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CHAPITRE II
CALCUL DES PORTIQUES
PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS
HEI 4 BTP
Hautes Etudes d’Ingénieur
13, rue de Toul
59046 Lille Cedex
Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes
moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans
ce plan.
Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud.
Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit
ainsi que les nœuds sont rigides.
I. Définitions
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.1 Déplacements des nœuds
En un nœud i d’une poutre, le déplacement δi à 3 composantes (ou 3
degrés de liberté)
u2
v2
θ2
u1
v1
θ1










=
i
i
i
θ
v
u
iδ
II. Conventions de signes sur les éléments poutres
II.2 Eléments de réduction
Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un
effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections
extrêmes, les sens positifs sont les suivants:
N2
T2
µ2
N1
T1µ1
II.3 Forces extérieures
X2
Y2
M2
X1
Y1
M1
III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux
Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {δ}
s’écriront:
{ }


















=
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
F { }


















=
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
θ
θ
δ
Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément
poutre, c’est-à-dire:
⇔ [ ]


















=


















⋅
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
v
u
v
u
K
θ
θ
[ ] { } { }FK =⋅ δ
dimension 6x6
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x*
(cf chapitre précédent)












−
−
=






2
1
2
1
u
u
11
11
L
EA
X
X
Soit:


















⋅


















=


















2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
000000
000000
001001-
000000
000000
001-001
L
EA
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
On impose une rotation θ1 au nœud 1 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M1 nécessaire pour produire θ1 est (p 21) :
M2
M1
11
L
4EI
M θ=
ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 122
L
6EI
Y θ−=
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 121
L
6EI
Y θ=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12
L
2EI
M θ=
1 2
θ1
1 2
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
De même, on impose une rotation θ2 au nœud 2 en bloquant les autres
déplacements
Le moment M2 nécessaire pour produire θ2 est :
M2
M1
22
L
4EI
M θ=
ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 221
L
6EI
Y θ=
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 222
L
6EI
Y θ−=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21
L
2EI
M θ=
21
θ2
21
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*
En superposant les deux cas, on obtient:


















⋅
























−−
=


















2
2
2
1
1
1
22
22
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
4
00
2
00
6
00
6
00
000000
2
00
4
00
6
00
6
00
000000
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres
déplacements
Nous avons des moments (2.4 p 23)
1
2v1
M2
M1
1 2
12
12
21 v
L
6EI
L
vv
L
6EI
MM =
−
−==
ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 131 v
L
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 132 v
L
12EI
Y −=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous
les autres déplacements
Nous avons des moments
2
1 v2
M2
M1
21
22
12
21 v
L
6EI
L
vv
L
6EI
MM −=
−
−==
ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 232 v
L
12EI
Y =
De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 231 v
L
12EI
Y −=
Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0
Y1 Y2
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*
En superposant les deux cas, on obtient:


















⋅
























−
−
−
−
=


















2
2
2
1
1
1
22
33
22
33
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
0
6
00
6
0
0
12
00
12
0
000000
0
6
00
6
0
0
12
00
12
0
000000
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère
local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):


















⋅






























−
−−−
−
−
−
−
=


















2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
46
0
26
0
612
0
612
0
00
L
EA
00
L
EA
26
0
46
0
612
0
612
0
00
L
EA
00
L
EA
M
Y
X
M
Y
X
θ
θ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
  




e
*
K
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère local
Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide
(p 63-65)
IV.2 En repère global
La matrice de rotation est la suivante:
[ ]










−=Ω
100
0
0
λµ
µλ
Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:
[ ]










⋅Ω=










1
1
1
1
*
1
*
1
*
M
Y
X
M
Y
X
[ ]










⋅Ω=










1
1
1
1
*
1
*
1
*
v
u
v
u
θθ
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère global
Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire :
{ } [ ] { }FFsoit
M
Y
X
M
Y
X
100000
0000
0000
000100
0000
0000
M
Y
X
M
Y
X
*
2
2
2
1
1
1
2
*
2
*
2
*
1
*
1
*
1
*
⋅Ω=


















⋅


















−
−
=


















λµ
µλ
λµ
µλ
De même, on a : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=*
En repère local, la relation de rigidité s’écrit :
On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
[ ] { } { }***
F=⋅ δeK
[ ] { } { }F=⋅ δeK
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire
IV.1 En repère global
On a la relation de rigidité en repère local :
et : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=*
De plus :
La relation de rigidité en repère global s’écrit :
[ ] { } { }***
F=⋅ δeK
⇒ [ ] [ ] { } { }**
F=⋅Ω⋅ δeK
{ } [ ] { }FF*
⋅Ω=
⇒ [ ] [ ] { } [ ] { }F
*
⋅Ω=⋅Ω⋅ δeK
Ou encore : [ ] [ ] [ ] { } { }F
*1
=⋅Ω⋅⋅Ω
−
δeK
Comme on a : [ ] [ ]t1
Ω=Ω
−
[ ] [ ] [ ] { } { }F
*
=⋅Ω⋅⋅Ω δe
t
K
[ ]
globalrepèreen
rigiditédematrice
  
eK
V. Transformation des chargements en forces nodales
La relation {F}=[Ke].{δ} qu’on doit résoudre n’est valable que
lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds.
Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être
décomposée en forces nodales appelées forces de blocage.
On cherche donc à déterminer Ψi et Ψj qui correspondent aux
réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
M2M1
Y1 Y2
p
21
l
















=
=
=
=Ψ
12
pl
M
2
pl
Y
0X
2
*
1
*
1
*
1
*
1
















−=
=
=
=Ψ
12
pl
M
2
pl
Y
0X
2
*
2
*
2
*
2
*
2
















=
=
=
=Ψ
8
pl
M
2
p
Y
0X
*
1
*
1
*
1
*
1
















−=
=
=
=Ψ
8
pl
M
2
p
Y
0X
*
2
*
2
*
2
*
2
VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre
Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds
s’écriront:










=










=
zj
yj
xj
j
zi
yi
xi
i
M
P
P
M
P
P
φφ et
jjjjijij
ijijiiii
KK
KK
Ψ++=
Ψ++=
δδφ
δδφ
Où φi et φj sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent
directement les nœuds i et j :
Forces de blocage
Forces de raideur
VII. Effet thermique sur les poutres
Les expressions en repère local des forces de blocage sont les
suivantes :
La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit
alors :
0
0
TEA-
0
0
TEA
**









 ∆
=









 ∆
=
α
ψ
α
ψ ji
(e)
j
(e)
jj
)(
jji
)(
ji
(e)
j
(e)
i
(e)
ij
)(
iji
)(
ii
(e)
i
KKF
KKF
Ψ+++=
Ψ+++=
ψδδ
ψδδ
ee
ee
VIII. Tableau de localisation
e i j EA/L 12EI/L3
6EI/L2
4EI/L ϕ λ µ
…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

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Calcules des portiques. méthodes des déplacements

  • 1. CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS HEI 4 BTP Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex
  • 2. Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud. Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides. I. Définitions II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.1 Déplacements des nœuds En un nœud i d’une poutre, le déplacement δi à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté) u2 v2 θ2 u1 v1 θ1           = i i i θ v u iδ
  • 3. II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.2 Eléments de réduction Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections extrêmes, les sens positifs sont les suivants: N2 T2 µ2 N1 T1µ1 II.3 Forces extérieures X2 Y2 M2 X1 Y1 M1
  • 4. III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {δ} s’écriront: { }                   = 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X F { }                   = 2 2 2 1 1 1 v u v u θ θ δ Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément poutre, c’est-à-dire: ⇔ [ ]                   =                   ⋅ 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 M Y X M Y X v u v u K θ θ [ ] { } { }FK =⋅ δ dimension 6x6
  • 5. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)             − − =       2 1 2 1 u u 11 11 L EA X X Soit:                   ⋅                   =                   2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 v u v u 000000 000000 001001- 000000 000000 001-001 L EA M Y X M Y X θ θ
  • 6. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* On impose une rotation θ1 au nœud 1 en bloquant les autres déplacements Le moment M1 nécessaire pour produire θ1 est (p 21) : M2 M1 11 L 4EI M θ= ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 122 L 6EI Y θ−= De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 121 L 6EI Y θ= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12 L 2EI M θ= 1 2 θ1 1 2 Y1 Y2
  • 7. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* De même, on impose une rotation θ2 au nœud 2 en bloquant les autres déplacements Le moment M2 nécessaire pour produire θ2 est : M2 M1 22 L 4EI M θ= ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 221 L 6EI Y θ= De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 222 L 6EI Y θ−= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21 L 2EI M θ= 21 θ2 21 Y1 Y2
  • 8. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z* En superposant les deux cas, on obtient:                   ⋅                         −− =                   2 2 2 1 1 1 22 22 2 2 2 1 1 1 v u v u 4 00 2 00 6 00 6 00 000000 2 00 4 00 6 00 6 00 000000 M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI
  • 9. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments (2.4 p 23) 1 2v1 M2 M1 1 2 12 12 21 v L 6EI L vv L 6EI MM = − −== ΣMt/2=0 ⇒ M1+M2-Y1L=0 ⇒ 131 v L 12EI Y = De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 132 v L 12EI Y −= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Y1 Y2
  • 10. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments 2 1 v2 M2 M1 21 22 12 21 v L 6EI L vv L 6EI MM −= − −== ΣMt/1=0 ⇒ M1+M2+Y2L=0 ⇒ 232 v L 12EI Y = De plus, on a Y1+Y2=0 ⇒ 231 v L 12EI Y −= Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0 Y1 Y2
  • 11. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y* En superposant les deux cas, on obtient:                   ⋅                         − − − − =                   2 2 2 1 1 1 22 33 22 33 2 2 2 1 1 1 v u v u 0 6 00 6 0 0 12 00 12 0 000000 0 6 00 6 0 0 12 00 12 0 000000 M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI
  • 12. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):                   ⋅                               − −−− − − − − =                   2 2 2 1 1 1 22 2323 22 2323 2 2 2 1 1 1 v u v u 46 0 26 0 612 0 612 0 00 L EA 00 L EA 26 0 46 0 612 0 612 0 00 L EA 00 L EA M Y X M Y X θ θ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI        e * K
  • 13. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65) IV.2 En repère global La matrice de rotation est la suivante: [ ]           −=Ω 100 0 0 λµ µλ Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations: [ ]           ⋅Ω=           1 1 1 1 * 1 * 1 * M Y X M Y X [ ]           ⋅Ω=           1 1 1 1 * 1 * 1 * v u v u θθ
  • 14. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : { } [ ] { }FFsoit M Y X M Y X 100000 0000 0000 000100 0000 0000 M Y X M Y X * 2 2 2 1 1 1 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1 * ⋅Ω=                   ⋅                   − − =                   λµ µλ λµ µλ De même, on a : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=* En repère local, la relation de rigidité s’écrit : On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit : [ ] { } { }*** F=⋅ δeK [ ] { } { }F=⋅ δeK
  • 15. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global On a la relation de rigidité en repère local : et : { } [ ] { }δδ ⋅Ω=* De plus : La relation de rigidité en repère global s’écrit : [ ] { } { }*** F=⋅ δeK ⇒ [ ] [ ] { } { }** F=⋅Ω⋅ δeK { } [ ] { }FF* ⋅Ω= ⇒ [ ] [ ] { } [ ] { }F * ⋅Ω=⋅Ω⋅ δeK Ou encore : [ ] [ ] [ ] { } { }F *1 =⋅Ω⋅⋅Ω − δeK Comme on a : [ ] [ ]t1 Ω=Ω − [ ] [ ] [ ] { } { }F * =⋅Ω⋅⋅Ω δe t K [ ] globalrepèreen rigiditédematrice    eK
  • 16. V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[Ke].{δ} qu’on doit résoudre n’est valable que lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds. Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être décomposée en forces nodales appelées forces de blocage. On cherche donc à déterminer Ψi et Ψj qui correspondent aux réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75). M2M1 Y1 Y2 p 21 l M2M1 Y1 Y2 p 21 l                 = = = =Ψ 12 pl M 2 pl Y 0X 2 * 1 * 1 * 1 * 1                 −= = = =Ψ 12 pl M 2 pl Y 0X 2 * 2 * 2 * 2 * 2                 = = = =Ψ 8 pl M 2 p Y 0X * 1 * 1 * 1 * 1                 −= = = =Ψ 8 pl M 2 p Y 0X * 2 * 2 * 2 * 2
  • 17. VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriront:           =           = zj yj xj j zi yi xi i M P P M P P φφ et jjjjijij ijijiiii KK KK Ψ++= Ψ++= δδφ δδφ Où φi et φj sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent directement les nœuds i et j : Forces de blocage Forces de raideur
  • 18. VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage sont les suivantes : La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors : 0 0 TEA- 0 0 TEA **           ∆ =           ∆ = α ψ α ψ ji (e) j (e) jj )( jji )( ji (e) j (e) i (e) ij )( iji )( ii (e) i KKF KKF Ψ+++= Ψ+++= ψδδ ψδδ ee ee
  • 19. VIII. Tableau de localisation e i j EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L ϕ λ µ …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….