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Université de Boumerdes Juin 2000
Faculté des sciences
Département de physique
Synthèse Mécanique Rationnelle
Durée : 2 heures
I- Cours : ( 4 points)
II- ( 07 points)
1) Déterminer le centre de masse d’un demi disque homogène de rayon R et de densité
surfacique σ . figure 01
2) On veut déterminer le centre de masse d’une plaque homogène, dans laquelle on a découpé
un demi disque de rayon R, comme le montre la figure 02.
Décomposer la plaque en deux figures simples dont les centres de masse sont connus, pour en
déduire le centre de masse de cette dernière.
3) Retrouver le résultat en appliquant le deuxième théorème de Guldin.
4) Cette plaque est soumise à trois forces d’égale module, aux sommets A, B, C .
On prendra : NFFF CBA 100=== ; a = 30 cm , b = 40 cm
Les forces
→→→
CBA FFF ,, sont dans le plan (Oxy) voir figure 03 :
a) Déterminer les éléments de réduction du torseur des forces au point O .
b) Calculer la force maximale (module et direction) équivalente, qui appliquée au point D de
la plaque produirait le même moment résultant en O.
III- ( 09 points)
1
Soit un solide en rotation autour d’un axe fixe )(∆
avec la vitesse de rotation
→
ω . Montrer que le
moment cinétique par rapport à l’axe )(∆ est :
→
∆∆
→
= ωIL , avec ∑=∆
2
ii dmI
: moment
d’inertie du solide par rapport à l’axe )(∆ .
o
→
ω
im
)(∆
x
y
R
o
Figure 01
O
y
x
a
b
R
Figure 02
O
45°
30° D
C
B
A
y
x
Figure 03
Un hélicoptère entame un virage circulaire de centre O et de rayon R, à la vitesse horizontale
→
V , de module constant. Son hélice de longueur 2r tourne autour d’un axe vertical )( 11 zO
dans le sens des aiguilles d’une montre, à la vitesse de rotation constante :
•
=θω0
.
On définit les repères suivants :
),,,(0 zyxOR : repère fixe de base
→→→
kji ,,
),,,( 11111 zyxOR : repère lié à l’hélicoptère tel que OzzO //11 de base
→→→
111 ,, kji ;
Soit θ l’angle formé par l’hélice et l’axe 11 xO : ),( 11 xOOA=θ et l’angle
),( 1OOOx=ϕ
1) Exprimer V en fonction de
•
ϕ;
2) Déterminer les coordonnées de l’extrémité A de l’hélice ,
a) par rapport au repère 1R dans la base 1R ;
b) par rapport au repère 0R dans la base 1R ;
3) Calculer les vitesses d’entraînement et relative de A dans la base 1R ;
4) Déterminer la vitesse du point A par rapport au repère 0R :
a) par composition des vitesses ;
b) à partir de la question 2-b)
5) Calculer les vitesses absolues
→→
21 VetV des extrémités de l’hélice pour : 0=θ et πθ = ;
6) Pour quelle valeur de
•
θ on a
→→
= 02V , en déduire alors la vitesse instantanée de rotation
de l’hélice en fonction de
•
ϕ,, rR .
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V
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Synthèse juin 2000

  • 1. Université de Boumerdes Juin 2000 Faculté des sciences Département de physique Synthèse Mécanique Rationnelle Durée : 2 heures I- Cours : ( 4 points) II- ( 07 points) 1) Déterminer le centre de masse d’un demi disque homogène de rayon R et de densité surfacique σ . figure 01 2) On veut déterminer le centre de masse d’une plaque homogène, dans laquelle on a découpé un demi disque de rayon R, comme le montre la figure 02. Décomposer la plaque en deux figures simples dont les centres de masse sont connus, pour en déduire le centre de masse de cette dernière. 3) Retrouver le résultat en appliquant le deuxième théorème de Guldin. 4) Cette plaque est soumise à trois forces d’égale module, aux sommets A, B, C . On prendra : NFFF CBA 100=== ; a = 30 cm , b = 40 cm Les forces →→→ CBA FFF ,, sont dans le plan (Oxy) voir figure 03 : a) Déterminer les éléments de réduction du torseur des forces au point O . b) Calculer la force maximale (module et direction) équivalente, qui appliquée au point D de la plaque produirait le même moment résultant en O. III- ( 09 points) 1 Soit un solide en rotation autour d’un axe fixe )(∆ avec la vitesse de rotation → ω . Montrer que le moment cinétique par rapport à l’axe )(∆ est : → ∆∆ → = ωIL , avec ∑=∆ 2 ii dmI : moment d’inertie du solide par rapport à l’axe )(∆ . o → ω im )(∆ x y R o Figure 01 O y x a b R Figure 02 O 45° 30° D C B A y x Figure 03
  • 2. Un hélicoptère entame un virage circulaire de centre O et de rayon R, à la vitesse horizontale → V , de module constant. Son hélice de longueur 2r tourne autour d’un axe vertical )( 11 zO dans le sens des aiguilles d’une montre, à la vitesse de rotation constante : • =θω0 . On définit les repères suivants : ),,,(0 zyxOR : repère fixe de base →→→ kji ,, ),,,( 11111 zyxOR : repère lié à l’hélicoptère tel que OzzO //11 de base →→→ 111 ,, kji ; Soit θ l’angle formé par l’hélice et l’axe 11 xO : ),( 11 xOOA=θ et l’angle ),( 1OOOx=ϕ 1) Exprimer V en fonction de • ϕ; 2) Déterminer les coordonnées de l’extrémité A de l’hélice , a) par rapport au repère 1R dans la base 1R ; b) par rapport au repère 0R dans la base 1R ; 3) Calculer les vitesses d’entraînement et relative de A dans la base 1R ; 4) Déterminer la vitesse du point A par rapport au repère 0R : a) par composition des vitesses ; b) à partir de la question 2-b) 5) Calculer les vitesses absolues →→ 21 VetV des extrémités de l’hélice pour : 0=θ et πθ = ; 6) Pour quelle valeur de • θ on a →→ = 02V , en déduire alors la vitesse instantanée de rotation de l’hélice en fonction de • ϕ,, rR . 2 → V O1 θ R A z1 z x O y x1 y1 ϕ