SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  19
Télécharger pour lire hors ligne
CHAPITRE II
CALCUL DES PORTIQUES
PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS
HEI 4 BTP
Hautes Etudes d’Ingénieur
13, rue de Toul
59046 Lille Cedex
Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes
moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans
ce plan.
Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud.
Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit
ainsi que les nœuds sont rigides.
I. Définitions
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.1 Déplacements des nœuds
En un nœud i d’une poutre, le déplacement δi à 3 composantes (ou 3
degrés de liberté)
u2
v2
θ2
u1
v1
θ1










=
i
i
i
θ
v
u
iδ
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.2 Eléments de réduction
Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un
effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections
extrêmes, les sens positifs sont les suivants:
N2
T2
µ2
N1
T1µ1
II.3 Forces extérieures
X2
Y2
M2
X1
Y1
M1
III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux
Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {δ}
s’écriront:
{ }


















=
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
F { }


















=
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
θ
θ
δ
Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément
poutre, c’est-à-dire:
⇔ [ ]


















=


















⋅
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
v
u
v
u
K
θ
θ
[ ] { } { }FK =⋅ δ
dimension 6x6
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x*
(cf chapitre précédent)












−
−
=






2
1
2
1
u
u
11
11
L
EA
X
X
Soit:


















⋅


















=


















2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
000000
000000
001001-
000000
000000
001-001
L
EA
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
On impose une rotation θ1 au nœud 1 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M1 nécessaire pour produire θ1 est (p 21) :
M2
M1
11
L
4EI
M θ=
ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 122
L
6EI
Y θ−=
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 121
L
6EI
Y θ=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12
L
2EI
M θ=
1 2
θ1
1 2
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
De même, on impose une rotation θ2 au nœud 2 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M2 nécessaire pour produire θ2 est :
M2
M1
22
L
4EI
M θ=
ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 221
L
6EI
Y θ=
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 222
L
6EI
Y θ−=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21
L
2EI
M θ=
21
θ2
21
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
En superposant les deux cas, on obtient:


















⋅
























−−
=


















2
2
2
1
1
1
22
22
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
4
00
2
00
6
00
6
00
000000
2
00
4
00
6
00
6
00
000000
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres
déplacements
Nous avons des moments (2.4 p 23)
1
2v1
M2
M1
1 2
12
12
21 v
L
6EI
L
vv
L
6EI
MM =
−
−==
ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 131 v
L
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 132 v
L
12EI
Y −=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous
les autres déplacements
Nous avons des moments
2
1 v2
M2
M1
21
22
12
21 v
L
6EI
L
vv
L
6EI
MM −=
−
−==
ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 232 v
L
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 231 v
L
12EI
Y −=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
En superposant les deux cas, on obtient:


















⋅
























−
−
−
−
=


















2
2
2
1
1
1
22
33
22
33
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
0
6
00
6
0
0
12
00
12
0
000000
0
6
00
6
0
0
12
00
12
0
000000
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère
local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):


















⋅






























−
−−−
−
−
−
−
=


















2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
46
0
26
0
612
0
612
0
00
L
EA
00
L
EA
26
0
46
0
612
0
612
0
00
L
EA
00
L
EA
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
  




e
*
K
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide
(p 63-65)
IV.2 En repère global
La matrice de rotation est la suivante:
[ ]










−=Ω
100
0
0
λµ
µλ
Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:
[ ]










⋅Ω=










1
1
1
1
*
1
*
1
*
M
Y
X
M
Y
X
[ ]










⋅Ω=










1
1
1
1
*
1
*
1
*
v
u
v
u
θθ
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère global
Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire :
{ } [ ] { }FFsoit
M
Y
X
M
Y
X
100000
0000
0000
000100
0000
0000
M
Y
X
M
Y
X
*
2
2
2
1
1
1
2
*
2
*
2
*
1
*
1
*
1
*
⋅Ω=


















⋅


















−
−
=


















λµ
µλ
λµ
µλ
De même, on a : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=*
En repère local, la relation de rigidité s’écrit :
On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
[ ] { } { }***
F=⋅ δeK
[ ] { } { }F=⋅ δeK
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère global
On a la relation de rigidité en repère local :
et : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=*
De plus :
La relation de rigidité en repère global s’écrit :
[ ] { } { }***
F=⋅ δeK
⇒ [ ] [ ] { } { }**
F=⋅Ω⋅ δeK
{ } [ ] { }FF*
⋅Ω=
⇒ [ ] [ ] { } [ ] { }F
*
⋅Ω=⋅Ω⋅ δeK
Ou encore : [ ] [ ] [ ] { } { }F
*1
=⋅Ω⋅⋅Ω
−
δeK
Comme on a : [ ] [ ]t1
Ω=Ω
−
[ ] [ ] [ ] { } { }F
*
=⋅Ω⋅⋅Ω δe
t
K
[ ]
globalrepèreen
rigiditédematrice
  
eK
V. Transformation des chargements en forces nodales
La relation {F}=[Ke].{δ} qu’on doit résoudre n’est valable que
lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds.
Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être
décomposée en forces nodales appelées forces de blocage.
On cherche donc à déterminer Ψi et Ψj qui correspondent aux
réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
















=
=
=
=Ψ
12
pl
M
2
pl
Y
0X
2
*
1
*
1
*
1
*
1
















−=
=
=
=Ψ
12
pl
M
2
pl
Y
0X
2
*
2
*
2
*
2
*
2
















=
=
=
=Ψ
8
pl
M
2
p
Y
0X
*
1
*
1
*
1
*
1
















−=
=
=
=Ψ
8
pl
M
2
p
Y
0X
*
2
*
2
*
2
*
2
VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre
Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds
s’écriront:










=










=
zj
yj
xj
j
zi
yi
xi
i
M
P
P
M
P
P
φφ et
jjjjijij
ijijiiii
KK
KK
Ψ++=
Ψ++=
δδφ
δδφ
Où φi et φj sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent
directement les nœuds i et j :
Forces de blocage
Forces de raideur
VII. Effet thermique sur les poutres
Les expressions en repère local des forces de blocage sont les
suivantes :
La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit
alors :
0
0
TEA-
0
0
TEA
**









 ∆
=









 ∆
=
α
ψ
α
ψ ji
(e)
j
(e)
jj
)(
jji
)(
ji
(e)
j
(e)
i
(e)
ij
)(
iji
)(
ii
(e)
i
KKF
KKF
Ψ+++=
Ψ+++=
ψδδ
ψδδ
ee
ee
VIII. Tableau de localisation
e i j EA/L 12EI/L3
6EI/L2
4EI/L ϕ λ µ
…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

Contenu connexe

Tendances

Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2Quang Huy Nguyen
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdmAthanas Konin
 
Dynamique des structures cours
Dynamique des structures coursDynamique des structures cours
Dynamique des structures coursMohamed Abid
 
Cv corriger pdf
Cv corriger pdfCv corriger pdf
Cv corriger pdfrochdi26
 
Dalles 05. poinçonnement
Dalles 05. poinçonnementDalles 05. poinçonnement
Dalles 05. poinçonnementSami Sahli
 
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...Hani sami joga
 
Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02AuRevoir4
 
Cours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxCours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxRamyBechker
 
Calcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutreCalcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutreNassima Bougteb 🏗
 
Hypothèses de calcul
Hypothèses de calcul Hypothèses de calcul
Hypothèses de calcul Zahir Hadji
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Zahir Hadji
 
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELSSBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELSMarwan Sadek
 
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductilesDimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductilesChakir ZAKARIAE
 
Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxSimoMagri
 
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang HuyCours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang HuyQuang Huy Nguyen
 

Tendances (20)

Analyse de structure i4
Analyse de structure i4Analyse de structure i4
Analyse de structure i4
 
Planchers en béton
Planchers en bétonPlanchers en béton
Planchers en béton
 
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2Calcul des voiles en BA selon l’EC2
Calcul des voiles en BA selon l’EC2
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm
 
Dynamique des structures cours
Dynamique des structures coursDynamique des structures cours
Dynamique des structures cours
 
12- poteaux
12- poteaux12- poteaux
12- poteaux
 
Cv corriger pdf
Cv corriger pdfCv corriger pdf
Cv corriger pdf
 
Dalles 05. poinçonnement
Dalles 05. poinçonnementDalles 05. poinçonnement
Dalles 05. poinçonnement
 
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...
exemple rapport de stage au Bureau d'etude BTP - télécharger : http://bit.ly/...
 
Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02
 
Cours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptxCours 1 RDM.pptx
Cours 1 RDM.pptx
 
15 poteau-2
15 poteau-215 poteau-2
15 poteau-2
 
Calcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutreCalcul du ferraillage d'une poutre
Calcul du ferraillage d'une poutre
 
Hypothèses de calcul
Hypothèses de calcul Hypothèses de calcul
Hypothèses de calcul
 
Chap compression simple 1
Chap compression simple 1Chap compression simple 1
Chap compression simple 1
 
12 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 212 plancher-Eurocode 2
12 plancher-Eurocode 2
 
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELSSBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
SBA1 - EC2 - Chap 6 - Flexion simple ELS
 
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductilesDimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
Dimensionnement d’un bâtiment de 6 étages avec murs de contreventements ductiles
 
Flexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptxFlexion Simple.pptx
Flexion Simple.pptx
 
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang HuyCours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
 

En vedette

Elements Finis Pour les Nuls (version courte)
Elements Finis Pour les Nuls (version courte)Elements Finis Pour les Nuls (version courte)
Elements Finis Pour les Nuls (version courte)Philippe Demoulin
 
Cours rdm 1_2_3
Cours rdm 1_2_3Cours rdm 1_2_3
Cours rdm 1_2_3farah1991
 
Correction Examen 2014-2015 RDM
Correction Examen 2014-2015 RDMCorrection Examen 2014-2015 RDM
Correction Examen 2014-2015 RDMMouna Souissi
 
4 réactions d'appui
4 réactions d'appui4 réactions d'appui
4 réactions d'appuirichardpleau
 
Charpente métallique
Charpente métallique Charpente métallique
Charpente métallique Sami Sahli
 
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_zm.a bensaaoud
 
Exercices rdm diplomes 05 14
Exercices  rdm diplomes 05 14Exercices  rdm diplomes 05 14
Exercices rdm diplomes 05 14m.a bensaaoud
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursm.a bensaaoud
 
Synthes eflexion 4t
Synthes eflexion 4tSynthes eflexion 4t
Synthes eflexion 4tabdourazg
 
charpante metalique 3 3-lisses de bardages
charpante metalique 3 3-lisses de bardagescharpante metalique 3 3-lisses de bardages
charpante metalique 3 3-lisses de bardagesmassinissachilla
 
Les structures spaciales.radja
Les structures spaciales.radjaLes structures spaciales.radja
Les structures spaciales.radjaHiba Architecte
 
Aplicaciones más manejables
Aplicaciones más manejablesAplicaciones más manejables
Aplicaciones más manejablesErnesto Jiménez
 

En vedette (20)

Elements Finis Pour les Nuls (version courte)
Elements Finis Pour les Nuls (version courte)Elements Finis Pour les Nuls (version courte)
Elements Finis Pour les Nuls (version courte)
 
Cours rdm 1_2_3
Cours rdm 1_2_3Cours rdm 1_2_3
Cours rdm 1_2_3
 
Elements fini
Elements finiElements fini
Elements fini
 
Cours mef
Cours mefCours mef
Cours mef
 
Correction Examen 2014-2015 RDM
Correction Examen 2014-2015 RDMCorrection Examen 2014-2015 RDM
Correction Examen 2014-2015 RDM
 
Examen RDM 2014-2015
Examen RDM 2014-2015Examen RDM 2014-2015
Examen RDM 2014-2015
 
4 réactions d'appui
4 réactions d'appui4 réactions d'appui
4 réactions d'appui
 
Charpente métallique
Charpente métallique Charpente métallique
Charpente métallique
 
8 poutres
8 poutres8 poutres
8 poutres
 
7 charges
7 charges7 charges
7 charges
 
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_zPolycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
Polycopie rdm 1_licence_2_genie_civil_harichan_z
 
Exercices rdm diplomes 05 14
Exercices  rdm diplomes 05 14Exercices  rdm diplomes 05 14
Exercices rdm diplomes 05 14
 
Exercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseursExercices coprrigés sur les torseurs
Exercices coprrigés sur les torseurs
 
Couverture
CouvertureCouverture
Couverture
 
Synthes eflexion 4t
Synthes eflexion 4tSynthes eflexion 4t
Synthes eflexion 4t
 
charpante metalique 3 3-lisses de bardages
charpante metalique 3 3-lisses de bardagescharpante metalique 3 3-lisses de bardages
charpante metalique 3 3-lisses de bardages
 
Les structures spaciales.radja
Les structures spaciales.radjaLes structures spaciales.radja
Les structures spaciales.radja
 
Rdm td 2
Rdm td 2Rdm td 2
Rdm td 2
 
Aplicaciones más manejables
Aplicaciones más manejablesAplicaciones más manejables
Aplicaciones más manejables
 
Para leer
Para leerPara leer
Para leer
 

Similaire à Calcules des portiques. méthodes des déplacements

Cours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesCours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesm.a bensaaoud
 
07_Transp_7.pdf
07_Transp_7.pdf07_Transp_7.pdf
07_Transp_7.pdfAuRevoir4
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfAuRevoir4
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfAuRevoir4
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)tawfik-masrour
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdfAuRevoir4
 
Flexion pure résistances des materiaux.ppt
Flexion pure résistances des materiaux.pptFlexion pure résistances des materiaux.ppt
Flexion pure résistances des materiaux.pptArmandKambire
 
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdf
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdfEtude-Dalot-Avec-Robot.pdf
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdfsabdou
 
Tps exercices corriges de mecanique des sols
Tps    exercices corriges de mecanique des solsTps    exercices corriges de mecanique des sols
Tps exercices corriges de mecanique des solsabdelkrim abdellaoui
 
Transfer de chaleur exercice corriger
Transfer de chaleur exercice corriger Transfer de chaleur exercice corriger
Transfer de chaleur exercice corriger ChennoufHalim
 
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...ssuserf33fd0
 
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé saoula khereddine
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmcT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmctawfik-masrour
 
Mef barre
Mef barreMef barre
Mef barreMED MED
 
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.fini
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.finiChapitre 11 etude de l'infrastructure.fini
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.finiSara TACHOUA
 

Similaire à Calcules des portiques. méthodes des déplacements (20)

Cours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifiesCours deplacements simplifies
Cours deplacements simplifies
 
Acétates du chapitre 2 (partie 1)
Acétates du chapitre 2 (partie 1)Acétates du chapitre 2 (partie 1)
Acétates du chapitre 2 (partie 1)
 
07_Transp_7.pdf
07_Transp_7.pdf07_Transp_7.pdf
07_Transp_7.pdf
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
Transp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdfTransp_2-1.pdf
Transp_2-1.pdf
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
 
Flexion pure résistances des materiaux.ppt
Flexion pure résistances des materiaux.pptFlexion pure résistances des materiaux.ppt
Flexion pure résistances des materiaux.ppt
 
00 ecc all
00 ecc all00 ecc all
00 ecc all
 
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdf
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdfEtude-Dalot-Avec-Robot.pdf
Etude-Dalot-Avec-Robot.pdf
 
Tps exercices corriges de mecanique des sols
Tps    exercices corriges de mecanique des solsTps    exercices corriges de mecanique des sols
Tps exercices corriges de mecanique des sols
 
Chapitre02
Chapitre02Chapitre02
Chapitre02
 
Transfer de chaleur exercice corriger
Transfer de chaleur exercice corriger Transfer de chaleur exercice corriger
Transfer de chaleur exercice corriger
 
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
 
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmcT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
 
Cours2 elements mecaniques.ppt
Cours2 elements mecaniques.pptCours2 elements mecaniques.ppt
Cours2 elements mecaniques.ppt
 
Cours rdm
Cours rdmCours rdm
Cours rdm
 
Mef barre
Mef barreMef barre
Mef barre
 
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.fini
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.finiChapitre 11 etude de l'infrastructure.fini
Chapitre 11 etude de l'infrastructure.fini
 

Plus de Sami Sahli

Oscar niemeyer
Oscar niemeyerOscar niemeyer
Oscar niemeyerSami Sahli
 
Satiago Calatrava
Satiago CalatravaSatiago Calatrava
Satiago CalatravaSami Sahli
 
Ecole primaire
Ecole primaire Ecole primaire
Ecole primaire Sami Sahli
 
Frank loyd Wright
Frank loyd WrightFrank loyd Wright
Frank loyd WrightSami Sahli
 
Cours alea sismique
Cours alea sismiqueCours alea sismique
Cours alea sismiqueSami Sahli
 
Acier infrastructure
Acier infrastructureAcier infrastructure
Acier infrastructureSami Sahli
 
la Maison mozabite
la Maison mozabitela Maison mozabite
la Maison mozabiteSami Sahli
 
Hamma les annasser. au 01
Hamma   les annasser. au 01Hamma   les annasser. au 01
Hamma les annasser. au 01Sami Sahli
 
Présentation de projet urbain
Présentation de projet urbainPrésentation de projet urbain
Présentation de projet urbainSami Sahli
 
L’habitat intermédiaire
L’habitat   intermédiaire L’habitat   intermédiaire
L’habitat intermédiaire Sami Sahli
 
Généralité sur les sols
Généralité sur les solsGénéralité sur les sols
Généralité sur les solsSami Sahli
 
Cours fondations
Cours fondationsCours fondations
Cours fondationsSami Sahli
 
Cour 04-le-new-urbanisme
Cour 04-le-new-urbanismeCour 04-le-new-urbanisme
Cour 04-le-new-urbanismeSami Sahli
 

Plus de Sami Sahli (20)

AL HAMRA HCA
AL HAMRA HCAAL HAMRA HCA
AL HAMRA HCA
 
Toyo ito
Toyo itoToyo ito
Toyo ito
 
Mur rideau
Mur rideau Mur rideau
Mur rideau
 
Oscar niemeyer
Oscar niemeyerOscar niemeyer
Oscar niemeyer
 
Satiago Calatrava
Satiago CalatravaSatiago Calatrava
Satiago Calatrava
 
Zaha hadid
Zaha hadidZaha hadid
Zaha hadid
 
Ecole primaire
Ecole primaire Ecole primaire
Ecole primaire
 
Frank loyd Wright
Frank loyd WrightFrank loyd Wright
Frank loyd Wright
 
Cours alea sismique
Cours alea sismiqueCours alea sismique
Cours alea sismique
 
Acier infrastructure
Acier infrastructureAcier infrastructure
Acier infrastructure
 
la Maison mozabite
la Maison mozabitela Maison mozabite
la Maison mozabite
 
Otto wagner
Otto wagnerOtto wagner
Otto wagner
 
Hamma les annasser. au 01
Hamma   les annasser. au 01Hamma   les annasser. au 01
Hamma les annasser. au 01
 
Présentation de projet urbain
Présentation de projet urbainPrésentation de projet urbain
Présentation de projet urbain
 
L’habitat intermédiaire
L’habitat   intermédiaire L’habitat   intermédiaire
L’habitat intermédiaire
 
Les dalles
Les dallesLes dalles
Les dalles
 
Généralité sur les sols
Généralité sur les solsGénéralité sur les sols
Généralité sur les sols
 
Cours fondations
Cours fondationsCours fondations
Cours fondations
 
Cour 04-le-new-urbanisme
Cour 04-le-new-urbanismeCour 04-le-new-urbanisme
Cour 04-le-new-urbanisme
 
Boufarik
BoufarikBoufarik
Boufarik
 

Dernier

Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Gabriel Gay-Para
 
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdf
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdfVulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdf
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdfSylvianeBachy
 
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avril
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avrilCalendrier de la semaine du 8 au 12 avril
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avrilfrizzole
 
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-Majida Antonios, M.Ed.
 
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienne
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienneChana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienne
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienneTxaruka
 
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptx
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptxDIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptx
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptxMartin M Flynn
 
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...Atelier Canopé 37 - Tours
 
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècle
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècleAux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècle
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècleAmar LAKEL, PhD
 
Apprendre avec des top et nano influenceurs
Apprendre avec des top et nano influenceursApprendre avec des top et nano influenceurs
Apprendre avec des top et nano influenceursStagiaireLearningmat
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx   Film     françaisPas de vagues.  pptx   Film     français
Pas de vagues. pptx Film françaisTxaruka
 
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdf
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdfLa Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdf
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdfbdp12
 
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdf
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdfBibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdf
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdfAtelier Canopé 37 - Tours
 
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24BenotGeorges3
 
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptx
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptxPrésentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptx
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptxJCAC
 
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdf
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdfBibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdf
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdfAtelier Canopé 37 - Tours
 

Dernier (17)

Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
 
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdf
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdfVulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdf
Vulnérabilité numérique d’usage : un enjeu pour l’aide à la réussitepdf
 
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avril
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avrilCalendrier de la semaine du 8 au 12 avril
Calendrier de la semaine du 8 au 12 avril
 
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-
Copilot your everyday AI companion- OFFICE 365-
 
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienne
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienneChana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienne
Chana Orloff.pptx Sculptrice franco-ukranienne
 
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...
L'Unité de Spiritualité Eudiste se joint à toute l'Église Universelle et en p...
 
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptx
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptxDIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptx
DIGNITAS INFINITA - DIGNITÉ HUMAINE; déclaration du dicastère .pptx
 
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...
Bibdoc 2024 - L’Éducation aux Médias et à l’Information face à l’intelligence...
 
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècle
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècleAux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècle
Aux origines de la sociologie : du XIXème au début XX ème siècle
 
Apprendre avec des top et nano influenceurs
Apprendre avec des top et nano influenceursApprendre avec des top et nano influenceurs
Apprendre avec des top et nano influenceurs
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx   Film     françaisPas de vagues.  pptx   Film     français
Pas de vagues. pptx Film français
 
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdf
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdfLa Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdf
La Base unique départementale - Quel bilan, au bout de 5 ans .pdf
 
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdf
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdfBibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdf
Bibdoc 2024 - Les intelligences artificielles en bibliotheque.pdf
 
Bulletin des bibliotheques Burkina Faso mars 2024
Bulletin des bibliotheques Burkina Faso mars 2024Bulletin des bibliotheques Burkina Faso mars 2024
Bulletin des bibliotheques Burkina Faso mars 2024
 
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 10-04-24
 
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptx
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptxPrésentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptx
Présentation - Initiatives - CECOSDA - OIF - Fact Checking.pptx
 
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdf
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdfBibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdf
Bibdoc 2024 - Sobriete numerique en bibliotheque et centre de documentation.pdf
 

Calcules des portiques. méthodes des déplacements

  • 1. CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS HEI 4 BTP Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex
  • 2. Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud. Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides. I. Définitions II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.1 Déplacements des nœuds En un nœud i d’une poutre, le déplacement δi à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté) u2 v2 θ2 u1 v1 θ1           = i i i θ v u iδ
  • 3. II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.2 Eléments de réduction Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections extrêmes, les sens positifs sont les suivants: N2 T2 µ2 N1 T1µ1 II.3 Forces extérieures X2 Y2 M2 X1 Y1 M1
  • 4. III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {δ} s’écriront: { }                   = 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X F { }                   = 2 2 2 1 1 1 v u v u θ θ δ Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément poutre, c’est-à-dire: ⇔ [ ]                   =                   ⋅ 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X v u v u K θ θ [ ] { } { }FK =⋅ δ dimension 6x6
  • 5. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)             − − =       2 1 2 1 u u 11 11 L EA X X Soit:                   ⋅                   =                   2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 v u v u 000000 000000 001001- 000000 000000 001-001 L EA M Y X M Y X θ θ
  • 6. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* On impose une rotation θ1 au nœud 1 en bloquant les autres déplacements Le moment M1 nécessaire pour produire θ1 est (p 21) : M2 M1 11 L 4EI M θ= ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 122 L 6EI Y θ−= De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 121 L 6EI Y θ= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12 L 2EI M θ= 1 2 θ1 1 2 Y1 Y2
  • 7. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* De même, on impose une rotation θ2 au nœud 2 en bloquant les autres déplacements Le moment M2 nécessaire pour produire θ2 est : M2 M1 22 L 4EI M θ= ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 221 L 6EI Y θ= De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 222 L 6EI Y θ−= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21 L 2EI M θ= 21 θ2 21 Y1 Y2
  • 8. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* En superposant les deux cas, on obtient:                   ⋅                         −− =                   2 2 2 1 1 1 22 22 2 2 2 1 1 1 v u v u 4 00 2 00 6 00 6 00 000000 2 00 4 00 6 00 6 00 000000 M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI
  • 9. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments (2.4 p 23) 1 2v1 M2 M1 1 2 12 12 21 v L 6EI L vv L 6EI MM = − −== ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 131 v L 12EI Y = De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 132 v L 12EI Y −= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Y1 Y2
  • 10. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments 2 1 v2 M2 M1 21 22 12 21 v L 6EI L vv L 6EI MM −= − −== ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 232 v L 12EI Y = De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 231 v L 12EI Y −= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Y1 Y2
  • 11. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* En superposant les deux cas, on obtient:                   ⋅                         − − − − =                   2 2 2 1 1 1 22 33 22 33 2 2 2 1 1 1 v u v u 0 6 00 6 0 0 12 00 12 0 000000 0 6 00 6 0 0 12 00 12 0 000000 M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI
  • 12. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):                   ⋅                               − −−− − − − − =                   2 2 2 1 1 1 22 2323 22 2323 2 2 2 1 1 1 v u v u 46 0 26 0 612 0 612 0 00 L EA 00 L EA 26 0 46 0 612 0 612 0 00 L EA 00 L EA M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI        e * K
  • 13. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65) IV.2 En repère global La matrice de rotation est la suivante: [ ]           −=Ω 100 0 0 λµ µλ Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations: [ ]           ⋅Ω=           1 1 1 1 * 1 * 1 * M Y X M Y X [ ]           ⋅Ω=           1 1 1 1 * 1 * 1 * v u v u θθ
  • 14. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : { } [ ] { }FFsoit M Y X M Y X 100000 0000 0000 000100 0000 0000 M Y X M Y X * 2 2 2 1 1 1 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1 * ⋅Ω=                   ⋅                   − − =                   λµ µλ λµ µλ De même, on a : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=* En repère local, la relation de rigidité s’écrit : On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit : [ ] { } { }*** F=⋅ δeK [ ] { } { }F=⋅ δeK
  • 15. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global On a la relation de rigidité en repère local : et : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=* De plus : La relation de rigidité en repère global s’écrit : [ ] { } { }*** F=⋅ δeK ⇒ [ ] [ ] { } { }** F=⋅Ω⋅ δeK { } [ ] { }FF* ⋅Ω= ⇒ [ ] [ ] { } [ ] { }F * ⋅Ω=⋅Ω⋅ δeK Ou encore : [ ] [ ] [ ] { } { }F *1 =⋅Ω⋅⋅Ω − δeK Comme on a : [ ] [ ]t1 Ω=Ω − [ ] [ ] [ ] { } { }F * =⋅Ω⋅⋅Ω δe t K [ ] globalrepèreen rigiditédematrice    eK
  • 16. V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[Ke].{δ} qu’on doit résoudre n’est valable que lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds. Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être décomposée en forces nodales appelées forces de blocage. On cherche donc à déterminer Ψi et Ψj qui correspondent aux réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75). M2M1 Y1 Y2 p 21 l M2M1 Y1 Y2 p 21 l                 = = = =Ψ 12 pl M 2 pl Y 0X 2 * 1 * 1 * 1 * 1                 −= = = =Ψ 12 pl M 2 pl Y 0X 2 * 2 * 2 * 2 * 2                 = = = =Ψ 8 pl M 2 p Y 0X * 1 * 1 * 1 * 1                 −= = = =Ψ 8 pl M 2 p Y 0X * 2 * 2 * 2 * 2
  • 17. VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriront:           =           = zj yj xj j zi yi xi i M P P M P P φφ et jjjjijij ijijiiii KK KK Ψ++= Ψ++= δδφ δδφ Où φi et φj sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent directement les nœuds i et j : Forces de blocage Forces de raideur
  • 18. VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage sont les suivantes : La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors : 0 0 TEA- 0 0 TEA **           ∆ =           ∆ = α ψ α ψ ji (e) j (e) jj )( jji )( ji (e) j (e) i (e) ij )( iji )( ii (e) i KKF KKF Ψ+++= Ψ+++= ψδδ ψδδ ee ee
  • 19. VIII. Tableau de localisation e i j EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L ϕ λ µ …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….