SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  20
Télécharger pour lire hors ligne
4 Systèmes à plusieurs degrés de liberté
Figure 4.1: Oscillateurs multiples à trois (ou deux) masses concentrées sans amortissement. Représentation tradi-
tionnelle orientée mécanique (a) et représentations orientées structure (b, c).
m1
k1
x1(t)
m2
k2
x2(t)
m3
k3
x3(t)
∞
I
∞
I
I1 I1
I2 I2
x2(t)
m1
m2
x1(t)
x1(t)
m1
m2
x2(t)
m3
x3(t)
I1
I2
I3
a) c)
b)
4.2 Oscillations libres non amorties
Figure 4.2: Forces agissant sur les masses pour un oscillateur multiple à trois masses concentrées sans amortisse-
ment. Seule les forces provenant de l’effet des ressorts interviennent dans les oscillations horizontales.
m1
k1
x1(t)
m2
k2
x2(t)
m3
k3
x3(t)
Causes
Effets
selon X1
selon X2
1
X = 1 2
X = 1 3
X = 1
Forces
selon X3
Forces
Forces
k2
k1 k2
k3
k2 k3
k2
k3
k3
4.2.1 Equation du mouvement
Le système d’équations différentielles s’établit à partir des forces agissant sur chacune de ses masses:
(4.1)
4.2.2 Forme matricielle
Ce système d’équations s’écrit de manière condensée sous la forme matricielle:
(4.2)
ou encore avec les matrices développées:
F
∑ 1 k1 k2
+
( ) x1
⋅
– k2 x2
⋅
+ m1 x
··
1
⋅
= =
F
∑ 2 k2 x1
⋅ k2 k3
+
( ) x2
⋅
– k3 x3
⋅
+ m2 x
··
2
⋅
= =
F
∑ 3 k3 x2
⋅ k3 x3
⋅
– m3 x
··
3
⋅
= =
M x
··
⋅ K x
⋅
+ 0
=
D’une manière plus générale, le système d’équations peut être exprimé sous la forme suivante:
Dans l’équ. (4.2), M est la matrice des masses, K la matrice de rigidité et x le vecteur des déplacements:
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
x
··
1
x
··
2
x
··
3
⋅
k1 k2
+ k2
– 0
k2
– k2 k3
+ k3
–
0 k3
– k3
x1
x2
x3
⋅
+
0
0
0
=
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
x
··
1
x
··
2
x
··
3
⋅
k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
x1
x2
x3
⋅
+
0
0
0
=
M
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
= K
k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
= x
x1
x2
x3
=
4.2.3 Modes propres et pulsations propres
Le système d’équations est couplé. Toutes les lignes sont interdépendantes et il n’est pas possible de
procéder à une résolution simple.
En faisant l’hypothèse de déplacements harmoniques: , le système devient:
ou bien (4.3)
Pour l’oscillateur à trois masses , en regroupant les termes, on obtient:
(4.4)
Le système d’équations possède d’autres solutions que la solution triviale (xj=0) si la matrice a un
déterminant nul.
xn An ωnt φ
–
( )
sin
=
ωn
2
– M x
⋅ ⋅ K x
⋅
+ 0
= K ωn
2
M
⋅
–
[ ] x
[ ]
⋅ 0
=
k11 ωn
2
m1
–
( ) k12 k13
k21 k22 ωn
2
m2
–
( ) k23
k31 k32 k33 ωn
2
m3
–
( )
x1
x2
x3
⋅
0
0
0
=
4.2.4 Exemple cadre bi-encastré à deux étages avec traverses infiniment rigides
Figure 4.3: Tableau synoptique regroupant les forces nécessaires à l’établissement du système d’équations pour un
cadre bi-encastré à deux étages avec des traverses infiniment rigides.
Causes
Effets
2
X = 1
1
X = 1
Forces
selon X1
Forces
selon X2
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
EI
12 1
h3
EI
12 1
h3
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
EI
12 2
h3
Causes
Effets
2
X = 1
1
X = 1
Forces
selon X1
Forces
selon X2
k12
k22
k21
k11
En posant k1=Σ12·EI1/h3 et k2=Σ12·EI2/h3, on obtient le système d’équations suivant:
Dans le cas particulier où m1=2·m2=2m et k1=2·k2=2k, le système d’équations devient:
Le problème aux valeurs propres s’exprime alors de la manière suivante:
m1 0
0 m2
x
··
1
x
··
2
⋅
k1 k2
+ k2
–
k2
– k2
x1
x2
⋅
+ 0
0
=
2m 0
0 m
x
··
1
x
··
2
⋅ 3k k
–
k
– k
x1
x2
⋅
+ 0
0
=
K ωn
2
M
⋅
– 0
=
3k ωn
2
2m
⋅
–
( ) k
–
k
– k ωn
2
m
⋅
–
( )
0 3k ωn
2
2m
⋅
–
( ) k ωn
2
m
⋅
–
( )
⋅ k
2
– 2m
2
ωn
4
5mkωn
2
– 2k
2
+
= = =
L’équation caractéristique a deux solutions pour ωn
2:
Les pulsations propres du système valent donc:
et
Les modes propres correspondent aux deux vecteurs propres et .
Ils vérifient les relations suivantes:
ωn
2 5mk 25m
2
k
2
16m
2
k
2
–
±
4m
2
-------------------------------------------------------------------
-
= ω1
2 k
2m
-------
- ω2
2 2k
m
-----
-
=
;
=
⇒
ω1
1
2
------
-
k
m
---
-
⋅
= ω2 2
k
m
---
-
⋅
=
1
2
--
-
1
1
–
1
3k ω1
2
2m
⋅
–
( ) k
–
k
– k ω1
2
m
⋅
–
( )
1
2
--
-
1
⋅
2k k
–
k
–
k
2
--
-
1
2
--
-
1
⋅ 0
0
= =
Figure 4.4: Cadre bi-encastré à deux étages avec traverses infiniment rigides (a). Modes propres (b et c).
3k ω2
2
2m
⋅
–
( ) k
–
k
– k ω2
2
m
⋅
–
( )
1
–
1
⋅ k
– k
–
k
– k
–
1
–
1
⋅ 0
0
= =
a21 = 1
a11 = 1/2
ω1 = √k/2m ω2 = √2k/m
a22 = 1
a12 = –1
∞
I
∞
I
k/2
x2
2m
m
x1
k
k/2
k
a) b) c)
Les vecteurs propres (modes propres) possèdent des propriétés d’orthogonalité. Pas directement entre
eux, mais par rapport à la matrice de rigidité (K) et à la matrice des masses (M):
Si toutes les masses d’étages sont identiques, alors les vecteurs propres (modes propres) sont directe-
ment orthogonaux au sens habituel du terme.
Grâce à cette propriété d’orthogonalité, les modes propres permettent d’exprimer les déplacements
d’une autre manière:
(4.5)
Il s’agit d’un changement de variables par lequel les déplacements (xj) peuvent s’exprimer en coordon-
nées modales (zn). An sont les vecteurs propres, z les coordonnées modales et A la matrice des vecteurs
modaux.
1 2
⁄ 1
3k k
–
k
– k
1
–
1
⋅ ⋅ 0
= 1 2
⁄ 1
2m 0
0 m
1
–
1
⋅ ⋅ 0
=
x
x1
x2
1
2
--
-
1
z1 t
( )
⋅ 1
–
1
z2 t
( )
⋅
+
A11
A21
z1 t
( )
⋅
A12
A22
z2 t
( )
⋅
+ An
zn
⋅
n 1
=
2
∑ A z
⋅
= = = = =
4.2.5 Illustration du comportement dynamique
Oscillations libres non amorties du cadre, consécutives à des déplacements initiaux:
Figure 4.5: Oscillations libres non amorties du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux quelconques (a).
Evolution au cours du temps des coordonnées modales (b) et des déplacements d’étages (c).
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
Z
n
(t)
Z1
Z2
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x
2
(t)
-1
0
1
2
x
1
(t)
∞
I
∞
I
k/2
2m
m
k
k/2
k
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
x
2
(t)
0 1 2 3 4
t/T1
-2
-1
0
1
2
x
1
(t)
a)
b) c)
Figure 4.6: Oscillations libres du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux proportionnels au premier mode
propre (a). Evolution au cours du temps de la coordonnée modale Z1 (b) et des déplacements d’étages (c). Les
oscillations sont harmoniques et s’effectuent exclusivement selon le premier mode.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
Z
1
(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1
0
1
2
x
2
(t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t/T1
-2
-1
0
1
2
x
1
(t)
∞
I
∞
I
k/2
2m
m
k
k/2
k
a)
b)
c)
Figure 4.7: Oscillations libres du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux proportionnels au deuxième
mode propre (a). Evolution au cours du temps de la coordonnée modale Z2 (b) et des déplacements d’étages (c). Les
oscillations s’effectuent exclusivement selon le deuxième mode.
0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
Z
2
(t)
0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
x
2
(t)
0 1 2 3 4 5 6
t/T2
-1
0
1
x
1
(t)
∞
I
∞
I
k/2
2m
m
k
k/2
k
a)
b)
c)
L’amplitude des modes propres n’est pas définie. Une opération de normalisation des modes est alors
nécessaire. C’est en général, celle de la déformation maximale unitaire qui est choisie.
Instructions MatLab
%
%************************************
% Vecteurs propres et valeurs propres
%************************************
[V,D]=eig(K,M);
% frequences propres
frequ=diag(sqrt(D)/2/pi);
disp('Frequences propres [Hz]:')
disp(frequ')
%
%***********************************
% Normalisation des vecteurs propres
%***********************************
% Matrice des max des vecteurs propres
phimax=(max(abs(V))'*diag(eye(n))')';
% Matrice des vecteurs propres normalises
phi=V./phimax;
%
4.2.6 Matrice de rigidité
Pour la détermination de la matrice de rigidité, dans le cas de bâtiments stabilisés par des refends (voi-
les) en béton armé, il vaut mieux passer par l’établissement préliminaire de la matrice de flexibilité.
Figure 4.8: Relation à la base de l’établissement de la matrice de flexibilité (a). Les déplacements horizontaux
d’étage sont les degrés de liberté. La situation se complique si les rotations d’étage doivent être considérées (c).
kj,j
kn,j
kj+1,j
kj-1,j
ki,j
xj=1
Fj=1
fn,j
^
fj+1,j
^
fj,j
^
fj-1,j
^
fi,j
^
xj=1
θj=1
L
a
F
d =
Fa2(3L-a)
6EI
a) b) c)
Les éléments de la matrice de flexibilité se déterminent selon la relation suivante:
(4.6)
Dans le cas où la hauteur des étages est constante, l’expression se simplifie de la façon suivante:
(4.7)
Pour un oscillateur multiple régulier à cinq masses concentrées, la matrice des masses M et la matrice de
flexibilité s’expriment de la manière suivante:
f̂ij
1
6 EI
⋅
------------
- hj
2
3 hi
⋅ hj
–
( )
⋅ ⋅
= i j
≥
,
f̂ij
h
3
6 EI
⋅
------------
- j
2
3 i
⋅ j
–
( )
⋅ ⋅
= i j
≥
,
f̂
M
1.0 0 0 0 0
0 1.0 0 0 0
0 0 1.0 0 0
0 0 0 1.0 0
0 0 0 0 1.0
m
⋅
= f̂
h
3
6 EI
⋅
------------
-
=
2 5 8 11 14
5 16 28 40 52
8 28 54 81 108
11 40 81 128 176
14 52 108 176 250
⋅
La matrice de rigidité K est déterminée en inversant la matrice de flexibilité :
Notons un avantage supplémentaire de la matrice de flexibilité sur la matrice de rigidité K: un étage
en plus ou en moins se traduit simplement par l’ajout ou le retrait de la ligne et de la colonne correspon-
dante dans alors que K en est totalement modifiée.
f̂
K f̂
1
– 6 EI
⋅
h
3
------------
-
3.1381 1.9834
– 0.7956 0.1989
– 0.0331
1.9834
– 2.4420 1.7845
– 0.6961 0.1160
–
0.7956 1.7845
– 2.3425 1.5856
– 0.4309
0.1989
– 0.6961 1.5856
– 1.6464 0.6077
–
0.0331 0.1160
– 0.4309 0.6077
– 0.2680
⋅
= =
f̂
f̂
Instructions MatLab
%
% nb d'etages:n
% vecteur des hauteurs sur etages: H [m]
% Inertie de la section:Ic [m4]
% module d'elasticite:Ec [N/m2]
%
%***********************
% Matrice de flexibilite
%***********************
%
for I=1:n,
for J=1:n,
if J >= I,
Flex(I,J)=1/(6*Ec*Ic)*H(I)^2*(3*H(J)-H(I));
else Flex(I,J)=1/(6*Ec*Ic)*H(J)^2*(3*H(I)-H(J));
end
end
end
%
% Matrice de Rigidite
K=inv(Flex);
%
4.2.7 Quotient de Rayleigh
Le quotient de Rayleigh constitue une alternative à la résolution du problème aux valeurs propres. Il
reflète la conservation de l’énergie lors des oscillations libres non amorties et s’exprime:
(4.8)
Concrètement, seuls les déplacements d’étage (xj) du bâtiment considéré soumis à une répartition de
forces fictives (Fj) sont nécessaires. Ces déplacements peuvent être déterminés analytiquement au
moyen de la matrice de flexibilité ou numériquement avec un logiciel standard d’éléments finis. L’avan-
tage principal du quotient de Rayleigh réside dans le fait que même une répartition grossière des forces
fictives d’étage conduit à une bonne estimation de la période fondamentale. En effet, la précision y
intervient au carré de sorte qu’un écart de 10% dans la répartition des forces conduit à un écart de seu-
lement 1% pour la période.
T1 2π
mj xj
2
⋅
j 1
=
N
∑
Fj xj
⋅
j 1
=
N
∑
---------------------------
⋅
=
Une version simplifiée du quotient de Rayleigh utilise le déplacement au sommet (xN) déterminé avec
le poids des étages (mj·g) comme forces fictives:
(4.9)
Figure 4.9: La relation générale du quotient de Rayleigh nécessite la détermination des déplacements d’étage dus à
des forces fictives (a). Pour la version simplifiée, les forces d’étage doivent être égales aux poids de ceux-ci (b).
mj·g
xN
mj+1·g
mj-1·g
mN·g
m1·g
mj-1
m1
mN
mj+1
mj
H
Fj=j·F
xN
xj+1
(j+1)·F
(j-1)·F
N·F
F
xj
xj-1
x1
mN
mj+1
mj
hj+1
hj
hN
h1
hj-1
a) b)
T1 s
[ ] 2 xN m
[ ]
⋅
=

Contenu connexe

Similaire à 07_Transp_7.pdf

Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratOumaimaBenSaid
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdfAuRevoir4
 
Calcules des portiques. méthodes des déplacements
Calcules des portiques. méthodes des déplacementsCalcules des portiques. méthodes des déplacements
Calcules des portiques. méthodes des déplacementsSami Sahli
 
Mef barre
Mef barreMef barre
Mef barreMED MED
 
Modelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlModelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlMED MED
 
tipemoadvf-180412122350.pdf
tipemoadvf-180412122350.pdftipemoadvf-180412122350.pdf
tipemoadvf-180412122350.pdfssamaFril
 
Slides2-SNL-2020 (1).pdf
Slides2-SNL-2020 (1).pdfSlides2-SNL-2020 (1).pdf
Slides2-SNL-2020 (1).pdfssuser3ff876
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmcT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmctawfik-masrour
 
Partie i vibrations et oscillateurs
Partie i   vibrations et oscillateursPartie i   vibrations et oscillateurs
Partie i vibrations et oscillateursOumaimaBenSaid
 
Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpoz
Calcul Des Structures Portiques   Methode Des Deplacements JexpozCalcul Des Structures Portiques   Methode Des Deplacements Jexpoz
Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpozjexpoz
 
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topoFallou Diouf
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etatLin Pepin
 
Vision Numérique : Rappels mathématiques
Vision Numérique : Rappels mathématiquesVision Numérique : Rappels mathématiques
Vision Numérique : Rappels mathématiquesKevinJobin2
 
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires sarah Benmerzouk
 

Similaire à 07_Transp_7.pdf (20)

Cours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 pratCours vibration 2016 prat
Cours vibration 2016 prat
 
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf05_Transp_5_NEWNEW.pdf
05_Transp_5_NEWNEW.pdf
 
Calcules des portiques. méthodes des déplacements
Calcules des portiques. méthodes des déplacementsCalcules des portiques. méthodes des déplacements
Calcules des portiques. méthodes des déplacements
 
Mef barre
Mef barreMef barre
Mef barre
 
Chapitre02
Chapitre02Chapitre02
Chapitre02
 
Modelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddlModelisation systemes 1ddl
Modelisation systemes 1ddl
 
Td chapitre
Td chapitreTd chapitre
Td chapitre
 
tipemoadvf-180412122350.pdf
tipemoadvf-180412122350.pdftipemoadvf-180412122350.pdf
tipemoadvf-180412122350.pdf
 
Slides2-SNL-2020 (1).pdf
Slides2-SNL-2020 (1).pdfSlides2-SNL-2020 (1).pdf
Slides2-SNL-2020 (1).pdf
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmcT. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre3-mmc
 
Partie i vibrations et oscillateurs
Partie i   vibrations et oscillateursPartie i   vibrations et oscillateurs
Partie i vibrations et oscillateurs
 
04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites
 
DDS Serie 2 exercices
DDS Serie 2 exercicesDDS Serie 2 exercices
DDS Serie 2 exercices
 
Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpoz
Calcul Des Structures Portiques   Methode Des Deplacements JexpozCalcul Des Structures Portiques   Methode Des Deplacements Jexpoz
Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpoz
 
Chap 4 déterminant
Chap 4 déterminantChap 4 déterminant
Chap 4 déterminant
 
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo
4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo
 
Vib et-ondes-2006-2007
Vib et-ondes-2006-2007Vib et-ondes-2006-2007
Vib et-ondes-2006-2007
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etat
 
Vision Numérique : Rappels mathématiques
Vision Numérique : Rappels mathématiquesVision Numérique : Rappels mathématiques
Vision Numérique : Rappels mathématiques
 
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
Chapitre 1 Représentation d'état des systèmes linéaires
 

Plus de AuRevoir4

formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdf
formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdfformation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdf
formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdfAuRevoir4
 
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdf
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdfSPDDL Equations de mouvement béton armé.pdf
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdfAuRevoir4
 
Découvrir les activités de tarl document.pdf
Découvrir les activités de tarl document.pdfDécouvrir les activités de tarl document.pdf
Découvrir les activités de tarl document.pdfAuRevoir4
 
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdfAuRevoir4
 
structural analysis 2.pdf
structural analysis 2.pdfstructural analysis 2.pdf
structural analysis 2.pdfAuRevoir4
 
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdf
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdfCours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdf
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdfAuRevoir4
 
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...AuRevoir4
 
Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02AuRevoir4
 

Plus de AuRevoir4 (10)

formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdf
formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdfformation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdf
formation_rsa2011_partie_0_introduction_.pdf
 
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdf
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdfSPDDL Equations de mouvement béton armé.pdf
SPDDL Equations de mouvement béton armé.pdf
 
Découvrir les activités de tarl document.pdf
Découvrir les activités de tarl document.pdfDécouvrir les activités de tarl document.pdf
Découvrir les activités de tarl document.pdf
 
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf
04_Transp_4_NEWNEWNEW.pdf
 
structural analysis 2.pdf
structural analysis 2.pdfstructural analysis 2.pdf
structural analysis 2.pdf
 
rs.pdf
rs.pdfrs.pdf
rs.pdf
 
null.pdf
null.pdfnull.pdf
null.pdf
 
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdf
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdfCours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdf
Cours Cercle de Mohr[Compatibility Mode].pdf
 
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d7722...
 
Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02Beton armé exercice-02
Beton armé exercice-02
 

Dernier

CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.ppt
CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.pptCHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.ppt
CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.pptbentaha1011
 
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitières
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitièresBOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitières
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitièresidelewebmestre
 
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminants
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminantsBow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminants
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminantsidelewebmestre
 
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminants
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminantsBOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminants
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminantsidelewebmestre
 
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvre
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la NièvreAccompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvre
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvreidelewebmestre
 
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0La logistique a L'ère de l'industrie 4.0
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0ourssoula
 
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...maach1
 
présentation sur la logistique (4).
présentation     sur la  logistique (4).présentation     sur la  logistique (4).
présentation sur la logistique (4).FatimaEzzahra753100
 
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcins
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcinsBOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcins
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcinsidelewebmestre
 
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VL
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VLBOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VL
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VLidelewebmestre
 
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdf
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdfActions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdf
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdfalainfahed961
 
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...idelewebmestre
 
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitières
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitièresBOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitières
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitièresidelewebmestre
 
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleur
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleurBOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleur
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleuridelewebmestre
 
Agrivoltaïsme et filière ovine en Dordogne
Agrivoltaïsme et filière ovine en DordogneAgrivoltaïsme et filière ovine en Dordogne
Agrivoltaïsme et filière ovine en Dordogneidelewebmestre
 
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...idelewebmestre
 
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitières
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitièresBOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitières
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitièresidelewebmestre
 
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équine
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équineBOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équine
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équineidelewebmestre
 
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...idelewebmestre
 
Support de cours La technologie WDM.pptx
Support de cours La technologie WDM.pptxSupport de cours La technologie WDM.pptx
Support de cours La technologie WDM.pptxdocteurgyneco1
 

Dernier (20)

CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.ppt
CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.pptCHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.ppt
CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE probabilité.ppt
 
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitières
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitièresBOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitières
BOW 2024 - 3-2 - Stress thermique impact vaches laitières
 
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminants
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminantsBow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminants
Bow 2024 - Plein air à l'intérieur des bâtiments d'élevage de ruminants
 
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminants
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminantsBOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminants
BOW 2024-3-10 - Batcool Petits ruminants
 
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvre
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la NièvreAccompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvre
Accompagnement de l'agrivoltaïsme dans le département de la Nièvre
 
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0La logistique a L'ère de l'industrie 4.0
La logistique a L'ère de l'industrie 4.0
 
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...
Cours-de-Ponts Cours de Ponts Principes généraux - Conception Méthodes de con...
 
présentation sur la logistique (4).
présentation     sur la  logistique (4).présentation     sur la  logistique (4).
présentation sur la logistique (4).
 
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcins
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcinsBOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcins
BOW 24 - De la réflexion de groupe à l'immersion dans des bâtiments porcins
 
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VL
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VLBOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VL
BOW 2024 -3-9 - Matelas de logettes à eau refroidie VL
 
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdf
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdfActions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdf
Actions du vent sur les bâtiments selon lEurocode 1 – Partie 1-4.pdf
 
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...
BOW 2024 - Nouveaux modes de logement pour des veaux de boucherie avec accès ...
 
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitières
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitièresBOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitières
BOW 2024 - L'enrichissement du milieu des chèvres laitières
 
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleur
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleurBOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleur
BOW 2024 - 3-5 - Des solutions numériques pour se préparer aux pics de chaleur
 
Agrivoltaïsme et filière ovine en Dordogne
Agrivoltaïsme et filière ovine en DordogneAgrivoltaïsme et filière ovine en Dordogne
Agrivoltaïsme et filière ovine en Dordogne
 
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...
Accompagnement de l'agrivoltaisme - Focus sur l'étude système en Merthe et Mo...
 
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitières
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitièresBOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitières
BOW 2024 -3-7- Impact bâtiment stress thermique Vaches laitières
 
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équine
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équineBOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équine
BOW 2024 - L'écurie ouverte : un concept inspirant pour la filière équine
 
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...
BOW 2024 - 3-8 - Adaptation des bâtiments d'élevages de volailles au changeme...
 
Support de cours La technologie WDM.pptx
Support de cours La technologie WDM.pptxSupport de cours La technologie WDM.pptx
Support de cours La technologie WDM.pptx
 

07_Transp_7.pdf

  • 1. 4 Systèmes à plusieurs degrés de liberté Figure 4.1: Oscillateurs multiples à trois (ou deux) masses concentrées sans amortissement. Représentation tradi- tionnelle orientée mécanique (a) et représentations orientées structure (b, c). m1 k1 x1(t) m2 k2 x2(t) m3 k3 x3(t) ∞ I ∞ I I1 I1 I2 I2 x2(t) m1 m2 x1(t) x1(t) m1 m2 x2(t) m3 x3(t) I1 I2 I3 a) c) b)
  • 2. 4.2 Oscillations libres non amorties Figure 4.2: Forces agissant sur les masses pour un oscillateur multiple à trois masses concentrées sans amortisse- ment. Seule les forces provenant de l’effet des ressorts interviennent dans les oscillations horizontales. m1 k1 x1(t) m2 k2 x2(t) m3 k3 x3(t) Causes Effets selon X1 selon X2 1 X = 1 2 X = 1 3 X = 1 Forces selon X3 Forces Forces k2 k1 k2 k3 k2 k3 k2 k3 k3
  • 3. 4.2.1 Equation du mouvement Le système d’équations différentielles s’établit à partir des forces agissant sur chacune de ses masses: (4.1) 4.2.2 Forme matricielle Ce système d’équations s’écrit de manière condensée sous la forme matricielle: (4.2) ou encore avec les matrices développées: F ∑ 1 k1 k2 + ( ) x1 ⋅ – k2 x2 ⋅ + m1 x ·· 1 ⋅ = = F ∑ 2 k2 x1 ⋅ k2 k3 + ( ) x2 ⋅ – k3 x3 ⋅ + m2 x ·· 2 ⋅ = = F ∑ 3 k3 x2 ⋅ k3 x3 ⋅ – m3 x ·· 3 ⋅ = = M x ·· ⋅ K x ⋅ + 0 =
  • 4. D’une manière plus générale, le système d’équations peut être exprimé sous la forme suivante: Dans l’équ. (4.2), M est la matrice des masses, K la matrice de rigidité et x le vecteur des déplacements: m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 x ·· 1 x ·· 2 x ·· 3 ⋅ k1 k2 + k2 – 0 k2 – k2 k3 + k3 – 0 k3 – k3 x1 x2 x3 ⋅ + 0 0 0 = m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 x ·· 1 x ·· 2 x ·· 3 ⋅ k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33 x1 x2 x3 ⋅ + 0 0 0 = M m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 = K k11 k12 k13 k21 k22 k23 k31 k32 k33 = x x1 x2 x3 =
  • 5. 4.2.3 Modes propres et pulsations propres Le système d’équations est couplé. Toutes les lignes sont interdépendantes et il n’est pas possible de procéder à une résolution simple. En faisant l’hypothèse de déplacements harmoniques: , le système devient: ou bien (4.3) Pour l’oscillateur à trois masses , en regroupant les termes, on obtient: (4.4) Le système d’équations possède d’autres solutions que la solution triviale (xj=0) si la matrice a un déterminant nul. xn An ωnt φ – ( ) sin = ωn 2 – M x ⋅ ⋅ K x ⋅ + 0 = K ωn 2 M ⋅ – [ ] x [ ] ⋅ 0 = k11 ωn 2 m1 – ( ) k12 k13 k21 k22 ωn 2 m2 – ( ) k23 k31 k32 k33 ωn 2 m3 – ( ) x1 x2 x3 ⋅ 0 0 0 =
  • 6. 4.2.4 Exemple cadre bi-encastré à deux étages avec traverses infiniment rigides Figure 4.3: Tableau synoptique regroupant les forces nécessaires à l’établissement du système d’équations pour un cadre bi-encastré à deux étages avec des traverses infiniment rigides. Causes Effets 2 X = 1 1 X = 1 Forces selon X1 Forces selon X2 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 EI 12 1 h3 EI 12 1 h3 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 EI 12 2 h3 Causes Effets 2 X = 1 1 X = 1 Forces selon X1 Forces selon X2 k12 k22 k21 k11
  • 7. En posant k1=Σ12·EI1/h3 et k2=Σ12·EI2/h3, on obtient le système d’équations suivant: Dans le cas particulier où m1=2·m2=2m et k1=2·k2=2k, le système d’équations devient: Le problème aux valeurs propres s’exprime alors de la manière suivante: m1 0 0 m2 x ·· 1 x ·· 2 ⋅ k1 k2 + k2 – k2 – k2 x1 x2 ⋅ + 0 0 = 2m 0 0 m x ·· 1 x ·· 2 ⋅ 3k k – k – k x1 x2 ⋅ + 0 0 = K ωn 2 M ⋅ – 0 = 3k ωn 2 2m ⋅ – ( ) k – k – k ωn 2 m ⋅ – ( ) 0 3k ωn 2 2m ⋅ – ( ) k ωn 2 m ⋅ – ( ) ⋅ k 2 – 2m 2 ωn 4 5mkωn 2 – 2k 2 + = = =
  • 8. L’équation caractéristique a deux solutions pour ωn 2: Les pulsations propres du système valent donc: et Les modes propres correspondent aux deux vecteurs propres et . Ils vérifient les relations suivantes: ωn 2 5mk 25m 2 k 2 16m 2 k 2 – ± 4m 2 ------------------------------------------------------------------- - = ω1 2 k 2m ------- - ω2 2 2k m ----- - = ; = ⇒ ω1 1 2 ------ - k m --- - ⋅ = ω2 2 k m --- - ⋅ = 1 2 -- - 1 1 – 1 3k ω1 2 2m ⋅ – ( ) k – k – k ω1 2 m ⋅ – ( ) 1 2 -- - 1 ⋅ 2k k – k – k 2 -- - 1 2 -- - 1 ⋅ 0 0 = =
  • 9. Figure 4.4: Cadre bi-encastré à deux étages avec traverses infiniment rigides (a). Modes propres (b et c). 3k ω2 2 2m ⋅ – ( ) k – k – k ω2 2 m ⋅ – ( ) 1 – 1 ⋅ k – k – k – k – 1 – 1 ⋅ 0 0 = = a21 = 1 a11 = 1/2 ω1 = √k/2m ω2 = √2k/m a22 = 1 a12 = –1 ∞ I ∞ I k/2 x2 2m m x1 k k/2 k a) b) c)
  • 10. Les vecteurs propres (modes propres) possèdent des propriétés d’orthogonalité. Pas directement entre eux, mais par rapport à la matrice de rigidité (K) et à la matrice des masses (M): Si toutes les masses d’étages sont identiques, alors les vecteurs propres (modes propres) sont directe- ment orthogonaux au sens habituel du terme. Grâce à cette propriété d’orthogonalité, les modes propres permettent d’exprimer les déplacements d’une autre manière: (4.5) Il s’agit d’un changement de variables par lequel les déplacements (xj) peuvent s’exprimer en coordon- nées modales (zn). An sont les vecteurs propres, z les coordonnées modales et A la matrice des vecteurs modaux. 1 2 ⁄ 1 3k k – k – k 1 – 1 ⋅ ⋅ 0 = 1 2 ⁄ 1 2m 0 0 m 1 – 1 ⋅ ⋅ 0 = x x1 x2 1 2 -- - 1 z1 t ( ) ⋅ 1 – 1 z2 t ( ) ⋅ + A11 A21 z1 t ( ) ⋅ A12 A22 z2 t ( ) ⋅ + An zn ⋅ n 1 = 2 ∑ A z ⋅ = = = = =
  • 11. 4.2.5 Illustration du comportement dynamique Oscillations libres non amorties du cadre, consécutives à des déplacements initiaux: Figure 4.5: Oscillations libres non amorties du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux quelconques (a). Evolution au cours du temps des coordonnées modales (b) et des déplacements d’étages (c). 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 Z n (t) Z1 Z2 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x 2 (t) -1 0 1 2 x 1 (t) ∞ I ∞ I k/2 2m m k k/2 k 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x 2 (t) 0 1 2 3 4 t/T1 -2 -1 0 1 2 x 1 (t) a) b) c)
  • 12. Figure 4.6: Oscillations libres du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux proportionnels au premier mode propre (a). Evolution au cours du temps de la coordonnée modale Z1 (b) et des déplacements d’étages (c). Les oscillations sont harmoniques et s’effectuent exclusivement selon le premier mode. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 Z 1 (t) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1 0 1 2 x 2 (t) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t/T1 -2 -1 0 1 2 x 1 (t) ∞ I ∞ I k/2 2m m k k/2 k a) b) c)
  • 13. Figure 4.7: Oscillations libres du cadre bi-encastré pour des déplacements initiaux proportionnels au deuxième mode propre (a). Evolution au cours du temps de la coordonnée modale Z2 (b) et des déplacements d’étages (c). Les oscillations s’effectuent exclusivement selon le deuxième mode. 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 Z 2 (t) 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 x 2 (t) 0 1 2 3 4 5 6 t/T2 -1 0 1 x 1 (t) ∞ I ∞ I k/2 2m m k k/2 k a) b) c)
  • 14. L’amplitude des modes propres n’est pas définie. Une opération de normalisation des modes est alors nécessaire. C’est en général, celle de la déformation maximale unitaire qui est choisie. Instructions MatLab % %************************************ % Vecteurs propres et valeurs propres %************************************ [V,D]=eig(K,M); % frequences propres frequ=diag(sqrt(D)/2/pi); disp('Frequences propres [Hz]:') disp(frequ') % %*********************************** % Normalisation des vecteurs propres %*********************************** % Matrice des max des vecteurs propres phimax=(max(abs(V))'*diag(eye(n))')'; % Matrice des vecteurs propres normalises phi=V./phimax; %
  • 15. 4.2.6 Matrice de rigidité Pour la détermination de la matrice de rigidité, dans le cas de bâtiments stabilisés par des refends (voi- les) en béton armé, il vaut mieux passer par l’établissement préliminaire de la matrice de flexibilité. Figure 4.8: Relation à la base de l’établissement de la matrice de flexibilité (a). Les déplacements horizontaux d’étage sont les degrés de liberté. La situation se complique si les rotations d’étage doivent être considérées (c). kj,j kn,j kj+1,j kj-1,j ki,j xj=1 Fj=1 fn,j ^ fj+1,j ^ fj,j ^ fj-1,j ^ fi,j ^ xj=1 θj=1 L a F d = Fa2(3L-a) 6EI a) b) c)
  • 16. Les éléments de la matrice de flexibilité se déterminent selon la relation suivante: (4.6) Dans le cas où la hauteur des étages est constante, l’expression se simplifie de la façon suivante: (4.7) Pour un oscillateur multiple régulier à cinq masses concentrées, la matrice des masses M et la matrice de flexibilité s’expriment de la manière suivante: f̂ij 1 6 EI ⋅ ------------ - hj 2 3 hi ⋅ hj – ( ) ⋅ ⋅ = i j ≥ , f̂ij h 3 6 EI ⋅ ------------ - j 2 3 i ⋅ j – ( ) ⋅ ⋅ = i j ≥ , f̂ M 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 m ⋅ = f̂ h 3 6 EI ⋅ ------------ - = 2 5 8 11 14 5 16 28 40 52 8 28 54 81 108 11 40 81 128 176 14 52 108 176 250 ⋅
  • 17. La matrice de rigidité K est déterminée en inversant la matrice de flexibilité : Notons un avantage supplémentaire de la matrice de flexibilité sur la matrice de rigidité K: un étage en plus ou en moins se traduit simplement par l’ajout ou le retrait de la ligne et de la colonne correspon- dante dans alors que K en est totalement modifiée. f̂ K f̂ 1 – 6 EI ⋅ h 3 ------------ - 3.1381 1.9834 – 0.7956 0.1989 – 0.0331 1.9834 – 2.4420 1.7845 – 0.6961 0.1160 – 0.7956 1.7845 – 2.3425 1.5856 – 0.4309 0.1989 – 0.6961 1.5856 – 1.6464 0.6077 – 0.0331 0.1160 – 0.4309 0.6077 – 0.2680 ⋅ = = f̂ f̂
  • 18. Instructions MatLab % % nb d'etages:n % vecteur des hauteurs sur etages: H [m] % Inertie de la section:Ic [m4] % module d'elasticite:Ec [N/m2] % %*********************** % Matrice de flexibilite %*********************** % for I=1:n, for J=1:n, if J >= I, Flex(I,J)=1/(6*Ec*Ic)*H(I)^2*(3*H(J)-H(I)); else Flex(I,J)=1/(6*Ec*Ic)*H(J)^2*(3*H(I)-H(J)); end end end % % Matrice de Rigidite K=inv(Flex); %
  • 19. 4.2.7 Quotient de Rayleigh Le quotient de Rayleigh constitue une alternative à la résolution du problème aux valeurs propres. Il reflète la conservation de l’énergie lors des oscillations libres non amorties et s’exprime: (4.8) Concrètement, seuls les déplacements d’étage (xj) du bâtiment considéré soumis à une répartition de forces fictives (Fj) sont nécessaires. Ces déplacements peuvent être déterminés analytiquement au moyen de la matrice de flexibilité ou numériquement avec un logiciel standard d’éléments finis. L’avan- tage principal du quotient de Rayleigh réside dans le fait que même une répartition grossière des forces fictives d’étage conduit à une bonne estimation de la période fondamentale. En effet, la précision y intervient au carré de sorte qu’un écart de 10% dans la répartition des forces conduit à un écart de seu- lement 1% pour la période. T1 2π mj xj 2 ⋅ j 1 = N ∑ Fj xj ⋅ j 1 = N ∑ --------------------------- ⋅ =
  • 20. Une version simplifiée du quotient de Rayleigh utilise le déplacement au sommet (xN) déterminé avec le poids des étages (mj·g) comme forces fictives: (4.9) Figure 4.9: La relation générale du quotient de Rayleigh nécessite la détermination des déplacements d’étage dus à des forces fictives (a). Pour la version simplifiée, les forces d’étage doivent être égales aux poids de ceux-ci (b). mj·g xN mj+1·g mj-1·g mN·g m1·g mj-1 m1 mN mj+1 mj H Fj=j·F xN xj+1 (j+1)·F (j-1)·F N·F F xj xj-1 x1 mN mj+1 mj hj+1 hj hN h1 hj-1 a) b) T1 s [ ] 2 xN m [ ] ⋅ =