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ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs

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ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs

  1. 1. Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 8 - Circuits non-lin´eaires dynamiques, oscillateurs Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/47
  2. 2. Introduction Motivation pour ce cours Jusqu’ici, nous avons rencontr´e seulement des circuits qui transforment des signaux (filtres, comparateurs, etc.). Nous avons aussi besoin de circuits qui g´en`erent des signaux avec des caract´eristiques donn´ees (fr´equence, amplitude, forme). Signaux d’horloge, porteuses de signal en communication, signaux de test, signaux audio, signaux d’excitation de capteurs, etc. Th´eoriquement, on peut g´en´erer des signaux p´eriodiques sinuso¨ıdaux avec un circuit lin´eaire dont les pˆoles sont complexes conjugu´es sur l’axe des imaginaires. En pratique, un oscillateur purement lin´eaire n’est pas r´ealisable, il faut p. ex. un m´ecanisme (non-lin´eaire) de r´etroaction pour maintenir les pˆoles exactement sur l’axe des fr´equences. En bref, tout oscillateur n´ecessite un ´el´ement non-lin´eaire. Nous allons analyser dans ce cours divers circuits dynamiques permettant d’impl´ementer des fonctions utiles qui n´ecessitent des ´el´ements non-lin´eaires, en particulier des oscillateurs. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/47
  3. 3. Introduction Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/47
  4. 4. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/47
  5. 5. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Circuits non-lin´eaires du premier ordre F(i,v)=0 i + - vC i = C dv dt F(i,v)=0 i + - v circuit statique nonlinéaire (actif ou passif) circuit statique nonlinéaire (actif ou passif) v = L di dt L v i i > 0 ) dv dt < 0 i = 0 : ´Equilibre i < 0 ) dv dt > 0 (stable ou instable) v > 0 ) di dt < 0 v < 0 ) di dt > 0 v = 0 : ´Equilibre (stable ou instable) v i eq. stable eq. instables eq. stables eq. instable Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/47
  6. 6. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Parcours dynamique La technique d’analyse du parcours dynamique pour ces circuits du premier ordre repose sur les principes suivants (cf. figure de la diapositive pr´ec´edente) : Le point (i(t), v(t)) se d´eplace n´ecessairement sur la caract´eristique courant-tension F(i, v) = 0 du dipˆole statique au cours du temps. Le sens de parcours est d´etermin´e par l’´equation de l’´el´ement dynamique (condensateur ou bobine) qui donne le signe de dv dt ou de di dt . Exemple : pour un condensateur, l’´equation dv dt = −i/C implique que si (i(t0), v(t0)) est un point sur la trajectoire pour lequel i(t0) > 0, alors n´ecessairement la trajectoire doit se d´eplacer `a ce point dans le sens des tensions v d´ecroissantes. Toujours pour un condensateur, si i(t0) = 0, alors dv dt (t0) = 0, i.e., le syst`eme est en ´equilibre (en l’absence de perturbation, v(t) ne change plus, i(t) reste `a 0). Pour une bobine, les ´equilibres correspondent aux points v = 0. Toutefois, ces ´equilibres peuvent ˆetre stables ou instables (´etudier une petite perturbation de i). Un ´equilibre instable n’est pas observ´e en pratique car il n’est pas robuste aux perturbations. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/47
  7. 7. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Points d’impasse i = C dv dt v = L di dt Condensateur + dipôle statique F(i, v) = 0 v i points d'impasse saut (v constant) Bobine + dipôle statique F(i, v) = 0 v i saut (i constant) Avec les circuits du premier ordre, l’analyse du parcours dynamique peut nous amener `a des points d’impasse Plus de progr`es continu n’est possible sur la caract´eristique F(i, v) = 0, en suivant les r`egles pr´ec´edentes. En mˆeme temps, on n’est pas `a un point d’´equilibre (i = 0 pour un condensateur, v = 0 pour une bobine) et donc la trajectoire doit continuer `a ´evoluer. Cela est dˆu `a une mod´elisation insuffisante. Malgr´e tout, la solution math´ematique, si elle est possible, est d’effectuer un saut instantan´e : Pour un condensateur, le saut doit s’effectuer `a tension constante. Pour une bobine, le saut doit s’effectuer `a courant constant. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/47
  8. 8. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/47
  9. 9. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Analyse alg´ebrique des temps de parcours Une fois le parcours dynamique d´etermin´e, on calcule les temps de parcours sur la caract´eristique. Cela n’est pratique analytiquement que si l’on a fait une approximation lin´eaire par morceaux de la caract´eristique. Pour le temps de parcours sur chaque morceau, on remplace le dipˆole statique par une source continue + une r´esistance (n´egative ou positive), comme discut´e au cours 7. On r´esout ensuite pour v(t) (condensateur) ou i(t) (bobine) : solution valide tant que l’on reste sur le mˆeme segment de la caract´eristique. 3.25 V v (V)2.5 V 2 V 0 i (mA) P0 P1 P2 F(i,v)=0 + - vC i R C vs i + - v v (V) 0 i (mA) P0 P1 P2 F(i,v)=0 + - v i L L isR + - v i P3 10 I0 Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/47
  10. 10. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Rappels : ´equa. diff. lin´eaires d’ordre 1 `a coeffs. constants Il faut savoir int´egrer ces ´equations diff´erentielles, rapidement et sans aide : dx dt = αx + C, x(t0) = x0. Solutions de forme exponentielles sauf pour α = 0. α < 0 : syst`eme stable, solution en r´egime permanent : x(t) → −C α pour t → +∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO), x(t) → ±∞ quand t → −∞. α > 0 : syst`eme instable, solution tend vers ±∞ quand t → +∞, vers −C α quand t → −∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO). α = 0 : instable (ou “marginalement stable”), x(t) = x0 + C(t − t0). Cas α = 0. Pour C = 0 ⇒ x(t) = eα(t−t0) x0. Pour C = 0 constante, on se ram`ene au cas pr´ec´edent car d dt x + C α = α x + C α ⇒x(t) = x0 + C α eα(t−t0) − C α En bref, la solution est de la forme M1 exp(α(t − t0)) + M2, et on ajuste M1, M2 pour satisfaire la condition aux limites +∞ (syst`eme stable) ou −∞ (syst`eme instable), et la condition initiale. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/47
  11. 11. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Rappels : ´equa. diff. lin´eaires d’ordre 1 `a coeffs. constants (r´esum´e) L’´equation dx dt = αx + C, x(t0) = x0. a pour solution Si α = 0 : x(t) = x0 + C(t − t0). Si α < 0 : x(t) = (x0 − x∞) eα(t−t0) + x∞, avec x∞ = − C α = lim t→∞ x(t). Si α > 0 : x(t) = (x0 − x−∞) eα(t−t0) + x−∞, avec x−∞ = − C α = lim t→−∞ x(t). Toujours valider votre solution en v´erifiant que la condition initiale et `a ±∞ voulues sont satisfaites. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/47
  12. 12. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Analyse alg´ebrique, temps de parcours : cas du condensateur 3.25 V v (V)2.5 V 2 V 0 P0 P1 P2 F(i,v)=0 - vC R C vs i + - v F(i,v)=0 - vL L isR + - v i 10 R = 0 : Is = C dv dt (prendre une source de courant Is ) R = 0 : v = vs + Ri = vs − RC dv dt , i.e., dv dt = − 1 RC (v − vs ) Temps ∆t = t1 − t0 pour passer de v(t0) `a v1 = v(t1) : Cas R = 0 : ∆t = C Is (v1 − v0) Cas R > 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e−(t−t0)/τ , τ = RC > 0, v(t) → vs quand t → +∞ ∆t = τ ln vs − v(t0) vs − v1 Cas R < 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e(t−t0)/τ , τ = |RC| > 0, v(t) → vs quand t → −∞ ∆t = τ ln vs − v1 vs − v(t0) Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/47
  13. 13. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Exemple avec un condensateur 3.25 V v (V)2.5 V 2 V 0 i (mA) P0 P1 P2 F(i,v)=0 + - vC i R C vs i + - v v (V) 0 i (mA) P0 P1 P2 F(i,v)=0 + - v i L L isR + - v i P3 10 I02.5V 2V P0 P1 t 3.25V v 31.9 μs v(t) = 3.25 0.75 exp ✓ t (en µs) 62.5 ◆ v(t) = 2 exp ✓ t 31.9 (en µs) 100 ◆ La caract´eristique F(i, v) = 0 est donn´ee ci-dessus. Pour v(0) = 2.5 V , C = 0.5 µF, re-d´eterminer et tracer v(t) pour t ≥ 0. Trajectoire P0 → P1 : v(0) = 2.5V , relation v = 3.25 + R1i, R1 = −1.25 0.01 = −125 Ω. Trajectoire P1 → P2 : v(t1) = 2V , relation v = R2i, R2 = 2 0.01 = +200 Ω. N.B. : si on avait un segment horizontal, on utiliserait une source de courant. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/47
  14. 14. Introduction Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Analyse alg´ebrique Exemple avec une bobine 3.25 V v (V)2.5 V 2 V A) P0 P1 v (V) 0 i (mA) P0 P1 P2 F(i,v)=0 + - v i L L isR + - v i P3 I0 Pour le circuit ci-dessus, la caract´eristique du dipˆole statique (contrˆol´e en courant) est donn´ee `a droite. En supposant i(0) = I0 A (= −iL(0)), d´eterminer i(t) pour tout t ≥ 0 (introduisez les param`etres de la caract´eristique dont vous aurez besoin). N.B. : Dans ce cas (pour R = 0), on utilise le circuit de Norton ´equivalent au dipˆole statique au lieu du circuit de Th´evenin. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/47
  15. 15. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/47
  16. 16. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) Condensateur + r´es. n´eg. type S, ou bobine + r´es. n´eg. type N R´egime lin´eaire instable, transitoire si mode initial Tant que v0 = +Vsat , iin < 0 et vin augmente Quand vin atteint v+ = βVsat , la tension d’entr´ee de l’AO s’inverse et vo devient −Vsat Lors du saut, vin est constant et iin s’inverse vin se met alors `a diminuer, jusqu’`a atteindre `a nouveau v+ = −βVsat , et le cycle recommence Aussi appel´e multivibrateur astable vin iin -Saturation + Saturation Vsat Vsat pente R1 R2Rf 1/Rf 1/Rf = R2 R1 + R2 Montage résistance négative type S - + vin 1+ - vo Rf R1 R2 iin vo t +Vsat -Vsat C C Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/47
  17. 17. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Oscillations : solution alg´ebrique iin + - vinC Vsat Rf Région +Sat Vo=+Sat vin = Vsat+Rf iin vin: -β Vsat ➙ +β Vsat iin + - vinC Vsat Rf Région -Sat Vo=-Sat vin = -Vsat+Rf iin vin: +β Vsat ➙ -β Vsat t vin t1 βVsat -βVsat t2 𝝉 = Rf C vin(t2) = Vsat, d dt (vin + Vsat) = 1 ⌧ (vin + Vsat), ) vin(t) = Vsat ✓ 1 R1 + 2R2 R1 + R2 e t t2 ⌧ ◆ vin(t1) = Vsat, d dt (vin Vsat) = 1 ⌧ (vin Vsat), ) vin(t) = Vsat ✓ 1 R1 + 2R2 R1 + R2 e t t1 ⌧ ◆ Après phase transitoire, vo oscille entre -Vsat et +Vsat, et vin entre +βVsat et -βVsat, avec β=R2 / (R1+R2). vo est constante par morceaux, vin est exponentielle par morceaux. Analyse du circuit avec les modèles linéaires équivalents dans chaque région. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/47
  18. 18. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable P´eriode des oscillations Par symm´etrie, T = 2 × ∆t[P1→P2] Sur le segment P1 → P2, on a vin = Vsat + Rf iin le circuit statique est ´equivalent `a une source +Vsat en s´erie avec une r´esistance Rf D’apr`es la diapositive 12, on a ∆t[P1→P2] = (Rf C) ln Vsat − vP1 Vsat − vP2 ⇒ T = 2Rf C ln 1 + β 1 − β T = 2Rf C ln 1 + 2R2 R1 La p´eriode se r`egle sur un instrument en commutant entre valeurs de C et en faisant varier R de mani`ere continue vin iin - Saturation + Saturation Vsat Vsat pente R1 R2Rf 1/Rf 1/Rf = R2 R1 + R2 Vsat Vsat P1 P2 P3 P4 Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/47
  19. 19. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Formes des oscillations `a l’entr´ee Les oscillations de vC (ou iL pour un montage avec bobine) sont presque triangulaires si T est suffisamment petite par rapport `a τ = Rf C (ou τ = L Rf ), c’est-`a-dire β suffisamment petit : on exploite la quasi-lin´earit´e du d´ebut de la courbe exponentielle Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/47
  20. 20. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Un autre point de vue sur l’oscillateur de relaxation vin vo Rf C vovin t vin t1 βVsat -βVsat t2 vo t +Vsat -Vsat VsatVsat Vsat Vsat Connection en r´etroaction d’une bascule inverseuse et d’un circuit RC vo = +Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers Vsat, jusqu’`a atteindre le seul de bascule +βVsat Alors vo = −Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers −Vsat, jusqu’`a atteindre le seul de bascule −βVsat Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/47
  21. 21. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable G´en´eration de signaux triangulaires de meilleure qualit´e vin vo vovin vo t +Vsat -Vsat Vsat Vsat VthVtl - + R C t vin t1 Vth Vtl t2 On remplace le passe-bas RC pr´ec´edent par un int´egrateur inverseur (notez la bascule, non-inverseuse). Analysez ce circuit. Montrez que t1 = (t2 − t1) = RC Vth−Vtl Vsat . Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/47
  22. 22. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Flip-Flop ou multivibrateur bistable Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/47
  23. 23. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Flip-Flop ou multivibrateur bistable Flip-flop Echangeons le condensateur avec un bobine, + r´es. n´eg. type S (autre r´ealisation possible : condensateur + r´esistance n´egative type N) Pour l’instant vs ≡ 0 R´egime lin´eaire instable, transitoire si pr´esent vs ≡ 0 ⇒ d dt iin = −vin L Pour vs = 0, suivant la condition initiale iin(0), le circuit atteint un des deux ´equilibres stables (et vo = ±Vsat ) Signal vs permet de changer l’´etat du circuit d’un ´equilibre `a l’autre (prochaine diapositive) Equilibre instable (0, 0) jamais observ´e en pratique Flip-flop = multivibrateur bistable vin iin -Sat + Sat Vsat Vsat pente R1 R2Rf 1/Rf 1/Rf = R2 R1 + R2 Montage résistance négative type S - + vin 1+ - vo Rf R1 R2 iin L L = +vs(t) = +vs(t) vin + - iin Equilibres stables Parcours dyn. pour vs=0 - - Q1 Q2 + - vL Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/47
  24. 24. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Flip-Flop ou multivibrateur bistable Changement d’´etat du flip-flop iin -Sat + Sat VsatVsat Q1 Q2 P0 P1 P2 P3 P4 v F(iin,vin)=0 F(iin,vin+E)=0 E V E T t vs 0 t1 t2 (t = t+ 1 ) (t = t+ 2 ) (t = t2 ) Un signal de commutation vs permet de passer d’un ´etat `a l’autre La bobine voit la tension vL = vs + vin Illustration pour le passage de Q1 `a Q2. Conditions pour le changement d’´etat : E > βVsat suffisamment grand pour que P1 soit dans le demi-plan droit, et dur´ee d’impulsion T suffisamment longue pour passer le point P2 Pour passer de Q2 `a Q1, on donne une impulsion oppos´ee −E : translation de la caract´eristique F(iin, vin) = 0 vers la gauche au lieu de la droite. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/47
  25. 25. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Flip-Flop ou multivibrateur bistable Comparaison avec une bascule de Schmitt simple Notez qu’une bascule de Schmitt permet aussi de r´ealiser un flip-flop (et est aussi appel´e multivibrateur bistable). Pour la bascule de Schmitt, il y a seulement une condition sur l’amplitude de l’impulsion `a l’entr´ee pour basculer d’un ´etat `a l’autre (vin > βVsat ou vin < −βVsat). Le montage pr´ec´edent ajoute une condition sur la dur´ee minimum de l’impulsion pour effectuer le basculement. Peut permettre de filtrer des perturbations de grande amplitude mais de courte dur´ee. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/47
  26. 26. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Multivibrateur monostable (timer) Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/47
  27. 27. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Multivibrateur monostable (timer) Multivibrateur monostable ou g´en´erateur d’impulsion Sur une impulsion d’entr´ee, le multivibrateur monostable passe dans un ´etat instable pendant une dur´ee bien d´etermin´ee (contrˆol´ee typiquement par une constante RC), avant de revenir dans son ´etat stable de d´epart. Permet d’obtenir une fonction de minuteur (timer) en r´eponse `a un ´ev´enement. [Sedra et Smith, ch. 17] Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/47
  28. 28. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Timer 555 Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/47
  29. 29. Introduction Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Timer 555 Timer 555 http://en.wikipedia.org/wiki/555_timer_IC Invent´e en 1971 par Hans Camenzind (Signetics, rachet´e par Philips Semiconductors, maintenant NXP). Un des circuits int´egr´es les plus r´epandus, > 1 milliards d’unit´es produites chaque ann´ee. 3 modes d’op´eration suivant le circuit externe utilis´e : astable (oscillateur) bistable (flip-flop) monostable (one-shot pulse generator) Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/47
  30. 30. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/47
  31. 31. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Approches pour la g´en´eration de signaux sinuso¨ıdaux Les signaux sinuso¨ıdaux sont probablement les plus importants et les plus fr´equemment utilis´es en ´electronique. Souvent (audio, comms), on a besoin de g´en´erer des sinuso¨ıdes les plus pures possibles (c’est-`a-dire, le contenu fr´equentiel du signal ne contient quasiment qu’une fr´equence). Puret´e mesur´ee par le THD (Total Harmonic Distortion, ou taux de distortion harmonique), id´ealement 0. 3 approches principales pour la g´en´eration de sinuso¨ıdes Mise en forme d’un signal triangulaire par quadripˆole statique non-lin´eaire. Cf. cours 7. Le signal triangulaire peut ˆetre g´en´er´e par un oscillateur de relaxation. Approche simple et couramment utilis´ee, mais THD ´elev´e. Oscillateurs `a r´etroaction (quelquefois appel´es “oscillateurs lin´eaires”). Les plus courants pour un bon THD. Boucle de r´etroaction maintenue `a la limite de la stabilit´e par un limiteur d’amplitude (composant non-lin´eaire). Oscillateurs harmoniques `a r´esistance n´egative. Ajout d’un second composant dynamique aux oscillateurs de relaxation. Plutˆot utilis´es aux hautes fr´equences (RF) lorsque les oscillateurs `a r´etroaction ne fonctionnent plus bien. Impl´ementations `a base de transistors plutˆot qu’avec des AO comme ici, mais principes de fonctionnement identiques. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/47
  32. 32. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/47
  33. 33. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Perturbation de l’oscillateur de relaxation - + vin 1+ - vo Rf R1 R2 iin C L + - vin 1+ - vo Rf R1 R2 iin LC t t T = 2Rf C ln ✓ 1 + 2 R2 R1 ◆ T = 2 L Rf ln ✓ 1 + 2 R1 R2 ◆ + - vc iL osc. de rel. pr´ec´edents → ondes carr´ees pour vo, ondes ∼ dents de scie ou triangulaires pour vc ou iL suivant le cas et valeur de τ. Saut dans le parcours dynamique peut en fait s’expliquer comme la limite d’un meilleur mod`ele avec un deuxi`eme ´el´ement dynamique formant un circuit LC. Pour d´eterminer si l’´el´ement parasite est en s´erie ou parall`ele, le faire tendre vers 0. On doit alors retrouver les montages pr´ec´edents. Ex : L en parall`ele de C pour le montage de gauche ci-dessus court-circuiterait C quand L → 0. Si le L ou C additionnel est plus grand, on peut en fait g´en´erer des ondes `a peu pr`es sinuso¨ıdales pour vC ou iL. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/47
  34. 34. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Exemple Les oscillateurs harmoniques `a r´esistance n´egative emploient un circuit r´esonnant connect´e `a un circuit montrant une r´esistance n´egative et fournissant de l’´energie. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/47
  35. 35. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Analyse de l’osc. harmonique `a r´esistance n´egative L’analyse math´ematique rigoureuse de l’oscillateur harmonique `a r´esistance n´egative n’est pas particuli`erement facile. On ne donnera que quelques id´ees qui peuvent guider la conception. On voit sur la simulation pr´ec´edente qu’initialement l’AO travaille dans son r´egime lin´eaire. Dans ce mode, la partie statique (AO, R1, R2, Rf ) du circuit se comporte comme une r´esistance n´egative RN = −Rf R2 R1 . On a alors |RN |C L r bobine (avec r parasite) Si RN + r ≤ 0, i.e., Rf ≥ R1 R2 r, alors le circuit RLC ci-dessus est instable (Q < 0, polynˆome du 2nd degr´e avec changement de signe, montrer qu’il y a un pˆole `a droite), ce qui permet initialement de faire grandir les oscillations spontan´ement `a partir d’un bruit quelconque (il faut aussi |Q| > 1/ √ 2 pour avoir des oscillations). Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/47
  36. 36. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative (cont.) Les oscillations vont finir par arrˆeter de grandir, parce que le montage de r´es. n´eg. ne fournit plus assez d’´energie (remarquer que viniin devient > 0, passif, pour |vin| ou |iin| grands). Une fois les oscillations ´etablies `a vo, on peut voir le montage comme un circuit RLC qui filtre ce signal vo, pour tenter de ne conserver qu’une harmonique. C L r bobine = + Rf vo La fr´equence de l’oscillation ∼ sinuso¨ıdale vC est alors ∼ ω0 = 1√ LC . La puret´e de la sinuso¨ıde aux bornes de C est li´ee au facteur de qualit´e Q = 1 Rf L C . Une bonne sinuso¨ıde demande donc Rf faible. Mais Rf trop faible tuerai les oscillations en pratique car on doit respecter Rf ≥ R1 R2 r. Autre point de vue : il ne faut pas prendre RN trop grand, sinon le circuit est initialement trop instable et on n’obtiendra pas un signal sinuso¨ıdal. On peut aussi prendre L C 1 mais C et surtout L sont des param`etres moins flexibles, en particulier avec ω0 sp´ecifi´e. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/47
  37. 37. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II “L’analyse” pr´ec´edente peut ˆetre une source d’intuition pour guider le choix des composants. Analyse math´ematique : ´Equations du circuit L, C s´erie + r´es. n´eg. type S (vin = f (iin)). Puisque vin = f (iin) = −Ldiin dt + vc , en d´enotant i = iin, on obtient di dt = vc L − 1 L f (i), dvc dt = − i C 0 Vsat Vsat RfRf Rf R2 R1 (1 )Vsat Rf (1 )Vsat Rf i f(i) = R2 R1 + R2 Vsat+ R fi V sat+ R fi Vsat Rf Vsat Rf Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/47
  38. 38. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II Dans la r´egion autour de i = 0, f (i) = −Rf R2 R1 i = −RN i donc di dt = Rf R2 LR1 i + vc L , dvc dt = − i C ⇒ d2 i dt2 = RN L di dt + 1 L −i C , i.e., d2 i dt2 − RN L di dt + 1 LC i = 0 Equation caract´eristique : X2 − RN L X + ω2 0 = 0, ω2 0 = 1 LC , changement de signe ⇒ au moins une solution instable. Coefficient d’amortissement : ζ = −1 2 C L RN . On a des oscillations (pˆoles complexes) pour |ζ| < 1, i.e., RN < 2 L/C. Ces oscillations sont croissantes i(t) ∝ eαt cos(ωd t + φ), avec α = RN 2L , ωd = ω0 1 − ζ2 vc = v(0) − t 0 i(τ) C dτ est aussi oscillant et croissant Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 38/47
  39. 39. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II Au bout d’un certain temps, i sort de la r´egion ou f (i) = −RN i, puis sort de la r´egion active ou i × f (i) < 0 (i.e., |i| > vsat /Rf ). Hors de cette r´egion, le dipˆole non lin´eaire est passif et cesse donc de fournir de l’´energie. Ce m´ecanisme limite l’amplitude des oscillations, qui se stabilisent finalement `a une valeur ind´ependente des conditions initiales. La d´etermination analytique de cette amplitude exacte n’est pas simple. L’´etude compl`ete du syst`eme `a 2 ´equations diff´erentielles peut se visualiser par son portrait de phase, qui pr´esente un cycle limite. Distortion de la sinuso¨ıde li´ee `a la forme du cycle limite. Des analyses similaires peuvent ˆetre faites pour L C connect´e `a une r´esistance n´egative de type N. Le circuit RLC consid´er´e pour la r´esonance et le filtrage de vo est alors un RLC parall`ele. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 39/47
  40. 40. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Portrait de phase pour un oscillateur harmonique Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 40/47
  41. 41. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Plan pour ce cours Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre Parcours dynamique Analyse alg´ebrique Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable Flip-Flop ou multivibrateur bistable Multivibrateur monostable (timer) Timer 555 Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 41/47
  42. 42. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Aux fr´equences mod´er´ees ( 500 MHz), les oscillateurs harmoniques `a r´etroaction (feedback oscillators) sont les plus r´epandus. Ceux-cis peuvent employer des AO + circuits RC jusqu’aux fr´equences de l’ordre de 1 MHz. Au-del`a, on utilisera des transistors + circuits LC ou crystaux. Ces oscillateurs sont form´es d’une boucle de r´etroaction positive, avec A un amplificateur (dont on contrˆole pr´ecis´emment le gain) et H(s) un filtre s´electionnant la fr´equence des oscillations. A y H(s) + + u u: bruit ou perturbation t Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s)) Y (s) = A 1 AH(s) U(s) 1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0 On d´emarre les oscillations avec un bruit quelconque excitant un circuit instable dont les pˆoles sont complexes conjugu´es avec partie imaginaire proche de la pulsation ω0 d´esir´ee Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 42/47
  43. 43. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction : stabilisation d’amplitude D´emarrage des oscillations A y H(s) + + u u: bruit ou perturbation t Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s)) Y (s) = A 1 AH(s) U(s) 1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0 Intuition par l’analyse lin´eaire : une fois l’amplitude des oscillations suffisamment grande, un m´ecanisme non-lin´eaire de contrˆole de gain r´eduit le gain A `a la valeur A0 permettant de ramener les pˆoles exactement `a ±jω0. Si les oscillations d´ecroissent, ce m´ecanisme augmente de nouveau le gain. La condition (n´ecessaire) sur A0 et H(jω0) pour avoir des oscillations `a ω0 est le crit`ere de Barkhausen A0H(jω0) = 1 et en particulier si A0 ∈ R, il faut ∠H(jω0) = 0. N.B. : pour analyser ces oscillateurs math´ematiquement rigoureusement dans le r´egime o`u les oscillations sont ´etablies (cycle limite), il faudait encore ´etudier le syst`eme non-lin´eaire avec le contrˆole de gain. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 43/47
  44. 44. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Exemple : oscillateur `a pont de Wien R R C C - + v0 va R1 R2 filtre passe-bande H(s) = Va(s) Vo(s) gain A Montage montr´e ici sans son m´ecanisme de limitation d’amplitude H(s) = Zp Zp + Zs = 1 1 + Zs Yp H(s) = 1 1 + (R + 1/Cs)(Cs + 1/R) H(s) = RCs (RCs)2 + 3RCs + 1 ω0 = 1 RC , H(jω0) = 1 3 (∠H(jω0) = 0) Pour avoir des oscillations `a ω0, il faut A0 = 3 = 1 + R2 R1 . Equation caract´eristique : 1 − AH(s) = 0 ⇔ (RC)2 s2 + (3 − A)RCs + 1 = 0 Racines `a droite pour A > 3, s0 = ±jω0 pour A = 3 et `a gauche pour A < 3. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 44/47
  45. 45. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Oscillateur `a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 1 R4 158k C1 1n C2 1n R5 158k R1 10k R2 22.1k R3 100k D1 {myD} D2 {myD}V1 5 U1 LTC1050 V2 -5 out out2 V+-V V+ V- .lib opamp.sub .model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.7) .tran 5us 30ms 0ms 5us UIC Initialement, pas de courant dans R3 → Amplificateur non-inverseur : A = 1 + 22.1 10 = 3.21. Quand l’amplitude de vout est suffisante, les diodes commence `a ˆetre passantes, le gain commence `a diminuer vers A = 1 + 22.1 100 10 = 2.8, jusqu’`a la stabilisation des oscillations. La taille des oscillations d´epend des tensions de seuil des diodes, et des valeurs des r´esistances de l’amplificateur. On peut aussi prendre la sortie `a out2, plus pure car filtr´ee, mais n´ecessite un buffer si on a une charge. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 45/47
  46. 46. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Oscillateur `a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 2 R4 158k C1 1n C2 1n R5 158k R1 10k R2 20.3k R3 1k D1 {myD} D2 {myD}5 V1 U1 LTC1050 -5 V2 R6 3k R7 1k R8 3k V3 5 V4 5 V+-V V+ V- out a b .lib opamp.sub .model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.0) .tran 5us 100ms 0ms 5us UIC b a Ajout d’un limiteur d’amplitude en sortie (cf. cours 7). N´ecessit´e de d´emarrer les oscillations lentement (prendre R2 par trop ´elev´ee) pour limiter la distortion introduite par le limiteur Taille des oscillations : r´esoudre pour vout,max avec les ´equations vout −vb ≈ vb + 5 3 (n´egliger courant dans D1), vb = v− +Vs,D1 , v− ≈ vout /3 Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 46/47
  47. 47. Introduction Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes) Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction Conclusion Voici un bref r´ecapitulatif de ce cours Etude des circuits dynamiques du premier ordre : Commencer par analyser le parcours dynamique, y compris la pr´esence et nature des points d’´equilibres. Les trajectoires sur un parcours lin´eaire par morceaux se calculent en r´esolvant des ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre `a coefficients constants. Oscillateurs de relaxation : r´ealisable avec un circuit d’ordre 1 et une r´esistance n´egative, en l’absence d’´equilibre stable sur le parcours dynamique. Flip-flop : r´ealisable avec un circuit d’ordre 1 et une r´esistance n´egative, en pr´esence de deux ´equilibres stables sur le parcours dynamique (ou, plus simple, par une bascule de Schmitt). Oscillateurs harmoniques : n´ecessitent des circuits d’ordre 2. On peut faire une ´etude locale pour le d´emarrage des oscillations et obtenir de l’intuition avec l’analyse lin´eaire, mais l’analyse rigoureuse des oscillations en r´egime permanent (cycle limite) n´ecessite une analyse non-lin´eaire. Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 47/47

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