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Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 2 - Compl´ements sur les circuits dynamiques lin´eaires
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/35
Introduction
Plan pour ce cours
Repr´esentations des quadripˆoles
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Plan pour ce cours
Repr´esentations des quadripˆoles
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Repr´esentations d’un dipˆole
I Pour un dipˆole lin´eaire et stationnaire, on a 2 repr´esentations (Notation :
Z(s) : imp´edance (op´erationnelle), Y (s) : admittance (op´erationnelle))
V (s) = Z(s)I(s) + Vco(s) (Th´eor`eme de Th´evenin)
ou I(s) = Y (s)V (s) + Icc (s) (Th´eor`eme de Norton)
avec Z(s) =
1
Y (s)
✓
N.B. : Z(s) fn rationnelle r´eelle. Z(s) =
Vco(s)
Icc (s)
◆
=
+
Z(s)
reste du
circuitVco(s)
I(s)
+
-
V(s)
reste du
circuit
I(s)
+
-
V(s)
Y(s)
Icc(s)
Equivalent Thévenin
(I variable indépendante)
Equivalent Norton
(V variable indépendante)
Dipôle linéaire
et stationnaire
Dipôle linéaire
et stationnaire
I En particulier, si le dipˆole ne contient pas de source ind´ependante, on a les
deux repr´esentations suivante, selon que l’on choisi la variable i our v
comme ind´ependante (i.e., “excitatrice”, `a droite de l’´equation)
V (s) = Z(s)I(s) ou I(s) = Y (s)V (s)
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Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Repr´esentations d’un quadripˆole
i1
i1
i2
i2
+ +
- -
v1 v2
Port
1
Port
2
i1
i1
i2
i2
+ +
- -
v1 v2
Ex: transistor bipolaireun quadripôle
I Pour un quadripˆole, on a 4 variables V1, I1, V2, I2. Deux peuvent ˆetre
choisies comme ind´ependantes, deux d´ependantes, ce qui donne 4
2
= 6
repr´esentations possibles
I Bien que l’on puisse ´ecrire un ´equivalent des th´eor`emes de Th´evenin ou
Norton, on rencontrera seulement des quadripˆoles ne contenant pas de
source ind´ependante : filtres, convertisseurs d’imp´edance, inductances
mutuelles, transistors, . . . Les quadripˆoles actifs peuvent toutefois avoir des
sources d´ependantes (dues aux AO, transistors, . . . )
I N.B. : En fait, on ne perd pas en g´en´eralit´e car on peut toujours “sortir”
les sources ind´ependantes du quadripˆole
I N.B. : Il y a des quadripˆoles pour lesquels certains choix de variables
ind´ependantes ne sont pas admissibles
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Repr´esentations d’un dipˆole (suite)
I Les 6 repr´esentations des quadripˆoles sans source d´ependante sont
V(s) = Z(s)I(s) (I1, I2 var. ind., )

V1
V2
=

z11 z12
z21 z22

I1
I2
Z(s) : matrice d’imp´edance

V1
I2
=

h11 h12
h21 h22

I1
V2
H(s) : param`etres hybrides

V1
I1
=

A B
C D

V2
I2
T(s) : Param`etres ABCD,
de ligne, ou de transfert
I(s) = Y (s)V(s) (V1, V2 var. ind., )

I1
I2
=

y11 y12
y21 y22

V1
V2
Y (s) : matrice d’admittance

I1
V2
=

g11 g12
g21 g22

V1
I2
G(s) : param`etres hybrides 2

V2
I2
=

E F
G H

V1
I1
T’(s) : matrice de transfert
I Le choix d’une repr´esentation se fait en fonction du probl`eme `a r´esoudre
I N.B. : Repr´esentation la plus g´en´erale : MV + NI = 0
I En micro-ondes, on utilise plutˆot les param`etres de dispersion (scattering)
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Circuits ´equivalents des quadripˆoles
I Les param`etres pr´ec´edents correspondent directement `a di↵´erents circuits
´equivalents repr´esentant un quadripˆole
I Exemples :
z22
z21 I1=
+
+
-
V1
I1
z11
=
+
z12 I2
+
-
V2
I2
Paramètres z (impédances de circuit ouvert)
+
-
V1
I1
y11
y12 V2
y21 V1
y22
I2
+
-
V2
Paramètres y (admittances de court-circuit)
+
-
V1
I1
h11
=
+
h12 V2
h21 I1
h22
I2
+
-
V2
Paramètres h
+
-
V1
I1
g11
g12 I2
g22
g21 V1=
+
+
-
V2
I2
Paramètres g
I Ex : lien mod`ele amplificateur de tension (cours 1) et param`etres z ?
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Calcul des param`etres
I Calcul des param`etres en activant une variable ind´ependante `a la fois

V1
I1
=

A B
C D

V2
I2
) V1 = AV2 BI2
)A =
V1
V2
|I2=0 (circuit ouvert),
B =
V1
I2
|V2=0 (court circuit),
C =
I1
V2
|I2=0, D =
I1
I2
|V2=0
) A =
ZL + ZC
ZC
= 1 + LCs2
, B = Ls,
C = Cs, D = 1.
Exemple
L
C
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
I Une fois les param`etres d’une repr´esentation obtenus, il existe des formules
permettant de passer d’une repr´esentation `a l’autre
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Conversion entre les param`etres
[Svoboda et Dorf, chapitre 17]
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Application : param`etres hybrides d’un transistor bipolaire
+
-
V1
I1
hie
=
+
hre V2
hfe I1
hoe
I2
+
-
V2
I1 I2
+
-
V2
+
-
V1
h11 = hie =
V1
I1
|V2=0 : imp´edance d’entr´ee (de court-circuit)
h12 = hre =
V1
V2
|I2=0 : rapport inverse de tension
h21 = hfe =
I2
I1
|V2=0 : gain de courant
h22 = hoe =
I2
V2
|I1=0 : admittance de sortie (de circuit ouvert)
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
R´eciprocit´e
quadripôle
réciproque
=
+
+
-
Ve
quadripôle
réciproque
=
+
+
-
Is Is
Ve
I Un quadripˆole est r´eciproque si le courant de court-circuit au port 2
r´esultant de la pr´esence d’une source de tension id´eale au port 1 est le
mˆeme que le courant pr´esent au port 1 si la source est plac´ee au port 2
I Echanger sources de tensions par sources de courant et amp`erem`etre par
voltm`etre (circuit ouvert) donne une d´efinite ´equivalente
I Th´eor`eme de r´eciprocit´e : un quadripˆole ne contenant que des r´esistances,
condensateurs, bobines, bobines coupl´ees, et transformateurs id´eaux (les
deux derniers types d’´el´ements seront introduits dans ELE2611) est
r´eciproque
I N.B. : ce n’est valable que pour la r´eponse avec conditions initialles nulles,
ou bien la r´eponse en r´egime permanent sinuso¨ıdal
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Param`etres d’un quadripˆole r´eciproque
I Reformulation ´equivalente de la r´eciprocit´e
y21 = y12
✓
car y21 =
I2
V1
|V2=0, y12 =
I1
V2
|V1=0
◆
I Propri´et´es ´equivalentes pour les autres repr´esentations (ex : utiliser la table
du transparent 9, ou par calcul direct)
z21 = z12,
h12 = h21, g12 = g21,
det(T) = det(T0
) = 1
I Ainsi, par le th´eor`eme de r´eciprocit´e, ces contraintes sont donc v´erifi´ees
par exemple par les param`etres d’un filtre passif R, L, C
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Expression de l’imp´edance d’entr´ee
ZL
+
-
IE
VE
+
-
V2
I2
I A partir de certains param`etres, on peut exprimer facilement l’imp´edance
d’entr´ee

VE
V2
=

z11 z12
z21 z22

IE
I2
, et V2 = ZLI2 ) ZE =
VE
IE
= z11
z12z21
z22 + ZL
ou encore

VE
IE
=

A B
C D

V2
I2
, et V2 = ZLI2 ) ZE =
VE
IE
=
AZL + B
CZL + D
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Expression de l’imp´edance de sortie
ZG
+
-
VS
IS
+
-
V1
I1
I A partir de certains param`etres, on peut exprimer facilement l’imp´edance
de sortie

V1
VS
=

z11 z12
z21 z22

I1
IS
, et V1 = ZG I1 ) ZS =
VS
IS
= z22
z12z21
z11 + ZG
ou encore

V1
I1
=

A B
C D

VS
IS
, et V1 = ZG I1 ) ZS =
VS
IS
=
DZG + B
CZG + A
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/35
Introduction
Repr´esentations des quadripˆoles
Matrices de transfert et quadripˆoles en cascade
T'1 T'2
+
-
V1
I1
I2
+
-
V2
+
-
V3
I3
+
-
V4
I4

V2
I2
= T0
1

V1
I1
,

V4
I4
= T0
2

V3
I3
= T0
2

V2
I2
= T0
2T0
1

V1
I1
I Les matrices de transfert T0
permettent de calculer rapidement le dipˆole
´equivalent `a plusieurs dipˆoles mis en cascade, par produit de matrices
I Lors d’une mise en cascade du quadripˆole T0
1 puis T0
2, le quadripˆole
r´esultant a pour matrice de transfert T0
= T0
2T0
1
I Attention `a l’ordre de la multiplication : on applique T0
1 d’abord, comme
pour la composition de fonctions
I N.B. : cette propri´et´e justifie l’utilisation de I comme variable
ind´ependante dans la repr´esentation par matrice de transfert
I En conclusion, di↵´erents types de param`etres ont donc di↵´erentes utilit´es
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Plan pour ce cours
Repr´esentations des quadripˆoles
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Principe de l’analyse
I Le mod`ele id´eal de l’A.O. suppose une bande passante infinie, i.e., le
mod`ele statique du cours 1 est valide quelle que soit la fr´equence (en
r´ealit´e, le gain en boucle ouverte des A.O. commence rapidement `a
d´ecroitre avec la fr´equence, voir cours 6)
I Ainsi, la technique d’analyse bas´ee sur le court-circuit virtuel vue au cours
1 est inchang´ee pour les circuits dynamiques lin´eaires et stationnaires, en
rempla¸cant la notion de r´esistance par celle d’imp´edance (op´erationnelle)
I Exemple : par la mˆeme analyse que pour l’amplificateur inverseur, on
obtient la fonction de transfert du circuit suivant
-
+
=
+ Vo(s)
Z2(s)
Z1(s)
Vi(s)
LKC :
Vi
Z1
=
Vo
Z2
)
Vo(s)
Vi (s)
=
Z2(s)
Z1(s)
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Exemple : Int´egrateur et D´erivateur
I Une application imm´ediate du montage pr´ec´edent donne deux circuits de
base (donc `a savoir reconnaitre imm´ediatement)
I En changeant la r´esistance de r´etroaction de l’amplificateur inverseur par
un condensateur, on obtient un int´egrateur (inverseur)
-
+
=
+vi
vo
C
R
Vo(s)
Vi (s)
=
1
RCs
! int´egrateur
I En rempla¸cant `a la place la r´esistance d’entr´ee, on obtient un d´erivateur
(inverseur)
-
+
=
+vi
vo
C
R
Vo(s)
Vi (s)
= RCs ! d´erivateur
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
R´ealisations de syst`emes du premier ordre
=
+
C
R
vE -
+
=
+Vi Vo
R1
R2
C
I Circuit RC :
⌧ = RC,
VR
VE
=
s⌧
1 + s⌧
,
VC
VE
=
1
1 + s⌧
I Rappel : condensateur 1
jC!
! ouvert `a DC (! = 0), court-circuit pour
! ! 1 ) anticiper la nature passe-bas ou passe-haut
I Passe-bas actif (inverseur, avec gain) :
Vo
Vi
=
R2 k 1
Cs
R1
=
R2
R1
1
1 + R2Cs
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Exemple : Gyrateur et simulation de bobine
G
+
-
v2
+
-
v1
i1 i2 I Un gyrateur est un quadripˆole dont la
matrice d’admittance est la suivante

i1
i2
=

0 G
G 0

v1
v2
I Un gyrateur agit comme un inverseur d’imp´edance. En branchant une
imp´edance Z2 au port 2, l’imp´edance vue depuis le port 1 est
Z1 =
V1
I1
=
i2/G
GV2
=
1
G2
I2
V2
=
1
G2Z2
.
I Application : les bobines posent probl`emes en fabrication de circuits
´electroniques (taille, facteur de qualit´e) ! si possible on les simule (au
moins `a fr´equences pas trop ´elev´ees). Un gyrateur de conductance de
gyration G = 1/R et un condensateur Cs branch´e au port 2 donnent une
bobine Ls = R2
Cs vue par le port 1
I Possilit´e de r´ealiser des inductances L = R2C ´elev´ees
I Une classe de filtres actifs consiste `a simuler les bobines des filtres passifs
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
R´ealisation d’un gyrateur
I Exercice : montrer que le circuit suivant impl´emente un gyrateur (les AO
sont suppos´es id´eaux)
+
-
-
+
R RR1 R1
R1
R1
R
+
-
v1
+
-
v2
I N.B. : cette r´ealisation a deux terminaux mis `a la terre ! ne permet de
simuler que des inductances avec une borne mise `a la terre, pas flottante.
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/35
Introduction
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Limites de cette analyse
I La m´ethode d’analyse pr´esent´ee dans les diapositives pr´ec´edentes suppose
donc le mˆeme mod`ele d’amplificateur op´erationnel dont le gain est infini `a
toutes les fr´equences
I Comme on l’a d´ej`a ´evoqu´e au cours 1, un amplificateur op´erationnel agit
en r´ealit´e comme un passe-bas, avec un gain
A(s) =
!f
s + !0
.
I Il faudra tenir compte de cette fonction de transfert pour des analyses de
circuits impliquants des signaux de fr´equences mˆeme mod´er´ees.
I Ex : pour le montage d´erivateur pr´ec´edent, utiliser ce mod`ele dynamique de
l’AO permet de voir que le gain de la fonction de transfert ne croˆıt pas
ind´efiniment avec la fr´equence
I En d’autres termes, les analyses pr´ec´edentes ne sont valides qu’`a
su samment basse fr´equence (plage de fr´equence variant selon les
caract´eristiques de l’AO utilis´e)
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Plan pour ce cours
Repr´esentations des quadripˆoles
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Rappels sur les nombres complexes
I Forme cart´esienne : z = x + jy (j2
= 1)
I Module : |z| =
p
x2 + y2 =
p
zz⇤
I Argument : z = Arg(z) = atan2(y, x)
I Forme polaire : |z|e jz
I Conjugu´e ou adjoint : z⇤
= x jy = |z|e jz
I Addition/soustraction :
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j(y1 ± y2)
I Multiplication : z1z2 = |z1||z2|ez1+z2
I Division : z1
z2
= |z1|
|z2|
ez1 z2
(z2 6= 0)
I Relation d’Euler :
cos ✓ =
ej✓
+ e j✓
2
, sin ✓ =
ej✓
e j✓
2j
Re[z]
Im[z]
|z|
⦣z
z
x
y
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
R´eponse d’un syst`eme lin´eaire `a une entr´ee sinuso¨ıdale
G(s)
xe(t) = ej t
xs(t) = G(j )ej t
+ xtrans(t)
réponse restante en
régime permanent
excitation sinusoïdale
réponse transitoire
oscillations à la même
fréquence que l'entrée
système
linéaire
stable
0
I G(s) fonction de transfert stable (pˆoles strictement `a gauche du plan s).
I R´eponse `a une entr´ee sinuso¨ıdale (complexe) :
entr´ee : xe (t) = ej!t
$ Xe (s) =
1
s j!
Xs (s) =
G(s)
s j!
=
A
s j!
+ . . .
! A = G(j!) (par d´eveloppement en fractions partielles)
sortie : xs (t) = G(j!)ej!t
+ . . .
I Les termes omis sont des transitoires associ´es aux pˆoles stables de G )
disparaissent en r´egime permanent (quand t ! 1), plus ou moins vite
suivant la position des pˆoles de G
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
R´egime permanent sinuso¨ıdal
G(s)
xe(t) = ej t
xs(t) = G(j )ej t
+ xtrans(t)
réponse restante en
régime permanent
excitation sinusoïdale
réponse transitoire
oscillations à la même
fréquence que l'entrée
système
linéaire
stable
0
G(j!) = |G(j!)|ejG(j!)
, M(!) := |G(j!)|, (!) = G(j!)
I En prenant la partie r´eelle
R´eponse en r´egime permanent sinuso¨ıdal (R.P.S.)
La r´eponse en r´egime permanent du syst`eme lin´eaire G(s) `a xe (t) = X0 cos(!t)
est xs (t) = X0M(!) cos(!t + (!))
I La r´eponse en R.P. est aussi sinusoidale et de mˆeme fr´equence
I L’amplitude est multipli´ee par le gain M(!) = |G(j!)|
I La phase de la sortie est celle de l’entr´ee plus (!) = Arg G(j!) = G(j!)
(g´en´eralement (!)  0)
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Phaseurs
I En R.P.S., fixons la phase d’un signal comme r´ef´erence (phase 0). Par
exemple prenons une source u(t) = U0 cos(!t) (ou u(t) = U0 sin(!t)). Il
est plus simple d’utiliser la notation complexe u(t) = U0ej!t
, puis de
prendre la partie r´eelle (ou imaginaire). En R.P.S., tous les signaux dans le
circuit oscillent `a la mˆeme fr´equence !, et sont de la forme
y(t) = |G(j!)|U0ej(!t+G(j!))
, o`u G est la fonction de transfert u ! y.
I Il est inutile de garder le terme ej!t
qui apparaˆıt dans tous les signaux en
R.P.S. Pour un signal s(t) = Aej(!t+ )
(vecteur tournant `a la fr´equence !
dans le plan complexe), on d´efini son phaseur, le nombre complexe
S = Aej
(autre notation : S = A ),
qui r´esume son amplitude A = |S|, et sa phase (relative `a la r´ef´erence)
= S.
I Ex : si le phaseur d’un signal u(t) est U, alors le phaseur du signal
Y (s) = G(s)U(s) est simplement Y = G(j!)U = |U||G(j!)|ej(U+G(j!))
.
I Les phaseurs d´ependent g´en´eralement de la fr´equence !, on ´ecrira donc
souvent S(j!) ou S(!) pour A(!)ej (!)
.
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Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Utilisation des phaseurs pour les calculs en R.P. sinuso¨ıdal
I R´ecapitulatif : pour un circuit lin´eaire stable excit´e par une entr´ee u(t)
sinuso¨ıdale, la r´eponse y(t) est de la forme
y(t) = ytransitoire (t) + yr.p.(t),
avec yr.p.(t) oscillant `a la mˆeme fr´equence que u. Si on ne s’int´eresse qu’au
r´egime permanent (syst`eme su samment stable ! termes transitoires
disparaissent rapidement), il su t de connaˆıtre le phaseur Y de yr.p.(t).
I Pour le calcul des phaseurs de R.P.S., comme pour l’analyse par la
fonction de transfert avec C.I. nulles, on d´efinit des imp´edances complexes
Z(j!) = V/I pour chaque composant (remplacer juste s par j!)
Z(j ) = 1/jCZ(j ) = R Z(j ) = jL
I Ces imp´edances complexes permettent de calculer les phaseurs (ainsi que
la r´eponse en fr´equence G(j!)) comme s’il s’agissait d’un circuit r´esistif
Y (s) = G(s)U(s) )
Y (j!)
U(j!)
= G(j!) =
Y(j!)ej!t
U(j!)ej!t
) Y(j!) = G(j!)U(j!)
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Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Terminologie pour les imp´edances complexes et op´erationnelles
I Imp´edance Z = Re(Z)
| {z }
r´esistance
+j Im(Z)
| {z }
r´eactance
= R + jX.
I Admittance Y = Z 1
= Re(Y )
| {z }
conductance
+j Im(Y )
| {z }
susceptance
= G + jB.
I Relations :
Y =
1
Z
=
Z⇤
|Z|2
) G =
R
R2 + X2
, B =
X
R2 + X2
Z =
1
Y
=
Y ⇤
|Y |2
) R =
G
G2 + B2
, X =
B
G2 + B2
.
I La terminologie et les notions et th´eor`emes introduits pour les circuits
r´esistifs (r´esistance d’entr´ee, de sortie, th´eor`eme de Th´evenin, Norton,
etc.) se g´en´eralisent aux imp´edances op´erationnelles et complexes. Par
exemple : notions d’imp´edances d’entr´ee et de sortie (qui varie avec la
fr´equence)
I Les imp´edances complexes capturent le changement de comportement
d’un circuit dynamique en fonction de la fr´equence d’excitation
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/35
Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Exemple : Circuit RLC
R
jLω
1/jCω
Vin
Vout
+
-
+
-
10 Ω
j 10 Ω
- j 20 Ω
+
-
+
-
Vout?
20
Vin(t) = 2 cos (1000 t)
ω = 1000 rad/s
R = 10 Ω
L=10 mH
C=50 μF
I Calcul du phaseur Vout (`a ! = 1000 rad/s)
Diviseur de tension : Vout = 2
j20
10 + 10j 20j
=
4j
1 j
= 2
p
2 45
I N.B. : r´eponse en fr´equence
Vout (!)
Vin(!)
=
1/jC!
1/jC! + jL! + R
=
1
LC!2 + jRC! + 1
=
!2
0
!2 + j2⇣!0! + !2
0
, !0 = , 2⇣ =
1
Q
= .
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Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Exemple : Circuit RLC
R
jLω
1/jCω
Vin
Vout
+
-
+
-
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j 10 Ω
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+
-
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1/jC! + jL! + R
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!2
0
!2 + j2⇣!0! + !2
0
, !0 =
1
p
LC
, 2⇣ =
1
Q
= R
r
C
L
.
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Introduction
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Circuit en RPS avec AO id´eal
I La pr´esence d’un AO id´eal ne change pas la m´ethode d’analyse par LKC +
court-circuit virtuel
I On peut utiliser directement les imp´edances complexes pour calculer les
phaseurs
I Exercice :
I calculer le rapport Vo/Vi pour le circuit suivant, d’abord en fonction des
param`etres et de !, puis avec R1 = 1 K⌦, R2 = 10 K⌦, C1 = C2 = 0.1 µF
et ! = 1000 rad/s
I Quelle est l’imp´edance d’entr´ee de ce circuit `a 1000 rad/s pour les valeurs
de composants ci-dessus ?
=
+
-
+R1
C1
R2
C2
vo
vi
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/35
Introduction
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Plan pour ce cours
Repr´esentations des quadripˆoles
Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux
Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal
Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal
Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/35
Introduction
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
R´eponse en fr´equence (rappels de ELE1600A)
I Soit G un syst`eme lin´eaire et stationnaire stable
I {G(j!)}! 0 s’appelle la r´eponse fr´equentielle du syst`eme. C’est G(s) pour
s = j! sur l’axe imaginaire (axe des fr´equences).
I Une entr´ee quelconque xe (t) peut ˆetre d´ecompos´ee en somme de
sinuso¨ıdes par l’analyse de Fourier
xe (t) =
1X
k= 1
ck e j 2⇡
T
kt
(s´erie de Fourier, si xe T-p´eriodique)
xe (t) =
Z 1
1
Xe (j!)e j!t
dt (transform´ee de Fourier, xe quelconque)
I En r´egime permanent, le syst`eme lin´eaire multiplie chaque composante
sinuso¨ıdale par un terme G(j!), d´ependant de la fr´equence.
I C’est ce qui permet le filtrage. Par exemple, on prend G(j!0) = 0 pour
supprimer la composante de fr´equence !0 du signal d’entr´ee xe (t).
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/35
Introduction
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Vision fr´equentielle des syst`emes
[S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd ´edition, p. 108]
Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/35
Introduction
Retour sur la r´eponse fr´equentielle
Diagrammes de Bode et sp´ecification d’une fonction de transfert
I Un diagramme de Bode repr´esente la r´eponse fr´equentielle sur 2 graphes
I un pour |G(j!)| en d´ecibels (|G(j!)|dB := 20 log10 |G(j!)|)
I un pour G(j!), typiquement en degr´es
I Les graphes sont normalement l’un sous l’autre, les axes des abscisses sont
`a l’´echelle logarithmique
I Au terme de ELE1600A, vous devez maˆıtriser le trac´e des diagrammes de
Bode de fonctions de transfert rationnelles quelconques
I En synth`ese de circuit (ex : filtres), on part souvent d’un gabarit
fr´equentiel, i.e, une sp´ecification d’un diagramme de Bode d´esir´e (ex :
pour att´enuer certaines fr´equences), et on doit construire un circuit dont
la fonction de transfert satisfait ce gabarit
I Comme introduction, nous ferons en classe des exercices o`u l’on cherche
une fonction de transfert en partant des donn´ees des asymptotes d’un
diagramme de Bode (quelques exercices de ce type ont d´ej`a ´et´e fait dans
ELE1600A)
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ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéaires

  • 1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 2 - Compl´ements sur les circuits dynamiques lin´eaires Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/35
  • 2. Introduction Plan pour ce cours Repr´esentations des quadripˆoles Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Retour sur la r´eponse fr´equentielle Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/35
  • 3. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Plan pour ce cours Repr´esentations des quadripˆoles Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Retour sur la r´eponse fr´equentielle Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/35
  • 4. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Repr´esentations d’un dipˆole I Pour un dipˆole lin´eaire et stationnaire, on a 2 repr´esentations (Notation : Z(s) : imp´edance (op´erationnelle), Y (s) : admittance (op´erationnelle)) V (s) = Z(s)I(s) + Vco(s) (Th´eor`eme de Th´evenin) ou I(s) = Y (s)V (s) + Icc (s) (Th´eor`eme de Norton) avec Z(s) = 1 Y (s) ✓ N.B. : Z(s) fn rationnelle r´eelle. Z(s) = Vco(s) Icc (s) ◆ = + Z(s) reste du circuitVco(s) I(s) + - V(s) reste du circuit I(s) + - V(s) Y(s) Icc(s) Equivalent Thévenin (I variable indépendante) Equivalent Norton (V variable indépendante) Dipôle linéaire et stationnaire Dipôle linéaire et stationnaire I En particulier, si le dipˆole ne contient pas de source ind´ependante, on a les deux repr´esentations suivante, selon que l’on choisi la variable i our v comme ind´ependante (i.e., “excitatrice”, `a droite de l’´equation) V (s) = Z(s)I(s) ou I(s) = Y (s)V (s) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/35
  • 5. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Repr´esentations d’un quadripˆole i1 i1 i2 i2 + + - - v1 v2 Port 1 Port 2 i1 i1 i2 i2 + + - - v1 v2 Ex: transistor bipolaireun quadripôle I Pour un quadripˆole, on a 4 variables V1, I1, V2, I2. Deux peuvent ˆetre choisies comme ind´ependantes, deux d´ependantes, ce qui donne 4 2 = 6 repr´esentations possibles I Bien que l’on puisse ´ecrire un ´equivalent des th´eor`emes de Th´evenin ou Norton, on rencontrera seulement des quadripˆoles ne contenant pas de source ind´ependante : filtres, convertisseurs d’imp´edance, inductances mutuelles, transistors, . . . Les quadripˆoles actifs peuvent toutefois avoir des sources d´ependantes (dues aux AO, transistors, . . . ) I N.B. : En fait, on ne perd pas en g´en´eralit´e car on peut toujours “sortir” les sources ind´ependantes du quadripˆole I N.B. : Il y a des quadripˆoles pour lesquels certains choix de variables ind´ependantes ne sont pas admissibles Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/35
  • 6. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Repr´esentations d’un dipˆole (suite) I Les 6 repr´esentations des quadripˆoles sans source d´ependante sont V(s) = Z(s)I(s) (I1, I2 var. ind., )  V1 V2 =  z11 z12 z21 z22  I1 I2 Z(s) : matrice d’imp´edance  V1 I2 =  h11 h12 h21 h22  I1 V2 H(s) : param`etres hybrides  V1 I1 =  A B C D  V2 I2 T(s) : Param`etres ABCD, de ligne, ou de transfert I(s) = Y (s)V(s) (V1, V2 var. ind., )  I1 I2 =  y11 y12 y21 y22  V1 V2 Y (s) : matrice d’admittance  I1 V2 =  g11 g12 g21 g22  V1 I2 G(s) : param`etres hybrides 2  V2 I2 =  E F G H  V1 I1 T’(s) : matrice de transfert I Le choix d’une repr´esentation se fait en fonction du probl`eme `a r´esoudre I N.B. : Repr´esentation la plus g´en´erale : MV + NI = 0 I En micro-ondes, on utilise plutˆot les param`etres de dispersion (scattering) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/35
  • 7. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Circuits ´equivalents des quadripˆoles I Les param`etres pr´ec´edents correspondent directement `a di↵´erents circuits ´equivalents repr´esentant un quadripˆole I Exemples : z22 z21 I1= + + - V1 I1 z11 = + z12 I2 + - V2 I2 Paramètres z (impédances de circuit ouvert) + - V1 I1 y11 y12 V2 y21 V1 y22 I2 + - V2 Paramètres y (admittances de court-circuit) + - V1 I1 h11 = + h12 V2 h21 I1 h22 I2 + - V2 Paramètres h + - V1 I1 g11 g12 I2 g22 g21 V1= + + - V2 I2 Paramètres g I Ex : lien mod`ele amplificateur de tension (cours 1) et param`etres z ? Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/35
  • 8. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Calcul des param`etres I Calcul des param`etres en activant une variable ind´ependante `a la fois  V1 I1 =  A B C D  V2 I2 ) V1 = AV2 BI2 )A = V1 V2 |I2=0 (circuit ouvert), B = V1 I2 |V2=0 (court circuit), C = I1 V2 |I2=0, D = I1 I2 |V2=0 ) A = ZL + ZC ZC = 1 + LCs2 , B = Ls, C = Cs, D = 1. Exemple L C I1 I2 V1 V2 + - + - I Une fois les param`etres d’une repr´esentation obtenus, il existe des formules permettant de passer d’une repr´esentation `a l’autre Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/35
  • 9. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Conversion entre les param`etres [Svoboda et Dorf, chapitre 17] Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/35
  • 10. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Application : param`etres hybrides d’un transistor bipolaire + - V1 I1 hie = + hre V2 hfe I1 hoe I2 + - V2 I1 I2 + - V2 + - V1 h11 = hie = V1 I1 |V2=0 : imp´edance d’entr´ee (de court-circuit) h12 = hre = V1 V2 |I2=0 : rapport inverse de tension h21 = hfe = I2 I1 |V2=0 : gain de courant h22 = hoe = I2 V2 |I1=0 : admittance de sortie (de circuit ouvert) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/35
  • 11. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles R´eciprocit´e quadripôle réciproque = + + - Ve quadripôle réciproque = + + - Is Is Ve I Un quadripˆole est r´eciproque si le courant de court-circuit au port 2 r´esultant de la pr´esence d’une source de tension id´eale au port 1 est le mˆeme que le courant pr´esent au port 1 si la source est plac´ee au port 2 I Echanger sources de tensions par sources de courant et amp`erem`etre par voltm`etre (circuit ouvert) donne une d´efinite ´equivalente I Th´eor`eme de r´eciprocit´e : un quadripˆole ne contenant que des r´esistances, condensateurs, bobines, bobines coupl´ees, et transformateurs id´eaux (les deux derniers types d’´el´ements seront introduits dans ELE2611) est r´eciproque I N.B. : ce n’est valable que pour la r´eponse avec conditions initialles nulles, ou bien la r´eponse en r´egime permanent sinuso¨ıdal Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/35
  • 12. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Param`etres d’un quadripˆole r´eciproque I Reformulation ´equivalente de la r´eciprocit´e y21 = y12 ✓ car y21 = I2 V1 |V2=0, y12 = I1 V2 |V1=0 ◆ I Propri´et´es ´equivalentes pour les autres repr´esentations (ex : utiliser la table du transparent 9, ou par calcul direct) z21 = z12, h12 = h21, g12 = g21, det(T) = det(T0 ) = 1 I Ainsi, par le th´eor`eme de r´eciprocit´e, ces contraintes sont donc v´erifi´ees par exemple par les param`etres d’un filtre passif R, L, C Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/35
  • 13. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Expression de l’imp´edance d’entr´ee ZL + - IE VE + - V2 I2 I A partir de certains param`etres, on peut exprimer facilement l’imp´edance d’entr´ee  VE V2 =  z11 z12 z21 z22  IE I2 , et V2 = ZLI2 ) ZE = VE IE = z11 z12z21 z22 + ZL ou encore  VE IE =  A B C D  V2 I2 , et V2 = ZLI2 ) ZE = VE IE = AZL + B CZL + D Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/35
  • 14. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Expression de l’imp´edance de sortie ZG + - VS IS + - V1 I1 I A partir de certains param`etres, on peut exprimer facilement l’imp´edance de sortie  V1 VS =  z11 z12 z21 z22  I1 IS , et V1 = ZG I1 ) ZS = VS IS = z22 z12z21 z11 + ZG ou encore  V1 I1 =  A B C D  VS IS , et V1 = ZG I1 ) ZS = VS IS = DZG + B CZG + A Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/35
  • 15. Introduction Repr´esentations des quadripˆoles Matrices de transfert et quadripˆoles en cascade T'1 T'2 + - V1 I1 I2 + - V2 + - V3 I3 + - V4 I4  V2 I2 = T0 1  V1 I1 ,  V4 I4 = T0 2  V3 I3 = T0 2  V2 I2 = T0 2T0 1  V1 I1 I Les matrices de transfert T0 permettent de calculer rapidement le dipˆole ´equivalent `a plusieurs dipˆoles mis en cascade, par produit de matrices I Lors d’une mise en cascade du quadripˆole T0 1 puis T0 2, le quadripˆole r´esultant a pour matrice de transfert T0 = T0 2T0 1 I Attention `a l’ordre de la multiplication : on applique T0 1 d’abord, comme pour la composition de fonctions I N.B. : cette propri´et´e justifie l’utilisation de I comme variable ind´ependante dans la repr´esentation par matrice de transfert I En conclusion, di↵´erents types de param`etres ont donc di↵´erentes utilit´es Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/35
  • 16. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Plan pour ce cours Repr´esentations des quadripˆoles Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Retour sur la r´eponse fr´equentielle Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/35
  • 17. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Principe de l’analyse I Le mod`ele id´eal de l’A.O. suppose une bande passante infinie, i.e., le mod`ele statique du cours 1 est valide quelle que soit la fr´equence (en r´ealit´e, le gain en boucle ouverte des A.O. commence rapidement `a d´ecroitre avec la fr´equence, voir cours 6) I Ainsi, la technique d’analyse bas´ee sur le court-circuit virtuel vue au cours 1 est inchang´ee pour les circuits dynamiques lin´eaires et stationnaires, en rempla¸cant la notion de r´esistance par celle d’imp´edance (op´erationnelle) I Exemple : par la mˆeme analyse que pour l’amplificateur inverseur, on obtient la fonction de transfert du circuit suivant - + = + Vo(s) Z2(s) Z1(s) Vi(s) LKC : Vi Z1 = Vo Z2 ) Vo(s) Vi (s) = Z2(s) Z1(s) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/35
  • 18. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Exemple : Int´egrateur et D´erivateur I Une application imm´ediate du montage pr´ec´edent donne deux circuits de base (donc `a savoir reconnaitre imm´ediatement) I En changeant la r´esistance de r´etroaction de l’amplificateur inverseur par un condensateur, on obtient un int´egrateur (inverseur) - + = +vi vo C R Vo(s) Vi (s) = 1 RCs ! int´egrateur I En rempla¸cant `a la place la r´esistance d’entr´ee, on obtient un d´erivateur (inverseur) - + = +vi vo C R Vo(s) Vi (s) = RCs ! d´erivateur Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/35
  • 19. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux R´ealisations de syst`emes du premier ordre = + C R vE - + = +Vi Vo R1 R2 C I Circuit RC : ⌧ = RC, VR VE = s⌧ 1 + s⌧ , VC VE = 1 1 + s⌧ I Rappel : condensateur 1 jC! ! ouvert `a DC (! = 0), court-circuit pour ! ! 1 ) anticiper la nature passe-bas ou passe-haut I Passe-bas actif (inverseur, avec gain) : Vo Vi = R2 k 1 Cs R1 = R2 R1 1 1 + R2Cs Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/35
  • 20. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Exemple : Gyrateur et simulation de bobine G + - v2 + - v1 i1 i2 I Un gyrateur est un quadripˆole dont la matrice d’admittance est la suivante  i1 i2 =  0 G G 0  v1 v2 I Un gyrateur agit comme un inverseur d’imp´edance. En branchant une imp´edance Z2 au port 2, l’imp´edance vue depuis le port 1 est Z1 = V1 I1 = i2/G GV2 = 1 G2 I2 V2 = 1 G2Z2 . I Application : les bobines posent probl`emes en fabrication de circuits ´electroniques (taille, facteur de qualit´e) ! si possible on les simule (au moins `a fr´equences pas trop ´elev´ees). Un gyrateur de conductance de gyration G = 1/R et un condensateur Cs branch´e au port 2 donnent une bobine Ls = R2 Cs vue par le port 1 I Possilit´e de r´ealiser des inductances L = R2C ´elev´ees I Une classe de filtres actifs consiste `a simuler les bobines des filtres passifs Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/35
  • 21. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux R´ealisation d’un gyrateur I Exercice : montrer que le circuit suivant impl´emente un gyrateur (les AO sont suppos´es id´eaux) + - - + R RR1 R1 R1 R1 R + - v1 + - v2 I N.B. : cette r´ealisation a deux terminaux mis `a la terre ! ne permet de simuler que des inductances avec une borne mise `a la terre, pas flottante. Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/35
  • 22. Introduction Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Limites de cette analyse I La m´ethode d’analyse pr´esent´ee dans les diapositives pr´ec´edentes suppose donc le mˆeme mod`ele d’amplificateur op´erationnel dont le gain est infini `a toutes les fr´equences I Comme on l’a d´ej`a ´evoqu´e au cours 1, un amplificateur op´erationnel agit en r´ealit´e comme un passe-bas, avec un gain A(s) = !f s + !0 . I Il faudra tenir compte de cette fonction de transfert pour des analyses de circuits impliquants des signaux de fr´equences mˆeme mod´er´ees. I Ex : pour le montage d´erivateur pr´ec´edent, utiliser ce mod`ele dynamique de l’AO permet de voir que le gain de la fonction de transfert ne croˆıt pas ind´efiniment avec la fr´equence I En d’autres termes, les analyses pr´ec´edentes ne sont valides qu’`a su samment basse fr´equence (plage de fr´equence variant selon les caract´eristiques de l’AO utilis´e) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/35
  • 23. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Plan pour ce cours Repr´esentations des quadripˆoles Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Retour sur la r´eponse fr´equentielle Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/35
  • 24. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Rappels sur les nombres complexes I Forme cart´esienne : z = x + jy (j2 = 1) I Module : |z| = p x2 + y2 = p zz⇤ I Argument : z = Arg(z) = atan2(y, x) I Forme polaire : |z|e jz I Conjugu´e ou adjoint : z⇤ = x jy = |z|e jz I Addition/soustraction : z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j(y1 ± y2) I Multiplication : z1z2 = |z1||z2|ez1+z2 I Division : z1 z2 = |z1| |z2| ez1 z2 (z2 6= 0) I Relation d’Euler : cos ✓ = ej✓ + e j✓ 2 , sin ✓ = ej✓ e j✓ 2j Re[z] Im[z] |z| ⦣z z x y Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/35
  • 25. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal R´eponse d’un syst`eme lin´eaire `a une entr´ee sinuso¨ıdale G(s) xe(t) = ej t xs(t) = G(j )ej t + xtrans(t) réponse restante en régime permanent excitation sinusoïdale réponse transitoire oscillations à la même fréquence que l'entrée système linéaire stable 0 I G(s) fonction de transfert stable (pˆoles strictement `a gauche du plan s). I R´eponse `a une entr´ee sinuso¨ıdale (complexe) : entr´ee : xe (t) = ej!t $ Xe (s) = 1 s j! Xs (s) = G(s) s j! = A s j! + . . . ! A = G(j!) (par d´eveloppement en fractions partielles) sortie : xs (t) = G(j!)ej!t + . . . I Les termes omis sont des transitoires associ´es aux pˆoles stables de G ) disparaissent en r´egime permanent (quand t ! 1), plus ou moins vite suivant la position des pˆoles de G Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/35
  • 26. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal R´egime permanent sinuso¨ıdal G(s) xe(t) = ej t xs(t) = G(j )ej t + xtrans(t) réponse restante en régime permanent excitation sinusoïdale réponse transitoire oscillations à la même fréquence que l'entrée système linéaire stable 0 G(j!) = |G(j!)|ejG(j!) , M(!) := |G(j!)|, (!) = G(j!) I En prenant la partie r´eelle R´eponse en r´egime permanent sinuso¨ıdal (R.P.S.) La r´eponse en r´egime permanent du syst`eme lin´eaire G(s) `a xe (t) = X0 cos(!t) est xs (t) = X0M(!) cos(!t + (!)) I La r´eponse en R.P. est aussi sinusoidale et de mˆeme fr´equence I L’amplitude est multipli´ee par le gain M(!) = |G(j!)| I La phase de la sortie est celle de l’entr´ee plus (!) = Arg G(j!) = G(j!) (g´en´eralement (!)  0) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/35
  • 27. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Phaseurs I En R.P.S., fixons la phase d’un signal comme r´ef´erence (phase 0). Par exemple prenons une source u(t) = U0 cos(!t) (ou u(t) = U0 sin(!t)). Il est plus simple d’utiliser la notation complexe u(t) = U0ej!t , puis de prendre la partie r´eelle (ou imaginaire). En R.P.S., tous les signaux dans le circuit oscillent `a la mˆeme fr´equence !, et sont de la forme y(t) = |G(j!)|U0ej(!t+G(j!)) , o`u G est la fonction de transfert u ! y. I Il est inutile de garder le terme ej!t qui apparaˆıt dans tous les signaux en R.P.S. Pour un signal s(t) = Aej(!t+ ) (vecteur tournant `a la fr´equence ! dans le plan complexe), on d´efini son phaseur, le nombre complexe S = Aej (autre notation : S = A ), qui r´esume son amplitude A = |S|, et sa phase (relative `a la r´ef´erence) = S. I Ex : si le phaseur d’un signal u(t) est U, alors le phaseur du signal Y (s) = G(s)U(s) est simplement Y = G(j!)U = |U||G(j!)|ej(U+G(j!)) . I Les phaseurs d´ependent g´en´eralement de la fr´equence !, on ´ecrira donc souvent S(j!) ou S(!) pour A(!)ej (!) . Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/35
  • 28. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Utilisation des phaseurs pour les calculs en R.P. sinuso¨ıdal I R´ecapitulatif : pour un circuit lin´eaire stable excit´e par une entr´ee u(t) sinuso¨ıdale, la r´eponse y(t) est de la forme y(t) = ytransitoire (t) + yr.p.(t), avec yr.p.(t) oscillant `a la mˆeme fr´equence que u. Si on ne s’int´eresse qu’au r´egime permanent (syst`eme su samment stable ! termes transitoires disparaissent rapidement), il su t de connaˆıtre le phaseur Y de yr.p.(t). I Pour le calcul des phaseurs de R.P.S., comme pour l’analyse par la fonction de transfert avec C.I. nulles, on d´efinit des imp´edances complexes Z(j!) = V/I pour chaque composant (remplacer juste s par j!) Z(j ) = 1/jCZ(j ) = R Z(j ) = jL I Ces imp´edances complexes permettent de calculer les phaseurs (ainsi que la r´eponse en fr´equence G(j!)) comme s’il s’agissait d’un circuit r´esistif Y (s) = G(s)U(s) ) Y (j!) U(j!) = G(j!) = Y(j!)ej!t U(j!)ej!t ) Y(j!) = G(j!)U(j!) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/35
  • 29. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Terminologie pour les imp´edances complexes et op´erationnelles I Imp´edance Z = Re(Z) | {z } r´esistance +j Im(Z) | {z } r´eactance = R + jX. I Admittance Y = Z 1 = Re(Y ) | {z } conductance +j Im(Y ) | {z } susceptance = G + jB. I Relations : Y = 1 Z = Z⇤ |Z|2 ) G = R R2 + X2 , B = X R2 + X2 Z = 1 Y = Y ⇤ |Y |2 ) R = G G2 + B2 , X = B G2 + B2 . I La terminologie et les notions et th´eor`emes introduits pour les circuits r´esistifs (r´esistance d’entr´ee, de sortie, th´eor`eme de Th´evenin, Norton, etc.) se g´en´eralisent aux imp´edances op´erationnelles et complexes. Par exemple : notions d’imp´edances d’entr´ee et de sortie (qui varie avec la fr´equence) I Les imp´edances complexes capturent le changement de comportement d’un circuit dynamique en fonction de la fr´equence d’excitation Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/35
  • 30. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Exemple : Circuit RLC R jLω 1/jCω Vin Vout + - + - 10 Ω j 10 Ω - j 20 Ω + - + - Vout? 20 Vin(t) = 2 cos (1000 t) ω = 1000 rad/s R = 10 Ω L=10 mH C=50 μF I Calcul du phaseur Vout (`a ! = 1000 rad/s) Diviseur de tension : Vout = 2 j20 10 + 10j 20j = 4j 1 j = 2 p 2 45 I N.B. : r´eponse en fr´equence Vout (!) Vin(!) = 1/jC! 1/jC! + jL! + R = 1 LC!2 + jRC! + 1 = !2 0 !2 + j2⇣!0! + !2 0 , !0 = , 2⇣ = 1 Q = . Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/35
  • 31. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Exemple : Circuit RLC R jLω 1/jCω Vin Vout + - + - 10 Ω j 10 Ω - j 20 Ω + - + - Vout? 20 Vin(t) = 2 cos (1000 t) ω = 1000 rad/s R = 10 Ω L=10 mH C=50 μF I Calcul du phaseur Vout (`a ! = 1000 rad/s) Diviseur de tension : Vout = 2 j20 10 + 10j 20j = 4j 1 j = 2 p 2 45 I N.B. : r´eponse en fr´equence Vout (!) Vin(!) = 1/jC! 1/jC! + jL! + R = 1 LC!2 + jRC! + 1 = !2 0 !2 + j2⇣!0! + !2 0 , !0 = 1 p LC , 2⇣ = 1 Q = R r C L . Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/35
  • 32. Introduction Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Circuit en RPS avec AO id´eal I La pr´esence d’un AO id´eal ne change pas la m´ethode d’analyse par LKC + court-circuit virtuel I On peut utiliser directement les imp´edances complexes pour calculer les phaseurs I Exercice : I calculer le rapport Vo/Vi pour le circuit suivant, d’abord en fonction des param`etres et de !, puis avec R1 = 1 K⌦, R2 = 10 K⌦, C1 = C2 = 0.1 µF et ! = 1000 rad/s I Quelle est l’imp´edance d’entr´ee de ce circuit `a 1000 rad/s pour les valeurs de composants ci-dessus ? = + - +R1 C1 R2 C2 vo vi Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/35
  • 33. Introduction Retour sur la r´eponse fr´equentielle Plan pour ce cours Repr´esentations des quadripˆoles Analyse de circuits lin´eaires et stationnaires contenants des A.O. id´eaux Compl´ements sur le r´egime permanent sinuso¨ıdal Syst`emes lin´eaires en r´egime permanent sinusoidal Calculs en R.P.S. : phaseurs, imp´edances complexes Retour sur la r´eponse fr´equentielle Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/35
  • 34. Introduction Retour sur la r´eponse fr´equentielle R´eponse en fr´equence (rappels de ELE1600A) I Soit G un syst`eme lin´eaire et stationnaire stable I {G(j!)}! 0 s’appelle la r´eponse fr´equentielle du syst`eme. C’est G(s) pour s = j! sur l’axe imaginaire (axe des fr´equences). I Une entr´ee quelconque xe (t) peut ˆetre d´ecompos´ee en somme de sinuso¨ıdes par l’analyse de Fourier xe (t) = 1X k= 1 ck e j 2⇡ T kt (s´erie de Fourier, si xe T-p´eriodique) xe (t) = Z 1 1 Xe (j!)e j!t dt (transform´ee de Fourier, xe quelconque) I En r´egime permanent, le syst`eme lin´eaire multiplie chaque composante sinuso¨ıdale par un terme G(j!), d´ependant de la fr´equence. I C’est ce qui permet le filtrage. Par exemple, on prend G(j!0) = 0 pour supprimer la composante de fr´equence !0 du signal d’entr´ee xe (t). Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/35
  • 35. Introduction Retour sur la r´eponse fr´equentielle Vision fr´equentielle des syst`emes [S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd ´edition, p. 108] Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/35
  • 36. Introduction Retour sur la r´eponse fr´equentielle Diagrammes de Bode et sp´ecification d’une fonction de transfert I Un diagramme de Bode repr´esente la r´eponse fr´equentielle sur 2 graphes I un pour |G(j!)| en d´ecibels (|G(j!)|dB := 20 log10 |G(j!)|) I un pour G(j!), typiquement en degr´es I Les graphes sont normalement l’un sous l’autre, les axes des abscisses sont `a l’´echelle logarithmique I Au terme de ELE1600A, vous devez maˆıtriser le trac´e des diagrammes de Bode de fonctions de transfert rationnelles quelconques I En synth`ese de circuit (ex : filtres), on part souvent d’un gabarit fr´equentiel, i.e, une sp´ecification d’un diagramme de Bode d´esir´e (ex : pour att´enuer certaines fr´equences), et on doit construire un circuit dont la fonction de transfert satisfait ce gabarit I Comme introduction, nous ferons en classe des exercices o`u l’on cherche une fonction de transfert en partant des donn´ees des asymptotes d’un diagramme de Bode (quelques exercices de ce type ont d´ej`a ´et´e fait dans ELE1600A) Version du 26 juillet 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/35