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Un cours bien détaillé qui traite les filtres analogiques 1er et 2ème ordres. Pour plus d'informations je suis entièrement disponible. Sabirhamzaa@gmail.com

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Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 1/C
I-Généralités
1-Définition
L’information issue d’un capteur qu’elle soit numérique ou analogique peut être perturbée,
bruitée, parasitée. Le filtrage des grandeurs mesurées permet d’obtenir un signal épuré. Les
filtres sont classés en deux familles :
 Fonction de transfert : F(jω)=H(jω)=T(jω)=Us/Ue
 Les filtres passifs : exclusivement composés de résistances, condensateurs,
inductances.
 Inconvénient : Aucune amplification possible
 Les filtres actifs: composés de résistances, condensateurs, et AOP et/ou
transistor.
 Avantage : Amplification possible
2-Notion de spectre d’un signal
Un signal périodique quelconque a (t) peut être décomposé en une somme :
 D’une grandeur constante A égale à la valeur moyenne du signal d’origine.
 De signaux sinusoïdaux d’amplitude et de fréquences liées au signal a (t).
On distingue :
 Le signal fondamental (de fréquence identique au signal initial).
 Les harmoniques (de fréquences supérieures au signal initial).
On peut alors représenter le spectre de ce signal dans un repère. On représente les
amplitudes des sinusoïdes sur l’axe des ordonnées et les fréquences sur l’axe des abscisses.
Le signal dont le spectre est décrit ci-dessus aurait alors pour expression :
a (t) = Amoy + Â1 sin (2f1 t + 1) + Â2 sin (2f2 t + 2) + …. + Ân sin (2fn t + n)
BTS SYSTEMES ELECTRONIQUES 1ére année
Cours d’électronique A.S : 2017/2018
Traitement analogique de l’information captée
Les filtres F. cours n°7
Filtre
Signal d’entrée, plus des
Fréquences indésirables
Ue
Signal d’entrée filtré
Nettoyé
Us
Amoy
Â1
Â2
Â3
Â4
Â5
Fréquence
Amplitude
0 f1 f2 f3 f4 f5
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3-Caractéristiques
Un filtre passif ou actif est caractérisé par :
 Sa bande passante Bp à -3dB : C'est le domaine de fréquences dans lequel le gain G
ou HdB subit une atténuation maximale de 3dB.
 Son atténuation : C'est la pente du diagramme asymptotique de Bode du gain G dans le
domaine des fréquences éliminées. Sa valeur dépend de la structure du filtre (ordre du
filtre).
 Sa fréquence de coupure fc à -3dB : C'est la fréquence qui limite la bande passante.
Elle est définie par HdB=HdBmax-3dB ou |H(jωc)|=Hmax/ = Ho/ avec :
 HdBmax =20.LogHmax où HdBmax est le gain maximal et Hmax est le transfert
maximal.
 ωc=2Л.fc où ωc est la pulsation de coupure et fc est la fréquence de coupure
3-Classification des filtres
On classe les filtres en quatre catégories
 Les filtres passe-bas : Laissent passer uniquement les signaux de basses
fréquences. (Exemple les sons graves)
 Les filtres passe-haut : Laissent passer uniquement les signaux de hautes
fréquences. (Exemple les sons aigus)
 Les filtres passe-bande : Laissent passer les signaux ayant une gamme de
fréquence définie, (Exemple les sons médiums)
 Les filtres coupe-bande : Rejettent les signaux ayant une certaine gamme de
fréquences.
II-Etudes des filtres fondamentaux
1- Filtre passe bas
a- Filtre passe-bas du 1°ordre
La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 1er ordre est :
 Domaine de Laplace
H(p) = Ho /(1+p/ωc) avec p=jω
 Régime harmonique(ou fréquentiel)
H H= = avec u=(ω/ωc)=(f/fc)
et Arg(H) = Arg(Ho) – Arctg(ω/ωc) = s -Arctg(ω/ωc)
Remarque :Ho=To=Av (Amplification)
ωc=ωo (pulsation propre)
Exprimons la fonction de transfert pour ω = ωc (pulsation de coupure) :
H(jωc)= H= HdB=20log|Ho|-20log HdBmax-3dB
= Arg(jωc) =Arg(Ho)-Arctg(1) = –
Exprimons la fonction de transfert pour les valeurs limites de ω (étude asymptotique) :
 ω u 0 HdB 0 et Arg(H) =
 u HdB -10log (u
2
)
Ho > 0 S = 0
Ho < 0 S = 1
Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 3/C
et Arg(H) =Arg(Ho)-Arg( )=S -
 Diagramme de Bode (avec diagramme asymptotique)
 Courbe de gain
 Courbe de phase
 Exemples de filtres passifs
Ho=1 et ωc=1/RC Ho=1 et ωc=R/L
Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 4/C
 Exemples de filtres actifs
b- Filtre passe-bas du 2
éme
ordre
La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 2
éme
ordre est :
 Domaine de Laplace
Cas général Cas particulier
H(p) = avec p=jω H(p) =
 Régime harmonique(ou fréquentiel)
H(jω) =
 Étude du gain et de la phase en f(m)
Premier cas : m>1
-(ω/ωc)
2
+ 2mj (ω/ωc) + 1 est un polynôme du second degré en jω/ωc que l’on
peut chercher à factoriser sous la forme (1 + jω/ω1)(1 + jω/ω2) avec ω1 et ω2
réels. Par identification, on montre que :ω1,2 = ωc( )
ωc = est la moyenne géométrique de et
Donc H(jω) = X =H1(jω)XH2(jω)
Deuxième cas : m =1
ωc = ω1 = ω2 donc H(jω) = 1/(1+jω/ωc)
2
Troisième cas : m<1 (surtension)
Dans ce cas, les droites asymptotiques sont les mêmes que celles des cas
précédents. Cependant, la décomposition en produit de fonctions élémentaires
On définit :
 ωc : pulsation caractéristique naturelle
 m : coefficient d’amortissement
 Q= 1/2m : coefficient de qualité
Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 5/C
du premier ordre n’est plus possible car elle impliquerait des pulsations ω 1 et
ω2 Complexes
 Diagramme de Bode (Gain et phase avec Ho=1)
 Exemples de filtres passifs
Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 6/C
 Exemples de filtres actifs
 Structure sallen et key (Voir cours de physique appliquée)
 Structure Rauch (Voir cours de physique appliquée)
2- Filtre passe haut
a- Filtre passe-haut du 1°ordre
La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du 1er ordre
est ::
 Domaine de Laplace
H(p) = Ho avec p=jω
 Régime harmonique(ou fréquentiel)
H H=|Ho| =|Ho| avec u=(ω/ωc)=(f/fc)
et Arg(H) = - Arctg(ω/ωc)
Exprimons la fonction de transfert pour ω = ωc (pulsation de coupure) :
H(jωc) =Ho H= HdB=20log|Ho|-20log HdBmax-3dB
= Arg(jωc) =Arg( Arg(Ho)-Arg(1) = -
Exprimons la fonction de transfert pour les valeurs limites de ω (étude asymptotique) :
 ω H(jω) = Ho.(jω/ωc) H et Arg(H) = arg(Ho) +
 H(jω) H =Ho et Arg(H) =Arg(Ho)
 Diagramme de Bode (avec diagramme asymptotique)
 Courbe de gain
 Ho= 1
 ωo =
 m =
Ho > 0 s = 1
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les filtres analogiques.pdf

  • 1. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 1/C I-Généralités 1-Définition L’information issue d’un capteur qu’elle soit numérique ou analogique peut être perturbée, bruitée, parasitée. Le filtrage des grandeurs mesurées permet d’obtenir un signal épuré. Les filtres sont classés en deux familles :  Fonction de transfert : F(jω)=H(jω)=T(jω)=Us/Ue  Les filtres passifs : exclusivement composés de résistances, condensateurs, inductances.  Inconvénient : Aucune amplification possible  Les filtres actifs: composés de résistances, condensateurs, et AOP et/ou transistor.  Avantage : Amplification possible 2-Notion de spectre d’un signal Un signal périodique quelconque a (t) peut être décomposé en une somme :  D’une grandeur constante A égale à la valeur moyenne du signal d’origine.  De signaux sinusoïdaux d’amplitude et de fréquences liées au signal a (t). On distingue :  Le signal fondamental (de fréquence identique au signal initial).  Les harmoniques (de fréquences supérieures au signal initial). On peut alors représenter le spectre de ce signal dans un repère. On représente les amplitudes des sinusoïdes sur l’axe des ordonnées et les fréquences sur l’axe des abscisses. Le signal dont le spectre est décrit ci-dessus aurait alors pour expression : a (t) = Amoy + Â1 sin (2f1 t + 1) + Â2 sin (2f2 t + 2) + …. + Ân sin (2fn t + n) BTS SYSTEMES ELECTRONIQUES 1ére année Cours d’électronique A.S : 2017/2018 Traitement analogique de l’information captée Les filtres F. cours n°7 Filtre Signal d’entrée, plus des Fréquences indésirables Ue Signal d’entrée filtré Nettoyé Us Amoy Â1 Â2 Â3 Â4 Â5 Fréquence Amplitude 0 f1 f2 f3 f4 f5
  • 2. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 2/C 3-Caractéristiques Un filtre passif ou actif est caractérisé par :  Sa bande passante Bp à -3dB : C'est le domaine de fréquences dans lequel le gain G ou HdB subit une atténuation maximale de 3dB.  Son atténuation : C'est la pente du diagramme asymptotique de Bode du gain G dans le domaine des fréquences éliminées. Sa valeur dépend de la structure du filtre (ordre du filtre).  Sa fréquence de coupure fc à -3dB : C'est la fréquence qui limite la bande passante. Elle est définie par HdB=HdBmax-3dB ou |H(jωc)|=Hmax/ = Ho/ avec :  HdBmax =20.LogHmax où HdBmax est le gain maximal et Hmax est le transfert maximal.  ωc=2Л.fc où ωc est la pulsation de coupure et fc est la fréquence de coupure 3-Classification des filtres On classe les filtres en quatre catégories  Les filtres passe-bas : Laissent passer uniquement les signaux de basses fréquences. (Exemple les sons graves)  Les filtres passe-haut : Laissent passer uniquement les signaux de hautes fréquences. (Exemple les sons aigus)  Les filtres passe-bande : Laissent passer les signaux ayant une gamme de fréquence définie, (Exemple les sons médiums)  Les filtres coupe-bande : Rejettent les signaux ayant une certaine gamme de fréquences. II-Etudes des filtres fondamentaux 1- Filtre passe bas a- Filtre passe-bas du 1°ordre La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 1er ordre est :  Domaine de Laplace H(p) = Ho /(1+p/ωc) avec p=jω  Régime harmonique(ou fréquentiel) H H= = avec u=(ω/ωc)=(f/fc) et Arg(H) = Arg(Ho) – Arctg(ω/ωc) = s -Arctg(ω/ωc) Remarque :Ho=To=Av (Amplification) ωc=ωo (pulsation propre) Exprimons la fonction de transfert pour ω = ωc (pulsation de coupure) : H(jωc)= H= HdB=20log|Ho|-20log HdBmax-3dB = Arg(jωc) =Arg(Ho)-Arctg(1) = – Exprimons la fonction de transfert pour les valeurs limites de ω (étude asymptotique) :  ω u 0 HdB 0 et Arg(H) =  u HdB -10log (u 2 ) Ho > 0 S = 0 Ho < 0 S = 1
  • 3. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 3/C et Arg(H) =Arg(Ho)-Arg( )=S -  Diagramme de Bode (avec diagramme asymptotique)  Courbe de gain  Courbe de phase  Exemples de filtres passifs Ho=1 et ωc=1/RC Ho=1 et ωc=R/L
  • 4. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 4/C  Exemples de filtres actifs b- Filtre passe-bas du 2 éme ordre La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du 2 éme ordre est :  Domaine de Laplace Cas général Cas particulier H(p) = avec p=jω H(p) =  Régime harmonique(ou fréquentiel) H(jω) =  Étude du gain et de la phase en f(m) Premier cas : m>1 -(ω/ωc) 2 + 2mj (ω/ωc) + 1 est un polynôme du second degré en jω/ωc que l’on peut chercher à factoriser sous la forme (1 + jω/ω1)(1 + jω/ω2) avec ω1 et ω2 réels. Par identification, on montre que :ω1,2 = ωc( ) ωc = est la moyenne géométrique de et Donc H(jω) = X =H1(jω)XH2(jω) Deuxième cas : m =1 ωc = ω1 = ω2 donc H(jω) = 1/(1+jω/ωc) 2 Troisième cas : m<1 (surtension) Dans ce cas, les droites asymptotiques sont les mêmes que celles des cas précédents. Cependant, la décomposition en produit de fonctions élémentaires On définit :  ωc : pulsation caractéristique naturelle  m : coefficient d’amortissement  Q= 1/2m : coefficient de qualité
  • 5. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 5/C du premier ordre n’est plus possible car elle impliquerait des pulsations ω 1 et ω2 Complexes  Diagramme de Bode (Gain et phase avec Ho=1)  Exemples de filtres passifs
  • 6. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 6/C  Exemples de filtres actifs  Structure sallen et key (Voir cours de physique appliquée)  Structure Rauch (Voir cours de physique appliquée) 2- Filtre passe haut a- Filtre passe-haut du 1°ordre La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du 1er ordre est ::  Domaine de Laplace H(p) = Ho avec p=jω  Régime harmonique(ou fréquentiel) H H=|Ho| =|Ho| avec u=(ω/ωc)=(f/fc) et Arg(H) = - Arctg(ω/ωc) Exprimons la fonction de transfert pour ω = ωc (pulsation de coupure) : H(jωc) =Ho H= HdB=20log|Ho|-20log HdBmax-3dB = Arg(jωc) =Arg( Arg(Ho)-Arg(1) = - Exprimons la fonction de transfert pour les valeurs limites de ω (étude asymptotique) :  ω H(jω) = Ho.(jω/ωc) H et Arg(H) = arg(Ho) +  H(jω) H =Ho et Arg(H) =Arg(Ho)  Diagramme de Bode (avec diagramme asymptotique)  Courbe de gain  Ho= 1  ωo =  m = Ho > 0 s = 1 Ho < 0 s = -1
  • 7. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 7/C  Courbe de phase  Exemples de filtres passifs Ho=1 et ωc=1/RC Ho=1 et ωc=R/L  Exemples de filtres actifs
  • 8. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 8/C b- Filtre passe-haut du 2 éme ordre La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du 2 éme ordre est :  Domaine de Laplace H(p) = avec p=jω  Régime harmonique(ou fréquentiel) H(jω) =  Diagramme de Bode (avec diagramme asymptotique)  Courbe de gain On définit :  ωc : pulsation caractéristique naturelle  m : coefficient d’amortissement  Q= 1/2m : coefficient de qualité
  • 9. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 9/C  Courbe de gain  Exemples de filtres passifs  Exemples de filtres actifs  Structure sallen et key (Voir cours de physique appliquée)  Structure Rauch (Voir cours de physique appliquée) 3- Filtre passe bande 3.1-Fonction de transfert Remarque : Dans ce qui suit on remplace H par T et ωc par ωo La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bande est : Mais on préfère souvent la mettre sous une forme plus facile à exploiter, en divisant numérateur et dénominateur par 2jmω/ωo et en utilisant le facteur de qualité Q = 1/(2m) :
  • 10. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 10/C 3.2-Etude de T,G et φ en fonction de la fréquence f 3.2.1-Etude aux limites T presente un maximum pour f=fo 3.2.2-Asymptotes Nous avons donc deux asymptotes obliques de pente +20dB/dec, pour f << fo , et de pente -20dB/dec, pour f >> fo . =SЛ-Arctg Ho > 0 S = 0 Ho < 0 S = 1
  • 11. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 11/C Ces deux asymptotes concourent en f = fo, fréquence pour laquelle G = 20log(|T0|/Q) A la fréquence fo, G = 20log (|To|) ; la courbe de gain se trouve donc :  au dessus du point de concours des asymptotes si Q < 1  en dessous du point de concours des asymptotes si Q > 1  passe par le point de concours des asymptotes si Q = 1 3.2.3-Fréquences de coupure et bande passante à -3dB Aux fréquences de coupure : Seules les solutions positives de cette équation du second degré sont physiquement acceptables : La bande passante BP a pour expression : BP = fch-fcb = fo /Q Elle est d'autant plus étroite que le coefficient de qualité Q est élevé.  Exemples de filtres passifs  Exemples de filtres actifs  Structure sallen et key (Voir cours de physique appliquée)  Structure Rauch (Voir cours de physique appliquée) 4- Filtre coupe bande 4.1- Fonctionde transfert La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre coupe-bande est : 4.2-Etude de T,G et φ en fonction de la fréquence f
  • 12. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 12/C 4.2.1-Etude aux limites On remarque qu'à w = w0, le signal n'est pas transmis, l'argument présentant une variation de p radian à cette pulsation. Le filtre est d’autant plus étroit que le coefficient d’amortissement est faible. En réalité les pertes, particulièrement de la bobine, font que le signal à la pulsation w0 n’est pas totalement rejeté mais seulement plus au moins atténué. 4.2.2- Fréquences de coupure à -3dB Elles sont définies par T = |To|/ , soit : D'où l'expression des deux pulsations de coupure basse et haute :
  • 13. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 13/C 4.2.3- Bande rejetée à -3dB C'est la différence entre les fréquences de coupure haute et basse : III- DÉTERMINATION DU SPECTRE DU SIGNAL DE SORTIE 1- Méthode On peut déterminer le spectre du signal de sortie du filtre connaissant le spectre du signal d'entrée et la fonction de transfert du filtre. La méthode est la suivante :  Calculer le module T de la fonction de transfert pour chaque valeur de fréquences (harmoniques) du signal d'entrée.  Multiplier chaque harmonique du signal d'entrée par le module T correspondant à cette fréquence. Le résultat donne l'amplitude de l'harmonique du signal de sortie pour cette même fréquence. 2- Exemple Déterminons une partie du spectre du signal us de sortie d'un filtre passe-bas pour un signal d'entrée ue de type "carré" avec composante continue.  Le signal d'entrée ue est représenté ci-dessous (chronogramme et spectre) :  Fonction de transfert du filtre (fc = 2kHz) :  Le tableau et le spectre ci-dessous résument la méthode pour calculer l'amplitude des 12 premières raies de la tension de sortie :
  • 14. Cours d’électronique Prof : Mr H.SABIR Page 14/C