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Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 3 - Filtres analogiques lin´eaires I
Approximations rationnelles classiques, d´enormalisation
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/74
Introduction
Motivation pour ce cours
Nous d´ebutons une s´erie de cours constituant une introduction `a la
conception de filtres analogiques et leurs r´ealisations par des circuits actifs
ou passifs (des quadripˆoles).
Un filtre est un syst`eme permettant d’effectuer certaines op´erations
d´efinies dans le domaine fr´equentiel sur un signal d’entr´ee. Typiquement le
contenu d’un signal physique brut doit ˆetre pass´e (voir amplifi´e) `a
certaines fr´equences, et att´enu´e `a d’autres, pour isoler l’information qu’il
transporte du bruit et des interf´erences.
Le filtrage de signaux (analogique et digital) est omnipr´esent dans tous les
syst`emes, artificiels et naturels, qui transmettent de l’information (revoir
cours 0).
Il existe de tr`es nombreuses m´ethodes de conception de filtres. Toutefois,
les formes de filtres analogiques que nous allons discuter sont devenues
essentiellement standard et sont support´ees par divers manuels et logiciels
de conception.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/74
Introduction
Approches pour la conception de filtres
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/74
Introduction
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
R´ecapitulatif sur la r´eponse en fr´equence
Un syst`eme lin´eaire et stationnaire est associ´e `a une fonction de transfer
Y (s) = G(s)U(s) (↔ y(t) =
∞
0
g(t − τ)u(τ)dτ; C.I. nulles)
Y(jω) = G(jω)U(jω) (relation entre phaseurs, R.P. sinus¨ıdal)
En consid´erant l’entr´ee u(t) comme une superposition de sinuso¨ıdes `a
diff´erentes fr´equences (analyse de Fourier), le syst`eme agit sur ces
diff´erentes fr´equences de mani`ere diff´erente → notion de filtre. Relation
entre les transform´ees de Fourier (spectres fr´equentiels) :
Y (jω) = G(jω)U(jω)
Magnitude de la fn de tx : |G(jω)| → att´enuation ou amplification de
certaines fr´equences (|Y (jω)| = |G(jω)||U(jω)|).
Argument de la fn de tx : ∠G(jω) → ∠Y (jω) = ∠G(jω) + ∠U(jω)
(Angle d’avance de phase). Comme nous le verrons plus loin, cette
fonction influence le temps de propagation dans le syst`eme des diverses
composantes fr´equentielles du signal d’entr´ee, ce qui cr´ee de la distorsion.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Vision fr´equentielle des syst`emes
[S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd ´edition, p. 108]
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Filtres analogiques et applications
Dans ELE2611, on n’´etudie que le filtrage analogique, c.-`a-d. pour des
signaux continus dans le temps. On ´etudie la r´ealisation de ces filtres par
des circuits analogiques.
Aujourd’hui beaucoup de fonctions avanc´ees de traitement de signal sont
impl´ement´ees sous forme digitale. Mais mˆeme dans ce cas, on a besoin de
circuits analogiques pour pr´eparer et nettoyer le signal avant
l’´echantillonage, par exemple un filtre passe-bas anti-repliement
(anti-aliasing) avant l’´echantillonneur.
De plus, les filtres digitaux sont plus difficiles `a r´ealiser / moins rentables
quand les fr´equences augmentent.
Un filtre convertit un signal d’entr´ee en un signal de sortie en lui retirant
certains traits ind´esirables. Exemples :
TV/radio r´egl´e sur un certain canal ne laisse passer que les signaux transmis
sur ce canal (filtre passe-bande).
Elimination du bruit hautes fr´equences (filtre passe-bas).
Elimination des r´esidus de signaux `a 60 Hz dans les ´equipement m´edicaux
(filtre notch, type de coupe-bande).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Filtres Electroniques
Les filtres analogiques sont le plus souvents r´ealis´es au moyen de circuits
´electroniques
Ce sont des quadripˆoles, et on s’int´eresse le plus souvent `a la fonction de
transfert entre les tensions d’entr´ee et de sortie
Quadripôle
Filtre
H(s)
+
-
vi
+
-
vo
Relation entre les spectres fr´equentiels : Vo(jω) = H(jω)Vi (jω)
La relation entre les magnitudes |Vo(jω)| = |H(jω)||Vi (jω)| est la plus
importante pour la plupart des applications
Relation entre les phases ∠Vo(jω) = ∠Vi (jω) + ∠H(jω)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Types de filtres - r´eponses id´eales
Filtres class´es suivant l’allure de la magnitude de leur r´eponse en fr´equence
0
0
|H(j!)|
!c ! 0
0
|H(j!)|
!c !
passe-bas passe-haut
0
0
|H(j!)|
!
passe-bande
!l !h 0
0
|H(j!)|
!
coupe-bande
!l !h
0
0
|H(j!)|
!
passe-tout
0
0
!
H(j!)
-𝜏
Note: un passe-tout sert à
manipuler la phase du
signal d'entrée
Réponses idéales
!c( : fréquence de coupure)
En pratique on ne peut qu’approximer ces r´eponses id´eales par des
fonctions de transfert rationnelles r´eelles, et les quatre premier filtres
affectent aussi la phase du signal d’entr´ee (source de distorsion).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Gabarits de filtres
Un gabarit de filtre est une sp´ecification r´ealisable. Pour les quatre premiers
types de filtres :
!p !a
bande
passante
bande
d'arrêt
!p!a
bande
passante
bande
d'arrêt
|H(j!)|dB
|H(j!)|dB
! !
Hmin
Hmax Hmax
Hmin
bande
passante
bande
d'arrêt
|H(j!)|dB
!
Hmin
Hmax
bande
d'arrêt
!+
p!p !+
a
!a
|H(j!)|dB
!
bande
d'arrêt
!+
p!p !+
a!a
Hmax
bande
passante
bande
passante
Passe-bande Coupe-bande
Passe-bas Passe-haut
Hmax
Hmin Hmin
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Gabarit d’un filtre passe-bas
Sp´ecifications {Amax, Amin, ωp, ωa} → le graphe d’amplitude peut se
trouver dans la zone gris´ee ci-dessous.
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
Bande
passante
Bande
d'arrêt
-Amin dB
Atténuation minimale de
Amin dB dans la bande d'arrêt
Atténuation maximale de
Amax dB dans la bande
ωp rad/s
!
k = ωp / ωa : facteur de transition
ωa rad/s
Zone grisée autorisée pour
l'amplitude de la
fonction de transfert
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Gabarit d’un filtre passe-bande
Sp´ecifications {Amax, Amin, ω±
p , ω±
a }, ou plus souvent fr´equence centrale
ω0 = ω−
p ω+
p et largeur de bande B = ω+
p − ω−
p
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
(haute)
Bande
passante
Bande
d'arrêt
(haute)
-Amin dB
Atténuation minimale de
Amin dB dans la bande d'arrêt
Atténuation maximale de
Amax dB dans la bande
!
Zone grisée autorisée
pour l'amplitude de la
fonction de transfert
Bande
d'arrêt
(basse)
-Amin dB
!p !+
p !+
a!a
Plage de
transition
(basse)
Facteur de transition: k =
!+
p !p
!+
a !a
!0
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Facteur de transition
Une plage de transition est d´etermin´ee par deux fr´equences ωa, ωp pour
lesquelles le filtre change de fonction (arrˆet → passant, et vice-versa).
ωp d´elimite la bande passante, ωa d´elimite la bande d’arrˆet.
Le facteur de transition est d´efini par :
k =
ωp
ωa
pour un passe-bas,
k = ωa
ωp
pour un passe-haut
k =
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
pour un passe-bande,
k =
ω+
a −ω−
a
ω+
p −ω−
p
pour un arrˆet de bande.
Dans tous les cas k ≤ 1 et on veut k le plus proche possible de 1 pour une
transition rapide.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Filtres passifs et actifs
Filtres passifs : r´ealis´es avec des ´el´ements passifs R, L, C seulement.
Filtres actifs : contiennent des ´el´ements actifs (en g´en´eral sources
d´ependentes, A.O., transistors, etc.).
Avantages des filtre actifs :
on peut utiliser les A.O. pour remplacer les bobines des filtres passifs. En
effet, les bobines de qualit´e sont difficiles `a fabriquer, occupent de la place,
sont comparativement lourdes, et ne sont pas compatibles avec les
technologies standards de fabrication des circuits int´egr´es → avantage des
filtres actifs en termes de coˆut, taille et poids.
On peut r´ealiser des blocs `a grande imp´edance d’entr´ee et faible imp´edance
de sortie, qui sont ensuite utilisables et ajustables de fa¸con modulaire pour
cr´eer des circuits plus complexes.
Inconv´enients des filtres actifs : en raison entre autre de la diminution de
gain en boucle ouverte des A.O. `a hautes fr´equences (voir cours 6),
l’utilisation des filtres actifs est limit´ee aux fr´equences de l’ordre du MHz
au plus (Ex : applications audio, instrumentation, etc.). Au-del`a, on utilise
de nouveau les circuits passifs RLC, et les bobines sont d’ailleurs plus
faciles `a int´egrer (plus petites) aux hautes fr´equences (pourquoi ?).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Ordre d’un filtre
Pour un filtre H(s) = N(s)
D(s)
(sans simplification de termes), son ordre est le
degr´e de son d´enominateur.
C’est aussi le nombre de pˆoles de la fonction de transfert
H(s) =
N(s)
D(s)
=
amsm
+ . . . + a0
sn + . . . + b0
=
am(s − z1) . . . (s − zm)
(s − p1) . . . (s − pn)
Plus l’ordre d’un filtre est ´elev´e :
plus le concepteur a de degr´es de libert´es pour atteindre ses sp´ecifications
→ meilleur performance possible, par exemple transition plus rapide (k plus
grand possible) pour un Amax, Amin donn´es, ou Amin plus grand pour Amax
et ωp, ωa donn´es, etc.
mais plus la r´ealisation du filtre est coˆuteuse (n´ecessite plus de composants,
et circuit plus complexes), et peut cr´eer d’autres probl`emes potentiels
(robustesse, . . . ).
Toutefois, diff´erents types de filtres permettent d’obtenir une performance
donn´ee `a moindre complexit´e (ordre moins ´elev´e)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Fonctions de transfert des filtres d’ordre 1 et 2
Revoir toutes les formes de filtres d’ordre 1 et 2, leurs r´eponses en
fr´equence (diagrammes de Bode) et leurs r´ealisations passives par des
circuits RC et RLC (sauf pour les passe-tout)
Les filtres d’ordre 2 sont souvent appel´es biquadratiques : rapport de deux
formes quadratiques
Ordre 1 :
H(s) = N(s)
sτ+1
N(s) = 1 → passe-bas
N(s) = sτ → passe-haut
N(s) = 1 − sτ → passe-tout
Ordre 2 : (biquad)
H(s) = N(s)
(s/ωn)2+2ζ(s/ωn)+1
(Q = 1
2ζ
)
N(s) = 1 → passe-bas
N(s) = (s/ωn)2
→ passe-haut
N(s) = 2ζ(s/ωn) → passe-bande
N(s) = 1 + (s/ωn)2
→ coupe-bande
N(s) = (s/ωn)2
− 2ζ(s/ωn) + 1 → passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/74
Introduction
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Utilit´e des filtres plus complexes
Les filtres d’ordre ≤ 2 ne permettent pas d’atteindre les sp´ecifications de
performance en filtrage d’un syst`eme d’instrumentation typique.
Ex. : au mieux −40 dB/dec. pour l’att´enuation d’un passe-bas → transition
peu abrupte.
Int´erˆet des filtres actifs pour des raisons de taille, coˆut, etc.
RLC avec Q ´elev´e demande de tr`es bonnes bobines, difficile surtout `a basse
fr´equences ou pour les circuits int´egr´es.
Une des approches principales pour r´ealiser un circuit d’ordre n > 2 est de
factoriser sa fonction de transfert et de mettre en cascade des circuits
d’ordre 1 et 2.
Une cascade de circuits RC est insuffisante car les pˆoles sont n´ecessairement
sur l’axe des r´eels (admis) → pas de r´esonance.
L’introduction d’´el´ements actifs permet d’obtenir des pˆoles complexes
conjugu´es tout en rempla¸cant les bobines.
Circuits actifs aussi pour les imp´edances d’entr´ee et de sortie permettant la
mise en cascade facilement.
Toutefois, ajuster les param`etres d’une cascade de circuits devient
rapidement impossible sans une m´ethodologie rigoureuse.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
Filtre passe-bas normalis´e id´eal
10
0
1
|H(j!)|
! (rad/s)
1
0 dB
! (rad/s)
|H(j!)| (dB)
L’´etude de la conception classique des filtres analogiques commence par la
conception de filtres approximant le filtre passe-bas id´eal normalis´e
(irr´ealisable physiquement). Par d´efinition
H(jω) =
e−jω
, |ω| ≤ 1
0, |ω| > 1.
Magnitude |H(jω)| = 1 (= 0 dB) sur l’intervalle ω ∈ [0, 1] rad/s,
|H(jω)| = 0 en dehors. Cette propri´et´e donne son nom au passe-bas.
Id´ealement phase φ(ω) = −ω, fonction lin´eaire. Nous verrons l’importance
de cette propri´et´e plus tard dans ce cours, ignorons la pour l’instant.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
Gabarit d’un filtre approximant le passe-bas normalis´e
Sp´ecifications {Amax, Amin, k} → le graphe d’amplitude peut se trouver
dans la zone gris´ee ci-dessous. ωp = 1 rad/s, ωa = 1/k rad/s.
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
Bande
passante
Bande
d'arrêt
-Amin dB
Atténuation minimale
hors bande
Atténuation maximale
dans la bande
1 rad/s 1/k rad/s
!
k: facteur de transition
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation de fonction de transfert d’un passe-bas
Supposons pour l’instant qu’on sache r´ealiser une fonction de transfert H1
satisfaisant le gabarit pr´ec´edent approximant le passe-bas normalis´e
(prochaine section)
Id´ee cl´e : on peut passer du passe-bas H1 aux autres types de filtres et
leurs gabarits (`a l’exception du passe-tout) par certaines transformations
en fr´equence (ou encore du param`etre s) :
D´enormalisation : H(s) = H1(f (s)) (⇒ |H(jω)| = |H1(f (jω))|)
H1 approxime le passe-bas normalis´e
f est une certaine transformation `a d´efinir
H approxime un profil de filtre d´esir´e (passe-bas g´en´eral, passe-haut,
passe-bande, coupe-bande ; fonctions mˆemes plus g´enerales possibles)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation vers un passe-bas g´en´eral
Ainsi, pour obtenir un passe-bas avec bande passante d´elimit´ee par ωp
quelconque au lieu de 1 rad/s, il suffit de prendre
H(s) = H1
s
ωp
.
Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ω/ωp
La valeur de H1 pour ˜ω correspond `a la valeur de H pour ω = ωp × ˜ω
→ on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante
Sur une ´echelle logarithmique, la valeur de H1 `a log ˜ω devient la valeur de H
`a la valeur translat´ee log ω = log ˜ω + log ωp (car ˜ω = ω/ωp).
Le facteur de transition est pr´eserv´e par la d´enormalisation :
ωa = ωp ˜ωa ⇒
ωp
ωa
=
ωp
˜ωa ωp
=
1
˜ωa
= k.
Pour passer d’une sp´ecification de gabarit d’un passe-bas g´en´eral `a un
gabarit normalis´e, on conserve donc simplement le mˆeme k pour la plage
de transition (et les mˆemes att´enuations minimales et maximales).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Normalisation et d´enormalisation pour un passe-bas g´en´eral
1 1/k
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
!p !a = !p/k
!˜!
˜! =
!
!p
! = ˜! ⇥ !p
´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ωp, ωa} de passe-bas, il suffit de
calculer k = ωp/ωa pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant
Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1(s/ωp)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Approches pour la conception de filtres
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
frequencedu gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
fonction de transfert
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebychev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation : passe-bas vers passe-haut
Pour obtenir un passe-haut avec bande passante commen¸cant `a ωp, on
prend
H(s) = H1
ωp
s
.
Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ωp/ω
La valeur de H1 pour ˜ω correspond `a la valeur de H pour ω = ωp/˜ω
→ on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante
Sur une ´echelle logarithmique, la valeur de H1 `a log ˜ω devient la valeur de
H `a la valeur log ω = − log ˜ω + log ωp (˜ω = ωp/ω)
G´eom´etriquement, cela correspond `a une symm´etrie par rapport `a l’axe
˜ω = 1, puis translation de log ωp
Le facteur de transition est pr´eserv´e :
ωa = ωp/˜ωa ⇒
ωa
ωp
=
ωp/˜ωa
ωp
=
1
˜ωa
= k.
Pour passer d’une sp´ecification de gabarit d’un passe-haut g´en´eral `a un
gabarit normalis´e, on conserve donc simplement le mˆeme k pour la plage
de transition (et les mˆemes att´enuations minimales et maximales).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Normalisation et d´enormalisation pour un passe-haut
1 1/k
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
!a =
k!p !p
!˜!
˜! =
!p
!
! = !p/˜!
´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ωa, ωp} de passe-haut, il suffit de
calculer k = ωa/ωp pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant
Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1(ωp/s)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/74
Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Fr´equences n´egatives et parit´e des diagrammes d’amplitude
Rappelons avant de poursuivre que pour H fonction de transfert
rationnelle r´eelle, on a
H(−jω) = H(jω)∗
⇒ |H(−jω)| = |H(jω)|
et donc le diagramme de magnitudes est symm´etrique par rapport `a
ω = 0, c.-`a-d. une fonction paire.
Ainsi, on peut consid´erer un passe-bas comme un passe-bande centr´e `a
ω = 0.
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
˜!
Diagramme
d'amplitude
d'un passe-bas
avec tracé des
"fréquences negatives"
illustrant la symmétrie
(fonction paire)
!p !a
Il semble alors plausible de pouvoir transformer un passe-bas vers un
passe-bande g´en´eral
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation : passe-bas vers passe-bande
Pour obtenir un passe-bande centr´e `a ω0 = ω−
p ω+
p (pulsation centrale),
c.-`a-d. log ω0 =
log ω−
p +log ω+
p
2
et de largeur de bande B = ω+
p − ω−
p , on
prend
H(s) = H1
s2
+ ω2
0
Bs
.
La transformation ω → ˜ω permettant la normalisation du passe-bande vers
le passe-bas H1 est donc j ˜ω = (−ω2
+ ω2
0)/jBω ⇒ ˜ω = (ω2
− ω2
0)/Bω.
Transformation inverse n´ecessaire pour la d´enormalisation : pour ˜ω donn´e
(avec ˜ω ≥ 0 ou ≤ 0), il faut trouver ω solution de
ω2
− B ˜ωω − ω2
0 = 0 ⇒ ω =
B ˜ω ± B2 ˜ω2 + 4ω2
0
2
En se limitant aux solutions ω positives uniquement, on a 2 cas :
˜ω ≥ 0 → ω =
B ˜ω+
√
B2 ˜ω2+4ω2
0
2
et ˜ω = −ω1 ≤ 0 → ω =
−Bω1+
√
B2 ˜ω2
1+4ω2
0
2
.
Avec la symm´etrie de parit´e, l’amplitude `a la fr´equence ˜ω ≥ 0 du passe-bas
est ´egale `a celle aux fr´equences ω =
√
B2 ˜ω2+4ω2
0±B ˜ω
2
≥ 0 du passe-bande.
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation : passe-bas vers passe-bande (suite)
La fr´equence ˜ω = 0 de H1 est transform´ee en −ω2
+ ω2
0 = 0 ⇒ ω = ±ω0.
La valeur d’amplitude `a la fr´equence ˜ω = 1 rad/s pour H1 correspond `a la
valeur (identique) aux fr´equences ω−
p , ω+
p du passe-bande
ω−
p =
B2 + 4ω2
0
2
−
B
2
, ω+
p =
B2 + 4ω2
0
2
+
B
2
et on a bien la largeur de bande ω+
p − ω−
p = B.
Notons aussi qu’on a bien ω−
p ω+
p = ω0.
La valeur de H1 `a ˜ω = 1/k rad/s correspond `a la valeur du passe-bande
aux fr´equences
ω−
a =
B2/k2 + 4ω2
0
2
−
B/k
2
, ω+
a =
B2/k2 + 4ω2
0
2
+
B/k
2
Le facteur de transition est pr´eserv´e lors de la d´enormalisation en
passe-bande :
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
= B
B/k
= k.
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Normalisation et d´enormalisation pour un passe-bande
1 1/k
-Amax (dB)
-Amin (dB)
!˜!
0
!+
p !+
a!p !a
˜! = (!2
!2
0)/B!
0
´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ω±
p , ω±
a } de passe-bande, en
supposant la relation ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a =: ω0, il suffit de calculer
k =
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant
Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+
p − ω−
p et on retrouve H(s) d´esir´e
par H(s) = H1
s2
+ω2
0
Bs
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
D´enormalisation : passe-bas vers coupe-bande
Pour obtenir un filtre coupe-bande centr´e `a ω0 = ω+
p ω−
p (pulsation
centrale) et de largeur hors bande passante B = ω+
p − ω−
p , on prend
H(s) = H1
Bs
s2 + ω2
0
. (1)
La transformation ω → ˜ω est donc ˜ω = Bω/(−ω2
+ ω2
0), et inversement ω
solution de
ω2
+
B
˜ω
ω − ω2
0 = 0 ⇒ ω =
−B
˜ω
± B2
˜ω2 + 4ω2
0
2
Les calculs sont similaires `a la d´enormalisation en passe-bande. En
particulier, en tenant compte de la symm´etrie de parit´e, la valeur du
passe-bas `a ˜ω ≥ 0 est la mˆeme que celle du coupe-bande aux fr´equences
B2
˜ω2 +4ω2
0± B
˜ω
2
, et le facteur de transition est bien conserv´e.
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Normalisation et d´enormalisation pour un coupe-bande
´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ω±
a , ω±
p } de coupe-bande, en
supposant la relation ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a =: ω0, il suffit de calculer
k =
ω+
a −ω−
a
ω+
p −ω−
p
pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant
Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+
p − ω−
p et on retrouve H(s) d´esir´e
par H(s) = H1
Bs
s2+ω2
0
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Introduction
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
D´enormalisation
Conclusion sur la d´enormalisation : strat´egie de conception de filtres
Nous avons donc maintenant la strat´egie de conception de filtres suivante
1. D´efinir le type de filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande ou
coupe-bande) d´esir´e, et un gabarit sp´ecifiant la performance voulue :
att´enuations Amax maximale dans la bande passante, Amin minimale dans
la bande d’arrˆet, fr´equences ωp, ωa, etc.
2. Selon le type de filtre, calculer le facteur de transition k, et si cela
s’applique la pulsation centrale ω0 = ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a et B = ω+
p − ω−
p
3. Concevoir un filtre passe-bas, c.-`a-d. obtenir sa fonction de transfert H1,
satisfaisant le gabarit d’approximation du passe-bas normalis´e, pour les
mˆemes valeurs de k, Amax, Amin.
4. D´enormaliser le filtre passe-bas H1 vers le filtre d´esir´e, en utilisant la
transformation appropri´ee parmi les quatre ci-dessus. La fonction de
transfert obtenue satisfera n´ecessairement le gabarit initial.
Le seul point restant pour impl´ementer cette strat´egie est le point 3, qui fait
l’objet de la prochaine section.
L’int´erˆet de cette approche est qu’il suffit de se concentrer sur l’approximation
du passe-bas normalis´e, et en effet de bonnes approximations pour celui-ci
existent et sont d´ej`a pr´e-calcul´ees et disponibles dans des manuels/logiciels.
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Approches pour la conception de filtres
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
fréquence du gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
fonction de transfert
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebychev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Butterworth
Passe-bas le plus simple, avec Amax = 3 dB `a 1 rad/s :
H(s) =
1
1 + s
→ |H(jω)|2
=
1
1 + ω2
Pour obtenir diff´erentes att´enuations maximales Amax `a 1 rad/s, on
introduit un param`etre suppl´ementaire d´enot´e → |H(jω)|2
= 1
1+ 2ω2
Pour obtenir une transition plus rapide, on augmente l’ordre → Gain d’une
approximation de Butterworth pour le passe-bas normalis´e :
|H(jω)| =
1
√
1 + 2ω2n
, c.-`a-d. |H(jω)|2
=
1
1 + 2ω2n
N.B. : c’est un fait que pour H(s) une fonction de transfert rationnelle
r´eelle, le num´erateur et d´enominateur de |H(jω)|2
sont toujours des
polynˆomes (`a coefficients r´eels) en ω2
.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
R´eponses des filtres de Butterworth (pour = 1, c.-`a-d. Amax = 3.01 dB)
10
−1
10
0
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB) n=1
n=2
n=4
n=8
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Butterworth : choix de et propri´et´es
Choix de dict´e par Amax :
− Amax|dB ≤ 20 log10 |H(j1)| = −10 log10(1 + 2
)
⇒ ≤ 10Amax|dB /10
− 1
1/2
.
Propri´et´es :
dk
|H(jω)|
dωk |ω=0 = 0 pour k = 1, . . . , 2n − 1 → r´eponse tr`es plate initialement
dans la bande passante. Quelquefois dite “optimalement plate”. La
r´eponse est aussi monotone, partant de |H(0)| = 1.
Asymptote : −20n dB/dec dans la bande d’arrˆet. Augmentation de
l’att´enuation hors bande et r´eduction de la plage de transition avec n →
on va d´eterminer n en utilisant les sp´ecifications Amin et k.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
D´etermination de l’ordre n
On prend le n minimum pour satisfaire les sp´ecifications Amin et k.
On a d´ej`a fix´e 2
= 10Amax/10
− 1.
Reste `a satisfaire :
20 log10 H j
1
k
= −10 log10(1 + 2
/k2n
) ≤ −Amin
c.-`a-d.
2
k2n
≥ 10Amin/10
− 1
1
k2n
≥
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
n ≥
1
2 ln(1/k)
ln
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
.
N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que
1/k ≥ 1 par d´efinition.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Normalisation du param`etre
Les tables et logiciels donnent en g´en´eral les filtres de Butterworth pour
= 1, ce qui correspond `a Amax = 3.01 dB. D´enotons Hn ces filtres
|Hn(jω)| =
1
√
1 + ω2n
.
On voit donc que pour obtenir un filtre de Butterworth d’order n avec
d´esir´e, il suffit de prendre
H(jω) = Hn(jω 1/n
) =
1
√
1 + 2ω2n
ou H(s) = Hn(s 1/n
).
Le point de demi-puissance (att´enuation Amax de ≈ 3 dB) pour Hn est `a 1
rad/s, et pour H il est `a ω∗ telle que ω2n
∗
2
= 1, c.-`a-d. ω∗ = −1/n
.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Approximation de Butterworth : r´esum´e
Pour obtenir une approximation de Butterworth du passe-bas normalis´e, avec
sp´ecifications Amin (en dB), Amax (en dB) et 1/k (en rad/s) :
1. Prendre
= 10Amax/10 − 1.
2. Prendre n le plus petit tel que
n ≥
1
2 ln(1/k)
ln
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
.
3. Si on a une table donnant Hn(s) normalis´e pour = 1, alors prendre la
fonction de transfert H(s) = Hn(s 1/n
).
On va voir que H(s) peut en fait aussi se retrouver analytiquement, sans besoin
de table.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Exercice
Donner l’expression de la fonction de transfert d’un filtre de Butterworth
approximant un passe-bas normalis´e, avec une att´enuation maximale de 1 dB `a
la fr´equence de coupure de 1 rad/s, et une att´enuation d’au moins 20 dB `a
l’octave sup´erieure `a la fr´equence de coupure (c.-`a-d. 1/k = 2).
On fournit la liste suivante pour Hn (c.-`a-d. avec = 1) :
H1(s) =
1
s + 1
, H2(s) =
1
s2 +
√
2s + 1
, H3(s) =
1
(s + 1)(s2 + s + 1)
H4(s) =
1
(s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1)
H5(s) =
1
(s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1)
H6(s) =
1
(s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.4142s + 1)(s2 + 1.9319s + 1)
H7(s) =
1
(s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.2470s + 1)(s2 + 1.8019s + 1)
H8(s) =
1
(s2 + 0.3902s + 1)(s2 + 1.1111s + 1)(s2 + 1.6629s + 1)(s2 + 1.9616s + 1)
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Fonction de transfert et pˆoles d’un filtre de Butterworth
Les filtres de Butterworth ont ´et´e d´efinis `a partir de leur gain, qui a une
expression particuli`erement simple
|H(jω)|2
=
1
1 + 2ω2n
Cette expression est suffisante pour calculer les valeurs de et n
n´ecessaires pour satisfaire un gabarit {Amax, Amin, k}
Mais pour la d´enormalisation du filtre par exemple, l’expression de la
fonction de transfert H(s) est n´ecessaire
On peut l’obtenir `a partir de tables ou de logiciels. A d´efaut, on peut la
retrouver directement `a partir de la position des n pˆoles du filtre.
H(s) =
1
(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn)
Un filtre de Butterworth n’a pas de z´eros (n z´eros `a l’infini).
Ses pˆoles pi sont r´epartis r´eguli`erement sur le cercle de rayon −1/n, `a
gauche du plan s (car stable)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Pˆoles d’un filtre de Butterworth
[Sedra and Smith]
Passe-bas avec ωp g´en´eral
Cas n = 2, 3, 4
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 47/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Pˆoles d’un filtre de Butterworth (calcul)
Pour le filtre de Butterworth et = 1, on a Hn(s) = 1
n
k=1
(s−pk )
|Hn(jω)|2
= Hn(jω)Hn(jω)∗
= Hn(jω)Hn(−jω) =
1
1 + ω2n
.
Avec s = jω, si on factorise (p1, . . . pn pˆoles stables du filtre, `a d´eterminer)
1
Hn(s)Hn(−s)
=
n
i=1
(s − pi )
n
i=1
(−s − pi ) =
n
i=1
(p2
i − s2
)
= (s/j)2n
+ 1 = (−s2
)n
+ 1.
Les racines de cette derni`ere expression sont
−s2
= e(j(2k+1)π)/n
, k = 0, . . . , n − 1
Donc les pˆoles de Hn v´erifient
p2
i = −e(j(2k+1)π)/n
⇒ pi ∈ {±e(j(2k+1+n)π)/2n
, k = 0, . . . , n − 1}.
Finalement, en ne prenant que les solutions stables
pk = e(j(2k+1+n)π)/2n
, k = 0, . . . , n − 1.
Ces pˆoles sont sur le cercle unitaire (et symm. par rapport `a l’axe des r´eels).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 48/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Exemple : fonction de transfert d’un filtre de Butterworth
Ex 1 : pour n = 2, montrer
H2(s) =
1
s2 +
√
2s + 1
Ex 2 : pour n = 9
p1 = (− cos 80◦
+ j sin 80◦
)
p9 = ¯p1 = (− cos 80◦
− j sin 80◦
)
⇒ (s − p1)(s − p9)
= (s2
+ 0.3472s + 1)
Idem pour les autres paires de pˆoles
⇒ expression de H9(s)
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 49/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 50/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Filtres de Tchebychev (Type I)
La monotonicit´e et la platitude des filtres de Butterworth sont obtenus au
prix d’une plage de transition relativement grande.
Un filtre de Tchebychev permet d’obtenir une plage de transition plus
´etroite pour un mˆeme ordre n → r´eduit la complexit´e et le coˆut
d’impl´ementation.
En contrepartie, on a des oscillations dans la bande passante
Magnitude de la r´eponse
|H(jω)| =
1
1 + 2T2
n (ω)
, c.-`a-d. |H(jω)|2
=
1
1 + 2T2
n (ω)
o`u Tn(ω) est le polynˆome de Tchebychev d’ordre n
Tn(ω) =
cos(n cos−1
(ω)), ω ≤ 1
cosh(n cosh−1
(ω)), ω > 1.
d´etermin´e par Amax comme pour Butterworth (car Tn(1) = 1)
Tn(1) = 1 ⇒ = 10Amax/10 − 1.
Asymptote −20n dB/dec, comme pour Butterworth.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 51/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
R´eponses des filtres de Tchebychev ( = 1 ou Amax = 3.01 dB)
10
−1
10
0
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB) n=1
n=2
n=3
n=4
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 52/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Polynˆomes de Tchebychev
On peut montrer les fait suivants
Premiers polynˆomes de Tchebychev :
T0(ω) = 1, T1(ω) = ω, T2(ω) = 2ω2
− 1
T3(ω) = 4ω3
− 3ω, T4(ω) = 8ω4
− 8ω2
+ 1.
Relation r´ecursive :
Tn+1(ω) = 2ωTn(ω) − Tn−1(ω), n ≥ 1.
Pour tout n, 0 ≤ |Tn(ω)| ≤ 1 pour 0 ≤ |ω| ≤ 1 et |Tn(ω)| > 1 pour
|ω| ≥ 1.
Tn est une fonction croissante monotone pour ω ≥ 1 et pour tout n.
Tn est une fonction impaire (paire) si n est impair (pair).
Magnitude `a ω = 0 :
|Tn(0)| =
0, n impair
1, n pair
.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 53/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Oscillations dans la bande passante
Un filtre de Tchebychev (de type I) pr´esente des oscillations dans la bande
passante, entre −Amax dB et 0 dB (equi-ondulations). Il est monotone
dans la bande d’arrˆet.
n points de d´eriv´ee nulle (pic d’ondulation) dans la bande passante pour
un filtre d’ordre n.
Puisque T2
n (0) = cos2
(nπ/2), on a
|H(0)| =
1, pour n impair
−Amax , pour n pair.
Ainsi pour n pair, le gain du filtre part de −Amax pour ω = 0
→ il faut ajuster le num´erateur (fournir un gain suppl´ementaire) si l’on
veut un gain statique de 1 pour n pair.
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
D´etermination de l’ordre n
On prend le n minimum pour satisfaire les sp´ecifications Amin et k.
On a d´ej`a fix´e 2
= 10Amax/10
− 1.
Reste `a satisfaire :
20 log10 H j
1
k
= −10 log10(1 + 2
T2
n (1/k)) ≤ −Amin
c.-`a-d. T2
n (1/k) = cosh(n cosh−1
(1/k)) ≥
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
n ≥
1
cosh−1
(1/k)
cosh−1

 10Amin/10 − 1
10Amax/10 − 1

 .
N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que
1/k ≥ 1 par d´efinition.
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Exemple de table de filtres de Tchebychev
A la diff´erence de Butterworth, les tables donnes les coefficients des filtres de
Tchebychev pour diverses valeurs de Amax (ex : 0.1 dB ou 1 dB d’ondulation -
“ripple”). Pour des valeurs moins standard, on utilisera un logiciel (ex : Matlab
cheb1ap(n,Amax)).
ELE2611 – Circuits Actifs
Cours 2 – Filtrage – Approximations normalisées
Approximation de Chebychev – tables
n Chebyshev 2 0 dBn Chebyshev 0 5 dB n Chebyshev 2.0 dB
1 (s + 1.307560 )
2 (s2
+ 0.803816 s + 0.823060 )
3 (s2
+ 0.368911 s + 0.886095 )(s + 0.368911 )
4 (s2
+ 0.209775 s + 0.928675 )(s2
+ 0.506440 s + 0.221568 )
5 (s2
+ 0.134922 s + 0.952167 )(s2
+ 0.353230 s + 0.393150 )(s + 0.218308 )
n Chebyshev 0.5 dB
1 (s + 2.862775 )
2 (s2
+ 1.425625 s + 1.516203 )
3 (s2
+ 0.626456 s + 1.142448 )(s + 0.626456 )
4 (s2
+ 0.350706 s + 1.063519 )(s2
+ 0.846680 s + 0.356412 )
5 (s2
+ 0.223926 s + 1.035784 )(s2 + 0.586245 s + 0.476767 )(s + 0.362320 )
n Chebyshev 2.5 dB
1 (s + 1.133528 )
2 (s2
+ 0.715251 s + 0.755792 )
3 (s2
+ 0.329949 s + 0.858866 )(s + 0.329949 )
4 (s2
+ 0.187960 s + 0.913864 )(s2
+ 0.453777 s + 0.206757 )
5 (s2
+ 0.120994 s + 0.942835 )(s2
+ 0.316766 s + 0.383818 )(s + 0.195772 )
n Chebyshev 1.0 dB
1 (s + 1.965227 )
2 (s2
+ 1.097734 s + 1.102510 )
3 (s2
+ 0.494171 s + 0.994205 )(s + 0.494171 )
4 (s2
+ 0.279072 s + 0.986505 )(s2
+ 0.673739 s + 0.279398 )
5 (s2
+ 0.178917 s + 0.988315 )(s2 + 0.468410 s + 0.429298 )(s + 0.289493 )
n Chebyshev 3.0 dB
1 (s + 1.002377 )
2 (s2
+ 0.644900 s + 0.707948 )
3 (s2
+ 0.298620 s + 0.839174 )(s + 0.298620 )
4 (s2
+ 0.170341 s + 0.903087 )(s2
+ 0.411239 s + 0.195980 )
2 2
n Chebyshev 1.5 dB
1 (s + 1.556927 )
2 (s2
+ 0.922177 s + 0.925206 )
3 (s2
+ 0.420112 s + 0.926494 )(s + 0.420112 )
4 (s2
+ 0.238261 s + 0.950463 )(s2
+ 0.575214 s + 0.243356 )
2 2
5 (s2
+ 0.109720 s + 0.936025 )(s2
+ 0.287250 s + 0.377009 )(s + 0.177530 )5 (s2
+ 0.153056 s + 0.965839 )(s2
+ 0.400707 s + 0.406822 )(s + 0.247650 )
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Exercice
A l’aide de la table pr´ec´edente, donner l’expression de la fonction de transfert
d’un filtre de Tchebychev approximant un passe-bas normalis´e, avec une
att´enuation maximale de 1 dB dans la bande passante, et une att´enuation d’au
moins 30 dB `a l’octave sup´erieure `a la fr´equence de coupure (c.-`a-d. 1/k = 2).
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Pˆoles et fonction de transfert d’un filtre de Tchebychev
Comme pour les filtres de Butterworth, les filtres de Tchebychev n’ont pas
de z´eros, et leurs pˆoles ont une expression connue
Pour un filtre d’ordre n
pk = − sin (αk,n) sinh(βn) + j cos (αk,n) cosh(βn), k = 1, . . . , n
avec αk,n =
2k − 1
n
π
2
, βn =
sinh−1
(1/ )
n
Ces pˆoles sont dispos´es sur une ellipse dans le plan s (dont les axes sont
ceux des r´eels et des imaginaires) au lieu d’un cercle
On a
H(s) =
1
2n−1(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn)
Ce qui importe ici ou dans les tables, c’est la forme du polynˆome au
d´enominateur. On ajustera ensuite le gain statique en calculant la valeur
pour s = 0.
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Tchebychev
Exercice (reprise)
Donner l’expression de la fonction de
transfert d’un filtre de Tchebychev
approximant un passe-bas normalis´e,
avec une att´enuation maximale de 1
dB dans la bande passante, et une
att´enuation d’au moins 30 dB `a
l’octave sup´erieure `a la fr´equence de
coupure (c.-`a-d. 1/k = 2).
On fournit la table des pˆoles des
filtres de Tchebychev ci-contre (tir´ee
de Williams et Taylor, “Electronic
Filter Design Handbook”).
Attention, ces positions sont dilat´ees
par rapport `a celles du transparent
56 (diff´erente normalisation du gain
statique).
Voir aussi http://www.analog.
com/static/imported-files/
tutorials/MT-206.pdf
NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES
TABLE 11-26 1-dB Chebyshev Pole Locations
NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Autres approximations
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
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Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Autres approximations
Filtres elliptiques (ou de Cauer)
Les filtres de Butterworth et Tchebychev peuvent ˆetre con¸cus enti`erement
`a la main. Leur performance est suffisante pour des application simples.
Les filtres elliptiques (Cauer, 1931) ont une transition encore plus rapide
que les filtres de Tchebychev, au prix d’introduire des oscillations `a la fois
dans la bande passante et dans la bande d’arrˆet (oscillations de mˆeme
magnitude).
A la diff´erence de Butterworth et Tchebychev, ces filtres ont des z´eros
finis. Leur placement dans la bande d’arrˆet est li´e aux fonctions dites
elliptiques.
Ces filtres sont de la forme
|H(jω)| =
1
1 + 2R2
n (ω)
,
avec Rn une certaine fonction rationnelle d´ependant de n
2
param`etres.
Le choix de ces param`etres et de n, pour satisfaire Amin, Amax, k se fait
g´en´eralement `a l’aide d’un logiciel ou d’une table
Exemple : fonction Matlab ellipap(n,Amax,Amin). On augmente n jusqu’`a
satisfaire le k voulu.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 61/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Autres approximations
Illustration d’un filtres elliptique
10
−1
10
0
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB)
n=5
Filtre elliptique avec Amax = 2 dB, Amin = 10 dB et n = 5.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 62/74
Introduction
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Autres approximations
Autres approximations
Il existe bien d’autres types de filtres utilisables pour approximer le
passe-bas normalis´e id´eal : Tchebychev type II (oscillations dans la bande
d’arrˆet), Gaussien, Legendre, etc.
D’autre part des techniques modernes d’optimisation peuvent ˆetre
employ´ees pour synth´etiser des approximations rationnelles avec diverses
caract´eristiques d´esir´ees, ind´ependamment de ces formes classiques de
filtres.
Le probl`eme se complique aussi si on veut synth´etiser une fonction de
d´ephasage d´esir´ee en plus d’une fonction de magnitude.
Les filtres elliptiques par exemple peuvent tr`es bien approximer l’amplitude
du passe-bas normalis´e id´eal. Toutefois jusqu’ici nous n’avons pas ´etudi´e la
phase de nos filtres, ni l’impact de celle-ci sur les signaux d’entr´ee. C’est
l’objet de la prochaine section, qui introduira encore d’autres types de
filtres.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 63/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalis´e
D´enormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout
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Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Temps de propagation de groupe
Jusqu’ici nous avons seulement discut´e l’effet de l’amplitude de la r´eponse
en fr´equence d’un filtre H(s). L’autre composant est le d´ecalage de phase
(en g´en´eral n´egatif), que nous d´enoterons ici φ(ω) = ∠H(jω).
On d´efinit le temps de propagation de groupe (ou d´elai de groupe) par
τ(ω) = −
dφ(ω)
dω
. C’est la pente de la fonction −φ(ω), et une mesure de
la non-lin´earit´e de φ(ω).
Vous avez vu par les propri´et´es des transform´ees de Laplace qu’un d´elai
pur de t0 (c.-`a-d. un syst`eme y(t) = u(t − t0)) correspond `a la fonction de
transfert e−st0
(revoir la preuve), et donc au d´ecalage de phase
φ(ω) = −ωt0. Ainsi, pour le d´elai pur, le temps de propagation de groupe
est τ(ω) = t0, ind´ependant de ω.
Pour un d´elai pur, toutes les composantes fr´equentielles du signal d’entr´ee
sont retard´ees de la mˆeme fa¸con.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 65/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Point de vue de l’analyse de Fourier
La composante Vi (jω)ejωt
du signal d’entr´ee devient en sortie
Vi (jω)|H(jω)|ejωt+jφ(ω)
= Vi (jω)|H(jω)|ejω(t−D(ω))
avec D(ω) = −
φ(ω)
ω
appel´e le d´elai de phase.
Le d´elai de phase s’interpr`ete comme un d´elai subit par une composante
fr´equentielle unique, mais n’est pas bien adapt´e `a la conception. On lui
pr´ef´erera l’utilisation du d´elai de groupe.
Dans le cas d’un d´elai pur, on a dans les deux cas D(ω) = τ(ω) = t0.
Intuitivement, on interpr´etera aussi τ(ω) comme un d´elai subit par la
composante `a la fr´equence ω du signal d’entr´ee lors de son passage dans le
syst`eme.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 66/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Distorsion due `a la non-lin´eairit´e de phase
En g´en´eral, un d´elai de propagation dans le syst`eme constant est
acceptable, mais un d´elai τ(ω) d´ependant de ω est souvent probl´ematique
car il cr´ee de la distorsion dans le signal.
Par ex., pour un filtre dont la phase est celle ci-dessous, les composantes `a
hautes fr´equences du signal d’entr´ee sortent du syst`eme plus rapidement
que celles `a basses fr´equences (τ(ω) plus petit pour ω grand).
(!)
!
Ainsi, on veut souvent concevoir des filtres dont la phase φ(ω) est la plus
lin´eaire possible dans la bande passante, c.-`a-d. τ(ω) le plus constant
possible.
pas toujours, p. ex. filtre pour la compensation de phase.
La fonction de transfert e−st0
du d´elai pur n’est malheureusement pas
r´ealisable exactement par un circuit (`a param`etres concentr´es), car pas
rationnelle.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 67/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres de Bessel
Distorsion due a la nonlinearit´e de phase (exemple)
Filtre passe-tout
Signal carré
= somme de sinusoïdes
à différentes fréquences
| H(jω) | = 1
sortie (en jaune)
n’est pas carrée à
cause des délais
différents des
composantes
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 68/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres de Bessel
Temps de propagation de groupe des filtres
10
−1
10
0
−450
−400
−350
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
ω (rad/s)
φ(ω)
Butterworth
Tchebyshev
Elliptique
Bessel
10
−1
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ω (rad/s)
τ(ω)
Butterworth
Tchebyshev
Elliptique
Bessel
(ordre n = 5 pour tous les filtres)
Les filtres de Bessel, que nous introduisons ensuite, on un temps de
propagation de groupe “optimalement plat”.
Par contre, vous pourrez v´erifier que leur transition en amplitude est
encore moins rapide que les filtres de Butterworth. En g´en´eral, plus un
filtre a une transition rapide en amplitude, plus sa phase est nonlin´eaire.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 69/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres de Bessel
Filtres de Bessel
Le filtre de Bessel d’ordre n est de la forme
Hn(s) =
Bn(0)
Bn(s)
,
o`u Bn est le polynˆome de Bessel d’ordre n, qu’on peut obtenir par r´ecursion
B1(s) = s + 1, B2(s) = s2
+ 3s + 3
Bn(s) = (2n − 1)Bn−1(s) + s2
Bn−2(s).
Plus n augmente, plus la bande de fr´equence sur laquelle τ(ω) est
constant est large.
Pour ce Hn, on a τ(0) = 1. Pour avoir τ(0) = t0, on peut utiliser Hn(s t0).
Il est aussi possible de concevoir des filtres faisant un compromis entre la
meilleure transition des filtres de Butterworth, et le meilleure
comportement en phase des filtres de Bessel, en placant les pˆoles au milieu
de ceux de ces deux filtres.
Un autre avantage d’avoir un temps de propagation de groupe quasiment
constant est que cela correspond normalement `a une r´eponse temporelle
du filtre (ex : `a un ´echelon) avec moins de d´epassement (overshoot).
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 70/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres passe-tout
Filtres passe-tout ´egaliseurs
On peut aussi essayer de corriger les distortions dues `a un d´elai de groupe
non constant (surtout pr`es des bords de la bande passante) en utilisant un
´egaliseur de d´elai (“delay equalizer”), typiquement un filtre passe-tout.
Une fonction de transfert passe-tout a la forme H(s) = p(−s)
p(s)
, avec p
polynˆome (`a coefficients r´eels) stable. En particulier |H(jω)| = 1 et
φ(ω) = −2∠p(jω) (exercice, noter p(−jω) = p(jω)).
Exemple :
H(s) =
−s + a
s + a
→ φ(ω) = 2 tan−1 ω
a
, τ(ω) =
2/a
1 + (ω/a)2
.
Ce filtre rajoute un plus grand d´elai aux basses fr´equences
(limω→∞ τ(ω) = 0)
Ainsi en mettant un passe-tout en cascade avec les filtres pr´ec´edents,
l’amplitude reste inchang´ee et le polynˆome p peut ˆetre utilis´e pour
compenser les nonlin´earit´es de phase. Augmenter le degr´e de p donne plus
de degr´es de libert´es pour cette compensation.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 71/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres passe-tout
Conclusion
Nous avons discut´e comment d´eterminer la fonction de transfert de filtres
permettant de respecter certaines sp´ecifications standard (type de filtre,
att´enuation, plage de transition, etc.).
Une strat´egie consiste `a d’abord ramener le probl`eme de conception `a celui
d’un filtre approximant le passe-bas normalis´e, qu’on r´esout `a l’aide d’un
filtre prototype classique (Butterworth, Tchebychev, etc.)
A partir de la fonction de transfert obtenue pour le passe-bas, on a alors
deux possibilit´es :
Transformer (d´enormaliser) la fonction de transfert, pour obtenir celle du
filtre d´esir´e. La fonction de transfert g´en´erale r´esultante est alors
typiquement r´ealis´ee par un circuit actif (apr`es factorisation), suivant une
approche que l’on discutera au prochain cours (synth`ese en cascade).
Partir d’un prototype de circuit r´ealisant le passe-bas, g´en´eralement passif,
et r´ealiser une transformation (d´enormalisation) du circuit pour obtenir
directement le circuit du type voulu. Nous verrons aussi cette approche dans
un prochain cours (synth`ese globale). Si besoin, on peut `a la fin simuler les
bobines du circuit passif obtenu par des ´el´ements actifs.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 72/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres passe-tout
Note sur la pr´ecision des calculs
Lorsque vous effectuez les calculs interm´ediaires n´ecessaires pour obtenir
la fonction de transfert d’un filtre (p. ex. d´enormalisation), il est en
g´en´eral n´ecessaire de garder un grand nombre de chiffres significatifs.
Exemple : on peut avoir `a calculer une diff´erence comme
1.324495 − 1.323122 = 0.001373, et ne garder que 3 chiffres significatifs
dans les termes de la diff´erence donne 0 au lieu de 1.373 × 10−2
, ce qui
peut s’av´erer catastrophique.
Cela n’a rien `a voir avec le fait que les ´el´ements physiques utilis´es pour la
r´ealisation de la fonction de transfert finale ont des tol´erances
comparativement ´elev´ees. Ici, il ne s’agit que du mauvais conditionnement
typique des calculs num´eriques (interm´ediaires) en conception de filtre. Ce
qui importe, c’est d’obtenir pour chaque coefficient de la fonction de
transfert finale un nombre suffisant de chiffres significatifs.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 73/74
Introduction
Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres
Filtres passe-tout
Quelques r´ef´erences
H. Y.-F. Lam, “Analog and Digital Filters : Design and Realization”,
chapitre 8.
S. Franco, “Design with operational amplifiers and analog integrated
circuits”, 3`eme ´edition, chapitre 4.
A. S. Sedra, K. C. Smith, “Microelectronic Circuits”, 6`eme ´edition,
chapitre 16.
R. Schaumann, H. Xiao, M. E. Van Valkenburg, “Design of Analog
Filters”, 2`eme ´edition.
Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 74/74

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ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I

  • 1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 3 - Filtres analogiques lin´eaires I Approximations rationnelles classiques, d´enormalisation Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/74
  • 2. Introduction Motivation pour ce cours Nous d´ebutons une s´erie de cours constituant une introduction `a la conception de filtres analogiques et leurs r´ealisations par des circuits actifs ou passifs (des quadripˆoles). Un filtre est un syst`eme permettant d’effectuer certaines op´erations d´efinies dans le domaine fr´equentiel sur un signal d’entr´ee. Typiquement le contenu d’un signal physique brut doit ˆetre pass´e (voir amplifi´e) `a certaines fr´equences, et att´enu´e `a d’autres, pour isoler l’information qu’il transporte du bruit et des interf´erences. Le filtrage de signaux (analogique et digital) est omnipr´esent dans tous les syst`emes, artificiels et naturels, qui transmettent de l’information (revoir cours 0). Il existe de tr`es nombreuses m´ethodes de conception de filtres. Toutefois, les formes de filtres analogiques que nous allons discuter sont devenues essentiellement standard et sont support´ees par divers manuels et logiciels de conception. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/74
  • 3. Introduction Approches pour la conception de filtres Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/74
  • 4. Introduction Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/74
  • 5. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/74
  • 6. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres R´ecapitulatif sur la r´eponse en fr´equence Un syst`eme lin´eaire et stationnaire est associ´e `a une fonction de transfer Y (s) = G(s)U(s) (↔ y(t) = ∞ 0 g(t − τ)u(τ)dτ; C.I. nulles) Y(jω) = G(jω)U(jω) (relation entre phaseurs, R.P. sinus¨ıdal) En consid´erant l’entr´ee u(t) comme une superposition de sinuso¨ıdes `a diff´erentes fr´equences (analyse de Fourier), le syst`eme agit sur ces diff´erentes fr´equences de mani`ere diff´erente → notion de filtre. Relation entre les transform´ees de Fourier (spectres fr´equentiels) : Y (jω) = G(jω)U(jω) Magnitude de la fn de tx : |G(jω)| → att´enuation ou amplification de certaines fr´equences (|Y (jω)| = |G(jω)||U(jω)|). Argument de la fn de tx : ∠G(jω) → ∠Y (jω) = ∠G(jω) + ∠U(jω) (Angle d’avance de phase). Comme nous le verrons plus loin, cette fonction influence le temps de propagation dans le syst`eme des diverses composantes fr´equentielles du signal d’entr´ee, ce qui cr´ee de la distorsion. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/74
  • 7. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Vision fr´equentielle des syst`emes [S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd ´edition, p. 108] Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/74
  • 8. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Filtres analogiques et applications Dans ELE2611, on n’´etudie que le filtrage analogique, c.-`a-d. pour des signaux continus dans le temps. On ´etudie la r´ealisation de ces filtres par des circuits analogiques. Aujourd’hui beaucoup de fonctions avanc´ees de traitement de signal sont impl´ement´ees sous forme digitale. Mais mˆeme dans ce cas, on a besoin de circuits analogiques pour pr´eparer et nettoyer le signal avant l’´echantillonage, par exemple un filtre passe-bas anti-repliement (anti-aliasing) avant l’´echantillonneur. De plus, les filtres digitaux sont plus difficiles `a r´ealiser / moins rentables quand les fr´equences augmentent. Un filtre convertit un signal d’entr´ee en un signal de sortie en lui retirant certains traits ind´esirables. Exemples : TV/radio r´egl´e sur un certain canal ne laisse passer que les signaux transmis sur ce canal (filtre passe-bande). Elimination du bruit hautes fr´equences (filtre passe-bas). Elimination des r´esidus de signaux `a 60 Hz dans les ´equipement m´edicaux (filtre notch, type de coupe-bande). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/74
  • 9. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Filtres Electroniques Les filtres analogiques sont le plus souvents r´ealis´es au moyen de circuits ´electroniques Ce sont des quadripˆoles, et on s’int´eresse le plus souvent `a la fonction de transfert entre les tensions d’entr´ee et de sortie Quadripôle Filtre H(s) + - vi + - vo Relation entre les spectres fr´equentiels : Vo(jω) = H(jω)Vi (jω) La relation entre les magnitudes |Vo(jω)| = |H(jω)||Vi (jω)| est la plus importante pour la plupart des applications Relation entre les phases ∠Vo(jω) = ∠Vi (jω) + ∠H(jω) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/74
  • 10. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Types de filtres - r´eponses id´eales Filtres class´es suivant l’allure de la magnitude de leur r´eponse en fr´equence 0 0 |H(j!)| !c ! 0 0 |H(j!)| !c ! passe-bas passe-haut 0 0 |H(j!)| ! passe-bande !l !h 0 0 |H(j!)| ! coupe-bande !l !h 0 0 |H(j!)| ! passe-tout 0 0 ! H(j!) -𝜏 Note: un passe-tout sert à manipuler la phase du signal d'entrée Réponses idéales !c( : fréquence de coupure) En pratique on ne peut qu’approximer ces r´eponses id´eales par des fonctions de transfert rationnelles r´eelles, et les quatre premier filtres affectent aussi la phase du signal d’entr´ee (source de distorsion). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/74
  • 11. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Gabarits de filtres Un gabarit de filtre est une sp´ecification r´ealisable. Pour les quatre premiers types de filtres : !p !a bande passante bande d'arrêt !p!a bande passante bande d'arrêt |H(j!)|dB |H(j!)|dB ! ! Hmin Hmax Hmax Hmin bande passante bande d'arrêt |H(j!)|dB ! Hmin Hmax bande d'arrêt !+ p!p !+ a !a |H(j!)|dB ! bande d'arrêt !+ p!p !+ a!a Hmax bande passante bande passante Passe-bande Coupe-bande Passe-bas Passe-haut Hmax Hmin Hmin Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/74
  • 12. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Gabarit d’un filtre passe-bas Sp´ecifications {Amax, Amin, ωp, ωa} → le graphe d’amplitude peut se trouver dans la zone gris´ee ci-dessous. 0 dB |H(j!)| (dB) -Amax dB Plage de transition Bande passante Bande d'arrêt -Amin dB Atténuation minimale de Amin dB dans la bande d'arrêt Atténuation maximale de Amax dB dans la bande ωp rad/s ! k = ωp / ωa : facteur de transition ωa rad/s Zone grisée autorisée pour l'amplitude de la fonction de transfert Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/74
  • 13. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Gabarit d’un filtre passe-bande Sp´ecifications {Amax, Amin, ω± p , ω± a }, ou plus souvent fr´equence centrale ω0 = ω− p ω+ p et largeur de bande B = ω+ p − ω− p 0 dB |H(j!)| (dB) -Amax dB Plage de transition (haute) Bande passante Bande d'arrêt (haute) -Amin dB Atténuation minimale de Amin dB dans la bande d'arrêt Atténuation maximale de Amax dB dans la bande ! Zone grisée autorisée pour l'amplitude de la fonction de transfert Bande d'arrêt (basse) -Amin dB !p !+ p !+ a!a Plage de transition (basse) Facteur de transition: k = !+ p !p !+ a !a !0 Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/74
  • 14. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Facteur de transition Une plage de transition est d´etermin´ee par deux fr´equences ωa, ωp pour lesquelles le filtre change de fonction (arrˆet → passant, et vice-versa). ωp d´elimite la bande passante, ωa d´elimite la bande d’arrˆet. Le facteur de transition est d´efini par : k = ωp ωa pour un passe-bas, k = ωa ωp pour un passe-haut k = ω+ p −ω− p ω+ a −ω− a pour un passe-bande, k = ω+ a −ω− a ω+ p −ω− p pour un arrˆet de bande. Dans tous les cas k ≤ 1 et on veut k le plus proche possible de 1 pour une transition rapide. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/74
  • 15. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Filtres passifs et actifs Filtres passifs : r´ealis´es avec des ´el´ements passifs R, L, C seulement. Filtres actifs : contiennent des ´el´ements actifs (en g´en´eral sources d´ependentes, A.O., transistors, etc.). Avantages des filtre actifs : on peut utiliser les A.O. pour remplacer les bobines des filtres passifs. En effet, les bobines de qualit´e sont difficiles `a fabriquer, occupent de la place, sont comparativement lourdes, et ne sont pas compatibles avec les technologies standards de fabrication des circuits int´egr´es → avantage des filtres actifs en termes de coˆut, taille et poids. On peut r´ealiser des blocs `a grande imp´edance d’entr´ee et faible imp´edance de sortie, qui sont ensuite utilisables et ajustables de fa¸con modulaire pour cr´eer des circuits plus complexes. Inconv´enients des filtres actifs : en raison entre autre de la diminution de gain en boucle ouverte des A.O. `a hautes fr´equences (voir cours 6), l’utilisation des filtres actifs est limit´ee aux fr´equences de l’ordre du MHz au plus (Ex : applications audio, instrumentation, etc.). Au-del`a, on utilise de nouveau les circuits passifs RLC, et les bobines sont d’ailleurs plus faciles `a int´egrer (plus petites) aux hautes fr´equences (pourquoi ?). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/74
  • 16. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Ordre d’un filtre Pour un filtre H(s) = N(s) D(s) (sans simplification de termes), son ordre est le degr´e de son d´enominateur. C’est aussi le nombre de pˆoles de la fonction de transfert H(s) = N(s) D(s) = amsm + . . . + a0 sn + . . . + b0 = am(s − z1) . . . (s − zm) (s − p1) . . . (s − pn) Plus l’ordre d’un filtre est ´elev´e : plus le concepteur a de degr´es de libert´es pour atteindre ses sp´ecifications → meilleur performance possible, par exemple transition plus rapide (k plus grand possible) pour un Amax, Amin donn´es, ou Amin plus grand pour Amax et ωp, ωa donn´es, etc. mais plus la r´ealisation du filtre est coˆuteuse (n´ecessite plus de composants, et circuit plus complexes), et peut cr´eer d’autres probl`emes potentiels (robustesse, . . . ). Toutefois, diff´erents types de filtres permettent d’obtenir une performance donn´ee `a moindre complexit´e (ordre moins ´elev´e) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/74
  • 17. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Fonctions de transfert des filtres d’ordre 1 et 2 Revoir toutes les formes de filtres d’ordre 1 et 2, leurs r´eponses en fr´equence (diagrammes de Bode) et leurs r´ealisations passives par des circuits RC et RLC (sauf pour les passe-tout) Les filtres d’ordre 2 sont souvent appel´es biquadratiques : rapport de deux formes quadratiques Ordre 1 : H(s) = N(s) sτ+1 N(s) = 1 → passe-bas N(s) = sτ → passe-haut N(s) = 1 − sτ → passe-tout Ordre 2 : (biquad) H(s) = N(s) (s/ωn)2+2ζ(s/ωn)+1 (Q = 1 2ζ ) N(s) = 1 → passe-bas N(s) = (s/ωn)2 → passe-haut N(s) = 2ζ(s/ωn) → passe-bande N(s) = 1 + (s/ωn)2 → coupe-bande N(s) = (s/ωn)2 − 2ζ(s/ωn) + 1 → passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/74
  • 18. Introduction Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Utilit´e des filtres plus complexes Les filtres d’ordre ≤ 2 ne permettent pas d’atteindre les sp´ecifications de performance en filtrage d’un syst`eme d’instrumentation typique. Ex. : au mieux −40 dB/dec. pour l’att´enuation d’un passe-bas → transition peu abrupte. Int´erˆet des filtres actifs pour des raisons de taille, coˆut, etc. RLC avec Q ´elev´e demande de tr`es bonnes bobines, difficile surtout `a basse fr´equences ou pour les circuits int´egr´es. Une des approches principales pour r´ealiser un circuit d’ordre n > 2 est de factoriser sa fonction de transfert et de mettre en cascade des circuits d’ordre 1 et 2. Une cascade de circuits RC est insuffisante car les pˆoles sont n´ecessairement sur l’axe des r´eels (admis) → pas de r´esonance. L’introduction d’´el´ements actifs permet d’obtenir des pˆoles complexes conjugu´es tout en rempla¸cant les bobines. Circuits actifs aussi pour les imp´edances d’entr´ee et de sortie permettant la mise en cascade facilement. Toutefois, ajuster les param`etres d’une cascade de circuits devient rapidement impossible sans une m´ethodologie rigoureuse. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/74
  • 19. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/74
  • 20. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e Filtre passe-bas normalis´e id´eal 10 0 1 |H(j!)| ! (rad/s) 1 0 dB ! (rad/s) |H(j!)| (dB) L’´etude de la conception classique des filtres analogiques commence par la conception de filtres approximant le filtre passe-bas id´eal normalis´e (irr´ealisable physiquement). Par d´efinition H(jω) = e−jω , |ω| ≤ 1 0, |ω| > 1. Magnitude |H(jω)| = 1 (= 0 dB) sur l’intervalle ω ∈ [0, 1] rad/s, |H(jω)| = 0 en dehors. Cette propri´et´e donne son nom au passe-bas. Id´ealement phase φ(ω) = −ω, fonction lin´eaire. Nous verrons l’importance de cette propri´et´e plus tard dans ce cours, ignorons la pour l’instant. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/74
  • 21. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e Gabarit d’un filtre approximant le passe-bas normalis´e Sp´ecifications {Amax, Amin, k} → le graphe d’amplitude peut se trouver dans la zone gris´ee ci-dessous. ωp = 1 rad/s, ωa = 1/k rad/s. 0 dB |H(j!)| (dB) -Amax dB Plage de transition Bande passante Bande d'arrêt -Amin dB Atténuation minimale hors bande Atténuation maximale dans la bande 1 rad/s 1/k rad/s ! k: facteur de transition Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/74
  • 22. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/74
  • 23. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation de fonction de transfert d’un passe-bas Supposons pour l’instant qu’on sache r´ealiser une fonction de transfert H1 satisfaisant le gabarit pr´ec´edent approximant le passe-bas normalis´e (prochaine section) Id´ee cl´e : on peut passer du passe-bas H1 aux autres types de filtres et leurs gabarits (`a l’exception du passe-tout) par certaines transformations en fr´equence (ou encore du param`etre s) : D´enormalisation : H(s) = H1(f (s)) (⇒ |H(jω)| = |H1(f (jω))|) H1 approxime le passe-bas normalis´e f est une certaine transformation `a d´efinir H approxime un profil de filtre d´esir´e (passe-bas g´en´eral, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ; fonctions mˆemes plus g´enerales possibles) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/74
  • 24. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation vers un passe-bas g´en´eral Ainsi, pour obtenir un passe-bas avec bande passante d´elimit´ee par ωp quelconque au lieu de 1 rad/s, il suffit de prendre H(s) = H1 s ωp . Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ω/ωp La valeur de H1 pour ˜ω correspond `a la valeur de H pour ω = ωp × ˜ω → on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante Sur une ´echelle logarithmique, la valeur de H1 `a log ˜ω devient la valeur de H `a la valeur translat´ee log ω = log ˜ω + log ωp (car ˜ω = ω/ωp). Le facteur de transition est pr´eserv´e par la d´enormalisation : ωa = ωp ˜ωa ⇒ ωp ωa = ωp ˜ωa ωp = 1 ˜ωa = k. Pour passer d’une sp´ecification de gabarit d’un passe-bas g´en´eral `a un gabarit normalis´e, on conserve donc simplement le mˆeme k pour la plage de transition (et les mˆemes att´enuations minimales et maximales). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/74
  • 25. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Normalisation et d´enormalisation pour un passe-bas g´en´eral 1 1/k -Amax (dB) 0 -Amin (dB) -Amax (dB) 0 -Amin (dB) !p !a = !p/k !˜! ˜! = ! !p ! = ˜! ⇥ !p ´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ωp, ωa} de passe-bas, il suffit de calculer k = ωp/ωa pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1(s/ωp) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/74
  • 26. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Approches pour la conception de filtres Choix du gabarit du filtre Normalisation en frequencedu gabarit (vers le passe-bas normalisé) Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit normalisé Dénormalisation en fréquence de la fonction de transfert Réalisation par un circuit de la fonction de transfert dénormalisée Filtre standards tabulés (Butterworth, Tchebychev, etc.) Forme dévelopée et factorisée Dénormalisation en impédance Réalisation par un circuit de la fonction de transfert normalisée Tables de circuits prototypes disponibles (passifs, à simuler si besoin) Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de composants) Plutôt synthèse en cascade d'un circuit actif approche de synthèse globale circuit final à vérifier et tester Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/74
  • 27. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation : passe-bas vers passe-haut Pour obtenir un passe-haut avec bande passante commen¸cant `a ωp, on prend H(s) = H1 ωp s . Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ωp/ω La valeur de H1 pour ˜ω correspond `a la valeur de H pour ω = ωp/˜ω → on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante Sur une ´echelle logarithmique, la valeur de H1 `a log ˜ω devient la valeur de H `a la valeur log ω = − log ˜ω + log ωp (˜ω = ωp/ω) G´eom´etriquement, cela correspond `a une symm´etrie par rapport `a l’axe ˜ω = 1, puis translation de log ωp Le facteur de transition est pr´eserv´e : ωa = ωp/˜ωa ⇒ ωa ωp = ωp/˜ωa ωp = 1 ˜ωa = k. Pour passer d’une sp´ecification de gabarit d’un passe-haut g´en´eral `a un gabarit normalis´e, on conserve donc simplement le mˆeme k pour la plage de transition (et les mˆemes att´enuations minimales et maximales). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/74
  • 28. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Normalisation et d´enormalisation pour un passe-haut 1 1/k -Amax (dB) 0 -Amin (dB) -Amax (dB) 0 -Amin (dB) !a = k!p !p !˜! ˜! = !p ! ! = !p/˜! ´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ωa, ωp} de passe-haut, il suffit de calculer k = ωa/ωp pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1(ωp/s) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/74
  • 29. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Fr´equences n´egatives et parit´e des diagrammes d’amplitude Rappelons avant de poursuivre que pour H fonction de transfert rationnelle r´eelle, on a H(−jω) = H(jω)∗ ⇒ |H(−jω)| = |H(jω)| et donc le diagramme de magnitudes est symm´etrique par rapport `a ω = 0, c.-`a-d. une fonction paire. Ainsi, on peut consid´erer un passe-bas comme un passe-bande centr´e `a ω = 0. -Amax (dB) 0 -Amin (dB) ˜! Diagramme d'amplitude d'un passe-bas avec tracé des "fréquences negatives" illustrant la symmétrie (fonction paire) !p !a Il semble alors plausible de pouvoir transformer un passe-bas vers un passe-bande g´en´eral Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/74
  • 30. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation : passe-bas vers passe-bande Pour obtenir un passe-bande centr´e `a ω0 = ω− p ω+ p (pulsation centrale), c.-`a-d. log ω0 = log ω− p +log ω+ p 2 et de largeur de bande B = ω+ p − ω− p , on prend H(s) = H1 s2 + ω2 0 Bs . La transformation ω → ˜ω permettant la normalisation du passe-bande vers le passe-bas H1 est donc j ˜ω = (−ω2 + ω2 0)/jBω ⇒ ˜ω = (ω2 − ω2 0)/Bω. Transformation inverse n´ecessaire pour la d´enormalisation : pour ˜ω donn´e (avec ˜ω ≥ 0 ou ≤ 0), il faut trouver ω solution de ω2 − B ˜ωω − ω2 0 = 0 ⇒ ω = B ˜ω ± B2 ˜ω2 + 4ω2 0 2 En se limitant aux solutions ω positives uniquement, on a 2 cas : ˜ω ≥ 0 → ω = B ˜ω+ √ B2 ˜ω2+4ω2 0 2 et ˜ω = −ω1 ≤ 0 → ω = −Bω1+ √ B2 ˜ω2 1+4ω2 0 2 . Avec la symm´etrie de parit´e, l’amplitude `a la fr´equence ˜ω ≥ 0 du passe-bas est ´egale `a celle aux fr´equences ω = √ B2 ˜ω2+4ω2 0±B ˜ω 2 ≥ 0 du passe-bande. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/74
  • 31. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation : passe-bas vers passe-bande (suite) La fr´equence ˜ω = 0 de H1 est transform´ee en −ω2 + ω2 0 = 0 ⇒ ω = ±ω0. La valeur d’amplitude `a la fr´equence ˜ω = 1 rad/s pour H1 correspond `a la valeur (identique) aux fr´equences ω− p , ω+ p du passe-bande ω− p = B2 + 4ω2 0 2 − B 2 , ω+ p = B2 + 4ω2 0 2 + B 2 et on a bien la largeur de bande ω+ p − ω− p = B. Notons aussi qu’on a bien ω− p ω+ p = ω0. La valeur de H1 `a ˜ω = 1/k rad/s correspond `a la valeur du passe-bande aux fr´equences ω− a = B2/k2 + 4ω2 0 2 − B/k 2 , ω+ a = B2/k2 + 4ω2 0 2 + B/k 2 Le facteur de transition est pr´eserv´e lors de la d´enormalisation en passe-bande : ω+ p −ω− p ω+ a −ω− a = B B/k = k. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/74
  • 32. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Normalisation et d´enormalisation pour un passe-bande 1 1/k -Amax (dB) -Amin (dB) !˜! 0 !+ p !+ a!p !a ˜! = (!2 !2 0)/B! 0 ´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ω± p , ω± a } de passe-bande, en supposant la relation ω+ p ω− p = ω+ a ω− a =: ω0, il suffit de calculer k = ω+ p −ω− p ω+ a −ω− a pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+ p − ω− p et on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1 s2 +ω2 0 Bs Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/74
  • 33. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation D´enormalisation : passe-bas vers coupe-bande Pour obtenir un filtre coupe-bande centr´e `a ω0 = ω+ p ω− p (pulsation centrale) et de largeur hors bande passante B = ω+ p − ω− p , on prend H(s) = H1 Bs s2 + ω2 0 . (1) La transformation ω → ˜ω est donc ˜ω = Bω/(−ω2 + ω2 0), et inversement ω solution de ω2 + B ˜ω ω − ω2 0 = 0 ⇒ ω = −B ˜ω ± B2 ˜ω2 + 4ω2 0 2 Les calculs sont similaires `a la d´enormalisation en passe-bande. En particulier, en tenant compte de la symm´etrie de parit´e, la valeur du passe-bas `a ˜ω ≥ 0 est la mˆeme que celle du coupe-bande aux fr´equences B2 ˜ω2 +4ω2 0± B ˜ω 2 , et le facteur de transition est bien conserv´e. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/74
  • 34. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Normalisation et d´enormalisation pour un coupe-bande ´Etant donn´e un gabarit {Amin, Amax, ω± a , ω± p } de coupe-bande, en supposant la relation ω+ p ω− p = ω+ a ω− a =: ω0, il suffit de calculer k = ω+ a −ω− a ω+ p −ω− p pour obtenir le gabarit normalis´e correspondant Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+ p − ω− p et on retrouve H(s) d´esir´e par H(s) = H1 Bs s2+ω2 0 Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/74
  • 35. Introduction Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert D´enormalisation Conclusion sur la d´enormalisation : strat´egie de conception de filtres Nous avons donc maintenant la strat´egie de conception de filtres suivante 1. D´efinir le type de filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande) d´esir´e, et un gabarit sp´ecifiant la performance voulue : att´enuations Amax maximale dans la bande passante, Amin minimale dans la bande d’arrˆet, fr´equences ωp, ωa, etc. 2. Selon le type de filtre, calculer le facteur de transition k, et si cela s’applique la pulsation centrale ω0 = ω+ p ω− p = ω+ a ω− a et B = ω+ p − ω− p 3. Concevoir un filtre passe-bas, c.-`a-d. obtenir sa fonction de transfert H1, satisfaisant le gabarit d’approximation du passe-bas normalis´e, pour les mˆemes valeurs de k, Amax, Amin. 4. D´enormaliser le filtre passe-bas H1 vers le filtre d´esir´e, en utilisant la transformation appropri´ee parmi les quatre ci-dessus. La fonction de transfert obtenue satisfera n´ecessairement le gabarit initial. Le seul point restant pour impl´ementer cette strat´egie est le point 3, qui fait l’objet de la prochaine section. L’int´erˆet de cette approche est qu’il suffit de se concentrer sur l’approximation du passe-bas normalis´e, et en effet de bonnes approximations pour celui-ci existent et sont d´ej`a pr´e-calcul´ees et disponibles dans des manuels/logiciels. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/74
  • 36. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/74
  • 37. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Approches pour la conception de filtres Choix du gabarit du filtre Normalisation en fréquence du gabarit (vers le passe-bas normalisé) Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit normalisé Dénormalisation en fréquence de la fonction de transfert Réalisation par un circuit de la fonction de transfert dénormalisée Filtre standards tabulés (Butterworth, Tchebychev, etc.) Forme dévelopée et factorisée Dénormalisation en impédance Réalisation par un circuit de la fonction de transfert normalisée Tables de circuits prototypes disponibles (passifs, à simuler si besoin) Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de composants) Plutôt synthèse en cascade d'un circuit actif approche de synthèse globale circuit final à vérifier et tester Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/74
  • 38. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/74
  • 39. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Butterworth Passe-bas le plus simple, avec Amax = 3 dB `a 1 rad/s : H(s) = 1 1 + s → |H(jω)|2 = 1 1 + ω2 Pour obtenir diff´erentes att´enuations maximales Amax `a 1 rad/s, on introduit un param`etre suppl´ementaire d´enot´e → |H(jω)|2 = 1 1+ 2ω2 Pour obtenir une transition plus rapide, on augmente l’ordre → Gain d’une approximation de Butterworth pour le passe-bas normalis´e : |H(jω)| = 1 √ 1 + 2ω2n , c.-`a-d. |H(jω)|2 = 1 1 + 2ω2n N.B. : c’est un fait que pour H(s) une fonction de transfert rationnelle r´eelle, le num´erateur et d´enominateur de |H(jω)|2 sont toujours des polynˆomes (`a coefficients r´eels) en ω2 . Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/74
  • 40. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth R´eponses des filtres de Butterworth (pour = 1, c.-`a-d. Amax = 3.01 dB) 10 −1 10 0 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 ω (rad/s) |H(jω)|(dB) n=1 n=2 n=4 n=8 Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 40/74
  • 41. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Butterworth : choix de et propri´et´es Choix de dict´e par Amax : − Amax|dB ≤ 20 log10 |H(j1)| = −10 log10(1 + 2 ) ⇒ ≤ 10Amax|dB /10 − 1 1/2 . Propri´et´es : dk |H(jω)| dωk |ω=0 = 0 pour k = 1, . . . , 2n − 1 → r´eponse tr`es plate initialement dans la bande passante. Quelquefois dite “optimalement plate”. La r´eponse est aussi monotone, partant de |H(0)| = 1. Asymptote : −20n dB/dec dans la bande d’arrˆet. Augmentation de l’att´enuation hors bande et r´eduction de la plage de transition avec n → on va d´eterminer n en utilisant les sp´ecifications Amin et k. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/74
  • 42. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth D´etermination de l’ordre n On prend le n minimum pour satisfaire les sp´ecifications Amin et k. On a d´ej`a fix´e 2 = 10Amax/10 − 1. Reste `a satisfaire : 20 log10 H j 1 k = −10 log10(1 + 2 /k2n ) ≤ −Amin c.-`a-d. 2 k2n ≥ 10Amin/10 − 1 1 k2n ≥ 10Amin/10 − 1 10Amax/10 − 1 n ≥ 1 2 ln(1/k) ln 10Amin/10 − 1 10Amax/10 − 1 . N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que 1/k ≥ 1 par d´efinition. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/74
  • 43. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Normalisation du param`etre Les tables et logiciels donnent en g´en´eral les filtres de Butterworth pour = 1, ce qui correspond `a Amax = 3.01 dB. D´enotons Hn ces filtres |Hn(jω)| = 1 √ 1 + ω2n . On voit donc que pour obtenir un filtre de Butterworth d’order n avec d´esir´e, il suffit de prendre H(jω) = Hn(jω 1/n ) = 1 √ 1 + 2ω2n ou H(s) = Hn(s 1/n ). Le point de demi-puissance (att´enuation Amax de ≈ 3 dB) pour Hn est `a 1 rad/s, et pour H il est `a ω∗ telle que ω2n ∗ 2 = 1, c.-`a-d. ω∗ = −1/n . Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/74
  • 44. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Approximation de Butterworth : r´esum´e Pour obtenir une approximation de Butterworth du passe-bas normalis´e, avec sp´ecifications Amin (en dB), Amax (en dB) et 1/k (en rad/s) : 1. Prendre = 10Amax/10 − 1. 2. Prendre n le plus petit tel que n ≥ 1 2 ln(1/k) ln 10Amin/10 − 1 10Amax/10 − 1 . 3. Si on a une table donnant Hn(s) normalis´e pour = 1, alors prendre la fonction de transfert H(s) = Hn(s 1/n ). On va voir que H(s) peut en fait aussi se retrouver analytiquement, sans besoin de table. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/74
  • 45. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Exercice Donner l’expression de la fonction de transfert d’un filtre de Butterworth approximant un passe-bas normalis´e, avec une att´enuation maximale de 1 dB `a la fr´equence de coupure de 1 rad/s, et une att´enuation d’au moins 20 dB `a l’octave sup´erieure `a la fr´equence de coupure (c.-`a-d. 1/k = 2). On fournit la liste suivante pour Hn (c.-`a-d. avec = 1) : H1(s) = 1 s + 1 , H2(s) = 1 s2 + √ 2s + 1 , H3(s) = 1 (s + 1)(s2 + s + 1) H4(s) = 1 (s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1) H5(s) = 1 (s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1) H6(s) = 1 (s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.4142s + 1)(s2 + 1.9319s + 1) H7(s) = 1 (s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.2470s + 1)(s2 + 1.8019s + 1) H8(s) = 1 (s2 + 0.3902s + 1)(s2 + 1.1111s + 1)(s2 + 1.6629s + 1)(s2 + 1.9616s + 1) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 45/74
  • 46. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Fonction de transfert et pˆoles d’un filtre de Butterworth Les filtres de Butterworth ont ´et´e d´efinis `a partir de leur gain, qui a une expression particuli`erement simple |H(jω)|2 = 1 1 + 2ω2n Cette expression est suffisante pour calculer les valeurs de et n n´ecessaires pour satisfaire un gabarit {Amax, Amin, k} Mais pour la d´enormalisation du filtre par exemple, l’expression de la fonction de transfert H(s) est n´ecessaire On peut l’obtenir `a partir de tables ou de logiciels. A d´efaut, on peut la retrouver directement `a partir de la position des n pˆoles du filtre. H(s) = 1 (s − p1)(s − p2) . . . (s − pn) Un filtre de Butterworth n’a pas de z´eros (n z´eros `a l’infini). Ses pˆoles pi sont r´epartis r´eguli`erement sur le cercle de rayon −1/n, `a gauche du plan s (car stable) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/74
  • 47. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Pˆoles d’un filtre de Butterworth [Sedra and Smith] Passe-bas avec ωp g´en´eral Cas n = 2, 3, 4 Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 47/74
  • 48. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Pˆoles d’un filtre de Butterworth (calcul) Pour le filtre de Butterworth et = 1, on a Hn(s) = 1 n k=1 (s−pk ) |Hn(jω)|2 = Hn(jω)Hn(jω)∗ = Hn(jω)Hn(−jω) = 1 1 + ω2n . Avec s = jω, si on factorise (p1, . . . pn pˆoles stables du filtre, `a d´eterminer) 1 Hn(s)Hn(−s) = n i=1 (s − pi ) n i=1 (−s − pi ) = n i=1 (p2 i − s2 ) = (s/j)2n + 1 = (−s2 )n + 1. Les racines de cette derni`ere expression sont −s2 = e(j(2k+1)π)/n , k = 0, . . . , n − 1 Donc les pˆoles de Hn v´erifient p2 i = −e(j(2k+1)π)/n ⇒ pi ∈ {±e(j(2k+1+n)π)/2n , k = 0, . . . , n − 1}. Finalement, en ne prenant que les solutions stables pk = e(j(2k+1+n)π)/2n , k = 0, . . . , n − 1. Ces pˆoles sont sur le cercle unitaire (et symm. par rapport `a l’axe des r´eels). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 48/74
  • 49. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Exemple : fonction de transfert d’un filtre de Butterworth Ex 1 : pour n = 2, montrer H2(s) = 1 s2 + √ 2s + 1 Ex 2 : pour n = 9 p1 = (− cos 80◦ + j sin 80◦ ) p9 = ¯p1 = (− cos 80◦ − j sin 80◦ ) ⇒ (s − p1)(s − p9) = (s2 + 0.3472s + 1) Idem pour les autres paires de pˆoles ⇒ expression de H9(s) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 49/74
  • 50. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 50/74
  • 51. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Filtres de Tchebychev (Type I) La monotonicit´e et la platitude des filtres de Butterworth sont obtenus au prix d’une plage de transition relativement grande. Un filtre de Tchebychev permet d’obtenir une plage de transition plus ´etroite pour un mˆeme ordre n → r´eduit la complexit´e et le coˆut d’impl´ementation. En contrepartie, on a des oscillations dans la bande passante Magnitude de la r´eponse |H(jω)| = 1 1 + 2T2 n (ω) , c.-`a-d. |H(jω)|2 = 1 1 + 2T2 n (ω) o`u Tn(ω) est le polynˆome de Tchebychev d’ordre n Tn(ω) = cos(n cos−1 (ω)), ω ≤ 1 cosh(n cosh−1 (ω)), ω > 1. d´etermin´e par Amax comme pour Butterworth (car Tn(1) = 1) Tn(1) = 1 ⇒ = 10Amax/10 − 1. Asymptote −20n dB/dec, comme pour Butterworth. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 51/74
  • 52. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev R´eponses des filtres de Tchebychev ( = 1 ou Amax = 3.01 dB) 10 −1 10 0 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 ω (rad/s) |H(jω)|(dB) n=1 n=2 n=3 n=4 Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 52/74
  • 53. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Polynˆomes de Tchebychev On peut montrer les fait suivants Premiers polynˆomes de Tchebychev : T0(ω) = 1, T1(ω) = ω, T2(ω) = 2ω2 − 1 T3(ω) = 4ω3 − 3ω, T4(ω) = 8ω4 − 8ω2 + 1. Relation r´ecursive : Tn+1(ω) = 2ωTn(ω) − Tn−1(ω), n ≥ 1. Pour tout n, 0 ≤ |Tn(ω)| ≤ 1 pour 0 ≤ |ω| ≤ 1 et |Tn(ω)| > 1 pour |ω| ≥ 1. Tn est une fonction croissante monotone pour ω ≥ 1 et pour tout n. Tn est une fonction impaire (paire) si n est impair (pair). Magnitude `a ω = 0 : |Tn(0)| = 0, n impair 1, n pair . Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 53/74
  • 54. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Oscillations dans la bande passante Un filtre de Tchebychev (de type I) pr´esente des oscillations dans la bande passante, entre −Amax dB et 0 dB (equi-ondulations). Il est monotone dans la bande d’arrˆet. n points de d´eriv´ee nulle (pic d’ondulation) dans la bande passante pour un filtre d’ordre n. Puisque T2 n (0) = cos2 (nπ/2), on a |H(0)| = 1, pour n impair −Amax , pour n pair. Ainsi pour n pair, le gain du filtre part de −Amax pour ω = 0 → il faut ajuster le num´erateur (fournir un gain suppl´ementaire) si l’on veut un gain statique de 1 pour n pair. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 54/74
  • 55. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev D´etermination de l’ordre n On prend le n minimum pour satisfaire les sp´ecifications Amin et k. On a d´ej`a fix´e 2 = 10Amax/10 − 1. Reste `a satisfaire : 20 log10 H j 1 k = −10 log10(1 + 2 T2 n (1/k)) ≤ −Amin c.-`a-d. T2 n (1/k) = cosh(n cosh−1 (1/k)) ≥ 10Amin/10 − 1 10Amax/10 − 1 n ≥ 1 cosh−1 (1/k) cosh−1   10Amin/10 − 1 10Amax/10 − 1   . N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que 1/k ≥ 1 par d´efinition. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 55/74
  • 56. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Exemple de table de filtres de Tchebychev A la diff´erence de Butterworth, les tables donnes les coefficients des filtres de Tchebychev pour diverses valeurs de Amax (ex : 0.1 dB ou 1 dB d’ondulation - “ripple”). Pour des valeurs moins standard, on utilisera un logiciel (ex : Matlab cheb1ap(n,Amax)). ELE2611 – Circuits Actifs Cours 2 – Filtrage – Approximations normalisées Approximation de Chebychev – tables n Chebyshev 2 0 dBn Chebyshev 0 5 dB n Chebyshev 2.0 dB 1 (s + 1.307560 ) 2 (s2 + 0.803816 s + 0.823060 ) 3 (s2 + 0.368911 s + 0.886095 )(s + 0.368911 ) 4 (s2 + 0.209775 s + 0.928675 )(s2 + 0.506440 s + 0.221568 ) 5 (s2 + 0.134922 s + 0.952167 )(s2 + 0.353230 s + 0.393150 )(s + 0.218308 ) n Chebyshev 0.5 dB 1 (s + 2.862775 ) 2 (s2 + 1.425625 s + 1.516203 ) 3 (s2 + 0.626456 s + 1.142448 )(s + 0.626456 ) 4 (s2 + 0.350706 s + 1.063519 )(s2 + 0.846680 s + 0.356412 ) 5 (s2 + 0.223926 s + 1.035784 )(s2 + 0.586245 s + 0.476767 )(s + 0.362320 ) n Chebyshev 2.5 dB 1 (s + 1.133528 ) 2 (s2 + 0.715251 s + 0.755792 ) 3 (s2 + 0.329949 s + 0.858866 )(s + 0.329949 ) 4 (s2 + 0.187960 s + 0.913864 )(s2 + 0.453777 s + 0.206757 ) 5 (s2 + 0.120994 s + 0.942835 )(s2 + 0.316766 s + 0.383818 )(s + 0.195772 ) n Chebyshev 1.0 dB 1 (s + 1.965227 ) 2 (s2 + 1.097734 s + 1.102510 ) 3 (s2 + 0.494171 s + 0.994205 )(s + 0.494171 ) 4 (s2 + 0.279072 s + 0.986505 )(s2 + 0.673739 s + 0.279398 ) 5 (s2 + 0.178917 s + 0.988315 )(s2 + 0.468410 s + 0.429298 )(s + 0.289493 ) n Chebyshev 3.0 dB 1 (s + 1.002377 ) 2 (s2 + 0.644900 s + 0.707948 ) 3 (s2 + 0.298620 s + 0.839174 )(s + 0.298620 ) 4 (s2 + 0.170341 s + 0.903087 )(s2 + 0.411239 s + 0.195980 ) 2 2 n Chebyshev 1.5 dB 1 (s + 1.556927 ) 2 (s2 + 0.922177 s + 0.925206 ) 3 (s2 + 0.420112 s + 0.926494 )(s + 0.420112 ) 4 (s2 + 0.238261 s + 0.950463 )(s2 + 0.575214 s + 0.243356 ) 2 2 5 (s2 + 0.109720 s + 0.936025 )(s2 + 0.287250 s + 0.377009 )(s + 0.177530 )5 (s2 + 0.153056 s + 0.965839 )(s2 + 0.400707 s + 0.406822 )(s + 0.247650 ) Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 56/74
  • 57. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Exercice A l’aide de la table pr´ec´edente, donner l’expression de la fonction de transfert d’un filtre de Tchebychev approximant un passe-bas normalis´e, avec une att´enuation maximale de 1 dB dans la bande passante, et une att´enuation d’au moins 30 dB `a l’octave sup´erieure `a la fr´equence de coupure (c.-`a-d. 1/k = 2). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 57/74
  • 58. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Pˆoles et fonction de transfert d’un filtre de Tchebychev Comme pour les filtres de Butterworth, les filtres de Tchebychev n’ont pas de z´eros, et leurs pˆoles ont une expression connue Pour un filtre d’ordre n pk = − sin (αk,n) sinh(βn) + j cos (αk,n) cosh(βn), k = 1, . . . , n avec αk,n = 2k − 1 n π 2 , βn = sinh−1 (1/ ) n Ces pˆoles sont dispos´es sur une ellipse dans le plan s (dont les axes sont ceux des r´eels et des imaginaires) au lieu d’un cercle On a H(s) = 1 2n−1(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn) Ce qui importe ici ou dans les tables, c’est la forme du polynˆome au d´enominateur. On ajustera ensuite le gain statique en calculant la valeur pour s = 0. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 58/74
  • 59. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Tchebychev Exercice (reprise) Donner l’expression de la fonction de transfert d’un filtre de Tchebychev approximant un passe-bas normalis´e, avec une att´enuation maximale de 1 dB dans la bande passante, et une att´enuation d’au moins 30 dB `a l’octave sup´erieure `a la fr´equence de coupure (c.-`a-d. 1/k = 2). On fournit la table des pˆoles des filtres de Tchebychev ci-contre (tir´ee de Williams et Taylor, “Electronic Filter Design Handbook”). Attention, ces positions sont dilat´ees par rapport `a celles du transparent 56 (diff´erente normalisation du gain statique). Voir aussi http://www.analog. com/static/imported-files/ tutorials/MT-206.pdf NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES TABLE 11-26 1-dB Chebyshev Pole Locations NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 59/74
  • 60. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Autres approximations Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 60/74
  • 61. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Autres approximations Filtres elliptiques (ou de Cauer) Les filtres de Butterworth et Tchebychev peuvent ˆetre con¸cus enti`erement `a la main. Leur performance est suffisante pour des application simples. Les filtres elliptiques (Cauer, 1931) ont une transition encore plus rapide que les filtres de Tchebychev, au prix d’introduire des oscillations `a la fois dans la bande passante et dans la bande d’arrˆet (oscillations de mˆeme magnitude). A la diff´erence de Butterworth et Tchebychev, ces filtres ont des z´eros finis. Leur placement dans la bande d’arrˆet est li´e aux fonctions dites elliptiques. Ces filtres sont de la forme |H(jω)| = 1 1 + 2R2 n (ω) , avec Rn une certaine fonction rationnelle d´ependant de n 2 param`etres. Le choix de ces param`etres et de n, pour satisfaire Amin, Amax, k se fait g´en´eralement `a l’aide d’un logiciel ou d’une table Exemple : fonction Matlab ellipap(n,Amax,Amin). On augmente n jusqu’`a satisfaire le k voulu. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 61/74
  • 62. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Autres approximations Illustration d’un filtres elliptique 10 −1 10 0 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 ω (rad/s) |H(jω)|(dB) n=5 Filtre elliptique avec Amax = 2 dB, Amin = 10 dB et n = 5. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 62/74
  • 63. Introduction Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Autres approximations Autres approximations Il existe bien d’autres types de filtres utilisables pour approximer le passe-bas normalis´e id´eal : Tchebychev type II (oscillations dans la bande d’arrˆet), Gaussien, Legendre, etc. D’autre part des techniques modernes d’optimisation peuvent ˆetre employ´ees pour synth´etiser des approximations rationnelles avec diverses caract´eristiques d´esir´ees, ind´ependamment de ces formes classiques de filtres. Le probl`eme se complique aussi si on veut synth´etiser une fonction de d´ephasage d´esir´ee en plus d’une fonction de magnitude. Les filtres elliptiques par exemple peuvent tr`es bien approximer l’amplitude du passe-bas normalis´e id´eal. Toutefois jusqu’ici nous n’avons pas ´etudi´e la phase de nos filtres, ni l’impact de celle-ci sur les signaux d’entr´ee. C’est l’objet de la prochaine section, qui introduira encore d’autres types de filtres. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 63/74
  • 64. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Plan pour ce cours Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres Normalisation de gabarit et d´enormalisation de fonction de transfert Passe-bas normalis´e D´enormalisation Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalis´e id´eal Filtres de Butterworth Filtres de Tchebychev Autres approximations Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Filtres de Bessel Filtres passe-tout Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 64/74
  • 65. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Temps de propagation de groupe Jusqu’ici nous avons seulement discut´e l’effet de l’amplitude de la r´eponse en fr´equence d’un filtre H(s). L’autre composant est le d´ecalage de phase (en g´en´eral n´egatif), que nous d´enoterons ici φ(ω) = ∠H(jω). On d´efinit le temps de propagation de groupe (ou d´elai de groupe) par τ(ω) = − dφ(ω) dω . C’est la pente de la fonction −φ(ω), et une mesure de la non-lin´earit´e de φ(ω). Vous avez vu par les propri´et´es des transform´ees de Laplace qu’un d´elai pur de t0 (c.-`a-d. un syst`eme y(t) = u(t − t0)) correspond `a la fonction de transfert e−st0 (revoir la preuve), et donc au d´ecalage de phase φ(ω) = −ωt0. Ainsi, pour le d´elai pur, le temps de propagation de groupe est τ(ω) = t0, ind´ependant de ω. Pour un d´elai pur, toutes les composantes fr´equentielles du signal d’entr´ee sont retard´ees de la mˆeme fa¸con. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 65/74
  • 66. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Point de vue de l’analyse de Fourier La composante Vi (jω)ejωt du signal d’entr´ee devient en sortie Vi (jω)|H(jω)|ejωt+jφ(ω) = Vi (jω)|H(jω)|ejω(t−D(ω)) avec D(ω) = − φ(ω) ω appel´e le d´elai de phase. Le d´elai de phase s’interpr`ete comme un d´elai subit par une composante fr´equentielle unique, mais n’est pas bien adapt´e `a la conception. On lui pr´ef´erera l’utilisation du d´elai de groupe. Dans le cas d’un d´elai pur, on a dans les deux cas D(ω) = τ(ω) = t0. Intuitivement, on interpr´etera aussi τ(ω) comme un d´elai subit par la composante `a la fr´equence ω du signal d’entr´ee lors de son passage dans le syst`eme. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 66/74
  • 67. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Temps de propagation de groupe Distorsion due `a la non-lin´eairit´e de phase En g´en´eral, un d´elai de propagation dans le syst`eme constant est acceptable, mais un d´elai τ(ω) d´ependant de ω est souvent probl´ematique car il cr´ee de la distorsion dans le signal. Par ex., pour un filtre dont la phase est celle ci-dessous, les composantes `a hautes fr´equences du signal d’entr´ee sortent du syst`eme plus rapidement que celles `a basses fr´equences (τ(ω) plus petit pour ω grand). (!) ! Ainsi, on veut souvent concevoir des filtres dont la phase φ(ω) est la plus lin´eaire possible dans la bande passante, c.-`a-d. τ(ω) le plus constant possible. pas toujours, p. ex. filtre pour la compensation de phase. La fonction de transfert e−st0 du d´elai pur n’est malheureusement pas r´ealisable exactement par un circuit (`a param`etres concentr´es), car pas rationnelle. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 67/74
  • 68. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres de Bessel Distorsion due a la nonlinearit´e de phase (exemple) Filtre passe-tout Signal carré = somme de sinusoïdes à différentes fréquences | H(jω) | = 1 sortie (en jaune) n’est pas carrée à cause des délais différents des composantes Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 68/74
  • 69. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres de Bessel Temps de propagation de groupe des filtres 10 −1 10 0 −450 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 ω (rad/s) φ(ω) Butterworth Tchebyshev Elliptique Bessel 10 −1 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 ω (rad/s) τ(ω) Butterworth Tchebyshev Elliptique Bessel (ordre n = 5 pour tous les filtres) Les filtres de Bessel, que nous introduisons ensuite, on un temps de propagation de groupe “optimalement plat”. Par contre, vous pourrez v´erifier que leur transition en amplitude est encore moins rapide que les filtres de Butterworth. En g´en´eral, plus un filtre a une transition rapide en amplitude, plus sa phase est nonlin´eaire. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 69/74
  • 70. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres de Bessel Filtres de Bessel Le filtre de Bessel d’ordre n est de la forme Hn(s) = Bn(0) Bn(s) , o`u Bn est le polynˆome de Bessel d’ordre n, qu’on peut obtenir par r´ecursion B1(s) = s + 1, B2(s) = s2 + 3s + 3 Bn(s) = (2n − 1)Bn−1(s) + s2 Bn−2(s). Plus n augmente, plus la bande de fr´equence sur laquelle τ(ω) est constant est large. Pour ce Hn, on a τ(0) = 1. Pour avoir τ(0) = t0, on peut utiliser Hn(s t0). Il est aussi possible de concevoir des filtres faisant un compromis entre la meilleure transition des filtres de Butterworth, et le meilleure comportement en phase des filtres de Bessel, en placant les pˆoles au milieu de ceux de ces deux filtres. Un autre avantage d’avoir un temps de propagation de groupe quasiment constant est que cela correspond normalement `a une r´eponse temporelle du filtre (ex : `a un ´echelon) avec moins de d´epassement (overshoot). Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 70/74
  • 71. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres passe-tout Filtres passe-tout ´egaliseurs On peut aussi essayer de corriger les distortions dues `a un d´elai de groupe non constant (surtout pr`es des bords de la bande passante) en utilisant un ´egaliseur de d´elai (“delay equalizer”), typiquement un filtre passe-tout. Une fonction de transfert passe-tout a la forme H(s) = p(−s) p(s) , avec p polynˆome (`a coefficients r´eels) stable. En particulier |H(jω)| = 1 et φ(ω) = −2∠p(jω) (exercice, noter p(−jω) = p(jω)). Exemple : H(s) = −s + a s + a → φ(ω) = 2 tan−1 ω a , τ(ω) = 2/a 1 + (ω/a)2 . Ce filtre rajoute un plus grand d´elai aux basses fr´equences (limω→∞ τ(ω) = 0) Ainsi en mettant un passe-tout en cascade avec les filtres pr´ec´edents, l’amplitude reste inchang´ee et le polynˆome p peut ˆetre utilis´e pour compenser les nonlin´earit´es de phase. Augmenter le degr´e de p donne plus de degr´es de libert´es pour cette compensation. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 71/74
  • 72. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres passe-tout Conclusion Nous avons discut´e comment d´eterminer la fonction de transfert de filtres permettant de respecter certaines sp´ecifications standard (type de filtre, att´enuation, plage de transition, etc.). Une strat´egie consiste `a d’abord ramener le probl`eme de conception `a celui d’un filtre approximant le passe-bas normalis´e, qu’on r´esout `a l’aide d’un filtre prototype classique (Butterworth, Tchebychev, etc.) A partir de la fonction de transfert obtenue pour le passe-bas, on a alors deux possibilit´es : Transformer (d´enormaliser) la fonction de transfert, pour obtenir celle du filtre d´esir´e. La fonction de transfert g´en´erale r´esultante est alors typiquement r´ealis´ee par un circuit actif (apr`es factorisation), suivant une approche que l’on discutera au prochain cours (synth`ese en cascade). Partir d’un prototype de circuit r´ealisant le passe-bas, g´en´eralement passif, et r´ealiser une transformation (d´enormalisation) du circuit pour obtenir directement le circuit du type voulu. Nous verrons aussi cette approche dans un prochain cours (synth`ese globale). Si besoin, on peut `a la fin simuler les bobines du circuit passif obtenu par des ´el´ements actifs. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 72/74
  • 73. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres passe-tout Note sur la pr´ecision des calculs Lorsque vous effectuez les calculs interm´ediaires n´ecessaires pour obtenir la fonction de transfert d’un filtre (p. ex. d´enormalisation), il est en g´en´eral n´ecessaire de garder un grand nombre de chiffres significatifs. Exemple : on peut avoir `a calculer une diff´erence comme 1.324495 − 1.323122 = 0.001373, et ne garder que 3 chiffres significatifs dans les termes de la diff´erence donne 0 au lieu de 1.373 × 10−2 , ce qui peut s’av´erer catastrophique. Cela n’a rien `a voir avec le fait que les ´el´ements physiques utilis´es pour la r´ealisation de la fonction de transfert finale ont des tol´erances comparativement ´elev´ees. Ici, il ne s’agit que du mauvais conditionnement typique des calculs num´eriques (interm´ediaires) en conception de filtre. Ce qui importe, c’est d’obtenir pour chaque coefficient de la fonction de transfert finale un nombre suffisant de chiffres significatifs. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 73/74
  • 74. Introduction Distorsion due `a la non-lin´earit´e de phase des filtres Filtres passe-tout Quelques r´ef´erences H. Y.-F. Lam, “Analog and Digital Filters : Design and Realization”, chapitre 8. S. Franco, “Design with operational amplifiers and analog integrated circuits”, 3`eme ´edition, chapitre 4. A. S. Sedra, K. C. Smith, “Microelectronic Circuits”, 6`eme ´edition, chapitre 16. R. Schaumann, H. Xiao, M. E. Van Valkenburg, “Design of Analog Filters”, 2`eme ´edition. Version du 24 aoˆut 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 74/74