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Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE)
Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la
Formation des Cadres
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Réalisé par :
EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP
Encadré par :
Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Structures : Organisation, Complexité, Dynamique
EffortsDynamiqueslatérales?
DegrésdeLibertés?
Plan du TIPE
Contexte
général
du travail
Motivations
Problématique
Introduction /
Mise en situation
Equation de Mouvement
AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Valeurs Propres
Intégrale de Duhamel
∫
[⍂]
AXE 2: ETUDE DE CAS
PRATIQUE
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel
Contexte général
du travail
Introduction
et mise en situation
Problématique Motivations
Contexte général
du travail
Introduction
et mise en situation
Problématique Motivations
Introduction et mise en situation
8
L’augmentation d’une unité correspond à une énergie sismique multipliée par 10
Echelle de Richter
Il s’agit d’une échelle ouverte qui, à ce jour, ne comprend que 9 degrés.
MAGNITUDE SUR
L’ÉCHELLE DE RICHTER
EFFETS DU TREMBLEMENT DE TERRE
Moins de 3,5 Le séisme est non ressenti, mais enregistré par les sismographes.
De 3,5 à 5,4 Il est souvent ressenti, mais sans dommage.
De 5,4 à 6
Légers dommages aux bâtiments bien construits, mais peut causer
des dommages majeurs à d’autres bâtisses.
De 6,1 à 6,9 Peut être destructeur dans une zone de 100 km à la ronde.
De 7 à 7,9
Tremblement de terre majeur. Il peut causer de sérieux dommages
sur une large surface.
Au-dessus de 8
C’est un très grand séisme pouvant causer de très grands
dommages dans des zones de plusieurs centaines de kilomètres.
Introduction et mise en situation
9
Tremblement de Terre « El Centro », Californie, Etats-Unis, 1940
 Magnitude : 6,3
 Echelle Mercalli : X (extrême)
 Profondeur : 16 km
 Dommages matériels : 6 M$
(80% des bâtiments détruits)
 Dommages humains : 9 morts
20 blessés
Introduction et mise en situation
10
Tremblement de Terre Al Hoceima, Maroc, 2004
Introduction et mise en situation
11
Déformation
horizontale
Force d’inertie
sismique
résultante
Déformation
horizontale
Force sismique
principale
Problématique
12
Détermination du
Comportement Dynamique
Etude Physique et
Mathématique
Structure de
Bâtiment face à une
charge sismique
Système à
plusieurs degrés
de libertés
Formulation
mathématique
Résolution d’une
équation complexe
Enseignements
à tirer
Programmation
Numérique Excel
TIPE
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s (t)
Objectifs visés et démarche adoptée
2-
Catalyseur
historique
Avoir survécu un
évènement sismique
de Rabat en 2001
(3,1 Mw)
3-
Programmation
Appliquée InG.
Outils de calcul / de
simulation par
Excel
1-
Enrichissement
Technique
Tendance pour la
compréhension de
la résistance
parasismique des
bâtiments
Motivations
13
AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Equation de
Mouvement
Valeurs Propres Intégrale de Duhamel
[⍂] ∫
AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Equation de
Mouvement
Valeurs Propres Intégrale de Duhamel
[⍂] ∫
Equation de Mouvement [⍂] ∫
y2
y1
c2
c1
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
fI2
fI1
f(i)d2/2
f(i)d1/2
f(s)d1/2
s2 (t)
s1 (t)
f(i)e2/2
f(i)e2/2
f(i)e1/2
f(i)e1/2
f(s)e1/2
f(s)e1/2
)
.(
.
f
f
f 2
1
2
1
1
(s)
e1
(i)
e1
e1 y
y
k
y
k 




)
.(
f
f 1
2
2
(i)
e2
e2 y
y
k 


Forces élastiques
)
.(
.
f
f
f 2
1
2
1
1
(s)
d1
(i)
d1
d1 y
y
c
y
c 

 




)
.(
f
f 1
2
2
(i)
d2
d2 y
y
c 
 


Forces d’amortissement
1
1
I1 .
f y
m 


Forces d’inertie
2
2
I2 .
f y
m 


)
(
f
f
f 1
d1
e1
I1 t
s



)
(
f
f
f 2
d2
e2
I2 t
s



Equations d’équilibre des masses
16
s (t)
s (t)
s (t)
Equation de Mouvement
y2
y1
c2
c1
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s2 (t)
s1 (t)
fI2
fI1
f(i)e2/2
f(i)e2/2
f(i)d2/2
f(i)e1/2
f(i)e1/2
f(i)d1/2
f(s)e1/2
f(s)e1/2
f(s)d1/2
17
Equation de Mouvement Couplée ?
     













2
1
2
1
I .
0
0
.
f
y
y
m
m
Y
M






       
)
(
f
f
f e
d
I t
S



Equation Matricielle
     
















2
1
2
2
2
2
1
d .
.
f
y
y
c
c
c
c
c
Y
C



     
















2
1
2
2
2
2
1
e .
.
f
y
y
k
k
k
k
k
Y
K
avec :
          
)
(
.
.
. t
S
Y
K
Y
C
Y
M 

 


  






)
(
)
(
S(t)
2
1
t
s
t
s
[⍂] ∫
s (t)
Equation de Mouvement
18
Accélérogramme du Séisme
    )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




Historique de l’accélération
du sol due au tremblement
de terre
  













)
(
.
)
(
.
)
(
)
(
S(t)
2
1
2
1
t
y
m
t
y
m
t
s
t
s
g
g




[⍂] ∫
Valeurs Propres [⍂] ∫
19
Pulsations propres et Modes propres : K.ϕ = λ.ϕ
Les structures sont considérées comme soumises à un faible taux d'amortissement.
► De ce fait, l'on peut obtenir les pulsations propres ωj par l'équation caractéristique :
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

Equation de Mouvement Matriciel devient :
     


 .
. 2
M
K j

   
  0
det 2

 M
K j

)
(
.
)
( 

 
 t
f
t
y
  0
.
.
2

 j
j M
K 

Pour chaque mode propre j :
Pulsations propres de vibration
Modes propres de vibration
Valeurs Propres
[⍂]
20
Vers des Equations de Mouvement Découplées !
► Changement de variable :
)
(
.
)
(
.
)
(
.
2
)
( 2
t
y
m
t
u
t
u
t
u g
i
i
i
i
i
i
i
i








 



    
)
(
.
)
( t
U
t
Y 

Equations découplées
           )
(
.
.
.
. t
y
M
Y
K
Y
C
Y
M g




 



 T


    
       
       
      
 
)
(
.
.
.
. t
y
M
U
K
U
C
U
M g
T
T
T
T




 










 
M  
C  
K  

  i
T
i
i M
m 


  )
(
.
)
(
. t
y
t
y
M
s g
i
g
T
i
i



 
 


  
M
T
i
i .

 
Avec :
où :
► Masse et chargement généralisés
relatifs à chaque mode
► Réponse modale pour les systèmes
peu amortis
  







d
t
e
y
t
D i
t
t
g
i
i
i
i
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0


 

 

)
(
.
)
( t
D
m
t
u i
i
i
i

 avec :
► Réponse dynamique totale de la
structure (vecteur des déplacements) )
(
.
.
)
(
.
)
( t
D
m
t
u
t
y i
i
i
i
i
i
i


 
       









 )
(
.
.
)
(
.
)
( t
D
m
t
U
t
Y i
i
i

et :
∫
Intégrale de Duhamel [⍂] ∫
21
Résolution Numérique par la méthode des Trapèzes
)
(t
p
)
(t
D
 
t
t
B
t
t
A
t
D
d
t
e
p
m
t
D
D
D
D
t
t
D










cos
)
(
sin
)
(
)
(
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0



 


► Force de Réponse Impulsionnelle (FRI) ► Intégrale de Duhamel
  







d
e
p
m
t
B D
t
t
D
.
sin
.
1
)
( )
.(
.
0




  







d
e
p
m
t
A D
t
t
D
.
cos
.
1
)
( )
.(
.
0




► Evaluation Numérique incrémentale
 
n
n
D
n
n p
e
p
m
e
A
A 


 












 .
.
1
.
.
1 .
2
.
n
D
n
n t
p
p 
cos
.

 
n
n
D
n
n p
e
p
m
e
B
B 


 












 .
.
1
.
.
1 .
2
.
n
D
n
n t
p
p 
sin
.

AXE 2 : Etude de Cas Pratique
Bâtiment à 2 étages avec une
accélération sismique d’El Centro
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel
AXE 2 : Etude de Cas Pratique
Bâtiment à 2 étages avec une
accélération sismique d’El Centro
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Données
t
kg
m 20
000
20 

* Masse de chaque étage :
m
N
k /
10
.
18 6

* Rigidité latérale totale par étage :
%
2

c
* Amortissement totale par étage :
Etape 1 : Modélisation de la structure
Etape 2 : Mise en Equation Matricielle
Modèle de masse concentrée et rigidités équivalente des poteaux
y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
m
  m
N
k
k
k
k
k
k
K /
1
1
1
2
10
.
18
1
1
1
2
. 6
2
2
2
2
1




























* Matrice de masse :
* Matrice de rigidité :
  kg
m
m
M 













1
0
0
1
10
.
20
0
0 3
2
1
  


























 
1
1
1
2
10
.
2
1
1
1
2
. 2
2
2
2
2
1
c
c
c
c
c
c
C
* Matrice d’amortissement :
s (t)
24
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
m
Etape 3 : Détermination des pulsations propres de vibration
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
          
)
(
.
.
. t
S
Y
K
Y
C
Y
M 

 


















































 
)
(
)
(
.
1
1
1
2
10
.
18
.
1
1
1
2
10
.
2
.
1
0
0
1
10
.
20
2
1
2
1
6
2
1
2
2
1
3
t
s
t
s
y
y
y
y
y
y






* Equation de Mouvement Matriciel :
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

Equation de Mouvement Matriciel devient :
     


 .
. 2
M
K 
   
  0
10
.
18
10
.
20
1
1
1
10
.
18
10
.
20
2
10
.
18
det
2
6
3
2
6
3
6
2







































 M
K
> Déterminant de l’équation caractéristique pour la détermination des valeurs propres / naturelles
900
/
:
0
1
3
2
2





x
avec
x
x







s
rad
s
rad
/
54
,
48
/
54
,
18
2
1


s (t)
25
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
      0
.
. 
 Y
K
Y
M 

Equation de Mouvement Matriciel devient :
  0
.
.
2


 j
j M
K 
> Pour chaque valeur propre naturelle de fréquence :
;
/
76941
,
343
: 2
1 s
rad
pour 

Pour chaque mode propre j :
:
1
: 21 

fixant
en
et
 
 
0
1
.
38197
,
0
1
1
1
38197
,
0
2 11
















 
61803
,
0
11 

;
/
23059
,
2356
: 2
2 s
rad
pour
même
de 
 :
1
: 22 

fixant
en
et
 
 
0
1
.
61803
,
2
1
1
1
61803
,
2
2 12
















 
61803
,
1
12 


y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
26
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
s (t)
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
618
,
0
11 

000
,
1
21 

1er mode propre
de vibration
618
,
1
12 


000
,
1
22 

2ème mode propre
de vibration
    




 



00000
,
1
00000
,
1
61803
,
1
61803
,
0
2
1 

y2
27
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
    




 



000
,
1
000
,
1
618
,
1
618
,
0
2
1 

       









7
,
72360
0
0
3
,
27639
M
M
T
Hypothèses pour conditions initiales : s
m
y
et
m
y /
0
0
)
0
(
02
,
0
02
,
0
)
0
( 












 
Valeurs modales associés aux conditions initiales : ;
/
0
)
0
( s
m
ui 

i
T
i
i
m
y
M
u
et
)
0
(
.
.
)
0
(


 
m
u
donc 023416
,
0
3
,
27639
02
,
0
02
,
0
.
20000
0
0
20000
.
000
,
1
618
,
0
)
0
(
1 













 
m
u
et 003416
,
0
7
,
72360
02
,
0
02
,
0
.
20000
0
0
20000
.
000
,
1
618
,
1
)
0
(
2 














y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
28
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
Réponse dynamique d’un système en un seul degré de liberté :
t
u
t
u
t
u i
i
i
i
i
i 


cos
).
0
(
sin
.
)
0
(
)
( 


mm
t
t
t
u
t
u














2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
)
(
)
(


Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
    
)
(
.
)
( t
u
t
Y 

  mm
t
t
t
t
t
t
t
Y
i
i





















 

2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
cos
.
527
,
5
cos
.
471
,
14
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
.
000
,
1
000
,
1
618
,
1
618
,
0
)
(













s
rad
s
rad
avec
/
54
,
48
/
54
,
18
:
2
1


29
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
  mm
t
t
t
t
t
Y 








2
1
2
1
cos
.
416
,
3
cos
.
416
,
23
cos
.
527
,
5
cos
.
471
,
14
)
(











s
rad
s
rad
avec
/
54
,
48
/
54
,
18
:
2
1


mm
t
y 20
)
0
(
2 

mm
t
y 20
)
0
(
1 

-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
Déplacement
yi
(mm)
Temps t(s)
Réponse dynamique de chaque étage de la structure
y1 (mm)
y2 (mm)
30
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Accélérogramme du séisme d’El Centro :
  g
yg .
348
,
0
max



  )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




Historique de l’accélération du sol due
au tremblement de terre d’El Centro
31
Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Utilisation de la méthode de la superposition modale :
Facteurs de participation modale :
      






























 
95
,
45
64
,
194
1
0
0
1
10
.
20
37175
,
0
60150
,
0
60150
,
0
37175
,
0
10
ˆ 3
2
2
1
M
T


m
t
D
t
D
t
D
t
y
t
y
)
(
.
17076
,
1
72357
,
0
)
(
.
64
,
194
60150
,
0
37175
,
0
10
)
(
.
.
ˆ
)
(
)
(
1
1
2
1
1
1
21
11






















 

Mode 1 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
m
t
D
t
D
t
D
t
y
t
y
)
(
.
17082
,
0
27639
,
0
)
(
.
95
,
45
37175
,
0
60150
,
0
10
)
(
.
.
ˆ
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
22
12
























 

Mode 2 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
  )
(
.
)
( t
y
M
t
S g




32
Simulation Numérique par Excel
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Calcul de l’Intégrale de Duhamel :
  







d
t
e
y
t
D i
t
t
g
i
i
i
i
).
(
sin
.
1
)
( )
.(
.
0


 

 

Evaluation numérique par la
méthode des Trapèzes
33
-6.000E-03
-4.000E-03
-2.000E-03
0.000E+00
2.000E-03
4.000E-03
6.000E-03
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
D1(T)
TEMPS T(S)
MODE 1 : INTÉGRALE DE DUHAMEL
D1(T)
D1(t)
Simulation Numérique par Excel
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
-6.000E-06
-4.000E-06
-2.000E-06
0.000E+00
2.000E-06
4.000E-06
6.000E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacements
totaux
(mm)
Temps t(s)
Mode 1 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y11(t)
y21(t)
-1.500E-06
-1.000E-06
-5.000E-07
0.000E+00
5.000E-07
1.000E-06
1.500E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacements
totaux
(mm)
Temps t(s)
Mode 2 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y12(t)
y22(t)
34
Déplacements
max.
Ymax < 4%O.H
=24mm
Conception des
bâtiments
parasismiques
Autres
dispositions
Jouer sur les
paramètres de
rigidités
CONCLUSION: NOS ABOUTISSEMENTS [⍂]
∫
35
Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE)
Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la
Formation des Cadres
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Réalisé par :
EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP
Encadré par :
Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)

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  • 1. Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE) Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique ROYAUME DU MAROC Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment : Cas d’Effet Sismique Réalisé par : EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP Encadré par : Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)
  • 2. Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment : Cas d’Effet Sismique Structures : Organisation, Complexité, Dynamique EffortsDynamiqueslatérales? DegrésdeLibertés?
  • 3. Plan du TIPE Contexte général du travail Motivations Problématique Introduction / Mise en situation
  • 4. Equation de Mouvement AXE 1 : REPONSE DYNAMIQUE SISMIQUE D’UN BATIMENT Valeurs Propres Intégrale de Duhamel ∫ [⍂]
  • 5. AXE 2: ETUDE DE CAS PRATIQUE Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Simulation Numérique par Excel
  • 6. Contexte général du travail Introduction et mise en situation Problématique Motivations
  • 7. Contexte général du travail Introduction et mise en situation Problématique Motivations
  • 8. Introduction et mise en situation 8 L’augmentation d’une unité correspond à une énergie sismique multipliée par 10 Echelle de Richter Il s’agit d’une échelle ouverte qui, à ce jour, ne comprend que 9 degrés. MAGNITUDE SUR L’ÉCHELLE DE RICHTER EFFETS DU TREMBLEMENT DE TERRE Moins de 3,5 Le séisme est non ressenti, mais enregistré par les sismographes. De 3,5 à 5,4 Il est souvent ressenti, mais sans dommage. De 5,4 à 6 Légers dommages aux bâtiments bien construits, mais peut causer des dommages majeurs à d’autres bâtisses. De 6,1 à 6,9 Peut être destructeur dans une zone de 100 km à la ronde. De 7 à 7,9 Tremblement de terre majeur. Il peut causer de sérieux dommages sur une large surface. Au-dessus de 8 C’est un très grand séisme pouvant causer de très grands dommages dans des zones de plusieurs centaines de kilomètres.
  • 9. Introduction et mise en situation 9 Tremblement de Terre « El Centro », Californie, Etats-Unis, 1940  Magnitude : 6,3  Echelle Mercalli : X (extrême)  Profondeur : 16 km  Dommages matériels : 6 M$ (80% des bâtiments détruits)  Dommages humains : 9 morts 20 blessés
  • 10. Introduction et mise en situation 10 Tremblement de Terre Al Hoceima, Maroc, 2004
  • 11. Introduction et mise en situation 11 Déformation horizontale Force d’inertie sismique résultante Déformation horizontale Force sismique principale
  • 12. Problématique 12 Détermination du Comportement Dynamique Etude Physique et Mathématique Structure de Bâtiment face à une charge sismique Système à plusieurs degrés de libertés Formulation mathématique Résolution d’une équation complexe Enseignements à tirer Programmation Numérique Excel TIPE c2 c1 s2 (t) s1 (t) k2/2 k2/2 k1/2 k1/2 s (t)
  • 13. Objectifs visés et démarche adoptée 2- Catalyseur historique Avoir survécu un évènement sismique de Rabat en 2001 (3,1 Mw) 3- Programmation Appliquée InG. Outils de calcul / de simulation par Excel 1- Enrichissement Technique Tendance pour la compréhension de la résistance parasismique des bâtiments Motivations 13
  • 14. AXE 1 : REPONSE DYNAMIQUE SISMIQUE D’UN BATIMENT Equation de Mouvement Valeurs Propres Intégrale de Duhamel [⍂] ∫
  • 15. AXE 1 : REPONSE DYNAMIQUE SISMIQUE D’UN BATIMENT Equation de Mouvement Valeurs Propres Intégrale de Duhamel [⍂] ∫
  • 16. Equation de Mouvement [⍂] ∫ y2 y1 c2 c1 c2 c1 s2 (t) s1 (t) k2/2 k2/2 k1/2 k1/2 fI2 fI1 f(i)d2/2 f(i)d1/2 f(s)d1/2 s2 (t) s1 (t) f(i)e2/2 f(i)e2/2 f(i)e1/2 f(i)e1/2 f(s)e1/2 f(s)e1/2 ) .( . f f f 2 1 2 1 1 (s) e1 (i) e1 e1 y y k y k      ) .( f f 1 2 2 (i) e2 e2 y y k    Forces élastiques ) .( . f f f 2 1 2 1 1 (s) d1 (i) d1 d1 y y c y c         ) .( f f 1 2 2 (i) d2 d2 y y c      Forces d’amortissement 1 1 I1 . f y m    Forces d’inertie 2 2 I2 . f y m    ) ( f f f 1 d1 e1 I1 t s    ) ( f f f 2 d2 e2 I2 t s    Equations d’équilibre des masses 16 s (t) s (t) s (t)
  • 17. Equation de Mouvement y2 y1 c2 c1 c2 c1 s2 (t) s1 (t) k2/2 k2/2 k1/2 k1/2 s2 (t) s1 (t) fI2 fI1 f(i)e2/2 f(i)e2/2 f(i)d2/2 f(i)e1/2 f(i)e1/2 f(i)d1/2 f(s)e1/2 f(s)e1/2 f(s)d1/2 17 Equation de Mouvement Couplée ?                    2 1 2 1 I . 0 0 . f y y m m Y M               ) ( f f f e d I t S    Equation Matricielle                       2 1 2 2 2 2 1 d . . f y y c c c c c Y C                          2 1 2 2 2 2 1 e . . f y y k k k k k Y K avec :            ) ( . . . t S Y K Y C Y M                ) ( ) ( S(t) 2 1 t s t s [⍂] ∫ s (t)
  • 18. Equation de Mouvement 18 Accélérogramme du Séisme     ) ( . ) ( t y M t S g     Historique de l’accélération du sol due au tremblement de terre                 ) ( . ) ( . ) ( ) ( S(t) 2 1 2 1 t y m t y m t s t s g g     [⍂] ∫
  • 19. Valeurs Propres [⍂] ∫ 19 Pulsations propres et Modes propres : K.ϕ = λ.ϕ Les structures sont considérées comme soumises à un faible taux d'amortissement. ► De ce fait, l'on peut obtenir les pulsations propres ωj par l'équation caractéristique : ≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration       0 . .   Y K Y M   Equation de Mouvement Matriciel devient :          . . 2 M K j        0 det 2   M K j  ) ( . ) (      t f t y   0 . . 2   j j M K   Pour chaque mode propre j : Pulsations propres de vibration Modes propres de vibration
  • 20. Valeurs Propres [⍂] 20 Vers des Equations de Mouvement Découplées ! ► Changement de variable : ) ( . ) ( . ) ( . 2 ) ( 2 t y m t u t u t u g i i i i i i i i                   ) ( . ) ( t U t Y   Equations découplées            ) ( . . . . t y M Y K Y C Y M g           T                                 ) ( . . . . t y M U K U C U M g T T T T                   M   C   K      i T i i M m      ) ( . ) ( . t y t y M s g i g T i i             M T i i .    Avec : où : ► Masse et chargement généralisés relatifs à chaque mode ► Réponse modale pour les systèmes peu amortis           d t e y t D i t t g i i i i ). ( sin . 1 ) ( ) .( . 0         ) ( . ) ( t D m t u i i i i   avec : ► Réponse dynamique totale de la structure (vecteur des déplacements) ) ( . . ) ( . ) ( t D m t u t y i i i i i i i                       ) ( . . ) ( . ) ( t D m t U t Y i i i  et : ∫
  • 21. Intégrale de Duhamel [⍂] ∫ 21 Résolution Numérique par la méthode des Trapèzes ) (t p ) (t D   t t B t t A t D d t e p m t D D D D t t D           cos ) ( sin ) ( ) ( ). ( sin . 1 ) ( ) .( . 0        ► Force de Réponse Impulsionnelle (FRI) ► Intégrale de Duhamel           d e p m t B D t t D . sin . 1 ) ( ) .( . 0               d e p m t A D t t D . cos . 1 ) ( ) .( . 0     ► Evaluation Numérique incrémentale   n n D n n p e p m e A A                   . . 1 . . 1 . 2 . n D n n t p p  cos .    n n D n n p e p m e B B                   . . 1 . . 1 . 2 . n D n n t p p  sin . 
  • 22. AXE 2 : Etude de Cas Pratique Bâtiment à 2 étages avec une accélération sismique d’El Centro Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Simulation Numérique par Excel
  • 23. AXE 2 : Etude de Cas Pratique Bâtiment à 2 étages avec une accélération sismique d’El Centro Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Simulation Numérique par Excel
  • 24. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Données t kg m 20 000 20   * Masse de chaque étage : m N k / 10 . 18 6  * Rigidité latérale totale par étage : % 2  c * Amortissement totale par étage : Etape 1 : Modélisation de la structure Etape 2 : Mise en Equation Matricielle Modèle de masse concentrée et rigidités équivalente des poteaux y2 y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m m   m N k k k k k k K / 1 1 1 2 10 . 18 1 1 1 2 . 6 2 2 2 2 1                             * Matrice de masse : * Matrice de rigidité :   kg m m M               1 0 0 1 10 . 20 0 0 3 2 1                                1 1 1 2 10 . 2 1 1 1 2 . 2 2 2 2 2 1 c c c c c c C * Matrice d’amortissement : s (t) 24
  • 25. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages y2 y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m m Etape 3 : Détermination des pulsations propres de vibration ≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration            ) ( . . . t S Y K Y C Y M                                                         ) ( ) ( . 1 1 1 2 10 . 18 . 1 1 1 2 10 . 2 . 1 0 0 1 10 . 20 2 1 2 1 6 2 1 2 2 1 3 t s t s y y y y y y       * Equation de Mouvement Matriciel :       0 . .   Y K Y M   Equation de Mouvement Matriciel devient :          . . 2 M K        0 10 . 18 10 . 20 1 1 1 10 . 18 10 . 20 2 10 . 18 det 2 6 3 2 6 3 6 2                                         M K > Déterminant de l’équation caractéristique pour la détermination des valeurs propres / naturelles 900 / : 0 1 3 2 2      x avec x x        s rad s rad / 54 , 48 / 54 , 18 2 1   s (t) 25
  • 26. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration ≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration       0 . .   Y K Y M   Equation de Mouvement Matriciel devient :   0 . . 2    j j M K  > Pour chaque valeur propre naturelle de fréquence : ; / 76941 , 343 : 2 1 s rad pour   Pour chaque mode propre j : : 1 : 21   fixant en et     0 1 . 38197 , 0 1 1 1 38197 , 0 2 11                   61803 , 0 11   ; / 23059 , 2356 : 2 2 s rad pour même de   : 1 : 22   fixant en et     0 1 . 61803 , 2 1 1 1 61803 , 2 2 12                   61803 , 1 12    y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m s (t) y2 26
  • 27. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration s (t) ≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration 618 , 0 11   000 , 1 21   1er mode propre de vibration 618 , 1 12    000 , 1 22   2ème mode propre de vibration               00000 , 1 00000 , 1 61803 , 1 61803 , 0 2 1   y2 27
  • 28. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration               000 , 1 000 , 1 618 , 1 618 , 0 2 1                    7 , 72360 0 0 3 , 27639 M M T Hypothèses pour conditions initiales : s m y et m y / 0 0 ) 0 ( 02 , 0 02 , 0 ) 0 (                Valeurs modales associés aux conditions initiales : ; / 0 ) 0 ( s m ui   i T i i m y M u et ) 0 ( . . ) 0 (     m u donc 023416 , 0 3 , 27639 02 , 0 02 , 0 . 20000 0 0 20000 . 000 , 1 618 , 0 ) 0 ( 1                 m u et 003416 , 0 7 , 72360 02 , 0 02 , 0 . 20000 0 0 20000 . 000 , 1 618 , 1 ) 0 ( 2                y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m s (t) y2 28
  • 29. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m s (t) y2 Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration Réponse dynamique d’un système en un seul degré de liberté : t u t u t u i i i i i i    cos ). 0 ( sin . ) 0 ( ) (    mm t t t u t u               2 1 2 1 cos . 416 , 3 cos . 416 , 23 ) ( ) (   Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :      ) ( . ) ( t u t Y     mm t t t t t t t Y i i                         2 1 2 1 cos . 416 , 3 cos . 416 , 23 cos . 527 , 5 cos . 471 , 14 cos . 416 , 3 cos . 416 , 23 . 000 , 1 000 , 1 618 , 1 618 , 0 ) (              s rad s rad avec / 54 , 48 / 54 , 18 : 2 1   29
  • 30. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :   mm t t t t t Y          2 1 2 1 cos . 416 , 3 cos . 416 , 23 cos . 527 , 5 cos . 471 , 14 ) (            s rad s rad avec / 54 , 48 / 54 , 18 : 2 1   mm t y 20 ) 0 ( 2   mm t y 20 ) 0 ( 1   -30.00 -20.00 -10.00 0.00 10.00 20.00 30.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 Déplacement yi (mm) Temps t(s) Réponse dynamique de chaque étage de la structure y1 (mm) y2 (mm) 30
  • 31. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m s (t) y2 Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration Accélérogramme du séisme d’El Centro :   g yg . 348 , 0 max      ) ( . ) ( t y M t S g     Historique de l’accélération du sol due au tremblement de terre d’El Centro 31
  • 32. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages y1 c c s2 (t) s1 (t) k/2 k/2 k/2 k/2 m s (t) y2 Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration Utilisation de la méthode de la superposition modale : Facteurs de participation modale :                                        95 , 45 64 , 194 1 0 0 1 10 . 20 37175 , 0 60150 , 0 60150 , 0 37175 , 0 10 ˆ 3 2 2 1 M T   m t D t D t D t y t y ) ( . 17076 , 1 72357 , 0 ) ( . 64 , 194 60150 , 0 37175 , 0 10 ) ( . . ˆ ) ( ) ( 1 1 2 1 1 1 21 11                          Mode 1 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2 m t D t D t D t y t y ) ( . 17082 , 0 27639 , 0 ) ( . 95 , 45 37175 , 0 60150 , 0 10 ) ( . . ˆ ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 22 12                            Mode 2 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2 Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :   ) ( . ) ( t y M t S g     32
  • 33. Simulation Numérique par Excel Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration Calcul de l’Intégrale de Duhamel :           d t e y t D i t t g i i i i ). ( sin . 1 ) ( ) .( . 0         Evaluation numérique par la méthode des Trapèzes 33 -6.000E-03 -4.000E-03 -2.000E-03 0.000E+00 2.000E-03 4.000E-03 6.000E-03 0 0.075 0.15 0.225 0.3 0.375 0.45 0.525 0.6 0.675 0.75 0.825 0.9 0.975 1.05 1.125 1.2 1.275 1.35 1.425 1.5 1.575 1.65 1.725 1.8 1.875 1.95 D1(T) TEMPS T(S) MODE 1 : INTÉGRALE DE DUHAMEL D1(T) D1(t)
  • 34. Simulation Numérique par Excel Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure > 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration -6.000E-06 -4.000E-06 -2.000E-06 0.000E+00 2.000E-06 4.000E-06 6.000E-06 0 0.075 0.15 0.225 0.3 0.375 0.45 0.525 0.6 0.675 0.75 0.825 0.9 0.975 1.05 1.125 1.2 1.275 1.35 1.425 1.5 1.575 1.65 1.725 1.8 1.875 1.95 Déplacements totaux (mm) Temps t(s) Mode 1 : Réponse Dynamique Totale de la Structure y11(t) y21(t) -1.500E-06 -1.000E-06 -5.000E-07 0.000E+00 5.000E-07 1.000E-06 1.500E-06 0 0.075 0.15 0.225 0.3 0.375 0.45 0.525 0.6 0.675 0.75 0.825 0.9 0.975 1.05 1.125 1.2 1.275 1.35 1.425 1.5 1.575 1.65 1.725 1.8 1.875 1.95 Déplacements totaux (mm) Temps t(s) Mode 2 : Réponse Dynamique Totale de la Structure y12(t) y22(t) 34
  • 35. Déplacements max. Ymax < 4%O.H =24mm Conception des bâtiments parasismiques Autres dispositions Jouer sur les paramètres de rigidités CONCLUSION: NOS ABOUTISSEMENTS [⍂] ∫ 35
  • 36. Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE) Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique ROYAUME DU MAROC Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment : Cas d’Effet Sismique Réalisé par : EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP Encadré par : Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)