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Chapitre 1
Les caractéristiques géométriques
des sections planes
Présentée par : Mme GRAJA Najeh
1
1- Introduction
2
2- Aire d’une section
Par définition l’aire A d’une section est définie
par l’intégrale:
3
Application
Calculer l’aire de la triangle ci dessous.
4
Remarque
Si la section est composée, nous la décomposons
en sections usuelles et l’aire est calculée
comme:
5
Application
Calculer l’aire de la section droite de la poutre
montrée par la figure ci-dessous. On donne b1 =
300 mm, b2 = 150 mm, tw = 10 mm, tf1 = 20mm,
tf2 = 15 mm, hw = 1000 mm.
6
3- Moment statique
Le moment statique S d’une section par rapport à un
axe ox ou oy est donné par l’une des expressions
suivantes:
7
Remarque :
Le moment statique est exprimé en mm3,
cm3,...
 Le moment statique d’une section S par
rapport à un axe quelconque passant par son
centre de gravité est nul.
Le moment statique d’une section par rapport à
un axe de symétrie est nul, puisque cet axe
passe par son centre de gravité.
8
9
4- centre de gravité
Le centre de gravité G d’une section est le point
tel que le moment statique de la section par
rapport à n’importe quel axe passant par ce
point est nul. Ci-dessous la position du centre
de gravité pour quelques sections courantes.
10
Si la section possède un axe de symétrie, le
centre de gravité G est situé sur cet axe.
Si la section présente deux axes de symétrie, le
centre de gravité G est situé à l’intersection de
ces deux axes.
Les coordonnées du centre de gravité d’une
section s’écrivent
11
Application
Calculer les coordonnées du centre de gravité de
la section plane suivante.
12
5- Moment d’inertie
On définit le moment d’inertie ou moment quadratique d’une
section comme le degré de résistance de cette section aux
efforts extérieurs appliqués, en tenant compte de la forme de
cette section.
Par définition, les intégrales: et
S’appellent moments d’inertie de la section A par rapport aux axes
ox et oy, respectivement,
13
Le moment d’inertie d’une surface infiniment
petite par rapport à un axe éloigné de cette
surface est égal au produit de son aire par le
carré de la distance à l’axe. Il est toujours positif
et s’exprime en m4(cm4, mm4).
14
L’intégrale:
Le moment d’inertie polaire de la section est
donné par la relation:
Avec :
D’où :
S’appelle moment centrifuge ou produit d’inertie
de la section A par rapport au système xoy.
15
Application
Calculer les moments quadratiques par rapport
aux axes o’x’ et o’y’ pour le rectangle montré
par la figure suivante.
16
6- Variations des moments d’inertie
 Translation des axes
Soit une section A, ses moments d’inertie dans le
système XOY: Ix, Iy, Ixy sont connus.
On se propose de calculer les moments d’inertie
de la section A dans
le système X’O’Y’ en
procédant aux
translations des axes
ox et oy
x’ = x + a ; y’ = y + b
17
18
Si le point O coïncide avec le centre de gravité G,
les moments statiques Sx et Sy deviennent
nuls et on a:
19
Théorème de Huygens
Le moment d’inertie d’une section par rapport à un axe
quelconque Δ est égal au moment d’inertie de la
section par rapport à l’axe passant par son centre de
gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l’aire de
la section par le carré de la distance entre les deux axes.
20
Application
Déterminer les moments d’inertie par rapport au
système xGy pour le rectangle montré par la
figure ci-dessous.
21
 Rotation des axes
Soit une section A, ses moments d’inertie dans le
système xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de
calculer les moments d’inertie de la section A dans le
système uov qui fait un angle θ avec le système xoy.
22
D’après la figure :
23
On remarque que
Cela signifie que la somme des moments quadratiques par rapport à
deux axes perpendiculaires reste constante quelque soit la valeur
de l’angle de rotation θ.
24
Cette relation est satisfaite pour deux valeurs de θ entre 0 et π qui correspondent
à un maximum I1 (Imax) et un minimum I2 (Imin) qui sont les moments principaux
d’inertie.
Les axes correspondant aux moments d’inertie principaux sont appelés axes
principaux.
25
7- Module de résistance
Le moment de résistance d’une section droite est
le rapport entre le moment d’inertie axial et la
distance la plus éloignée de cet axe.
26
8- Rayon de giration
Le rayon de giration d’une surface A selon l’axe x
ou l’axe y est défini par:
27

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  • 1. Chapitre 1 Les caractéristiques géométriques des sections planes Présentée par : Mme GRAJA Najeh 1
  • 3. 2- Aire d’une section Par définition l’aire A d’une section est définie par l’intégrale: 3
  • 4. Application Calculer l’aire de la triangle ci dessous. 4
  • 5. Remarque Si la section est composée, nous la décomposons en sections usuelles et l’aire est calculée comme: 5
  • 6. Application Calculer l’aire de la section droite de la poutre montrée par la figure ci-dessous. On donne b1 = 300 mm, b2 = 150 mm, tw = 10 mm, tf1 = 20mm, tf2 = 15 mm, hw = 1000 mm. 6
  • 7. 3- Moment statique Le moment statique S d’une section par rapport à un axe ox ou oy est donné par l’une des expressions suivantes: 7
  • 8. Remarque : Le moment statique est exprimé en mm3, cm3,...  Le moment statique d’une section S par rapport à un axe quelconque passant par son centre de gravité est nul. Le moment statique d’une section par rapport à un axe de symétrie est nul, puisque cet axe passe par son centre de gravité. 8
  • 9. 9
  • 10. 4- centre de gravité Le centre de gravité G d’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n’importe quel axe passant par ce point est nul. Ci-dessous la position du centre de gravité pour quelques sections courantes. 10
  • 11. Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe. Si la section présente deux axes de symétrie, le centre de gravité G est situé à l’intersection de ces deux axes. Les coordonnées du centre de gravité d’une section s’écrivent 11
  • 12. Application Calculer les coordonnées du centre de gravité de la section plane suivante. 12
  • 13. 5- Moment d’inertie On définit le moment d’inertie ou moment quadratique d’une section comme le degré de résistance de cette section aux efforts extérieurs appliqués, en tenant compte de la forme de cette section. Par définition, les intégrales: et S’appellent moments d’inertie de la section A par rapport aux axes ox et oy, respectivement, 13
  • 14. Le moment d’inertie d’une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égal au produit de son aire par le carré de la distance à l’axe. Il est toujours positif et s’exprime en m4(cm4, mm4). 14
  • 15. L’intégrale: Le moment d’inertie polaire de la section est donné par la relation: Avec : D’où : S’appelle moment centrifuge ou produit d’inertie de la section A par rapport au système xoy. 15
  • 16. Application Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes o’x’ et o’y’ pour le rectangle montré par la figure suivante. 16
  • 17. 6- Variations des moments d’inertie  Translation des axes Soit une section A, ses moments d’inertie dans le système XOY: Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments d’inertie de la section A dans le système X’O’Y’ en procédant aux translations des axes ox et oy x’ = x + a ; y’ = y + b 17
  • 18. 18
  • 19. Si le point O coïncide avec le centre de gravité G, les moments statiques Sx et Sy deviennent nuls et on a: 19
  • 20. Théorème de Huygens Le moment d’inertie d’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d’inertie de la section par rapport à l’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes. 20
  • 21. Application Déterminer les moments d’inertie par rapport au système xGy pour le rectangle montré par la figure ci-dessous. 21
  • 22.  Rotation des axes Soit une section A, ses moments d’inertie dans le système xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments d’inertie de la section A dans le système uov qui fait un angle θ avec le système xoy. 22
  • 24. On remarque que Cela signifie que la somme des moments quadratiques par rapport à deux axes perpendiculaires reste constante quelque soit la valeur de l’angle de rotation θ. 24
  • 25. Cette relation est satisfaite pour deux valeurs de θ entre 0 et π qui correspondent à un maximum I1 (Imax) et un minimum I2 (Imin) qui sont les moments principaux d’inertie. Les axes correspondant aux moments d’inertie principaux sont appelés axes principaux. 25
  • 26. 7- Module de résistance Le moment de résistance d’une section droite est le rapport entre le moment d’inertie axial et la distance la plus éloignée de cet axe. 26
  • 27. 8- Rayon de giration Le rayon de giration d’une surface A selon l’axe x ou l’axe y est défini par: 27