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1. Exercice sur les fonctions exponentielles
pour 2 BAC PC-SVt-STE-STM propose par le
professeur de mathématiques :
AHMED ENNAJI lycée prive Oum-Errabiaa à
El-Jadida
Exercice :
I-Soit la fonction g définie sur IR par    2
2 1x
g x e x  
1-verifier que :  
2 1
: x x
x x
x IR g x e e
e e
 
     
 
en déduire  lim
x
g x

2-calculer  lim
x
g x

3-montrer que    2
: ' 2 1x
x IR g x e   
4-etudier le signe de  'g x et donner le tableau de variation de g
5-en déduire que  : 0x IR g x   .
II-soit la fonction f définie sur IR par     2
1
1 1x
f x x
e
 
   
 
1-montrer que :    lim lim
x x
f x et f x
 
   
2-calculer
 lim
x
f x
x
et interpréter ce résultat graphiquement.
3-montrer que :     2 2
1 2 2
: 1
2 x x
x
x IR f x x
e e
 
      
 
4-en déduire que    lim 1 0
x
f x x

     et interpréter ce résultat
graphiquement.
5-determinerles coordonnes du point E l’intersection de la courbe  fC et la
droite  : 1y x  

2. 6-etudier la position de la courbe  fC par rapport à la droite  : 1y x   sur
   ; 1 1;et    .
7-montrer que :  
 
2
: ' x
g x
x IR f x
e
   en déduire que la fonction f est croissante
sur IR et donner son tableau de variation.
8-determiner les coordonnes du point A de  fC ou la tangente (T) à  fC est
parallèle à  : 1y x  
9-construire la courbe  fC et la droite  : 1y x   dans le même repère
orthonormé ; ;O i j . (Unité 1cm)
10-en utilisant une intégration par parties. Montrer que :
   
0
2 2
1
1
1 3
4
x
x e dx e

  
11-en déduire en 2
cm la valeur de l’aire du domaine plan délimite par la courbe
 fC , la droite   et les droites d’équations respectives 1 0x et x  