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2.4.5 Transmissibilité
La fraction de la force appliquée qui est transmise au support par l’intermédiaire du système est nom-
mée transmissibilité et elle est désignée par Rf. En reprenant l’équation du mouvement de l’oscillateur
simple soumis à une force harmonique, la force transmise s’exprime:
(2.28)
La force due à l’amortisseur et la force de rappel du ressort sont déphasées de 90°. En ne considérant
que le régime permanent, la valeur maximale de la force transmise (FTR) s’exprime:
FTR t
( ) c x
· t
( )
⋅ k x t
( )
⋅
+ F0 ωt m x
·· t
( )
⋅
–
sin
⋅
= =
FTR max
, c
2
x
·
max
2
⋅ k
2
xmax
2
⋅
+ c
2
ω
2
xmax
2
⋅ ⋅ k
2
xmax
2
⋅
+ xmax c
2
ω
2
⋅ k
2
+
⋅
= = =
FTR max
,
F0
k
-----
-
1
ω
2
ωn
2
------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞2
4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
-------------------------------------------------------------------
- 1 k
2
2mωnζ
( )
2
ω
2
⋅
+
⋅ ⋅
F0 1 4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
⋅
1
ω
2
ωn
2
------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞2
4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
-------------------------------------------------------------------
-
= =
En divisant par l’amplitude de la force perturbatrice (F0), le facteur Rf s’exprime:
(2.29)
Sans amortissement les facteurs Rf et Rd sont confondus. Les courbes se croisent pour un rapport de fré-
quence égal à à une valeur de Rf=1. Pour ce rapport particulier, la force agissant sur le
support est équivalente à celle agissant sur la masse, quelle que soit la valeur de l’amortissement.
Résonance du système
Dans le cas de la résonance (ω=ωn), le facteur d’amplification Rf s’exprime:
(2.30)
Rf
FTR max
,
F0
-------------------------
-
1 4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
1
ω
2
ωn
2
------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞2
4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
-------------------------------------------------------------------
- Rd 1 4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
⋅
= = =
ω ωn
⁄ 2
=
Rf
1 4 ζ
2
⋅
+
2 ζ
⋅
--------------------------
=
Figure 2.20: La transmissibilité est caractérisée par le facteur d’amplification dynamique (Rf).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
w/wn
0
1
2
3
4
5
R
f
=
R
d
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
w/wn
0
1
2
3
4
5
R
f
z= 0.01
z= 0.1
z= 0.2
z= 0.7
z= 1
a) b)
ζ = 0
ζ=0.01
ζ=0.10
ζ=0.20
ζ=0.70
ζ=1.00
ω/ωn ω/ωn
2.5 Mouvement de la fondation
Ce cas de figure se produit en présence de vibrations induites par le trafic ferroviaire ou lors d’un
séisme, par exemple. Etant donné que la fondation n’est plus fixe, il faut distinguer entre grandeurs
(déplacement, vitesse, accélération) absolues et grandeurs relatives (par rapport à la fondation).
Figure 2.21: Oscillateurs simples amortis soumis à une excitation de leur base (a et b). Définitions (c).
m
k
x(t)
xa(t)
xg(t)
xg(t)
..
c
xg(t): accélération du sol
..
xg(t): déplacement du sol
xa(t): déplacement absolu
x(t): déplacement relatif
k: rigidité
c: constante d’amortissement
m: masse
n=¥(k/m): fréquence circulaire
fn= n/2 : fréquence propre
=c/2m n: coefficient d’amortissement
m
k
c
xg(t)
xa(t)
a) b) c)
2.5.1 Equation différentielle
L’équation différentielle s’établit à partir des forces agissant sur la masse. Il faut être attentif au fait que
la force du ressort et celle de l’amortisseur dépendent des grandeurs relatives du mouvement (x(t) et
) alors que pour la masse c’est l’accélération absolue qui intervient dans la loi de Newton.
Conformément à la deuxième loi de Newton, l’équation du mouvement s’exprime:
avec (2.31)
Figure 2.22: Forces agissant sur la masse pour un oscillateur simple soumis à une excitation à la base.
x
·
t
( )
m
k·x(t)
c·x(t)
.
m
k·x(t)
c·x(t)
.
xa(t) xa(t)
a) b)
m x
··
a
⋅ c x
·
⋅ k x
⋅
+ + 0
= x xa xg
–
=
2.5.2 Déplacement prescrit
Lorsque la sollicitation imposée à la base est un déplacement prescrit, l’équation générale devient:
(2.32)
Le terme peut être interprété comme une force équivalente appliquée directement sur la
masse d’un système dont la base est fixe. Les deux systèmes sont équivalents, car gouvernés par la
même équation du mouvement.
Figure 2.23: Un système soumis à une excitation à la base (a) est semblable du point de vue dynamique au même
système, mais avec une base (fondation) fixe et dont la masse est soumise à une force équivalente (b).
m x
··
a
⋅ c x
·
a x
·
g
–
( )
⋅ k xa xg
–
( )
⋅
+ + 0
= m x
··
a
⋅ c x
·
a
⋅ k xa
⋅
+ + c x
·
g
⋅ k xg
⋅
+
=
⇒
c x
·
g
⋅ k xg
⋅
+
m
k
c
xg(t)
xa(t)
m
k
c
c·x (t) + k·x (t)
.
xa(t)
g g
a) b)
Dans le cas d’un mouvement harmonique de la fondation, le déplacement prescrit s’exprime:
(2.33)
L’amplitude de la force équivalente agissant sur la masse devient alors:
En substituant pour l’amplitude de la force harmonique l’expression ci-dessus à F0 dans les résultats
obtenus auparavant, on obtient l’expression suivante pour le déplacement maximal de la masse (en con-
sidérant uniquement la solution particulière):
xg t
( ) xg0 ωt
sin
⋅
=
c x
·
g t
( )
⋅ k xg t
( )
⋅
+ cω xg0 ωt
cos
⋅ ⋅ k xg0 ωt
sin
⋅ ⋅
+ xg0 cω
( )
2
k
2
+
⋅
= =
xa t
( )
xg0
k
-------- cω
( )
2
k
2
+
⋅
1
ω
2
ωn
2
------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞2
4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
-------------------------------------------------------------------
-
xg0 1 4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
⋅
1
ω
2
ωn
2
------
–
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞2
4 ζ
2 ω
ωn
------
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
⋅ ⋅
+
-------------------------------------------------------------------
- xg0 Rf
⋅
= = =
2.5.3 Application des facteurs d’amplification dynamiques Rd et Rf
Concernant les domaines d’application des facteurs d’amplification dynamique Rd et Rf, il faut distin-
guer entre grandeurs considérées et cas de charge. Le facteur Rd s’applique pour déterminer les dépla-
cements lorsque la force harmonique agit directement sur la masse. Pour les autres situations, c’est le
facteur Rf qui intervient.
Figure 2.24: Domaines d’application des facteurs d’amplification dynamique Rd et Rf.
m
k
c
xa(t)
m
k
x(t)
c
F0·sin t
Rf Rf
Rd Rf
déplacements
forces
xg0·sin t
cas de charge
grandeurs
2.5.4 Accélération prescrite (séisme)
Lorsque la sollicitation imposée à la base est une accélération prescrite, l’équation générale devient:
(2.34)
Figure 2.25: Accélération prescrite (sollicitation sismique): le système excité à sa base (a) est équivalent au même
système, mais fixe et soumis à la force d’inertie de sa masse par rapport à l’accélération du sol (b).
m x
··
g x
··
+
( )
⋅ c x
·
⋅ k x
⋅
+ + 0
= m
⇒ x
··
⋅ c x
·
⋅ k x
⋅
+ + m x
··
g
⋅
–
=
m
k
x(t)
m·xg(t)
..
m
k
x(t)
xg(t)
..
a) b)
m x
··
g
⋅
2.5.5 Exemple
Un exemple de mouvement de la fondation intervient pour un véhicule circulant sur une chaussée défor-
mée qui peut être approximée par une fonction sinusoïdale d’amplitude de xg0=7.5 cm. Le viaduc est
constitué de travées identiques de 30 m de longueur et le véhicule roule à 70 km/h. La masse de la voi-
ture est de m=2000 kg. La suspension fournit une constante de ressort de k=145 kN/m et un coefficient
d’amortissement de ζ=40%. En faisant l’hypothèse que les pneus sont rigides et ne décollent pas de la
chaussée, on peut déterminer les déplacements verticaux que subit le véhicule de la manière suivante:
propriétés dynamiques: ;
facteur d’amplification:
déplacement dynamique:
Ce n’est pas la situation la plus défavorable, car le facteur Rf peut être plus grand si la vitesse du véhi-
cule est plus élevée. Le facteur Rf atteint son maximum pour une vitesse de 131 km/h.
ωn
k
m
---
-
145 10
3
⋅
2000
---------------------
- 8.51 rad/s
[ ]
= = = ω 2π
70 3.6
⁄
30
----------------
-
⋅ 4.07 rad/s
[ ]
= =
Rf
1 4 ζ
2
ω ωn
⁄
( )
2
⋅ ⋅
+
1 ω ωn
⁄
( )
2
–
( )
2
4 ζ
2
ω ωn
⁄
( )
2
⋅ ⋅
+
-----------------------------------------------------------------------------------------
-
1 4 0.16 0.229
⋅ ⋅
+
0.771
2
0.1466
+
------------------------------------------------
- 1.24
= = =
xmax Rf
= x
⋅
g0
1.24 7.5 10
2
–
⋅ ⋅ 9.3 10
2
–
m
[ ]
⋅
= =

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  • 1. 2.4.5 Transmissibilité La fraction de la force appliquée qui est transmise au support par l’intermédiaire du système est nom- mée transmissibilité et elle est désignée par Rf. En reprenant l’équation du mouvement de l’oscillateur simple soumis à une force harmonique, la force transmise s’exprime: (2.28) La force due à l’amortisseur et la force de rappel du ressort sont déphasées de 90°. En ne considérant que le régime permanent, la valeur maximale de la force transmise (FTR) s’exprime: FTR t ( ) c x · t ( ) ⋅ k x t ( ) ⋅ + F0 ωt m x ·· t ( ) ⋅ – sin ⋅ = = FTR max , c 2 x · max 2 ⋅ k 2 xmax 2 ⋅ + c 2 ω 2 xmax 2 ⋅ ⋅ k 2 xmax 2 ⋅ + xmax c 2 ω 2 ⋅ k 2 + ⋅ = = = FTR max , F0 k ----- - 1 ω 2 ωn 2 ------ – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞2 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ------------------------------------------------------------------- - 1 k 2 2mωnζ ( ) 2 ω 2 ⋅ + ⋅ ⋅ F0 1 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ⋅ 1 ω 2 ωn 2 ------ – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞2 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ------------------------------------------------------------------- - = =
  • 2. En divisant par l’amplitude de la force perturbatrice (F0), le facteur Rf s’exprime: (2.29) Sans amortissement les facteurs Rf et Rd sont confondus. Les courbes se croisent pour un rapport de fré- quence égal à à une valeur de Rf=1. Pour ce rapport particulier, la force agissant sur le support est équivalente à celle agissant sur la masse, quelle que soit la valeur de l’amortissement. Résonance du système Dans le cas de la résonance (ω=ωn), le facteur d’amplification Rf s’exprime: (2.30) Rf FTR max , F0 ------------------------- - 1 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + 1 ω 2 ωn 2 ------ – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞2 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ------------------------------------------------------------------- - Rd 1 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ⋅ = = = ω ωn ⁄ 2 = Rf 1 4 ζ 2 ⋅ + 2 ζ ⋅ -------------------------- =
  • 3. Figure 2.20: La transmissibilité est caractérisée par le facteur d’amplification dynamique (Rf). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 w/wn 0 1 2 3 4 5 R f = R d 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 w/wn 0 1 2 3 4 5 R f z= 0.01 z= 0.1 z= 0.2 z= 0.7 z= 1 a) b) ζ = 0 ζ=0.01 ζ=0.10 ζ=0.20 ζ=0.70 ζ=1.00 ω/ωn ω/ωn
  • 4. 2.5 Mouvement de la fondation Ce cas de figure se produit en présence de vibrations induites par le trafic ferroviaire ou lors d’un séisme, par exemple. Etant donné que la fondation n’est plus fixe, il faut distinguer entre grandeurs (déplacement, vitesse, accélération) absolues et grandeurs relatives (par rapport à la fondation). Figure 2.21: Oscillateurs simples amortis soumis à une excitation de leur base (a et b). Définitions (c). m k x(t) xa(t) xg(t) xg(t) .. c xg(t): accélération du sol .. xg(t): déplacement du sol xa(t): déplacement absolu x(t): déplacement relatif k: rigidité c: constante d’amortissement m: masse n=¥(k/m): fréquence circulaire fn= n/2 : fréquence propre =c/2m n: coefficient d’amortissement m k c xg(t) xa(t) a) b) c)
  • 5. 2.5.1 Equation différentielle L’équation différentielle s’établit à partir des forces agissant sur la masse. Il faut être attentif au fait que la force du ressort et celle de l’amortisseur dépendent des grandeurs relatives du mouvement (x(t) et ) alors que pour la masse c’est l’accélération absolue qui intervient dans la loi de Newton. Conformément à la deuxième loi de Newton, l’équation du mouvement s’exprime: avec (2.31) Figure 2.22: Forces agissant sur la masse pour un oscillateur simple soumis à une excitation à la base. x · t ( ) m k·x(t) c·x(t) . m k·x(t) c·x(t) . xa(t) xa(t) a) b) m x ·· a ⋅ c x · ⋅ k x ⋅ + + 0 = x xa xg – =
  • 6. 2.5.2 Déplacement prescrit Lorsque la sollicitation imposée à la base est un déplacement prescrit, l’équation générale devient: (2.32) Le terme peut être interprété comme une force équivalente appliquée directement sur la masse d’un système dont la base est fixe. Les deux systèmes sont équivalents, car gouvernés par la même équation du mouvement. Figure 2.23: Un système soumis à une excitation à la base (a) est semblable du point de vue dynamique au même système, mais avec une base (fondation) fixe et dont la masse est soumise à une force équivalente (b). m x ·· a ⋅ c x · a x · g – ( ) ⋅ k xa xg – ( ) ⋅ + + 0 = m x ·· a ⋅ c x · a ⋅ k xa ⋅ + + c x · g ⋅ k xg ⋅ + = ⇒ c x · g ⋅ k xg ⋅ + m k c xg(t) xa(t) m k c c·x (t) + k·x (t) . xa(t) g g a) b)
  • 7. Dans le cas d’un mouvement harmonique de la fondation, le déplacement prescrit s’exprime: (2.33) L’amplitude de la force équivalente agissant sur la masse devient alors: En substituant pour l’amplitude de la force harmonique l’expression ci-dessus à F0 dans les résultats obtenus auparavant, on obtient l’expression suivante pour le déplacement maximal de la masse (en con- sidérant uniquement la solution particulière): xg t ( ) xg0 ωt sin ⋅ = c x · g t ( ) ⋅ k xg t ( ) ⋅ + cω xg0 ωt cos ⋅ ⋅ k xg0 ωt sin ⋅ ⋅ + xg0 cω ( ) 2 k 2 + ⋅ = = xa t ( ) xg0 k -------- cω ( ) 2 k 2 + ⋅ 1 ω 2 ωn 2 ------ – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞2 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ------------------------------------------------------------------- - xg0 1 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ⋅ 1 ω 2 ωn 2 ------ – ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞2 4 ζ 2 ω ωn ------ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⋅ + ------------------------------------------------------------------- - xg0 Rf ⋅ = = =
  • 8. 2.5.3 Application des facteurs d’amplification dynamiques Rd et Rf Concernant les domaines d’application des facteurs d’amplification dynamique Rd et Rf, il faut distin- guer entre grandeurs considérées et cas de charge. Le facteur Rd s’applique pour déterminer les dépla- cements lorsque la force harmonique agit directement sur la masse. Pour les autres situations, c’est le facteur Rf qui intervient. Figure 2.24: Domaines d’application des facteurs d’amplification dynamique Rd et Rf. m k c xa(t) m k x(t) c F0·sin t Rf Rf Rd Rf déplacements forces xg0·sin t cas de charge grandeurs
  • 9. 2.5.4 Accélération prescrite (séisme) Lorsque la sollicitation imposée à la base est une accélération prescrite, l’équation générale devient: (2.34) Figure 2.25: Accélération prescrite (sollicitation sismique): le système excité à sa base (a) est équivalent au même système, mais fixe et soumis à la force d’inertie de sa masse par rapport à l’accélération du sol (b). m x ·· g x ·· + ( ) ⋅ c x · ⋅ k x ⋅ + + 0 = m ⇒ x ·· ⋅ c x · ⋅ k x ⋅ + + m x ·· g ⋅ – = m k x(t) m·xg(t) .. m k x(t) xg(t) .. a) b) m x ·· g ⋅
  • 10. 2.5.5 Exemple Un exemple de mouvement de la fondation intervient pour un véhicule circulant sur une chaussée défor- mée qui peut être approximée par une fonction sinusoïdale d’amplitude de xg0=7.5 cm. Le viaduc est constitué de travées identiques de 30 m de longueur et le véhicule roule à 70 km/h. La masse de la voi- ture est de m=2000 kg. La suspension fournit une constante de ressort de k=145 kN/m et un coefficient d’amortissement de ζ=40%. En faisant l’hypothèse que les pneus sont rigides et ne décollent pas de la chaussée, on peut déterminer les déplacements verticaux que subit le véhicule de la manière suivante: propriétés dynamiques: ; facteur d’amplification: déplacement dynamique: Ce n’est pas la situation la plus défavorable, car le facteur Rf peut être plus grand si la vitesse du véhi- cule est plus élevée. Le facteur Rf atteint son maximum pour une vitesse de 131 km/h. ωn k m --- - 145 10 3 ⋅ 2000 --------------------- - 8.51 rad/s [ ] = = = ω 2π 70 3.6 ⁄ 30 ---------------- - ⋅ 4.07 rad/s [ ] = = Rf 1 4 ζ 2 ω ωn ⁄ ( ) 2 ⋅ ⋅ + 1 ω ωn ⁄ ( ) 2 – ( ) 2 4 ζ 2 ω ωn ⁄ ( ) 2 ⋅ ⋅ + ----------------------------------------------------------------------------------------- - 1 4 0.16 0.229 ⋅ ⋅ + 0.771 2 0.1466 + ------------------------------------------------ - 1.24 = = = xmax Rf = x ⋅ g0 1.24 7.5 10 2 – ⋅ ⋅ 9.3 10 2 – m [ ] ⋅ = =