Énergétique

Résistance des matériaux II Chapitre 145
é é é iMéthodes énergétiques
chapitres 9 et 14
• Objectifs
– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des lesUtiliser le théorème de Castigliano pour calculer des les
réactions aux appuis de structures hyperstatiques
– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des
déplacements, rotations ou rotations angulaires de structures
hyperstatiques
– Savoir la définition de l’aire effective en cisaillementSavoir la définition de l aire effective en cisaillement
– Calculer l’énergie de déformation en tenant compte de l’effort
tranchant
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 1

Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation
9.7 Énergie de déformation
9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial
9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général
Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques
14.2 Cas particuliers
14.2.1 Tension
14.2.2 Flexion
Fichier 1
14.2.3 Torsion
14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti
14.4 Théorème de Castigliano
h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques
14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques
14.5 Effets de l’effort tranchant
Fichier 2
Fichier 3

14 4 2 Applications aux systèmes hyperstatiques14.4.2 Applications aux systèmes hyperstatiques
Cette poutre est hyperstatique: A
w
xx
y
Cette poutre est hyperstatique:
il n’y a pas suffisamment d’équations
d’équilibre pour calculer les réactions.
y
A
L
BB
Il y a trois inconnues: Ra, Rb et Mb.
Deux équations d’équilibre sont
BM
L
w
A B
x
y
disponibles: ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0
Par conséquent, il manque une équation.
AR
L
BR
On peut lever l’indétermination en posant une équation de
compatibilité et en transformant cette équation en équation de
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
p q q
forces ou de moments à l’aide du théorème de Castigliano.
3

Mé h d d l i d’ è h iMéthode de solution d’un système hyperstatique
• poser les équations d’équilibre
disponibles BMwy
disponibles
• déterminer le nombre d’équation(s)
A
R
L
R
B
x
q ( )
d’équilibre manquante(s), N
N = degré d’hyperstaticité (N = 1 pour notre cours)
AR BR
Pour la poutre montrée, il manque une équation;
le système est hyperstatique du premier degré

Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)
• établir N équations de compatibilité
– Pour la poutre montrée, on connaît trois conditions de
ibili écompatibilité:
δA = 0 δB = 0 θB = 0
– Le système étant hyperstatique A
BMw
B
x
y
Le système étant hyperstatique
du premier degré, on choisit une
seule condition de compatibilité
AR
L
BR
B
et la réaction correspondante est
appelée surabondante:
a) si on choisit δ = 0 R est la réaction surabondantea) si on choisit δA = 0, RA est la réaction surabondante,
appelée R
Selon Castigliano: A
R
U
R
U
δ=
∂
∂
=
∂
∂
A
A RR ∂∂
5

Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)
b) si on choisit δB = 0, RB est la) B , B
réaction surabondante, appelée R
A
BMw
x
y
et
B
B R
U
R
U
δ=
∂
∂
=
∂
∂ A
AR L
BR
B
c) si on choisit θB = 0, MB est la
réaction surabondanteréaction surabondante
et U
θ=
∂
et B
BM
θ=
∂
6

Méthode de solution (suite)
i l é i A
BMw
x
y
• Exprimer toutes les réactions
en fonction de la réaction
surabondante et du chargement
A
AR
L
BR
B
surabondante et du chargement.
• Appliquer Castigliano:
L ff i l’é i
A
Les efforts internes et l’énergie
de déformation doivent être
exprimés en fonction de la
é i b d dréaction surabondante et du
chargement seulement.

E lExemple :
On demande de calculer
a) les réactions aux appuis A
mNw /,
B Ca) les réactions aux appuis
b) l’angle de rotation θ A
au point A de cette poutre.
L L
A B
p p
Cette poutre est hyperstatique car elle est appuyée sur trois
appuis simples A, B et C:
– 3 réactions inconnues, soit RA,RB et RC
2 équations d’équilibre disponibles soit ∑F = 0 ; ∑M = 0– 2 équations d équilibre disponibles, soit ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0
La solution est d ’utiliser le théorème de Castigliano.
La solution est d utiliser le théorème de Castigliano.
8

La procédure pour trouver les réactions aux appuis d’un
problème hyperstatique est :
1 Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction1. Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction
correspondante surabondante (R)
2. Établir les équations d’équilibre. Les réactions sont exprimées
en fonction du chargement et de la force surabondante
3. Établir les équations des efforts internes et les exprimer en
fonction du chargement et de la surabondantefonction du chargement et de la surabondante
4. Appliquer le théorème de Castigliano à la condition de
compatibilité choisie
– Permet de déterminer la surabondante (R)
– Déterminer les autres réactions aux appuis à l’aide des
é ti d’é ilib
équations d’équilibre
9

RR
On choisit δ comme
mNw /,
B C
RRA =1. Réactions aux appuis
On choisit δ A comme
condition de compatibilité
L L
A B C
BR CR
∂U
0==
∂
∂
A
AR
U
δ
La force RA est déclarée
b dsurabondante

RR
mNw /,
B C
RRA =
RRA =
2. Équilibre
L L
A B C
BR CR
A
MC =∑ 0 Fy =∑ 0
Lw
LR
Lw
LRB ⋅⋅+
⋅
=⋅ 2
2
2
L
RRLwR BC −+⋅=
R
Lw
RB ⋅+
⋅
= 2
2
R
Lw
RC −
⋅
=
2
Les réactions sont exprimées en fonction
de R et du chargement seulement
11

mNw /,RR =
A B C
RRA =
BR CR
3. Efforts internes
L L
B C
BCM
V
R
V
ABM•O
C
x
CR
De A à B : 0 < x < L
à
xA •O
0
2
xw
xRMM
⋅
+∑
De B à C : 0 < x < L
xRM AB ⋅=⇒=∑ 0OM
0
2
2
xw
xR
Lw
M
xRMM
BC
CBCO
⋅
−⋅⎟
⎞
⎜
⎛ −
⋅
=
=+⋅−=∑
Les efforts internes sont
exprimées en fonction de R
22
xRMBC ⎟
⎠
⎜
⎝
=
12
et du chargement seulement

RM
⎞⎛∂⎞⎛∂ M
xRM AB ⋅=
22
2
xw
xR
Lw
MBC
⋅
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
4. Appliquer la condition de compatibilité
0
00
=
⋅
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⋅
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
==
∂
∂
∫∫
L
BC
BCL
AB
AB
A
IE
dx
R
M
M
IE
dx
R
M
M
R
U
δ
( ) ( ) ( ) 0
220
2
=⋅−⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ⋅
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+⋅⋅⋅=
∂
∂
∫∫
LL
o
dxx
xw
xR
Lw
dxxxR
R
U
0 ⎦⎣o
0
423323
4333
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅⋅
−
⋅
=
∂
∂ LwLRLLwLR
R
U
423323∂R
16
Lw
R
⋅
=
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
Avec les équations
d’équilibre
16 16
C
8
B
13
d équilibre

b) Rotation θ A de la poutre en A
La tâche est facile avec
A
mNw /,
B C
La tâche est facile avec
Castigliano, sachant que L L
U∂
θ
Le problème est qu ’il n ’y a pas de
A
A
M
U
∂
∂
=θ
mNw /,
C
16
Lw
RA
⋅
=
moment concentré MA au point A!
Que fait-on?
O j t t fi tif
L
L
A B C
AM
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=
On ajoute un moment fictif. L
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
Mais, par le fait même, on perturbe
l ’éq ilibre de la po tre
l ’équilibre de la poutre
14

Truc pour restaurer l’équilibre LTruc pour restaurer l équilibre
Comment?
On garde les réactions calculées
A
mNw /,
B C
16
Lw
RA
⋅
=
g
précédemment
On équilibre seulement le
moment fictif M en ajo tant des
L
L
A B C
AM
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=
moment fictif MA en ajoutant des
forces :
• qui ont un moment égal et opposé à celui du moment ajouté
L
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
q g pp j
• qui sont d’intensité égale et opposée pour ne pas perturber
l’équilibre de la poutre dans la direction y
• qui s’appliquent aux points d’appui de la poutre pour ne pas• qui s appliquent aux points d appui de la poutre pour ne pas
perturber la déformée de la poutre et pour ne pas ajouter de
l’énergie de déformation dans la poutre

LM A / Alternative 1
Alt ti 2
A
mNw /,
B C
16
Lw
RA
⋅
=
A
A
mNw /,
B C
16
Lw
RA
⋅
=
Alternative 2
L L
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=AM
LM A / L L
A B
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=AM
LM A /LM A /A
mNw /,Lw
R
⋅
LM A ⋅2/ Alternative 3
A
,
B C
16
RA =
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=AM
• Les trois alternatives permettent d’annuler
MA et de garder la poutre en équilibre en y.
• Le choix d’une alternative plutôt qu’une
L L
8 16
LM A ⋅2/
• Le choix d une alternative plutôt qu une
autre est basé sur une question d’expérience.
• Ici, c’est l’alternative 1 qui semble et
s’avérera la plus avantageuse.
16

LM A / Alternative 1
A
mNw /,
B C
16
Lw
RA
⋅
=
A
Les efforts internes
L L
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=AM
LM A /LM A /
De A à B : 0 < x < L
A
AM
V
ABM
AR
•O
•O
De B à C : 0 < x < L
xA
C
CR
BCM
V x
•O
x
L
M
xRMM
M
A
AAAB
O
⋅−⋅+=
⇒=∑ 0 0
2
xw
xRM
M
CBC
O
⋅
−⋅=
⇒=∑
L
AAAB
2
xRM CBC ⋅=
17

M
Selon Castigliano x
L
M
xRMM A
AAAB ⋅−⋅+=
2
2
xw
xRM CBC
⋅
−⋅=
2
∫∫
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
=θ
L
A
BC
BCL
A
AB
AB
A
dx
M
M
Mdx
M
M
M
U
⎥
⎤
⎢
⎡
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅⋅−⋅+∫
L
A
AA dx
x
x
M
xRM 1)(
∫∫ ⋅
+
⋅∂
θ
= 000AMA
A
IEIEM
16
Lw
RA
⋅
=
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⋅⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅
−⋅+
⎟
⎠
⎜
⎝
⋅
=
∫
∫
L
C
AA
A
dx
xw
xR
LL
IE
0
2
0
0
2
)(
1
θ
16
7 Lw
RC
⋅⋅
=
⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝0
96
1
6
1 32
Lw
IE
LR
IE
A
A ⋅=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅=θEn posant MA = 0 ⇒
966 IEIE ⋅⎟
⎠
⎜
⎝⋅
p A ⇒
18

Exemple:
On demande de calculer θ pour
y
xmNw /,
On demande de calculer θ A pour
la poutre illustrée ci-contre
L
z
A
B
Les réactions RA, RB et le moment MB sont déjà connus.
L
mNw /,
A
B
5 L
8
2
Lw
MB
⋅
=
P i l l θ il f t j t t fi tif t é A
L
8
3 Lw
RA
⋅⋅
= 8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
Pour pouvoir calculer θ A, il faut ajouter un moment fictif concentré en A
et ensuite restaurer l’équilibre.
19

Deux alternatives sont possibles
2
Lw
M AB
⋅
=
Alternative 1
L’alternative 1 est possible
parce que l’encastrement B
peut reprendre un moment sans
L
mNw /,
A
8
M AB
AM
B
AM
peut reprendre un moment sans
que de l’énergie de déformation
soit ajoutée au système.
L
8
3 Lw
RA
⋅⋅
=
8
5 Lw
RB
⋅⋅
=
B
Alternative 2
mNw /,
A
8
2
Lw
MB
⋅
=
Alternative 2
AM
LM A /
L
A
B
8
3 Lw
RA
⋅⋅
= 5 Lw
R
⋅⋅
=
8
A
8
RB =
LM A /
20

On choisit l’alternative 1.
mNw /, 8
2
Lw
MB
⋅
=
Eff t i t
AM
L
A
3 Lw
R
⋅⋅ 5 Lw
R
⋅⋅
B
AM
Efforts internes
8
RA =
8
RB =
RM
xw
MM
⋅
∑ 0
2
De A à B :
xRM
xw
MM AAABO ⋅−+=⇒=∑
2
0
mNw /,
AM
x
A
3 Lw
R
⋅⋅ V
•O
ABM
8
RA = V
21

Appliquant Castigliano :pp q g
x
mNw /,
A xRM
xw
M AAAB ⋅−+
⋅
=
2
2
M x
8
3 Lw
RA
⋅⋅
= V
xw ⋅ 2
AM
dx
M
M
IE
M
M
U
A
AB
L
AB
MA
A
A
∂
∂
⋅
=
∂
∂
= ∫
= 00
θ ( ) dx
IE
xR
xw
ML AA
⋅⋅
⋅
⋅−
⋅
+
= ∫ 12
0
Lw⋅ 3
θEn posant MA = 0, ⇒ IE
A
⋅⋅
−=
48
θ
i.e., dans le sens inverse de
i.e., dans le sens inverse de
MA fictif
22

Thé è d C ti liThéorème de Castigliano
CommentaireCo e e
Lorsque le système est isostatique, il est plus simple de mettre sur la
structure, dès le début, les charges réelles et fictives et d’établir les
é i d’é ilib idé l d d héquations d’équilibre en considérant les deux types de chargement,
fictif et réel.

Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation
9.7 Énergie de déformation
9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial
9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général
Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques
14.2 Cas particuliers
14.2.1 Tension
14.2.2 Flexion
Fichier 1
14.2.3 Torsion
14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti
14.4 Théorème de Castigliano
h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques
14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques
14.5 Effets de l’effort tranchant
Fichier 2
Fichier 3

Jusqu’ici, on a négligé l’apport de l’énergie de déformation
associée à l’effort tranchant dans le calcul de la flèche ou de
l’angle de rotation.g
La notion de l’aire effective en cisaillement Ac simplifie
considérablement le calcul de l’énergie de déformation due à
l’effort tranchant et permet ainsi de tenir compte de l’effort
tranchant dans le calcul de la flèche et de l’angle de rotation.g
Ac devient une propriété de la section au même titre que les
moments d’aire et que la constante de torsion

Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Ac est déterminée de façon à ce que l’énergie de déformation,c ç q g f
• calculée en utilisant la distribution moyenne de la contrainte de
cisaillement agissant sur l’aire Ac par :
m
A
V
=τ
au lieu de la distribution réelle:
cA
∫= dAV τ
• soit équivalente à l’énergie de déformation calculée en utilisant la
distribution réelle de la contrainte de cisaillement sur la section

Ainsi, pour une contrainte de cisaillement τ, l ’énergie de
déformation U est donnée par :
∫
1
Puisque :
dVU
V
⋅⋅= ∫ γτ
2
1
G/
q
on peut écrire :
G/τγ =
(a)
2
1 2
∫∫ ⋅⋅= dxdA
G
U τ
2 ∫∫⋅ L A
G

E idé l i d i ill iEn considérant la contrainte de cisaillement moyenne agissant
sur l ’aire effective de cisaillement, l ’énergie de
déformation est donnée par :p
∫∫∫ ⋅⋅
⋅
=⋅⋅
⋅
=
L
cm
L A
m dxA
G
dxdA
G
U 22
2
1
2
1
ττ
Puisque
LL A
GG 22
cm AV /=τ
(b)
2
1 2
∫ ⋅= dx
A
V
G
U
2⋅ L cAG

1
(a)
2
1 2
∫∫ ⋅⋅
⋅
=
L A
dxdA
G
U τ
2
(b)
2
1 2
∫ ⋅
⋅
=
L c
dx
A
V
G
U
En comparant (a) et (b), on tire :
∫ dA
V 2
2
∫ ⋅=
Ac
dA
A
2
τ
(c)2
2
∫ ⋅
=
A
c
dA
V
A
τ
A
29

L’aire effective de cisaillement A d’une section estL aire effective de cisaillement Ac d une section est
déterminée en utilisant (c). Lorsque sa valeur est connue,
l’énergie de déformation due à l’effort tranchant peut alors
êt l lé f il t tili t (b)être calculée facilement en utilisant (b).
2
(b)
2
1 2
∫ ⋅
⋅
=
L c
dx
A
V
G
U
(c)2
2
∫
=c
dA
V
A ( )2
∫ ⋅
A
c
dAτ

Exemple : Déterminer l’aire effective de cisaillement AC d’unep C
poutre de section rectangulaire.
QV
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− y
h
b
2
bI
QV
z
zy
⋅
⋅
=τ
h y
⎞⎛ h1
⎠⎝
τ
x
y
z
V
⋅
=
3
hb
I
b
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ y
h
22
1
τ
yV
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+⋅⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−⋅=⋅= )
2
(
2
1
)
2
(
12
y
h
y
h
byAQ
I
z
z
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
⋅
⋅
= 2
2
3
2
6
y
h
hb
Vy
τ
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 222 ⎦⎣ ⎠⎝hb

Exemple (suite) : Section rectangulairep ( ) g
dyy
h
hb
V
bdA
h
y
A
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅=⋅ ∫∫
2
2
22/
0
62
2
2
2
36
2τ
∫ ⋅
=c
dA
V
A 2
2
τA ⎦⎣ ⎠⎝0
dyyy
hh
hb
V
dA
h
y
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
=⋅ ∫∫
2/
42
24
6
2
2
2
2
2
72
τ
∫A
yyy
hbA
⎥
⎦
⎢
⎣
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝⋅ ∫∫ 0
6
22
VhhhV
dA y ⋅
=⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛⋅+⎟
⎞
⎜
⎛⋅−⎟
⎞
⎜
⎛⋅
⋅
=⋅∫
61272 25552
2
τ
hbhb
dA
A
⋅⋅
=⎥
⎦
⎢
⎣
⎟
⎠
⎜
⎝
+⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝⋅
=∫ 5252326
τ
55 Ahb
A
⋅⋅⋅
66
Ac ==
32

Application : ypp
Aire effective de cisaillement Ac
d’un tube rond à paroi mince. z
R
t
A
2
A
tRAc =⋅⋅= π
Aire effective de cisaillement Ac R29
RA
c
d’un tube rond plein.
R2
10
9
RAc ⋅⋅= π

Application :
y
pp
aire effective de cisaillement Ac
d’un tube rectangulaire à paroi mince. t
h
z
thAc ⋅⋅≈ 2
b
aire effective de cisaillement Ac
y
c
d’une poutre en I.
hw
t
z
hwAc ⋅≈
b

Exemple : Déterminer la contribution de l’effort tranchant à la flèchep
au point d’application de la force P
P
P
L
52200xWA B
P
V
ABM B
x
•o
xPMM AB ⋅=⇒=∑ 0 2
46
33
h
mm10x7,52I
MPa77x10G;MPa10x200E
=
==De A à B : 0 < x < L
xPMM ABo ⇒∑ 0 2
c mm1627mm206x7,9mmhxwA ===
PV =
S l C ti li
U∂
δ
Selon Castigliano :
P
B
∂
=δ

VM
LL 22
dx
AG
V
dx
IE
M
U
L
c
L
AB
∫∫ ⋅⋅
+
⋅⋅
=
0
2
0
2
22
( ) ( )PVVPMMU LL
∂∂∂∂∂ //
MAB = P·x
V = P
( ) ( )
dx
AG
PVV
dx
IE
PMM
P
U L
c
L
ABAB
B ∫∫ ⋅
∂∂
+
⋅
∂∂
=
∂
∂
=
00
//
δ
( ) ( )LL
LPLPPP 1 3
( ) ( )
c
L
c
L
B
AG
LP
IE
LP
dx
AG
P
dx
IE
xxP
⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
= ∫∫ 3
1 3
00
δ
⎤⎡3
Plus la poutre est courte, plus la
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅
+⋅
⋅⋅
⋅
= 2
3
3
1
3 LAG
IE
IE
LP
c
Bδ
L, mm α α
p , p
contribution de l’effort tranchant
à la flèche est importante.
[ ]
3
3
253x10
1
3
+⋅
⋅⋅
⋅
= αδ
IE
LP
B
α+1
500 1,012 0,503
1000 0,253 0,202
2000 0,063 0,059
2
L
253x10
=α
L en mm
36
, ,
4000 0,016 0,016

Problème synthèse: Portiquey q
a) Déterminer les réactions aux appuis de
ce portique
mNw /,
B
C
D•
b) Déterminer la flèche au point C situé à
L/2 L
2/L 2/L
Les joints en B et D sont rigides; les
attaches en A et E sont des rotules A E
L

mNw /, mNw /,
B
C
D
,
B
C
D•
2/L 2/L
L
A
ERHA = RHE =
A E
L
AV EV
• Quatre réactions inconnues et trois équations d ’équilibre disponibles
∑∑∑ === 0;0;0 MFF
•Problème hyperstatique du premier degré; on choisit une équation de
compatibilité : δAH = δA = 0
∑∑∑ === 0;0;0 zyx MFF
• HA est la réaction surabondante
38

B D• B D•B C
D B
C
D
A E A E

mNw /, mNw /,
B
C
D
,
B
C
D•
2/L 2/L
L
A
ERHA = RHE =
A E
L
Par symétrie, on peut poser VA=VE=(wL)/2.
AV EV
La valeur de HA et HE sera obtenue à l ’aide de :
∑ =⇒= HHF 0
0=
∂
∂
=A
H
U
δ
∑ =⇒= EAx HHF 0 ∂ AH
40

mNw /,
Efforts internes
De A à B : 0 < x < L
De D à E : 0 < x < L
B C
D
Efforts internes
De D à E : 0 < x < L
P
x
L
Lw
P
xRM
AB
AB
⋅
−=
⋅=
2
ABM
ABP
V
•o
A
E
Lw
V
⋅ V
RHA = RHE =
RVAB
AB
=
2
RH
x
ABV 2
VA = EV
A
Lw
V
⋅
=
RHA =
2
VA =
41

mNw /,
De B à D : 0 < x < L
B D
x
Efforts internes
22
2
x
Lw
LR
xw
MBD ⋅
⋅
−⋅+
⋅
=
V
Lw
xwV
RP
BD
BD
⋅
−⋅=
= mNw /,
B
x
BDV
BDM
BDP•
o A
E
Lw
V
⋅ V
RHA =
RHE =
2
xwVBD x
2
VA = EV
RHA =
A
2
Lw
VA
⋅
=
42

2
x
Lw
LR
xw
MBD ⋅
⋅
−⋅+
⋅
=
xRM AB ⋅=
2
22
Lw
xwV
RP
xLRM
BD
BD
BD
⋅
−⋅=
=
+
RV
Lw
P
AB
AB
=
⋅
−=
2
( ) ( ) ( )
∑∑∫∑∫
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
==
∂
=δ
LR/PPdxR/VVdxR/MM
0
U ii
L
ii
L
ii
2
Selon Castigliano:
∑∑∫∑∫ ⋅
+
⋅
+
⋅
==
∂
=δ
AEAGIE
0
R 0 c0
A
( )
1
A B et DE
( ) ( ) ( )0
2
1
2
1
22
00
⎞⎛⎞⎛
+
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=
∂
∂
∫∫ AE
LwL
AG
dxR
IE
dxxRx
R
U L
c
L
( ) ( )
( )
0
1
0
22
1
2
1
00
2
=
⋅
+
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
∫∫ AE
LR
AG
dx
wL
wx
IE
dxLwLxwxRL L
c
L
00 c
BD
43

44
wLwL
022322
3
2
3
3
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
∂
∂
AE
RL
IE
wLwL
RL
AG
RL
IE
RL
R
U
c
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+
⋅
=
22
365
1
4 IEI
Lw
R
⎟
⎠
⎜
⎝
+⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
+ 22
365
ALGLAc
1⎟
⎞
⎜
⎛ EI
1⎟
⎞
⎜
⎛ ISi C l i12
<<<⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ GLAc
12
<<<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
AL
'R
wL
R ≈
Si et
l
Conclusion :
L’effet de l’effort tranchant et
de la force axiale sur l’énergie
'
20
RR =≈alors
g
de déformation est négligeable

Pour un portique fabriqué d ’un profilé W200x52 :Pour un portique fabriqué d un profilé W200x52 :
2246
1350et6660,107,52 mmAmmAmmxI c ===
L, mm R/w
x10-3
R’/w=L/20
x10-3
R’/R20
'
wL
R =
500 16,596 25 1,506
1000 44,405 50 1,127
⎟
⎞
⎜
⎛+⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+
⋅
=
365
1
4 IEI
Lw
R
, ,
2000 96,974 100 1,032
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
+ 22
365
ALGLAc
4000 198,57 200 1,007

Dans un portique de faible dimension L 500mm l ’effortDans un portique de faible dimension, L = 500mm, l ’effort
tranchant contribue pour 50% de la réaction horizontale aux
points A et E. Pour un portique aux dimensions plus
normales, L = 4 m, cette contribution est de 0,7 %.
L, mm R/w R’/w=L/20 R’/R,
x10-3
x10-3
500 16,596 25 1,506
1000 44,405 50 1,127
2000 96,974 100 1,032
4000 198,57 200 1,007

b) la flèche au point C
mNw /,
fictive=P
∂U B
C
D
0=∂
∂
=
P
C
P
U
δ
L
Puisqu’il n’y a pas de force au point C,
on ajoute une force fictive à ce
point ; il faut ensuite l ’équilibrer.
A
ERHA = RHE =
AV EV
2/P 2/P

On utilise les réactions calculéesOn utilise les réactions calculées
précédemment :
fictive=P
2
wL
VV EA ==
mNw /,
B
C
D
M
2
EA
20
wL
RHH EA ===
L
Ici on néglige les effets de l ’énergie de
déformation associée à la force axiale P et à
ABM
BDM L
l ’effort tranchant V.
ERHA =
wLwxP
LRM
2
A
2
wL
VA = EV
RHE =
2/P 2/PxRM AB ⋅=
x
22
x
2
LRMBD −+−⋅=
AB
48

LP 2 fictive=P
xRM AB ⋅=
x
2
wL
2
wx
x
2
P
LRM
2
BD −+−⋅= mNw /,
B
C
D
wL
R =xRM AB
d
PMMU ii
∑∫
∂∂∂ )/(
δ
ABM
BDM
20
R =
dx
EIP
ii
P
c ∑∫=
∂
=
=
)(
0
δ
ERHA = RHE =
A
2
wL
VA = EV
2/P 2/P∫ +=
∂
∂
=δ
=
L
00P
c
EI
dx)0(Rx
2
P
U
∫
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−L
2
0
EI
dx)
2
x
()Lxx(
2
w
x
2
P
RL
EI
wL
c
1920
13 4
=δ⇒
∫0
EI EI1920
49

P blè lé t i (f lt tif)Problème supplémentaire (facultatif) :
Calculer les déplacements vertical et horizontal δhC et δvC dans la
structure ci-contre soumise à la force P.
R
B
0=
∂
∂
=
Q
hC
Q
U
δ
0=∂
∂
=
Q
vC
P
U
δ
P
Q
B C
Efforts internes :
θBCM
BCP BCV
•o
L
A C
R
P Q

En négligeant les effets de la force axiale PBC et de l’effortEn négligeant les effets de la force axiale PBC et de l effort
tranchant VBC sur l ’énergie de déformation :
BCP BCVDe B à C : 0 < θ < π
[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQMBC θBCM
R
•o
B C
R
C
R
P Q
P
0=Q
C
ABM
x De A à B : 0 < x < L
RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2

dxMU ∂∂
∫ IE
dx
P
M
M
P
U i
i
Q
CV
⋅∂
∂
=
∂
∂
= ∑∫=0
δ
[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQMBC
RPxQM + 2 RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2
( )R cos11 θπ
[ ]{ }
( )
∫ ⋅
−
−⋅+⋅−
⋅
=
L
CV
dxR
d
IE
R
RPRQ
IE 0
2
cos1
)cos(1)sin(
1
θ
θ
θθδ
[ ]∫ ⋅
⋅⋅
⋅⋅+⋅+
IE
dxR
RPxQ
0
2
2

dMU ∂∂
IE
dx
P
M
M
Q
U i
i
Q
CH
⋅∂
∂
=
∂
∂
= ∑∫
=0
δ
[ ])cos(1()sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQMBC
RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2
{ }( )dRRPRQ
EI
L
CH −−⋅+⋅−= ∫0
sin)cos(1()sin(
1
θθθθδ
π
( ) dxxRPxQ
EI
L
⋅⋅⋅⋅+⋅+ ∫0
2
1

Énergétique

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (6)

Similaire à Énergétique

Similaire à Énergétique (20)

Plus de Mohamed Yassine Benfdil

Plus de Mohamed Yassine Benfdil (10)

Dernier

Dernier (6)

Énergétique