme on va le voir ; elles seront exprim´ par deux int´grales simples it´r´es qui
e
e
ee
portent la fonction f (x, y) et sur son domaine de d´finition.
e

1.1

D´finitions et propri´t´s
e
e e

1.1.1

Construction de l’int´grale double
e

D´finition 1. On appelle domaine ´l´mentaire du plan R2 toute partie D ⊂ R2 d´finie par
e
ee
e
comme suit,
D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
o` f1 , f2 : [a, b] → R sont deux fonctions continues.
u
Quand, une partie born´e ferm´e D ′ ⊂ R2 est r´union finie de domaines ´l´mentaires on
e
e
e
ee
l’appellera compacte ´l´mentaire.
ee

a

b

Figure 1.1 – Compacts ´l´mentaires du plan R2
ee

Consid´rons un domaine ´l´mentaire D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
e
ee
et f : D → R une fonction born´e. On d´signe par [c, d] le segment obtenu en projetant le
e
e
domaine D sur l’axe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement
en m et n portions,
a = x1 < x2 < · · · < xm = b

et

c = y0 < y1 < · · · < yn = d.

Il est clair que si pour tout couple d’indices 0
i
m et 0
j
n on pose Ri,j =
[xi , xi+1 ]×[yj , yj+1 ] on d´finit ainsi une subdivision du domaine ´l´mentaire D qui sera d´sign´e
e
ee
e
e
par, Π(D) = {(xi , yj ) ∈ R2 /0 i m, 0 j n}.
Enfin, notons que puisque la fonction f : D → R est born´e les deux nombres r´els suivants
e
e
sont donc finis,
mi,j = inf{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }

et

Mi,j = sup{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }.

D´finition 2. Les deux nombres r´els suivants s’appellent respectivement : somme de Darboux
e
e
inf´rieure et somme de Darboux sup´rieure.
e
e
´
´ ´
1.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES

7

et
S(f, Π(D)) =
Ri,j ⊂D

(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j

(1.2)

Figure 1.2 – Volume limit´ par D et le graphe de f (x, y)
e
Maintenant, puisqu’on sait que le nombre r´el (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j (resp. (xi+1 −
e
xi )(yj+1 − yj )Mi,j ) mesure le volume du parall`l´pipde de base Ri,j et de hauteur Mi,j (resp.
ee
mi,j ) ; ceci nous permet d’interpr´ter la somme de Darboux sup´rieure S(f, Π(D)) comme une
e
e
3 qui est limit´e par le domaine ´l´mentaire
mesure par exc`s du volume de la domine V ⊂ R
e
e
ee
D et le graphe de la fonction born´e f . De mˆme, on peut interpr´ter la somme de Darboux
e
e
e
inf´rieure σ(f, Π(D)) peut ˆtre interpr´ter comme une mesure par d´faut du domaine V.
e
e
e
e
D´finition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. Dans chaque rectangle Ri,j de la
e
e
subdivision Π(D) on fixe un point ζi,j ∈ Ri,j ∩ D. Le nombre r´el,
i=m−1 j=n−1

R(f, Π(D), ζi,j ) =

i=0

j=0

f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )

(1.3)

s’appelle somme de Riemann associ´e ` la fonction born´e f et ` la subdivision Π(D) munie
e a
e
a
des points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D.
On v´rifie facilement que les trois sommes d´finies ci-dessus satisfont aux propri´t´s suie
e
ee
vantes :
1. Pour toute subdivision Π(D) d’un domaine ´l´mentaire D ⊆ [a, b] × [c, d] et pour tout
ee
choix de points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D on a la double in´galit´,
e
e
σ(f, Π(D))

R(f, Π(D), ζi,j )

S(f, Π(D)).

(1.4)

2. La somme inf´rieure de Darboux σ(f, Π(D)) augmente au fur et ` mesure que la subdie
a
vision Π(D) devient fine.
3. Tandis que la somme sup´rieure de Darboux S(f, Π(D)) d´munie au fur et ` mesure que
e
e
a
la subdivision Π(D) devient fine.
ee
e
D´finition 4. Soit D ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e.
e

1. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Darboux sur le domaine D si ses
e
sommes de Darboux inf´rieure et sup´rieure sont ´gales,
e
e
e
sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}.
2. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Riemann sur le domaine D si la
e
somme de Riemann R(f, Π(D), ζi,j ) admet une limite finie quand xi+1 − xi et yj+1 − yj
tendent vers z´ro.
e
3. Si f : D → R est int´gralble au sens de Riemann ou au sens de Darboux on notera les
e
trois limits ´gales,
e
lim

xi+1 −xi →0
yj+1 −yj →0

par le symbole

R(f, Π(D), zi,j ) = sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}
f (x, y)dxdy qui se lit int´grale double de la fonction f sur le doe
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

8

ee
Th´or`me 1. Soit D ⊂ R2 un compact ´l´mentaire. Alors toute fonction continue f : D → R
e e
est int´grable au sens de Riemann.
e
D´monstration. Admise.
e
Pour achever ce paragraphe consacr´ ` la construction de l’int´grale double d’une fonction
ea
e
born´e f : D → R, notons qu’on a les faits suivants :
e
1. Si on prend f (x, y) = 1 alors par construction de l’int´grale double on d´duit que l’aire
e
e
du domaine D est donn´e par,
e
Aire(D) =
2. L’int´grale double
e
D

dxdy

(1.5)

D

f (x, y)dxdy mesure le volume alg´brique du domaine V ⊂ R3
e

limit´ par le domaine ´l´mentaire D et par le graphe de la fonction born´e f .
e
ee
e

3. Si par exemple le domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 d´signe une plaque m´tallique dont la
ee
e
e
densit´ de masse (resp. temperature) est donn´e en chaque point (x, y) ∈ D par une
e
e
fonction born´e f (x, y), alors ; interpr´ter l’int´grale double
e
e
e

f (x, y)dxdy mesure la

D

masse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque m´tallique D.
e

1.1.2

Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
e e
e
e

Dans ce paragraphe, nous donnerons quelques propri´t´s de nature alg´brique de l’int´grale
ee
e
e
double. Ces propri´t´s se d´montrent facilement ` partir des sommes de Darboux et de Rieee
e
a
mann.
Proposition 1. L’int´grale double au sens de Riemann d’une fonction born´e sur un compact
e
e
´l´mentaire v´rifie les propri´t´s suivantes :
ee
e
ee
1. L’int´grale double est lin´aire :
e
e
2 un domaine ´l´mentaire et f, g : D → R deux fonctions int´grales. Alors
Soient D ⊂ R
ee
e
pour tous r´els λ et µ on a,
e
(λf (x, y) + µg(x, y))dxdy = λ

f (x, y)dxdy + µ

D

D

g(x, y)dxdy
D

2. L’int´grale double est additif :
e
Soient D1 et D2 sont deux domaines ´l´mentaires de R2 dont l’intersection D1 ∩ D2 est
ee
vide ou ´gale ` une courbe plane. Alors pour toute fonction int´grable f : D1 ∪ D2 → R
e
a
e
on a,
f (x, y)dxdy =
D1 ∪D2

f (x, y)dxdy +
D1

f (x, y)dxdy
D2

3. L’int´grale double est croissante :
e
– Si pour tout (x, y) ∈ mathcalD on a f (x, y)

0 alors,

f (x, y)dxdy

0;

D

– Si la fonction f (x, y) est positive sur le domaine D alors pour tout sous domaine
´l´mentaire D ′ ⊂ D on a,
ee

f (x, y)dxdy

D′

f (x, y)dxdy.

D

– Si f, g : D → R sont deux fonctions int´grables telles que f (x, y)
e

g(x, y) sur le
´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE

9

Proposition 2. Soit D un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e int´grable.
ee
e
e
Alors on a l’in´galit´ :
e
e
|

D

f (x, y)dxdy |

| f (x, y) | dxdy

D

En particulier, si Aire(D) = 0 alors on a

1.2

sup{| f (x, y) | /(x, y) ∈ D}Aire(D)
f (x, y)dxdy = 0.

D

M´thodes de calcul d’une int´grale double
e
e

Cette section sera enti`rement consacr´e aux m´thodes de calcul des int´grales doubles. Pour
e
e
e
e
assurer une bien assimilation des m´thodes que nous avons ´tudier ci-dessous, nous les avons
e
e
suivi par des exemples de calcul d’illustration.

1.2.1

Th´or`me de Fibini
e e

Th´or`me 2. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction continue. Si
e e
ee
le domaine D est d´fini par,
e
{(x, y) ∈ R2 /a

x

b, f1 (x)

y

f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c

y

d, g1 (y)

x

g2 (y)}

alors l’int´grable double de la fonction f (x, y) est ´gale `,
e
e
a
b

f (x, y)dxdy =

f2 (x)

(
a

D

d

f (x, y)dy)dx =
f1 (x)

g2 (y)

(
c

f (x, y)dx)dy
g1 (y)

D´monstration. Id´e de la d´monstration :
e
e
e
Puisque la fonction f (x, y) est continue son int´grale double
e

f (x, y)dxdy peut ˆtre donc
e
D

approch´e par la somme de Riemann associ´e ` une subdivision Π(D) et un choix de points
e
e a
ζi,j ∈ Ri,j ∩ D :
i=m−1 j=n−1

R(f, Π(D), zi,j ) =

i=0

f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )

j=0

i=m−1 j=n−1

=

[
i=0

f (ζi,j )(yj+1 − yj )](xi+1 − xi )

j=0

e
e
Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre yj+1 − yj vers z´ro dans la quantit´
mise entre crochet tout en laissant xi+1 − xi fixe on obtient une int´grale simple de type
e
f (x, y)dy dont les bornes d´pendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on
e

fait tendre xi+1 − xi vers z´ro on obtient une int´grale double ´gale ` l’it´ration de deux
e
e
e
a
e
int´grales simples de la forme,
e

[

f (x, y)dy]dx.

Corollaire 1. Sur un rectangle D = [a, b] × [c, d] l’int´grale double d’une fonction continue
e
b

f (x, y) est donn´e par,
e

f (x, y)dxdy =
D

d

(
a

d

f (x, y)dy)dx =
c

f (x, y)dx)dy.

c

En particulier, si f (x, y) = F(x)G(y) alors on a

a
b

f (x, y)dxdy = (
D

Exemple 1. 1) Calculons l’int´grale double
e

b

(

d

F(x)dx)(
a

G(y)dy).
c

(x2 + y 2 )dxdy o` D d´signe le triangle limit´
u
e
e
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

10

1−x
x
x−1
Figure 1.3 – Triangle

Pour calculer l’int´grale double donn´e nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela
e
e
nous allons d´finir le triangle D analytiquement par les in´galit´s (voir figure) :
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /0
1

(x2 + y 2 )dxdy =
D

x

1−x

(
0

1, x − 1

y

1 − x}

(x2 + y 2 )dy)dx

x−1
1

y 3 1−x
] dx
3 x−1
0
1
1
1
=
(2x2 − 2x3 + (1 − x)3 − (1 − x)3 )dx
3
3
0
2 3 1 4
1
1
1
= [ x − x − (1 − x)4 + (1 − x)4 ]1 =
0
3
2
12
12
3
=

[x2 y +

2) Calculons l’aire du domaine circulaire D limit´ par les deux cercles d’´quations analytiques
e
e
(voir figure) : x2 + y 2 = R2 et (x − R)2 + y 2 = R2 .

Figure 1.4 – Intersection de deux disques

Pour calculer l’aire du domaine D nous allons appliquer la formule de Fubini ` l’int´grale
a
e
double,
´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE

11

Observons que si on d´finit le domaine d’int´gration D en fonction des coordonn´es cart´e
e
e
e
siennes x et y par les in´galit´s,
e
e
√
√
3R
3R
2
D = {(x, y) ∈ R / −
y
et R − R2 − y 2 x
R2 − y 2 }
2
2
alors grˆce ` la formule de Fubini on peut ´crire,
a a
e
√
√
R2 −y 2

3R/2

Aire(D) =
=

dxdy =
D
√
3R/2

(2
√
− 3R/2

dy
√
− 3R/2

R−

√

dx

R2 −y 2

R2 − y 2 − R)dy.

Pour calculer l’int´grale simple pr´c´dente nous allons effectuer le changement de variable
e
e e
y = R sin(t) avec t ∈ [−π/3, π/3] :
π/3

Aire(D) =

−π/3

= R2

(2R cos(t) − R)R cos(t)dt

π/3

−π/3

(1 + cos(2t) − cos(t))dt = R2 [t +

√
π
3
= R [2 −
].
3
2

1
π/3
sin(2t) − sin(t)]−π/3
2

2

Exercice 1. Soit D ⊂ R2 une partie born´e ferm´e non vide et f : D → R une fonction
e
e

f (x, y)dxdy, dans les

int´grable. Indiquer les bornes d’int´gration de l’int´grale double,
e
e
e

D

cas suivants :
ı) D1 = {(x, y) ∈ R2 /x a, y b, x + y 1 + a + b} ;
ıı) D2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ax, x2 + y 2 ay} ;
ııı) D3 = {(x, y) ∈ R2 /y x2 , 1 − x2 y}.

Exercice 2. D´crire g´om´triquement le domaine d’int´gration D des int´grales doubles done
e e
e
e
n´es ci-dessous, ensuite, changer l’ordre de leurs bornes d’int´gration.
e
e
√

3

dx
0

25−x2

a

f (x, y)dy,
0

dx
−a

−x+a

√

1

f (x, y)dy,

x+a

dy

y

2

f (x, y)dx,
y2

0

y+2

dy

f (x, y)dx
y2

−1

Exercice 3. Calculer l’aire du domaine plan limit´ par les courbes donn´es :
e
e
a) y = 4x − x2 , y = x.
b) y 2 = 2x, x2 = 6y.
c) y = x3 − 2x, y6x − x3 .
Exercice 4. Calculer les int´grales doubles suivantes :
e
a)
D

b)
D

c)
D

dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /ax2
u

y

dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u

bx2 ,

c
x

y

d
} avec 0 < a < b et 0 < c < d.
x

1, x2 + y 2 − 2y

0, x

0, y

0}.

x2 − y 2 dxdy o` D est le tringle de sommets O = (0, 0), A = (1, 1) et B = (1, −1).
u
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

12

1.2.2

Changement de variables

Dans ce paragraphe, ´tant donn´ un compact ´l´mentaire D et une fonction continue f :
e
e
ee
D → R ; on se propose d’´tudier l’influence du changement de variables dans la d´finition
e
e

g´om´trique du domaine D sur l’expression de l’int´grale double
e e
e

f (x, y)dxdy.

D

Th´or`me 3 (Formule du changement de variables). Soient D ′ et D deux domaines ´l´mene e
ee
taires du plan R2 . Soit T : D ′ → D une application bijective de classe C 1 dont les composantes
sont d´sign´es par (x(u, v), y(u, v)) = T(u, v).
e
e
Si le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est non
e
nul sur le domaine D alors pour toute fonction continue, f : D → R, on a la formule suivante
dite de changement de variables :
f (x, y)dxdy =
D′

D

f (x(u, v), y(u, v)) |

D(x, y)
| dudv
D(u, v)

(1.6)

∂x ∂y ∂x ∂y
D(x, y)
=
−
d´signe le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
e
D(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
diff´rentiable T(u, v) = (x, y).
e
o`
u

D´monstration. Dans cette d´monstration, pour guider notre imagination nous travaillerons
e
e
avec la figure suivante :
Figure 1.5 – Changement de variables

Pour calculer l’int´grale double
e
D

f (x, y)dxdy nous allons subdiviser le domaine D en

utilisant la famille des courbes Ci = T(ui , v) et C′ = T(u, vj ) (Voir la figure), et puis ; nous
j
allons consid´rer la somme de Riemann associ´e ` la fonction f et aux donn´es ci-dessus :
e
e a
e
i=m−1 j=n−1

f (ζi,j )Aire(T(Ri,j ))
i=0

j=0

e
o` Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D ′ . Rappelons que la somme de Riemann tend vers l’int´grale
u
double de la fonction f (x, y) sur D.
Notons que puisque l’application T : D ′ → D est bijective donc on peut trouver des points
ηi,j ∈ D ′ tels que T(ηi,j ) = ζi,j . D’autre part, observons que si on approche l’aire du domaine
∂T
∂T
T(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ),
∂u
∂v
ı
∂x
(ui , vj )
∂u
∂x
(ui , vj )
∂v
on peut alors
suivante,


∂y
(ui , vj )
∂u
∂y
(ui , vj )
∂v
approcher

k
0

=|

∂x
∂y
∂x
∂y
D(x, y)
(ui , vj ) (ui , vj )− (ui , vj ) (ui , vj ) |=|
(ui , vj ) |
∂u
∂v
∂v
∂u
D(u, v)

0
la somme de Riemann pr´c´dente de la fonction f par l’expression
e e

i=m−1 j=n−1
i=0

j=0

f ◦ T(ηi,j ) |

D(x, y)
(ui , vj ) | (ui+1 − ui )(vj+1 − vj ).
D(u, v)

Ainsi, si on fait tendre les ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro on la formule du changement de
e
´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE

13

Corollaire 2. Si T(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) r´alise un changement de variables de D ′ sur D,
e
alors, pour toute fonction continue f : D ′ → D on a la formule de changement de variables en
coordonn´es polaires :
e
f (x, y)dxdy =

f (r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ

(1.7)

D′

D

Exemple 2. 1) Calculons l’int´grale double
e
D

(1 − x2 − y 2 )dxdy o` D d´signe le domaine
u
e

limit´ par le quart du cercle de ration r = 1 centr´ en (0, 0) et les demies droites x
e
e
en passant en coordonn´es polaires : x = r cos(θ) et y = r sin(θ).
e

0 et y

0

Notons qu’en coordonn´es polaires la fonction f (x, y) prend la forme 1 − r 2 tandis que le
e
π
domaine d’int´gration D devient D ′ = {(r, θ)/0 r 1, 0 θ
e
2 . Ainsi, avec ces notations
on applique la formule du changement de variables ` l’int´grale double donn´e on obtient :
a
e
e
D

(1 − x2 − y 2 )dxdy =

D′

(1 − r 2 )rdrdθ

π/2

=

1

(
0

=

0
π/2 2
r

[

0

=
2) Calculons l’int´grale double
e
D

2

π
.
8

(1 − r 2 )rdr)dθ

−

r4 1
] dθ
4 0

x2 + y 2 dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /r 2
u

x2 + y 2

R2 }.

En passant en coordonn´es polaires x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ) on obtient :
e
2π

R

R3 − r 3
)
3
D
0
r
Exercice 5. Calculer les int´grales doubles suivantes en utilisant un changement de variables.
e
x2 + y 2 dxdy =

a)
D

b)

(

ρ2 dr)dθ = 2π(

(x2 + y 2 )dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u

x}.

dxdy o` D est le domaine limit´ par la lemniscate de Bernoulli : (
u
e
D
90

x2 y 2 2 x2
y2
+ 2) = 2 − 2.
a2
b
k
h

2
60

120
1.5

150

30

1

0.5

180

0

210

330

240

300
270

Figure 1.6 – Lemniscate de Bernoulli : (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2
c)
D

d)

y
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 a2 , x 0, y 0}.
u
+ x2
x−y
cos(
)dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x + y
u
1, x
0, y
1} (Indication : poser

a2
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

14

1.2.3

Formule de Green-Riemann

Dans ce paragraphe, nous allons d´montrer la formule de Green-Riemann qui relie les int´e
e
grales double sur un domaine D ` une int´grales curviligne d’une forme diff´rentielle de degr´ un
a
e
e
e
le long du bord orient´ du domaine D. Avant qu’on d´montre la formule de Green-Riemann
e
e
nous allons d’abord pr´ciser le sens g´om´trique de l’adjectif : orient´.
e
e e
e
D´finition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) D ⊂ R2 est dit orient´ positivement
e
e
s’il reste du cˆt´ gauche d’un promeneur P qui se d´place dans le sens trigonom´trique le long
oe
e
e
du bord ∂D (fronti`re) du domaine D (Voir figure).
e

x



y
?
y

-

D1 

?

-

6

D2

?

6x
-

y



6x


?

6
-

Figure 1.7 – Domaines de R2 orient´s positivement
e

Notons que si en particulier la fronti`re d’un domaine D est constitu´e que par une seule
e
e
composante alors pour orienter D positivement il suffit qu’on parcourt sa fronti`re ∂D dans le
e
sens trigonom´trique.
e
Th´or`me 4. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire dont le bord ∂D est orient´ positivement.
e e
ee
e
Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est une forme diff´rentielle d´finie sur le domaine D et de classe
e
e
C 1 alors on a la formule de Green-Riemann :
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
∂D

(
D

∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y))dxdy
∂x
∂y

(1.8)

D´monstration. Supposons que le domaine ´l´mentaire D est d´fini par les in´galit´s suivantes,
e
ee
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a

x

b, f1 (x)

f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c

y

y

d, g1 (y)

x

g2 (y)}

et parcourant sa fronti`re ∂D dans le sens trigonom´trique pour l’orienter positivement (Voir
e
e
la figure).

Sous les hypoth`ses pr´c´dentes calculons l’int´grale double
e
e e
e
D

En effet, si on applique la formule de Fubini on peut ´crire :
e

D

∂Q
(x, y)dxdy =
∂x

d

g2 (y)

(
c

g1 (y)

∂Q
(x, y))dx)dy
∂x

∂Q
(x, y)dxdy.
∂x
´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE

15

B
x

y

y

?

6 x
-

A

Figure 1.8 – Orientation positive du domaine ´l´mentaire D
ee
d

=
c

d

Q(g2 (y), y)dy −
Q(x, y)dy +

=
C2

(Q(g1 (y), y)dy
c

Q(x, y)dy =

Q(x, y).dy
∂D

C1

De mˆme la mˆme fa¸on, si on applique la formule de Fubini a l’int´grale double
e
e
c
`
e
on v´rifie ais´ment qu’on a,
e
e
D

∂P
(x, y)dxdy = −
∂y

D

∂P
(x, y)dxdy
∂y

P(x, y)dx.
∂D

La formule de Green-Riemann s’obtient finalement par soustraction des deux int´grales
e
∂Q
∂P
doubles pr´c´dentes,
e e
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
(
(x, y) −
(x, y))dxdy.
∂y
∂D
D ∂x
Corollaire 3. Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy d´signe une forme diff´rentielle de classe C 1 et
e
e
ferm´e sur le domaine ´l´mentaire D alors son int´grale curviligne
e
ee
e

ω = 0.

∂D

Corollaire 4. L’aire d’un compact ´l´mentaire D ⊂ R2 est donn´e par la formule,
ee
e
Aire(D) =

1
2

D

(xdy − ydx).

(1.9)

D´monstration. Il suffit qu’on applique la formule de Green-Riemann ` la forme diff´rentielle
e
a
e
1
ω = (xdy − ydx) sur le domaine D orient´ positivement.
e
2
Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer l’int´grale curviligne
e
de la forme diff´rentielle suivante,
e
ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Log(

2+y
x(3y + 7)
)dx +
dy
2
1+x
2+y

le long du cercle de rayon R = 1 centr´ au point (0, 0) orient´ positivement.
e
e
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

16
nous permet d’´crire,
e

∂Q ∂P
−
)dxdy
∂y
D ∂x
3y + 7
1
(
−
)dxdy
y+2
D y+2

ω =

(

∂D

=
=

3dxdy = 3Aire(D) = 3π
D

2) Calculons l’aire du domaine D limit´ par le folium C de Descate qui est d´fini par le syst`me
e
e
e
param´trique,
e
1 − t2 1 − t2
,t
)
o`
u
|t| 1
(x(t), y(t)) = (
1 + t2 1 + t2

Observons que les ´quations param´triques de la courbe C impliquent qu’on a
e
e
1
1
1
y = tx =⇒ ω = (xdy − ydx) = (x(tdx + xdt) − txdx) = x2 dt
2
2
2

Aire(D) =
=

1
2
1
2

C

(xdy − ydx)
1

(x(t))2 dt =

−1

1
2

1

(
−1

1 − t2 2
) dt.
1 + t2

Maintenant, si dans l’int´grale simple pr´c´dente on effectue le changement de variable,
e
e e
tg(θ) = t, on obtient :
Aire(D) =

1
2

π/4
−π

(1 − tg(θ)2 )2
π
dθ = 2 − .
1 + tg(θ)2
2

Exercice 6. Calculer les int´grales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann.
e
a)
C

b)

(2x3 − y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy o` C d´signe le cercle d’´quation, x2 + y 2 = 2x.
u
e
e
x2 + y 2 dx + y(x + log(x +

C

x2 + y 2 ))dy o` C d´signe l’ellipse d’´quation,
u
e
e

x2
a2

+

y2
b2

= 1.

Exercice 7. Calculer l’aire du domaine D limit´ par la courbe C d´finie ci-dessus.
e
e
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
b) C est l’hypocyclo¨de d’´quation x2/3 + y 2/3 = a2/3 (Voir la figure).
ı
e
a) C est l’ellipse :

Figure 1.9 – L’hypocyclo¨ : x = 2 cos(t) + cos(2t), y = 2 sin(t) − sin(2t), t ∈ [0, 2π].
ıde

c) C est la lemniscate de Bernoulli d’´quation : (
e

x2

+

y2

)2 =

x2

−

y2

.
´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES
90

17

2
60

120
1.5

150

30

1

0.5

180

0

210

330

240

300
270

Figure 1.10 – Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a2 cos(2θ), θ ∈ [0, 2π]

1.3

Int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e

Dans cette section, nous allons ´tendre la d´finition de l’int´grale double aux deux cas suie
e
e
vants :
1) D ⊂ R2 est un domaine born´ et f : D → R est continue mais non born´e.
e
e
2) D ⊂ R2 est un domaine non born´ et f : D → R est continue et born´e.
e
e

1.3.1

Cas d’une fonction positive

D´finition 6. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive. On dira
e
que f est localement int´grable si pour tout compact ´l´mentaire K ⊂ D l’int´grale double
e
ee
e
f (x, y)dxdy est un nombre r´el fini.
e

K

Puisque on sait que les fonctions continues sont int´grables au sens de Riemann sur les
e
compacts ´l´mentaires du plan R2 elles sont donc localement int´grables au-dessus de tous les
ee
e
ouvert de R2 .
D´finition 7. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive localee
ment int´grable. S’il existe une famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 ⊂ D
e
ee
telle que,
1. D =
2.

Kn ,
n 0

lim

n→+∞

f (x, y)dxdy existe dans R,
Kn

on dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y)dxdy := lim

n→+∞

D

Une int´grale double g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e

f (x, y)dxdy converge.
Kn

Th´or`me 5. Soit D ⊂ R2 un ouvert vide et f : D → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e

f (x, y)dxdy ne d´pend pas du choix de la
e

D

famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que D =
ee
D´monstration. Admise.
e

Kn .
n 0
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

18
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y)dxdy converge.
D

e
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
Kn = D telle que la suite num´rique
e

n 0

f (x, y)dxdy soit major´e.
e

Kn

D´monstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite num´rique convergente est
e
e
born´e.
e
2) implique 1) En effet, puisque la fonction est positive f (x, y) 0 donc si on l’int`gre sur les
e
compacts ´l´mentaires Kn+1 = Kn ∪ (Kn+1 − Kn ) on obtient les in´galit´s :
ee
e
e
un+1 =

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dxdy +

Kn+1

f (x, y)dxdy

Kn

un + 0

Kn+1 −Kn

qui montrent que la suite num´rique un =
e

f (x, y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on
Kn

sait que la suite un est major´e dans R elle est donc convergete.
e
Th´or`me 6 (Crit`re de comparaison). Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide ; et soient f, g : D →
e e
e
R+ deux fonctions positives et localement int´grables telles que 0 f (x, y) g(x, y), ∀(x, y) ∈
e
D. Alors on a les propositions :
1. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
converge.

g(x, y)dxdy converge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D

2. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y)dxdy diverge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D

diverge.

x

f (x, y)dxdy
D

Exemple 4. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e,
e
e e
e
maine D = {(x, y)/0

f (x, y)dxdy
D

1, y 2

D

x}.

dxdy
, converge sur le dox + y2

Kn
1
n

1

Figure 1.11 – Suite croissante de compacts ´l´mentaires de D
ee
1
Consid´rons la suite de compacts Kn = {(x, y)/0
e
y
1,
y2
x} et int´grons la
e
n
1
fonction f (x, y) =
sur les Kn en appliquant la formule de Fubini :
x + y2
1

√
x

1
´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES

19

e
Ainsi, si maintenant on fait tendre l’entier n vers +∞ dans la suite num´rique un on d´duit
e
dxdy
π
que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge vers .
2
2
D x+y
2) Etudions la nature de convergence de l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2

dxdy
selon
(1 + x2 + y 2 )α

les valeurs du nombre r´el α.
e
Notons que si on consid`re la suite des disques Dn = {(x, y)/x2 + y 2
e
passage en coordonn´es polaires que :
e
un =
Dn

2π

dxdy
(1 + x2 + y 2 )α

n2 } on obtient apr`s
e

n

rdr
)dθ
2 α
0
0 (1 + r )

π
1

n2
dt
(
− 1), si α = 1
= π
=
−α + 1 (1 + n2 )α−1
α

(1 + t)
0
Log(n2 + 1), si α = 1
=

(

Ainsi, si on passe ` la limite sur l’entier n dans la suite num´rique un on d´duit alors que
a
e
e
dxdy
l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge si et seulement si le r´el α  1.
e
2
2 α
R2 (1 + x + y )
+∞

3) D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e

2

e−t dt est convergente. Ensuite,

0

calculons sa valeur exacte.
+∞

a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e

2

e−t dt converge parce que pour tout r´el t  1 nous
e

0

avons les in´galit´s :
e
e
2

1  t  t2 =⇒ e−t  e−t
+∞

=⇒

+∞

2

e−t dt

1

n

e−t = lim

n→+∞ 1

1

e−t dt = lim (−e−n + e−1 ) = e−1
n→+∞

+∞

b) Pour calculer la valeur exacte de l’int´grale double g´n´ralis´e I =
e
e e
e

2

e−t dt nous allons

0
−x2 −y 2

´tudier l’int´grale double g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e

e

dxdy.

R+ ×R+

En effet, si on consid`re la suite de compacts Kn = {( x, y)/x
e
obtient ` passage en coordonn´es polaires,
a
e
e−x

2 −y 2

π/2

dxdy =

Kn

n

(
0

2

re−r dr)dθ =

0

π
2
(1 − e−n ) =⇒
4

0, x2 + y 2

0, y

e−x

2 −y 2

n2 } on

dxdy =

R+ ×R+

π
4

D’autre part, si on consid`re le suite des compacts Ln = [0, n] × [0, n] on obtient la suite
e
num´rique :
e
e−x

un =

2 −y 2

n

dxdy =

Kn

n

(
0

2

n

2

e−x e−y dx)dy = (

0

2

e−x dx)2

0

dont la limite est ´gale `,
e
a
2

2

+∞

2

π

+∞

2

√

π
´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES

20

1.3.2

Cas d’une fonction de signe quelconque

D´finition 8. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction dont la valeur absolue
e
| f (x, y) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e

D

| f (x, y) | dxdy converge on

f (x, y)dxdy convergente absolument.
D

Proposition 4. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y)dxdy converge.
D

2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = D telle que la suite num´rique
e

Kn

n 0

| f (x, y) | dxdy soit born´e (major´e).
e
e

Autrement dit, l’int´grale double g´n´ralis´e d’une fonction fonction localement int´grable de
e
e e
e
e
signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument.
Exemple 5. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2

ment convergente.

sin(x + y)dxdy
est absolu(1 + x2 + y 2 )2

| sin(x + y) |
1
, et puisqu’on sait que l’int´e
2 + y 2 )2
2 + y 2 )2
(1 + x
(1 + x
dxdy
est convergente (voir l’exemple pr´c´dent) on en
e e
grale double g´n´ralis´e
e e
e
2
2 2
R2 (1 + x + y )
sin(x + y)dxdy
d´duit donc que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge absolument.
2
2 2
2 (1 + x + y )
R
En effet, puisque nous avons

sin(x2 + y 2 )dxdy est divergente.

2) Montrons que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
R2

En effet, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de compacts Rn = [−n, n] × [−n, n]
e
on obtient la suite num´rique,
e
2

un =

2

n

sin(x +y )dxdy = 2(
Rn

n

2

sin(x )dx)(
−n

n2

2

cos(y )dy) = 2
0

−n

sin(t)
√ dt)
t

n2
0

cos(t)
√ dt),
t

qui, d’apr`s le th´or`me d’Abel (voir Cours M122), converge vers un r´el fini.
e
e e
e
Par contre, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de disques Dn de centre (0, 0)
e
et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge :
2π

sin(x2 + y 2 )dxdy =

vn =
Dn

n

(
0

0

sin(r 2 )rdr)dθ = π(1 − cos(n2 ))

Exercice 8. Trouver la nature des int´grales doubles g´n´ralis´es suivantes :
e
e e
e
a)

Log(
D

b)
D

c)
D

x2 + y 2 )dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2

1}.

1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 1} et a  0.
+ y 2 )a
1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /0 x 1, 0 y 2 x}.
xα + y 2
(x2

sin(x2 + y 2 )e−x

Exercice 9. Montrer que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R+ ×R+

2 −y 2

dxdy est
Chapitre 2

Int´grales de surfaces
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. vous familiariser avec la g´om´trie affine des surfaces
e e
3;
classiques de l’espace R
2. savoir calculer le plan tangent et d´terminer la droite
e
normale d’une surface ;
3. savoir calculer l’´l´ment d’aire d’une surface donn´e soit
ee
e
par equation implicite ou param´trique ;
e
4. savoir calculer l’int´grale de surface et le flux d’champ de
e
vecteurs ` travers une surface orient´e ;
a
e
5. savoir appliquer la formule de Stokes.
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

22

G´om´trie affine des surfaces classiques de R3
e e

2.1
2.1.1

Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e

D´finition 9. Soit F : R3 → R une fonction de classe C k , k
e

1.

1. Le sous-ensemble Σ(F) = {(x, y, z) ∈ R3 /F(x, y, z) = 0} s’appelle surface de classe C k
d´finie par l’´quation implicite F(x, y, z) = 0.
e
e
2. On dira que le point (a, b, c) ∈ Σ(F) est r´gulier si le vecteur gradient gradF(a, b, c) = 0.
e
Un point (a, b, c) ∈ Σ(F) non r´gulier (i.e. gradF(a, b, c) = 0) est dit singulier. Quand
e
la surface Σ(F) ne poss`de aucun point singulier on dira qu’elle est r´guli`re.
e
e
e
3. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le plan tangent ` Σ(F) par l’´quae
e
a
e
tion affine,
(x − a)

∂F
∂F
∂F
(a, b, c) + (y − b) (a, b, c) + (z − c) (a, b, c) = 0.
∂x
∂y
∂z

(2.1)

L’ensemble des solutions de cette ´quation forme un sous-espace vectoriel de dimension
e
deux ; il se note par TM Σ(F).
4. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le vecteur normal unitaire au plan
e
e
tangent TM Σ(F) par l’expression,
nM =

gradF(a, b, c)
.
// gradF(a, b, c) //

(2.2)

Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /z(x2 + y 2 + xy + 1) = x + y}
est une surface de classe C ∞ r´guli`re et calculons son plans tangent au point O = (0, 0, 0).
e
e
1) Suppose qu’au point M = (x, y, z) ∈ Σ on un vecteur gradient gradF(x, y, z) = 0. Avec
∂F
= x2 + y 2 + xy + 1 = 0, poss`de au-moins une
e
cette hypoth`se on d´duit que l’´quation,
e
e
e
∂z
2 + y 2 + xy + 1 d’ind´termin´ x ´gal `
solution r´el malgr´ que le discriminant du trinˆme x
e
e
o
e
e e
a
3 − 4  0. Donc la surface Σ n’a pas de points singuliers.
∆x = −3y
2) Le plan tangent affine ` Σ au point O = (0, 0, 0) a pour ´quation,
a
e
x

∂F
∂F
∂F
(0, 0, 0) + y
(0, 0, 0) + z
(0, 0, 0) = 0 =⇒ −x − y + z = 0.
∂x
∂y
∂z

−1 −1 1
Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent TO Σ est ´gal `, nO = ( √ , √ , √ ).
e
a
3
3 3
2) Dans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe
C ∞ d´finie par,
e
Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /(x2 + y 2 )z = z 2 − 2x − 2y − 3}.
a) Supposons que le point (x, y, z) ∈ Σ est singulier. Donc, (x, y, z) par d´finition solution du
e
syst`me d’´quations :
e
e


2xz + 2
= 0

 1 − z3 = 0
2yz + 2
= 0 =⇒
yz + 1 = 0 =⇒ (x, y, z) = (−1, −1, 1) ∈ Σ
 2

2 − 2z = 0
x +y
xz + 1 = 0
´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3

23

b) Au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ donnons l’expression du plan tangent et d´terminons les
e
coordonn´es du vecteur unitairte normal ` Σ.
e
a
Puisque le point A = (−1, −1, 1) il est donc r´gulier. Le plan affine tangent de la surface Σ
e
au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ a pour expression :
∂F
∂F
∂F
(1, −1, −1) + (y + 1) (1, −1, −1) + (z + 1) (1, −1, −1) = 0 =⇒ y + z + 2 = 0
∂x
∂y
∂z
√ √
2
2
Le vecteur unitaire normal ` Σ au point A = (1, −1, −1) est ´gal `, nA = (0,
a
e
a
,
).
8
8

(x − 1)

2.1.2

Surfaces param´triques
e

D´finition 10. Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide et F : U → R3 une application de classe
e
C k , k 1.

1. Le sous-ensemble Σ(ϕ) = {ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 /(u, v) ∈ U} s’appelle
surface param´trique de classe C k .
e
∂ϕ
∂ϕ
2. Si au point M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) la famille des vecteurs { (u0 , v0 ),
(u0 , v0 )}
∂u
∂v
est libre on dira que M = (a, b, c) est un point r´gulier sur Σ. Un point ϕ(u0 , v0 ) =
e
∂ϕ
∂ϕ
(a, b, c) ∈ Σ(ϕ) non r´gulier (i.e.
e
(u0 , v0 ) ∧
(u0 , v0 ) = 0) sera dit singulier.
∂u
∂v
3. On d´finit le plan tangent affine de la surface param´trique Σ(ϕ) en un point r´gulier
e
e
e
e
M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) par l’´quation analytique :
x−a
∂x(u0 , v0 )
∂u
∂x(u0 , v0 )
∂v

y−b
∂y(u0 , v0 )
∂u
∂y(u0 , v0 )
∂v

z−c
∂z(u0 , v0 )
∂u
∂z(u0 , v0 )
∂v

=0

(2.3)

et on le note par TM Σ(ϕ).
4. Un vecteur normal ` Σ(ϕ) au point r´gulier M = ϕ(u0 , v0 ) est donn´ par le produit
a
e
e
∂ϕ(u0 , v0 ) ∂ϕ(u0 , v0 )
vectoriel NM =
∧
= 0.
∂u
∂v
Exemple 7. 1) Montrons que la surface Σ d´finie par la param´trisation,
e
e
ϕ(u, v) = ((7 + 5 cos(u)) cos(v), (7 + 5 cos(u)) sin(v), 5 sin(u))

pour

0

u, v

est r´guli`re.
e
e
En effet, pour tout couple (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] le produit vectoriel,
∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v)
∧
∂u
∂v

=

ı

k
−5 sin(u) cos(v)
−5 sin(u) sin(v)
5 cos(u)
−(7 + 5 cos(u)) sin(v) (7 + 5 cos(u)) cos(v)
0

= 5(7 + 5 cos(u))[cos(u) cos(v)ı + cos(u) sin(v) − sin(u)k]
est non nul car sa norme est ´gale ` 5(7 + 5 cos(u))
e
a

10  0.

2) a) Cherchons les points singuliers de la surface Σ′ d´finie par la param´trisation,
e
e

2π
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

24

Notons que si le point ψ(u, v) ∈ Σ′ singulier on obtient un produit vectoriel nul,
∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v)
∧
=
∂u
∂v

ı

k
3u2 3u2 2v
3v 2 −3v 2 2u

= 6(u3 + v 3 )ı − 6(u3 − v 3 ) − 18u2 v 2 k = 0.

Ainsi, puisque les ´quations u3 +v 3 = 0 et u3 −v 3 = 0 ont une seule solution (0, 0) on conclut
e
donc que le point ψ(0, 0) = (0, 0, 0) est l’unique point singulier de la surface Σ′ .
e
b) Le plan tangent de la surface Σ′ au point M = ψ(1, 0) = (1, 1, 0) a pour ´quation,
x−1 y−1 z
3
3
0
0
0
2

= 0 =⇒ x − y = 0,
√

√
2
2
dont le vecteur unitaire normal au point M = (1, 1, 0) est ´gal ` n = (
e
a
,−
, 0).
2
2

2.1.3

Surfaces de r´volution
e

D´finition 11. Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C k d´finit par une ´quation implicite ou
e
e
e
par un syst`me d’´quations param´triques ; et soit ∆ ⊂ R3 une droite. On dira que Σ est une
e
e
e
surface de r´volution d’axe ∆ si elle est stable par toutes les rotations R : R3 → R3 d’axe ∆.
e
C’est-`-dire, si M ∈ Σ alors le cercle Γ(M) qui passe par le point M d’axe ∆ est enti`rement
a
e
contenu dans Σ (Voir figure).
∆
Γ(M)

R

(0, y, f (y)) = M

θR

Figure 2.1 – Surface de r´volution d’axe ∆
e

1. Le cercle Γ(M) s’appelle parall`le de la surface de r´volution Σ.
e
e
2. Le plan Π qui passe par l’axe de rotation ∆ s’appelle plan m´ridien.
e
3. L’intersection du plan m´ridien Π avec la surface Σ s’appellent courbes m´ridiennes :
e
e
C = Π ∩ Σ.
Ci-dessous, nous allons exploiter la stabilit´ d’une surface de r´volution par rotation pour
e
e
la param´trer ou la d´finir par une ´quation implicite cart´sienne. Pour simplifier nous allons
e
e
e
e
supposer que l’axe de r´volution de la surface donn´e est ´gal ` ∆ = Oz. Cette hypoth`se est
e
e
e
a
e
´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3

25

La courbe m´ridienne C est d´finie par l’´quation cart´sienne, f (x) = z
e
e
e
e
Observons que si on fixe un point M = (x, 0, f (x)) ∈ C alors en lui appliquant la rotation
d’angle θ ∈ [0, 2π] d’axe Oz on obtient un nouveau point M′ qui appartient ` la surface de
a
r´volution Σ(C, Oz) dont les coordonn´es param´triques sont ´gales ` :
e
e
e
e
a

 X = x cos(θ)
Y = x sin(θ)

Z =
f (x)
avec x ∈ Dom(f ) et θ ∈ [0, 2π].

En effet, le syst`me des ´quations param´triques pr´c´dent d´finit compl`tement la surface
e
e
e
e e
e
e
de r´volution Σ(C, Oz) engendr´e par rotation du graphe de la fonction f (x) = z autour de
e
e
l’axe ∆ = Oz.
Notons que les ´quations param´triques de la surface de r´volution Σ(C, Oz) nous permet de
e
e
e
voir que l’´quation implicite cart´sienne de Σ(C, Oz) est donn´e par :
e
e
e
X2 + Y2 = x2

et

f (x) = z =⇒ f ( X2 + Y2 ) = Z.

Figure 2.2 – Surface de r´volution d’axe Oz
e

La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation implicite, g(x, z) = 0
e
e
e
Soit C une courbe contenue dans le plan Oxz d´finie par par l’´quation implicite, g(x, z) = 0,
e
e
k avec k
o` g est une fonction de classe C
u
1. Fixons un point M = (x, 0, z) ∈ C et appliquons
sur lui une rotation d’axe Oz et d’angle θ. Ceci produit donc un point Mθ = (X, Y, Z) qui
appartient ` la surface de r´volution Σ(C, Oz) dont la projection sur le plan Oxy d´finit un
a
e
e
point (X, Y, 0) = (x cos(θ), x sin(θ), 0) (Voir la figure). Ainsi, si on remarque que Z = z car la
rotation est d’axe Oz et que x2 = X2 + Y2 ; l’´quation implicite g(x, z) = 0 implique que les
e
√
point Mθ = (X, Y, Z) est solution l’´quation, g( X2 + Y2 , Z) = 0.
e

(x, 0, z) = M

∆
Mθ = (X, Y, Z)

θR

Figure 2.3 – Surface de r´volution d’axe ∆
e
26

´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

Conclusion : La surface de r´volution d’axe ∆ = Oz engendr´e par rotation de la courbe C
e
e
a
` pour ´quation implicite cart´sienne, g( x2 + y 2 , z) = 0.
e
e
Exemple 8. Soient a  0, c  0 et r  0 des nombres r´els fix´s tels que r  min(a, c). La
e
e
surface de r´volution d’axe Oz engendr´e par le cercle C centr´ au point (a, 0, c) de rayon r
e
e
e
s’appelle tore. Son ´quation implicite est donc donn´e en fonction des coordonn´es cart´si`nne
e
e
e
e e
2 + y 2 − a)2 + (z − c)2 = r 2 .
par, ( x
La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation param´trique, ρ(t) = (x(t), 0, z(t))
e
e
e
e
Avec les mˆmes id´es que ci-dessus, on v´rifie facilement que la surface de r´volution d’axe Oz
e
e
e
e
engendr´e par la courbe parm´tr´e C, Σ(C, Oz), peut ˆtre d´finie par le syst`me des ´quations
e
e e
e
e
e
e
param´triques :
e

 X = x(t) cos(θ)
Y = x(t) sin(θ)

Z =
z(t)
avec t ∈ Dom(ρ) et θ ∈ [0, 2π].

Exemple 9. Soient a  0, c  0 et r  0 des nombres r´els fix´s tels que r  min(a, c).
e
e
Si on param´trise le cercle C d’´quation (x − a)2 + (z − c)2 = r 2 par x = r cos(t) + a et
e
e
z = r sin(t) + c on en d´duit que le tore r´gulier engendr´ par C peut ˆtre param´trer par le
e
e
e
e
e
syst`me des ´quations suivantes :
e
e

 x(t, s) = (r cos(t) + a) cos(s)
y(t, s) = (r cos(t) + a) sin(s)

z(t, s) =
r sin(t) + c
Exercice 10. Trouver les ´quations param´triques (resp. cart´siennes) d’une surface de r´voe
e
e
e
lution autour de l’axe Oy et Ox.
Pour finir ce paragraphe consacr´e aux surfaces nous donnerons les ´quations implicites
e
e
cart´si`nnes et implicites de certaines surfaces classique de l’espace R3 .
e e
Exemple 10. A) Sph`re : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
e
Puisque la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon R peut ˆtre obtenue ` partir de la r´volution
e
e
e
a
e
du cercle (x − a)2 + (z − c)2 = R2 autour de l’axe Oz on d´duit donc, de ce qui pr´c`de, que
e
e e
l’´quation cart´sienne de la sph`re est donn´e par, (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
e
e
e
e
Notons que si on d´finit le cercle m´ridien d’´quation (x−a)2 +(z−c)2 = R2 par les ´quations
e
e
e
e
param´triques,
e

 x(t) = R cos(t) + a
y(t) =
b

z(t) = R sin(t) + c
on en d´duit que la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon est param´tr´e par le syst`me d’equae
e
e
e e
e
tions :

 x(t, s) = R cos(t) cos(s) + a
y(t, s) = R cos(t) sin(s) + b

z(t, s) =
R sin(t) + c
´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3

27

Figure 2.4 – La sph`re S2 de l’espace R3
e
B) Ellipso¨ de r´volution :
ıde
e

x2 + y 2 z 2
+ 2 =1
a2
b

L’ellipso¨de de r´volution d’axe Oz est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation
ı
e
d’une ellipse contenue dans le plan Oxz par rotation autour de l’axe Oz.
x2 z 2
Ainsi, si par exemple ; si on fait tourner l’ellipse d’´quation cart´si`nne 2 + 2 = 1 autour
e
e e
a
b
de l’axe Oz on obtient une ellipso¨de de r´volution dont l’´quation cart´sienne est donn´e par :
ı
e
e
e
e
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1.
a2
b
C) Hyperbolo¨ de r´volution :
ıde
e

x2 + y 2 z 2
− 2 =1
a2
b

L’hyperbolo¨de de r´volution est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation d’une
ı
e
hyperbole contenue dans le plan Oxz autour de l’axe Oz.
Par cons´quent, si on fait tourner l’hyperbole d’´quation cart´si`nne
e
e
e e
donc une hyperbolo¨de d’´quation cart´sienne :
ı
e
e

x2 + y 2 z 2
− 2 = 1.
a2
b

x2 z 2
− 2 = 1 elle g´n`re
e e
a2
b

Figure 2.5 – Hyperbol¨ : x2 + y 2 = z 2 + 1
ıde

Pour trouver les ´quations param´triques de l’hyperbolo¨de de r´volution il suffit qu’on pae
e
ı
e
2 − z 2 = 1, par les ´quations x(t) = ach(t), y(t) = 0 et
ram´trise l’hyperbole du plan Oxz, x
e
e
z(t) = b sh(t) :

 x(t, s) = ach(t) cos(s)
y(t, s) = ach(t) sin(s)

z(t, s) =
bsh(t)
D) Parabolo¨ de r´volution ` une seule nappe : z = a(x2 + y 2 )
ıde
e
a
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

28

Par exemple, si on consid`re la parabole z = ax2 alors par rotation autour de l’axe Oz on
e
obtient une parabolo¨de de r´volution dont l’´quation cart´si`nne est donn´e par, z = a(x2 +y 2 ).
ı
e
e
e e
e

Figure 2.6 – Parabolo¨ : x2 + y 2 = z
ıde

Notons que si on param´trise la parabole z = ax2 par les ´quations x(t) = t, y(t) = 0 et
e
e
z(t) = at2 on d´duit alors que la parabolo¨de de r´volution peut ˆtre param´tr´e par le syst`me
e
ı
e
e
e e
e
d’´quations :
e

 x(t, s) = t cos(s)
y(t, s) = t sin(s)

z(t, s) =
at2
E) Prabolo¨ de r´volution ` deux nappes :
ıde
e
a

x2 + y 2 z 2
− 2 = −1
a2
b

La parabolo¨de de r´volution ` deux nappes s’obtient par rotation de l’hyperbole ` deux
ı
e
a
a
z 2 x2
branches 2 − 2 = 1 autour de l’axe Oz.
b
a
F) Cˆne de r´volution : z = a
o
e

x2 + y 2 + b

La rotation d’une droite z = ax + b autour de l’axe Oz d´finit une surface appel´e cˆne de
e
e o
2 + y 2 + b.
r´volution. Son ´quation cart´sienne est donn´e par, z = a x
e
e
e
e

Figure 2.7 – Cone de r´volution : a(x2 + y 2 ) = z 2
e

2.2

D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces
e
e e
e

Dans cette section, ´tant donn´e une surface Σ ⊂ R3 de classe C 1 ; on se propose de trouver
e
e
une formule qui nous permet de calculer son aire ou sa masse quand la densit´ de masse est
e
une fonction ρ(x, y, z) continue sur Σ.
1) Cas du graphe d’une fonction
Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C 1 d´finit comme le graphe d’une fonction f : D → R dont
e
le domaine de d´finition est un compact ´l´mentaire d´fini par,
e
ee
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a

x

b, f1 (x)

y

f2 (x)}

Calculons l’aire de la surface Σ :

Figure 2.8 – Subdivison d’une surface
´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES

29

Partageons le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D et
ee
d´signons par Σi,j le graphe de la fonction f au-dessus de du rectangle Ri,j . Avec ces notations,
e
il est clair que le nombre r´el positif,
e
i=m−1 j=n−1

R(Σ, n, m) =

i=0

j=0

Aire(Σi,j )

nous donne une mesure approch´e de la surface Σ. Donc, pour obtenir la valeur exacte de l’aire
e
de la surface Σ il suffit qu fait tendre l’aire des rectangles Ri,j tend vers z´ro.
e
Pour donner au suite de nombres r´els R(Σ, n, m) une expression explicite, nous allons ape
procher l’aire de la portion de surface Σi,j par l’aire du parall´logramme dont les cˆt´s sont
e
oe
´gales aux vecteurs tangents ` la surface Σ au point (ui , vj , f (ui , vj )) donn´s par :
e
a
e
Ui,j = (ui+1 − ui )(1, 0,

∂f
(ui , vj ))
∂x

et

Vi,j = (vj+1 − vj )(0, 1,

∂f
(ui , vj )).
∂y

Autrement dit, nous allons poser Aire(Σi,j ) =// Ui,j ∧Vi,j // pour avoir la nouvelle l’expression,
i=m−1 j=n−1

R(Σ, n, m) =

i=0

j=0

// Ui,j ∧ Vi,j //

i=m−1 j=n−1

1+(

=
i=0

j=0

∂f
∂f
(ui , vj ))2 + ( (ui , vj ))2 (ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂x
∂y

qui donne une mesure approch´e de l’aire de la surface Σ. En effet, si on fait tend les quantit´s
e
e
ui+1 − ui et vj+1 − vj simultan´ment vers z´ro on obtient l’int´grale double suivante dont la
e
e
e
valeurs est ´gale ` la mesure exacte de l’aire de la surface Σ :
e
a
1+(
D

∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy = Aire(Σ)
∂x
∂y

(2.4)

D´finition 12. Soient D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et Σ ⊂ R3 une surface d´finit par le
e
ee
e
1.
graphe d’une fonction f : D → R de classe C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de la surface Σ autour du point M = (x, y, f (x, y)) par
e
e
l’expression :
dS = (

∂f
∂f
ı+
 + k)dxdyn(x, y, z).
∂x
∂y

(2.5)

o` n(x, y, z) d´signe le vecteur normal unitaire ` Σ calcul´ au point (x, y, f (x, y)) ∈ Σ.
u
e
a
e

2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) ∈ Σ par
e
ee
e
l’expression :
dσ =

1+(

∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy =// dS // .
∂x
∂y

(2.6)

3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
∂f

∂f
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

30
2) Cas d’une surface param´tr´e
e e

Comme au paragraphe pr´c´dent, consid´rons un domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 et une surface
e e
e
ee
Σ ⊂ R3 de classe C 1 d´finit par le syst`me d’´quations param´triques :
e
e
e
e
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

(u, v) ∈ D ⊂ R2

Notons que pour trouver la mesure approch´e de l’aire de la surface param´trique Σ il suffit
e
e
qu’on subdivise le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ],
ee
et puis ; on approche l’aires des portions de surfaces Σi,j = r(Ri,j ) par la norme du produit
vectoriel suivant :
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧ (vj+1 − vj ) (ui , vj ) //
∂u
∂v
∂r
∂r
= //
(ui , vj ) // · //
(ui , vj ) // sin(ϕi,j )(ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂u
∂v

Aire(Σi,j ) = // (ui+1 − ui )

o` ϕi,j est la mesure de l’angle d´finit par les deux vecteurs
u
e
a
` la surface Σ au point r(ui , vj ).

∂r
∂r
(ui , vj ) et
(ui , vj ) tangents
∂u
∂v

Observons qu’avec ces notations se si on pose,
E(u, v) =//

∂r
(u, v) //2 ,
∂u

F(u, v) =//

∂r 2
// (u, v),
∂v

G(u, v) =

∂r
∂r
(u, v),
(u, v) ,
∂u
∂v

on pourra alors r´crire l’aire de la portion de surface Σi,j sous la forme suivante :
e
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ) //2 = E(ui , vj )F(ui , vj )(sin(ϕi,j ))2
∂u
∂v
= E(ui , vj )F(ui , vj )(1 − (cos(ϕi,j ))2 ) = E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2 .

Aire(Σi,j )2 = //

Finalement, si on consid`re la suite de nombres r´els d´finis par l’expression :
e
e
e
i=n−1 j=m−1

R(Σ, n, m) =

i=0

j=0

Aire(Σi,j )

i=n−1 j=m−1

=
i=0

j=0

E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2

en faisant tendre les quantit´s ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro ; on obtient la formule
e
e
Aire(Σ) =

D

E(u, v)F(u, v) − G(u, v)2 dudv

(2.8)

qui donne la mesure exacte de l’aire de la surface param´trique Σ.
e
D´finition 13. Soit Σ ⊂ R3 une surface param´tr´e par l’application r : D → R3 de classe
e
e e
1.
C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de surface Σ autour du point M = r(u, v) par l’exprese
e
sion :
´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES

31

2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = r(u, v) ∈ Σ par l’exe
ee
e
pression :
EF − G2 dudv =// dS //

dσ =

(2.10)

∂r 2
∂r ∂r
∂r 2
// , F = //
// et G = 
,
.
∂u
∂v
∂u ∂v
3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
o` E = //
u

ρ(x, y, z)dσ =
Σ

ρ(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
D

EF − G2 dudv

(2.11)

Avant qu’on d´veloppe des exemples de calcul des int´grales de surfaces d´finies ci-dessus on
e
e
e
donnera d’abord par deux remarques :
1) Notons que si Σ d´signe une surface d´finie comme le graphe d’une fonction de classe C 1 , en
e
e
posant r(x, y) = (x, y, f (x, y)) lorsque (x, y) ∈ D ; on d´finit ainsi un param´trage de la surface
e
e
Σ dont l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point r(x, y) ∈ Σ est donn´ par,
ee
e
e
ı
dσ =



1 0
0 1

k
∂f
∂x
∂f
∂y

dxdy =// (

∂f ∂f
,
, 1) // dxdy =
∂x ∂y

1+(

∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy.
∂x
∂y

Ainsi, en cons´quence de ce calcul ; on d´duit que l’´l´ment infinit´simal de surface dσ ne
e
e
ee
e
d´pend pas de la repr´sentation de la surface Σ comme graphe d’une fonction ou par un syst`me
e
e
e
d’´quations param´triques.
e
e
2) Du fait que l’int´grale de surface se calcule moyennant une int´grale double elle est donc
e
e
lin´aire et additive :
e
Lin´arit´ :
e
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dσ = a
f (x, y, z)dσ + b
g(x, y, z)dσ.
Σ

Σ

Additivit´ :
e

f dσ =

f dσ +

Σ1 ∪Σ2

Σ1

Σ2

Σ

f dσ si l’intersection Σ1 ∩ Σ2 est une courbe.

Exemple 11. 1) Calculons l’aire du parabolo¨de Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 , 0
ı
Puisque la surface Σ est ´gale
e
du domaine D = {(x, y)/x2 + y 2
par,
ı
dσ = 1
0

z

h}.

au graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 d´finie au-dessus
e
h}, son ´l´ment infinit´simal de surface dσ est donc donn´
ee
e
e
 k
0 2x
1 2y

dxdy =

4x2 + 4y 2 + 1dxdy.

L’aire de la surface Σ est maintenant donn´e par l’int´grale :
e
e
√

Aire(Σ) =

4x2 + 4y 2 + 1dxdy = 2π

dσ =
Σ

D

h

4r 2 + 1rdr =
0

2π
(4h + 1)3/2 .
3

2) Calculons l’aire de la sph`re S(O, R) de rayon R  0 centr´e ` l’origine param´tr´e par
e
e a
e e
l’application
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

32

Avec ces donn´es on voit que l’´l´ment infinit´simal de surface de la sph`re est ´gale ` :
e
ee
e
e
e
a
dσ =

ı

k
−R sin(θ) cos(ϕ) R cos(θ) cos(ϕ)
0
−R cos(θ) sin(ϕ) −R sin(θ) sin(ϕ) R cos(ϕ)

dθdϕ = R2 cos(ϕ)dθdϕ.

2π

Donc, l’aire de la sph`re S(O, R) est : Aire(S(O, R)) =
e
√

3) Calculons l’int´grale de surface
e

π/2

(
0

R2 cos(ϕ)dϕ)dθ = 4πR2 .

−π/2

4z + 1dσ ´tendue sur la parabolo¨de :
e
ı

Σ

Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2

h}.

Rappelons que dans l’exemple 1), nous avons d´montr´ que l’´l´ment infinit´simal de la
e
e
ee
e
e
e
e
surface Σ est ´gale `, dσ = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. Par cons´quent, l’int´grale de surface donn´e
e
a
est donc ´gale `,
e
a
√
4z + 1dσ =

4(x2 + y 2 ) + 1 4x2 + 4y 2 + 1dxdy
x2 +y 2

Σ

√

= 2π

h

h

(4r 2 + 1)rdr = π(2h2 + h).

0

Exercice 11. Calculer les int´grales de surfaces suivantes :
e
ı)
Σ1

dσ = Aire(Σ1 ) o` Σ1 = {(x, y, z)/az = xy, x2 + y 2
u

ıı)
Σ2

a2 }.

(x2 + y 2 )dσ o` Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
u

ııı)
Σ3

ıv)
Σ4

1 + z 2 dσ o` Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = a2 , −a
u

xydσ o` Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x
u

z
0, y

a}.
0, z

0}.

Exercice 12. Calculer l’aire de la portion Σ d´coup´e par le cylindre d’´quation x2 + y 2 = 2z
e
e
e
sur l’h´misph`re sup´rieure centr´ ` l’origine et de rayon R  0.
e
e
e
ea

2.3
2.3.1

Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface oriena
table
Surfaces orientables dans l’espace R3

D´finition 14. Soit Σ ⊂ R3 une surface r´guli`re de classe C 1 .
e
e
e

1. On dira que la surface Σ est orientable si elle est impossible de trouver une courbe ferm´e
e
Γ de classe C 1 contenue dans Σ le long de laquelle on pourra d´placer continˆment un
e
u
vecteur normal N ` Σ depuis un point A ∈ Γ et le ramener sur son oppos´ −N au mˆme
a
e
e
point A.

2. Soit Σ ⊂ R3 une surface orientable et M ∈ Σ. Un vecteur normal N ` Σ au point M est
a
a
e
e
dit sortant s’il compl`te tout rep`re (v1 , v2 ) tangent ` Σ orient´ positivement (mˆme
e
e
orientation que le plan standard Oxy) en un rep`re (v1 , v2 , N) de l’epace R3 qui a la
e
mˆme orientation que le rep`re canonique Oxyz. En d’autres termes, si le produit mixte
e
e
`
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE33
3. Nous dirons qu’une surface r´guli`re est orient´e positivement quand elle est munie
e
e
e
d’un champ de vecteurs normaux sortants.
Exemple 12. 1) Le plan, le cylindre et la sph`re sont orientables. Sur ces surfaces on remarque
e
que toute normale ∆ qui perce ces surfaces d´finit une face externe (sens positive) et une face
e
interne (sens n´gatif ) (Voir la figure).
e

Figure 2.9 – Orientation du plan, du cylindre et de la sph`re dans R3 non rientable
e

2) Observons qu si on consid`re un rectangle R = [a, b] × [c, d] contenu dans le plan Oxy, en le
e
tordant suivant deux cˆt´s oppos´es ; alors en collant ses deux autres cˆt´s oppos´es on obtient
oe
e
oe
e
une surface qui s’appelle bande de M¨bius.
o
La bande de M¨bius n’est pas orientable. Parce que, comme il est indiquer sur la figure, sur
o
la bande de M¨bius on a trac´ une courbe Γ suivant laquelle on a ramen´ un vecteur normal
o
e
e
e
n0 sur son oppos´ n4 = −n0 .

Figure 2.10 – La bande de M¨bius : surfaces de R3 non rientable
o

En analysant les exemples de surfaces trait´es ci-dessus, on d´duit que pour voir est-ce qu’une
e
e
surface donn´e Σ ⊂ R3 est orientable ou non , il suffit alors qu’on examine le nombre de faces
e
de la surface donn´e. Ainsi, si la surface poss`de deux faces on d´duit qu’elle est orientable
e
e
e
mais s’il poss`de qu’une seule face on d´duit qu’elle est non orientable.
e
e

2.3.2

Flux d’un champ de vecteurs

D´finition 15. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide, X = (P, Q, R) un champ de vecteurs de classe
e
C k sur un ouvert U ⊂ R3 et Σ ⊂ U une surface de classe C k r´guli`re et orient´e positivement.
e
e
e
On d´finit le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ ⊂ U par l’int´grale
e
a
e
de surface suivante :
Φ=
Σ

X · dS =

Σ

X · ndσ

(2.12)

o` n d´signe le champ de vecteurs normaux unitaires sortants de la surface Σ.
u
e
Exemple 13. 1) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X(x, y, z) = (x, y, z) ∈ R3 `
a
travers le tetra`dre Σ limit´ par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.
e
e

Figure 2.11 – Le th´trai`re unit´ de R3
e
e
e
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

34

Puisque le th´tradi`re Σ admet quatre faces ∆xy , ∆xz , ∆yz et ∆ ; le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X est donc ´gal ` la somme des flux sortants ` travers les quatre faces du th´trai`re
e
a
a
e
e
Σ (voir figure) :

Σ

X · dS =

∆xy

X · dS +

∆xz

X · dS +

∆yz

X · dS +

∆

X · dS.

a) Flux sortant ` travers les faces ∆xy , ∆zy et ∆xz .
a
Puisque le vecteur normal unitaire sortant de la surface ∆xy est ´gal ` −k et comme l’´l´ment
e a
ee
e
e
infinit´simal de surface de ∆xy est donn´ par dS = −kdxdy , on d´duit donc que le flux sortant
e
du champ de vecteurs X ` travers ∆xy est donn´ par,
a
e

∆xy

X · dS =

x+y 1,z=0

−zdxdy = 0

parce que sur

∆xy , z = 0.

De la mˆme fa¸on, on montre que le flux sortant du champ X ` travers les faces ∆xz et ∆zy
e
c
a
sont donn´s par :
e

∆yz

X · dS =

y+z 1,x=0

−xdxdy = 0

X · dS =

,
∆xz

b) Flux ` travers la face ∆ d’´quation x + y + z = 1, x
a
e

0, y

x+z 1,y=0

0 et z

−ydxdy = 0

0.

En param´trisant la face ∆ par ϕ(x, y) = (x, y, 1−x−y) on voit que son ´l´ment infinit´simal
e
ee
e
de surface est ´gal `,
e
a
ı  k
1 0 −1 dxdy = (ı +  + k)dxdy =⇒ X · dS = (x + y + z)dxdy = dxdy.
0 1 −1

dS =

Ainsi, en cons´quence de ci qui pr´c`de, on conclut que le flux ` travers la face ∆ du tetra`dre
e
e e
a
e
Σ est ´gal `,
e
a
1
∆

X · dS =

(x + y + z)dxdy =
x+y 1

1−x

(
0

0

1
dy)dx = .
2

c) Le flux total sortant du champ de vecteur X ` travers le tetra`dre Σ est donc ´gal `,
a
e
e
a

Σ

X · dS =

∆xy

X · dS +

∆xz

X · dS +

∆yz

X · dS +

1
X · dS = .
2
∆

2) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X = (x, y, z) ` travers l’h´misph`re sup´rieure
a
e
e
e
Σ centr´e ` l’origine (0, 0, 0) et de rayon R.
e a
Pour identifier l’´l´ment infinit´simal de surface associ´ ` Σ nous allons la param´triser par
ee
e
ea
e
l’application ϕ(x, y) = (x, y, R2 − x2 − y 2 ) avec x2 + y 2 R2 .

dS =

ı 
1 0 −

k
x
R2 − x2 − y 2

dxdy = (

x

ı+

y

 + k)dxdy.
`
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE35
R2 − x2 − y 2 on en d´duit que le
e

Ainsi, puisque sur l’h´misph`re sup´rieure on a z =
e
e
e
produit scalaire (flux infinit´simal) :
e
X · dS = (

x2 + y 2
R2 − x2 − y 2

R2

+ z)dxdy =

R2 − x2 − y 2

dxdy.

Le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers l’h´misph`re sup´rieure est donc ´gal `,
a
e
e
e
e
a

Σ

dxdy

X · dS = R2

x2 +y 2 R2

R2

−

x2

−

y2

2π

= R2

R

(
0

0

√

rdr
)dθ = 2πR3
R2 − r 2

3) Soit ω  0 un nombre r´el fix´. Calculons le flux sortant du champ de vecteurs X = ω k
e
e
a
` travers la surface Σ limit´e par le cylindre Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = R2 , 0 z
e
h} et les
2 + y2
2 } et D = {(x, y, h)/x2 + y 2
2 }.
disques D1 = {(x, y, 0)/x
R
R
2
Par additivit´ de l’int´grale de surface, on voit que le flux total du champ de vecteur X = ω k
e
e
est ´gal `,
e
a
Φ=
Σ

X · dS =

Σ1

X · dS +

D1

X · dS +

D2

X · dS.

Ainsi, puisque sur les disques horizontaux D1 et D2 le vecteur de surface infinit´simal est
e
donn´ respectivement par dS1 = −kdxdy et dS2 = kdxdy on aura donc,
e






X · dS1 =
− ωdxdy
X · dS1 = −2πR2 ω


D1
x2 +y 2 R2
D1
=⇒




X · dS2 =
ωdxdy
X · dS2 = 2πR2 ω


x2 +y 2 R2

D2

0

D2

Enfin, en param´trisant le cylindre Σ1 par l’application ϕ(r, θ) = (R cos(θ), R sin(θ), z) avec
e
z h et 0 θ π ; on voit que le vecteur infinit´simal de surface de Σ1 est donn´ par,
e
e
dS =

∂ϕ ∂ϕ
∧
dθdz = (R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz.
∂θ
∂z

Mais, comme le champ de vecteurs X = ω k est orthogonal au vecteur de surface dS =
(R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz on en d´duit donc que le flux du champ de vecteurs X = ω k `
e
a
travers le cylindre Σ1 est nul.
Conclusion, le flux total du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ est :
a
Σ

0 − 2πωR2 + 2πωR2 = 0.

X · dS =

Exercice 13. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface indiqu´e.
a
e
ı) X1 = zxı + zy + y k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = 1, 0 z h}.
ıı) X2 = yı + z + xk et Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = z 2 , 0 z a}.
ııı) X3 = xı + y + z k et Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
ıv) X4 = x3/2 ı + y 3/2  + z 3/2 k et Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x

2.3.3

0, y

0, z

0}.

Formule de Stokes

Th´or`me 7. Soit A = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs de classe C 1 d´finit sur un ouvert
e e
e
non vide U ⊂ R3 . Si on d´signe par ω = Pdx + Qdy + Rdz la forme diff´rentielle associ´e au
e
e
e
champ de vecteurs A alors pour toute surface orientable Σ ⊂ U de classe C 1 et ayant un bord
∂Σ = Γ non vide orient´ positivement on a,
e
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

36

Autrement dit, la circulation d’un champ de vecteur A de classe C 1 le long d’une courbe ferm´e Γ est ´gale au flux sortant du champ rotationnel Rot(A) ` travers toute surface orientable
e
e
a
Σ dont le bord ∂Σ = Γ.
D´monstration. Dans cette preuve, on suppose que la surface Σ est param´tr´e par l’application
e
e e
2 sur un domaine ´l´mentaire D de bord C ′ .
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de classe C
ee
Notons qu’avec ces notations, puisque le couple (u, v) parcourt le bord ∂D = C ′ alors le
point r(u, v) parcourt la courbe C = ∂Σ on d´duit donc que l’int´grale curviligne de la forme
e
e
diff´rentielle ω peut s’´crire sous la forme :
e
e
ω =
C

=

∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
+Q
+ R )du + (P
+Q
+ R )dv
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
C′
∂r
∂r
A◦r·
du + A ◦ r ·
dv.
∂u
∂v
′
C
(P

∂r
∂r
Ainsi, si maintenant on pose U = A ◦ r ·
et V = A ◦ r ·
la formule de Green-Riemann
∂u
∂v
permet de transformer la derni`re int´grale curviligne comme suit :
e
e

C′

A◦r·

∂r
∂r
du + A ◦ r ·
dv =
∂u
∂v
=
=
=

Udu + Vdv
C′

∂V ∂U
−
)dudv
∂v
D ∂u
∂A ◦ r ∂r ∂A ◦ r ∂r
(
·
−
·
)dudv
∂u
∂v
∂v
∂u
D
∂r ∂r
Rot(A ◦ r) · (
∧
)dudv.
∂u ∂v
D
(

∂r ∂r
∧
)dudv
∂u ∂v
est ´gal au vecteur infinit´simal dS associ´ ` la surface Σ ; on obtient la formule de Stokes,
e
e
e a
Finalement, en remarquant que dans l’int´grale double pr´c´dente le vecteur (
e
e e
ω=
C

C

A · dr =

Σ

Rot(A) · dS.

Corollaire 5. Soit X = Pı+Q+Rk un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U ⊂ R3 .
Pour tout couple de surfaces orientables Σ1 et Σ2 contenues dans l’ouvert U et qui ont le mˆme
e
bord Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 on a,
Σ1

Rot(X) · dS =

Σ2

Rot(X) · dS =

Pdx + Qdy + Rdz.
C

Corollaire 6. Soit ω = Pdx+Qdy +Rdz est une forme diff´rentielle de classe C 1 sur un ouvert
e
U ⊂ R3 . Si ω est ferm´e alors pour toute courbe ferm´e C qui borde une surface orientable
e
e

Σ ⊂ U (i.e. C = ∂Σ) on a,

ω = 0.

C

Exemple 14. Calculons l’int´grale curviligne de la forme diff´rentielle,
e
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection du plan x + y + z = 1 et le cylindre
e
e
2 + y 2 = 2x.
x
Pour calculer l’int´grale curviligne
e

ω nous allons appliquer au champ de vecteurs,
C
`
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE37
et ` la surface orientable Σ d´coup´e par le cylindre x2 + y 2 = 2x sur le plan x + y + z = 1.
a
e
e
Notons bien que le bord ∂Σ = C.
Si on applique la formule de Stokes ` ces donn´es on obtient :
a
e
ω =
C

C

=
=

A · dr =

2
√
3
2
√
3

∆

Rot(A)
Σ

[(y − z)ı + (y − x) + (x − y)k] · [ı +  + k]dxdy
0dxdy = 0

∆

o` ∆ d´signe la projection de la surface Σ sur le plan Oxy.
u
e
Exercice 14. V´rifier le th´or`me de Stokes pour le champ de vecteurs X d´fini sur une
e
e e
e
surface orientable Σ dont le bord ∂Σ = C = ∅.
ı) X1 = 2yı + 3x − z 2 k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0}.
ıı) X2 = (y − z)ı + (x3 + yz) − 3xy 2 k et Σ2 = {(x, y, z)/x + y = 1, 0 x, 0 y, 0 z 1}.
Exercice 15. En utilisant la formule de Stokes, calculer l’int´grale curviligne de la forme
e
diff´rentielle,
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection de la sph`re x2 + y 2 + z 2 = 4y et le
e
e
e
2 + y 2 = 2y.
cylindre x
38

´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
Chapitre 3

Int´grales triples
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale triple en utilisant la formule
e
de Fubini ou en effectuant un changement de variables ;
2. savoir calculer le volume d’un domaine plonger dans l’espace R3 ;
3. savoir appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski ;
4. comprendre qu’une int´grale triple g´n´ralis´e converge
e
e e
e
si et seulement si elle converge absolument.
´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES

40

3.1

D´finition et propri´t´s
e
e e

Soit V ⊂ R3 un domaine born´ et ferm´ (i.e. compact) d´finit par l’expression,
e
e
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y)

z

f2 (x, y)},

o` D ⊂ R2 d´signe un domaine ´l´mentaire et f1 , f2 : D → R deux fonctions continues.
u
e
ee
Dans ce paragraphe, on se propose de calculer la masse total d’un solide dont la forme
g´om´trique est donn´e par le domaine V et dont la densit´ de masse est une fonction continue
e e
e
e
f : V → R.
Notons que si on proj`te le domaine V sur les trois axes de l’espace R3 on obtient trois
e
segments [a1 , b1 ] ⊂ Ox, [a2 , b2 ] ⊂ Oy et [a3 , b3 ] ⊂ Oz tels que V ⊂ [a1 , a2 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ].
Notons aussi que si on partage respectivement les derniers trois segments en m, n et k segments
d’extr´mit´s :
e e
x0 = a1  x1  · · ·  xm = b1 , y0 = a2  y1  · · ·  yn = b2 , et z0 = a3  z1  · · ·  zk = b3
on peut alors d´finir des parall´l´pip`de Pi,j,k = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] × [zl , zl+1 ] ∩ V dont la
e
ee e
r´union recouvre le domaine V.
e

Figure 3.1 – Subdivision d’un domaine V ⊂ R3

Enfin, observons que si dans chaque parall´l´pip`de Pi,j,k on choisit un point ζi,j,l on peut
ee e
alors d´finir une somme de Riemann par l’expression,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1

R(f, n, m, k, ζi,j,l ) =

i=0

j=0

l=0

f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl )

que l’on peut interpr´ter comme la mesure approch´e de la masse totale du solide V.
e
e
D´finition 16. Soit V ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : V → R une fonction continue.
e
ee

1. On dira que la fonction f est int´grable sur le domaine V si la somme de Riemann qui
e
lui est associ´e,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1

R(f, Π(V), ζi,j,l ) =

i=0

j=0

l=0

f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ),

(3.1)

admet une limite finie lorsque vi,j,l = (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ) (i.e volume du
parall´l´pip`de ´l´mentaire Pi,j,l ) tend vers z´ro. La limite de la somme de Riemann,
ee e ee
e
quand elle existe, elle s’appelle int´grale triple de la fonction f (x, y, z) sur le domaine V
e
et elle se note,
lim R(f, m, n, k, ζi,j,l ) =

vi,j,l →0

f (x, y, z)dxdydz.

(3.2)

V

2. L’int´grale triple de la fonction constante f (x, y, z) = 1 s’appelle volume alg´brique du
e
e
domaine V et se note par,
´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE

41

L’int´grale triple d’une fonction continue au-dessus d’un domaine ´l´mentaire satisfait aux
e
ee
propri´t´s alg`briques suivantes :
ee
e
Lin´arit´ : Pour tout couple de fonctions continues f et g sur un compact ´l´mentaire V, et
e
e
ee
pour tout couple de nombres r´els a et b on a,
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dxdydz = a

f (x, y, z)dxdydz + b

V

V

g(x, y, z)dxdydz.
V

Additivit´ : Si V1 et V2 sont deux compacts ´l´mentaires de l’espace R3 tels que V1 ∩ V2 = ∅
e
ee
ou V1 ∩ V2 = Σ est une surface alors on a,
f (x, y, z)dxdydz =

f (x, y, z)dxdydz +

V1 ∪V2

V1

f (x, y, z)dxdydz.
V2

Positivit´ : Si V est un compact ´l´mentaire et f : V → R est une fonction continue positive
e
ee
f (x, y, z)dxdydz

alors on a,

V

g : V → R v´rifient l’in´galit´ f
e
e
e

0. Plus g´n´ralement, si deux fonctions continues f et
e e

g alors on a,

f (x, y, z)dxdydz

g(x, y, z)dxdydz.

V

3.2
3.2.1

V

M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
Formule de Fubini

Th´or`me 8 (Formule de Fubini). Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et ϕ1 , ϕ2 : D → R
e e
ee
deux fonctions continues ; et soit V ⊂ un compact ´l´mentaire d´finit analytiquement par,
ee
e
V = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y)

z

ϕ2 (x, y)}.

L’int´grale triple d’une fonction continue f : V → R est ´gale ` :
e
e
a
ϕ2 (x,y)

f (x, y, z)dxdydz =
V

(

f (x, y, z)dz)dxdy

(3.4)

ϕ1 (x,y)

D

Notons que si le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
V = {(x, y, z)R3 /(y, z) ∈ D ′ , φ1 (y, z)

x

φ2 (y, z)},

alors l’int´grale triple d’une fonction fonction continue f : V → R est donn´e par la formule
e
e
de Fubini :
φ2 (y,z)

f (x, y, z)dxdydz =
V′

(

f (x, y, z)dx)dydz.

(3.5)

φ1 (y,z)

D′

De mˆme, quand le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
e
V” = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D”, ψ1 (x, z)

y

ψ2 (x, z)},

la formule de Fubini s’´crit sous la forme :
e
ψ2 (x,z)

f (x, y, z)dxdydz =

(

f (x, y, z)dy)dxdz.

(3.6)
´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES

42

Figure 3.2 – Le domaine V limit´ par z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x3 + y 2 )
e
Exemple 15. 1) Calculons le volume du domaine ´l´mentaire V ⊂ R3 qui est limit´ par les
ee
e
deux parabolo¨des de r´volution d´finies par les ´quations : z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x2 + y 2 ).
ı
e
e
e

Notons que le domaine V est limit´ par le graphe des deux fonctions ϕ1 (x, y) = x2 + y 2 et
e
ϕ2 (x, y) = 4 − 3(x2 + y 2 ) d´finies au-dessus du domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 qui est ´gale `
e
ee
e
a
2 est limit´ par la
la projection du domaine V sur le plan Oxy. En effet, le domaine D ⊂ R
e
projection de la courbe C intersection des graphes des fonctions ϕ1 et ϕ2 . D’o` D = {(x, y) ∈
u
R2 /x2 + y 2 1} et V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, x2 + y 2 z 4 − 3(x2 + y 2 )}.
Maintenant, si on applique la formule de Fubini ` la description analytique du domaine D
a
on obtient :
4−3(x2 +y 2 )

Volume(V) =

dxdydz =

(

V

dz)dxdy
x2 +y 2

D

=
D
2π

=

(4 − 4(x2 + y 2 ))dxdy
1

(
0

2) Calculons l’int´grale triple
e

0

(4 − 4r 2 )rdr)dθ = 2π.

zdxdydz ´tendue sur le domaine V limit´ par l’h´misph`re
e
e
e
e
V

sup´rieure de centre O = (0, 0, 0) et de rayon R  0.
e

Figure 3.3 – L’h´misph`re pleine V limit´ par x2 + y 2 + z 2
e
e
e

R2 et x

0

e
e
Puisque le domaine d’int´gration V ⊂ R3 peut ˆtre d´fini analytiquement par l’expression :
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /0

R2 − x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ D}

z

avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 R2 } d´signe la projection du domaine V sur le plan Oxy, en
e
appliquant la formule de Fubini on peut ´crire :
e
√ 2 2 2
zdxdydz =

R −y −x

(
y 2 +x2 R2

V

=
y 2 +x2 R2
2π
R

=

(
0

0

xdx)dxdy

0

1 2
(R − y 2 − x2 )dydz
2

1 2
R4 π
(R − r 2 )rdr)dθ =
.
2
4

Exercice 16. Calculer les int´grales triples suivantes :
e
a)
V

zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x

0, y

0, z

0, z

1 − y2, x + y

1}.
´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
c)
V

d)
V

1
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x
(1 + x + y + z)3
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2

0, y

43
0, z

R2 , x2 + y 2 + z 2

0, x + y + z

1}.

2Rz}.

Exercice 17. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions x2 , y 2 , z 2 , xy, xz et zy au-dessus de
e
la boule ferm´e B = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1}.
e
b) En d´duire que pour tout triplet de nombres r´els (a, b, c) l’int´grale de la fonction f (x, y, z) =
e
e
e
4 2
2
2
(a + b + c ).
(ax + by + cz)2 est ´gale `
e
a
15
Exercice 18. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions xy, xz et zy au-dessus du domaine
e
x2 y 2 z 2
V = {(x, y, z) ∈ R3 / 2 + 2 + 2
1, x 0, y 0, z 0}.
a
b
c
b) En d´duire que l’int´grale triple de la fonction g(x, y, z) = xy +yz+zx au-dessus du domaine
e
e
abc
V est ´gale `
e
a
(ab + bc + ca).
15

3.2.2

Changement de variables

Th´or`me 9 (Formule de changement de variables). Soient U1 et U2 deux ouverts non vides
e e
dans l’espace R3 ; et soit T : U1 → U2 une application bijective de classe C 1 dont l’application
inverse T−1 : U2 → U1 de T est de classe C 1 (i.e. T est un changement de variables) alors
pour tout compact ´l´mentaire V′ ⊂ U1 et pour toute fonction continue f : U1 → U2 on a la
ee
formule,
f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )

V′

f ◦ T(u, v, w) |

D(x, y, z)
| dudvdw.
D(u, v, w)

(3.7)

Corollaire 7 (coordonn´es cylindriques). Si T(r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) d´signe le syse
e
t`me de coordonn´es cylindriques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
f (x, y, z)dxdydz =

f (r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdzdθ.

T(V′ )

V′

Corollaire 8 (Coordonn´es sph´riques). Si T(r, θ, ϕ) = (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))
e
e
d´signe le syst`me de coordonn´es sph´riques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
e
e
f (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))r 2 cos(ϕ)drdϕdθ.

f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )

V′

Exemple 16. 1) Calculons le volume de la boule ferm´e be rayon R  0 centr´e ` l’origine,
e
e a
V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2

R2 }.

Pour calculer le volume du domaine V nous allons donc passer en coordonn´es sph´riques :
e
e
R

Volume(V) =

dxdydz =
V

2) Calculons l’int´grale triple
e

2π

(
0

π/2

(
0

−π/2

r 2 cos(ϕ)dϕ)dθ)dr =

4πR3
.
3

x2 + y 2 dxdydz ´tendu sur le cylindre V = {(x, y, z)/x2 +
e
´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES

44

Pour calculer l’int´grale triple donn´e nous allons passer en coordonn´es cylindriques :
e
e
e
R

x2 + y 2 dxdydz =
V

2π

(
0

h

(
0

2πR3
.
3

r 2 dz)dθ)dr =

0

3) Pour tout triplet de nombres r´els a  0, b  0, c  0 et d  0 calculons l’int´grale triple,
e
e
I(a, b, c) =
V

xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz,

´tendu sur le t´tra`dre V = {(x, y, z)/x
e
e e
0, y
0, z
0, x + y + z
1} en effectuant
le changement de variables T(x, y, z) = (X, Y, Z) dont les composantes sont d´finies par les
e
relations,
X = x + y + z,
XY = y + z
et
XYZ = z.
A partir des relations qui d´finissent les composantes X, Y et Z de l’application T on v´rifie
e
e
−1 a pour composantes :
facilement que l’application inverse T
x = X(1 − Y),

y = XY(1 − Z)

et

z = XYZ.

De mˆme, on v´rifie que l’application T transforme le t´tra`dre V en un cube V′ = [0, 1] ×
e
e
e e
[0, 1] × [0, 1] = T(V).
Figure 3.4 – Transformation d’un t´tra`dre en cube
e e

Ainsi, puisque le d´terminant de la matrice jacobienne de la transformation T−1 est ´gal `,
e
e
a
D(x, y, z)
=
D(X, Y, Z)

1−Y
−X
0
Y(1 − Z) X(1 − Z) −XY
YZ
XZ
XY

1−Y
−1
0
= X2 Y Y(1 − Z) 1 − Z −1
YZ
Z
1
1 − Y −1 0
Y
1 0
YZ
Z 1

= X2 Y

= X2 Y,

donc en appliquant la formule du changement de variables on obtient :

I(a, b, c) =
V

xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz
[X(1 − Y)]a [XY(1 − Z)]b [XYZ]c [1 − X]d [X2 Y]dXdYdZ

=

V′
1
1

1

=
0

0
1

=
0

0

Xa+b+c+2 Yb+c+1 Zc (1 − Y)a (1 − Z)b (1 − X)d dXdYdZ

Xa+b+c+2 (1 − X)d dX

1
0

Yb+c+1 (1 − Y)a dY

1
0

Zc (1 − Z)b dZ.

Notons par exemple, si on prend a = b = c = d = 1 on obtient
1

I(1, 1, 1) =

X5 (1 − X)dX

1

Y3 (1 − Y)dY

1

Z(1 − Z)dZ =

1

.
´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE

45

Exercice 19. Calculer les int´grales suivantes en effectuant un changement de variables convee
nable.
a)
x2 + y 2 + z 2 dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 z}.
u
V

1
dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u
(x2 + y 2 + z 2 + a2 )2
V
2Rz} et a  0.

b)

V

(z + 2)(x2 + y 2 + 1)dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
u

V

z cos(x2 + y 2 )dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u

c)
d)

1, 0
1, z

R2 , x2 + y 2 + z 2
z

2}.

0}.

Exercice 20. a) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/4 t1/4 u1/2 , s1/4 t1/2 u1/4 , s1/2 t1/4 u1/4 ).
b) En d´duire que l’application r´alise un changement de variables.
e
e
b) Montrer que l’application inverse T−1 transforme le domaine V = {(x, y, z) ∈ R3 /x4 + y 4 +
z4
3xyz, x 0, y
0, z
0} en un domaine V′ = {(s, t, u) ∈ R3 /s + t + u  3, s 0, t
0, u 0}.
c) Calculer alors le volume du domaine V.
Exercice 21. Soit a  0 un r´el. Calculer le volume du domaine
e
Va = {(x, y, z) ∈ R3 /x5 + y 5 + z 5

a2 xyz, x

0, y

0, z

0}

en consid´rant l’application, T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/5 t1/5 u3/5 , s1/5 t3/5 u1/5 , s3/5 t1/5 u1/5 ).
e
Exercice 22. Soit a  0, b  0, c  0 et α  0 des nombres r´els.
e
1) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application,
e
T(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = (ar(cos(θ) cos(ϕ))α , br(sin(θ) cos(ϕ))α , cr(sin(ϕ))α ).
π π
, [×]0, 2π[.
2 2
3) En utilisant le syst`me de coordonn´es d´finit par l’application T ; calculer le volume des
e
e
e
domaines :
x
y
z
1. V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /( )3 + ( )3 + ( )3 1}.
a
b
c
3 /( x )2/3 + ( y )2/3 + ( z )2/3
2. V2 = {(x, y, z) ∈ R
1}.
a
b
c
2) En d´duire que T r´alise un syst`me de coordonn´es sur R∗ ×] −
e
e
e
e
+

3.2.3

Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss
e e

Th´or`me 10 (Formule d’Ostrigradski-Gauss). Soit X = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs
e e
de classe C 1 d´finit sur un ouvert non vide U ⊂ R3 . Si V ⊂ U est un domaine ´l´mentaire dont
e
ee
le bord (fronti`re) ∂V = Σ est une surface ferm´e orientable alors le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X ` travers la surface Σ = ∂V est ´gal ` l’int´grale triple de la divergence du champ
a
e
a
e
X au-dessus du domaine V :

Σ

X · dS =

Div(X)dxdydz.
V

(3.8)
´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES

46

Corollaire 9. Si un champ de vecteurs X a une divergence nulle, Div(X) = 0, alors son flux
sortant ` travers toute surface ferm´e orientable est nul.
a
e
Corollaire 10. Le flux sortant d’un champ de vecteurs rotatinnel X = Rot(A) est nul `
a
travers toute surface ferm´e orientable :
e
Σ

Rot(A) · dS = 0.

Exemple 17. 1) Calculons le flux du champ de vecteurs X = (z 2 − x)ı − xy + 3z k ` travers
a
la surface ferm´e Σ limit´e par les surfaces d’´quations cart´siennes :
e
e
e
e
z = 4 − y2,

x = 0,

x = 3,

et

z = 0.

Figure 3.5 – Cylindre parabolique

Pour calculer le flux demand´ nous allons appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski.
e
x
3, 0
z
4 − y 2 } dont le
Consid´rons le sous-ensemble V = {(x, y, z) ∈ R3 /0
e
bord est ´gal ` la surface ferm´e orientable Σ = ∂V, et puis ; appliquons la formule de Gausse
a
e
Ostrogradski aux donn´es V, Σ et X :
e

Σ

X · dS =

Div(X)dxdydz
V

=
V

(2 − x)dxdydz

3
0

(
0

3

=

0
2

(
0

4−y 2

2

(

=

0

(2 − x)dz)dy)dx

9
8
(2 − x)(4 − y 2 )dy))dx = (6 − )(8 − ) = 8.
2
3

2) Soit Σ une surface orientable contenue dans le demi-espace sup´rieur de R3 et qui s’appuis
e
2 × {0} centr´ ` l’origine et de rayon R  0.
sur le cercle C ⊂ R
ea
Montrons que le flux du champ de vecteurs X = (y 2 + z 2 )ı + (x2 + z 2 ) + (x2 + y 2 )k ` travers
a
π
une surface Σ est ´gal ` .
e
a
2

Figure 3.6 – Flux

Observons que si on consid`re le disque D centr´ ` l’origine et de rayon R  0 alors en
e
e a
posant Σ′ = Σ ∪ D on obtient une surface ferm´e orientable qui bord un domaine V. Et, ainsi
e
puisque la divergence du champ de vecteurs X est nulle ; la formule de Gauss-Ostrogradski
permet d’´crire :
e

Σ∪D

X · dS =

Σ

X · dS +

D

X · dS =

Div(X) = 0.
V

D’o`,
u
2π

R

πR4
´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES

47

Exercice 23. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X = xz 2 ı+(x2 y−z 3 )+(2xy+y 2 z)k
a
` travers la sph`re centr´e ` l’origine et de rayon R  0,
e
e a
a) en appliquant la d´finition du flux ;
e
b) en appliquant le th´or`me de Gauss-Ostrogradski.
e e
Exercice 24. V´rifier la formule de Gauss-Ostrogradski aux donn´es suivantes :
e
e
a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1, z 0} et X1 = (x2 + y 2 )ı + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 )k.
b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z 1, x 0, y 0, z 0} et X1 = xyı + yz + zx)k.
Exercice 25. En utilisant la formule de Gauss-Ostrogradski montrer que le flux du champ de
vecteurs,
1
X= 2
(xı + y + z k),
2 + z 2 )3/2
(x + y
a
` travers la sph`re Σ centr´e ` l’origine O = (0, 0, 0) et de rayon R  0 est ´gal ` 4π.
e
e a
e
a

3.3

Int´grales triples g´n´ralis´es
e
e e
e

D´finition 17. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive. On dit
e
que f est localement int´grable si son int´grale triple existe sur tout compact ´l´mentaire
e
e
ee
K ⊂ V,

K

f (x, y, z)dxdydz ∈ R.

Puisque les fonctions continues sont int´grables sur les compacts ´l´mentaires de R3 ; elles
e
ee
3.
sont donc localement int´grables sur tout ouvert de R
e
D´finition 18. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive locae
lement int´grable. S’il existe une famille croissante Kn ⊂ Kn+1 ⊂ V de compacts ´l´mentaires
e
ee
telle que
1. V =
2.

Kn ;
n 0

lim

n→+∞

f (x, y, z)dxdydz existe dans R
Kn

nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y, z)dxdydz := lim

n→+∞

V

converge. Une int´grale triple g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e

f (x, y, z)dxdydz
Kn

Th´or`me 11. Soit V ⊂ R2 un ouvert vide et f : V → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e
e e
e

f (x, y, z)dxdydz ne d´pend pas du
e

V

choix de la famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que V =
ee

Kn .
n 0

D´monstration. Admise.
e
Proposition 5. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y, z)dxdydz converge.
D

2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES

48

D´monstration. Mˆme d´monstration que pour les int´grales g´n´ralis´es triples.
e
e
e
e
e e
e
Th´or`me 12. Crit`re de comparaison
e e
e
Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide ; et soient f, g : V → R+ deux fonctions positives et
localement int´grables et telles que 0
e
f (x, y, z)
g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ V. Alors on a les
propositions :
1.

g(x, y, z)dxdydz converge implique

f (x, y, z)dxdydz converge.

V

2.

V

f (x, y, z)dxdydz diverge implique

f (x, y, z)dxdydz diverge.

V

V
+∞

2

e−t dt est convergente.

Exemple 18. D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e
0

Ensuite, calculons sa valeur exacte.
+∞

a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e

2

e−t dt converge parce que pour tout r´el t  1 nous
e

0

avons les in´galit´s :
e
e
+∞

2

1  t  t2 =⇒ e−t  e−t =⇒

+∞

2

e−t dt

1

n

e−t = lim

n→+∞ 1

1

e−t dt = lim (−e−n +e−1 ) = e−1
n→+∞

+∞

b) Pour calculer la valeur exacte de cette int´grale g´n´ralis´e I =
e
e e
e

2

e−t dt nous allons

0
−x2 −y 2 −z 2

´tudier l’int´grale triple g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e

e

dxdydz.

(R+ )3

z2

Notons que si on consid`re la suite de compacts Kn = {(x, y, z)/x
e
n2 } on obtient,
e−x

2 −y 2 −z 2

π/2

dxdydz =

Kn

π/2

(

n

(

0

0

0, y

2

r 2 e−r cos(ϕ)dr)dθ)dϕ =

0

π
2

, x2 + y 2 +

0, z
n

2

r 2 e−r dr =

0

π
4

Par cons´quent, en passant ` la limite sur n on d´duit qu’on a
e
a
e
e−x

2 −y 2 −z 2

dxdydz =

(R+ )3

π
4

+∞

2

e−t dt

0

D’autre part, si on consid`re le suite de compacts Ln = [0, n]3 on obtient la suite num´rique :
e
e
e−x

un =

2 −y 2 −z 2

n

dxdydz = (

Ln

n

2

e−x dx)(

0

n

2

e−y dy)(

0

n

2

e−z dz) = (

0

2

e−t dt)3

0

dont la limite quand l’entier n tend vers l’infini est ´gale `,
e
a
−x2 −y 2 −z 2

e
(R+ )3

+∞

dxdydz = (

−t2

e
0

π
dt) =
4

+∞

3

−t2

e

+∞

dt =⇒

0

−t2

e
0

dt =

√

π
2

D´finition 19. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction dont la valeur abe
solue | f (x, y, z) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e

D

| f (x, y, z) | dxdydz

f (x, y, z)dxdydz convergente ab-
´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES

49

Proposition 6. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e

f (x, y, z)dxdydz converge.
V

2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = V et telle que la suite num´rique
e

Kn

n 0

| f (x, y, z) | dxdydz soit born´e
e

(major´e).
e
Exercice 26. D´montrer que les int´grales triples g´n´ralis´es suivantes convergent.
e
e
e e
e
e−x

a)

2 −y 2 −z 2

dxdydz, V = R3 .

V

b)
V

dxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2

le volume de Vn = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2

z 2a , 1

z 2a , z
z

1} (Indication : on pourra calculer
n} avec n ∈ N∗ ).

Figure 3.7 – Surface d’´quation : x2 + y 2 = z 2a avec a = −0.7
e

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An2 integ mul

  • 1. Calcul des int´grales multiples e Abdesselam BOUARICH Universit´ Sultan Moulay Slimane e Facult´ des sciences de Beni Mellal e 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 60 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 10 0 0
  • 2. 2
  • 3. Table des mati`res e 1 Int´grales doubles e 1.1 D´finitions et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . e ee 1.1.1 Construction de l’int´grale double . . . . . e 1.1.2 Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double ee e e 1.2 M´thodes de calcul d’une int´grale double . . . . . e e 1.2.1 Th´or`me de Fibini . . . . . . . . . . . . . e e 1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . 1.2.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . 1.3 Int´grales doubles g´n´ralis´es . . . . . . . . . . . . e e e e 1.3.1 Cas d’une fonction positive . . . . . . . . . 1.3.2 Cas d’une fonction de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 6 8 9 9 12 14 17 17 20 2 Int´grales de surfaces e 2.1 G´om´trie affine des surfaces classiques de R3 . . . . . . . . . . . e e 2.1.1 Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0 e e 2.1.2 Surfaces param´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.3 Surfaces de r´volution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces . . . . . . . . . e ee e 2.3 Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface orientable . . a 2.3.1 Surfaces orientables dans l’espace R3 . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22 22 23 24 28 32 32 33 35 . . . . . . 39 40 41 41 43 45 47 3 Int´grales triples e 3.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . . e ee 3.2 M´thodes de calcul d’une int´grale triple e e 3.2.1 Formule de Fubini . . . . . . . . 3.2.2 Changement de variables . . . . 3.2.3 Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss . e e 3.3 Int´grales triples g´n´ralis´es . . . . . . e e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • 5. Chapitre 1 Int´grales doubles e Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. savoir calculer une int´grale double en utilisant la formule e de Fubini ; 2. savoir effectuer un changement de variables au sein d’une int´grale double ; e 3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann ; 4. comprendre que les int´grales doubles g´n´ralis´es e e e e convergent si elles sont absolument convergente.
  • 6. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 6 Dans ce chapitre, on se propose d’´tablir des formules avec lesquelles on sera en mesure de e calculer l’aire d’un domaine plan ou le volume d’un domaine de l’espace R3 qui est limit´ par le e graphe d’une fonction born´e f (x, y). Les formules qu’on va ´tablir seront appel´es int´grales e e e e doubles car, comme on va le voir ; elles seront exprim´ par deux int´grales simples it´r´es qui e e ee portent la fonction f (x, y) et sur son domaine de d´finition. e 1.1 D´finitions et propri´t´s e e e 1.1.1 Construction de l’int´grale double e D´finition 1. On appelle domaine ´l´mentaire du plan R2 toute partie D ⊂ R2 d´finie par e ee e comme suit, D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)} o` f1 , f2 : [a, b] → R sont deux fonctions continues. u Quand, une partie born´e ferm´e D ′ ⊂ R2 est r´union finie de domaines ´l´mentaires on e e e ee l’appellera compacte ´l´mentaire. ee a b Figure 1.1 – Compacts ´l´mentaires du plan R2 ee Consid´rons un domaine ´l´mentaire D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)} e ee et f : D → R une fonction born´e. On d´signe par [c, d] le segment obtenu en projetant le e e domaine D sur l’axe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement en m et n portions, a = x1 < x2 < · · · < xm = b et c = y0 < y1 < · · · < yn = d. Il est clair que si pour tout couple d’indices 0 i m et 0 j n on pose Ri,j = [xi , xi+1 ]×[yj , yj+1 ] on d´finit ainsi une subdivision du domaine ´l´mentaire D qui sera d´sign´e e ee e e par, Π(D) = {(xi , yj ) ∈ R2 /0 i m, 0 j n}. Enfin, notons que puisque la fonction f : D → R est born´e les deux nombres r´els suivants e e sont donc finis, mi,j = inf{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j } et Mi,j = sup{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }. D´finition 2. Les deux nombres r´els suivants s’appellent respectivement : somme de Darboux e e inf´rieure et somme de Darboux sup´rieure. e e
  • 7. ´ ´ ´ 1.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES 7 et S(f, Π(D)) = Ri,j ⊂D (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j (1.2) Figure 1.2 – Volume limit´ par D et le graphe de f (x, y) e Maintenant, puisqu’on sait que le nombre r´el (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j (resp. (xi+1 − e xi )(yj+1 − yj )Mi,j ) mesure le volume du parall`l´pipde de base Ri,j et de hauteur Mi,j (resp. ee mi,j ) ; ceci nous permet d’interpr´ter la somme de Darboux sup´rieure S(f, Π(D)) comme une e e 3 qui est limit´e par le domaine ´l´mentaire mesure par exc`s du volume de la domine V ⊂ R e e ee D et le graphe de la fonction born´e f . De mˆme, on peut interpr´ter la somme de Darboux e e e inf´rieure σ(f, Π(D)) peut ˆtre interpr´ter comme une mesure par d´faut du domaine V. e e e e D´finition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. Dans chaque rectangle Ri,j de la e e subdivision Π(D) on fixe un point ζi,j ∈ Ri,j ∩ D. Le nombre r´el, i=m−1 j=n−1 R(f, Π(D), ζi,j ) = i=0 j=0 f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj ) (1.3) s’appelle somme de Riemann associ´e ` la fonction born´e f et ` la subdivision Π(D) munie e a e a des points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D. On v´rifie facilement que les trois sommes d´finies ci-dessus satisfont aux propri´t´s suie e ee vantes : 1. Pour toute subdivision Π(D) d’un domaine ´l´mentaire D ⊆ [a, b] × [c, d] et pour tout ee choix de points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D on a la double in´galit´, e e σ(f, Π(D)) R(f, Π(D), ζi,j ) S(f, Π(D)). (1.4) 2. La somme inf´rieure de Darboux σ(f, Π(D)) augmente au fur et ` mesure que la subdie a vision Π(D) devient fine. 3. Tandis que la somme sup´rieure de Darboux S(f, Π(D)) d´munie au fur et ` mesure que e e a la subdivision Π(D) devient fine. ee e D´finition 4. Soit D ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e. e 1. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Darboux sur le domaine D si ses e sommes de Darboux inf´rieure et sup´rieure sont ´gales, e e e sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}. 2. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Riemann sur le domaine D si la e somme de Riemann R(f, Π(D), ζi,j ) admet une limite finie quand xi+1 − xi et yj+1 − yj tendent vers z´ro. e 3. Si f : D → R est int´gralble au sens de Riemann ou au sens de Darboux on notera les e trois limits ´gales, e lim xi+1 −xi →0 yj+1 −yj →0 par le symbole R(f, Π(D), zi,j ) = sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)} f (x, y)dxdy qui se lit int´grale double de la fonction f sur le doe
  • 8. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 8 ee Th´or`me 1. Soit D ⊂ R2 un compact ´l´mentaire. Alors toute fonction continue f : D → R e e est int´grable au sens de Riemann. e D´monstration. Admise. e Pour achever ce paragraphe consacr´ ` la construction de l’int´grale double d’une fonction ea e born´e f : D → R, notons qu’on a les faits suivants : e 1. Si on prend f (x, y) = 1 alors par construction de l’int´grale double on d´duit que l’aire e e du domaine D est donn´e par, e Aire(D) = 2. L’int´grale double e D dxdy (1.5) D f (x, y)dxdy mesure le volume alg´brique du domaine V ⊂ R3 e limit´ par le domaine ´l´mentaire D et par le graphe de la fonction born´e f . e ee e 3. Si par exemple le domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 d´signe une plaque m´tallique dont la ee e e densit´ de masse (resp. temperature) est donn´e en chaque point (x, y) ∈ D par une e e fonction born´e f (x, y), alors ; interpr´ter l’int´grale double e e e f (x, y)dxdy mesure la D masse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque m´tallique D. e 1.1.2 Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double e e e e Dans ce paragraphe, nous donnerons quelques propri´t´s de nature alg´brique de l’int´grale ee e e double. Ces propri´t´s se d´montrent facilement ` partir des sommes de Darboux et de Rieee e a mann. Proposition 1. L’int´grale double au sens de Riemann d’une fonction born´e sur un compact e e ´l´mentaire v´rifie les propri´t´s suivantes : ee e ee 1. L’int´grale double est lin´aire : e e 2 un domaine ´l´mentaire et f, g : D → R deux fonctions int´grales. Alors Soient D ⊂ R ee e pour tous r´els λ et µ on a, e (λf (x, y) + µg(x, y))dxdy = λ f (x, y)dxdy + µ D D g(x, y)dxdy D 2. L’int´grale double est additif : e Soient D1 et D2 sont deux domaines ´l´mentaires de R2 dont l’intersection D1 ∩ D2 est ee vide ou ´gale ` une courbe plane. Alors pour toute fonction int´grable f : D1 ∪ D2 → R e a e on a, f (x, y)dxdy = D1 ∪D2 f (x, y)dxdy + D1 f (x, y)dxdy D2 3. L’int´grale double est croissante : e – Si pour tout (x, y) ∈ mathcalD on a f (x, y) 0 alors, f (x, y)dxdy 0; D – Si la fonction f (x, y) est positive sur le domaine D alors pour tout sous domaine ´l´mentaire D ′ ⊂ D on a, ee f (x, y)dxdy D′ f (x, y)dxdy. D – Si f, g : D → R sont deux fonctions int´grables telles que f (x, y) e g(x, y) sur le
  • 9. ´ ´ 1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE 9 Proposition 2. Soit D un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e int´grable. ee e e Alors on a l’in´galit´ : e e | D f (x, y)dxdy | | f (x, y) | dxdy D En particulier, si Aire(D) = 0 alors on a 1.2 sup{| f (x, y) | /(x, y) ∈ D}Aire(D) f (x, y)dxdy = 0. D M´thodes de calcul d’une int´grale double e e Cette section sera enti`rement consacr´e aux m´thodes de calcul des int´grales doubles. Pour e e e e assurer une bien assimilation des m´thodes que nous avons ´tudier ci-dessous, nous les avons e e suivi par des exemples de calcul d’illustration. 1.2.1 Th´or`me de Fibini e e Th´or`me 2. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction continue. Si e e ee le domaine D est d´fini par, e {(x, y) ∈ R2 /a x b, f1 (x) y f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c y d, g1 (y) x g2 (y)} alors l’int´grable double de la fonction f (x, y) est ´gale `, e e a b f (x, y)dxdy = f2 (x) ( a D d f (x, y)dy)dx = f1 (x) g2 (y) ( c f (x, y)dx)dy g1 (y) D´monstration. Id´e de la d´monstration : e e e Puisque la fonction f (x, y) est continue son int´grale double e f (x, y)dxdy peut ˆtre donc e D approch´e par la somme de Riemann associ´e ` une subdivision Π(D) et un choix de points e e a ζi,j ∈ Ri,j ∩ D : i=m−1 j=n−1 R(f, Π(D), zi,j ) = i=0 f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj ) j=0 i=m−1 j=n−1 = [ i=0 f (ζi,j )(yj+1 − yj )](xi+1 − xi ) j=0 e e Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre yj+1 − yj vers z´ro dans la quantit´ mise entre crochet tout en laissant xi+1 − xi fixe on obtient une int´grale simple de type e f (x, y)dy dont les bornes d´pendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on e fait tendre xi+1 − xi vers z´ro on obtient une int´grale double ´gale ` l’it´ration de deux e e e a e int´grales simples de la forme, e [ f (x, y)dy]dx. Corollaire 1. Sur un rectangle D = [a, b] × [c, d] l’int´grale double d’une fonction continue e b f (x, y) est donn´e par, e f (x, y)dxdy = D d ( a d f (x, y)dy)dx = c f (x, y)dx)dy. c En particulier, si f (x, y) = F(x)G(y) alors on a a b f (x, y)dxdy = ( D Exemple 1. 1) Calculons l’int´grale double e b ( d F(x)dx)( a G(y)dy). c (x2 + y 2 )dxdy o` D d´signe le triangle limit´ u e e
  • 10. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 10 1−x x x−1 Figure 1.3 – Triangle Pour calculer l’int´grale double donn´e nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela e e nous allons d´finir le triangle D analytiquement par les in´galit´s (voir figure) : e e e D = {(x, y) ∈ R2 /0 1 (x2 + y 2 )dxdy = D x 1−x ( 0 1, x − 1 y 1 − x} (x2 + y 2 )dy)dx x−1 1 y 3 1−x ] dx 3 x−1 0 1 1 1 = (2x2 − 2x3 + (1 − x)3 − (1 − x)3 )dx 3 3 0 2 3 1 4 1 1 1 = [ x − x − (1 − x)4 + (1 − x)4 ]1 = 0 3 2 12 12 3 = [x2 y + 2) Calculons l’aire du domaine circulaire D limit´ par les deux cercles d’´quations analytiques e e (voir figure) : x2 + y 2 = R2 et (x − R)2 + y 2 = R2 . Figure 1.4 – Intersection de deux disques Pour calculer l’aire du domaine D nous allons appliquer la formule de Fubini ` l’int´grale a e double,
  • 11. ´ ´ 1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE 11 Observons que si on d´finit le domaine d’int´gration D en fonction des coordonn´es cart´e e e e siennes x et y par les in´galit´s, e e √ √ 3R 3R 2 D = {(x, y) ∈ R / − y et R − R2 − y 2 x R2 − y 2 } 2 2 alors grˆce ` la formule de Fubini on peut ´crire, a a e √ √ R2 −y 2 3R/2 Aire(D) = = dxdy = D √ 3R/2 (2 √ − 3R/2 dy √ − 3R/2 R− √ dx R2 −y 2 R2 − y 2 − R)dy. Pour calculer l’int´grale simple pr´c´dente nous allons effectuer le changement de variable e e e y = R sin(t) avec t ∈ [−π/3, π/3] : π/3 Aire(D) = −π/3 = R2 (2R cos(t) − R)R cos(t)dt π/3 −π/3 (1 + cos(2t) − cos(t))dt = R2 [t + √ π 3 = R [2 − ]. 3 2 1 π/3 sin(2t) − sin(t)]−π/3 2 2 Exercice 1. Soit D ⊂ R2 une partie born´e ferm´e non vide et f : D → R une fonction e e f (x, y)dxdy, dans les int´grable. Indiquer les bornes d’int´gration de l’int´grale double, e e e D cas suivants : ı) D1 = {(x, y) ∈ R2 /x a, y b, x + y 1 + a + b} ; ıı) D2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ax, x2 + y 2 ay} ; ııı) D3 = {(x, y) ∈ R2 /y x2 , 1 − x2 y}. Exercice 2. D´crire g´om´triquement le domaine d’int´gration D des int´grales doubles done e e e e n´es ci-dessous, ensuite, changer l’ordre de leurs bornes d’int´gration. e e √ 3 dx 0 25−x2 a f (x, y)dy, 0 dx −a −x+a √ 1 f (x, y)dy, x+a dy y 2 f (x, y)dx, y2 0 y+2 dy f (x, y)dx y2 −1 Exercice 3. Calculer l’aire du domaine plan limit´ par les courbes donn´es : e e a) y = 4x − x2 , y = x. b) y 2 = 2x, x2 = 6y. c) y = x3 − 2x, y6x − x3 . Exercice 4. Calculer les int´grales doubles suivantes : e a) D b) D c) D dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /ax2 u y dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 u bx2 , c x y d } avec 0 < a < b et 0 < c < d. x 1, x2 + y 2 − 2y 0, x 0, y 0}. x2 − y 2 dxdy o` D est le tringle de sommets O = (0, 0), A = (1, 1) et B = (1, −1). u
  • 12. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 12 1.2.2 Changement de variables Dans ce paragraphe, ´tant donn´ un compact ´l´mentaire D et une fonction continue f : e e ee D → R ; on se propose d’´tudier l’influence du changement de variables dans la d´finition e e g´om´trique du domaine D sur l’expression de l’int´grale double e e e f (x, y)dxdy. D Th´or`me 3 (Formule du changement de variables). Soient D ′ et D deux domaines ´l´mene e ee taires du plan R2 . Soit T : D ′ → D une application bijective de classe C 1 dont les composantes sont d´sign´es par (x(u, v), y(u, v)) = T(u, v). e e Si le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est non e nul sur le domaine D alors pour toute fonction continue, f : D → R, on a la formule suivante dite de changement de variables : f (x, y)dxdy = D′ D f (x(u, v), y(u, v)) | D(x, y) | dudv D(u, v) (1.6) ∂x ∂y ∂x ∂y D(x, y) = − d´signe le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application e e D(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u diff´rentiable T(u, v) = (x, y). e o` u D´monstration. Dans cette d´monstration, pour guider notre imagination nous travaillerons e e avec la figure suivante : Figure 1.5 – Changement de variables Pour calculer l’int´grale double e D f (x, y)dxdy nous allons subdiviser le domaine D en utilisant la famille des courbes Ci = T(ui , v) et C′ = T(u, vj ) (Voir la figure), et puis ; nous j allons consid´rer la somme de Riemann associ´e ` la fonction f et aux donn´es ci-dessus : e e a e i=m−1 j=n−1 f (ζi,j )Aire(T(Ri,j )) i=0 j=0 e o` Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D ′ . Rappelons que la somme de Riemann tend vers l’int´grale u double de la fonction f (x, y) sur D. Notons que puisque l’application T : D ′ → D est bijective donc on peut trouver des points ηi,j ∈ D ′ tels que T(ηi,j ) = ζi,j . D’autre part, observons que si on approche l’aire du domaine ∂T ∂T T(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel (ui , vj ) ∧ (ui , vj ), ∂u ∂v ı ∂x (ui , vj ) ∂u ∂x (ui , vj ) ∂v on peut alors suivante,  ∂y (ui , vj ) ∂u ∂y (ui , vj ) ∂v approcher k 0 =| ∂x ∂y ∂x ∂y D(x, y) (ui , vj ) (ui , vj )− (ui , vj ) (ui , vj ) |=| (ui , vj ) | ∂u ∂v ∂v ∂u D(u, v) 0 la somme de Riemann pr´c´dente de la fonction f par l’expression e e i=m−1 j=n−1 i=0 j=0 f ◦ T(ηi,j ) | D(x, y) (ui , vj ) | (ui+1 − ui )(vj+1 − vj ). D(u, v) Ainsi, si on fait tendre les ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro on la formule du changement de e
  • 13. ´ ´ 1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE 13 Corollaire 2. Si T(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) r´alise un changement de variables de D ′ sur D, e alors, pour toute fonction continue f : D ′ → D on a la formule de changement de variables en coordonn´es polaires : e f (x, y)dxdy = f (r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ (1.7) D′ D Exemple 2. 1) Calculons l’int´grale double e D (1 − x2 − y 2 )dxdy o` D d´signe le domaine u e limit´ par le quart du cercle de ration r = 1 centr´ en (0, 0) et les demies droites x e e en passant en coordonn´es polaires : x = r cos(θ) et y = r sin(θ). e 0 et y 0 Notons qu’en coordonn´es polaires la fonction f (x, y) prend la forme 1 − r 2 tandis que le e π domaine d’int´gration D devient D ′ = {(r, θ)/0 r 1, 0 θ e 2 . Ainsi, avec ces notations on applique la formule du changement de variables ` l’int´grale double donn´e on obtient : a e e D (1 − x2 − y 2 )dxdy = D′ (1 − r 2 )rdrdθ π/2 = 1 ( 0 = 0 π/2 2 r [ 0 = 2) Calculons l’int´grale double e D 2 π . 8 (1 − r 2 )rdr)dθ − r4 1 ] dθ 4 0 x2 + y 2 dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /r 2 u x2 + y 2 R2 }. En passant en coordonn´es polaires x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ) on obtient : e 2π R R3 − r 3 ) 3 D 0 r Exercice 5. Calculer les int´grales doubles suivantes en utilisant un changement de variables. e x2 + y 2 dxdy = a) D b) ( ρ2 dr)dθ = 2π( (x2 + y 2 )dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 u x}. dxdy o` D est le domaine limit´ par la lemniscate de Bernoulli : ( u e D 90 x2 y 2 2 x2 y2 + 2) = 2 − 2. a2 b k h 2 60 120 1.5 150 30 1 0.5 180 0 210 330 240 300 270 Figure 1.6 – Lemniscate de Bernoulli : (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 c) D d) y dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 a2 , x 0, y 0}. u + x2 x−y cos( )dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x + y u 1, x 0, y 1} (Indication : poser a2
  • 14. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 14 1.2.3 Formule de Green-Riemann Dans ce paragraphe, nous allons d´montrer la formule de Green-Riemann qui relie les int´e e grales double sur un domaine D ` une int´grales curviligne d’une forme diff´rentielle de degr´ un a e e e le long du bord orient´ du domaine D. Avant qu’on d´montre la formule de Green-Riemann e e nous allons d’abord pr´ciser le sens g´om´trique de l’adjectif : orient´. e e e e D´finition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) D ⊂ R2 est dit orient´ positivement e e s’il reste du cˆt´ gauche d’un promeneur P qui se d´place dans le sens trigonom´trique le long oe e e du bord ∂D (fronti`re) du domaine D (Voir figure). e x y ? y - D1 ? - 6 D2 ? 6x - y 6x ? 6 - Figure 1.7 – Domaines de R2 orient´s positivement e Notons que si en particulier la fronti`re d’un domaine D est constitu´e que par une seule e e composante alors pour orienter D positivement il suffit qu’on parcourt sa fronti`re ∂D dans le e sens trigonom´trique. e Th´or`me 4. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire dont le bord ∂D est orient´ positivement. e e ee e Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est une forme diff´rentielle d´finie sur le domaine D et de classe e e C 1 alors on a la formule de Green-Riemann : (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = ∂D ( D ∂Q ∂P (x, y) − (x, y))dxdy ∂x ∂y (1.8) D´monstration. Supposons que le domaine ´l´mentaire D est d´fini par les in´galit´s suivantes, e ee e e e D = {(x, y) ∈ R2 /a x b, f1 (x) f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c y y d, g1 (y) x g2 (y)} et parcourant sa fronti`re ∂D dans le sens trigonom´trique pour l’orienter positivement (Voir e e la figure). Sous les hypoth`ses pr´c´dentes calculons l’int´grale double e e e e D En effet, si on applique la formule de Fubini on peut ´crire : e D ∂Q (x, y)dxdy = ∂x d g2 (y) ( c g1 (y) ∂Q (x, y))dx)dy ∂x ∂Q (x, y)dxdy. ∂x
  • 15. ´ ´ 1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE 15 B x y y ? 6 x - A Figure 1.8 – Orientation positive du domaine ´l´mentaire D ee d = c d Q(g2 (y), y)dy − Q(x, y)dy + = C2 (Q(g1 (y), y)dy c Q(x, y)dy = Q(x, y).dy ∂D C1 De mˆme la mˆme fa¸on, si on applique la formule de Fubini a l’int´grale double e e c ` e on v´rifie ais´ment qu’on a, e e D ∂P (x, y)dxdy = − ∂y D ∂P (x, y)dxdy ∂y P(x, y)dx. ∂D La formule de Green-Riemann s’obtient finalement par soustraction des deux int´grales e ∂Q ∂P doubles pr´c´dentes, e e (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = ( (x, y) − (x, y))dxdy. ∂y ∂D D ∂x Corollaire 3. Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy d´signe une forme diff´rentielle de classe C 1 et e e ferm´e sur le domaine ´l´mentaire D alors son int´grale curviligne e ee e ω = 0. ∂D Corollaire 4. L’aire d’un compact ´l´mentaire D ⊂ R2 est donn´e par la formule, ee e Aire(D) = 1 2 D (xdy − ydx). (1.9) D´monstration. Il suffit qu’on applique la formule de Green-Riemann ` la forme diff´rentielle e a e 1 ω = (xdy − ydx) sur le domaine D orient´ positivement. e 2 Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer l’int´grale curviligne e de la forme diff´rentielle suivante, e ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Log( 2+y x(3y + 7) )dx + dy 2 1+x 2+y le long du cercle de rayon R = 1 centr´ au point (0, 0) orient´ positivement. e e
  • 16. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 16 nous permet d’´crire, e ∂Q ∂P − )dxdy ∂y D ∂x 3y + 7 1 ( − )dxdy y+2 D y+2 ω = ( ∂D = = 3dxdy = 3Aire(D) = 3π D 2) Calculons l’aire du domaine D limit´ par le folium C de Descate qui est d´fini par le syst`me e e e param´trique, e 1 − t2 1 − t2 ,t ) o` u |t| 1 (x(t), y(t)) = ( 1 + t2 1 + t2 Observons que les ´quations param´triques de la courbe C impliquent qu’on a e e 1 1 1 y = tx =⇒ ω = (xdy − ydx) = (x(tdx + xdt) − txdx) = x2 dt 2 2 2 Aire(D) = = 1 2 1 2 C (xdy − ydx) 1 (x(t))2 dt = −1 1 2 1 ( −1 1 − t2 2 ) dt. 1 + t2 Maintenant, si dans l’int´grale simple pr´c´dente on effectue le changement de variable, e e e tg(θ) = t, on obtient : Aire(D) = 1 2 π/4 −π (1 − tg(θ)2 )2 π dθ = 2 − . 1 + tg(θ)2 2 Exercice 6. Calculer les int´grales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann. e a) C b) (2x3 − y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy o` C d´signe le cercle d’´quation, x2 + y 2 = 2x. u e e x2 + y 2 dx + y(x + log(x + C x2 + y 2 ))dy o` C d´signe l’ellipse d’´quation, u e e x2 a2 + y2 b2 = 1. Exercice 7. Calculer l’aire du domaine D limit´ par la courbe C d´finie ci-dessus. e e x2 y 2 + 2 = 1. a2 b b) C est l’hypocyclo¨de d’´quation x2/3 + y 2/3 = a2/3 (Voir la figure). ı e a) C est l’ellipse : Figure 1.9 – L’hypocyclo¨ : x = 2 cos(t) + cos(2t), y = 2 sin(t) − sin(2t), t ∈ [0, 2π]. ıde c) C est la lemniscate de Bernoulli d’´quation : ( e x2 + y2 )2 = x2 − y2 .
  • 17. ´ ´ ´ ´ 1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES 90 17 2 60 120 1.5 150 30 1 0.5 180 0 210 330 240 300 270 Figure 1.10 – Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a2 cos(2θ), θ ∈ [0, 2π] 1.3 Int´grales doubles g´n´ralis´es e e e e Dans cette section, nous allons ´tendre la d´finition de l’int´grale double aux deux cas suie e e vants : 1) D ⊂ R2 est un domaine born´ et f : D → R est continue mais non born´e. e e 2) D ⊂ R2 est un domaine non born´ et f : D → R est continue et born´e. e e 1.3.1 Cas d’une fonction positive D´finition 6. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive. On dira e que f est localement int´grable si pour tout compact ´l´mentaire K ⊂ D l’int´grale double e ee e f (x, y)dxdy est un nombre r´el fini. e K Puisque on sait que les fonctions continues sont int´grables au sens de Riemann sur les e compacts ´l´mentaires du plan R2 elles sont donc localement int´grables au-dessus de tous les ee e ouvert de R2 . D´finition 7. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive localee ment int´grable. S’il existe une famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 ⊂ D e ee telle que, 1. D = 2. Kn , n 0 lim n→+∞ f (x, y)dxdy existe dans R, Kn on dira que l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e f (x, y)dxdy := lim n→+∞ D Une int´grale double g´n´ralis´e non convergente est dite divergente. e e e e f (x, y)dxdy converge. Kn Th´or`me 5. Soit D ⊂ R2 un ouvert vide et f : D → R+ une fonction positive localement e e int´grable. La nature de l’int´grale g´n´ralis´e e e e e e f (x, y)dxdy ne d´pend pas du choix de la e D famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que D = ee D´monstration. Admise. e Kn . n 0
  • 18. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 18 1. L’int´grale double g´n´ralis´e e e e e f (x, y)dxdy converge. D e 2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union ee Kn = D telle que la suite num´rique e n 0 f (x, y)dxdy soit major´e. e Kn D´monstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite num´rique convergente est e e born´e. e 2) implique 1) En effet, puisque la fonction est positive f (x, y) 0 donc si on l’int`gre sur les e compacts ´l´mentaires Kn+1 = Kn ∪ (Kn+1 − Kn ) on obtient les in´galit´s : ee e e un+1 = f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + Kn+1 f (x, y)dxdy Kn un + 0 Kn+1 −Kn qui montrent que la suite num´rique un = e f (x, y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on Kn sait que la suite un est major´e dans R elle est donc convergete. e Th´or`me 6 (Crit`re de comparaison). Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide ; et soient f, g : D → e e e R+ deux fonctions positives et localement int´grables telles que 0 f (x, y) g(x, y), ∀(x, y) ∈ e D. Alors on a les propositions : 1. Si l’int´grale g´n´ralis´e e e e e converge. g(x, y)dxdy converge alors l’int´grale g´n´ralis´e e e e e D 2. Si l’int´grale g´n´ralis´e e e e e f (x, y)dxdy diverge alors l’int´grale g´n´ralis´e e e e e D diverge. x f (x, y)dxdy D Exemple 4. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e, e e e e maine D = {(x, y)/0 f (x, y)dxdy D 1, y 2 D x}. dxdy , converge sur le dox + y2 Kn 1 n 1 Figure 1.11 – Suite croissante de compacts ´l´mentaires de D ee 1 Consid´rons la suite de compacts Kn = {(x, y)/0 e y 1, y2 x} et int´grons la e n 1 fonction f (x, y) = sur les Kn en appliquant la formule de Fubini : x + y2 1 √ x 1
  • 19. ´ ´ ´ ´ 1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES 19 e Ainsi, si maintenant on fait tendre l’entier n vers +∞ dans la suite num´rique un on d´duit e dxdy π que l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e converge vers . 2 2 D x+y 2) Etudions la nature de convergence de l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e R2 dxdy selon (1 + x2 + y 2 )α les valeurs du nombre r´el α. e Notons que si on consid`re la suite des disques Dn = {(x, y)/x2 + y 2 e passage en coordonn´es polaires que : e un = Dn 2π dxdy (1 + x2 + y 2 )α n2 } on obtient apr`s e n rdr )dθ 2 α 0 0 (1 + r )  π 1  n2 dt ( − 1), si α = 1 = π = −α + 1 (1 + n2 )α−1 α  (1 + t) 0 Log(n2 + 1), si α = 1 = ( Ainsi, si on passe ` la limite sur l’entier n dans la suite num´rique un on d´duit alors que a e e dxdy l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e converge si et seulement si le r´el α 1. e 2 2 α R2 (1 + x + y ) +∞ 3) D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I = e e e e e 2 e−t dt est convergente. Ensuite, 0 calculons sa valeur exacte. +∞ a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I = e e e e 2 e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous e 0 avons les in´galit´s : e e 2 1 t t2 =⇒ e−t e−t +∞ =⇒ +∞ 2 e−t dt 1 n e−t = lim n→+∞ 1 1 e−t dt = lim (−e−n + e−1 ) = e−1 n→+∞ +∞ b) Pour calculer la valeur exacte de l’int´grale double g´n´ralis´e I = e e e e 2 e−t dt nous allons 0 −x2 −y 2 ´tudier l’int´grale double g´n´ralis´e K = e e e e e e dxdy. R+ ×R+ En effet, si on consid`re la suite de compacts Kn = {( x, y)/x e obtient ` passage en coordonn´es polaires, a e e−x 2 −y 2 π/2 dxdy = Kn n ( 0 2 re−r dr)dθ = 0 π 2 (1 − e−n ) =⇒ 4 0, x2 + y 2 0, y e−x 2 −y 2 n2 } on dxdy = R+ ×R+ π 4 D’autre part, si on consid`re le suite des compacts Ln = [0, n] × [0, n] on obtient la suite e num´rique : e e−x un = 2 −y 2 n dxdy = Kn n ( 0 2 n 2 e−x e−y dx)dy = ( 0 2 e−x dx)2 0 dont la limite est ´gale `, e a 2 2 +∞ 2 π +∞ 2 √ π
  • 20. ´ CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES 20 1.3.2 Cas d’une fonction de signe quelconque D´finition 8. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction dont la valeur absolue e | f (x, y) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e e e e e e dira que l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e D | f (x, y) | dxdy converge on f (x, y)dxdy convergente absolument. D Proposition 4. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction localement int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes : e e 1. L’int´grale double g´n´ralis´e e e e e f (x, y)dxdy converge. D 2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union ee e Kn = D telle que la suite num´rique e Kn n 0 | f (x, y) | dxdy soit born´e (major´e). e e Autrement dit, l’int´grale double g´n´ralis´e d’une fonction fonction localement int´grable de e e e e e signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument. Exemple 5. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e R2 ment convergente. sin(x + y)dxdy est absolu(1 + x2 + y 2 )2 | sin(x + y) | 1 , et puisqu’on sait que l’int´e 2 + y 2 )2 2 + y 2 )2 (1 + x (1 + x dxdy est convergente (voir l’exemple pr´c´dent) on en e e grale double g´n´ralis´e e e e 2 2 2 R2 (1 + x + y ) sin(x + y)dxdy d´duit donc que l’int´grale g´n´ralis´e e e e e e converge absolument. 2 2 2 2 (1 + x + y ) R En effet, puisque nous avons sin(x2 + y 2 )dxdy est divergente. 2) Montrons que l’int´grale g´n´ralis´e e e e e R2 En effet, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de compacts Rn = [−n, n] × [−n, n] e on obtient la suite num´rique, e 2 un = 2 n sin(x +y )dxdy = 2( Rn n 2 sin(x )dx)( −n n2 2 cos(y )dy) = 2 0 −n sin(t) √ dt) t n2 0 cos(t) √ dt), t qui, d’apr`s le th´or`me d’Abel (voir Cours M122), converge vers un r´el fini. e e e e Par contre, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de disques Dn de centre (0, 0) e et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge : 2π sin(x2 + y 2 )dxdy = vn = Dn n ( 0 0 sin(r 2 )rdr)dθ = π(1 − cos(n2 )) Exercice 8. Trouver la nature des int´grales doubles g´n´ralis´es suivantes : e e e e a) Log( D b) D c) D x2 + y 2 )dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 1}. 1 dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 1} et a 0. + y 2 )a 1 dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /0 x 1, 0 y 2 x}. xα + y 2 (x2 sin(x2 + y 2 )e−x Exercice 9. Montrer que l’int´grale double g´n´ralis´e e e e e R+ ×R+ 2 −y 2 dxdy est
  • 21. Chapitre 2 Int´grales de surfaces e Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. vous familiariser avec la g´om´trie affine des surfaces e e 3; classiques de l’espace R 2. savoir calculer le plan tangent et d´terminer la droite e normale d’une surface ; 3. savoir calculer l’´l´ment d’aire d’une surface donn´e soit ee e par equation implicite ou param´trique ; e 4. savoir calculer l’int´grale de surface et le flux d’champ de e vecteurs ` travers une surface orient´e ; a e 5. savoir appliquer la formule de Stokes.
  • 22. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 22 G´om´trie affine des surfaces classiques de R3 e e 2.1 2.1.1 Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0 e e D´finition 9. Soit F : R3 → R une fonction de classe C k , k e 1. 1. Le sous-ensemble Σ(F) = {(x, y, z) ∈ R3 /F(x, y, z) = 0} s’appelle surface de classe C k d´finie par l’´quation implicite F(x, y, z) = 0. e e 2. On dira que le point (a, b, c) ∈ Σ(F) est r´gulier si le vecteur gradient gradF(a, b, c) = 0. e Un point (a, b, c) ∈ Σ(F) non r´gulier (i.e. gradF(a, b, c) = 0) est dit singulier. Quand e la surface Σ(F) ne poss`de aucun point singulier on dira qu’elle est r´guli`re. e e e 3. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le plan tangent ` Σ(F) par l’´quae e a e tion affine, (x − a) ∂F ∂F ∂F (a, b, c) + (y − b) (a, b, c) + (z − c) (a, b, c) = 0. ∂x ∂y ∂z (2.1) L’ensemble des solutions de cette ´quation forme un sous-espace vectoriel de dimension e deux ; il se note par TM Σ(F). 4. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le vecteur normal unitaire au plan e e tangent TM Σ(F) par l’expression, nM = gradF(a, b, c) . // gradF(a, b, c) // (2.2) Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /z(x2 + y 2 + xy + 1) = x + y} est une surface de classe C ∞ r´guli`re et calculons son plans tangent au point O = (0, 0, 0). e e 1) Suppose qu’au point M = (x, y, z) ∈ Σ on un vecteur gradient gradF(x, y, z) = 0. Avec ∂F = x2 + y 2 + xy + 1 = 0, poss`de au-moins une e cette hypoth`se on d´duit que l’´quation, e e e ∂z 2 + y 2 + xy + 1 d’ind´termin´ x ´gal ` solution r´el malgr´ que le discriminant du trinˆme x e e o e e e a 3 − 4 0. Donc la surface Σ n’a pas de points singuliers. ∆x = −3y 2) Le plan tangent affine ` Σ au point O = (0, 0, 0) a pour ´quation, a e x ∂F ∂F ∂F (0, 0, 0) + y (0, 0, 0) + z (0, 0, 0) = 0 =⇒ −x − y + z = 0. ∂x ∂y ∂z −1 −1 1 Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent TO Σ est ´gal `, nO = ( √ , √ , √ ). e a 3 3 3 2) Dans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe C ∞ d´finie par, e Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /(x2 + y 2 )z = z 2 − 2x − 2y − 3}. a) Supposons que le point (x, y, z) ∈ Σ est singulier. Donc, (x, y, z) par d´finition solution du e syst`me d’´quations : e e   2xz + 2 = 0   1 − z3 = 0 2yz + 2 = 0 =⇒ yz + 1 = 0 =⇒ (x, y, z) = (−1, −1, 1) ∈ Σ  2  2 − 2z = 0 x +y xz + 1 = 0
  • 23. ´ ´ 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3 23 b) Au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ donnons l’expression du plan tangent et d´terminons les e coordonn´es du vecteur unitairte normal ` Σ. e a Puisque le point A = (−1, −1, 1) il est donc r´gulier. Le plan affine tangent de la surface Σ e au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ a pour expression : ∂F ∂F ∂F (1, −1, −1) + (y + 1) (1, −1, −1) + (z + 1) (1, −1, −1) = 0 =⇒ y + z + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z √ √ 2 2 Le vecteur unitaire normal ` Σ au point A = (1, −1, −1) est ´gal `, nA = (0, a e a , ). 8 8 (x − 1) 2.1.2 Surfaces param´triques e D´finition 10. Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide et F : U → R3 une application de classe e C k , k 1. 1. Le sous-ensemble Σ(ϕ) = {ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 /(u, v) ∈ U} s’appelle surface param´trique de classe C k . e ∂ϕ ∂ϕ 2. Si au point M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) la famille des vecteurs { (u0 , v0 ), (u0 , v0 )} ∂u ∂v est libre on dira que M = (a, b, c) est un point r´gulier sur Σ. Un point ϕ(u0 , v0 ) = e ∂ϕ ∂ϕ (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) non r´gulier (i.e. e (u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 ) = 0) sera dit singulier. ∂u ∂v 3. On d´finit le plan tangent affine de la surface param´trique Σ(ϕ) en un point r´gulier e e e e M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) par l’´quation analytique : x−a ∂x(u0 , v0 ) ∂u ∂x(u0 , v0 ) ∂v y−b ∂y(u0 , v0 ) ∂u ∂y(u0 , v0 ) ∂v z−c ∂z(u0 , v0 ) ∂u ∂z(u0 , v0 ) ∂v =0 (2.3) et on le note par TM Σ(ϕ). 4. Un vecteur normal ` Σ(ϕ) au point r´gulier M = ϕ(u0 , v0 ) est donn´ par le produit a e e ∂ϕ(u0 , v0 ) ∂ϕ(u0 , v0 ) vectoriel NM = ∧ = 0. ∂u ∂v Exemple 7. 1) Montrons que la surface Σ d´finie par la param´trisation, e e ϕ(u, v) = ((7 + 5 cos(u)) cos(v), (7 + 5 cos(u)) sin(v), 5 sin(u)) pour 0 u, v est r´guli`re. e e En effet, pour tout couple (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] le produit vectoriel, ∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v) ∧ ∂u ∂v = ı  k −5 sin(u) cos(v) −5 sin(u) sin(v) 5 cos(u) −(7 + 5 cos(u)) sin(v) (7 + 5 cos(u)) cos(v) 0 = 5(7 + 5 cos(u))[cos(u) cos(v)ı + cos(u) sin(v) − sin(u)k] est non nul car sa norme est ´gale ` 5(7 + 5 cos(u)) e a 10 0. 2) a) Cherchons les points singuliers de la surface Σ′ d´finie par la param´trisation, e e 2π
  • 24. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 24 Notons que si le point ψ(u, v) ∈ Σ′ singulier on obtient un produit vectoriel nul, ∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v) ∧ = ∂u ∂v ı  k 3u2 3u2 2v 3v 2 −3v 2 2u = 6(u3 + v 3 )ı − 6(u3 − v 3 ) − 18u2 v 2 k = 0. Ainsi, puisque les ´quations u3 +v 3 = 0 et u3 −v 3 = 0 ont une seule solution (0, 0) on conclut e donc que le point ψ(0, 0) = (0, 0, 0) est l’unique point singulier de la surface Σ′ . e b) Le plan tangent de la surface Σ′ au point M = ψ(1, 0) = (1, 1, 0) a pour ´quation, x−1 y−1 z 3 3 0 0 0 2 = 0 =⇒ x − y = 0, √ √ 2 2 dont le vecteur unitaire normal au point M = (1, 1, 0) est ´gal ` n = ( e a ,− , 0). 2 2 2.1.3 Surfaces de r´volution e D´finition 11. Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C k d´finit par une ´quation implicite ou e e e par un syst`me d’´quations param´triques ; et soit ∆ ⊂ R3 une droite. On dira que Σ est une e e e surface de r´volution d’axe ∆ si elle est stable par toutes les rotations R : R3 → R3 d’axe ∆. e C’est-`-dire, si M ∈ Σ alors le cercle Γ(M) qui passe par le point M d’axe ∆ est enti`rement a e contenu dans Σ (Voir figure). ∆ Γ(M) R (0, y, f (y)) = M θR Figure 2.1 – Surface de r´volution d’axe ∆ e 1. Le cercle Γ(M) s’appelle parall`le de la surface de r´volution Σ. e e 2. Le plan Π qui passe par l’axe de rotation ∆ s’appelle plan m´ridien. e 3. L’intersection du plan m´ridien Π avec la surface Σ s’appellent courbes m´ridiennes : e e C = Π ∩ Σ. Ci-dessous, nous allons exploiter la stabilit´ d’une surface de r´volution par rotation pour e e la param´trer ou la d´finir par une ´quation implicite cart´sienne. Pour simplifier nous allons e e e e supposer que l’axe de r´volution de la surface donn´e est ´gal ` ∆ = Oz. Cette hypoth`se est e e e a e
  • 25. ´ ´ 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3 25 La courbe m´ridienne C est d´finie par l’´quation cart´sienne, f (x) = z e e e e Observons que si on fixe un point M = (x, 0, f (x)) ∈ C alors en lui appliquant la rotation d’angle θ ∈ [0, 2π] d’axe Oz on obtient un nouveau point M′ qui appartient ` la surface de a r´volution Σ(C, Oz) dont les coordonn´es param´triques sont ´gales ` : e e e e a   X = x cos(θ) Y = x sin(θ)  Z = f (x) avec x ∈ Dom(f ) et θ ∈ [0, 2π]. En effet, le syst`me des ´quations param´triques pr´c´dent d´finit compl`tement la surface e e e e e e e de r´volution Σ(C, Oz) engendr´e par rotation du graphe de la fonction f (x) = z autour de e e l’axe ∆ = Oz. Notons que les ´quations param´triques de la surface de r´volution Σ(C, Oz) nous permet de e e e voir que l’´quation implicite cart´sienne de Σ(C, Oz) est donn´e par : e e e X2 + Y2 = x2 et f (x) = z =⇒ f ( X2 + Y2 ) = Z. Figure 2.2 – Surface de r´volution d’axe Oz e La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation implicite, g(x, z) = 0 e e e Soit C une courbe contenue dans le plan Oxz d´finie par par l’´quation implicite, g(x, z) = 0, e e k avec k o` g est une fonction de classe C u 1. Fixons un point M = (x, 0, z) ∈ C et appliquons sur lui une rotation d’axe Oz et d’angle θ. Ceci produit donc un point Mθ = (X, Y, Z) qui appartient ` la surface de r´volution Σ(C, Oz) dont la projection sur le plan Oxy d´finit un a e e point (X, Y, 0) = (x cos(θ), x sin(θ), 0) (Voir la figure). Ainsi, si on remarque que Z = z car la rotation est d’axe Oz et que x2 = X2 + Y2 ; l’´quation implicite g(x, z) = 0 implique que les e √ point Mθ = (X, Y, Z) est solution l’´quation, g( X2 + Y2 , Z) = 0. e (x, 0, z) = M ∆ Mθ = (X, Y, Z) θR Figure 2.3 – Surface de r´volution d’axe ∆ e
  • 26. 26 ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES Conclusion : La surface de r´volution d’axe ∆ = Oz engendr´e par rotation de la courbe C e e a ` pour ´quation implicite cart´sienne, g( x2 + y 2 , z) = 0. e e Exemple 8. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c). La e e surface de r´volution d’axe Oz engendr´e par le cercle C centr´ au point (a, 0, c) de rayon r e e e s’appelle tore. Son ´quation implicite est donc donn´e en fonction des coordonn´es cart´si`nne e e e e e 2 + y 2 − a)2 + (z − c)2 = r 2 . par, ( x La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation param´trique, ρ(t) = (x(t), 0, z(t)) e e e e Avec les mˆmes id´es que ci-dessus, on v´rifie facilement que la surface de r´volution d’axe Oz e e e e engendr´e par la courbe parm´tr´e C, Σ(C, Oz), peut ˆtre d´finie par le syst`me des ´quations e e e e e e e param´triques : e   X = x(t) cos(θ) Y = x(t) sin(θ)  Z = z(t) avec t ∈ Dom(ρ) et θ ∈ [0, 2π]. Exemple 9. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c). e e Si on param´trise le cercle C d’´quation (x − a)2 + (z − c)2 = r 2 par x = r cos(t) + a et e e z = r sin(t) + c on en d´duit que le tore r´gulier engendr´ par C peut ˆtre param´trer par le e e e e e syst`me des ´quations suivantes : e e   x(t, s) = (r cos(t) + a) cos(s) y(t, s) = (r cos(t) + a) sin(s)  z(t, s) = r sin(t) + c Exercice 10. Trouver les ´quations param´triques (resp. cart´siennes) d’une surface de r´voe e e e lution autour de l’axe Oy et Ox. Pour finir ce paragraphe consacr´e aux surfaces nous donnerons les ´quations implicites e e cart´si`nnes et implicites de certaines surfaces classique de l’espace R3 . e e Exemple 10. A) Sph`re : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 e Puisque la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon R peut ˆtre obtenue ` partir de la r´volution e e e a e du cercle (x − a)2 + (z − c)2 = R2 autour de l’axe Oz on d´duit donc, de ce qui pr´c`de, que e e e l’´quation cart´sienne de la sph`re est donn´e par, (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 . e e e e Notons que si on d´finit le cercle m´ridien d’´quation (x−a)2 +(z−c)2 = R2 par les ´quations e e e e param´triques, e   x(t) = R cos(t) + a y(t) = b  z(t) = R sin(t) + c on en d´duit que la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon est param´tr´e par le syst`me d’equae e e e e e tions :   x(t, s) = R cos(t) cos(s) + a y(t, s) = R cos(t) sin(s) + b  z(t, s) = R sin(t) + c
  • 27. ´ ´ 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3 27 Figure 2.4 – La sph`re S2 de l’espace R3 e B) Ellipso¨ de r´volution : ıde e x2 + y 2 z 2 + 2 =1 a2 b L’ellipso¨de de r´volution d’axe Oz est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation ı e d’une ellipse contenue dans le plan Oxz par rotation autour de l’axe Oz. x2 z 2 Ainsi, si par exemple ; si on fait tourner l’ellipse d’´quation cart´si`nne 2 + 2 = 1 autour e e e a b de l’axe Oz on obtient une ellipso¨de de r´volution dont l’´quation cart´sienne est donn´e par : ı e e e e x2 + y 2 z 2 + 2 = 1. a2 b C) Hyperbolo¨ de r´volution : ıde e x2 + y 2 z 2 − 2 =1 a2 b L’hyperbolo¨de de r´volution est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation d’une ı e hyperbole contenue dans le plan Oxz autour de l’axe Oz. Par cons´quent, si on fait tourner l’hyperbole d’´quation cart´si`nne e e e e donc une hyperbolo¨de d’´quation cart´sienne : ı e e x2 + y 2 z 2 − 2 = 1. a2 b x2 z 2 − 2 = 1 elle g´n`re e e a2 b Figure 2.5 – Hyperbol¨ : x2 + y 2 = z 2 + 1 ıde Pour trouver les ´quations param´triques de l’hyperbolo¨de de r´volution il suffit qu’on pae e ı e 2 − z 2 = 1, par les ´quations x(t) = ach(t), y(t) = 0 et ram´trise l’hyperbole du plan Oxz, x e e z(t) = b sh(t) :   x(t, s) = ach(t) cos(s) y(t, s) = ach(t) sin(s)  z(t, s) = bsh(t) D) Parabolo¨ de r´volution ` une seule nappe : z = a(x2 + y 2 ) ıde e a
  • 28. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 28 Par exemple, si on consid`re la parabole z = ax2 alors par rotation autour de l’axe Oz on e obtient une parabolo¨de de r´volution dont l’´quation cart´si`nne est donn´e par, z = a(x2 +y 2 ). ı e e e e e Figure 2.6 – Parabolo¨ : x2 + y 2 = z ıde Notons que si on param´trise la parabole z = ax2 par les ´quations x(t) = t, y(t) = 0 et e e z(t) = at2 on d´duit alors que la parabolo¨de de r´volution peut ˆtre param´tr´e par le syst`me e ı e e e e e d’´quations : e   x(t, s) = t cos(s) y(t, s) = t sin(s)  z(t, s) = at2 E) Prabolo¨ de r´volution ` deux nappes : ıde e a x2 + y 2 z 2 − 2 = −1 a2 b La parabolo¨de de r´volution ` deux nappes s’obtient par rotation de l’hyperbole ` deux ı e a a z 2 x2 branches 2 − 2 = 1 autour de l’axe Oz. b a F) Cˆne de r´volution : z = a o e x2 + y 2 + b La rotation d’une droite z = ax + b autour de l’axe Oz d´finit une surface appel´e cˆne de e e o 2 + y 2 + b. r´volution. Son ´quation cart´sienne est donn´e par, z = a x e e e e Figure 2.7 – Cone de r´volution : a(x2 + y 2 ) = z 2 e 2.2 D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces e e e e Dans cette section, ´tant donn´e une surface Σ ⊂ R3 de classe C 1 ; on se propose de trouver e e une formule qui nous permet de calculer son aire ou sa masse quand la densit´ de masse est e une fonction ρ(x, y, z) continue sur Σ. 1) Cas du graphe d’une fonction Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C 1 d´finit comme le graphe d’une fonction f : D → R dont e le domaine de d´finition est un compact ´l´mentaire d´fini par, e ee e D = {(x, y) ∈ R2 /a x b, f1 (x) y f2 (x)} Calculons l’aire de la surface Σ : Figure 2.8 – Subdivison d’une surface
  • 29. ´ ´ ´ ´ 2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES 29 Partageons le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D et ee d´signons par Σi,j le graphe de la fonction f au-dessus de du rectangle Ri,j . Avec ces notations, e il est clair que le nombre r´el positif, e i=m−1 j=n−1 R(Σ, n, m) = i=0 j=0 Aire(Σi,j ) nous donne une mesure approch´e de la surface Σ. Donc, pour obtenir la valeur exacte de l’aire e de la surface Σ il suffit qu fait tendre l’aire des rectangles Ri,j tend vers z´ro. e Pour donner au suite de nombres r´els R(Σ, n, m) une expression explicite, nous allons ape procher l’aire de la portion de surface Σi,j par l’aire du parall´logramme dont les cˆt´s sont e oe ´gales aux vecteurs tangents ` la surface Σ au point (ui , vj , f (ui , vj )) donn´s par : e a e Ui,j = (ui+1 − ui )(1, 0, ∂f (ui , vj )) ∂x et Vi,j = (vj+1 − vj )(0, 1, ∂f (ui , vj )). ∂y Autrement dit, nous allons poser Aire(Σi,j ) =// Ui,j ∧Vi,j // pour avoir la nouvelle l’expression, i=m−1 j=n−1 R(Σ, n, m) = i=0 j=0 // Ui,j ∧ Vi,j // i=m−1 j=n−1 1+( = i=0 j=0 ∂f ∂f (ui , vj ))2 + ( (ui , vj ))2 (ui+1 − ui )(vj+1 − vj ) ∂x ∂y qui donne une mesure approch´e de l’aire de la surface Σ. En effet, si on fait tend les quantit´s e e ui+1 − ui et vj+1 − vj simultan´ment vers z´ro on obtient l’int´grale double suivante dont la e e e valeurs est ´gale ` la mesure exacte de l’aire de la surface Σ : e a 1+( D ∂f 2 ∂f ) + ( )2 dxdy = Aire(Σ) ∂x ∂y (2.4) D´finition 12. Soient D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et Σ ⊂ R3 une surface d´finit par le e ee e 1. graphe d’une fonction f : D → R de classe C 1. On d´finit le vecteur infinit´simal de la surface Σ autour du point M = (x, y, f (x, y)) par e e l’expression : dS = ( ∂f ∂f ı+  + k)dxdyn(x, y, z). ∂x ∂y (2.5) o` n(x, y, z) d´signe le vecteur normal unitaire ` Σ calcul´ au point (x, y, f (x, y)) ∈ Σ. u e a e 2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) ∈ Σ par e ee e l’expression : dσ = 1+( ∂f 2 ∂f ) + ( )2 dxdy =// dS // . ∂x ∂y (2.6) 3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule, e e ∂f ∂f
  • 30. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 30 2) Cas d’une surface param´tr´e e e Comme au paragraphe pr´c´dent, consid´rons un domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 et une surface e e e ee Σ ⊂ R3 de classe C 1 d´finit par le syst`me d’´quations param´triques : e e e e r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D ⊂ R2 Notons que pour trouver la mesure approch´e de l’aire de la surface param´trique Σ il suffit e e qu’on subdivise le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ], ee et puis ; on approche l’aires des portions de surfaces Σi,j = r(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel suivant : ∂r ∂r (ui , vj ) ∧ (vj+1 − vj ) (ui , vj ) // ∂u ∂v ∂r ∂r = // (ui , vj ) // · // (ui , vj ) // sin(ϕi,j )(ui+1 − ui )(vj+1 − vj ) ∂u ∂v Aire(Σi,j ) = // (ui+1 − ui ) o` ϕi,j est la mesure de l’angle d´finit par les deux vecteurs u e a ` la surface Σ au point r(ui , vj ). ∂r ∂r (ui , vj ) et (ui , vj ) tangents ∂u ∂v Observons qu’avec ces notations se si on pose, E(u, v) =// ∂r (u, v) //2 , ∂u F(u, v) =// ∂r 2 // (u, v), ∂v G(u, v) = ∂r ∂r (u, v), (u, v) , ∂u ∂v on pourra alors r´crire l’aire de la portion de surface Σi,j sous la forme suivante : e ∂r ∂r (ui , vj ) ∧ (ui , vj ) //2 = E(ui , vj )F(ui , vj )(sin(ϕi,j ))2 ∂u ∂v = E(ui , vj )F(ui , vj )(1 − (cos(ϕi,j ))2 ) = E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2 . Aire(Σi,j )2 = // Finalement, si on consid`re la suite de nombres r´els d´finis par l’expression : e e e i=n−1 j=m−1 R(Σ, n, m) = i=0 j=0 Aire(Σi,j ) i=n−1 j=m−1 = i=0 j=0 E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2 en faisant tendre les quantit´s ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro ; on obtient la formule e e Aire(Σ) = D E(u, v)F(u, v) − G(u, v)2 dudv (2.8) qui donne la mesure exacte de l’aire de la surface param´trique Σ. e D´finition 13. Soit Σ ⊂ R3 une surface param´tr´e par l’application r : D → R3 de classe e e e 1. C 1. On d´finit le vecteur infinit´simal de surface Σ autour du point M = r(u, v) par l’exprese e sion :
  • 31. ´ ´ ´ ´ 2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES 31 2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = r(u, v) ∈ Σ par l’exe ee e pression : EF − G2 dudv =// dS // dσ = (2.10) ∂r 2 ∂r ∂r ∂r 2 // , F = // // et G = , . ∂u ∂v ∂u ∂v 3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule, e e o` E = // u ρ(x, y, z)dσ = Σ ρ(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) D EF − G2 dudv (2.11) Avant qu’on d´veloppe des exemples de calcul des int´grales de surfaces d´finies ci-dessus on e e e donnera d’abord par deux remarques : 1) Notons que si Σ d´signe une surface d´finie comme le graphe d’une fonction de classe C 1 , en e e posant r(x, y) = (x, y, f (x, y)) lorsque (x, y) ∈ D ; on d´finit ainsi un param´trage de la surface e e Σ dont l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point r(x, y) ∈ Σ est donn´ par, ee e e ı dσ =  1 0 0 1 k ∂f ∂x ∂f ∂y dxdy =// ( ∂f ∂f , , 1) // dxdy = ∂x ∂y 1+( ∂f 2 ∂f ) + ( )2 dxdy. ∂x ∂y Ainsi, en cons´quence de ce calcul ; on d´duit que l’´l´ment infinit´simal de surface dσ ne e e ee e d´pend pas de la repr´sentation de la surface Σ comme graphe d’une fonction ou par un syst`me e e e d’´quations param´triques. e e 2) Du fait que l’int´grale de surface se calcule moyennant une int´grale double elle est donc e e lin´aire et additive : e Lin´arit´ : e e (af (x, y, z) + bg(x, y, z))dσ = a f (x, y, z)dσ + b g(x, y, z)dσ. Σ Σ Additivit´ : e f dσ = f dσ + Σ1 ∪Σ2 Σ1 Σ2 Σ f dσ si l’intersection Σ1 ∩ Σ2 est une courbe. Exemple 11. 1) Calculons l’aire du parabolo¨de Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 , 0 ı Puisque la surface Σ est ´gale e du domaine D = {(x, y)/x2 + y 2 par, ı dσ = 1 0 z h}. au graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 d´finie au-dessus e h}, son ´l´ment infinit´simal de surface dσ est donc donn´ ee e e  k 0 2x 1 2y dxdy = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. L’aire de la surface Σ est maintenant donn´e par l’int´grale : e e √ Aire(Σ) = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy = 2π dσ = Σ D h 4r 2 + 1rdr = 0 2π (4h + 1)3/2 . 3 2) Calculons l’aire de la sph`re S(O, R) de rayon R 0 centr´e ` l’origine param´tr´e par e e a e e l’application
  • 32. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 32 Avec ces donn´es on voit que l’´l´ment infinit´simal de surface de la sph`re est ´gale ` : e ee e e e a dσ = ı  k −R sin(θ) cos(ϕ) R cos(θ) cos(ϕ) 0 −R cos(θ) sin(ϕ) −R sin(θ) sin(ϕ) R cos(ϕ) dθdϕ = R2 cos(ϕ)dθdϕ. 2π Donc, l’aire de la sph`re S(O, R) est : Aire(S(O, R)) = e √ 3) Calculons l’int´grale de surface e π/2 ( 0 R2 cos(ϕ)dϕ)dθ = 4πR2 . −π/2 4z + 1dσ ´tendue sur la parabolo¨de : e ı Σ Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 h}. Rappelons que dans l’exemple 1), nous avons d´montr´ que l’´l´ment infinit´simal de la e e ee e e e e surface Σ est ´gale `, dσ = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. Par cons´quent, l’int´grale de surface donn´e e a est donc ´gale `, e a √ 4z + 1dσ = 4(x2 + y 2 ) + 1 4x2 + 4y 2 + 1dxdy x2 +y 2 Σ √ = 2π h h (4r 2 + 1)rdr = π(2h2 + h). 0 Exercice 11. Calculer les int´grales de surfaces suivantes : e ı) Σ1 dσ = Aire(Σ1 ) o` Σ1 = {(x, y, z)/az = xy, x2 + y 2 u ıı) Σ2 a2 }. (x2 + y 2 )dσ o` Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }. u ııı) Σ3 ıv) Σ4 1 + z 2 dσ o` Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = a2 , −a u xydσ o` Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x u z 0, y a}. 0, z 0}. Exercice 12. Calculer l’aire de la portion Σ d´coup´e par le cylindre d’´quation x2 + y 2 = 2z e e e sur l’h´misph`re sup´rieure centr´ ` l’origine et de rayon R 0. e e e ea 2.3 2.3.1 Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface oriena table Surfaces orientables dans l’espace R3 D´finition 14. Soit Σ ⊂ R3 une surface r´guli`re de classe C 1 . e e e 1. On dira que la surface Σ est orientable si elle est impossible de trouver une courbe ferm´e e Γ de classe C 1 contenue dans Σ le long de laquelle on pourra d´placer continˆment un e u vecteur normal N ` Σ depuis un point A ∈ Γ et le ramener sur son oppos´ −N au mˆme a e e point A. 2. Soit Σ ⊂ R3 une surface orientable et M ∈ Σ. Un vecteur normal N ` Σ au point M est a a e e dit sortant s’il compl`te tout rep`re (v1 , v2 ) tangent ` Σ orient´ positivement (mˆme e e orientation que le plan standard Oxy) en un rep`re (v1 , v2 , N) de l’epace R3 qui a la e mˆme orientation que le rep`re canonique Oxyz. En d’autres termes, si le produit mixte e e
  • 33. ` 2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE33 3. Nous dirons qu’une surface r´guli`re est orient´e positivement quand elle est munie e e e d’un champ de vecteurs normaux sortants. Exemple 12. 1) Le plan, le cylindre et la sph`re sont orientables. Sur ces surfaces on remarque e que toute normale ∆ qui perce ces surfaces d´finit une face externe (sens positive) et une face e interne (sens n´gatif ) (Voir la figure). e Figure 2.9 – Orientation du plan, du cylindre et de la sph`re dans R3 non rientable e 2) Observons qu si on consid`re un rectangle R = [a, b] × [c, d] contenu dans le plan Oxy, en le e tordant suivant deux cˆt´s oppos´es ; alors en collant ses deux autres cˆt´s oppos´es on obtient oe e oe e une surface qui s’appelle bande de M¨bius. o La bande de M¨bius n’est pas orientable. Parce que, comme il est indiquer sur la figure, sur o la bande de M¨bius on a trac´ une courbe Γ suivant laquelle on a ramen´ un vecteur normal o e e e n0 sur son oppos´ n4 = −n0 . Figure 2.10 – La bande de M¨bius : surfaces de R3 non rientable o En analysant les exemples de surfaces trait´es ci-dessus, on d´duit que pour voir est-ce qu’une e e surface donn´e Σ ⊂ R3 est orientable ou non , il suffit alors qu’on examine le nombre de faces e de la surface donn´e. Ainsi, si la surface poss`de deux faces on d´duit qu’elle est orientable e e e mais s’il poss`de qu’une seule face on d´duit qu’elle est non orientable. e e 2.3.2 Flux d’un champ de vecteurs D´finition 15. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide, X = (P, Q, R) un champ de vecteurs de classe e C k sur un ouvert U ⊂ R3 et Σ ⊂ U une surface de classe C k r´guli`re et orient´e positivement. e e e On d´finit le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ ⊂ U par l’int´grale e a e de surface suivante : Φ= Σ X · dS = Σ X · ndσ (2.12) o` n d´signe le champ de vecteurs normaux unitaires sortants de la surface Σ. u e Exemple 13. 1) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X(x, y, z) = (x, y, z) ∈ R3 ` a travers le tetra`dre Σ limit´ par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1. e e Figure 2.11 – Le th´trai`re unit´ de R3 e e e
  • 34. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 34 Puisque le th´tradi`re Σ admet quatre faces ∆xy , ∆xz , ∆yz et ∆ ; le flux sortant du champ de e e vecteurs X est donc ´gal ` la somme des flux sortants ` travers les quatre faces du th´trai`re e a a e e Σ (voir figure) : Σ X · dS = ∆xy X · dS + ∆xz X · dS + ∆yz X · dS + ∆ X · dS. a) Flux sortant ` travers les faces ∆xy , ∆zy et ∆xz . a Puisque le vecteur normal unitaire sortant de la surface ∆xy est ´gal ` −k et comme l’´l´ment e a ee e e infinit´simal de surface de ∆xy est donn´ par dS = −kdxdy , on d´duit donc que le flux sortant e du champ de vecteurs X ` travers ∆xy est donn´ par, a e ∆xy X · dS = x+y 1,z=0 −zdxdy = 0 parce que sur ∆xy , z = 0. De la mˆme fa¸on, on montre que le flux sortant du champ X ` travers les faces ∆xz et ∆zy e c a sont donn´s par : e ∆yz X · dS = y+z 1,x=0 −xdxdy = 0 X · dS = , ∆xz b) Flux ` travers la face ∆ d’´quation x + y + z = 1, x a e 0, y x+z 1,y=0 0 et z −ydxdy = 0 0. En param´trisant la face ∆ par ϕ(x, y) = (x, y, 1−x−y) on voit que son ´l´ment infinit´simal e ee e de surface est ´gal `, e a ı  k 1 0 −1 dxdy = (ı +  + k)dxdy =⇒ X · dS = (x + y + z)dxdy = dxdy. 0 1 −1 dS = Ainsi, en cons´quence de ci qui pr´c`de, on conclut que le flux ` travers la face ∆ du tetra`dre e e e a e Σ est ´gal `, e a 1 ∆ X · dS = (x + y + z)dxdy = x+y 1 1−x ( 0 0 1 dy)dx = . 2 c) Le flux total sortant du champ de vecteur X ` travers le tetra`dre Σ est donc ´gal `, a e e a Σ X · dS = ∆xy X · dS + ∆xz X · dS + ∆yz X · dS + 1 X · dS = . 2 ∆ 2) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X = (x, y, z) ` travers l’h´misph`re sup´rieure a e e e Σ centr´e ` l’origine (0, 0, 0) et de rayon R. e a Pour identifier l’´l´ment infinit´simal de surface associ´ ` Σ nous allons la param´triser par ee e ea e l’application ϕ(x, y) = (x, y, R2 − x2 − y 2 ) avec x2 + y 2 R2 . dS = ı  1 0 − k x R2 − x2 − y 2 dxdy = ( x ı+ y  + k)dxdy.
  • 35. ` 2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE35 R2 − x2 − y 2 on en d´duit que le e Ainsi, puisque sur l’h´misph`re sup´rieure on a z = e e e produit scalaire (flux infinit´simal) : e X · dS = ( x2 + y 2 R2 − x2 − y 2 R2 + z)dxdy = R2 − x2 − y 2 dxdy. Le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers l’h´misph`re sup´rieure est donc ´gal `, a e e e e a Σ dxdy X · dS = R2 x2 +y 2 R2 R2 − x2 − y2 2π = R2 R ( 0 0 √ rdr )dθ = 2πR3 R2 − r 2 3) Soit ω 0 un nombre r´el fix´. Calculons le flux sortant du champ de vecteurs X = ω k e e a ` travers la surface Σ limit´e par le cylindre Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = R2 , 0 z e h} et les 2 + y2 2 } et D = {(x, y, h)/x2 + y 2 2 }. disques D1 = {(x, y, 0)/x R R 2 Par additivit´ de l’int´grale de surface, on voit que le flux total du champ de vecteur X = ω k e e est ´gal `, e a Φ= Σ X · dS = Σ1 X · dS + D1 X · dS + D2 X · dS. Ainsi, puisque sur les disques horizontaux D1 et D2 le vecteur de surface infinit´simal est e donn´ respectivement par dS1 = −kdxdy et dS2 = kdxdy on aura donc, e       X · dS1 = − ωdxdy X · dS1 = −2πR2 ω   D1 x2 +y 2 R2 D1 =⇒     X · dS2 = ωdxdy X · dS2 = 2πR2 ω   x2 +y 2 R2 D2 0 D2 Enfin, en param´trisant le cylindre Σ1 par l’application ϕ(r, θ) = (R cos(θ), R sin(θ), z) avec e z h et 0 θ π ; on voit que le vecteur infinit´simal de surface de Σ1 est donn´ par, e e dS = ∂ϕ ∂ϕ ∧ dθdz = (R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz. ∂θ ∂z Mais, comme le champ de vecteurs X = ω k est orthogonal au vecteur de surface dS = (R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz on en d´duit donc que le flux du champ de vecteurs X = ω k ` e a travers le cylindre Σ1 est nul. Conclusion, le flux total du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ est : a Σ 0 − 2πωR2 + 2πωR2 = 0. X · dS = Exercice 13. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface indiqu´e. a e ı) X1 = zxı + zy + y k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = 1, 0 z h}. ıı) X2 = yı + z + xk et Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = z 2 , 0 z a}. ııı) X3 = xı + y + z k et Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }. ıv) X4 = x3/2 ı + y 3/2  + z 3/2 k et Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x 2.3.3 0, y 0, z 0}. Formule de Stokes Th´or`me 7. Soit A = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs de classe C 1 d´finit sur un ouvert e e e non vide U ⊂ R3 . Si on d´signe par ω = Pdx + Qdy + Rdz la forme diff´rentielle associ´e au e e e champ de vecteurs A alors pour toute surface orientable Σ ⊂ U de classe C 1 et ayant un bord ∂Σ = Γ non vide orient´ positivement on a, e
  • 36. ´ CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 36 Autrement dit, la circulation d’un champ de vecteur A de classe C 1 le long d’une courbe ferm´e Γ est ´gale au flux sortant du champ rotationnel Rot(A) ` travers toute surface orientable e e a Σ dont le bord ∂Σ = Γ. D´monstration. Dans cette preuve, on suppose que la surface Σ est param´tr´e par l’application e e e 2 sur un domaine ´l´mentaire D de bord C ′ . r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de classe C ee Notons qu’avec ces notations, puisque le couple (u, v) parcourt le bord ∂D = C ′ alors le point r(u, v) parcourt la courbe C = ∂Σ on d´duit donc que l’int´grale curviligne de la forme e e diff´rentielle ω peut s’´crire sous la forme : e e ω = C = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z +Q + R )du + (P +Q + R )dv ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v C′ ∂r ∂r A◦r· du + A ◦ r · dv. ∂u ∂v ′ C (P ∂r ∂r Ainsi, si maintenant on pose U = A ◦ r · et V = A ◦ r · la formule de Green-Riemann ∂u ∂v permet de transformer la derni`re int´grale curviligne comme suit : e e C′ A◦r· ∂r ∂r du + A ◦ r · dv = ∂u ∂v = = = Udu + Vdv C′ ∂V ∂U − )dudv ∂v D ∂u ∂A ◦ r ∂r ∂A ◦ r ∂r ( · − · )dudv ∂u ∂v ∂v ∂u D ∂r ∂r Rot(A ◦ r) · ( ∧ )dudv. ∂u ∂v D ( ∂r ∂r ∧ )dudv ∂u ∂v est ´gal au vecteur infinit´simal dS associ´ ` la surface Σ ; on obtient la formule de Stokes, e e e a Finalement, en remarquant que dans l’int´grale double pr´c´dente le vecteur ( e e e ω= C C A · dr = Σ Rot(A) · dS. Corollaire 5. Soit X = Pı+Q+Rk un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U ⊂ R3 . Pour tout couple de surfaces orientables Σ1 et Σ2 contenues dans l’ouvert U et qui ont le mˆme e bord Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 on a, Σ1 Rot(X) · dS = Σ2 Rot(X) · dS = Pdx + Qdy + Rdz. C Corollaire 6. Soit ω = Pdx+Qdy +Rdz est une forme diff´rentielle de classe C 1 sur un ouvert e U ⊂ R3 . Si ω est ferm´e alors pour toute courbe ferm´e C qui borde une surface orientable e e Σ ⊂ U (i.e. C = ∂Σ) on a, ω = 0. C Exemple 14. Calculons l’int´grale curviligne de la forme diff´rentielle, e e ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz, le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection du plan x + y + z = 1 et le cylindre e e 2 + y 2 = 2x. x Pour calculer l’int´grale curviligne e ω nous allons appliquer au champ de vecteurs, C
  • 37. ` 2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE37 et ` la surface orientable Σ d´coup´e par le cylindre x2 + y 2 = 2x sur le plan x + y + z = 1. a e e Notons bien que le bord ∂Σ = C. Si on applique la formule de Stokes ` ces donn´es on obtient : a e ω = C C = = A · dr = 2 √ 3 2 √ 3 ∆ Rot(A) Σ [(y − z)ı + (y − x) + (x − y)k] · [ı +  + k]dxdy 0dxdy = 0 ∆ o` ∆ d´signe la projection de la surface Σ sur le plan Oxy. u e Exercice 14. V´rifier le th´or`me de Stokes pour le champ de vecteurs X d´fini sur une e e e e surface orientable Σ dont le bord ∂Σ = C = ∅. ı) X1 = 2yı + 3x − z 2 k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0}. ıı) X2 = (y − z)ı + (x3 + yz) − 3xy 2 k et Σ2 = {(x, y, z)/x + y = 1, 0 x, 0 y, 0 z 1}. Exercice 15. En utilisant la formule de Stokes, calculer l’int´grale curviligne de la forme e diff´rentielle, e ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz, le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection de la sph`re x2 + y 2 + z 2 = 4y et le e e e 2 + y 2 = 2y. cylindre x
  • 39. Chapitre 3 Int´grales triples e Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. savoir calculer une int´grale triple en utilisant la formule e de Fubini ou en effectuant un changement de variables ; 2. savoir calculer le volume d’un domaine plonger dans l’espace R3 ; 3. savoir appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski ; 4. comprendre qu’une int´grale triple g´n´ralis´e converge e e e e si et seulement si elle converge absolument.
  • 40. ´ CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES 40 3.1 D´finition et propri´t´s e e e Soit V ⊂ R3 un domaine born´ et ferm´ (i.e. compact) d´finit par l’expression, e e e V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y) z f2 (x, y)}, o` D ⊂ R2 d´signe un domaine ´l´mentaire et f1 , f2 : D → R deux fonctions continues. u e ee Dans ce paragraphe, on se propose de calculer la masse total d’un solide dont la forme g´om´trique est donn´e par le domaine V et dont la densit´ de masse est une fonction continue e e e e f : V → R. Notons que si on proj`te le domaine V sur les trois axes de l’espace R3 on obtient trois e segments [a1 , b1 ] ⊂ Ox, [a2 , b2 ] ⊂ Oy et [a3 , b3 ] ⊂ Oz tels que V ⊂ [a1 , a2 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ]. Notons aussi que si on partage respectivement les derniers trois segments en m, n et k segments d’extr´mit´s : e e x0 = a1 x1 · · · xm = b1 , y0 = a2 y1 · · · yn = b2 , et z0 = a3 z1 · · · zk = b3 on peut alors d´finir des parall´l´pip`de Pi,j,k = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] × [zl , zl+1 ] ∩ V dont la e ee e r´union recouvre le domaine V. e Figure 3.1 – Subdivision d’un domaine V ⊂ R3 Enfin, observons que si dans chaque parall´l´pip`de Pi,j,k on choisit un point ζi,j,l on peut ee e alors d´finir une somme de Riemann par l’expression, e i=m−1 j=n−1 i=k−1 R(f, n, m, k, ζi,j,l ) = i=0 j=0 l=0 f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ) que l’on peut interpr´ter comme la mesure approch´e de la masse totale du solide V. e e D´finition 16. Soit V ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : V → R une fonction continue. e ee 1. On dira que la fonction f est int´grable sur le domaine V si la somme de Riemann qui e lui est associ´e, e i=m−1 j=n−1 i=k−1 R(f, Π(V), ζi,j,l ) = i=0 j=0 l=0 f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ), (3.1) admet une limite finie lorsque vi,j,l = (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ) (i.e volume du parall´l´pip`de ´l´mentaire Pi,j,l ) tend vers z´ro. La limite de la somme de Riemann, ee e ee e quand elle existe, elle s’appelle int´grale triple de la fonction f (x, y, z) sur le domaine V e et elle se note, lim R(f, m, n, k, ζi,j,l ) = vi,j,l →0 f (x, y, z)dxdydz. (3.2) V 2. L’int´grale triple de la fonction constante f (x, y, z) = 1 s’appelle volume alg´brique du e e domaine V et se note par,
  • 41. ´ ´ 3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE 41 L’int´grale triple d’une fonction continue au-dessus d’un domaine ´l´mentaire satisfait aux e ee propri´t´s alg`briques suivantes : ee e Lin´arit´ : Pour tout couple de fonctions continues f et g sur un compact ´l´mentaire V, et e e ee pour tout couple de nombres r´els a et b on a, e (af (x, y, z) + bg(x, y, z))dxdydz = a f (x, y, z)dxdydz + b V V g(x, y, z)dxdydz. V Additivit´ : Si V1 et V2 sont deux compacts ´l´mentaires de l’espace R3 tels que V1 ∩ V2 = ∅ e ee ou V1 ∩ V2 = Σ est une surface alors on a, f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz + V1 ∪V2 V1 f (x, y, z)dxdydz. V2 Positivit´ : Si V est un compact ´l´mentaire et f : V → R est une fonction continue positive e ee f (x, y, z)dxdydz alors on a, V g : V → R v´rifient l’in´galit´ f e e e 0. Plus g´n´ralement, si deux fonctions continues f et e e g alors on a, f (x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz. V 3.2 3.2.1 V M´thodes de calcul d’une int´grale triple e e Formule de Fubini Th´or`me 8 (Formule de Fubini). Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et ϕ1 , ϕ2 : D → R e e ee deux fonctions continues ; et soit V ⊂ un compact ´l´mentaire d´finit analytiquement par, ee e V = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y) z ϕ2 (x, y)}. L’int´grale triple d’une fonction continue f : V → R est ´gale ` : e e a ϕ2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = V ( f (x, y, z)dz)dxdy (3.4) ϕ1 (x,y) D Notons que si le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique, e e V = {(x, y, z)R3 /(y, z) ∈ D ′ , φ1 (y, z) x φ2 (y, z)}, alors l’int´grale triple d’une fonction fonction continue f : V → R est donn´e par la formule e e de Fubini : φ2 (y,z) f (x, y, z)dxdydz = V′ ( f (x, y, z)dx)dydz. (3.5) φ1 (y,z) D′ De mˆme, quand le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique, e e e V” = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D”, ψ1 (x, z) y ψ2 (x, z)}, la formule de Fubini s’´crit sous la forme : e ψ2 (x,z) f (x, y, z)dxdydz = ( f (x, y, z)dy)dxdz. (3.6)
  • 42. ´ CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES 42 Figure 3.2 – Le domaine V limit´ par z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x3 + y 2 ) e Exemple 15. 1) Calculons le volume du domaine ´l´mentaire V ⊂ R3 qui est limit´ par les ee e deux parabolo¨des de r´volution d´finies par les ´quations : z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x2 + y 2 ). ı e e e Notons que le domaine V est limit´ par le graphe des deux fonctions ϕ1 (x, y) = x2 + y 2 et e ϕ2 (x, y) = 4 − 3(x2 + y 2 ) d´finies au-dessus du domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 qui est ´gale ` e ee e a 2 est limit´ par la la projection du domaine V sur le plan Oxy. En effet, le domaine D ⊂ R e projection de la courbe C intersection des graphes des fonctions ϕ1 et ϕ2 . D’o` D = {(x, y) ∈ u R2 /x2 + y 2 1} et V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, x2 + y 2 z 4 − 3(x2 + y 2 )}. Maintenant, si on applique la formule de Fubini ` la description analytique du domaine D a on obtient : 4−3(x2 +y 2 ) Volume(V) = dxdydz = ( V dz)dxdy x2 +y 2 D = D 2π = (4 − 4(x2 + y 2 ))dxdy 1 ( 0 2) Calculons l’int´grale triple e 0 (4 − 4r 2 )rdr)dθ = 2π. zdxdydz ´tendue sur le domaine V limit´ par l’h´misph`re e e e e V sup´rieure de centre O = (0, 0, 0) et de rayon R 0. e Figure 3.3 – L’h´misph`re pleine V limit´ par x2 + y 2 + z 2 e e e R2 et x 0 e e Puisque le domaine d’int´gration V ⊂ R3 peut ˆtre d´fini analytiquement par l’expression : e V = {(x, y, z) ∈ R3 /0 R2 − x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ D} z avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 R2 } d´signe la projection du domaine V sur le plan Oxy, en e appliquant la formule de Fubini on peut ´crire : e √ 2 2 2 zdxdydz = R −y −x ( y 2 +x2 R2 V = y 2 +x2 R2 2π R = ( 0 0 xdx)dxdy 0 1 2 (R − y 2 − x2 )dydz 2 1 2 R4 π (R − r 2 )rdr)dθ = . 2 4 Exercice 16. Calculer les int´grales triples suivantes : e a) V zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x 0, y 0, z 0, z 1 − y2, x + y 1}.
  • 43. ´ ´ 3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE c) V d) V 1 zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x (1 + x + y + z)3 zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 0, y 43 0, z R2 , x2 + y 2 + z 2 0, x + y + z 1}. 2Rz}. Exercice 17. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions x2 , y 2 , z 2 , xy, xz et zy au-dessus de e la boule ferm´e B = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1}. e b) En d´duire que pour tout triplet de nombres r´els (a, b, c) l’int´grale de la fonction f (x, y, z) = e e e 4 2 2 2 (a + b + c ). (ax + by + cz)2 est ´gale ` e a 15 Exercice 18. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions xy, xz et zy au-dessus du domaine e x2 y 2 z 2 V = {(x, y, z) ∈ R3 / 2 + 2 + 2 1, x 0, y 0, z 0}. a b c b) En d´duire que l’int´grale triple de la fonction g(x, y, z) = xy +yz+zx au-dessus du domaine e e abc V est ´gale ` e a (ab + bc + ca). 15 3.2.2 Changement de variables Th´or`me 9 (Formule de changement de variables). Soient U1 et U2 deux ouverts non vides e e dans l’espace R3 ; et soit T : U1 → U2 une application bijective de classe C 1 dont l’application inverse T−1 : U2 → U1 de T est de classe C 1 (i.e. T est un changement de variables) alors pour tout compact ´l´mentaire V′ ⊂ U1 et pour toute fonction continue f : U1 → U2 on a la ee formule, f (x, y, z)dxdydz = T(V′ ) V′ f ◦ T(u, v, w) | D(x, y, z) | dudvdw. D(u, v, w) (3.7) Corollaire 7 (coordonn´es cylindriques). Si T(r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) d´signe le syse e t`me de coordonn´es cylindriques d´fini sur le domaine V′ alors on a, e e e f (x, y, z)dxdydz = f (r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdzdθ. T(V′ ) V′ Corollaire 8 (Coordonn´es sph´riques). Si T(r, θ, ϕ) = (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ)) e e d´signe le syst`me de coordonn´es sph´riques d´fini sur le domaine V′ alors on a, e e e e e f (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))r 2 cos(ϕ)drdϕdθ. f (x, y, z)dxdydz = T(V′ ) V′ Exemple 16. 1) Calculons le volume de la boule ferm´e be rayon R 0 centr´e ` l’origine, e e a V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 R2 }. Pour calculer le volume du domaine V nous allons donc passer en coordonn´es sph´riques : e e R Volume(V) = dxdydz = V 2) Calculons l’int´grale triple e 2π ( 0 π/2 ( 0 −π/2 r 2 cos(ϕ)dϕ)dθ)dr = 4πR3 . 3 x2 + y 2 dxdydz ´tendu sur le cylindre V = {(x, y, z)/x2 + e
  • 44. ´ CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES 44 Pour calculer l’int´grale triple donn´e nous allons passer en coordonn´es cylindriques : e e e R x2 + y 2 dxdydz = V 2π ( 0 h ( 0 2πR3 . 3 r 2 dz)dθ)dr = 0 3) Pour tout triplet de nombres r´els a 0, b 0, c 0 et d 0 calculons l’int´grale triple, e e I(a, b, c) = V xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz, ´tendu sur le t´tra`dre V = {(x, y, z)/x e e e 0, y 0, z 0, x + y + z 1} en effectuant le changement de variables T(x, y, z) = (X, Y, Z) dont les composantes sont d´finies par les e relations, X = x + y + z, XY = y + z et XYZ = z. A partir des relations qui d´finissent les composantes X, Y et Z de l’application T on v´rifie e e −1 a pour composantes : facilement que l’application inverse T x = X(1 − Y), y = XY(1 − Z) et z = XYZ. De mˆme, on v´rifie que l’application T transforme le t´tra`dre V en un cube V′ = [0, 1] × e e e e [0, 1] × [0, 1] = T(V). Figure 3.4 – Transformation d’un t´tra`dre en cube e e Ainsi, puisque le d´terminant de la matrice jacobienne de la transformation T−1 est ´gal `, e e a D(x, y, z) = D(X, Y, Z) 1−Y −X 0 Y(1 − Z) X(1 − Z) −XY YZ XZ XY 1−Y −1 0 = X2 Y Y(1 − Z) 1 − Z −1 YZ Z 1 1 − Y −1 0 Y 1 0 YZ Z 1 = X2 Y = X2 Y, donc en appliquant la formule du changement de variables on obtient : I(a, b, c) = V xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz [X(1 − Y)]a [XY(1 − Z)]b [XYZ]c [1 − X]d [X2 Y]dXdYdZ = V′ 1 1 1 = 0 0 1 = 0 0 Xa+b+c+2 Yb+c+1 Zc (1 − Y)a (1 − Z)b (1 − X)d dXdYdZ Xa+b+c+2 (1 − X)d dX 1 0 Yb+c+1 (1 − Y)a dY 1 0 Zc (1 − Z)b dZ. Notons par exemple, si on prend a = b = c = d = 1 on obtient 1 I(1, 1, 1) = X5 (1 − X)dX 1 Y3 (1 − Y)dY 1 Z(1 − Z)dZ = 1 .
  • 45. ´ ´ 3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE 45 Exercice 19. Calculer les int´grales suivantes en effectuant un changement de variables convee nable. a) x2 + y 2 + z 2 dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 z}. u V 1 dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 u (x2 + y 2 + z 2 + a2 )2 V 2Rz} et a 0. b) V (z + 2)(x2 + y 2 + 1)dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 u V z cos(x2 + y 2 )dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 u c) d) 1, 0 1, z R2 , x2 + y 2 + z 2 z 2}. 0}. Exercice 20. a) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application e T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/4 t1/4 u1/2 , s1/4 t1/2 u1/4 , s1/2 t1/4 u1/4 ). b) En d´duire que l’application r´alise un changement de variables. e e b) Montrer que l’application inverse T−1 transforme le domaine V = {(x, y, z) ∈ R3 /x4 + y 4 + z4 3xyz, x 0, y 0, z 0} en un domaine V′ = {(s, t, u) ∈ R3 /s + t + u 3, s 0, t 0, u 0}. c) Calculer alors le volume du domaine V. Exercice 21. Soit a 0 un r´el. Calculer le volume du domaine e Va = {(x, y, z) ∈ R3 /x5 + y 5 + z 5 a2 xyz, x 0, y 0, z 0} en consid´rant l’application, T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/5 t1/5 u3/5 , s1/5 t3/5 u1/5 , s3/5 t1/5 u1/5 ). e Exercice 22. Soit a 0, b 0, c 0 et α 0 des nombres r´els. e 1) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application, e T(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = (ar(cos(θ) cos(ϕ))α , br(sin(θ) cos(ϕ))α , cr(sin(ϕ))α ). π π , [×]0, 2π[. 2 2 3) En utilisant le syst`me de coordonn´es d´finit par l’application T ; calculer le volume des e e e domaines : x y z 1. V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /( )3 + ( )3 + ( )3 1}. a b c 3 /( x )2/3 + ( y )2/3 + ( z )2/3 2. V2 = {(x, y, z) ∈ R 1}. a b c 2) En d´duire que T r´alise un syst`me de coordonn´es sur R∗ ×] − e e e e + 3.2.3 Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss e e Th´or`me 10 (Formule d’Ostrigradski-Gauss). Soit X = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs e e de classe C 1 d´finit sur un ouvert non vide U ⊂ R3 . Si V ⊂ U est un domaine ´l´mentaire dont e ee le bord (fronti`re) ∂V = Σ est une surface ferm´e orientable alors le flux sortant du champ de e e vecteurs X ` travers la surface Σ = ∂V est ´gal ` l’int´grale triple de la divergence du champ a e a e X au-dessus du domaine V : Σ X · dS = Div(X)dxdydz. V (3.8)
  • 46. ´ CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES 46 Corollaire 9. Si un champ de vecteurs X a une divergence nulle, Div(X) = 0, alors son flux sortant ` travers toute surface ferm´e orientable est nul. a e Corollaire 10. Le flux sortant d’un champ de vecteurs rotatinnel X = Rot(A) est nul ` a travers toute surface ferm´e orientable : e Σ Rot(A) · dS = 0. Exemple 17. 1) Calculons le flux du champ de vecteurs X = (z 2 − x)ı − xy + 3z k ` travers a la surface ferm´e Σ limit´e par les surfaces d’´quations cart´siennes : e e e e z = 4 − y2, x = 0, x = 3, et z = 0. Figure 3.5 – Cylindre parabolique Pour calculer le flux demand´ nous allons appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski. e x 3, 0 z 4 − y 2 } dont le Consid´rons le sous-ensemble V = {(x, y, z) ∈ R3 /0 e bord est ´gal ` la surface ferm´e orientable Σ = ∂V, et puis ; appliquons la formule de Gausse a e Ostrogradski aux donn´es V, Σ et X : e Σ X · dS = Div(X)dxdydz V = V (2 − x)dxdydz 3 0 ( 0 3 = 0 2 ( 0 4−y 2 2 ( = 0 (2 − x)dz)dy)dx 9 8 (2 − x)(4 − y 2 )dy))dx = (6 − )(8 − ) = 8. 2 3 2) Soit Σ une surface orientable contenue dans le demi-espace sup´rieur de R3 et qui s’appuis e 2 × {0} centr´ ` l’origine et de rayon R 0. sur le cercle C ⊂ R ea Montrons que le flux du champ de vecteurs X = (y 2 + z 2 )ı + (x2 + z 2 ) + (x2 + y 2 )k ` travers a π une surface Σ est ´gal ` . e a 2 Figure 3.6 – Flux Observons que si on consid`re le disque D centr´ ` l’origine et de rayon R 0 alors en e e a posant Σ′ = Σ ∪ D on obtient une surface ferm´e orientable qui bord un domaine V. Et, ainsi e puisque la divergence du champ de vecteurs X est nulle ; la formule de Gauss-Ostrogradski permet d’´crire : e Σ∪D X · dS = Σ X · dS + D X · dS = Div(X) = 0. V D’o`, u 2π R πR4
  • 47. ´ ´ ´ ´ 3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES 47 Exercice 23. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X = xz 2 ı+(x2 y−z 3 )+(2xy+y 2 z)k a ` travers la sph`re centr´e ` l’origine et de rayon R 0, e e a a) en appliquant la d´finition du flux ; e b) en appliquant le th´or`me de Gauss-Ostrogradski. e e Exercice 24. V´rifier la formule de Gauss-Ostrogradski aux donn´es suivantes : e e a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1, z 0} et X1 = (x2 + y 2 )ı + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 )k. b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z 1, x 0, y 0, z 0} et X1 = xyı + yz + zx)k. Exercice 25. En utilisant la formule de Gauss-Ostrogradski montrer que le flux du champ de vecteurs, 1 X= 2 (xı + y + z k), 2 + z 2 )3/2 (x + y a ` travers la sph`re Σ centr´e ` l’origine O = (0, 0, 0) et de rayon R 0 est ´gal ` 4π. e e a e a 3.3 Int´grales triples g´n´ralis´es e e e e D´finition 17. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive. On dit e que f est localement int´grable si son int´grale triple existe sur tout compact ´l´mentaire e e ee K ⊂ V, K f (x, y, z)dxdydz ∈ R. Puisque les fonctions continues sont int´grables sur les compacts ´l´mentaires de R3 ; elles e ee 3. sont donc localement int´grables sur tout ouvert de R e D´finition 18. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive locae lement int´grable. S’il existe une famille croissante Kn ⊂ Kn+1 ⊂ V de compacts ´l´mentaires e ee telle que 1. V = 2. Kn ; n 0 lim n→+∞ f (x, y, z)dxdydz existe dans R Kn nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e e e e e f (x, y, z)dxdydz := lim n→+∞ V converge. Une int´grale triple g´n´ralis´e non convergente est dite divergente. e e e e f (x, y, z)dxdydz Kn Th´or`me 11. Soit V ⊂ R2 un ouvert vide et f : V → R+ une fonction positive localement e e int´grable. La nature de l’int´grale triple g´n´ralis´e e e e e e f (x, y, z)dxdydz ne d´pend pas du e V choix de la famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que V = ee Kn . n 0 D´monstration. Admise. e Proposition 5. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction localement int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes : e e 1. L’int´grale triple g´n´ralis´e e e e e f (x, y, z)dxdydz converge. D 2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union ee e
  • 48. ´ CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES 48 D´monstration. Mˆme d´monstration que pour les int´grales g´n´ralis´es triples. e e e e e e e Th´or`me 12. Crit`re de comparaison e e e Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide ; et soient f, g : V → R+ deux fonctions positives et localement int´grables et telles que 0 e f (x, y, z) g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ V. Alors on a les propositions : 1. g(x, y, z)dxdydz converge implique f (x, y, z)dxdydz converge. V 2. V f (x, y, z)dxdydz diverge implique f (x, y, z)dxdydz diverge. V V +∞ 2 e−t dt est convergente. Exemple 18. D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I = e e e e e 0 Ensuite, calculons sa valeur exacte. +∞ a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I = e e e e 2 e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous e 0 avons les in´galit´s : e e +∞ 2 1 t t2 =⇒ e−t e−t =⇒ +∞ 2 e−t dt 1 n e−t = lim n→+∞ 1 1 e−t dt = lim (−e−n +e−1 ) = e−1 n→+∞ +∞ b) Pour calculer la valeur exacte de cette int´grale g´n´ralis´e I = e e e e 2 e−t dt nous allons 0 −x2 −y 2 −z 2 ´tudier l’int´grale triple g´n´ralis´e K = e e e e e e dxdydz. (R+ )3 z2 Notons que si on consid`re la suite de compacts Kn = {(x, y, z)/x e n2 } on obtient, e−x 2 −y 2 −z 2 π/2 dxdydz = Kn π/2 ( n ( 0 0 0, y 2 r 2 e−r cos(ϕ)dr)dθ)dϕ = 0 π 2 , x2 + y 2 + 0, z n 2 r 2 e−r dr = 0 π 4 Par cons´quent, en passant ` la limite sur n on d´duit qu’on a e a e e−x 2 −y 2 −z 2 dxdydz = (R+ )3 π 4 +∞ 2 e−t dt 0 D’autre part, si on consid`re le suite de compacts Ln = [0, n]3 on obtient la suite num´rique : e e e−x un = 2 −y 2 −z 2 n dxdydz = ( Ln n 2 e−x dx)( 0 n 2 e−y dy)( 0 n 2 e−z dz) = ( 0 2 e−t dt)3 0 dont la limite quand l’entier n tend vers l’infini est ´gale `, e a −x2 −y 2 −z 2 e (R+ )3 +∞ dxdydz = ( −t2 e 0 π dt) = 4 +∞ 3 −t2 e +∞ dt =⇒ 0 −t2 e 0 dt = √ π 2 D´finition 19. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction dont la valeur abe solue | f (x, y, z) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e e e e e e converge nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e e e e e D | f (x, y, z) | dxdydz f (x, y, z)dxdydz convergente ab-
  • 49. ´ ´ ´ ´ 3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES 49 Proposition 6. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction localement int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes : e e 1. L’int´grale triple g´n´ralis´e e e e e f (x, y, z)dxdydz converge. V 2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union ee e Kn = V et telle que la suite num´rique e Kn n 0 | f (x, y, z) | dxdydz soit born´e e (major´e). e Exercice 26. D´montrer que les int´grales triples g´n´ralis´es suivantes convergent. e e e e e e−x a) 2 −y 2 −z 2 dxdydz, V = R3 . V b) V dxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 le volume de Vn = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 z 2a , 1 z 2a , z z 1} (Indication : on pourra calculer n} avec n ∈ N∗ ). Figure 3.7 – Surface d’´quation : x2 + y 2 = z 2a avec a = −0.7 e