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1. 1
DYNAMIQUE ET CONCEPTION PARASISMIQUE
DES STRUCTURES
FST – TANGER
LST – GENIE CIVIL
Pr. M. MABSSOUT 2020/2021

2. 2
3.1 Réponse à une impulsion
Définition:
Une charge impulsionnelle est une charge extérieure très intense de courte durée.
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque
Soit une charge impulsionnelle f(t) dont la durée d’application td est très courte.
𝑡𝑑 ≪ 𝑇
𝑇 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒
Fig. 3.1 Charge impulsionnelle
Remarque: L'étude de la charge impulsionnelle est d’une grande importance en dynamique
des structures ; elle constitue la solution fondamentale de la réponse du système; et toute
sollicitation générale peut être considérée comme une succession d'impulsions élémentaires.

3. 3
Durant le temps td (très court) d’application de charge; on peut supposer que l’intensité de la
force impulsive est très grande par rapport aux autres forces. On peut négliger les forces
élastiques et d’amortissement. Par conséquent, Il n’y a pas de changement notable du
déplacement durant le temps d’application de la charge td mais seulement un changement de
vitesse ∆ ሶ
𝑢.
L’équation du mouvement s’écrit alors:
𝑚 ሷ
𝑢 = 𝑓 𝑡 ⟹ Δ ሶ
𝑢 =
1
𝑚
න
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡𝑑:
Les conditions initiales ( ഥ
𝑡 = 0 ) sont données par:
𝑢 0 = 𝑢(𝑡𝑑) = 0 et ሶ
𝑢 0 = ሶ
𝑢(𝑡𝑑) = Δ ሶ
𝑢
Le système est en mouvement libre.
On pose ҧ
t = t − td

4. 4
 Cas d’un 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 = 𝟎 :
la solution à une impulsion pour un système libre non amorti (t  td) s’écrit :
𝑢( ҧ
𝑡) =
1
𝑚𝜔
‫׬‬
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 sin 𝜔 ҧ
𝑡
On sait que pour un système libre non amorti, la solution s ’écrit:
En tenant compte des conditions initiales ( t=td) de la deuxième phase (t  td);
𝑢( ҧ
𝑡 ) = 𝑢(0)cos 𝜔 ҧ
𝑡 +
ሶ
𝑢 (0)
𝜔
sin 𝜔 ҧ
𝑡

5. 5
 𝑪𝒂𝒔 𝒅′𝒖𝒏 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 ≠ 𝟎 :
La réponse à une impulsion pour un système amorti s’écrit:
𝑢( ҧ
𝑡) =
1
𝑚𝜔𝐷
‫׬‬
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑒−𝜉𝜔 ҧ
𝑡
sin 𝜔𝐷 ҧ
𝑡
𝑢( ҧ
𝑡)= 𝑒−𝜉𝜔 ҧ
𝑡
𝑢(0) cos 𝜔𝐷 ҧ
𝑡 +
𝜉𝜔𝑢 0 + ሶ
𝑢(0)
𝜔𝐷
sin 𝜔𝐷 ҧ
𝑡
On sait que la réponse d’un système libre amorti s’écrit sous la forme suivante:
En tenant compte des conditions initiales ( ҧ
𝑡 =0 ou bien t=td) de la deuxième phase (𝑡 ≥ 𝑡𝑑).

6. 6
Fig.3.2 Réponse à une impulsion

7. 7
3.2 Impulsion unité ou fonction de Dirac d
On considère une fonction de charge 𝑓 𝑡 = Δ𝜀(t) dont la durée 𝑡𝑑 = 𝜀 et 𝐼 = ‫׬‬0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1.
Quand 𝜀 → 0, la fonction Δ𝜀 𝑡 → 𝛿 𝑡 où d(t) est la fonction de Dirac ou impulsion unité.
Fig.3.3 Fonction 𝛿(𝑡)

8. 8
Fig.3.4 Impulsion unité d(t-t)
ቊ
𝛿 0 = +∞
𝛿 𝑡 = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 0
Rappel : Propriétés de la fonction de Dirac
න
−∞
+∞
𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏
En effet ‫׬‬−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬−𝜀
𝜀
𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0) ‫׬‬−∞
+∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0)
න
−∞
+∞
𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 − 𝝉 𝒅𝒕 = 𝒇(𝝉)
La fonction de Dirac d(t) est définie par :
න
−∞
+∞
𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝟎) ( f est une fonction continue en t=0)
(𝐹𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝜉 = 𝑡 − 𝜏)

9. 9
3.3 Réponse à une impulsion de Dirac
Si on fait tendre td→ 0 alors la fonction 𝑓 𝑡 → 𝛿 𝑡 ; donc ‫׬‬−∞
+∞
𝑓 𝑡 dt = 1
D’où, la réponse à une impulsion de Dirac dans le cas où le système est non amorti :
𝑢 𝑡 = ℎ 𝑡 =
1
𝑚𝜔
sin 𝜔𝑡
ℎ 𝑡 𝑠′
𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑭𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑹é𝒑𝒐𝒏𝒔𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝐹𝑅𝐼 .
Pour un système amorti; la FRI est donnée par:
ℎ 𝑡 =
1
𝑚𝜔𝐷
𝑒−𝜉𝜔𝑡 sin 𝜔𝐷𝑡
Donc, la réponse d′un système élémentaire à une impulsion quelconque 𝑓 𝑡 peut s′
écrire:
𝑢 ҧ
𝑡 = 𝐼ℎ ҧ
𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐼 = න
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡

10. 10
3.4 Intégrale de Duhamel
"𝐿𝑎 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑′
𝑢𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 à 𝑢𝑛 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒
peut être décrite par sa réponse impulsionnelle h(t)".
Fig. 3.5 Approximation d’une fonction de charge par une suite d’impulsion de durée Dt
En effet, soit 𝑓 𝑡 une charge quelconque que l’on peut approcher par une suite de charges
impulsionnelles de durée Δτ.

11. 11
Δ𝑢 𝑡 = 𝑓 𝜏 Δ𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 ; 𝑡 ≥ 𝜏
Quand Δτ → 0 alors l′expression précédente devient:
𝑑𝑢 𝑡 = 𝑓 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
Sachant que la réponse à une impulsion unitaire 𝛿(𝑡 − 𝜏) appliquée en 𝑡 = 𝜏 est la réponse
Impulsionnelle ℎ 𝑡 − 𝜏 , alors la contribution à la réponse totale d’une impulsion d’aire 𝑓 𝜏 Δ𝜏,
appliquée en t=t s’écrit sous la forme:
D′où la réponse totale du système ∶
𝑢 𝑡 = න
0
𝑡
𝑓 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
Donc la solution u(t) est donnée par le produit de convolution de f et h:
𝑢 = 𝑓 ∗ ℎ

12. 12
Fig.3.6 Superposition des réponses dues aux impulsions individuelles

13. 13
Pour un système non amorti, u t peut s′
écrire sous la forme suivante:
𝑢 𝑡 =
1
𝑚𝜔
න
0
𝑡
𝑓(𝜏) sin 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
C’est l’intégrale de Duhamel pour un système non amorti.
Pour un système amorti, l’intégrale de Duhamel, s’écrit:
𝑢 𝑡 =
1
𝑚𝜔𝐷
න
0
𝑡
𝑓(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏)
sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
• L’intégrale de Duhamel est une méthode générale de calcul de la réponse d’un
système élémentaire linéaire à un chargement dynamique quelconque.

14. 14
𝑢 𝑡 = 𝑢 0 cos 𝜔𝑡 +
ሶ
𝑢(0)
𝜔
sin 𝜔𝑡 +
1
𝑚𝜔
‫׬‬0
𝑡
𝑓(𝜏) sin 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
 Système non amorti
 Système amorti
𝑢 𝑡 = 𝑒−𝜉𝜔𝑡 𝑢(0) cos 𝜔𝐷𝑡 +
ሶ
𝑢 0 + 𝑢(0)𝜉𝜔
𝜔𝐷
sin 𝜔𝐷𝑡
+
1
𝑚𝜔𝐷
‫׬‬
0
𝑡
𝑓(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏) sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
Les intégrales ci-dessus supposent que les conditions initiales (t=0) sont nulles.
Dans le cas où les conditions initiales sont non nulles; la solution totale s’écrit:

15. 15
3.5.1 Réponse à une charge Fo constante (Fonction step)
Les conditions Initiales son nulles.
𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜 pour t≥ 0
= 0 pour t< 0
3.5 Exemples
Remarque:
Dans le cas d’un séisme , puisque la force sismique effective 𝑓 𝑡 = −𝑚 ሷ
𝑢𝑔(𝑡), alors
l’intégrale de Duhamel s’écrit sous la forme :
𝑢 𝑡 = −
1
𝜔𝐷
න
0
𝑡
ሷ
𝑢𝑔(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏)
sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
En utilisant l’intégrale de Duhamel, trouver la réponse d’un système à 1ddl soumis à F(t).
Comparer la solution avec celle obtenue par la méthode directe.

16. 16
T= Période propre du système
Fig. 3.7 Réponse à une fonction step

17. 17
3.5.2 Réponse à une fonction augmentant linéairement
Fig.3.8 Charge variant linéairement Fig. 3. 9 Réponse dynamique
Remarque: F(t) ne peut pas augmenter indéfiniment car elle provoquerait la plastification
du matériau et éventuellement sa rupture.
On suppose que le système est soumis à une charge linéaire F(t) ( voir figure).

18. 18
3.5.3 Réponse à une fonction constante appliquée lentement
Fig. 3. 10 Charge constante appliquée lentement
Calculer la réponse d’un système non amorti soumis à F(t). Utiliser 2 méthodes différentes pour
calculer u(t).
𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜
𝑡
𝑡1
pour 𝑡 ≤ 𝑡1
= 𝐹𝑜 pour t≥ 𝑡1
Soit la fonction F(t) définie par:

19. 19
La réponse à cette charge peut être calculée à l’aide de l’intégrale de Duhamel; ou bien,
Il es plus simple de considérer que cette fonction comme la superposition de 2 fonctions
linéaires (voir figure 3. 11).
Fig. 3. 11 Charge constante appliquée lentement obtenue par superposition de deux fonctions
linéaires
𝐹 𝑡 =
𝐹𝑜
𝑡
𝑡1
𝑝𝑜𝑢𝑟 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1
𝐹𝑜
𝑡
𝑡1
− 𝐹𝑜
𝑡 − 𝑡1
𝑡1
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡1

20. 20
Fig. 3. 12 Réponse dynamique d’un système à 1ddl soumis à la fonction F(t)