Les oscillateurs en mécanique

1. Cours M3: présentation
Oscillateurs

2. Plan
1. Introduction

3. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement

4. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1 Problème 4

5. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1 Problème 4
2.2 Système

6. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1 Problème 4
2.2 Système
2.3 Référentiel et base de projection

7. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces

8. Force de rappel du ressort

9. Force de rappel du ressort
→ →
− −
R F
1
→
−
P
0
x <0
→
−
ex
O
x >0
→
−
F
→
−
R
2
→
−
P
Figure 1

10. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces

11. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD

12. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution

13. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation

14. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution

15. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution
2.6.3 Allure de la solution

16. Oscillations sinusoïdales

17. Oscillations sinusoïdales
x
xm
T0
t
−xm
Figure 2

18. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution
2.6.3 Allure de la solution

19. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution
2.6.3 Allure de la solution
3. Système solide-ressort vertical sans frottement

20. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution
2.6.3 Allure de la solution
3. Système solide-ressort vertical sans frottement
3.1 Problème 5

21. Plan
1. Introduction
2. Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Problème 4
Système
Référentiel et base de projection
Bilan des forces
PFD
Solution
2.6.1 Notion de pulsation
2.6.2 Expression de la solution
2.6.3 Allure de la solution
3. Système solide-ressort vertical sans frottement
3.1 Problème 5
3.2 Résolution

22. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort

23. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
0
q
(t)
−
→
Tq
O
x(t)
x
→
−
T
→
−
P
→
−
P

24. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
L’allongement du ressort est
ici calculé par rapport à la
position d’équilibre :
x= −
eq
´
(1)
0
q
(t)
−
→
Tq
O
x(t)
x
→
−
T
→
−
P
→
−
P

25. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
L’allongement du ressort est
ici calculé par rapport à la
position d’équilibre :
x= −
eq
´
(1)
0
q
(t)
La force de tension n’étant pas
nulle à l’équilibre, elle s’écrit:
−
→
Tq
O
x(t)
x
→
−
T
→
−
P
→
−
P

26. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
L’allongement du ressort est
ici calculé par rapport à la
position d’équilibre :
x= −
eq
´
(1)
0
q
(t)
La force de tension n’étant pas
nulle à l’équilibre, elle s’écrit:
→
−
T = −k ( −
→
−
0 ) ex
(2)
−
→
Tq
O
x(t)
x
→
−
T
→
−
P
→
−
P

27. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort

28. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:

29. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
mx = mg −k ( −
¨
0)
(3)

30. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappel :
x= −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
(3)

31. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappel :
x= −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
(3)
−
0)
(4)

32. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappel :
x= −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x − k (
¨
(3)
−
eq
´
0)
−
0)
(4)
(5)

33. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappel :
x= −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x − k (
¨
Or à l’équilibre :
(3)
−
eq
´
0)
−
0)
(4)
(5)

34. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappels:
x= −
eq
´
→
−
T = −k ( −
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x − k (
¨
Or à l’équilibre :
→
−
0 ) ex
(3)
−
eq
´
0)
−
0)
(4)
(5)

35. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappels:
x= −
→
−
T = −k ( −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x−k (
¨
eq
´
→
−
0 ) ex
(3)
−
−
0)
0)
(4)
(5)
Or à l’équilibre :
mg −k (
eq
´
−
0)
=0
(6)

36. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
Rappels:
x= −
→
−
T = −k ( −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x−k (
¨
eq
´
→
−
0 ) ex
(3)
−
−
0)
0)
(4)
(5)
Or à l’équilibre :
mg −k (
Donc (5) devient :
eq
´
−
0)
=0
(6)

37. Oscillations verticales d’une masse accrochée à
un ressort
PFD appliqué à la masse et projeté sur l’axe Ox:
x= −
Rappels:
→
−
T = −k ( −
eq
´
mx = mg −k ( −
¨
0)
⇐⇒ m x = m g − k (x +
¨
eq
´
⇐⇒ m x = m g − k x−k (
¨
eq
´
→
−
0 ) ex
(3)
−
−
0)
0)
(4)
(5)
Or à l’équilibre :
mg −k (
eq
´
−
0)
=0
(6)
k
x =0
m
(7)
Donc (5) devient :
m x = −k x ⇐⇒ x +
¨
¨

38. Plan
4. Pendule simple

39. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6

40. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système

41. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base

42. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel

43. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire

44. Présentation de la base polaire

45. Présentation de la base polaire
Rotation autour d’un axe fixe

46. Présentation de la base polaire
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire

47. Présentation de la base polaire
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:

48. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
M
x
Figure 3

49. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
−
• vecteur radial →;
u
r
M
→
−
ur
x
Figure 3

50. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
−
• vecteur radial →;
u
→
−
uθ
r
−
• Vecteur orthoradial →.
uθ
M
→
−
ur
x
Figure 3

51. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
−
• vecteur radial →;
u
→
−
uθ
r
−
• Vecteur orthoradial →.
uθ
M
Le point M est alors repéré par:
→
−
ur
x
Figure 3

52. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
−
• vecteur radial →;
u
→
−
uθ
r
−
• Vecteur orthoradial →.
uθ
M
Le point M est alors repéré par:
→
−
ur
• une distance, ici ;
x
Figure 3

53. Présentation de la base polaire
O
Rotation autour d’un axe fixe
=⇒ utilisation de la base polaire
y
→
−
uy
→
−
ux
Base mobile 2D définie par deux
vecteurs:
−
• vecteur radial →;
u
θ
→
−
uθ
r
−
• Vecteur orthoradial →.
uθ
M
Le point M est alors repéré par:
→
−
ur
• une distance, ici ;
• un angle, θ.
x
Figure 3

54. Présentation de la base polaire
O
y
→
−
uy
→
−
ux
θ
→
−
uθ
M
→
−
ur
x
Figure 4

55. Présentation de la base polaire
O
Liens entre la base polaire et la
base cartésienne
y
→
−
uy
→
−
ux
θ
→
−
uθ
M
→
−
ur
x
Figure 4

56. Présentation de la base polaire
O
Liens entre la base polaire et la
base cartésienne
x=
cos θ
y
→
−
uy
→
−
ux
(8)
θ
x
→
−
uθ
M
→
−
ur
x
Figure 4

57. Présentation de la base polaire
y
→
−
uy
O
Liens entre la base polaire et la
base cartésienne
y
→
−
ux
x=
cos θ
(8)
y=
sin θ
(9)
θ
θ
→
−
uθ
M
→
−
ur
x
Figure 4

58. Présentation de la base polaire
O
Liens entre la base polaire et la
base cartésienne
y
→
−
uy
→
−
ux
x=
cos θ
(8)
y=
sin θ
(9)
θ
→
−
uθ
Donc:
=
M
x2 + y2
tan θ =
y
x
→
−
ur
(10)
x
Figure 4

59. Présentation de la base polaire

60. Présentation de la base polaire
Les vecteurs de la base polaire peuvent
s’exprimer en fonction de ceux de la
base cartésienne:

61. Présentation de la base polaire
Les vecteurs de la base polaire peuvent
s’exprimer en fonction de ceux de la
base cartésienne:
→
−
uθ
θ
M
→
−
uy
θ
→
−
ux
Figure 5
→
−
ur

62. Présentation de la base polaire
Les vecteurs de la base polaire peuvent
s’exprimer en fonction de ceux de la
base cartésienne:
→ = cos θ → + sin θ →
−
−
−
ur
ux
uy
→
−
uθ
θ
M
→
−
uy
(11)
θ
→
−
ux
Figure 5
→
−
ur

63. Présentation de la base polaire
Les vecteurs de la base polaire peuvent
s’exprimer en fonction de ceux de la
base cartésienne:
→
−
uθ
θ
M
→ = cos θ → + sin θ →
−
−
−
ur
ux
uy
→ = − sin θ → + cos θ →
−
−
−
uθ
ux
uy
(12)
→
−
uy
(11)
θ
→
−
ux
Figure 5
→
−
ur

64. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire

65. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
4.4 Bilan des forces

66. Bilan des forces pour le pendule simple

67. Bilan des forces pour le pendule simple
O
θ
→
−
T
M
→
−
P
Figure 6
→
−
uθ
→
−
ur

68. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
4.4 Bilan des forces

69. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
4.4 Bilan des forces
4.5 Deuxième loi de Newton

70. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
4.4 Bilan des forces
4.5 Deuxième loi de Newton
4.6 Equation différentielle du mouvement

71. Plan
4. Pendule simple
4.1 Problème 6
4.2 Système
4.3 Référentiel et base
4.3.1 Référentiel
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
4.4
4.5
4.6
4.7
Bilan des forces
Deuxième loi de Newton
Equation différentielle du mouvement
Solution

72. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides

73. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7

74. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle

75. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes

76. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique

77. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution

78. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes

79. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes
• Régime pseudo-périodique

80. Régime pseudopériodique

81. Régime pseudopériodique
x
X
T
t
: λ = 1/4
: λ = 1/2
: λ=1
-X
Figure 7

82. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes
• Régime pseudo-périodique

83. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes
• Régime pseudo-périodique
• Régime apériodique

84. régime apériodique

85. régime apériodique
x
: λ=2
: λ=3
: λ=4
xm
t
Figure 8

86. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes
• Régime pseudo-périodique
• Régime apériodique

87. Plan
5. Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
5.2 Equation différentielle
5.3 Différents régimes
5.3.1 Equation caractéristique
5.3.2 Solution
5.3.3 Différents régimes
• Régime pseudo-périodique
• Régime apériodique
• Régime critique