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Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d77222e0ae1.pdf

A
AuRevoir4

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1
DYNAMIQUE ET CONCEPTION PARASISMIQUE
DES STRUCTURES
FST – TANGER
LST – GENIE CIVIL
Pr. M. MABSSOUT 2020/2021
2
3.1 Réponse à une impulsion
Définition:
Une charge impulsionnelle est une charge extérieure très intense de courte durée.
Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque
Soit une charge impulsionnelle f(t) dont la durée d’application td est très courte.
𝑡𝑑 ≪ 𝑇
𝑇 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒
Fig. 3.1 Charge impulsionnelle
Remarque: L'étude de la charge impulsionnelle est d’une grande importance en dynamique
des structures ; elle constitue la solution fondamentale de la réponse du système; et toute
sollicitation générale peut être considérée comme une succession d'impulsions élémentaires.
3
Durant le temps td (très court) d’application de charge; on peut supposer que l’intensité de la
force impulsive est très grande par rapport aux autres forces. On peut négliger les forces
élastiques et d’amortissement. Par conséquent, Il n’y a pas de changement notable du
déplacement durant le temps d’application de la charge td mais seulement un changement de
vitesse ∆ ሶ
𝑢.
L’équation du mouvement s’écrit alors:
𝑚 ሷ
𝑢 = 𝑓 𝑡 ⟹ Δ ሶ
𝑢 =
1
𝑚
න
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡𝑑:
Les conditions initiales ( ഥ
𝑡 = 0 ) sont données par:
𝑢 0 = 𝑢(𝑡𝑑) = 0 et ሶ
𝑢 0 = ሶ
𝑢(𝑡𝑑) = Δ ሶ
𝑢
Le système est en mouvement libre.
On pose ҧ
t = t − td
4
 Cas d’un 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 = 𝟎 :
la solution à une impulsion pour un système libre non amorti (t  td) s’écrit :
𝑢( ҧ
𝑡) =
1
𝑚𝜔
‫׬‬
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 sin 𝜔 ҧ
𝑡
On sait que pour un système libre non amorti, la solution s ’écrit:
En tenant compte des conditions initiales ( t=td) de la deuxième phase (t  td);
𝑢( ҧ
𝑡 ) = 𝑢(0)cos 𝜔 ҧ
𝑡 +
ሶ
𝑢 (0)
𝜔
sin 𝜔 ҧ
𝑡
5
 𝑪𝒂𝒔 𝒅′𝒖𝒏 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 ≠ 𝟎 :
La réponse à une impulsion pour un système amorti s’écrit:
𝑢( ҧ
𝑡) =
1
𝑚𝜔𝐷
‫׬‬
0
𝑡𝑑
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑒−𝜉𝜔 ҧ
𝑡
sin 𝜔𝐷 ҧ
𝑡
𝑢( ҧ
𝑡)= 𝑒−𝜉𝜔 ҧ
𝑡
𝑢(0) cos 𝜔𝐷 ҧ
𝑡 +
𝜉𝜔𝑢 0 + ሶ
𝑢(0)
𝜔𝐷
sin 𝜔𝐷 ҧ
𝑡
On sait que la réponse d’un système libre amorti s’écrit sous la forme suivante:
En tenant compte des conditions initiales ( ҧ
𝑡 =0 ou bien t=td) de la deuxième phase (𝑡 ≥ 𝑡𝑑).
6
Fig.3.2 Réponse à une impulsion

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Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque _8DEC_3e4c340a058ddc0c59907d77222e0ae1.pdf

  • 1. 1 DYNAMIQUE ET CONCEPTION PARASISMIQUE DES STRUCTURES FST – TANGER LST – GENIE CIVIL Pr. M. MABSSOUT 2020/2021
  • 2. 2 3.1 Réponse à une impulsion Définition: Une charge impulsionnelle est une charge extérieure très intense de courte durée. Chapitre 3 Réponse à une charge quelconque Soit une charge impulsionnelle f(t) dont la durée d’application td est très courte. 𝑡𝑑 ≪ 𝑇 𝑇 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 Fig. 3.1 Charge impulsionnelle Remarque: L'étude de la charge impulsionnelle est d’une grande importance en dynamique des structures ; elle constitue la solution fondamentale de la réponse du système; et toute sollicitation générale peut être considérée comme une succession d'impulsions élémentaires.
  • 3. 3 Durant le temps td (très court) d’application de charge; on peut supposer que l’intensité de la force impulsive est très grande par rapport aux autres forces. On peut négliger les forces élastiques et d’amortissement. Par conséquent, Il n’y a pas de changement notable du déplacement durant le temps d’application de la charge td mais seulement un changement de vitesse ∆ ሶ 𝑢. L’équation du mouvement s’écrit alors: 𝑚 ሷ 𝑢 = 𝑓 𝑡 ⟹ Δ ሶ 𝑢 = 1 𝑚 න 0 𝑡𝑑 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡𝑑: Les conditions initiales ( ഥ 𝑡 = 0 ) sont données par: 𝑢 0 = 𝑢(𝑡𝑑) = 0 et ሶ 𝑢 0 = ሶ 𝑢(𝑡𝑑) = Δ ሶ 𝑢 Le système est en mouvement libre. On pose ҧ t = t − td
  • 4. 4  Cas d’un 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 = 𝟎 : la solution à une impulsion pour un système libre non amorti (t  td) s’écrit : 𝑢( ҧ 𝑡) = 1 𝑚𝜔 ‫׬‬ 0 𝑡𝑑 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 sin 𝜔 ҧ 𝑡 On sait que pour un système libre non amorti, la solution s ’écrit: En tenant compte des conditions initiales ( t=td) de la deuxième phase (t  td); 𝑢( ҧ 𝑡 ) = 𝑢(0)cos 𝜔 ҧ 𝑡 + ሶ 𝑢 (0) 𝜔 sin 𝜔 ҧ 𝑡
  • 5. 5  𝑪𝒂𝒔 𝒅′𝒖𝒏 𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊 𝝃 ≠ 𝟎 : La réponse à une impulsion pour un système amorti s’écrit: 𝑢( ҧ 𝑡) = 1 𝑚𝜔𝐷 ‫׬‬ 0 𝑡𝑑 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑒−𝜉𝜔 ҧ 𝑡 sin 𝜔𝐷 ҧ 𝑡 𝑢( ҧ 𝑡)= 𝑒−𝜉𝜔 ҧ 𝑡 𝑢(0) cos 𝜔𝐷 ҧ 𝑡 + 𝜉𝜔𝑢 0 + ሶ 𝑢(0) 𝜔𝐷 sin 𝜔𝐷 ҧ 𝑡 On sait que la réponse d’un système libre amorti s’écrit sous la forme suivante: En tenant compte des conditions initiales ( ҧ 𝑡 =0 ou bien t=td) de la deuxième phase (𝑡 ≥ 𝑡𝑑).
  • 6. 6 Fig.3.2 Réponse à une impulsion
  • 7. 7 3.2 Impulsion unité ou fonction de Dirac d On considère une fonction de charge 𝑓 𝑡 = Δ𝜀(t) dont la durée 𝑡𝑑 = 𝜀 et 𝐼 = ‫׬‬0 𝑡𝑑 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1. Quand 𝜀 → 0, la fonction Δ𝜀 𝑡 → 𝛿 𝑡 où d(t) est la fonction de Dirac ou impulsion unité. Fig.3.3 Fonction 𝛿(𝑡)
  • 8. 8 Fig.3.4 Impulsion unité d(t-t) ቊ 𝛿 0 = +∞ 𝛿 𝑡 = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 0 Rappel : Propriétés de la fonction de Dirac න −∞ +∞ 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏 En effet ‫׬‬−∞ +∞ 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬−𝜀 𝜀 𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0) ‫׬‬−∞ +∞ 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0) න −∞ +∞ 𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 − 𝝉 𝒅𝒕 = 𝒇(𝝉) La fonction de Dirac d(t) est définie par : න −∞ +∞ 𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝟎) ( f est une fonction continue en t=0) (𝐹𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝜉 = 𝑡 − 𝜏)
  • 9. 9 3.3 Réponse à une impulsion de Dirac Si on fait tendre td→ 0 alors la fonction 𝑓 𝑡 → 𝛿 𝑡 ; donc ‫׬‬−∞ +∞ 𝑓 𝑡 dt = 1 D’où, la réponse à une impulsion de Dirac dans le cas où le système est non amorti : 𝑢 𝑡 = ℎ 𝑡 = 1 𝑚𝜔 sin 𝜔𝑡 ℎ 𝑡 𝑠′ 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑭𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑹é𝒑𝒐𝒏𝒔𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝐹𝑅𝐼 . Pour un système amorti; la FRI est donnée par: ℎ 𝑡 = 1 𝑚𝜔𝐷 𝑒−𝜉𝜔𝑡 sin 𝜔𝐷𝑡 Donc, la réponse d′un système élémentaire à une impulsion quelconque 𝑓 𝑡 peut s′ écrire: 𝑢 ҧ 𝑡 = 𝐼ℎ ҧ 𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐼 = න 0 𝑡𝑑 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
  • 10. 10 3.4 Intégrale de Duhamel "𝐿𝑎 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑′ 𝑢𝑛 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 à 𝑢𝑛 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒 peut être décrite par sa réponse impulsionnelle h(t)". Fig. 3.5 Approximation d’une fonction de charge par une suite d’impulsion de durée Dt En effet, soit 𝑓 𝑡 une charge quelconque que l’on peut approcher par une suite de charges impulsionnelles de durée Δτ.
  • 11. 11 Δ𝑢 𝑡 = 𝑓 𝜏 Δ𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 ; 𝑡 ≥ 𝜏 Quand Δτ → 0 alors l′expression précédente devient: 𝑑𝑢 𝑡 = 𝑓 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Sachant que la réponse à une impulsion unitaire 𝛿(𝑡 − 𝜏) appliquée en 𝑡 = 𝜏 est la réponse Impulsionnelle ℎ 𝑡 − 𝜏 , alors la contribution à la réponse totale d’une impulsion d’aire 𝑓 𝜏 Δ𝜏, appliquée en t=t s’écrit sous la forme: D′où la réponse totale du système ∶ 𝑢 𝑡 = න 0 𝑡 𝑓 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Donc la solution u(t) est donnée par le produit de convolution de f et h: 𝑢 = 𝑓 ∗ ℎ
  • 12. 12 Fig.3.6 Superposition des réponses dues aux impulsions individuelles
  • 13. 13 Pour un système non amorti, u t peut s′ écrire sous la forme suivante: 𝑢 𝑡 = 1 𝑚𝜔 න 0 𝑡 𝑓(𝜏) sin 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 C’est l’intégrale de Duhamel pour un système non amorti. Pour un système amorti, l’intégrale de Duhamel, s’écrit: 𝑢 𝑡 = 1 𝑚𝜔𝐷 න 0 𝑡 𝑓(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏) sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 • L’intégrale de Duhamel est une méthode générale de calcul de la réponse d’un système élémentaire linéaire à un chargement dynamique quelconque.
  • 14. 14 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 cos 𝜔𝑡 + ሶ 𝑢(0) 𝜔 sin 𝜔𝑡 + 1 𝑚𝜔 ‫׬‬0 𝑡 𝑓(𝜏) sin 𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏  Système non amorti  Système amorti 𝑢 𝑡 = 𝑒−𝜉𝜔𝑡 𝑢(0) cos 𝜔𝐷𝑡 + ሶ 𝑢 0 + 𝑢(0)𝜉𝜔 𝜔𝐷 sin 𝜔𝐷𝑡 + 1 𝑚𝜔𝐷 ‫׬‬ 0 𝑡 𝑓(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏) sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Les intégrales ci-dessus supposent que les conditions initiales (t=0) sont nulles. Dans le cas où les conditions initiales sont non nulles; la solution totale s’écrit:
  • 15. 15 3.5.1 Réponse à une charge Fo constante (Fonction step) Les conditions Initiales son nulles. 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜 pour t≥ 0 = 0 pour t< 0 3.5 Exemples Remarque: Dans le cas d’un séisme , puisque la force sismique effective 𝑓 𝑡 = −𝑚 ሷ 𝑢𝑔(𝑡), alors l’intégrale de Duhamel s’écrit sous la forme : 𝑢 𝑡 = − 1 𝜔𝐷 න 0 𝑡 ሷ 𝑢𝑔(𝜏)𝑒−𝜉𝜔(𝑡−𝜏) sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 En utilisant l’intégrale de Duhamel, trouver la réponse d’un système à 1ddl soumis à F(t). Comparer la solution avec celle obtenue par la méthode directe.
  • 16. 16 T= Période propre du système Fig. 3.7 Réponse à une fonction step
  • 17. 17 3.5.2 Réponse à une fonction augmentant linéairement Fig.3.8 Charge variant linéairement Fig. 3. 9 Réponse dynamique Remarque: F(t) ne peut pas augmenter indéfiniment car elle provoquerait la plastification du matériau et éventuellement sa rupture. On suppose que le système est soumis à une charge linéaire F(t) ( voir figure).
  • 18. 18 3.5.3 Réponse à une fonction constante appliquée lentement Fig. 3. 10 Charge constante appliquée lentement Calculer la réponse d’un système non amorti soumis à F(t). Utiliser 2 méthodes différentes pour calculer u(t). 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜 𝑡 𝑡1 pour 𝑡 ≤ 𝑡1 = 𝐹𝑜 pour t≥ 𝑡1 Soit la fonction F(t) définie par:
  • 19. 19 La réponse à cette charge peut être calculée à l’aide de l’intégrale de Duhamel; ou bien, Il es plus simple de considérer que cette fonction comme la superposition de 2 fonctions linéaires (voir figure 3. 11). Fig. 3. 11 Charge constante appliquée lentement obtenue par superposition de deux fonctions linéaires 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑜 𝑡 𝑡1 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡1 𝐹𝑜 𝑡 𝑡1 − 𝐹𝑜 𝑡 − 𝑡1 𝑡1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ≥ 𝑡1
  • 20. 20 Fig. 3. 12 Réponse dynamique d’un système à 1ddl soumis à la fonction F(t)